专题6.7 用相似三角形解决问题（高效培优讲义）数学苏科版九年级下册

本初中数学讲义聚焦用相似三角形解决实际问题，系统梳理平行投影（定义、物高与影长成正比）和中心投影（定义、点共线特征）的核心知识，通过影长、河宽、物高、光学成像等七类题型构建从概念到应用的学习支架。 资料以生活实例（如测量旗杆、河宽）引导学生用数学眼光抽象模型，通过即学即练与变式训练发展推理思维，方法总结强化数学语言表达。课中便于分层教学，课后助力学生自主回顾，有效弥补知识盲点。

专题6.7 用相似三角形解决问题 教学目标 1．理解平行投影和中心投影的定义，能区分平行光（如太阳光）与点光源（如路灯）对应的投影类型。 2．掌握两种投影的核心特征：平行投影中物高与影长成正比，中心投影中物高与影长不成正比及点共线结论。 3．能运用投影知识解决实际问题，如计算高大物体高度、确定点光源或影子的位置。 教学重难点 重点：两种投影的定义与特征区分；平行投影的比例应用；中心投影的点共线性质。 难点：准确区分平行投影与中心投影；运用中心投影的特征解决光源或影子定位问题。 知识点01 平行投影 1.在平行光照射下，物体所产生的影子称为平行投影.（物体与影子上的对应点的连线是平行的就说明是平行光线） 2.太阳光可以看成是平行光. 3.在平行光的照射下，相同的时刻，相近的位置的不同物体的物高与影长成比例. 如：. 利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等，利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长. 【即学即练】 1．如图是我国北方一天中四个不同时刻两座建筑物的影子，按时间先后顺序排列正确的是（　　）. A．③④①② B．②①④③ C．③①④② D．②④①③ 【答案】A 【详解】解：按时间先后顺序排列为③④①②． 故选：A． 2．如图，小明与同学合作利用太阳光线测量旗杆的高度，身高的小明（）落在地面上的影长． （1）请画出旗杆在同一时刻阳光照射下在地面上的影子． （2）若小明测得此刻旗杆落在地面上的影长，求旗杆的高度． 【答案】（1）见解析；（2）12m 【分析】 【详解】（1）如图； （2）由题意可知：△ABC∽△DGE ∴，即 解得， 所以旗杆的长为12． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，根据同一时刻同一地方光线是平行的得到相似三角形是解题关键． 知识点02 中心投影 1.在点光源的照射下，物体所产生的影子称为中心投影，这个“点”就是中心. 2路灯、台灯、手电筒的光线可以看成是一个点发出的，看以看作是点光源. 3.在点光源的照射下，不同物体的物高与影长不成比例，同一物体离点光源越近，影子越短；离点光源越远，影子越长. 4.等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体的影子短，离点光源远的物体的影子长. 5.等长的物体平行于地面放置时，一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短. 6.在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置. 7.光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影，光源或物体的方向改变，则该物体的影子的方向也发生变化，但光源、物体的影子始终分离在物体的两侧. 【即学即练】 1．下列投影现象属于中心投影的是（   ） A．陶渊明“采菊东篱下”时，菊花在日光下的影子 B．苏轼“把酒问青天”时，酒杯在月光下的影子 C．王维“大漠孤烟直”时，归雁在落日下的影子 D．匡衡“凿壁偷光”时，书卷在灯光下的影子 【答案】D 【详解】解：∵ 日光、月光、落日阳光均为平行光，其投影为平行投影； ∵ 灯光为点光源，其投影为中心投影； ∴ 选项D中灯光下的影子属于中心投影． 故选：D． 2．如图，在地面上竖直安装着，，三根立柱，在同一时刻同一光源下立柱，形成的影子分别为与． (1)在图中画出光源的位置（用点P表示）； (2)此光源下形成的投影是__________（填“中心投影”或“平行投影”）； (3)在图中画出立柱此时在该光源下所形成的影子（用线段表示）． 【答案】(1)见解析 (2)中心投影 (3)见解析 【分析】 【详解】（1）解：如图，点P为光源的位置，点P即为所求： （2）解：此光源下形成的投影是中心投影． 故答案为：中心投影； （3）解：如图所示，线段为立柱在此光源下所形成的影子，则为所求． 题型01 影长问题 【例1】在一次综合实践课上，小华测得旗杆的影子长为12米，同时测得旗杆顶端到其影子顶端的距离为13米，如果此时附近一座纪念塔的影子长为60米，那么这座纪念塔的高度为 米． 【答案】25 【分析】 【详解】由题意，旗杆顶端到其影子顶端的距离为13米，影子长为12米， ∴旗杆高度为（米）． 设纪念塔的高度为h米， 根据题意得，物体高度与影长成比例， ∴， 解得． 故答案为：25． 【例2】小玉和小武学习完“图形的相似”以后，根据所学知识利用阳光下的影子去测量学校附近一幢建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物的影长为米，的影长为米．若此时小武的影长为米，其中五点在同一条直线上，三点在同一条直线上，且．已知小武的身高为米，求旗杆的高． 【答案】米 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴即， ∴（米）， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴（米）， ∴（米）， 答：旗杆的高是米． 【变式1-1】如图，高为的院墙正东方有一棵樟树，且与院墙相距（院墙厚度不计），上午的阳光和煦灿烂，樟树的影子爬过院墙，伸出院墙外的影子长1m，此时人的影子长恰好是人身高的两倍．求这棵樟树的高． 【答案】这棵樟树的高为 【详解】解：根据题意，画出示意图如图所示． 由题意，得． ， ． ， ． 设， 则，解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 故这棵樟树的高为． 【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，掌握相关知识是解题的关键． 【变式1-2】题文（现实生活中，人们可以借助光源来测量物体的高度．已知一条小路上有榕树和灯柱．如图所示，在灯柱上有一盏路灯，榕树和灯柱的底端在同一水平线上，两棵榕树在路灯下都有影子． 根据上述内容，解答下列问题： (1)小问已知榕树在路灯下的影子为，请画出路灯的位置和榕树在路灯下的影子； (2)如图，若榕树的高度为3.6米，其离路灯的距离为6米，榕树的影长为4米，求路灯的高． 【答案】(1)见解析 (2)9米 【分析】 【详解】（1）解：图①中点P，即为所求； （2）∵， ∴， ∴，即， 解得：． 路灯的高为9米． 【变式1-3】某中学九年级数学学习小组通过学习知道太阳光是平行光，可以借助太阳光线构成两个相似三角形，来计算出一些没办法直接测量的物体的高度．学习小组利用可伸缩的标杆和卷尺展开了测量物体高度的学习． (1)如图，若垂直于地面的标杆米，它的影长米，同一时刻，旗杆的影长米，则旗杆的高度为______米； (2)如图，学习小组计划测量运动场围墙外的电线杆的高度，但受围墙的阻碍，没办法直接测量电线杆的影长．同学们进行了如下操作：①在某一时刻，垂直于地面的2米标杆的端点的影子恰好与电线杆的端点的影子重合于点，测得米；②把标杆缩短为1.2米，记作，过了一段时间，标杆的端点的影子恰好与电线杆的端点的影子重合于点，测得米．请求出电线杆的高度． 【答案】(1) (2)电线杆的高度为10米 【分析】 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴电线杆的高度为10米． 题型02 河宽问题 【例3】下表是某次实践活动报告的部分内容，请你借助小明的测量数据，计算河的宽度为（   ） 题目 测量小河的宽度 测量目标示意图 相关数据 ，，米，米，米 A．4米 B．米 C．米 D．20米 【答案】B 【分析】 【详解】解：设米， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． 即河的宽度为米． 故选：B． 【例4】如图，，测得，则河宽与有何数量关系？请说明理由． 【答案】 【分析】 【详解】解：，， ， ， ， ， 即． 【变式2-1】周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得与河岸垂直，并在B点竖起标杆，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆，使得点E与点C，A共线.已知：，，测得，，，测量示意图如图所示，请根据相关测量信息，则河宽为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∵，，， ∴ 解得：． 故选：C． 【变式2-2】如图，地质勘探人员为了估算某条河的宽度，在河对岸选定两个目标点A，B ，再在他们所在的这一侧选点C，D，E，使得点D在线段上，点E在线段上，且．测得，点C到的距离，请你计算出这条河的宽度． 【答案】这条河的宽度是12米 【分析】 【详解】解：延长交于点G． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴ ∴， ∴， ∴这条河的宽度是12米． 【变式2-3】白河，古称淯水、白水，是南阳母亲河，小宛想通过自己所学的数学知识计算河流的宽度．如图，河流两侧河岸平行，他在河的对岸选定一个目标作为点A，再在这一侧的河岸边选出点B和点C，分别在的延长线上取点D、E，连接DE，使得．经测量，米，米，且点E到河岸的距离为1200米．过点A作于点F（即为河流的宽度），请你根据提供的数据计算河流的宽度． 【答案】800米 【分析】 【详解】解：过点E作，垂足为H， ， ， ∴， ∴ ． ，， ． ， ， ，即 ∴． 答：河流的宽度为800米． 题型03 物高问题 【例5】国庆前夕，某校举行了升旗仪式．小明为测量操场上悬挂国旗的旗杆的高度，设计了如下的测量方案：如图所示，竖直标杆的高度，标杆与旗杆的水平距离，人的眼睛与地面的高度，人与标杆的水平距离，E，C，A三点共线，于点M，交于点N．求旗杆的高度． 【答案】旗杆AB的高度为 【详解】解：由题可得，四边形都是矩形，， ∴，，，，． ∴ ∵，，，， ∴，，． ∴． ∴． ∴． 答：旗杆的高度为． 【例6】如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一条直线上．已知纸板的两条边，，测得，，求树高．    【答案】 【详解】解：∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 答：树高的长为． 【变式3-1】医圣祠位于河南省南阳市城东温凉河畔，为纪念东汉医学家张仲景而建，为了纪念医圣张仲景，某中医药文化广场有一尊张仲景雕像．数学兴趣小组的同学为测量雕像的高度（顶端到水平地面的距离），在雕像旁的水平地面C处放置一面镜子，组员小明沿直线后退到点处，此时恰好在镜子里看到雕像的顶端．已知米，米，小明的眼睛距地面的高度米，则雕像的高度（    ）米 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 【详解】由题可得：，， ， ， 米，米，米， ， （米）； 故选． 【变式3-2】小明决定利用所学数学知识测量出学校旗杆的高度．如图，A，B，C在同一条直线上，A，E，D也在同一条直线上，，垂足为B，交于E，，垂足为C，． (1)求旗杆的高度； (2)小明在上取点F，连接，使得，且，求的长（结果精确到，参考数据：）． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， 答：旗杆的高度为； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得（已检验是原方程的解）或（舍去）， 答：的长约为． 【变式3-3】九年一班同学利用标杆测量校园中的实验楼的高度．小亮在B处竖立了一根标杆，小华走到处时，站立在处恰好看到标杆顶端和实验楼的顶端在一条直线上，此时测得小华的眼睛到地面的距离米，米，米，米，点在一条直线上，．根据以上测量数据，请你求出实验楼的高度． 【答案】20.8米 【详解】解：过C作于P，交于H， 则米，米，（米），（米）， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴米， ∴（米）， 答：实验楼的高度为20.8米． （1）若题目为平行投影：用“同一时刻物高与影长成正比”，列比例式求解未知高度。 （2）若题目中为中心投影：利用“光源、物体边缘、影子边缘共线”，画图找相似三角形，通过相似比计算高度，或确定光源/影子位置辅助求解。 题型04 镜子问题 【例7】如图，某数学兴趣小组为了测量一凉亭的高度，他们采取了如下办法：①在凉亭的右边点处放置了一平面镜，并测得米；②沿着直线后退到点处，眼睛恰好看到镜子里凉亭的顶端，并测得米，眼睛到地面的距离米（此时），那么凉亭的高为（    ） A．0.4米 B．62.5米 C．6.4米 D．0.16米 【答案】C 【详解】解：如图所示： 则， ， 由题意可知，米，米，米， ， 解得米， 故选：C． 【例8】樱花红陌上，杨柳绿池边．每年初春时节，郑州大学校区的樱花竞相开放，为美丽的郑大校园增添了别样的景致，钟灵毓秀的郑大人把樱花赋予美丽、热情、纯洁、高尚的精神品质．高新区某中学的数学兴趣小组利用周末时间对大路旁的一棵樱花树进行测量，他们采用以下方法：如图，把支架（）放在离树（）适当距离的水平地面上的点F处，再把镜子水平放在支架（）上的点E处，然后沿着直线后退至点D 处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A，再用皮尺分别测量，观测者目高（）的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知于点D，于点F，于点B，米，米，米，米，那么这棵樱花树的高度（的长）是多少米？ 【答案】米 【详解】解：过点E作水平线交于点G，交于点H，如图， ∵是水平线，， ∴米，米， 米， ∴（米）， 根据题意，得，， ∴， ∴，即，解得米， ∴（米）． 所以这棵樱花树的高度为米． 【变式4-1】如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，莹莹同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知莹莹的眼睛离地面高度为，同时量得莹莹与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示， 由图可知，，，， ， 根据镜面的反射性质， ∴， ∴， ， ， ， 小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为， ，，， ， ． 故答案为：． 【变式4-2】如图，为了测量一栋楼的高度，曲杰同学在他脚下放了一面镜子，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到楼的顶部．如图曲杰的身高为米，他估计自己眼睛距离地面的距离为米，同时测得米，米，则楼高． 【答案】楼高为22米 【分析】 【详解】解：根据题意得米， ∵，（反射角等于入射角）， ∴， ∴， ∴， ∴米． ∴这栋大楼高为22米． 【变式4-3】司马迁是我国西汉伟大的史学家，其雕像位于韩城市司马迁祠内．小明和小华想要测量司马迁雕像的高度，于是带着测量工具来到这座雕像前．如图，由于雕塑底座周围的阶梯无法直接测量距离，经工作人员介绍雕像底部到地面的高度为，于是他们设计了如下测量方案：小华在与底座底部B处同一水平面的地面点C处放置一块平面镜（平面镜厚度忽略不记），他从点C沿方向后退，当退行到D处时，恰好在镜子中看到司马迁雕像顶端A的像；此时小华原地不动，小明发现小华影子的顶点F恰好与司马迁雕像影子的顶点重合，此时测得为，小华的身高为（忽略头顶到眼睛的距离）．已知，，点B，C，D，F共线．请根据以上所测数据，计算司马迁雕像的高度．（结果保留整数） 【答案】司马迁雕像的高度约为 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为， ∴， 答：司马迁雕像的高度约为． 题型05 影子上墙问题 【例9】小明想测量电线杆的高度，他发现电线杆的影子正好落在坡面和地面上，已知和地面成角，，且此时测得高的标杆在地面的影长为，求的长度． 【答案】 【详解】解：作于点，于点． 则四边形是矩形， ， ，， ， ， ， ． 同一时刻的光线是平行的，水平线是平行的， 光线与水平线的夹角相等， 又标杆与影长构成的角为直角，与构成的角为直角， 与影长构成的三角形和标杆与影长构成的三角形相似， ， 解得， ． 答：的长为． 【例10】在公园有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一堵与地面互相垂直的墙，且圆柱与墙的距离皆为厘米．贾明同学观察到高度厘米的矮圆柱的影子落在地面上，其影长为厘米；而高圆柱的部分影子落在墙上（如图所示）． 已知落在地面上的影子皆与墙面互相垂直（将太阳光线视为平行光线），在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请回答下列问题： (1)如果贾明的身高为厘米，且此刻他的影子完全落在地面上，那么影长为多少厘米？ (2)如果同一时间量得高圆柱落在墙上的影长为厘米，那么高圆柱的高度为多少厘米？ (3)如果身高为厘米的贾明同学从与两根圆柱成同一直线上的某个点出发，沿着与圆柱的影子平行的方向，面向墙壁的方向行走．设贾明同学行走的长度为厘米，他落在墙上的影长为厘米，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围． 【答案】(1)贾明的影长为厘米 (2)高圆柱高度为厘米 (3) 【分析】 【详解】（1）解：设贾明的影长为厘米， 由题意得， 解得， 答：贾明的影长为厘米； （2）解：如图所示，为高圆柱，为高圆柱落在墙上的影子， 由题可知，， 延长交延长线于点， 则，即， ， 的影长为， ， ， ， 即高圆柱高度为厘米； （3）解：当 时（即人离墙距离大于厘米），影子未到达墙面，墙上影长 ； 当时，由题意得， 整理得； ． 【变式5-1】小明想知道学校旗杆的高，他在某一时刻测得直立的标杆高1米时影长米，此时他测旗杆影长时，因为旗杆靠近建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，他测得落在地面上的影长为米，又测得墙上影高为米，旗杆的高度为 米． 【答案】 【分析】 【详解】解：过点D作于点E，连接， 则， ∵他在某一时刻测得直立的标杆高1米时影长米， ∴，即， 解得：， ∴， 故答案为：． 【变式5-2】如图，小明想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长为米，在同一时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，经测得落在地面上的影长为米，落在墙上的影高为米，求旗杆的高度． 【答案】米 【详解】解：如图，过作于． ，， ， 四边形为矩形， ， ， 设 ， 则， 解得：． 故旗杆高（米）．   答：旗杆的高度为米． 【变式5-3】在一个阳光明媚的上午，数学兴趣小组的同学想测量如图所示的地面上一座古塔的高度，他们发现古塔的影子一部分落在地面上，一部分落在旁边的斜坡上，斜坡与地面的夹角，站在水平地面上身高米的丽丽测得她在地面上的影长为米，同一时刻同学们测得古塔落在地上的影长为1米，落在斜坡上的影长为4米，于是同学们很快利用数学知识算出了古塔的高度，请你帮他们完整的写出求古塔高度的计算过程． 【答案】米，过程见解析 【详解】解：如图，过点作，，垂足分别为、 在中， ， ， ，， 四边形是矩形 ， 同一时刻站在水平地面上身高米的丽丽在地面上的影长为米 答：古塔的高为米． 题型06 光学成像问题 【例11】在小孔成像问题中，根据如图所示，蜡烛长，若到的距离是，到的距离是，则像的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，作于，的延长线交于， ∵， ∴，， 根据题意，可得，， ∴，即 ∴． 故选：C． 【例12】《墨经》中有：“景到，在午有端，与景长，说在端．"这是在大约两千四百年前，墨子和他的学生做的世界上第1个小孔成像的实验．在图的实验中，板上的小孔蜡烛的中心、边长为的正方形幕布的中心在一条直线上，若物距为，像距为，蜡烛火焰的高度为，蜡烛火焰倒立的像超过了幕布的边长，若要使蜡烛火焰倒立的像全部在幕布上，则蜡烛需要至少（　　） A．水平向左平移 B．水平向左平移 C．水平向右平移 D．水平向右平移 【答案】B 【详解】解：依题意，过点作平行于地面，分别交，于点，当蜡烛火焰倒立的像全部在幕布上，如图所示： ∵，与所在直线垂直于地面 ∴ ∴ ∴， ∵边长为的正方形，像距为，蜡烛火焰的高度为， ∴（相似三角形的高的比等于相似比）， ∴， ∵物距为， ∴ ∴蜡烛需要至少水平向左平移， 故选：B． 【变式6-1】小智利用空的薯片筒、塑料膜等器材，自制了一个可以探究小孔成像特点的物理实验装置，如图，他在薯片筒的底部中央打上一个小圆孔，再用半透明的塑料膜蒙在空筒的口上作光屏，可知得到的像与蜡烛火焰位似，其位似中心为，其中薯片筒的长度为．蜡烛火焰高为，若像高为，则蜡烛到薯片筒打小孔的底部的距离为 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接，过点O作于点E，于点F， 由像与蜡烛火焰位似，其位似中心为， ∴， ∵相似比为：， ∴对应高的比为：， ∴， ∴蜡烛到薯片筒打小孔的底部的距离为， 故答案为：． 【变式6-2】两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像实验图，抽象为数学问题：如图2，是蜡烛火焰，是其通过小孔所成的像，与交于点，．若点到的距离为，点到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图所示： 由题意可知，，， ， ， ， ，则； ， ， ， ，则， ， ，解得， 即蜡烛火焰倒立的像的高度是， 故选：D． 【变式6-3】据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验．小孔成像示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点的对应点分别是）．若物体的高为，小孔到地面距离为，则实像的高度为 ． 【答案】 【分析】 【详解】解：由题意可得：， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴①②得， ∴，即， ∵，， ∴，解得：． 故答案为：． （1）画光路图找对应关系：标注物、像、镜面/透镜（光心、焦点），确定构成相似三角形的顶点，确保对应角相等（如光的反射/折射规律推导角相等）。 （2）用相似性质列比例：根据“相似三角形对应边成比例”，代入已知物高、物距、像距等数据，列方程求解未知量（如像高、物距）。 题型07 三角形内接矩形问题 【例13】如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为米，车头近似看成一个矩形，且满足，若盲区的长度是米，则车宽的长度为 米． 【答案】 【分析】 【详解】解：如图，过点作，垂足为，交于点， 则，设米， 由得，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 即， 解得，， ∴ 【例14】如图，已知△ABC中，BC＝10，BC边上的高AH＝8，四边形DEFG为内接矩形． （1）当矩形DEFG是正方形时，求正方形的边长． （2）设EF＝x，矩形DEFG的面积为S，求S关于x的函数关系式，当x为何值时S有最大值，并求出最大值． 【答案】（1）；（2），当x＝4时，S有最大值20 【分析】 【详解】（1）设HK＝y，则AK＝AH﹣KH＝AH﹣EF＝8﹣y， ∵四边形DEFG为矩形， ∴GF∥BC， ∴△AGF∽△ABC， ∴AK：AH＝GF：BC， ∵当矩形DEFG是正方形时，GF＝KH＝y， ∴(8﹣y)：8＝y：10， 解得：y＝； （2）设EF＝x，则KH＝x． ∴AK＝AH﹣EF＝8﹣x， 由（1）可知：， 解得：GF＝10﹣x， ∴s＝GF•EF＝（10﹣x）x＝﹣（x﹣4）2+20， ∴当x＝4时S有最大值，并求出最大值20． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，二次函数的最值，矩形的性质的应用，注意：矩形的对边相等且平行，相似三角形的对应高的比等于相似比，题目是一道中等题，难度适中． 【变式7-1】如图，有一块三角形余料，高，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在上，点和点分别在边，上，如果满足，那么的长为 ． 【答案】 【分析】 【详解】解：如图，设交于点K， ∵， ∴设，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴ ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 【变式7-2】已知：如图，在中，于，，，矩形内接于，且，求矩形的周长． 【答案】矩形的周长为． 【详解】设EF=x，则HE=2x， ∵矩形EFGH内接于△ABC且AD⊥BC， ∴EH∥BC，EF∥AD， ∴△AEH∽△ABC，△BFE∽△BDA， ∴，， 即，， ∴+=+==1， 解得x=， ∴矩形的周长为：2（x+2x）=6×=， 答：矩形的周长为. 【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键. 【变式7-3】近年来，全国各地积极践行绿色发展理念，把打造绿色宜居环境作为提升城市形象和居民幸福感的重要举措，科学规划、合理布局，不断优化人居环境如图，某市要从一块的城市绿地上划出一块矩形做花坛．已知，要求矩形花坛的长与宽的比为，且较长边在上，点G、F分别在上，所划出的矩形花坛的长和宽各是多少？ 【答案】矩形的长为，宽为 【详解】解：如图，过点作交于点，交于点． ， ，， ， ， ， 四边形是矩形， ， ，． ． ． 设，则，由矩形的长与宽的比为可知． ． 解得． ． 答：矩形的长为，宽为． 一、单选题 1．我国古代数学著作《九章算术》中的“井深”问题：“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”，它的题意是：如图尺，尺，问井深是（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， ∴尺， ∴（尺）， 故选：． 2．小亮在测量一根电线杆的高度时，制定了如下的测量方案：如图，先在地面的适当位置处平放一面镜子，然后沿着电线杆的底部与镜子所在的直线向后退，退到在镜子中刚好能看到电线杆的顶端为止．此时，测得小亮眼睛到地面的距离，小亮到处的距离，电线杆底部到的距离．电线杆的高度的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意得，， ， ， ∵，，， ， ． 故选：A． 3．如图是装满了液体的高脚杯示意图（左侧图）（数据如图），用去一部分液体后如右侧图所示，此时液面的宽度是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图：过O作，垂足为M，过O作，垂足为N， ∵， ∴ ∴， 即相似比为， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 4．如图，为测量学校旗杆高度，小明同学在地面水平放置一平面镜，他站在能刚好从镜子中看到旗杆的顶端的地方．已知小明的眼睛离地面高度为，量得小明与镜子的水平距离为，小明与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，由题意得，，，， 根据镜面反射可知：， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 故选：A． 5．如图，小位用两根长度不等的木条可测得花瓶内口径的宽度．如果，且量得，则的宽度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 【详解】解：连接， ， ∴， 即． ， ∽， ． 又， ， 即宽度为： 故选：． 6．大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成像的实验（如图甲），解释了小孔成像的原理，并在《墨经》中有这样的记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．物理课上，小轩记录了他和同桌所做的小孔成像实验数据（如图乙）：像距为，物距为，蜡烛烛焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵像距为，物距为，蜡烛烛焰倒立的像的高度是， 如图，由题意知：点到的距离为，点到的距离为，， ， ， ， ， ． 故选：C． 7．杠杆原理在机械设计中应用广泛，如图1是用杠杆提升重物的示意图，当施加动力时杠杆绕支点转动．如图2所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴，解得， 则的长度是． 故选：C ． 二、填空题 8．如图，小树在路灯的照射下形成投影，若树高，树影，树与路灯的水平距离，则路灯的高度为 m． 【答案】9 【分析】 【详解】解：根据题意得，， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴， 故答案为：9． 9．如图，是凸透镜的主光轴，点O是光心，点F是焦点．若蜡烛的像为，测量得到，蜡烛的高为8，则像的长为 ． 【答案】/4厘米 【详解】解：由题意可知，， ∴， ∴， 已知，， ∴， ∴， 故答案为： 10．在某一时刻，测得一根高为2.4米的竹竿影长为4米，同时同地测得一根旗杆的影长为20米，那么这根旗杆的高度是 米． 【答案】12 【详解】解：设旗杆的高度为米， 由题意得：， 化简得：， 解得：， 故旗杆的高度为12米． 故答案为：12． 11．《九章算术》勾股卷有一题目：今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门十五里有木，问出南门几何里而见木？大意是：如图，今有长方形城池，东西向城墙长7里，南北向城墙长9里，各方中央开有城门，出东门里有树，则出南门 里见到树． 【答案】// 【详解】解：如图所示： 由题意得：（里），（里），里， ∵， ∴， ∴， ∴， 即：， 解得：里； 即：出南门里见到树． 故答案为： 三、解答题 12．如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一直线上，求灯泡到地面的高度是多少？ 【答案】 【详解】解：由题意可得：， ∴， ∴ ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， ∵光在镜面反射中的入射角等于反射角， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 解得： 13．“准、绳、规、矩”是我国古代使用的测量工具，一个简单结构的“矩”指两条边成直角的曲尺（如图1），它的两条边分别是，把“矩”竖立放置可以测量物体的高度、如图2，从“矩”的一端处望向一根木杆（木杆的宽度忽略不计）的顶端处，使视线通过“矩”的另一端处（即在一条直线上），矩的一边的延长线与木杆垂直，垂足为，测得，，已知“矩”的边，，图中所有点均在同一平面内，求木杆的高度． 【答案】3.6m． 【分析】 【详解】解：由题易得：四边形是矩形， ∴，. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 答：木杆的高度为． 14．如图1，点光源O射出光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知，胶片与屏幕的距离为定值，设点光源到胶片的距离长为x（单位：），长为y（单位：），当时，． (1)求的长． (2)求y关于x的函数解析式，在图2中画出图象，并写出至少一条该函数性质． (3)若要求不小于，求的取值范围． 【答案】(1) (2)，图象及性质见解析 (3) 【分析】 【详解】（1）解∵， ∴， ∴， ∴， 解得． （2）由(1)得，， ∴， ∴或， 画出图象如下：    性质：当时，随的增大而减小； （3）由，， 则， 解得， ∴的取值范围为：． 15．如图，小红正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为，由物理知识可知，且图中点A、B、C、D在同一水平面上． (1)求的长； (2)求手电筒灯泡到地面的高度． 【答案】(1)3 (2) 【分析】 【详解】（1）解：由题意可得：， 则， 则， 即， 解得：． （2）解：， ， 光在镜面反射中的入射角等于反射角， ， 又， ， ， ， 解得：， 答：灯泡到地面的高度为． 16．项目化学习 项目主题：学科融合——用数学的眼光观察世界． 项目背景：学习完相似三角形的性质后，某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜的成像规律． 项目素材： 素材一：凸透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线不发生改变；平行于主光轴的光线经过折射后经过焦点． 素材二：如图①，科学小组的同学们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图②，主光轴l垂直于凸透镜，且经过凸透镜的光心O，将长度为8厘米的发光物箭头进行移动，使物距为32厘米，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，此时测得像距为厘米． 项目任务： (1)像的长度为__________厘米； (2)已知光线AP平行于主光轴l，且经过凸透镜折射后通过焦点F， ①求证：； ②求凸透镜焦距OF的长． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【分析】 【详解】（1）解：， ， ，， ， ， 解得． 故答案为：． （2）①证明：光线AP平行于主光轴l， ， ， ， ， ， ， ； ②解：，， 四边形为平行四边形， ， 四边形为矩形， ， 由①，知， ， ， ， ， ， 解得， 所以凸透镜焦距OF的长为厘米． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.7 用相似三角形解决问题 教学目标 1．理解平行投影和中心投影的定义，能区分平行光（如太阳光）与点光源（如路灯）对应的投影类型。 2．掌握两种投影的核心特征：平行投影中物高与影长成正比，中心投影中物高与影长不成正比及点共线结论。 3．能运用投影知识解决实际问题，如计算高大物体高度、确定点光源或影子的位置。 教学重难点 重点：两种投影的定义与特征区分；平行投影的比例应用；中心投影的点共线性质。 难点：准确区分平行投影与中心投影；运用中心投影的特征解决光源或影子定位问题。 知识点01 平行投影 1.在________光照射下，物体所产生的影子称为平行投影.（物体与影子上的对应点的连线是平行的就说明是平行光线） 2.太阳光可以看成是平行光. 3.在平行光的照射下，相同的时刻，相近的位置的不同物体的物高与________成比例. 如：. 利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等，利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长. 【即学即练】 1．如图是我国北方一天中四个不同时刻两座建筑物的影子，按时间先后顺序排列正确的是（　　）. A．③④①② B．②①④③ C．③①④② D．②④①③ 2．如图，小明与同学合作利用太阳光线测量旗杆的高度，身高的小明（）落在地面上的影长． （1）请画出旗杆在同一时刻阳光照射下在地面上的影子． （2）若小明测得此刻旗杆落在地面上的影长，求旗杆的高度． 知识点02 中心投影 1.在________的照射下，物体所产生的影子称为中心投影，这个“点”就是中心. 2路灯、台灯、手电筒的光线可以看成是一个点发出的，看以看作是点光源. 3.在点光源的照射下，不同物体的物高与影长不成比例，同一物体离点光源越近，影子越________；离点光源越远，影子越________. 4.等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体的影子________，离点光源远的物体的影子________. 5.等长的物体平行于地面放置时，一般情况下，离点光源越近，影子越________；离点光源越远，影子越________，但不会比物体本身的长度还短. 6.在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在________上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置. 7.光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影，光源或物体的方向改变，则该物体的影子的方向也发生变化，但光源、物体的影子始终分离在物体的两侧. 【即学即练】 1．下列投影现象属于中心投影的是（   ） A．陶渊明“采菊东篱下”时，菊花在日光下的影子 B．苏轼“把酒问青天”时，酒杯在月光下的影子 C．王维“大漠孤烟直”时，归雁在落日下的影子 D．匡衡“凿壁偷光”时，书卷在灯光下的影子 2．如图，在地面上竖直安装着，，三根立柱，在同一时刻同一光源下立柱，形成的影子分别为与． (1)在图中画出光源的位置（用点P表示）； (2)此光源下形成的投影是__________（填“中心投影”或“平行投影”）； (3)在图中画出立柱此时在该光源下所形成的影子（用线段表示）． 题型01 影长问题 【例1】在一次综合实践课上，小华测得旗杆的影子长为12米，同时测得旗杆顶端到其影子顶端的距离为13米，如果此时附近一座纪念塔的影子长为60米，那么这座纪念塔的高度为 米． 【例2】小玉和小武学习完“图形的相似”以后，根据所学知识利用阳光下的影子去测量学校附近一幢建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物的影长为米，的影长为米．若此时小武的影长为米，其中五点在同一条直线上，三点在同一条直线上，且．已知小武的身高为米，求旗杆的高． 【变式1-1】如图，高为的院墙正东方有一棵樟树，且与院墙相距（院墙厚度不计），上午的阳光和煦灿烂，樟树的影子爬过院墙，伸出院墙外的影子长1m，此时人的影子长恰好是人身高的两倍．求这棵樟树的高． 【变式1-2】题文（现实生活中，人们可以借助光源来测量物体的高度．已知一条小路上有榕树和灯柱．如图所示，在灯柱上有一盏路灯，榕树和灯柱的底端在同一水平线上，两棵榕树在路灯下都有影子． 根据上述内容，解答下列问题： (1)小问已知榕树在路灯下的影子为，请画出路灯的位置和榕树在路灯下的影子； (2)如图，若榕树的高度为3.6米，其离路灯的距离为6米，榕树的影长为4米，求路灯的高． 【变式1-3】某中学九年级数学学习小组通过学习知道太阳光是平行光，可以借助太阳光线构成两个相似三角形，来计算出一些没办法直接测量的物体的高度．学习小组利用可伸缩的标杆和卷尺展开了测量物体高度的学习． (1)如图，若垂直于地面的标杆米，它的影长米，同一时刻，旗杆的影长米，则旗杆的高度为______米； (2)如图，学习小组计划测量运动场围墙外的电线杆的高度，但受围墙的阻碍，没办法直接测量电线杆的影长．同学们进行了如下操作：①在某一时刻，垂直于地面的2米标杆的端点的影子恰好与电线杆的端点的影子重合于点，测得米；②把标杆缩短为1.2米，记作，过了一段时间，标杆的端点的影子恰好与电线杆的端点的影子重合于点，测得米．请求出电线杆的高度． 题型02 河宽问题 【例3】下表是某次实践活动报告的部分内容，请你借助小明的测量数据，计算河的宽度为（   ） 题目 测量小河的宽度 测量目标示意图 相关数据 ，，米，米，米 A．4米 B．米 C．米 D．20米 【例4】如图，，测得，则河宽与有何数量关系？请说明理由． 【变式2-1】周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得与河岸垂直，并在B点竖起标杆，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆，使得点E与点C，A共线.已知：，，测得，，，测量示意图如图所示，请根据相关测量信息，则河宽为（   ） A． B． C． D．无法确定 【变式2-2】如图，地质勘探人员为了估算某条河的宽度，在河对岸选定两个目标点A，B ，再在他们所在的这一侧选点C，D，E，使得点D在线段上，点E在线段上，且．测得，点C到的距离，请你计算出这条河的宽度． 【变式2-3】白河，古称淯水、白水，是南阳母亲河，小宛想通过自己所学的数学知识计算河流的宽度．如图，河流两侧河岸平行，他在河的对岸选定一个目标作为点A，再在这一侧的河岸边选出点B和点C，分别在的延长线上取点D、E，连接DE，使得．经测量，米，米，且点E到河岸的距离为1200米．过点A作于点F（即为河流的宽度），请你根据提供的数据计算河流的宽度． 题型03 物高问题 【例5】国庆前夕，某校举行了升旗仪式．小明为测量操场上悬挂国旗的旗杆的高度，设计了如下的测量方案：如图所示，竖直标杆的高度，标杆与旗杆的水平距离，人的眼睛与地面的高度，人与标杆的水平距离，E，C，A三点共线，于点M，交于点N．求旗杆的高度． 【例6】如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一条直线上．已知纸板的两条边，，测得，，求树高．    【变式3-1】医圣祠位于河南省南阳市城东温凉河畔，为纪念东汉医学家张仲景而建，为了纪念医圣张仲景，某中医药文化广场有一尊张仲景雕像．数学兴趣小组的同学为测量雕像的高度（顶端到水平地面的距离），在雕像旁的水平地面C处放置一面镜子，组员小明沿直线后退到点处，此时恰好在镜子里看到雕像的顶端．已知米，米，小明的眼睛距地面的高度米，则雕像的高度（    ）米 A． B． C． D． 【变式3-2】小明决定利用所学数学知识测量出学校旗杆的高度．如图，A，B，C在同一条直线上，A，E，D也在同一条直线上，，垂足为B，交于E，，垂足为C，． (1)求旗杆的高度； (2)小明在上取点F，连接，使得，且，求的长（结果精确到，参考数据：）． 【变式3-3】九年一班同学利用标杆测量校园中的实验楼的高度．小亮在B处竖立了一根标杆，小华走到处时，站立在处恰好看到标杆顶端和实验楼的顶端在一条直线上，此时测得小华的眼睛到地面的距离米，米，米，米，点在一条直线上，．根据以上测量数据，请你求出实验楼的高度． （1）若题目为平行投影：用“同一时刻物高与影长成正比”，列比例式求解未知高度。 （2）若题目中为中心投影：利用“光源、物体边缘、影子边缘共线”，画图找相似三角形，通过相似比计算高度，或确定光源/影子位置辅助求解。 题型04 镜子问题 【例7】如图，某数学兴趣小组为了测量一凉亭的高度，他们采取了如下办法：①在凉亭的右边点处放置了一平面镜，并测得米；②沿着直线后退到点处，眼睛恰好看到镜子里凉亭的顶端，并测得米，眼睛到地面的距离米（此时），那么凉亭的高为（    ） A．0.4米 B．62.5米 C．6.4米 D．0.16米 【例8】樱花红陌上，杨柳绿池边．每年初春时节，郑州大学校区的樱花竞相开放，为美丽的郑大校园增添了别样的景致，钟灵毓秀的郑大人把樱花赋予美丽、热情、纯洁、高尚的精神品质．高新区某中学的数学兴趣小组利用周末时间对大路旁的一棵樱花树进行测量，他们采用以下方法：如图，把支架（）放在离树（）适当距离的水平地面上的点F处，再把镜子水平放在支架（）上的点E处，然后沿着直线后退至点D 处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A，再用皮尺分别测量，观测者目高（）的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知于点D，于点F，于点B，米，米，米，米，那么这棵樱花树的高度（的长）是多少米？ 【变式4-1】如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，莹莹同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知莹莹的眼睛离地面高度为，同时量得莹莹与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为 ． 【变式4-2】如图，为了测量一栋楼的高度，曲杰同学在他脚下放了一面镜子，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到楼的顶部．如图曲杰的身高为米，他估计自己眼睛距离地面的距离为米，同时测得米，米，则楼高． 【变式4-3】司马迁是我国西汉伟大的史学家，其雕像位于韩城市司马迁祠内．小明和小华想要测量司马迁雕像的高度，于是带着测量工具来到这座雕像前．如图，由于雕塑底座周围的阶梯无法直接测量距离，经工作人员介绍雕像底部到地面的高度为，于是他们设计了如下测量方案：小华在与底座底部B处同一水平面的地面点C处放置一块平面镜（平面镜厚度忽略不记），他从点C沿方向后退，当退行到D处时，恰好在镜子中看到司马迁雕像顶端A的像；此时小华原地不动，小明发现小华影子的顶点F恰好与司马迁雕像影子的顶点重合，此时测得为，小华的身高为（忽略头顶到眼睛的距离）．已知，，点B，C，D，F共线．请根据以上所测数据，计算司马迁雕像的高度．（结果保留整数） 题型05 影子上墙问题 【例9】小明想测量电线杆的高度，他发现电线杆的影子正好落在坡面和地面上，已知和地面成角，，且此时测得高的标杆在地面的影长为，求的长度． 【例10】在公园有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一堵与地面互相垂直的墙，且圆柱与墙的距离皆为厘米．贾明同学观察到高度厘米的矮圆柱的影子落在地面上，其影长为厘米；而高圆柱的部分影子落在墙上（如图所示）． 已知落在地面上的影子皆与墙面互相垂直（将太阳光线视为平行光线），在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请回答下列问题： (1)如果贾明的身高为厘米，且此刻他的影子完全落在地面上，那么影长为多少厘米？ (2)如果同一时间量得高圆柱落在墙上的影长为厘米，那么高圆柱的高度为多少厘米？ (3)如果身高为厘米的贾明同学从与两根圆柱成同一直线上的某个点出发，沿着与圆柱的影子平行的方向，面向墙壁的方向行走．设贾明同学行走的长度为厘米，他落在墙上的影长为厘米，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围． 【变式5-1】小明想知道学校旗杆的高，他在某一时刻测得直立的标杆高1米时影长米，此时他测旗杆影长时，因为旗杆靠近建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，他测得落在地面上的影长为米，又测得墙上影高为米，旗杆的高度为 米． 【变式5-2】如图，小明想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长为米，在同一时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，经测得落在地面上的影长为米，落在墙上的影高为米，求旗杆的高度． 【变式5-3】在一个阳光明媚的上午，数学兴趣小组的同学想测量如图所示的地面上一座古塔的高度，他们发现古塔的影子一部分落在地面上，一部分落在旁边的斜坡上，斜坡与地面的夹角，站在水平地面上身高米的丽丽测得她在地面上的影长为米，同一时刻同学们测得古塔落在地上的影长为1米，落在斜坡上的影长为4米，于是同学们很快利用数学知识算出了古塔的高度，请你帮他们完整的写出求古塔高度的计算过程． 题型06 光学成像问题 【例11】在小孔成像问题中，根据如图所示，蜡烛长，若到的距离是，到的距离是，则像的长是（    ） A． B． C． D． 【例12】《墨经》中有：“景到，在午有端，与景长，说在端．"这是在大约两千四百年前，墨子和他的学生做的世界上第1个小孔成像的实验．在图的实验中，板上的小孔蜡烛的中心、边长为的正方形幕布的中心在一条直线上，若物距为，像距为，蜡烛火焰的高度为，蜡烛火焰倒立的像超过了幕布的边长，若要使蜡烛火焰倒立的像全部在幕布上，则蜡烛需要至少（　　） A．水平向左平移 B．水平向左平移 C．水平向右平移 D．水平向右平移 【变式6-1】小智利用空的薯片筒、塑料膜等器材，自制了一个可以探究小孔成像特点的物理实验装置，如图，他在薯片筒的底部中央打上一个小圆孔，再用半透明的塑料膜蒙在空筒的口上作光屏，可知得到的像与蜡烛火焰位似，其位似中心为，其中薯片筒的长度为．蜡烛火焰高为，若像高为，则蜡烛到薯片筒打小孔的底部的距离为 ． 【变式6-2】两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像实验图，抽象为数学问题：如图2，是蜡烛火焰，是其通过小孔所成的像，与交于点，．若点到的距离为，点到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验．小孔成像示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点的对应点分别是）．若物体的高为，小孔到地面距离为，则实像的高度为 ． （1）画光路图找对应关系：标注物、像、镜面/透镜（光心、焦点），确定构成相似三角形的顶点，确保对应角相等（如光的反射/折射规律推导角相等）。 （2）用相似性质列比例：根据“相似三角形对应边成比例”，代入已知物高、物距、像距等数据，列方程求解未知量（如像高、物距）。 题型07 三角形内接矩形问题 【例13】如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为米，车头近似看成一个矩形，且满足，若盲区的长度是米，则车宽的长度为 米． 【例14】如图，已知△ABC中，BC＝10，BC边上的高AH＝8，四边形DEFG为内接矩形． （1）当矩形DEFG是正方形时，求正方形的边长． （2）设EF＝x，矩形DEFG的面积为S，求S关于x的函数关系式，当x为何值时S有最大值，并求出最大值． 【变式7-1】如图，有一块三角形余料，高，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在上，点和点分别在边，上，如果满足，那么的长为 ． 【变式7-2】已知：如图，在中，于，，，矩形内接于，且，求矩形的周长． 【变式7-3】近年来，全国各地积极践行绿色发展理念，把打造绿色宜居环境作为提升城市形象和居民幸福感的重要举措，科学规划、合理布局，不断优化人居环境如图，某市要从一块的城市绿地上划出一块矩形做花坛．已知，要求矩形花坛的长与宽的比为，且较长边在上，点G、F分别在上，所划出的矩形花坛的长和宽各是多少？ 一、单选题 1．我国古代数学著作《九章算术》中的“井深”问题：“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”，它的题意是：如图尺，尺，问井深是（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 2．小亮在测量一根电线杆的高度时，制定了如下的测量方案：如图，先在地面的适当位置处平放一面镜子，然后沿着电线杆的底部与镜子所在的直线向后退，退到在镜子中刚好能看到电线杆的顶端为止．此时，测得小亮眼睛到地面的距离，小亮到处的距离，电线杆底部到的距离．电线杆的高度的值为（    ） A． B． C． D． 3．如图是装满了液体的高脚杯示意图（左侧图）（数据如图），用去一部分液体后如右侧图所示，此时液面的宽度是（　　） A． B． C． D． 4．如图，为测量学校旗杆高度，小明同学在地面水平放置一平面镜，他站在能刚好从镜子中看到旗杆的顶端的地方．已知小明的眼睛离地面高度为，量得小明与镜子的水平距离为，小明与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（   ） A． B． C． D． 5．如图，小位用两根长度不等的木条可测得花瓶内口径的宽度．如果，且量得，则的宽度为（    ） A． B． C． D． 6．大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成像的实验（如图甲），解释了小孔成像的原理，并在《墨经》中有这样的记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．物理课上，小轩记录了他和同桌所做的小孔成像实验数据（如图乙）：像距为，物距为，蜡烛烛焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（    ） A． B． C． D． 7．杠杆原理在机械设计中应用广泛，如图1是用杠杆提升重物的示意图，当施加动力时杠杆绕支点转动．如图2所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．如图，小树在路灯的照射下形成投影，若树高，树影，树与路灯的水平距离，则路灯的高度为 m． 9．如图，是凸透镜的主光轴，点O是光心，点F是焦点．若蜡烛的像为，测量得到，蜡烛的高为8，则像的长为 ． 10．在某一时刻，测得一根高为2.4米的竹竿影长为4米，同时同地测得一根旗杆的影长为20米，那么这根旗杆的高度是 米． 11．《九章算术》勾股卷有一题目：今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门十五里有木，问出南门几何里而见木？大意是：如图，今有长方形城池，东西向城墙长7里，南北向城墙长9里，各方中央开有城门，出东门里有树，则出南门 里见到树． 三、解答题 12．如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一直线上，求灯泡到地面的高度是多少？ 13．“准、绳、规、矩”是我国古代使用的测量工具，一个简单结构的“矩”指两条边成直角的曲尺（如图1），它的两条边分别是，把“矩”竖立放置可以测量物体的高度、如图2，从“矩”的一端处望向一根木杆（木杆的宽度忽略不计）的顶端处，使视线通过“矩”的另一端处（即在一条直线上），矩的一边的延长线与木杆垂直，垂足为，测得，，已知“矩”的边，，图中所有点均在同一平面内，求木杆的高度． 14．如图1，点光源O射出光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知，胶片与屏幕的距离为定值，设点光源到胶片的距离长为x（单位：），长为y（单位：），当时，． (1)求的长． (2)求y关于x的函数解析式，在图2中画出图象，并写出至少一条该函数性质． (3)若要求不小于，求的取值范围． 15．如图，小红正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为，由物理知识可知，且图中点A、B、C、D在同一水平面上． (1)求的长； (2)求手电筒灯泡到地面的高度． 16．项目化学习 项目主题：学科融合——用数学的眼光观察世界． 项目背景：学习完相似三角形的性质后，某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜的成像规律． 项目素材： 素材一：凸透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线不发生改变；平行于主光轴的光线经过折射后经过焦点． 素材二：如图①，科学小组的同学们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图②，主光轴l垂直于凸透镜，且经过凸透镜的光心O，将长度为8厘米的发光物箭头进行移动，使物距为32厘米，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，此时测得像距为厘米． 项目任务： (1)像的长度为__________厘米； (2)已知光线AP平行于主光轴l，且经过凸透镜折射后通过焦点F， ①求证：； ②求凸透镜焦距OF的长． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $