精品解析：山东省青岛市四区联考2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

2025-2026学年度第一学期期中考试 高二数学 2025.11 本试题卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设倾斜角为，直线的斜率为，所以，∴，故选． 2. 已知向量，分别是直线，的方向向量，若，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量平行的条件建立方程组，求解参数，进而得到即可. 【详解】因为，所以，可得， 解得，则，故D正确. 故选：D 3. 已知椭圆的左右焦点分别为，，点是上的一点，的面积为，则点的横坐标是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角形面积公式并结合点在椭圆上建立方程组，求解参数即可. 【详解】由题意得，则，设， 因为的面积为，所以，解得，即 可得，解得，则点的横坐标是，故B正确. 故选：B 4. 若，，，四点共面，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】求出关键向量，利用四点共面的性质建立方程组，求解参数即可. 【详解】因为，，，， 所以，，， 若四点共面，则， 可得，解得，故选项A正确. 故选：A 5. 圆关于直线对称的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出已知圆的圆心关于直线对称的点，再利用轴对称的性质求出半径，即得对称圆的方程. 【详解】由题意得圆的圆心坐标为，半径为． 设点关于直线对称的点， 则，解得，． 由轴对称的性质得新圆的半径为， 对称的圆的方程为，故A正确. 故选：A 6. 若点在圆外，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用方程表示圆和点在圆外建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】因为方程表示圆， 所以，解得， 因为点在圆外， 所以，解得， 则，故C正确. 故选：C 7. 正四棱锥中，，，点是的中点，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以底面中心为原点，取中点，中点，以方向为建立空间坐标系，计算向量，则点到直线的距离. 【详解】以底面中心为原点，取中点，中点，易知两两垂直，以方向为建立空间坐标系，如下图： ， ， 由，正方形对角线长度为 2 ，可得， 为 中点，则， ，，，， 点到直线的距离. 故选：C 8. 已知椭圆的左焦点为，直线与相交于，两点，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出符合题意的图形，利用椭圆的定义建立齐次方程，进而求解离心率即可. 【详解】如图，作出符合题意的图形，找到椭圆的右焦点，连接， 由椭圆的对称性可得四边形是平行四边形， 因为，所以四边形是矩形，可得， 因为，所以，则是等边三角形， 由矩形性质得，由等边三角形性质得，， 结合题意可得，由椭圆的定义得， 可得，化简得，故A正确. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，则（ ） A. 过定点 B. 当时，与直线垂直 C. 当时，与直线平行 D. 当时，在两坐标轴上的截距相等 【答案】ABC 【解析】 【分析】结合题意直接求出定点判断A，利用两直线垂直的性质判断B，利用两直线平行的性质判断C，求出直线的截距判断D即可. 【详解】对于A，令，解得，则过定点，故A正确， 对于B，当时，得到，可得， 得到与直线垂直，故B正确， 对于C，当时，得到， 而，，则与直线平行，故C正确， 对于D，当时，得到，令，解得， 令，解得，可得在两坐标轴上的截距不相等，故D错误. 故选：ABC 10. 在正方体中， ， ，， 分别是，， ，的中点，则（ ） A. 平面 B. ， ，， 四点共面 C. 在线段上存在一点，使得平面 D. 在线段上存在一点，使得在上的投影向量为 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明，再利用线面平行的判定定理得到线面平行判断A，利用向量的共面定理可判断B，假设在线段上存在点，设，，利用坐标法验证线面垂直判断C，举特例判断D即可. 【详解】如图，作出符合题意的图形，以为原点建立空间直角坐标系，连接， 由题意得所求结论与正方体边长无关，不妨设正方体边长为， 则，，，，， ，，，，，， 对于A，由题意得，， 则，因为平面，平面， 所以平面，故A正确， 对于B，设， 则， 所以，解得， 故，即 ， ，， 四点共面，故B正确； 对于C，假设在线段上存在点，符合题意， 设（），则， 若平面，则，, 因为，， 所以，此方程组无解， 所以在线段上不存在点，使得平面，故C错误； 对于D，由投影向量公式得在上的投影向量为， 若在上的投影向量为，则， 令，可得，， 由模长公式得， 由空间向量数量积的运算法则可得， 满足，故D正确. 故选：ABD 11. 已知，，，动点满足、是直线上一点，记点的轨迹为曲线，过点作的两条切线、切点分别为，，则（ ） A. 的方程为 B. 的最小值为 C. 的最小值为2 D. 直线恒过定点 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题目条件逐一分析判断选项即可. 【详解】对于A选项，已知， 即，整理得，A选项正确； 对于B选项，在直线上， 圆心到直线的距离，圆的半径为2， 所以的最小值为，即B选项正确； 对于C选项，设，切点弦的方程： 圆心到的距离：， 弦长：， ， ， 令，则， ， ，最小值为，C选项错误； 对于D选项，直线即， 对任意成立⇒过定点满足：， 解得定点，D选项正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 圆与圆的公切线的条数为_____. 【答案】2 【解析】 【分析】先判断两个圆的位置关系，再求解公切线条数即可. 【详解】对于圆，可得圆心为，半径为， 对于圆，可得圆心为，半径为， 由两点间距离公式得圆心之间的距离为， 而，则两圆相交， 可得两圆的公切线条数为2. 故答案为：2 13. 已知，，直线，相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的商是2，则点的轨迹方程是_____. 【答案】 【解析】 【分析】设点，根据两点斜率公式直接列式即可求解. 【详解】设点，则，整理得，显然. 所以点的轨迹方程为. 故答案为： 14. 已知平面四边形，，，，，沿直线将翻折成，则直线与直线所成角的余弦值最大为_____. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】取中点，以为原点建立空间直角坐标系，利用线线角的向量法求解得最大值. 【详解】平面四边形，，，则， 过作于，取中点，连接，则， ，过作平面的垂线，则直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 设二面角的大小为，在翻折过程中始终垂直于， 则， ，设直线与直线所成角为， 因此 ，当且仅当时取等号， 所以直线与直线所成角的余弦值的最大值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知，. （1）求线段的垂直平分线的方程； （2）若圆经过，两点，且圆心在直线上，求圆的标准方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用点斜式方程即可求得； （2）分别求出圆心和半径，进而求出标准方程. 【小问1详解】 因为，， 所以的中点为，直线的斜率， 所以线段的垂直平分线的斜率为， 即的直线方程为，化简得. 【小问2详解】 由垂径定理得，圆心在的中垂线上， 联立，解得，，即圆心为， 所以圆的半径， 所以所求圆的标准方程为. 16. 如图，四棱柱的底面是矩形，，，，为棱的中点. （1）求的长； （2）求直线与直线所成角的余弦值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）设，利用基底法表示出，再根据向量数量积运算律即可得到答案； （2）根据向量数量积运算律求出，再利用向量夹角余弦值的计算公式即可得到答案. 【小问1详解】 设，则， ， 所以， 所以． 【小问2详解】 ， ， ， 设直线与所成角为，则， 所以直线与所成角的余弦值为． 17. 如图，三棱柱的侧面为菱形，平面平面，，. （1）证明：； （2）点到平面的距离为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 取的中点，连接，不妨设， 因为四边形为菱形，所以， 则，得到三角形是等边三角形，， 面，因为平面平面，所以平面， 而，可得，作， 如图，以为原点，建立空间直角坐标系， 设，由题意得，，，， 则，，， 因为，所以，可得，解得， 而，得到，化简得， 解得（负根舍去），故， 而，得到，故. （2） 【解析】 【分析】（1）先判断需证明的结论和的具体长度无关，再设出具体边长，建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标，利用空间位置关系的向量证明求解即可. （2）建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，再利用线面角的向量求法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，可得，， ，，同理可求， 则，，， 设平面的法向量， 可得，令，解得，， 得到，设点到平面的距离为， 由点到平面的距离公式得， 因为点到平面的距离为，所以，解得， 此时，，，， 可得，， 设面的法向量为， 可得，令，解得，， 得到，设直线与平面所成角为， 可得. 18. 如图，椭圆的长轴长为4，离心率为. （1）求的标准方程； （2）矩形的顶点，在轴上，，在上，与的另一个交点为，与的另一个交点为，与轴交于点，与的另一个交点为.设直线，的斜率分别为，. （i）求的值； （ii）求直线的斜率的最小值. 【答案】（1） （2）（i）； 【解析】 【分析】（1）根据长轴长和离心率可求解出椭圆的标准方程； （2）（i）由对称性，设出点的坐标，求出直线，的斜率即可求证；（ii）由直线的方程与椭圆方程联立利用韦达定理可求出点坐标，直线的方程与椭圆方程联立利用韦达定理可求出点坐标，即可表示出直线FH的斜率，利用基本不等式即可求最值． 【小问1详解】 因为椭圆的长轴长为4，离心率为， 所以，，解得，，， 可得的标准方程为. 【小问2详解】 （i）如图，由对称性设，，，， 则，得， 故，，则，可得为定值； （ii）由， 联立， 由根与系数的关系可得，所以， 所以，可得， 又，联立， 由根与系数的关系可得，所以， 所以，可得， 所以 ， 由图知，所以，即， 当且仅当，即时取等. 所以直线的斜率k的最小值为． 19. 用一个平面截圆锥，若圆锥的轴与该平面所成角大于圆锥轴截面的半顶角时，所得截口曲线是椭圆.在直角三角形中，，，，点在线段上，为的平分线，直线与平面垂直，垂足为.点，，记点的轨迹为曲线. （1）说明：曲线为椭圆； （2）建立适当坐标系，求曲线的方程； （3）当四面体体积最大时，求平面与平面夹角的大小. 【答案】（1） 曲线 W 是椭圆的几何理由： 可将“  的点”视作以  为顶点、  为轴的圆锥面上的点， 圆锥轴截面的半顶角为 ， 点，点的轨迹为此圆锥面与平面的交线. 因为已知直线与平面垂直，垂足为，，所以， 因为在直角三角形中，，，点在线段上，为的平分线， 所以与平面所成的角为，， 若圆锥的轴与平面所成角（）大于圆锥轴截面的半顶角（）， 按圆锥曲线的判定规律可知该截线必为椭圆. （2） 可取空间直角坐标系：令  为原点 ，令平面为平面， 由于 平面，可令 过点 平行于的直线为  轴， 曲线的方程为（依赖于坐标系）. （3） 【解析】 【分析】（1）可将“  的点”视作以  为顶点、  为轴的圆锥面上的点，然后根据题意判定即可； （2）建立坐标系，利用空间向量运算求解； （3）法一：利用坐标系中坐标运算求解；法二：利用面面角的定义，使用线面垂直的判定定理，采用几何方法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 可取空间直角坐标系：令  为原点 ，令平面为平面， 由于 平面，可令 过点 平行于的直线为  轴， 又知  中，，， 因为点  在  上且 平分  ， 由角分线定理得， 则，. 设平面  内任意点 坐标为. 向量，. 由  可用向量夹角公式， 所以， 化简可得，所以曲线的方程为； 【小问3详解】 四面体  的底面可取三角形 (其平面即)， 面积为.  若 在上一步所求椭圆上，则其到平面的距离即. 四面体体积， 要使  最大，需在椭圆上使 取最大值. 下面用两种方法计算求解. 法一：由椭圆方程可知，当时，最大，此时，  取上顶点  . 取平面  的一个法向量为，  由 与 可求出 与 ， 平面  的法向量， 由，得，令，则， 所以平面 的一个法向量为， 设平面与平面夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的大小为 30°. 综上，当四面体体积最大时，平面  与平面 α 的夹角为 30°. 法二：由上可知，又因为，所以， 因为平面，， 所以平面， 因为平面， 所以， 由，平面平面， 所以即为平面与平面夹角，即平面与平面的夹角为 30°. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期中考试 高二数学 2025.11 本试题卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，分别是直线，的方向向量，若，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 已知椭圆的左右焦点分别为，，点是上的一点，的面积为，则点的横坐标是（ ） A. B. 0 C. D. 4. 若，，，四点共面，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 5. 圆关于直线对称的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 若点在圆外，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 正四棱锥中，，，点是的中点，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的左焦点为，直线与相交于，两点，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，则（ ） A. 过定点 B. 当时，与直线垂直 C. 当时，与直线平行 D. 当时，在两坐标轴上的截距相等 10. 在正方体中， ， ，， 分别是，， ，的中点，则（ ） A. 平面 B. ， ，， 四点共面 C. 在线段上存在一点，使得平面 D. 在线段上存在一点，使得在上的投影向量为 11. 已知，，，动点满足、是直线上一点，记点的轨迹为曲线，过点作的两条切线、切点分别为，，则（ ） A. 的方程为 B. 的最小值为 C. 的最小值为2 D. 直线恒过定点 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 圆与圆的公切线的条数为_____. 13. 已知，，直线，相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的商是2，则点的轨迹方程是_____. 14. 已知平面四边形，，，，，沿直线将翻折成，则直线与直线所成角的余弦值最大为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知，. （1）求线段的垂直平分线的方程； （2）若圆经过，两点，且圆心在直线上，求圆的标准方程. 16. 如图，四棱柱的底面是矩形，，，，为棱的中点. （1）求的长； （2）求直线与直线所成角的余弦值. 17. 如图，三棱柱的侧面为菱形，平面平面，，. （1）证明：； （2）点到平面的距离为，求直线与平面所成角的正弦值. 18. 如图，椭圆的长轴长为4，离心率为. （1）求的标准方程； （2）矩形的顶点，在轴上，，在上，与的另一个交点为，与的另一个交点为，与轴交于点，与的另一个交点为.设直线，的斜率分别为，. （i）求的值； （ii）求直线的斜率的最小值. 19. 用一个平面截圆锥，若圆锥的轴与该平面所成角大于圆锥轴截面的半顶角时，所得截口曲线是椭圆.在直角三角形中，，，，点在线段上，为的平分线，直线与平面垂直，垂足为.点，，记点的轨迹为曲线. （1）说明：曲线为椭圆； （2）建立适当坐标系，求曲线的方程； （3）当四面体体积最大时，求平面与平面夹角的大小. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $