期末复习01：长方体和正方体（知识梳理+15个易错点练习+拔尖训练）-六年级数学上学期易错题型举一反三培优（苏教版）

该小学数学讲义通过知识框架系统梳理长方体和正方体单元内容，从认识特征、表面积、体积到容积逐步展开，用对比表格呈现长方体与正方体的异同，思维导图归纳公式联系，明确棱长变化对表面积体积的影响等重难点，构建清晰知识脉络。 讲义亮点在于易错点专项突破设计，每个易错点配例题及变式训练，如立体图形切拼题培养空间观念，等积变形题提升运算能力，拔尖训练分层设置，助力不同学生巩固提升，支持学生自主复习，为教师精准教学提供有效工具。

期末复习01：长方体和正方体 期末复习易错题型举一反三培优练习 目录 知识梳理 2 知识点一、长方体和正方体的认识 2 知识点二、长方体和正方体的表面积 2 知识点三、长方体和正方体的体积 2 知识点四、容积和容积单位 3 知识点五、重要概念辨析 3 知识点六、解决问题的关键步骤 3 易错点练习 3 易错点一：长方体正方体的认识及特征 3 易错点二：长方体正方体有关棱长的应用 4 易错点三：长方体正方体的展开图 5 易错点四：长方体正方体表面积的计算及应用 5 易错点五：立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 6 易错点六：组合体的表面积（长方体、正方体的表面积） 7 易错点七：体积和体积单位的认识 8 易错点八：容积和容积单位的认识 9 易错点九：长方体和正方体的体积 9 易错点十：体积的等积变形（长方体、正方体） 10 易错点十一：立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 10 易错点十二：组合图形的体积（长方体、正方体的体积） 11 易错点十三：长方体、正方体的容积 12 易错点十四：不规则物体的体积算法（长方体、正方体） 13 易错点十五：体积与容积单位的认识及换算 13 拔尖训练 14 知识梳理 知识点一、长方体和正方体的认识 1.长方体的特征 有6个面（一般是长方形，特殊情况有两个相对的面是正方形） 相对的面完全相同 有12条棱，相对的棱长度相等（可分为长、宽、高三组，每组4条） 有8个顶点 2.正方体的特征 有6个面，都是完全相同的正方形 有12条棱，所有棱的长度都相等 有8个顶点 正方体是特殊的长方体（长、宽、高都相等的长方体） 3.棱长总和计算公式 长方体棱长总和 =（长+宽+高）×4 正方体棱长总和 = 棱长×12 知识点二、长方体和正方体的表面积 1.表面积的定义：长方体或正方体6个面的总面积叫做它的表面积 2.计算公式 长方体表面积 =（长×宽+长×高+宽×高）×2 正方体表面积 = 棱长×棱长×6 特殊情况：无盖或无底的长方体表面积计算（如游泳池、鱼缸等），需减去相应面的面积 知识点三、长方体和正方体的体积 1.体积的定义：物体所占空间的大小叫做物体的体积 2.体积单位 常用单位：立方厘米（cm³）、立方分米（dm³）、立方米（m³） 单位换算：1立方米=1000立方分米，1立方分米=1000立方厘米 3.计算公式 长方体体积 = 长×宽×高（V=abh） 正方体体积 = 棱长×棱长×棱长（V=a³） 统一公式：长方体（或正方体）体积 = 底面积×高（V=Sh） 知识点四、容积和容积单位 1.容积的定义：容器所能容纳物体的体积叫做容器的容积 2.容积单位 常用单位：升（L）、毫升（mL） 单位换算：1升=1000毫升，1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米 3.容积计算方法：与体积计算方法相同，但要从容器里面量长、宽、高 知识点五、重要概念辨析 1.体积与表面积的区别：体积表示物体所占空间大小，单位是体积单位；表面积表示物体表面面积总和，单位是面积单位 2.长方体和正方体的关系：正方体是长、宽、高都相等的特殊长方体 3.棱长变化对表面积和体积的影响：棱长扩大n倍，表面积扩大n²倍，体积扩大n³倍 知识点六、解决问题的关键步骤 1.认真审题，明确是求表面积、体积还是容积 2.确定图形是长方体还是正方体，找出相应的已知条件 3.选择正确的计算公式进行计算 4.注意单位的统一和换算 5.结合实际情况判断是否需要计算所有面的面积（如无盖、无底等情况） 易错点练习 易错点一：长方体正方体的认识及特征 例题：用12个棱长是1厘米的小正方体摆成不同的长方体，有( )种不同的摆法。 【变式训练1】有12根长9分米的铁棒，8根长7分米的铁棒，4根长5分米的铁棒，用这些铁棒可以焊成( )种不同的长方体或正方体框架。（每条棱上只用一根铁棒） 【变式训练2】长方体有( )个顶点，( )条棱，包含( )组相对的棱，( )组相对的面，相对的面( )，相交于同一个顶点的三条棱的长度分别叫作长方体的( )、( )、( )。 【变式训练3】一个长方体，如果高增加3厘米，就变成一个正方体。这时表面积比原来增加了96平方厘米。原来长方体的高是( )厘米。 易错点二：长方体正方体有关棱长的应用 例题：一根铁丝，如果做成一个正方体框架模型，棱长是8分米；如果改做成一个长10分米、宽9分米的长方体框架模型，长方体的高是( )分米，表面积是( )平方分米。 【变式训练1】孔明灯在古代多用作军事用途，现代人放孔明灯多为祈福之用。用一根铁丝刚好围成一个长9分米、宽7分米、高8分米的长方体形状的孔明灯框架，铁丝的长度是( )分米。如果把它改围成一个正方体框架，铁丝没有剩余，那么这个正方体的棱长是( )分米。 【变式训练2】9月10日是教师节，小丽自己动手做了一份礼物送给老师，并放在一个长方体礼物盒（长30厘米，宽20厘米，高15厘米）中。为了加固、需要在所有棱上贴一圈透明胶带（接头忽略不计），至少需要准备( )厘米长的胶带，礼物盒所占空间为( )立方厘米。 【变式训练3】手工课上，淘气用若干个棱长1厘米的小正方体摆成了一个长方体（如图）。它是由( )个小正方体摆成的，它的棱长和是( )厘米。 易错点三：长方体正方体的展开图 例题：如图是一个长方体的展开图，其中与“努”相对的是（    ）。 A．习 B．学 C．坚 D．持 【变式训练1】一个底面是正方形的长方体容器，高是20厘米，侧面展开正好是一个正方形，这个容器的体积是( )毫升。 【变式训练2】一个长方体展开后如下图（单位：cm），这个长方体长( )cm，宽( )cm，高( )cm；前面的面积是( )cm2，右面的面积是( )cm2。 【变式训练3】如图，把一张边长40厘米的正方形铁皮沿虚线折叠，围成一个长方体油漆桶的侧面。给油漆桶配的下底面的面积是( )平方厘米；如果每升油漆重0.8千克，那么这个铁皮油漆桶最多能装( )千克油漆。 易错点四：长方体正方体表面积的计算及应用 例题：小欣从一个长方体纸盒上撕下两个相邻的面（展开后如右图，单位：厘米），这个纸盒的底面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 【变式训练1】学校要粉刷一间教室，地板不粉刷，教室的长是11米，宽是6米，高是3米，门窗的总面积是12平方米。如果每平方米需要4元的涂料费，粉刷这间教室需要多少元？ 【变式训练2】一个手提包装盒有两层包装，外层为缺少一个侧面的长方体，内层为一个无盖的长方体（如图）。如果把内层的长、宽、高与外层的长、宽、高看作相同的尺寸，那么这个包装盒所用硬纸板的面积是多少平方厘米？（粘接处忽略不计） 【变式训练3】计算下面长方体和正方体的表面积。      易错点五：立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 例题：观察如图中数字1、2、3所在的位置，挖掉（    ）处的小正方体后，剩下部分表面积最大。 A．数字1 B．数字2 C．数字3 【变式训练1】把2个棱长2分米的正方体拼成一个长方体（如下图），拼成的长方体的表面积是（    ）平方分米。 A．24 B．40 C．48 【变式训练2】一个正方体木块，沿着同一方向把它切成4个完全相同的小长方体后，这时表面积比原来增加了96平方厘米。原正方体木块的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 【变式训练3】如图，分别从大正方体木块上挖去一个棱长为1厘米的小正方体，则剩下的部分的表面积按从大到小的顺序排列是（    ）。 A．①②③ B．③①② C．①③② D．③②① 易错点六：组合体的表面积（长方体、正方体的表面积） 例题：下图是用棱长1厘米的小正方体拼成的，这个物体表面积是( )平方厘米。 【变式训练1】用棱长2厘米的小正方体摆成下边的物体。这个物体的表面积是( )平方厘米，至少添加( )个这样的小正方体，才能补成一个大正方体。 【变式训练2】如图，一个长方体木块割去了一个正方体，请计算剩余部分的体积和表面积分别是多少呢？（单位：厘米） （1）剩余的体积。 （2）剩余部分的表面积。 【变式训练3】如图是用棱长1厘米的正方体木块摆成的几何体，它的体积是( )立方厘米，表面积是( )平方厘米。 易错点七：体积和体积单位的认识 例题：下面物品中，（    ）的体积比1立方分米大，同时比1立方米小。 A．草莓 B．乒乓球 C．纸巾盒 D．公共汽车 【变式训练1】下面物体的体积比1立方分米小的画“△”，比1立方分米大的画“○”。 ( )    ( )    ( )    ( ) 【变式训练2】棱长为1厘米的正方体，体积是( )，记作( )。棱长为( )的正方体，体积是1立方分米，记作( )。 【变式训练3】说一说1厘米、1平方厘米和1立方厘米有什么不同。 易错点八：容积和容积单位的认识 例题：一个水桶正好可以装50升水，这个水桶的（    ）是50升。 A．表面积 B．容积 C．体积 【变式训练1】在括号里填上合适的单位名称。 一瓶橙汁大约500( )        一个水桶的容积约是12( ) 一节集装箱体积大约是30( )    教室的占地面积约60( ) 【变式训练2】常用的体积单位有( )、( )和( )。计量容积，一般就用( )；计量液体体积，常用的容积单位有( )和( )。 【变式训练3】在下面的括号里填上合适的单位。 一桶纯净水大约有19( )    集装箱的体积大约是40( ) 易错点九：长方体和正方体的体积 例题：一个无盖的长方体铁皮水箱，长0.8米，宽0.6米，高0.5米，做这个水箱至少需要铁皮多少平方米？如果每升水重1千克，这个容器最多能装水多少千克？ 【变式训练1】将一块长和宽都是20厘米的长方体铁块浸没在长60厘米、宽40厘米的长方体水池的水中时，水面比原来上升了2厘米（水池中的水没有溢出）。求长方体铁块的高。 【变式训练2】小冬有一根长方体木料，沿着长截去3分米后（如图），剩下的木料正好是一个正方体，表面积比原来减少了60平方分米。剩下的正方体木料的体积是多少？ 【变式训练3】一块正方体的石料，棱长为5分米，若将这块正方体石料粉碎并填入一个长、宽均为4分米、深7分米的长方体土坑中，则能否将这个土坑填满？ 易错点十：体积的等积变形（长方体、正方体） 例题：把一个棱长10厘米的正方体铁块放入一个长方体玻璃缸内，并往缸内注水把铁块全部浸没。量得玻璃缸长50厘米，宽40厘米，此时缸内水深20厘米。若把铁块从缸中取出，缸内水深多少厘米？ 【变式训练1】一个装满水的正方体水箱，从里面量棱长6分米，把它里面的水全部倒入一个从里面量长2米，宽和高都是4分米的水槽中，这时水面高多少厘米？ 【变式训练2】一个长方体容器，底面是一个边长为40厘米的正方形，容器里直立着一个高1米、底面边长10厘米的长方体铁块。这时容器里的水深为0.5米。现在把铁块轻轻地向上提，提起多少厘米时，露出水面的铁块上被水浸湿的部分长32厘米？ 【变式训练3】泥塑艺术是我国一种古老常见的民间艺术，它以黏土为原料，通过手工捏制成形。小希喜欢捏泥塑，她将一块棱长为4厘米的正方体黏土捏成了一个底面积为20平方厘米的长方体，捏成的长方体的高是多少厘米？ 易错点十一：立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 例题：如果把一个长15厘米、宽9厘米、高10厘米的长方体切成一个最大的正方体，正方体的体积是( )立方厘米，剩下部分的体积是( )立方厘米。 【变式训练1】把两个棱长都是3厘米的正方体拼成一个长方体，表面积减少了( )平方厘米，它的体积是( )立方厘米。 【变式训练2】把两个完全一样的长方体拼在一起，它们可以拼成一个棱长为10cm的大正方体，那么这个大正方体的体积为( )cm3，还是这两个长方体，拼在一起，要使拼成的立体图形表面积最小，那么这个立体图形的表面积为( )cm2。 【变式训练3】妙妙将棱长为1cm的小正方体木块摆成一个立体图形。如图所示，如果增加小正方体继续摆，妙妙想要摆成一个长方体，这个长方体的体积至少是( )cm3；如果妙妙想要摆成一个正方体，至少还需要添加( )个这样的小正方体。 易错点十二：组合图形的体积（长方体、正方体的体积） 例题：张华用若干个1cm3的小正方体木块摆了一个物体。下面是从不同方向看到的图形，这个物体的体积是（    ）cm3。 A．5 B．6 C．7 D．8 【变式训练1】用棱长为3厘米的正方体积木垒成一个立体图形，图中是分别从上面、前面和右面看到的图形，那么这个立体图形的体积是（    ）立方厘米。 A．216 B．243 C．270 D．297 【变式训练2】下图是用棱长2cm的小正方体拼成的，这个图形的体积是( )立方厘米，表面积是( )平方厘米。 【变式训练3】下图物体是由一个正方体和一个长方体组成的，计算它的表面积和体积。 易错点十三：长方体、正方体的容积 例题：把60升水倒入一个长5分米，宽4分米，高4分米的长方体空水箱中，水箱中的水深( )分米。 【变式训练1】学完长方体和正方体这一单元后，浩然准备做一个长4分米，宽3分米，高6分米长方体无盖玻璃鱼缸，至少需要玻璃( )平方分米。向鱼缸里注水，当鱼缸中的水所形成的长方体第一次出现一组相对的面是正方形时，容器里有( )升水。 【变式训练2】如图，小红在一个长方体玻璃容器中，摆了若干个大小完全相同的1立方厘米小正方体。这个玻璃容器的容积是( )立方厘米，还要( )个这样的小正方体才能刚好摆满这个玻璃容器。 【变式训练3】把一张长26厘米、宽16厘米的长方形彩纸，从四个角各剪去一个边长4厘米的正方形，再折成一个无盖的长方体纸盒。这个纸盒的容积是多少立方厘米？（先在图上画一画，再解答） 易错点十四：不规则物体的体积算法（长方体、正方体） 例题：在一个底面是边长为10厘米的正方形、高为15厘米的长方体容器中倒入一定量的水，使水面距离容器口2厘米。现把一块石头放进容器中，会有部分水溢出，当把石头取出后，水面下降5厘米，求溢出的水的体积。 【变式训练1】在一个长4分米、宽3分米、高2分米的长方体容器里放一块石头，再加满水（石头完全没入水中），然后再将石头取出来，这时水面下降到1.5分米处。这块石头的体积是多少立方分米？ 【变式训练2】小东做测量石块体积”的实验：他先将一块棱长是4厘米的正方体铁块浸没在一个长方体水槽中，然后取出正方体铁块，水槽里的水面下降了2厘米。接着他把要测量的一个石块浸没在水槽中，这时水槽里的水面上升了1.5厘米。这个石块的体积是多少？ 【变式训练3】一个足够高的长方体容器中装有水，小明将一个棱长厘米的正方体铁块完全浸没在水中（水没有溢出），水面上升了厘米；再将一个长厘米、宽厘米、高厘米的长方体铁块也完全浸没在水中（水仍没有溢出），水面又会上升多少厘米？ 易错点十五：体积与容积单位的认识及换算 例题：3.59立方分米＝( )立方分米( )立方厘米 6小时45分＝( )小时    5立方分米＝( )升 【变式训练1】在括号里填上适当的数。 0.36立方分米＝( )立方厘米          980立方分米＝( )立方米 4.07立方米＝( )立方米( )立方分米            5.38立方分米＝( )升( )毫升 30立方米＝( )立方分米＝( )毫升         42升＝( )立方米＝( )立方厘米 【变式训练2】在括号里填“＞”“＜”或“＝”。 7080毫升( )70.8立方分米          3.4立方分米( )34立方厘米 9.2立方分米( )9200立方厘米        4.6立方分米( )4.06升 【变式训练3】一个成年人平均每分钟呼吸16次，每次吸入0.5立方分米的空气。一个成年人一昼夜（24小时）吸入多少立方分米的空气？合多少立方米？ 拔尖训练 1．一款热水器最多可以储水80L，说明这个热水器的（    ）是80L。 A．质量 B．表面积 C．体积 D．容积 2．把两块长6cm、宽4cm、厚3cm的长方体肥皂包装在一起，最少用（    ）cm2的包装纸。 A．108 B．168 C．180 D．216 3．6个棱长为1cm的正方体木块排成一行后，它的表面积是（    ）。 A．22cm2 B．24cm2 C．26cm2 D．28cm2 4．一个180L的长方体水箱，底面是一个边长6dm的正方形，水箱高（    ）。 A．4dm B．5dm C．6dm D．10dm 5．下面各图形中，（    ）不能折成正方体。 A． B． C． D． 6．把一根长2米的长方体木料，沿横截面平均锯成4段，表面积增加了300平方厘米，这根木料的体积是( )立方分米。 7．如图，一个长方体水槽被一块隔板分成了A、B两部分，A的底面积是25平方分米，B的底面积是10平方分米，水槽内部的高是6分米。A部分水槽中的水高度为2.5分米，B部分水槽中装满水，现将隔板抽出后，水槽的水高( )分米。 8．用一根铁丝正好可以围成一个长10厘米，宽9厘米，高8厘米的长方体框架，这根铁丝的长度是( )厘米；现在用卡纸把这个长方体的各个面都贴起来，一共需要( )平方厘米的卡纸。（连接处忽略不计） 9．把一个长10cm、宽8cm、高6cm的长方体，截成两个完全相同的小长方体，表面积最多增加( )，最少增加( )cm2。 10．在括号里填上合适的单位。 一瓶墨水大约75( )                     一块橡皮体积大约6( ) 一节集装箱所占空间大约40( )           一间教室大约占地60( ) 11．一种薯片的包装盒是一个底面周长20厘米的正方形，高25厘米的长方体，做这样一个包装盒至少需要( )平方厘米的纸板。 12．一个长方体的长、宽、高分别是10厘米、8厘米、6厘米，如果把长方体的宽增加3厘米，那么长方体的表面积增加( )平方厘米。 13．用木条制作一个如图的长方体灯笼框架，至少需要木条( )厘米。（接头处忽略不计） 14．计算长方体和正方体的体积。 15．一个长方体，将它的高减少5厘米就变成一个正方体，表面积就减少120平方厘米，原来长方体的体积是多少立方厘米？ 16．用丝带捆扎一个长3分米，宽1.5分米，高2分米的礼品盒（如下图），接头处长20厘米。捆扎这种礼品盒需要准备多少分米长的丝带？ 17．一间教室长12米，宽5米，高3.5米，现在要用涂料粉刷教室的四壁和顶棚，门窗和黑板的面积一共是20平方米。要粉刷的面积是多少平方米？ 18．一个长方体油箱，长6分米，宽4分米，高3.5分米。做这个油箱至少需要多少平方分米的铁皮？如果按每升汽油0.82千克计算，那么这个油箱最多可以装多少千克汽油？ 19．一段方钢长5米，横截面是边长4厘米的正方形。这段方钢的体积是多少立方厘米？如果每立方厘米钢重7.8克，这段方钢重多少千克？ 20．一个花坛，四周围墙用水泥浇筑而成，围墙的四周和上面贴着美观的瓷砖，中间填满泥土。从外侧量，花坛高0.6米，底面是边长1.2米的正方形，水泥墙的厚度是0.2米（瓷砖厚度不计） （1）花坛所占的空间有多大？ （2）花坛里大约有多少立方米泥土？ 试卷第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习01：长方体和正方体 期末复习易错题型举一反三培优练习 目录 知识梳理 2 知识点一、长方体和正方体的认识 2 知识点二、长方体和正方体的表面积 2 知识点三、长方体和正方体的体积 2 知识点四、容积和容积单位 3 知识点五、重要概念辨析 3 知识点六、解决问题的关键步骤 3 易错点练习 3 易错点一：长方体正方体的认识及特征 3 易错点二：长方体正方体有关棱长的应用 5 易错点三：长方体正方体的展开图 7 易错点四：长方体正方体表面积的计算及应用 9 易错点五：立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 12 易错点六：组合体的表面积（长方体、正方体的表面积） 14 易错点七：体积和体积单位的认识 17 易错点八：容积和容积单位的认识 18 易错点九：长方体和正方体的体积 20 易错点十：体积的等积变形（长方体、正方体） 22 易错点十一：立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 24 易错点十二：组合图形的体积（长方体、正方体的体积） 26 易错点十三：长方体、正方体的容积 29 易错点十四：不规则物体的体积算法（长方体、正方体） 32 易错点十五：体积与容积单位的认识及换算 33 拔尖训练 35 知识梳理 知识点一、长方体和正方体的认识 1.长方体的特征 有6个面（一般是长方形，特殊情况有两个相对的面是正方形） 相对的面完全相同 有12条棱，相对的棱长度相等（可分为长、宽、高三组，每组4条） 有8个顶点 2.正方体的特征 有6个面，都是完全相同的正方形 有12条棱，所有棱的长度都相等 有8个顶点 正方体是特殊的长方体（长、宽、高都相等的长方体） 3.棱长总和计算公式 长方体棱长总和 =（长+宽+高）×4 正方体棱长总和 = 棱长×12 知识点二、长方体和正方体的表面积 1.表面积的定义：长方体或正方体6个面的总面积叫做它的表面积 2.计算公式 长方体表面积 =（长×宽+长×高+宽×高）×2 正方体表面积 = 棱长×棱长×6 特殊情况：无盖或无底的长方体表面积计算（如游泳池、鱼缸等），需减去相应面的面积 知识点三、长方体和正方体的体积 1.体积的定义：物体所占空间的大小叫做物体的体积 2.体积单位 常用单位：立方厘米（cm³）、立方分米（dm³）、立方米（m³） 单位换算：1立方米=1000立方分米，1立方分米=1000立方厘米 3.计算公式 长方体体积 = 长×宽×高（V=abh） 正方体体积 = 棱长×棱长×棱长（V=a³） 统一公式：长方体（或正方体）体积 = 底面积×高（V=Sh） 知识点四、容积和容积单位 1.容积的定义：容器所能容纳物体的体积叫做容器的容积 2.容积单位 常用单位：升（L）、毫升（mL） 单位换算：1升=1000毫升，1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米 3.容积计算方法：与体积计算方法相同，但要从容器里面量长、宽、高 知识点五、重要概念辨析 1.体积与表面积的区别：体积表示物体所占空间大小，单位是体积单位；表面积表示物体表面面积总和，单位是面积单位 2.长方体和正方体的关系：正方体是长、宽、高都相等的特殊长方体 3.棱长变化对表面积和体积的影响：棱长扩大n倍，表面积扩大n²倍，体积扩大n³倍 知识点六、解决问题的关键步骤 1.认真审题，明确是求表面积、体积还是容积 2.确定图形是长方体还是正方体，找出相应的已知条件 3.选择正确的计算公式进行计算 4.注意单位的统一和换算 5.结合实际情况判断是否需要计算所有面的面积（如无盖、无底等情况） 易错点练习 易错点一：长方体正方体的认识及特征 例题：用12个棱长是1厘米的小正方体摆成不同的长方体，有( )种不同的摆法。 【答案】 4 【分析】根据12＝1×12＝2×6＝3×4＝2×2×3，由此即可摆出长方体的不同形状。 【详解】 长宽高分别为1厘米，1厘米，12厘米的长方体； 长宽高分别为1厘米，2厘米，6厘米的长方体； 长宽高分别为1厘米，3厘米，4厘米的长方体； 长宽高分别为2厘米，2厘米，3厘米的长方体； 用12个棱长是1厘米的小正方体摆成不同的长方体，有4种不同的摆法。 【变式训练1】有12根长9分米的铁棒，8根长7分米的铁棒，4根长5分米的铁棒，用这些铁棒可以焊成( )种不同的长方体或正方体框架。（每条棱上只用一根铁棒） 【答案】6 【分析】长方体有12条棱，相对的4条棱长度相等，按棱的长度可以分为三组，相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫作长方体的长、宽、高，长方体中最少有4条棱的长度相等，最多有8条棱的长度相等；正方体有12条棱，12条棱的长度都相等，据此解答。 【详解】第1种：用12根长9分米的铁棒焊成一个正方体框架； 第2种：用8根长9分米的铁棒、4根长7分米的铁棒焊成一个长方体框架； 第3种：用8根长9分米的铁棒、4根长5分米的铁棒焊成一个长方体框架； 第4种：用8根长7分米的铁棒、4根长9分米的铁棒焊成一个长方体框架； 第5种：用8根长7分米的铁棒、4根长5分米的铁棒焊成一个长方体框架； 第6种：用4根长9分米的铁棒、4根长7分米的铁棒、4根长5分米的铁棒焊成一个长方体框架。 综上所述，用这些铁棒可以焊成6种不同的长方体或正方体框架。 【变式训练2】长方体有( )个顶点，( )条棱，包含( )组相对的棱，( )组相对的面，相对的面( )，相交于同一个顶点的三条棱的长度分别叫作长方体的( )、( )、( )。 【答案】 8 12 3 3 完全相同 长 宽 高 【详解】长方体有8个顶点，12条棱，包含3组相对的棱，3组相对的面，相对的面完全相同，相交于同一个顶点的三条棱的长度分别叫作长方体的长、宽、高。 【变式训练3】一个长方体，如果高增加3厘米，就变成一个正方体。这时表面积比原来增加了96平方厘米。原来长方体的高是( )厘米。 【答案】5 【分析】根据题意，作图如下： 从“一个长方体，如果高增加3厘米，就变成一个正方体”可知：这个长方体的高＋3厘米＝长＝宽＝正方体的棱长。高增加3厘米，就从长方体变成正方体，上下面不变，前后左右4个面共增加了96平方厘米，用96÷4＝24平方厘米求出一个面增加的面积。再用一个面增加的面积÷3即可得正方体的棱长，用棱长减去3就得长方体的高。 【详解】96÷4÷3－3 ＝8－3 ＝5（厘米） 原来长方体的高是5厘米。 易错点二：长方体正方体有关棱长的应用 例题：一根铁丝，如果做成一个正方体框架模型，棱长是8分米；如果改做成一个长10分米、宽9分米的长方体框架模型，长方体的高是( )分米，表面积是( )平方分米。 【答案】 5 370 【分析】先根据“正方体的棱长之和＝棱长×12”求出这根铁丝的总长度，即长方体框架的棱长之和，再根据“长方体的高＝棱长之和÷4－长－宽”求出这个长方体的高，最后利用“长方体的表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2”求出这个长方体的表面积，据此解答。 【详解】8×12＝96（分米） 96÷4－10－9 ＝24－10－9 ＝14－9 ＝5（分米） （10×9＋10×5＋9×5）×2 ＝（90＋50＋45）×2 ＝185×2 ＝370（平方分米） 所以，长方体的高是5分米，表面积是370平方分米。 【变式训练1】孔明灯在古代多用作军事用途，现代人放孔明灯多为祈福之用。用一根铁丝刚好围成一个长9分米、宽7分米、高8分米的长方体形状的孔明灯框架，铁丝的长度是( )分米。如果把它改围成一个正方体框架，铁丝没有剩余，那么这个正方体的棱长是( )分米。 【答案】 96 8 【分析】铁丝的长度等于长方体的棱长总和。正方体框架使用相同的铁丝，因此正方体的棱长总和与长方体相同。正方体的棱长总和 ＝ 12 × 棱长，长方体的棱长总和 ＝ 4×（长＋宽＋高），据此计算出铁丝总长度，然后除以12即可求出计正方体的棱长。 【详解】4×（9＋7＋8） ＝4×24 ＝ 96（分米） 96 ÷ 12 ＝ 8（分米） 因此，铁丝的长度是96分米，正方体的棱长是8分米。 【变式训练2】9月10日是教师节，小丽自己动手做了一份礼物送给老师，并放在一个长方体礼物盒（长30厘米，宽20厘米，高15厘米）中。为了加固、需要在所有棱上贴一圈透明胶带（接头忽略不计），至少需要准备( )厘米长的胶带，礼物盒所占空间为( )立方厘米。 【答案】 260 9000 【分析】求胶带长度就是求长方体的棱长总和，因为长方体有12条棱，包括4条长、4条宽和4条高，所以棱长总和等于长宽高的和乘4。求礼物盒所占空间就是求长方体的体积，，据此解答。 【详解】胶带长度： （厘米） 礼物盒体积： （立方厘米） 所以至少需要准备260厘米长的胶带，礼物盒所占空间为9000立方厘米。 【变式训练3】手工课上，淘气用若干个棱长1厘米的小正方体摆成了一个长方体（如图）。它是由( )个小正方体摆成的，它的棱长和是( )厘米。 【答案】 30 40 【分析】从图中可知，这个长方体的长、宽、高分别有5个、2个、3个小正方体；根据长方体的体积＝长×宽×高，求出小正方体的总个数。 这个长方体的长是5厘米、宽是2厘米、高是3厘米，根据长方体的棱长和＝（长＋宽＋高）×4，求出它的棱长和。 【详解】5×2×3＝30（个） （5＋2＋3）×4 ＝10×4 ＝40（厘米） 它是由（30）个小正方体摆成的，它的棱长和是（40）厘米。 易错点三：长方体正方体的展开图 例题：如图是一个长方体的展开图，其中与“努”相对的是（    ）。 A．习 B．学 C．坚 D．持 【答案】B 【分析】图中的长方体展开图是“一四一”型，与“努”相对的面没有公共边，就是上下两侧的“一”相对，据此可得出答案。 【详解】图中的长方体展开图是“一四一”型，“努”所在的面位于“一”，与它相对的面也位于“一”，即“学”的一面。 故答案为：B 【变式训练1】一个底面是正方形的长方体容器，高是20厘米，侧面展开正好是一个正方形，这个容器的体积是( )毫升。 【答案】 500 【分析】由题意可知，这个长方体的底面是正方形，它的个侧面是完全相同的长方形，把它的侧面展开后，正好是一个正方形，说明这个长方体的底面周长和高都是厘米。首先根据正方形的周长边长，反求出底面边长，再根据长方体的体积 底面积高计算出体积。 【详解】（厘米） （立方厘米） 立方厘米毫升 所以这个容器的体积是毫升。 【变式训练2】一个长方体展开后如下图（单位：cm），这个长方体长( )cm，宽( )cm，高( )cm；前面的面积是( )cm2，右面的面积是( )cm2。 【答案】 12 4 8 96 32 【分析】由图可知，该长方体的高为8cm，宽为4cm，宽和长共16cm，所以长为16－4＝12cm； 该长方体前面长方形的长即长方体的长12cm，宽为长方体的高8cm，然后根据“长方形面积＝长×宽”即可计算出前面的面积； 该长方体右面长方形的长即长方体的高8cm，宽为长方体的宽4cm，然后根据“长方形面积＝长×宽”即可计算出右面的面积。 【详解】16－4＝12（cm） 12×8＝96（cm2） 4×8＝32（cm2） 所以，这个长方形长12cm，宽4cm，高8cm；前面的面积是96cm2，右面的面积是32cm2。 【变式训练3】如图，把一张边长40厘米的正方形铁皮沿虚线折叠，围成一个长方体油漆桶的侧面。给油漆桶配的下底面的面积是( )平方厘米；如果每升油漆重0.8千克，那么这个铁皮油漆桶最多能装( )千克油漆。 【答案】 100 3.2 【分析】先根据正方形铁皮折叠成的长方体侧面，可知长方体的底面为正方形，从而求出底面边长，进而算出底面积；再根据长方体体积＝长×宽×高，求出长方体的体积，将体积单位转换为升后，结合每升油漆重量算出能装油漆的重量。 【详解】（1）正方形铁皮边长40厘米，折叠后围成长方体侧面，所以长方体底面是正方形，底面边长为：。下底面的面积。 （2）长方体油漆桶的高等于正方形铁皮的边长，即40厘米。油漆桶体积。因为，，所以。已知每升油漆重0.8千克，所以能装油漆的重量为：。 所以给油漆桶配的下底面的面积是100平方厘米，如果每升油漆重0.8千克，那么这个铁皮油漆桶最多能装3.2千克油漆。 【点睛】解决此类由平面图形折叠成立体图形的问题，要明确立体图形各部分与平面图形的关系，利用平面图形的边长等条件求立体图形的相关量。在解决这类折叠问题时，要仔细观察图形，明确折叠后立体图形的长、宽、高与原平面图形的联系，熟练运用相关图形的周长、面积、体积公式。 易错点四：长方体正方体表面积的计算及应用 例题：小欣从一个长方体纸盒上撕下两个相邻的面（展开后如右图，单位：厘米），这个纸盒的底面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 【答案】 18 144 【分析】由于图是相邻的两个侧面，那么可知，6厘米和3厘米分别是底面长方形的长和宽，根据长方形的面积公式：长×宽，把数代入即可求解；再根据长方体的体积公式：底面积×高，把数代入即可。 【详解】6×3＝18（平方厘米） 18×8＝144（立方厘米） 这个纸盒的底面积是18平方厘米，体积是144立方厘米。 【变式训练1】学校要粉刷一间教室，地板不粉刷，教室的长是11米，宽是6米，高是3米，门窗的总面积是12平方米。如果每平方米需要4元的涂料费，粉刷这间教室需要多少元？ 【答案】624元 【分析】由题意可知：需要粉刷的面积为教室四面墙壁和天花板的面积，利用长方体的表面积减去地面的面积和门窗面积即可；需要粉刷的面积乘每平方米花的钱数，就是粉刷这个教室需要的钱数。长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方形的面积＝长×宽。 【详解】（11×6＋11×3＋6×3）×2－11×6－12 ＝（66＋33＋18）×2－66－12 ＝（99＋18）×2－（66＋12） ＝117×2－78 ＝234－78 ＝156（平方米） 156×4＝624（元） 答：粉刷这间教室需要624元。 【变式训练2】一个手提包装盒有两层包装，外层为缺少一个侧面的长方体，内层为一个无盖的长方体（如图）。如果把内层的长、宽、高与外层的长、宽、高看作相同的尺寸，那么这个包装盒所用硬纸板的面积是多少平方厘米？（粘接处忽略不计） 【答案】5424平方厘米 【分析】外层长方体的表面积有两个26×6和50×26的面，有一个50×6的面，加起来求得外层表面积。内层长方体的表面积有两个26×6和50×6的面，有一个50×26的面，加起来求得内层表面积。二者加起来即可求得这个包装盒所用硬纸板的面积是多少平方厘米。 【详解】（26×6＋50×26）×2＋50×6 ＝（156＋1300）×2＋300 ＝1456×2＋300 ＝2912＋300 ＝3212（平方厘米） （26×6＋50×6）×2＋50×26 ＝（156＋300）×2＋1300 ＝456×2＋1300 ＝912＋1300 ＝2212（平方厘米） 3212＋2212＝5424（平方厘米） 答：这个包装盒所用硬纸板的面积是5424平方厘米。 【变式训练3】计算下面长方体和正方体的表面积。      【答案】62平方分米；54平方分米 【分析】这个长方体的长为5分米，宽为2分米，高为3分米，根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2即可求解； 这个正方体的棱长为3分米，根据正方体的表面积＝（边长×边长）×6即可求解。 【详解】（5×2＋5×3＋2×3）×2 ＝（10＋15＋6）×2 ＝31×2 ＝62（平方分米） 即这个长方体的表面积为62平方分米； （3×3）×6 ＝9×6 ＝54（平方分米） 即这个正方体的表面积为54平方分米。 易错点五：立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 例题：观察如图中数字1、2、3所在的位置，挖掉（    ）处的小正方体后，剩下部分表面积最大。 A．数字1 B．数字2 C．数字3 【答案】B 【分析】根据长方体、正方体表面积的意义，如果挖掉数字1的小正方体，表面积比原来增加小正方体的2个面的面积；如果挖掉数字2的小正方体，表面积比原来增加小正方体的4个面的面积；如果挖掉数字3的小正方体，剩下图形的表面积不变。据此解答即可。 【详解】A．如果挖掉数字1的小正方体，表面积比原来增加小正方体的2个面的面积。 B．如果挖掉数字2的小正方体，表面积比原来增加小正方体的4个面的面积。 C．如果挖掉数字3的小正方体，会减少小正方体的3个面的面积，但同时会增加小正方体的3个面的面积，因此剩下图形的表面积与原图形表面积不变。 4＞2 所以挖掉数字2的小正方体后，剩下部分的表面积最大。 故答案为：B 【变式训练1】把2个棱长2分米的正方体拼成一个长方体（如下图），拼成的长方体的表面积是（    ）平方分米。 A．24 B．40 C．48 【答案】B 【分析】把2个棱长2分米的正方体拼成一个长方体，则这个长方体的宽和高均为2分米，长为2×2＝4分米，那么根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2即可求解。 【详解】2×2＝4（分米） （4×2＋4×2＋2×2）×2 ＝（8＋8＋4）×2 ＝20×2 ＝40（平方分米） 即拼成的长方体的表面积是40平方分米。 故答案为：B 【变式训练2】一个正方体木块，沿着同一方向把它切成4个完全相同的小长方体后，这时表面积比原来增加了96平方厘米。原正方体木块的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 【答案】 96 64 【分析】一个正方体切1次变为两个完全相同的小长方体，会增加两个正方形的面积。现在把正方体木块切成4个完全相同的小长方体，切了3次，会增加3×2＝6（个）正方形的面积，也就是增加了96平方厘米，可以计算出一个正方形的面积是96÷6＝16（平方厘米），根据“正方形面积＝边长×边长”可知，4×4＝16（平方厘米），则正方形边长是4厘米，即正方体棱长为4厘米，代入公式计算原正方体木块的表面积以及体积。 【详解】（4－1）×2 ＝3×2 ＝6（个） 96÷6＝16（平方厘米） 4×4＝16，则正方体棱长为4厘米。 4×4×6 ＝16×6 ＝96（平方厘米） 4×4×4 ＝16×4 ＝64（立方厘米） 则原正方体木块的表面积是96平方厘米，体积是64立方厘米。 【变式训练3】如图，分别从大正方体木块上挖去一个棱长为1厘米的小正方体，则剩下的部分的表面积按从大到小的顺序排列是（    ）。 A．①②③ B．③①② C．①③② D．③②① 【答案】D 【分析】图①正方体的表面积少了3个小正方形的面积，多了3个小正方形的面积。 图②正方体的表面积少了2个小正方形的面积，多了4个小正方形的面积。 图③正方体的表面积少了1个小正方形的面积，多了5个小正方形的面积。 每个小正方形的面积相等，由此可判断出三个图剩下部分的表面积大小，即可进行选择。 【详解】图①正方体的表面积少了3个小正方形的面积，多了3个小正方形的面积，表面积没变。 图②正方体的表面积少了2个小正方形的面积，多了4个小正方形的面积，表面积多了2个小正方形的面积。 图③正方体的表面积少了1个小正方形的面积，多了5个小正方形的面积，表面积多了4个小正方形的面积。 所以剩下的部分的表面积按从大到小的顺序排列是③＞②＞①。 故答案为：D 易错点六：组合体的表面积（长方体、正方体的表面积） 例题：下图是用棱长1厘米的小正方体拼成的，这个物体表面积是( )平方厘米。 【答案】40 【分析】观察图形，从前面、上面、右面能看到7个、7个、6个面，对应的后面、下面、左面也各有7个、7个、6个面，所以这个物体露出来的面一共有（7＋7＋6）×2个； 正方体的每个面是边长为1厘米的正方形，根据正方形的面积＝边长×边长，求出一个面的面积，再乘面的总个数，即可求出这个物体的表面积。 【详解】（7＋7＋6）×2 ＝20×2 ＝40（个） 1×1×40＝40（平方厘米） 这个物体表面积是40平方厘米。 【变式训练1】用棱长2厘米的小正方体摆成下边的物体。这个物体的表面积是( )平方厘米，至少添加( )个这样的小正方体，才能补成一个大正方体。 【答案】 144 17 【分析】本题是关于组合体的表面积计算以及补成大正方体所需小正方体个数的求解。对于表面积，需要通过观察组合体各个面的小正方形数量来计算；对于补成大正方体，要先确定大正方体的棱长，再计算所需小正方体总数与现有数量的差值；据此解答。 【详解】①组合体的表面积等于其各个面所包含的小正方形面积之和。由于组合体相对的面小正方形数量相同，所以可以先数出一个面的小正方形数量，再乘2得到相对面的总数，最后乘每个小正方形的面积。观察组合体，从前面、后面、左面、右面、上面、下面看，每个方向都能看到6个小正方形。每个小正方形的边长为2厘米，根据正方形面积公式计算每个小正方形的面积为，组合体一共有6个方向，每个方向有6个小正方形，所以小正方形的总数为。则组合体的表面积为。 ②首先，确定大正方体的棱长：观察组合体，要补成大正方体，其棱长应能容纳3个小正方体的棱长，即大正方体的棱长为3个小正方体的棱长。可得大正方体所需小正方体的总数为。接着数出现有小正方体的个数：第一层有6个，第二层有3个，第三层有1个，总共。所以至少需要添加的小正方体个数为。 所以，这个物体的表面积是144平方厘米，至少添加17个这样的小正方体，才能补成一个大正方体。 【点睛】计算组合体表面积时，利用相对面小正方形数量相同的特点简化计算；补大正方体时，先确定大正方体的棱长，再通过体积差求解添加个数。 【变式训练2】如图，一个长方体木块割去了一个正方体，请计算剩余部分的体积和表面积分别是多少呢？（单位：厘米） （1）剩余的体积。 （2）剩余部分的表面积。 【答案】（1）264立方厘米；（2）304平方厘米 【分析】（1）剩余部分的体积等于长是厘米，宽是6厘米，高是8厘米的长方体的体积减去棱长为6厘米的正方体的体积，再根据长方体的体积＝长×宽×高、正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，据此解答即可； （2）剩余部分的表面积等于长是厘米，宽是6厘米，高是厘米的长方体的表面积加上2个边长是6厘米的正方形的面积，加上2个长是6厘米，宽是4厘米的长方形的面积，据此解答即可。 【详解】（1） （立方厘米） 答：剩余的体积是264立方厘米。 （2）（厘米） （厘米）  （平方厘米） 答：剩余部分的表面积是304平方厘米。 【变式训练3】如图是用棱长1厘米的正方体木块摆成的几何体，它的体积是( )立方厘米，表面积是( )平方厘米。 【答案】 15 46 【分析】根据正方体的体积公式V＝a3，可知棱长1厘米的正方体的体积是1立方厘米；从图中数出正方体的个数，再乘用正方体的体积，即是这个几何体的体积。 已知正方体的棱长是1厘米，那么正方体一个面的面积是1平方厘米。求这个几何体的表面积，就是求露出正方体的面的面积之和，分别数出从上下面、前后面、左右面看到的小正方形的个数，再乘一个面的面积即可。 【详解】1×1×1×15＝15（立方厘米） （9＋7＋7）×2 ＝23×2 ＝46（个） 1×1×46＝46（平方厘米） 它的体积是15立方厘米，表面积是46平方厘米。 易错点七：体积和体积单位的认识 例题：下面物品中，（    ）的体积比1立方分米大，同时比1立方米小。 A．草莓 B．乒乓球 C．纸巾盒 D．公共汽车 【答案】C 【分析】1立方分米是棱长为1分米的正方体的体积，生活中，粉笔盒、魔方、小型闹钟的体积大约就是1立方分米；1立方米是棱长为1米的正方体的体积，生活中，洗衣机、电脑桌、小型冰柜的体积大约是1立方米。据此逐一分析。 【详解】A．草莓体积远小于粉笔盒体积，即远小于1立方分米，不符合要求； B．乒乓球体积也小于粉笔盒体积，即小于1立方分米，不符合要求； C．纸巾盒体积大于粉笔盒体积，且小于洗衣机体积，即在1立方分米到1立方米之间，符合要求； D．公共汽车体积远大于洗衣机的体积，即远超于1立方米，不符合要求。 故答案为：C 【变式训练1】下面物体的体积比1立方分米小的画“△”，比1立方分米大的画“○”。 ( )    ( )    ( )    ( ) 【答案】 △ ○ △ ○ 【分析】棱长1分米的正方体，体积是1立方分米，大约是2个拳头的大小，据此根据体积单位的认识，以及生活经验，确定各物体比1立方分米小还是比1立方分米大。 【详解】 【变式训练2】棱长为1厘米的正方体，体积是( )，记作( )。棱长为( )的正方体，体积是1立方分米，记作( )。 【答案】 1立方厘米 1cm3 1分米 【详解】根据体积单位的认识，棱长为1厘米的正方体，体积是1立方厘米，记作1cm3。棱长为1分米的正方体，体积是1立方分米，记作。 【变式训练3】说一说1厘米、1平方厘米和1立方厘米有什么不同。 【答案】见详解 【分析】1厘米是长度单位，用来度量物体的长短；1平方厘米是面积单位，用来度量平面的大小；1立方厘米是体积单位，用来度量空间的大小；据此解答即可。 【详解】1厘米表示长度；1平方厘米表示面积；1立方厘米表示体积（或容积）。（答案不唯一） 易错点八：容积和容积单位的认识 例题：一个水桶正好可以装50升水，这个水桶的（    ）是50升。 A．表面积 B．容积 C．体积 【答案】B 【分析】容器所能容纳物体的体积，通常叫作它们的容积。计量容积一般就用体积单位，如立方厘米、立方分米和立方米，但计量容器内所盛装的液体如水、油等的体积时，通常用升和毫升作单位。 【详解】“升”是常见的容积单位，一个水桶正好可以装50升水，指水桶能容纳50升水，即这个水桶的容积是50升。 故答案为：B 【变式训练1】在括号里填上合适的单位名称。 一瓶橙汁大约500( )        一个水桶的容积约是12( ) 一节集装箱体积大约是30( )    教室的占地面积约60( ) 【答案】 毫升/mL 升/L 立方米/m3 平方米/m2 【分析】常用的体积单位有立方厘米、立方分米、立方米等，立方厘米常用于计量较小的物体，如弹珠、橡皮擦等的体积；立方分米通常描述一些稍大一点的物体，如小盆栽、小水桶等的体积；立方米常用于计量较大的物体或空间，如房屋的空间大小、集装箱的体积等。 常用的容积单位有升和毫升等，升一般用于计量较大容器的容积，比如油桶、大水壶；毫升常用于计量较小容器的容积，或者少量液体的体积，如口服液、小瓶药水。 常用的面积单位有平方厘米、平方分米、平方米等，平方厘米、平方分米用来度量较小的面积，平方米用来度量较大的面积，如房间面积、操场面积等，据此解答即可。 【详解】一瓶橙汁的容量：1毫升大概是1立方厘米，和手指头尖的大小差不多，一瓶橙汁的量和500个手指头尖体积差不多，所以一瓶橙汁大约500毫升。 一个水桶的容积：1升大概是1立方分米，和一个粉笔盒的大小相当，水桶的容积和12个粉笔盒体积差不多，所以一个水桶的容积约是12升。 一节集装箱的体积：1立方米是棱长为1米的正方体的体积，集装箱的体积很大，和30个棱长1米的正方体体积差不多，所以一节集装箱体积大约是30立方米。 教室的占地面积：1平方米大概是一块边长1米的地砖的面积，教室的占地面积和60块这样的地砖面积差不多，所以教室的占地面积约60平方米。 【变式训练2】常用的体积单位有( )、( )和( )。计量容积，一般就用( )；计量液体体积，常用的容积单位有( )和( )。 【答案】 立方厘米 立方分米 立方米 体积单位 升 毫升 【分析】体积是物体所占空间的大小；一般用立方米、立方分米、立方厘米作单位； 容积是容器所能容纳物体的体积；计量容积一般用体积单位，计量液体的体积一般用升和毫升，据此解答。 【详解】常用的体积单位有立方厘米、立方分米、立方米。计量容积，一般就要体积单位；计量液体体积，常用的容积单位有升和毫升。 【变式训练3】在下面的括号里填上合适的单位。 一桶纯净水大约有19( )    集装箱的体积大约是40( ) 【答案】 升/L 立方米/m3 【分析】根据生活经验，对体积单位、容积单位的认识以及数据的大小可知，1个矿泉水瓶的容积大约是500毫升，电脑桌的体积大约是1立方米。计量一桶纯净水的容积应用升作单位；计量集装箱的体积应用立方米作单位。据此填空即可。 【详解】根据分析，可得： 一桶纯净水大约有19（ 升 ）    集装箱的体积大约是40（ 立方米 ） 易错点九：长方体和正方体的体积 例题：一个无盖的长方体铁皮水箱，长0.8米，宽0.6米，高0.5米，做这个水箱至少需要铁皮多少平方米？如果每升水重1千克，这个容器最多能装水多少千克？ 【答案】1.88平方米；240千克 【分析】做水箱需要的铁皮面积即无盖长方体的表面积。无盖长方体的表面积＝长×宽＋2×长×高＋2×宽×高。已知长0.8米，宽0.6米，高0.5米，把数据代入计算即可得出需要的铁皮面积。每升水重1千克，长方体体积＝长×宽×高，把长、宽、高代入公式计算后，把单位换算为升再乘1计算即可解答。 【详解】0.8×0.6＋2×0.8×0.5＋2×0.6×0.5 ＝0.48＋1.6×0.5＋1.2×0.5 ＝0.48＋0.8＋0.6 ＝1.28＋0.6 ＝1.88（平方米） 0.8×0.6×0.5＝0.24（立方米） 1立方米＝1000升 0.24×1000＝240（升） 240×1＝240（千克） 答：做这个水箱至少需要铁皮1.88平方米，最多能装水240千克。 【变式训练1】将一块长和宽都是20厘米的长方体铁块浸没在长60厘米、宽40厘米的长方体水池的水中时，水面比原来上升了2厘米（水池中的水没有溢出）。求长方体铁块的高。 【答案】12厘米 【分析】根据水中浸物（水未溢出），水面上升部分水的体积＝放入物体的体积；水面上升部分体积相当于长60厘米、宽40厘米、高2厘米的长方体体积，根据长方体体积＝长×宽×高，可算出上升水的体积；再根据高＝长方体体积÷长÷宽，即可求出长方体铁块的高。 【详解】60×40×2÷20÷20 ＝2400×2÷20÷20 ＝4800÷20÷20 ＝240÷20 ＝12（厘米） 答：长方体铁块的高为12厘米。 【变式训练2】小冬有一根长方体木料，沿着长截去3分米后（如图），剩下的木料正好是一个正方体，表面积比原来减少了60平方分米。剩下的正方体木料的体积是多少？ 【答案】125立方分米 【分析】根据题意可知，长方体木料的宽和高相等，减少面积是4个长为3分米，宽为长方体的宽的长方形的面积，据此就可以求出原来长方体的宽，就是剩下的正方体的棱长，根据正方体的体积棱长棱长棱长，代入数据计算即可解答。 【详解】 （分米） （立方分米） 答：剩下的正方体木料的体积是125立方分米。 【变式训练3】一块正方体的石料，棱长为5分米，若将这块正方体石料粉碎并填入一个长、宽均为4分米、深7分米的长方体土坑中，则能否将这个土坑填满？ 【答案】能将这个土坑填满 【分析】正方体石料粉碎前后体积不变。可先求出正方体体积，再求出长方体土坑的容积。然后两者比较，如果正方体体积小于长方体容积则不能填满，反之则能填满。据此解答。 【详解】5×5×5 ＝25×5 ＝125（立方分米） 4×4×7 ＝16×7 ＝112（立方分米） 125＞112 答：能将这个土坑填满。 易错点十：体积的等积变形（长方体、正方体） 例题：把一个棱长10厘米的正方体铁块放入一个长方体玻璃缸内，并往缸内注水把铁块全部浸没。量得玻璃缸长50厘米，宽40厘米，此时缸内水深20厘米。若把铁块从缸中取出，缸内水深多少厘米？ 【答案】19.5厘米 【分析】由题意可知，正方体铁块和水对应的总的水位高度是20厘米，铁块在玻璃缸内对应的水位高度＝铁块的体积÷玻璃缸的底面积，取出铁块后缸内水深＝正方体铁块和水对应的总的水位高度－铁块在玻璃缸内对应的水位高度，据此解答。 【详解】10×10×10÷（50×40） ＝10×10×10÷2000 ＝1000÷2000 ＝0.5（厘米） 20－0.5＝19.5（厘米） 答：缸内水深19.5厘米。 【变式训练1】一个装满水的正方体水箱，从里面量棱长6分米，把它里面的水全部倒入一个从里面量长2米，宽和高都是4分米的水槽中，这时水面高多少厘米？ 【答案】27厘米 【分析】先统一单位，把分米、米都化成厘米，水的体积不变，先根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，计算出正方体水箱中水的体积，再除以长方体水槽的底面积（长×宽）得到水的高度。 【详解】6分米＝60厘米 2米＝200厘米 4分米＝40厘米 60×60×60÷（200×40） ＝3600×60÷8000 ＝216000÷8000 ＝27（厘米） 答：这时水面高27厘米。 【变式训练2】一个长方体容器，底面是一个边长为40厘米的正方形，容器里直立着一个高1米、底面边长10厘米的长方体铁块。这时容器里的水深为0.5米。现在把铁块轻轻地向上提，提起多少厘米时，露出水面的铁块上被水浸湿的部分长32厘米？ 【答案】30厘米 【分析】露出水面的铁块上被水浸湿的部分长32厘米，说明这部分铁块原来在水中，现在露出水面；可以求出这部分铁块的体积，再根据这部分铁块的体积，求出水面下降了几厘米，进而求出铁块被提起了多少厘米，据此解答。 【详解】10×10×32 ＝100×32 ＝3200（立方厘米） 3200÷（40×40） ＝3200÷1600 ＝2（厘米） 32－2＝30（厘米） 答：提起30厘米时，露出水面的铁块上被水浸湿的部分长32厘米。 【点睛】解答本题的关键是求出水面下降多少厘米。 【变式训练3】泥塑艺术是我国一种古老常见的民间艺术，它以黏土为原料，通过手工捏制成形。小希喜欢捏泥塑，她将一块棱长为4厘米的正方体黏土捏成了一个底面积为20平方厘米的长方体，捏成的长方体的高是多少厘米？ 【答案】3.2厘米 【分析】先算正方体体积，它棱长为4厘米，按正方体的体积公式：，得出体积为4×4×4立方厘米；黏土捏成长方体后体积不变，即正方体的体积就是长方体的体积，已知长方体的底面积为20平方厘米，根据，用长方体的体积除以长方体的底面积，就能得到长方体的高。 【详解】 （厘米） 答：捏成的长方体的高是3.2厘米。 易错点十一：立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 例题：如果把一个长15厘米、宽9厘米、高10厘米的长方体切成一个最大的正方体，正方体的体积是( )立方厘米，剩下部分的体积是( )立方厘米。 【答案】 729 621 【分析】把长方体要切出一个最大的正方体，正方体的边长必须等于长方体最短的边长。长方体的长、宽、高分别是15厘米、9厘米、10厘米，其中宽9厘米是最小值，则正方体的边长为9厘米。正方体的体积＝边长×边长×边长，剩下部分的体积为长方体体积减去正方体体积。据此解答。 【详解】15×9×10 ＝135×10 ＝1350（立方厘米） 9×9×9 ＝81×9 ＝729（立方厘米） 剩下部分体积：1350−729＝621（立方厘米） 则正方体的体积是729立方厘米，剩下部分的体积是621立方厘米。 【变式训练1】把两个棱长都是3厘米的正方体拼成一个长方体，表面积减少了( )平方厘米，它的体积是( )立方厘米。 【答案】 18 54 【分析】把两个棱长都是3厘米的正方体拼成一个长方体，则表面积相对两个棱长都是3厘米的正方体的表面积减少2个正方形表面，体积为两个棱长都是3厘米的正方体的体积之和，根据正方体体积公式即可求解。 【详解】①（平方厘米） 即表面积减少了18平方厘米。 ② （立方厘米） 即它的体积是54立方厘米。 【变式训练2】把两个完全一样的长方体拼在一起，它们可以拼成一个棱长为10cm的大正方体，那么这个大正方体的体积为( )cm3，还是这两个长方体，拼在一起，要使拼成的立体图形表面积最小，那么这个立体图形的表面积为( )cm2。 【答案】 1000 600 【分析】分析题目，根据“两个完全一样的长方体拼在一起，可以拼成一个棱长为10cm的大正方体”可知：长方体的长、宽都是10cm，高是（10÷2）cm；根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出大正方体的体积； 两个长方体拼成一个正方体，会减少2个面，要使拼成的立体图形表面积最小，则减少的2个面要最大，即减少2个10×10的面，先根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2求出1个长方体的表面积，再乘2即可得到2个长方体的表面积之和，最后用2个长方体的表面积减去减少的2个面的面积即可。 【详解】10×10×10＝1000（cm3） 10÷2＝5（cm） （10×10＋10×5＋10×5）×2×2－10×10×2 ＝（100＋50＋50）×2×2－10×10×2 ＝200×2×2－10×10×2 ＝800－200 ＝600（cm2） 那么这个大正方体的体积为1000cm3，还是这两个长方体，拼在一起，要使拼成的立体图形表面积最小，那么这个立体图形的表面积为600cm2。 【变式训练3】妙妙将棱长为1cm的小正方体木块摆成一个立体图形。如图所示，如果增加小正方体继续摆，妙妙想要摆成一个长方体，这个长方体的体积至少是( )cm3；如果妙妙想要摆成一个正方体，至少还需要添加( )个这样的小正方体。 【答案】 12 19 【分析】分析题目，摆成的长方体的长至少是3，宽至少是2，高至少是2，据此结合长方体的体积＝长×宽×高求出摆成的长方体的体积；摆成的正方体的棱长至少是3，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长求出小正方体的总个数，再减去原有的小正方体的个数即可解答。 【详解】（3×1）×（2×1）×（2×1） ＝3×2×2 ＝6×2 ＝12（cm3） 3×3×3－8 ＝9×3－8 ＝27－8 ＝19（个） 如果增加小正方体继续摆，妙妙想要摆成一个长方体，这个长方体的体积至少是12cm3；如果妙妙想要摆成一个正方体，至少还需要添加19个这样的小正方体。 易错点十二：组合图形的体积（长方体、正方体的体积） 例题：张华用若干个1cm3的小正方体木块摆了一个物体。下面是从不同方向看到的图形，这个物体的体积是（    ）cm3。 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】根据从上面看到的图形可知，这个物体有两行，下层有4个小正方体木块；根据从前面、右面看到的图形可知，这个物体有两层，上层有1个小正方体木块，且在第一行居右；据此可知这个物体是由5个小正方体木块组成。用每个小正方体木块的体积乘5，即是这个物体的体积。 【详解】结合从前面、上面、右面看到的图形，可得出以下立体图形： 1×5＝5（cm3） 这个物体的体积是5cm3。 故答案为：A 【变式训练1】用棱长为3厘米的正方体积木垒成一个立体图形，图中是分别从上面、前面和右面看到的图形，那么这个立体图形的体积是（    ）立方厘米。 A．216 B．243 C．270 D．297 【答案】C 【分析】先根据“正方体的体积＝棱长×棱长×棱长”求出一个正方体积木的体积，再根据三视图确定这个立体图形的形状，并确定拼成这个立体图形所需要的正方体积木的数量，这个立体图形的体积＝一个正方体积木的体积×正方体积木的数量，据此解答。 【详解】3×3×3 ＝9×3 ＝27（立方厘米） 由三视图可知，这个立体图形为，一共有10个正方体积木。 27×10＝270（立方厘米） 所以，这个立体图形的体积是270立方厘米。 故答案为：C 【变式训练2】下图是用棱长2cm的小正方体拼成的，这个图形的体积是( )立方厘米，表面积是( )平方厘米。 【答案】 32 72 【分析】根据正方体的体积：棱长×棱长×棱长，求出一个正方体的体积，共4个小正方体，用一个正方体的体积乘4，即可求得这个图形的体积。整个图形，露在上面的面有3个面，前面的面有3个面，左面的面有3个面，后面的面有3个面，下面的面有3个面，右面的面有3个面，共有（3＋3＋3＋3＋3＋3）个面，用一个面的面积乘个数，即可求得整个图形的表面积。 【详解】2×2×2×4 ＝8×4 ＝32（立方厘米） 2×2×（3＋3＋3＋3＋3＋3） ＝2×2×18 ＝4×18 ＝72（平方厘米） 所以这个图形的体积是32立方厘米，表面积是72平方厘米。 【变式训练3】下图物体是由一个正方体和一个长方体组成的，计算它的表面积和体积。 【答案】1620；3528 【分析】（1）观察图可知，正方体的棱长与长方体的宽相等，即12cm。长方体与正方体连接处有2个边长为12cm的正方形被遮挡了，所以这个组合图形的表面积相当于一个长方体的表面积加上4个边长为12cm的正方形的面积。根据长方体的表面积公式：，正方形的面积公式：，代入数据计算再相加即可。 （2）这个组合图形的体积＝长方体的体积＋正方体的体积。，，代入数据计算即可。 【详解】 （） （） 易错点十三：长方体、正方体的容积 例题：把60升水倒入一个长5分米，宽4分米，高4分米的长方体空水箱中，水箱中的水深( )分米。 【答案】3 【分析】根据题意，先将水的体积单位转换为立方分米（因为1升＝1立方分米，所以60升＝60立方分米），然后根据长方体体积公式“体积＝长×宽×高”，推导出“高＝体积÷（长×宽）”，这里的高就是水深，代入数据计算。据此解答。 【详解】60÷（5×4） ＝60÷20 ＝3（分米） 水箱中的水深3分米。 【变式训练1】学完长方体和正方体这一单元后，浩然准备做一个长4分米，宽3分米，高6分米长方体无盖玻璃鱼缸，至少需要玻璃( )平方分米。向鱼缸里注水，当鱼缸中的水所形成的长方体第一次出现一组相对的面是正方形时，容器里有( )升水。 【答案】 96 36 【分析】第一个空要求计算无盖长方体鱼缸的玻璃面积，即计算五个面的面积之和（底面、前后面、左右面）。第二个空要求找出当水形成一组相对的面是正方形时的水量；由于鱼缸长4分米、宽3分米、高6分米，注水时水深变化，当水深等于宽3分米时，左右面成为正方形，这是第一次出现，此时水的体积为长方体体积长×宽×水的高，代入数据进行计算4×3×3＝36（立方分米），再应用1立方分米＝1升，换算为36升。据此解答。 【详解】4×3＋2×4×6＋2×3×6 ＝12＋48＋36 ＝60＋36 ＝96（平方分米） 4×3×3 ＝12×3 ＝36（立方分米） 36立方分米＝36升 则至少需要玻璃96平方分米，容器里有36升水。 【变式训练2】如图，小红在一个长方体玻璃容器中，摆了若干个大小完全相同的1立方厘米小正方体。这个玻璃容器的容积是( )立方厘米，还要( )个这样的小正方体才能刚好摆满这个玻璃容器。 【答案】 90 78 【分析】要确定长方体玻璃容器的容积，需先明确其长、宽、高（由小正方体的棱长推导，小正方体体积是1立方厘米，小正方体棱长为1厘米）。通过观察容器内小正方体的摆放，得出长方体的长、宽、高，再根据长方体容积公式容积＝长×宽×高计算容积；然后算出容器总共能摆的小正方体数量，减去已摆的数量，得到还需的小正方体数量。 【详解】确定长方体的长、宽、高。 观察可知，长方体的长有6个小正方体棱长，即长6厘米；宽有5个小正方体棱长，即宽5厘米；高有3个小正方体棱长，即高3厘米。 根据长方体容积公式，容积＝6×5×3＝90立方厘米。 容器总共能摆的小正方体数量为6×5×3＝90个，数一数得到图中已摆了12个，还需摆90－12＝78个。 小红在一个长方体玻璃容器中，摆了若干个大小完全相同的1立方厘米小正方体。这个玻璃容器的容积是90立方厘米，还要78个这样的小正方体才能刚好摆满这个玻璃容器。 【变式训练3】把一张长26厘米、宽16厘米的长方形彩纸，从四个角各剪去一个边长4厘米的正方形，再折成一个无盖的长方体纸盒。这个纸盒的容积是多少立方厘米？（先在图上画一画，再解答） 【答案】576立方厘米 【分析】由题可知，将一张长方形的纸从四个角各剪去一个边长4厘米的正方形，据此画图；剪去四个角后，折成无盖长方体的长为18厘米，宽为8厘米，高为4厘米，运用公式“长方体的容积＝长×宽×高”即可解答。 【详解】 （立方厘米） 答：这个纸盒的容积是576立方厘米。 易错点十四：不规则物体的体积算法（长方体、正方体） 例题：在一个底面是边长为10厘米的正方形、高为15厘米的长方体容器中倒入一定量的水，使水面距离容器口2厘米。现把一块石头放进容器中，会有部分水溢出，当把石头取出后，水面下降5厘米，求溢出的水的体积。 【答案】300立方厘米 【分析】容器是底面边长10厘米的正方形，高15厘米，初始水面距离容器口2厘米，说明空着部分是一个“小长方体”。根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，则空着部分体积为10×10×2＝200立方厘米。 放入石头后水溢出，取出石头水面下降5厘米，说明石头体积等于“取出后水面下降部分的水的体积”。石头体积为10×10×5＝500立方厘米。石头体积一部分填满了容器原本空着的空间，剩下的部分就是溢出的水的体积。溢出的水的体积＝石头体积－空着部分体积，即500－200＝300立方厘米。 【详解】10×10×2＝200（立方厘米） 10×10×5＝500（立方厘米） 500－200＝300（立方厘米） 答：溢出的水的体积是300立方厘米。 【变式训练1】在一个长4分米、宽3分米、高2分米的长方体容器里放一块石头，再加满水（石头完全没入水中），然后再将石头取出来，这时水面下降到1.5分米处。这块石头的体积是多少立方分米？ 【答案】6立方分米 【分析】水面下降的体积就是这块石头的体积，根据长方体体积公式，长方体容器的长×宽×水面下降的高度＝这块石头的体积。 【详解】4×3×（2－1.5） ＝12×0.5 ＝6（立方分米） 答：这块石头的体积是6立方分米。 【变式训练2】小东做测量石块体积”的实验：他先将一块棱长是4厘米的正方体铁块浸没在一个长方体水槽中，然后取出正方体铁块，水槽里的水面下降了2厘米。接着他把要测量的一个石块浸没在水槽中，这时水槽里的水面上升了1.5厘米。这个石块的体积是多少？ 【答案】48立方厘米 【分析】由题意可知，下降的水的体积等于棱长是4厘米的正方体铁块的体积，用正方体铁块的体积除以水面下降的高度，求出水槽的底面积，石块的体积等于上升的水的体积，用水槽的底面积乘上升的高度即可求出石块的体积；根据长方体的体积＝底面积×高，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，据此代入相关数据解答。 【详解】（4×4×4÷2）×1.5 ＝（16×4÷2）×1.5 ＝（64÷2）×1.5 ＝32×1.5 ＝48（立方厘米） 答：这个石块的体积是48立方厘米。 【变式训练3】一个足够高的长方体容器中装有水，小明将一个棱长厘米的正方体铁块完全浸没在水中（水没有溢出），水面上升了厘米；再将一个长厘米、宽厘米、高厘米的长方体铁块也完全浸没在水中（水仍没有溢出），水面又会上升多少厘米？ 【答案】2.4厘米 【分析】根据正方体的体积棱长棱长棱长可知正方体铁块的体积，再利用长方体的体积公式底面积高可知长方体容器的底面积为(平方厘米)，再利用 长方体的体积长宽高可知长方体铁块的体积，最后利用长方体的体积底面积解答即可。 【详解】（平方厘米） （厘米） 答：水面又会上升厘米。 【点睛】本题考查了长方体的体积公式，正方体的体积公式，熟记长方体和正方体的体积公式是解题的关键。 易错点十五：体积与容积单位的认识及换算 例题：3.59立方分米＝( )立方分米( )立方厘米 6小时45分＝( )小时    5立方分米＝( )升 【答案】 3 590 6.75// 5 【分析】根据1立方分米＝1000立方厘米，1小时＝60分，1立方分米＝1升，单位大变小乘进率，单位小变大除以进率，进行换算即可。其中单名数换复名数，只换算小数部分即可；复名数换单名数，只换算单位不同的部分，再与单位相同的部分合起来即可。 【详解】0.59×1000＝590（立方厘米），3.59立方分米＝3立方分米590立方厘米 45÷60＝0.75（小时）、6＋0.75＝6.75（小时），6小时45分＝6.75小时 5立方分米＝5升 【变式训练1】在括号里填上适当的数。 0.36立方分米＝( )立方厘米          980立方分米＝( )立方米 4.07立方米＝( )立方米( )立方分米            5.38立方分米＝( )升( )毫升 30立方米＝( )立方分米＝( )毫升         42升＝( )立方米＝( )立方厘米 【答案】 360 0.98 4 70 5 380 30000 30000000 0.042 42000 【分析】根据1立方分米＝1000立方厘米，1立方米＝1000立方分米，1立方分米＝1升，1立方分米＝1000毫升，1立方米＝1000升，1升＝1000立方厘米，1立方米＝1000000立方厘米，高级单位转化为低级单位乘进率，低级单位转化为高级单位除以进率，单名数转化为复名数，单位相同的整数部分不变，把小数部分转化为低级单位即可。据此解答。 【详解】（立方厘米） 0.36立方分米＝360立方厘米 （立方米） 980立方分米＝0.98立方米 （立方分米） 4.07立方米＝4立方米70立方分米 （毫升） 5.38立方分米＝5升380毫升 （立方分米） （毫升） 30立方米＝30000立方分米＝30000000毫升 （立方米） （立方厘米） 42升＝0.042立方米＝42000立方厘米 【变式训练2】在括号里填“＞”“＜”或“＝”。 7080毫升( )70.8立方分米          3.4立方分米( )34立方厘米 9.2立方分米( )9200立方厘米        4.6立方分米( )4.06升 【答案】 ＜ ＞ ＝ ＞ 【分析】根据1立方分米＝1升＝1000毫升、1立方分米＝1000立方厘米，高级单位转化为低级单位乘进率，低级单位转化为高级单位除以进率。先统一单位，再比较数的大小。据此解答。 【详解】（毫升） ，所以7080毫升＜70.8立方分米； （立方厘米） ，所以3.4立方分米＞34立方厘米； （立方厘米） ，所以9.2立方分米＝9200立方厘米； 4.6立方分米＝4.6升 4.6＞4.06，所以4.6立方分米＞4.06升。 【变式训练3】一个成年人平均每分钟呼吸16次，每次吸入0.5立方分米的空气。一个成年人一昼夜（24小时）吸入多少立方分米的空气？合多少立方米？ 【答案】11520立方分米；11.52立方米 【分析】1小时＝60分钟，单位大变小乘进率，据此统一单位，每分钟呼吸次数×一昼夜分钟数＝一昼夜呼吸次数，一昼夜呼吸次数×每次吸入的空气体积＝一昼夜吸入的空气体积，根据1立方米＝1000立方分米，进行换算即可。 【详解】24×60＝1440（分钟） 16×1440×0.5＝11520（立方分米） 11520立方分米＝11.52立方米 答：一个成年人一昼夜（24小时）吸入11520立方分米的空气，合11.52立方米。 拔尖训练 1．一款热水器最多可以储水80L，说明这个热水器的（    ）是80L。 A．质量 B．表面积 C．体积 D．容积 【答案】D 【分析】质量是用来表示物体的轻重；物体表面面积的总和，叫做物体的表面积；体积是指物体所占空间的大小，而容积是指木箱、油桶等所能容纳物体的体积。 【详解】根据分析，一款热水器最多可以储水80L，说明这个热水器的容积是80L。 故答案为：D 2．把两块长6cm、宽4cm、厚3cm的长方体肥皂包装在一起，最少用（    ）cm2的包装纸。 A．108 B．168 C．180 D．216 【答案】B 【分析】将两个长方体拼在一起，想用最少的包装纸，即表面积最小，要将最大的面叠在一起，就会形成一个长6cm、宽4cm、厚3×2＝6（cm）的长方体，运用长方体的表面积公式：长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，求出这个长方体的表面积即可。 【详解】3×2＝6（cm） （6×4＋6×6＋4×6）×2 ＝（24＋36＋24）×2 ＝（60＋24）×2 ＝84×2 ＝168（cm2） 即最少用168cm2的包装纸。 故答案为：B 【点睛】解题关键是要找出拼组后的长方体的长、宽、高各是多少，然后根据长方体表面积公式求解。 3．6个棱长为1cm的正方体木块排成一行后，它的表面积是（    ）。 A．22cm2 B．24cm2 C．26cm2 D．28cm2 【答案】C 【分析】6个棱长为1cm的正方体木块排成一行后，拼成一个大长方体，这个长方体的长为6cm，宽为1cm，高为1cm。根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算即可。 【详解】（6×1＋6×1＋1×1）×2 ＝（6＋6＋1）×2 ＝（12＋1）×2 ＝13×2 ＝26（cm2） 即它的表面积是26cm2。 故答案为：C 4．一个180L的长方体水箱，底面是一个边长6dm的正方形，水箱高（    ）。 A．4dm B．5dm C．6dm D．10dm 【答案】B 【分析】根据长方体的体积：V＝Sh，那么h＝V÷S。根据1L＝1dm3，将单位换算统一后再进行计算。 【详解】180L＝180dm3 180÷（6×6） ＝180÷36 ＝5（dm） 所以，水箱高5dm。 故答案为：B 5．下面各图形中，（    ）不能折成正方体。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】正方体的展开图有四类。如图所示，第一类（141型）：中间四连方，两侧各一个，共6种。第二类（132型）中间三连方，两侧各一、二个，共3种。第三类（222型）：中间二连方，两侧各两个，只有1种。第四类（33型）：两排各3个，也只有1种。据此逐个选项分析解答。 【详解】 A． 属于第一类展开图类型，能折成正方体； B． 属于第四类展开图类型，能折成正方体； C． 不属于任何一类展开图类型，不能折成正方体； D． 属于第二类展开图类型，能折成正方体。     故答案为：C 6．把一根长2米的长方体木料，沿横截面平均锯成4段，表面积增加了300平方厘米，这根木料的体积是( )立方分米。 【答案】10 【分析】把长方体木料沿横截面方向锯成4段，需要锯4－1＝3次，每锯1次会增加2个横截面，因此锯3次共增加2×3＝6个横截面。表面积总共增加了300平方厘米，且增加的是6个横截面的面积，因此单个横截面的面积为：300÷6＝50（平方厘米），木料长2米，1米＝100厘米，2米为2×100＝200厘米，根据V＝Sh，把数据代入计算即可得出木料的体积。 【详解】4－1＝3（次） 2×3＝6（个） 300÷6＝50（平方厘米） 2米＝200厘米 50×200＝10000（立方厘米） 10000立方厘米＝10立方分米 这根长方体木料的体积是10立方分米。 7．如图，一个长方体水槽被一块隔板分成了A、B两部分，A的底面积是25平方分米，B的底面积是10平方分米，水槽内部的高是6分米。A部分水槽中的水高度为2.5分米，B部分水槽中装满水，现将隔板抽出后，水槽的水高( )分米。 【答案】3.5// 【分析】根据长方体体积＝底面积×高，分别计算出A、B两个水槽中水的体积，相加，求出水的总体积，水的总体积÷A、B两个水槽底面积的和＝隔板抽出后水的高度。 【详解】（25×2.5＋10×6）÷（25＋10） ＝（62.5＋60）÷35 ＝122.5÷35 ＝3.5（分米） 水槽的水高3.5分米。 8．用一根铁丝正好可以围成一个长10厘米，宽9厘米，高8厘米的长方体框架，这根铁丝的长度是( )厘米；现在用卡纸把这个长方体的各个面都贴起来，一共需要( )平方厘米的卡纸。（连接处忽略不计） 【答案】 108 484 【分析】根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，这根铁丝的长度是多少厘米即为求长方体的棱长总和；现在用卡纸把这个长方体的各个面都贴起来，一共需要多少平方厘米的卡纸即为求长方体的表面积。 【详解】（10＋9＋8）×4 ＝27×4 ＝108（厘米） 所以这根铁丝的长度是108厘米。 （10×9＋10×8＋9×8）×2 ＝（90＋80＋72）×2 ＝242×2 ＝484（平方厘米） 所以一共需要484平方厘米的卡纸。 9．把一个长10cm、宽8cm、高6cm的长方体，截成两个完全相同的小长方体，表面积最多增加( )，最少增加( )cm2。 【答案】 160 96 【分析】算出长方体三个面的面积，长×宽为10×8＝80cm2，长×高为10×6＝60cm2，宽×高为8×6＝48cm2。截最大面（长×宽）时，表面积最多增加2×80＝160cm2；截最小面（宽×高）时，表面积最少增加2×48＝96cm2。 【详解】2×（10×8） ＝2×80 ＝160（cm2） 2×（8×6） ＝2×48 ＝96（cm2）   所以表面积最多增加160cm2，最少增加96cm2。 10．在括号里填上合适的单位。 一瓶墨水大约75( )                     一块橡皮体积大约6( ) 一节集装箱所占空间大约40( )           一间教室大约占地60( ) 【答案】 毫升/mL 立方厘米/cm3 立方米/m3 平方米/cm2 【分析】①墨水是液体，通常用容量单位“升”或是“毫升”表示。 ②橡皮是固体，其体积应使用体积单位“立方米”“立方分米”“立方厘米”表示。 ③装箱所占空间指体积，单位应用体积单位“立方米”“立方分米”“立方厘米”表示。 ④教室“占地”指占地面积，即面积，单位应用“平方米”“平方分米”“平方厘米”表示。 【详解】①一滴眼泪约为1毫升，即一瓶墨水大约75毫升。 ②一个骰子的体积约为1立方厘米，即一块橡皮体积大约6立方厘米。 ③一个沙发的体积约为1立方米，即一节集装箱所占空间大约40立方米。 ④一个单人的课桌桌面的面积约为1平方米，即一间教室大约占地60平方米。 11．一种薯片的包装盒是一个底面周长20厘米的正方形，高25厘米的长方体，做这样一个包装盒至少需要( )平方厘米的纸板。 【答案】550 【分析】包装盒是一个底面周长20厘米的正方形，高25厘米的长方体，即长方体的长和宽相等，根据正方形的周长＝边长×4，那么边长＝周长÷4，据此求出长方体的底面边长（即长方体的长和宽），长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，把数据代入计算即可。 【详解】20÷4＝5（厘米） （5×5＋5×25＋5×25）×2 ＝（25＋125＋125）×2 ＝（150＋125）×2 ＝275×2 ＝550（平方厘米） 做这样一个包装盒至少需要550平方厘米的纸板。 12．一个长方体的长、宽、高分别是10厘米、8厘米、6厘米，如果把长方体的宽增加3厘米，那么长方体的表面积增加( )平方厘米。 【答案】96 【分析】长方体的长、宽、高分别是10厘米、8厘米、6厘米，根据长方体表面积公式：表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，把数据代入计算即可得出长方体的表面积；当把长方体的宽增加3厘米，则新长方体的宽为8＋3＝11厘米，长和高不变，把数据代入公式计算得出宽增加后长方体的表面积，然后用增加后的表面积减之前长方体的表面积即可。 【详解】（10×8＋10×6＋8×6）×2 ＝（80＋60＋48）×2 ＝（140＋48）×2 ＝188×2 ＝376（平方厘米） 8＋3＝11（厘米） （10×11＋10×6＋11×6）×2 ＝（110＋60＋66）×2 ＝（170＋66）×2 ＝236×2 ＝472（平方厘米） 472－376＝96（平方厘米） 长方体的表面积增加96平方厘米。 13．用木条制作一个如图的长方体灯笼框架，至少需要木条( )厘米。（接头处忽略不计） 【答案】124 【分析】长方体有12条棱，分别为4条长、4条宽和4条高 。要求制作长方体灯笼框架所需木条的长度，就是求长方体的棱长总和，长方体棱长总和公式为：长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4。 【详解】长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4 ＝（15＋8＋8）×4 ＝31×4 ＝124（厘米） 用木条制作一个如图的长方体灯笼框架，至少需要木条124厘米。 14．计算长方体和正方体的体积。 【答案】120立方分米；343立方厘米 【分析】根据题目，计算长方体和正方体的体积，根据长方体体积公式：长方形体积＝长×宽×高，正方体体积公式：正方形体积＝棱长×棱长×棱长即可解答。 【详解】长方体体积＝长×宽×高 ＝8×3×5 ＝24×5 ＝120（立方分米） 正方体体积＝棱长×棱长×棱长 ＝7×7×7 ＝49×7 ＝343（立方厘米） 15．一个长方体，将它的高减少5厘米就变成一个正方体，表面积就减少120平方厘米，原来长方体的体积是多少立方厘米？ 【答案】396立方厘米 【分析】分析题目，把长方体的高减少5厘米就变成一个正方体，说明长方体的长和宽相等，且高比长多5厘米，表面积减少了4个完全相同的长方形，长方形的长等于长方体的长，宽等于5厘米，据此用减少的表面积除以4即可得到一个面的面积，再根据长方形的长＝面积÷宽求出长方体的长和宽，再用长方体的长加上5即可得到长方体的高，最后根据长方体的体积＝长×宽×高列式计算即可。 【详解】120÷4＝30（平方厘米） 30÷5＝6（厘米） 6×6×（6＋5） ＝36×11 ＝396（立方厘米） 答：原来长方体的体积是396立方厘米。 16．用丝带捆扎一个长3分米，宽1.5分米，高2分米的礼品盒（如下图），接头处长20厘米。捆扎这种礼品盒需要准备多少分米长的丝带？ 【答案】26分米 【分析】分析题目，先根据1分米＝10厘米，把20厘米换算成以分米为单位，再根据丝带的长度等于长方体的2条长、4条宽、6条高的长度之和再加上接头处的长度，据此列式计算即可。 【详解】20厘米＝2分米 2×3＋1.5×4＋2×6＋2 ＝6＋6＋12＋2 ＝26（分米） 答：捆扎这种礼品盒需要准备26分米长的丝带。 17．一间教室长12米，宽5米，高3.5米，现在要用涂料粉刷教室的四壁和顶棚，门窗和黑板的面积一共是20平方米。要粉刷的面积是多少平方米？ 【答案】159平方米 【分析】已知教室长12米，宽5米，高3.5米，现在要用涂料粉刷教室的四壁和顶棚，根据“无底长方体的表面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”可求出它的5个面的总面积；又已知门窗和黑板的面积一共是20平方米，然后用5个面的总面积减去门窗和黑板的面积即可求出需要粉刷的面积。 【详解】12×5＋12×3.5×2＋5×3.5×2－20 ＝60＋42×2＋17.5×2－20 ＝60＋84＋35－20 ＝144＋35－20 ＝179－20 ＝159（平方米） 答：要粉刷的面积是159平方米。 18．一个长方体油箱，长6分米，宽4分米，高3.5分米。做这个油箱至少需要多少平方分米的铁皮？如果按每升汽油0.82千克计算，那么这个油箱最多可以装多少千克汽油？ 【答案】118平方分米 68.88千克 【分析】根据，代入数据计算这个油箱至少需要的铁皮面积。，先计算出长方体油箱的体积，体积转化为升，再乘每升汽油的重量，就可以得到这个油箱最多可以装汽油的重量。据此解答。 【详解】（6×4＋6×3.5＋4×3.5）×2 ＝（24＋21＋14）×2 ＝59×2 ＝118（平方分米） 6×4×3.5 ＝24×3.5 ＝84（立方分米） 84立方分米=84升 84×0.82＝68.88（千克） 答：做这个油箱至少需要118平方分米的铁皮，这个油箱最多可以装68.88千克汽油。 19．一段方钢长5米，横截面是边长4厘米的正方形。这段方钢的体积是多少立方厘米？如果每立方厘米钢重7.8克，这段方钢重多少千克？ 【答案】 体积是8000立方厘米；重62.4千克 【分析】据题意得：方钢是一个底面边长4厘米正方形，长5米的长方体，体积＝长×宽×高，可计算出方钢的体积；再运用小数乘法计算可得出方钢的质量，注意单位化为一致，1米＝100厘米，1千克＝1000克。 【详解】5米＝500厘米 4×4×500 ＝16×500 ＝8000（立方厘米） 7.8×8000＝62400（克）＝62.4千克 答：这段方钢体积是8000立方厘米；重62.4千克。 20．一个花坛，四周围墙用水泥浇筑而成，围墙的四周和上面贴着美观的瓷砖，中间填满泥土。从外侧量，花坛高0.6米，底面是边长1.2米的正方形，水泥墙的厚度是0.2米（瓷砖厚度不计） （1）花坛所占的空间有多大？ （2）花坛里大约有多少立方米泥土？ 【答案】（1）0.864立方米 （2）0.384立方米 【分析】（1）要求花坛所占空间，即要求出花坛的体积，花坛的底面是边长1.2米的正方形，高0.6米，即长方体花坛的长、宽、高分别是1.2米、1.2米、0.6米，运用长方体体积＝长×宽×高，计算得出答案； （2）据题意得：花坛中填土的体积也是一个长方体的体积，填土的长＝花坛长−水泥墙的厚度×2，填土的宽＝花坛宽−水泥墙的厚度×2，高＝花坛的高0.6米。运用长方体体积公式计算可得出答案。 【详解】（1）花坛是一个长、宽、高分别为1.2米、1.2米、0.6米，则所占空间为： 1.2×1.2×0.6 ＝1.44×0.6 ＝0.864（立方米） 答：花坛所占的空间是0.864立方米。 （2）（1.2−0.2×2）×（1.2−0.2×2）×0.6 ＝（1.2−0.4）×（1.2−0.4）×0.6 ＝0.8×0.8×0.6 ＝0.384（立方米） 答：花坛里大约有0.384立方米的泥土。 试卷第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $