精品解析：四川省成都市锦江区嘉祥外国语高级中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试题

2023级高三上期半期考试 数学 本卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 5.考试结束后，只将答题卡交回. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求） 1. 某高中共有学生1200人，其中高一、高二、高三的学生人数比为，现用分层抽样的方法从该校所有学生中抽取一个容量为60的样本，则高三年级应该抽取（ ）人. A. 16 B. 18 C. 20 D. 24 2. 设为虚数单位，则在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 是等差数列，…，，，…的（ ） A. 第1013项 B. 第1012项 C. 第1011项 D. 第1010项 4. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 5. 从包含甲、乙两人的人中选出人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员，则甲、乙两人都入选的不同选法共有（     ）种 A. B. C. 30 D. 20 6. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知分别为双曲线的左、右焦点，的渐近线上一点满足，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知椭圆是椭圆上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 若椭圆的焦点在轴上，则 B. 若椭圆的离心率，则或 C. 当且时，的面积为 D. 当时存在点使得 10. 已知函数，则以下结论正确的是（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. 函数在上单调递减 C. 将函数的图象向右移个单位长度，可得到函数的图象，则函数的解析式为 D. 若函数（）在上恰有三个零点，则实数的取值范围为 11. 已知函数及其导函数的定义域均为.且为非常数函数，，为奇函数，则下列结论中正确的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知集合，，若，则实数的值为__________． 13. 在三棱锥中，，若三棱锥外接球的表面积为，则该三棱锥的体积为______. 14. 已知等差数列的公差与等比数列的公比相等，且，，，则______；若数列和的所有项合在一起，从小到大依次排列构成一个数列，数列的前项和为，则使得成立的的最小值为______． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数（为常数），曲线在点处的切线平行于直线. （1）求的值； （2）求函数在上的单调区间和值域 16. 在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩､防护服､消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量､该厂质检人员从某日生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：，得到如下频率分布直方图.规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于130的为一级口罩. （1）求该厂商生产口罩质量指标值的平均数和第60百分位数； （2）现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩，再从中抽取3个，记其中一级口罩个数为，求的分布列及方差. 17. 如图1，在边长为2的菱形ABCD中，于点，将沿DE折起到的位置，使，如图2． （1）求多面体的体积； （2）求二面角的余弦值； （3）在线段BD上是否存在点，使平面平面？若存在，求出的值；若不存请说明理由． 18. 已知斜率为1的直线与抛物线交于点A，B，以点为圆心的圆过点A，B，且圆M关于直线AB 对称. （1）求抛物线C与圆M的方程； （2）过y轴上的点P作斜率为1的直线l，交圆M于点Q，R，且与C交于不同的两点，求取值范围. 19. 定义：对于非零向量，若函数，则称为向量的“伴生函数”，向量为函数的“源向量”．记平面内所有向量的“伴生函数”构成的集合为． （1）已知，若函数，求函数的“源向量”的模的取值范围； （2）设中角所对的边为，向量的“伴生函数”为，且当时，取得最大值． ①若，设为的重心，求的最大值； ②设是外心，且，求实数的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023级高三上期半期考试 数学 本卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 5.考试结束后，只将答题卡交回. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求） 1. 某高中共有学生1200人，其中高一、高二、高三的学生人数比为，现用分层抽样的方法从该校所有学生中抽取一个容量为60的样本，则高三年级应该抽取（ ）人. A. 16 B. 18 C. 20 D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】根据分层抽样的定义即可得到答案. 【详解】根据分层抽样的定义得高三年级应该抽取. 故选：D. 2. 设为虚数单位，则在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数代数形式的除法运算求出复数后，得到其共轭复数，再根据复数的几何意义判断即可. 【详解】,. 所以在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限． 故选：A. 3. 是等差数列，…，，，…的（ ） A. 第1013项 B. 第1012项 C. 第1011项 D. 第1010项 【答案】C 【解析】 【分析】首先求等差数列的通项公式，再根据项求序号，即可求解. 【详解】由条件可知，等差数列的首项是，公差是， 所以等差数列的通项公式为， 令，得. 故选：C 4. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间直线与平面，直线与直线，平面与平面不同位置的定义，判定定理及性质定理，以及几何特征，逐项分析即可． 【详解】选项A，若，，， 则直线与直线可能平行，可能相交，可能异面，故A选项不正确； 选项B，若，，， 则平面与平面可能平行，可能相交；故B选项不正确； 选项C，若，，，则，故C选项正确； 选项D，，，， 则直线与直线可能平行，可能相交，可能异面，故D选项不正确； 故选：C. 5. 从包含甲、乙两人的人中选出人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员，则甲、乙两人都入选的不同选法共有（     ）种 A. B. C. 30 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】从除了甲乙外的人中任选一人，再将甲，乙和所选的人进行全排列，即可求出甲、乙两人都入选的不同选法的种数. 【详解】由题意， 甲乙两人都入选，还要先在其他5人里选一人有种，再和甲乙一起全排列有， ∴甲乙两人都入选的不同选法有（种）. 故选：C. 6. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用坐标表示条件中两个向量，根据平行条件列方程求解 【详解】，. 因为，所以，解得. 故选：B 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式及、弦化切，把所给式子化简，将代入可得答案. 【详解】. 故选：D 8. 已知分别为双曲线的左、右焦点，的渐近线上一点满足，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题设，结合且，应用二倍角正切公式、双曲线离心率求法求解. 【详解】因为的渐近线上一点满足，且， 所以在中，而，则， 所以， 又双曲线的渐近线方程为， 所以， 所以. 故选：B 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知椭圆是椭圆上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 若椭圆的焦点在轴上，则 B. 若椭圆的离心率，则或 C. 当且时，的面积为 D. 当时存在点使得 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据椭圆的焦点位置，结合椭圆方程及离心率公式判断A、B；由确定椭圆参数，再在焦点三角形中应用椭圆的有界性及余弦定理判断C、D. 【详解】A：由椭圆方程，若的焦点在轴上，则，故错误； B：当椭圆焦点在轴上时，，可得， 当椭圆焦点在轴上时，，可得，故正确； C、D：由题设，则， 当，则， 所以，而，则， 所以，C正确， 当为椭圆上下顶点时，，则， 此时，在中，故最大角可达到， 所以存在点使得，D正确. 故选：BCD 10. 已知函数，则以下结论正确的是（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. 函数在上单调递减 C. 将函数的图象向右移个单位长度，可得到函数的图象，则函数的解析式为 D. 若函数（）在上恰有三个零点，则实数的取值范围为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据余弦函数对称中心的性质代入检验判断A，利用余弦型函数的单调性判断B，根据平移变换及诱导公式判断C，利用换元法及余弦函数的性质判断D. 【详解】因为，所以函数的图象不关于点对称，故A错误； 当时，令，而在上单调递减， 所以函数在上单调递减，故B正确； 将函数的图象向右移个单位长度，得到，故C正确； ，当时，， 即在上恰有三个零点，所以， 解得，故D错误. 故选：BC 11. 已知函数及其导函数的定义域均为.且为非常数函数，，为奇函数，则下列结论中正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由奇函数的性质判断出的图象关于点对称可判断A，对求导得出的对称性判断B，由对称性得出周期性判断C，结合周期性求值判断D． 【详解】A：因为为奇函数，所以，即， 即，所以的图象关于点对称且定义域为R，所以，A正确； B：由，两边求导得，即， 又的图象关于点对称，得，所以，B正确； C：因为为奇函数，即为奇函数，则， 所以，则（为常数）， 当时，，即，故为偶函数， 所以的图象关于直线对称，则，又， 所以，所以的图象关于点成中心对称， 由得，所以，C错误； D：由得，， 所以，又， 所以，D正确． 故选：ABD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知集合，，若，则实数的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据两个集合元素之间的关系，分类讨论解方程即可． 【详解】因为，，所以， 当时，集合不满足集合元素特征互异性，不符合题意； 当，即时，由上分析可知不符合题意，时，集合符合题意； 故答案为：. 13. 在三棱锥中，，若三棱锥外接球的表面积为，则该三棱锥的体积为______. 【答案】或1 【解析】 【分析】根据球的性质确定球心位置，根据球的表面积求出半径，利用勾股定理求出三棱锥的高，代入锥体体积公式求解即可. 【详解】因为，所以，所以， 即为直角三角形，其外接圆的圆心为斜边的中点， 因为，所以点在平面上的射影为的外心， 连接，根据球的性质可知三棱锥外接球的球心在上， 连接，设三棱锥外接球的半径为，则 因为球的表面积为，所以， 因为， 所以该三棱锥的高为或， 如图: 所以该三棱锥的体积为或. 故答案为：或1 14. 已知等差数列的公差与等比数列的公比相等，且，，，则______；若数列和的所有项合在一起，从小到大依次排列构成一个数列，数列的前项和为，则使得成立的的最小值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，则等差数列的公差为，根据题意可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，可得出数列的通项公式；设满足不等式的正整数的最小值为，推导出，设，其中且，根据可得出关于的不等式，求出的最小值，即可得出的值，即为所求. 【详解】设等比数列的公比为，则等差数列的公差为， 则，，， 解得，，， 所以，，， 由，整理可得， 数列的各项分别为：、、、、、、、、、， 其中前若干项中，数列有项，数列有项， 所以，是数列的第项， 所以， ， 所以，， 令，整理可得， 令，则有，解得， 因为，所以，，可得， 所以，满足不等式的正整数的最小值为， 同理可知，满足不等式的正整数的最大值为， 所以满足不等式的正整数的最小值，即， 设，其中且， 则 ， ， 由，整理可得，解得， 所以自然数的最小值为，所以. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用数列不等式求参数的值，解题的关键在于确定满足条件的正整数的最小值所在的区间，并引入合适的参数，求出相应的参数的值，进而得解, 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数（为常数），曲线在点处的切线平行于直线. （1）求的值； （2）求函数在上的单调区间和值域 【答案】（1）1 （2）单调增区间为和，单调减区间为，值域为. 【解析】 【分析】（1）求导得，由此结合题意即可求解； （2）求导得，根据导数与极值、单调性、最值的关系列表即可得解. 【小问1详解】 ， 在点处的切线平行于直线， ， ； 【小问2详解】 由（1）可得 令解得，或， 当变化时与的变化如下表： 1 3 4 + 0 - 0 + 0 由上表可得，函数在上的单调增区间为和， 单调减区间为值域为. 16. 在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩､防护服､消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量､该厂质检人员从某日生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：，得到如下频率分布直方图.规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于130的为一级口罩. （1）求该厂商生产口罩质量指标值的平均数和第60百分位数； （2）现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩，再从中抽取3个，记其中一级口罩个数为，求的分布列及方差. 【答案】（1）平均数为123，第60百分位数为125； （2） 的分布列如下： 0 1 2 ，方差为. 【解析】 【分析】（1）利用中间值作代表求出平均数；判断出第60百分位数落在内，设其为，列出方程，求出答案； （2）求出一级口罩与二级口罩的个数比，从而得到抽取8个口罩中，一级口罩有2个，二级口罩有6个，的可能取值为0,1,2，并得到相应的概率，得到分布列和方差. 【小问1详解】 该厂商生产口罩质量指标值的平均数为 ； ， 故第60百分位数落在内，设其为， 则， 解得，故第60百分位数为125； 【小问2详解】 一级口罩与二级口罩的个数比为， 现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩， 则一级口罩有个，二级口罩有个， 再从中抽取3个，记其中一级口罩个数为，的可能取值为0,1,2， ，，， 故的分布列如下： 0 1 2 数学期望为， 方差为 17. 如图1，在边长为2的菱形ABCD中，于点，将沿DE折起到的位置，使，如图2． （1）求多面体的体积； （2）求二面角的余弦值； （3）在线段BD上是否存在点，使平面平面？若存在，求出的值；若不存请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直判定证平面，再由线面垂直性质有，由线面垂直判定平面，最后应用三棱锥体积公式计算求解； （2）建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，再应用向量法求二面角余弦值； （3）令，,根据面面垂直及相关面的法向量列方程求参数，即可得答案. 【小问1详解】 因为，即, 又,平面， 所以平面，平面，所以. 又,平面，所以平面， 所以. 【小问2详解】 因为平面，，以为原点，为轴，建立空间直角坐标系， 则，所以, 设平面的法向量，由，得， 因为平面，所以平面的法向量，所以. 因为所求二面角为锐角，所以二面角的余弦值为. 【小问3详解】 假设存在线段上存在一点，使得平面平面, 设，，则. 所以，设平面的法向量， 由，令，得， 因为平面平面，所以，解得， 所以在线段上存在点，使得平面平面，且. 18. 已知斜率为1的直线与抛物线交于点A，B，以点为圆心的圆过点A，B，且圆M关于直线AB 对称. （1）求抛物线C与圆M的方程； （2）过y轴上的点P作斜率为1的直线l，交圆M于点Q，R，且与C交于不同的两点，求取值范围. 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）求直线的方程，联立直线与抛物线方程，利用根与系数的关系得的值，即得抛物线方程，利用弦长公式求直径，即可得到圆的方程. （2）设，根据直线与圆、抛物线的位置关系求的范围，利用切割线定理求的范围. 【小问1详解】 由以点为圆心的圆过点，且圆关于直线对称， 得线段为圆的直径，点为线段的中点，而直线过点且斜率为1， 则直线的方程为，即，设， 由得，则，， 由，得，因此抛物线的方程为； 此时，， 则圆的半径为，所以圆的方程为. 【小问2详解】 设，直线的方程为，即， 由直线与圆有两个交点，得点到直线的距离，解得， 由，得，而直线与抛物线有两个公共点， 则，解得，于是， 由，得点在圆外，过点作圆的切线，设切点为，连接， 则，由切割线定理得，， 而，则， 所以的取值范围是. 19. 定义：对于非零向量，若函数，则称为向量的“伴生函数”，向量为函数的“源向量”．记平面内所有向量的“伴生函数”构成的集合为． （1）已知，若函数，求函数的“源向量”的模的取值范围； （2）设中角所对的边为，向量的“伴生函数”为，且当时，取得最大值． ①若，设为的重心，求的最大值； ②设是外心，且，求实数的值． 【答案】（1）函数的“源向量”的模的取值范围为； （2）①的最大值为；②. 【解析】 【分析】（1）函数解析式可变形为，结合定义求出函数的“源向量”，再求其模，结合余弦函数性质求模的范围； （2）根据定义求函数解析式，结合正弦定理可得，由条件当时，取得最大值，结合正弦函数性质求， ①延长与边交于点，结合向量运算法则及数量积性质可得，结合关系，余弦定理，结合基本不等式求结论； ②设，，由条件结合向量运算可得，化简求结论. 【小问1详解】 可化为， 由定义可得函数的“源向量”， 所以， 因为，所以，所以 所以， 所以函数的“源向量”的模的取值范围为； 【小问2详解】 向量的“伴生函数”， 设的外接圆半径为， 则，，， 所以， 所以， 当时，取得最大值，且， 所以，故， ①延长与边交于点，因为为的重心， 所以为的中点，且，，， 所以， 所以， 又，，，， 所以， 由余弦定理可得，因为，， 所以，即 由基本不等式可得，所以， 当且仅当时等号成立， 故，当且仅当时等号成立， 所以， 所以， 当且仅当时等号成立， 所以的最大值为； ②因为设是外心，所以， ，， 设，，则，， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 又，因为， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $