专题08 二项式定理与概率统计4大题型（期末真题汇编，甘肃专用）高二数学上学期

专题08 二项式定理与概率统计 4大高频考点概览 考点01 二项式系数60 考点02 求指定项的系数69 考点03 求其它系数问题81 考点04 随机变量与概率统计 地 城 考点01 二项式系数 1．(24-25高二上·上海松江区华东师范大学松江实验高级中学·)的二项展开式中系数最大的项是（    ）. A．第n项 B．第n＋1项 C．第n＋1项和第n－1项 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据二项式系数性质求解即可. 【详解】的二项展开式中共有项， 中间第n＋1项为系数最大项. 故选：B 2．(23-24高二下·河北石家庄师大附中·期末)关于二项式的展开式，下列说法正确的是（    ） A．展开式的所有系数和为1 B．展开式的第4项二项式系数最大 C．展开式中不含项 D．展开式的常数项为240 【答案】ABD 【分析】在二项式中令，可判断A选项；利用二项式系数和可判断B选项；写出二项展开式，令的指数为，可判断C选项；令的指数为零，求出参数的值，代入展开式通项可判断D选项. 【详解】对于A选项：令，可得二项式的展开式中所有项的系数和为，故A正确； 对于B选项：因为指数为偶数，即， 所以展开式的第项二项式系数最大，故B正确； 展开式通项为， 对于C选项： 令，解得， 所以展开式中含项，故C错误； 对于D选项：令，可得， 故展开式中常数项为，故D正确. 故选：ABD. 3．(22-23高二上·甘肃庆阳宁县第二中学·期末)在的二项展开式中，下列说法正确的是（    ） A．展开式中所有项的系数和为256 B．展开式中所有奇数项的二项式系数和为128 C．展开式中含x项的系数为 D．展开式中二项式系数的最大项为第四项 【答案】BC 【分析】令可判断选项A；所有奇数项的二项式系数和为可判断选项B；由展开式的通项可判断选项C； 利用展开式中二项式系数的性质可判断选项D. 【详解】对于A：令，可得展开式中所有项的系数和为，故A不正确； 对于B：展开式中所有奇数项的二项式系数和为，故B正确； 对于C：的展开式的通项为，令得，所以展开式中含项的系数为，故C正确； 对于D：展开式中共有项，中间项即为第五项的二项式系数最大，故选项D不正确. 故选：BC. 4．(24-25高二上·甘肃定西八校·期末)已知，则（    ） A． B． C． D．展开式中所有项的二项式系数的和为16 【答案】ABD 【分析】借助赋值法令可得A；借助二项式的展开式的通项公式计算可得B；借助赋值法令，结合A中所得可得C；借助二项式系数的和的性质可得D. 【详解】对A：令，可得，故，A正确； 对B：，所以，B正确； 对C：令，可得，则 ，C错误； 对D：展开式中所有项的二项式系数的和为，D正确． 故选：ABD. 5．(24-25高二上·甘肃庆阳·期末)对于二项式，下列说法正确的是（   ） A．其展开式一共有项 B．其展开式的二项式系数和为 C．其展开式的所有项的系数和为 D．其展开式的第三项为 【答案】BC 【分析】利用二项展开式的项数可判断A选项；利用二项展开式的二项式系数和可判断B选项；在二项式中，令，结合所有项的系数和可判断C选项；利用二项展开式的通项可判断D选项. 【详解】对于A选项，展开式的项数为，A错； 对于B选项，其展开式的二项式系数和为，B对； 对于C选项，其展开式的所有项的系数和为，C对； 对于D选项，其展开式的第三项为，D错. 故选：BC. 6．(24-25高二上·甘肃·期末)在下列关于二项式的命题中，正确的是（   ） A．的展开式中，一共有6项 B．在的展开式中，所有二项式系数的和为64 C．若，则 D．二项式，若，则 【答案】ABC 【分析】应用展开式的性质判断A；利用展开式二项式系数的和公式求解判断B；令与，可求得的值判断C；求得中的系数即可计算判断D. 【详解】对于A，二项式展开式一共有6项，A正确； 对于B，在的展开式中，所有二项式系数的和为，故B正确； 对于C，令，可得， 令，可得，所以，故C正确； 对于D，二项式， 则， 令，得，则，故D不正确. 故选：ABC. 7．(24-25高二上·甘肃·期末)在的展开式中，各项的二项式系数中第三项和第四项相等且最大，则的系数为 ． 【答案】40 【分析】根据二项式系数的概念以及组合数的性质可求出结果. 【详解】依题意可得，得， 因为的通项公式为， 令，即，则的系数为. 故答案为：40. 8．(23-24高二上·甘肃白银靖远县第四中学·期末)在的展开式中，所有项的二项式系数之和为128，则的系数为 ． 【答案】 【分析】由条件利用二项式系数的性质求得，再利用二项展开式的通项公式求得的系数． 【详解】由条件可得，， 的展开式的通项公式， 令，解得，故的系数为. 故答案为：. 9．(21-22高三上·辽宁铁岭六校·期末)已知的二项式系数和为256，则展开式中含项的系数为 ． 【答案】112 【分析】根据题意，由条件可得，再由二项式展开式的通项公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为二项式系数和为256，所以，即， 所以， 令，则， 所以展开式中含项的系数为112. 故答案为：112 10．(24-25高二上·甘肃甘南州卓尼县柳林中学·期末)在的展开式中，______. 给出下列条件：①二项式系数和为64；②各项系数之和为729；③第三项的二项式系数为15.试在这三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并且完成下列问题： (1)求的值并求展开式中的常数项； (2)求展开式中的系数. 注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)，展开式常数项为 (2) 【分析】（1）若选①利用二项式系数和公式先求n，结合展开式通项公式可求常数项；若选②利用赋值法先求n，结合展开式通项公式可求常数项；若选③利用二项式定理先求n，结合展开式通项公式可求常数项； （2）利用二项式定理及其展开式通项可求指定项系数. 【详解】（1）若选①，易知，则，此时的常数项为； 若选②，令，则， 则，此时的常数项为； 若选③，易知，则，此时的常数项为； （2）由上可知不论选①②③，都有， 则问题为求展开式中的系数， 先求展开式中含的项乘以，该项为， 再求展开式中常数项乘以，知该项为， 所以展开式中含的项为，所以其系数为. 地 城 考点02 求指定项的系数 11．(24-25高二上·甘肃兰州神州天立学院式高中·期末)的展开式中含项的系数为（    ） A．5 B．7 C．8 D．10 【答案】A 【分析】分别求展开式中含项的系数以及含项的系数，进而可得答案. 【详解】展开式的通项公式为， 展开式中含的项为， 展开式中含的项为， 所以的展开式中含项为， 的展开式中含项的系数5. 故选：A. 12．(24-25高二上·甘肃白银靖远县第四中学·期末)在的展开式中，的系数为（    ） A． B．21 C． D．28 【答案】B 【分析】写出二项展开式的通项，令的指数为5，求出参数的值，代入通项即可得解. 【详解】因为展开式通项为， 令，则. 所以的系数为. 故选：B. 13．(24-25高二上·甘肃临夏州高中·期末)二项式的展开式中的常数项为（    ） A． B．10 C． D．20 【答案】C 【分析】求出二项式展开式的通项，令的幂指数等于，解出，代入即可求解. 【详解】的展开式的通项为：， 令，解得，此时，所以常数项为. 故选：C. 14．已知展开式中各项系数之和为，则展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出的值，再利用二项展开式的通项公式的特点，求出展开式中的系数. 【详解】 展开式中各项系数之和为， 所以令，可得，解得， ， 的展开式的通项为， 当在项中取时，项中需取，不符合条件； 当在项中取时，项中需取，则，即，此时的系数为； 当在项中取时，项中需取，则，即，此时的系数为， 综上，展开式中的系数为. 故选：B. 15．的展开式中的系数为（    ） A．60 B．50 C．40 D．20 【答案】A 【分析】先求出展开式的通式公式，然后根据题意可得所求的系数为展开式中的系数减去2倍的的系数. 【详解】的展开式的通项为， 则的展开式中的系数为. 故选：A 16．在的展开式中，含项的系数为 . 【答案】 【分析】由二项式定理得出含项的系数. 【详解】的展开式的通项为， 由得，则含的项为，系数为 故答案为： 17．(24-25高二上·甘肃定西岷县·期末)二项式的展开式中常数项为，则含项的系数为 . 【答案】15 【分析】利用二项式的展开式中的指数为得，再令的指数为，求得并代入展开式的通项即可得答案. 【详解】二项式的展开式的通项公式为， 令，求得， 由展开式中常数项为，得，解得. 令，求得， 所以含项的系数为. 故答案为：15. 18．(24-25高二上·甘肃酒泉·期末)在的展开式中，的系数为 .（用数字作答） 【答案】 【分析】写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【详解】展开式的通项为（其中且）， 令，解得，所以，所以的系数为. 故答案为： 19．(24-25高二上·甘肃定西岷县·期末)已知二项式. (1)求二项展开式中的常数项； (2)记二项展开式中奇数项系数之和为，偶数项系数之和为，求. 【答案】(1)70 (2)256 【分析】（1）先求二项展开式的通项公式，令的指数为零即可求出常数项； （2）求出，即可求得的值. 【详解】（1）的二项展开式的通项为， 令，得，所以的二项展开式中的常数项为. （2）的二项展开式中奇数项系数之和为，偶数项系数之和为， 因为的二项展开式的通项为， 所以，， . 地 城 考点03 求其它系数问题 20．若且，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D．1或 【答案】D 【分析】根据二项展开式可求得常数项，再利用赋值法即可求得参数的值. 【详解】由二项式定理可知，常数项； 令，得， 又因为， 所以， 可得或. 故选：D. 21．(24-25高二上·甘肃白银靖远县第四中学·期末)若的展开式中含的系数为15，则实数（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】根据二项式展开式的通项公式列方程来求得的值. 【详解】的展开式的通项， 所以的展开式中含的系数为， 令，即，解得． 故选：D 22．(24-25高二上·甘肃庆阳环县第一中学·期末)若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用赋值法，结合二项展开式的结构特征，逐项分析即可得解. 【详解】对于A， ， 令，可得，故A正确； 对于B，，可得，故B错误； 对于C，令，可得，故C正确； 对于D，上述两式相加， 故，故D错误， 故选：AC. 23．(21-22高二下·湖南株洲第二中学·期中)我国南宋数学家杨辉年所著的《详解九章算法》就给出著名的杨辉三角， 由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.如图所示，由杨辉三角的左腰上的各数出发，引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为.以下关于杨辉三角的猜想中正确的是（    ） A．由 “与首末两端等距离的两个二项式系数相等” 猜想 B．由 “在相邻两行中， 除以外的每个数都等于它肩上的两个数字之和猜想 ； C．第条斜线上各数字之和为； D．在第条斜线上， 各数从左往右先增大后减少 【答案】ABD 【分析】根据二项式系数与杨辉三角判断AB；通过观察归纳出第条斜线上的数的特征，进而判断CD选项. 【详解】解：根据二项式系数的性质，结合杨辉三角即可得，成立，故AB选项正确； 对于CD选项，第1条斜线上的数为，第2条斜线上的数为， 第3条斜线上的数为，第4条斜线上的数为， 第5条斜线上的数为，第6条斜线上的数为， 第7条斜线上的数为， 由此，归纳得到：第条斜线上的数依次为： 第条斜线上的数依次为： 所以，第条斜线上各数字为：，和为，故C错误； 在第条斜线上， 各数从左往右先增大后减少，故D正确. 故选：ABD 24．(24-25高二上·辽宁抚顺重点高中六校协作体·期末)已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用赋值法即可求解.对于选项A，令即可求解；对于选项B，令即可求解；对于选项C，令，与时的式子作差即可求解；对于选项D，令，结合选项A即可求解. 【详解】令，得，故选项A正确； 令，得①，故选项B错误； 令，得②， 由①②得，故选项C正确； 令，得， 则， 得，故选项D正确. 故选：ACD. 25．(20-21高二下·浙江浙北G2（嘉兴一中、湖州中学）·期中)已知，且，则 . 【答案】 【分析】由于的展开式中只有的展开式中含，所以可得，然后分别赋值令，可求得和的值，从而可求出，结合已知可得，从而可求得结果. 【详解】解：因为的展开式中 只有的展开式中含，所以， 中 令，可得， 令，可得， 所以， 所以， 所以，解得， 故答案为： 26．(24-25高二上·甘肃定西八校·期末)的展开式中，各项系数的最大值是 ． 【答案】7 【分析】先写出通项公式，列出不等式组，求解出可得答案. 【详解】展开式的通项为且． 设展开式中第项的系数最大，则即， 又，所以或6，故展开式中系数最大的项是第6项或第7项， 且该项系数为． 故答案为：7 27．(24-25高二上·甘肃白银靖远县第四中学·期末)的展开式中的常数项为84，则 ． 【答案】 【分析】写出二项展开式的通项，令的指数为零，求出参数的值，代入通项结合题设列式即可得的值. 【详解】展开式通项为 ， 令，解得， 所以，展开式的常数项为，解得． 故答案为：. 28．(24-25高二上·甘肃多校·期末)在的展开式中． (1)求二项式系数最大的项； (2)系数的绝对值最大的项是第几项？ (3)求系数最大的项． 【答案】(1) (2)第6项和第7项 (3) 【分析】（1）由二项式系数的性质即可得到结果； （2）由展开式的通项公式列出不等式，代入计算，即可得到结果； （3）结合展开式的通项公式，由（2）中的结论，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）二项式系数最大的项为中间项，即第5项，； （2）的展开式的通项为 ，，， 设第项系数的绝对值最大，显然，则， 整理得，即， 解得，而，则或， 所以系数的绝对值最大的项是第6项和第7项； （3）由（2）知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，而第6项的系数为负， 第7项的系数为正，所以系数最大的项为第7项． 29．(24-25高二上·甘肃白银·期末)已知的展开式中共有9项. (1)求的值； (2)求展开式中的系数； (3)求二项式系数最大的项. 【答案】(1) (2)112 (3) 【分析】（1）利用二项式展开式中共有项可求得的值； （2）求出二项展开式的通项，令的指数为4，求出参数的值，代入通项即可得出结果； （3）根据二项式系数的性质可得二项式系数最大的项的项数，再由二项式定理得结论. 【详解】（1）由题意得，解得. （2）由（1）可知展开式的通项为. 令，解得，则. 故展开式中的系数为112. （3）根据题意可得二项式系数最大的项为. 30．(22-23高二上·四川攀枝花·期末)从①第4项的系数与第2项的系数之比是；②第3项与倒数第2项的二项式系数之和为36；这两个条件中任选一个，再解决补充完整的题目． 已知（），且的二项展开式中，____． (1)求的值； (2)①求二项展开式的中间项； ②求的值． 【答案】(1)条件选择见解析， (2)①；②． 【分析】（1）由题意，根据系数、二项式系数等知识，列出等式，解出的值． （2）由题意，利用通项公式求出二项展开式的中间项，再判断、、、、为正数，、、、为负数，再给赋值，从而求出的值． 【详解】（1）若选择①第4项的系数与第2项的系数之比是， 则有， 化简可得，求得或（舍去）． 若选择②第3项与倒数第2项的二项式系数之和为36， 则有， 化简可得，求得或（舍去）． （2）由（1）可得， ①的二项展开式的中间项为． ②二项式展开式的通项公式为， 所以、、、、为正数，、、、为负数． 在中，令． 再令，可得， ∴． 31．(20-21高二上·江苏镇江第一中学·期末)（1）已知. 求：①； ②； （2）在的展开式中，求： ①展示式中的第3项； ②展开式中二项式系数最大的项. 【答案】（1）①；②；（2）①；②或. 【解析】（1）①运用赋值法，令，求得，令，求得，由此可求得答案. ②由二项式的展开式判断、、、都大于零，而、、、都小于零，令，可求得答案； （2）先求出展开式的通项公式，①令时，求展示式中的第3项； ②令或3时，求得二项式系数最大项． 【详解】解：（1）令，则， 令，则. ①∴. ②∵展开式中，、、、都大于零，而、、、都小于零， ∴， 令，则. 所以. （2）的展开式中第项为， ①当时，所以展示式中的第3项为. ②或3时，二项式系数最大， 时，由（1）知， 时，． 【点睛】方法点睛：求最大二项式系数时：如果n是奇数，最大的就是最中间一个，如果n是偶数,最大的就是最中间两个； 求系数的最大项时：设第r+1项为系数最大项，需列出不等式组，解之求得. 地 城 考点04 随机变量与概率统计 32．某兴趣小组研究光照时长x（h）和向日葵种子发芽数量y（颗）之间的关系，采集5组数据，作如图所示的散点图．若去掉后，下列说法正确的是（    ） A．相关系数r变小 B．决定系数变小 C．残差平方和变大 D．解释变量x与预报变量y的相关性变强 【答案】D 【分析】从图中分析得到去掉后，回归效果更好，再由相关系数，决定系数，残差平方和和相关性的概念和性质作出判断即可． 【详解】从图中可以看出较其他点，偏离直线远，故去掉后，回归效果更好， 对于A，相关系数越接近于1，模型的拟合效果越好，若去掉后，相关系数r变大，故A错误； 对于B，决定系数越接近于1，模型的拟合效果越好，若去掉后，决定系数变大，故B错误； 对于C，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，若去掉后，残差平方和变小，故C错误； 对于D，若去掉后，解释变量x与预报变量y的相关性变强，且是正相关，故D正确． 故选：D． 33．鸢是鹰科的一种鸟，《诗经·大雅·旱麓》曰：“鸢飞戾天，鱼跃余渊”. 鸢尾花因花瓣形如鸢尾而得名，寓意鹏程万里、前途无量.通过随机抽样，收集了若干朵某品种鸢尾花的花萼长度和花瓣长度（单位：cm），绘制散点图如图所示，计算得样本相关系数为，利用最小二乘法求得相应的经验回归方程为，根据以上信息，如下判断正确的为（    ） A．花瓣长度和花萼长度不存在相关关系 B．花瓣长度和花萼长度负相关 C．花萼长度为7cm的该品种鸢尾花的花瓣长度的平均值为 D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是 【答案】C 【分析】根据散点图的特点及经验回归方程可判断ABC选项，根据相关系数的定义可以判断D选项. 【详解】根据散点的集中程度可知，花瓣长度和花萼长度有相关性，A选项错误 散点的分布是从左下到右上，从而花瓣长度和花萼长度呈现正相关性，B选项错误， 把代入可得，C选项正确； 由于是全部数据的相关系数，取出来一部分数据，相关性可能变强，可能变弱，即取出的数据的相关系数不一定是，D选项错误 故选：C 34．如图：样本A和B分别取自两个不同的总体，他们的样本平均数分别为和，样本标准差分别为和，则（ ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】从图形中可以看出样本A的数据均不大于10，而样本B的数据均不小于10，A中数据波动程度较大，B中数据较稳定，由此得到结论． 【详解】∵样本A的数据均不大于10， 而样本B的数据均不小于10， ， 由图可知A中数据波动程度较大， B中数据较稳定， . 故选B. 35．四川省将从2022年秋季入学的高一年级学生开始实行高考综合改革，高考采用“3+1+2”模式，其中“1”为首选科目，即物理与历史二选一.某校为了解学生的首选意愿，对部分高一学生进行了抽样调查，制作出如下两个等高条形图，根据条形图信息，下列结论正确的是（    ） A．样本中选择物理意愿的男生人数少于选择历史意愿的女生人数 B．样本中女生选择历史意愿的人数多于男生选择历史意愿的人数 C．样本中选择物理学科的人数较多 D．样本中男生人数少于女生人数 【答案】C 【分析】根据等高条形图的概念结合条件逐项分析即得. 【详解】根据等高条形图图1可知样本中选择物理学科的人数较多，故C正确； 根据等高条形图图2可知样本中男生人数多于女生人数，故D错误； 样本中选择物理学科的人数多于选择历史意愿的人数，而选择物理意愿的男生比例高，选择历史意愿的女生比例低， 所以样本中选择物理意愿的男生人数多于选择历史意愿的女生人数，故A错误； 样本中女生选择历史意愿的人数不一定多于男生选择历史意愿的人数，故B错误. 故选：C. 36．已知，则，，.今有一批数量庞大的零件.假设这批零件的某项质量指标引单位：毫米）服从正态分布，现从中随机抽取N个，这N个零件中恰有K个的质量指标ξ位于区间.若，试以使得最大的N值作为N的估计值，则N为（    ） A．45 B．53 C．54 D．90 【答案】B 【分析】由已知可推得， ，根据已知以及正态分布的对称性，可求得 .则，，设，求出函数的最大整数值，即可得出答案. 【详解】由已知可得， . 又 ， 所以，，. 设， 则 ， 所以，，所以. ， 所以，，所以. 所以，以使得最大的N值作为N的估计值，则N为. 故选：B. 【点睛】思路点睛：由正态分布求出概率，然后根据已知，可得，得出，利用函数求出的最大值. 37．(24-25高三上·湖南长沙长郡中学·期末)如图，某电子实验猫线路图上有，两个即时红绿指示灯，当遇到红灯时，实验猫停止前行，恢复绿灯后，继续前行，，两个指示灯工作相互独立，且出现红灯的概率分别为，.同学甲从第一次实验到第五次实验中，实验猫在处遇到红灯的次数为，在，两处遇到红灯的次数之和为，则（    ） A． B． C．一次实验中，，两处至少遇到一次红灯的概率为 D．当时， 【答案】ACD 【分析】根据题意知道，再根据二项分布得概率公式，方差公式，期望公式逐个计算判定即可. 【详解】由题意可知，所以，，故A正确，B错误； 一次实验中，，两处至少遇到一次红灯的概率为，故C正确； 当时，一次实验中没有遇到红灯的概率为，遇到一次红灯的概率为，遇到两次红灯的概率为， 故一次实验中遇到红灯次数的数学期望为，所以，故D正确. 故选：ACD. 38．(23-24高三下·辽宁大连二十四中学·模拟)下列命题中，正确的有（    ） A．若随机变量，，则 B．数据1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的第分是 C．若随机变量，则 D．若两组成对数据的样本相关系数分别为，，则组数据比组数据的相关性较强 【答案】AC 【分析】根据正态分布曲线的对称性，可判定A正确；根据百分位数的概念及求法，可判定B不正确；根据二项分布的方差的计算公式，可判定C正确；根据，结合相关性的含义，可判定D不正确. 【详解】对于A中，若随机变量，且， 根据正态分布曲线的对称性，可得， 所以，所以A正确； 对于B中，数据1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，共有10个数据， 则，所以数据的分位数为，所以B不正确； 对于C中，若随机变量，可得，所以C正确； 对于D中，若两组成对数据的样本相关系数分别为，， 因为，所以组数据比组数据的相关性较强，所以D不正确. 故选：AC. 39．(24-25高三上·天津和平区·期末)某射击俱乐部开展青少年射击培训，俱乐部共有6支气枪，其中有2支气枪未经试射校正，有4支气枪已校正，若用校正过的气枪射击，射中10环的概率为0.8，用未校正过的气枪射击，射中10环的概率为0.4，某少年射手任取一支气枪进行1次射击，射中10环的概率是 ；若此少年射手任取一支气枪进行4次射击（每次射击后将气枪放回），每次射击结果相互不影响，则4次射击中恰有2次射中10环的概率为 ． 【答案】 【分析】①用全概率事件来求解即可；②用二项分布概率公式来求解即可. 【详解】①设事件表示使用已校正的气枪，事件表示射中10环， 则， 故任取一支气枪射中10环的概率是； ②4次射击中恰有2次射中10环的概率为：. 故答案为：①；②. 40．某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下： 优级品 合格品 不合格品 总计 甲车间 26 24 0 50 乙车间 70 28 2 100 总计 96 52 2 150 (1)填写如下列联表： 优级品 非优级品 甲车间 乙车间 能否有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？ (2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率，设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（） 附： 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)答案见详解 (2)答案见详解 【分析】（1）根据题中数据完善列联表，计算，并与临界值对比分析； （2）用频率估计概率可得，根据题意计算，结合题意分析判断. 【详解】（1）根据题意可得列联表： 优级品 非优级品 甲车间 26 24 乙车间 70 30 可得， 因为， 所以有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异. （2）由题意可知：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为， 用频率估计概率可得， 又因为升级改造前该工厂产品的优级品率， 则， 可知， 所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了. 41．某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立． (1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率． (2)假设， （i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ （ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 【答案】(1) (2)（i）由甲参加第一阶段比赛；（i）由甲参加第一阶段比赛； 【分析】（1）根据对立事件的求法和独立事件的乘法公式即可得到答案； （2）（i）首先各自计算出，，再作差因式分解即可判断；(ii)首先得到和的所有可能取值，再按步骤列出分布列，计算出各自期望，再次作差比较大小即可. 【详解】（1）甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次， 比赛成绩不少于5分的概率. （2）（i）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为， 若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为， ， ， ，应该由甲参加第一阶段比赛. (ii)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15， ， ， ， ， 记乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15， 同理 ， 因为，则，， 则， 应该由甲参加第一阶段比赛. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是计算出相关概率和期望，采用作差法并因式分解从而比较出大小关系，最后得到结论. 42．红蜘蛛是柚子的主要害虫之一，能对柚子树造成严重伤害，每只红蜘蛛的平均产卵数y（个）和平均温度x（℃）有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.    (1)根据散点图判断，与（其中…为自然对数的底数）哪一个更适合作为平均产卵数y（个）关于平均温度x（℃）的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） (2)由（1）的判断结果及表中数据，求出y关于x的回归方程.（计算结果精确到0.1） 附：回归方程中，， 参考数据（） 5215 17713 714 27 81.3 3.6 (3)根据以往每年平均气温以及对果园年产值的统计，得到以下数据：平均气温在22℃以下的年数占60%，对柚子产量影响不大，不需要采取防虫措施；平均气温在22℃至28℃的年数占30%，柚子产量会下降20%；平均气温在28℃以上的年数占10%，柚子产量会下降50%.为了更好的防治红蜘蛛虫害，农科所研发出各种防害措施供果农选择. 在每年价格不变，无虫害的情况下，某果园年产值为200万元，根据以上数据，以得到最高收益（收益＝产值－防害费用）为目标，请为果农从以下几个方案中推荐最佳防害方案，并说明理由. 方案1：选择防害措施A，可以防止各种气温的红蜘蛛虫害不减产，费用是18万； 方案2：选择防害措施B，可以防治22℃至28℃的蜘蛛虫害，但无法防治28℃以上的红蜘蛛虫害，费用是10万； 方案3：不采取防虫害措施. 【答案】(1)更适宜 (2) (3)选择方案1最佳，理由见解析 【分析】（1）根据散点图的形状，可判断更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类型； （2）将两边同时取自然对数，转化为线性回归方程，即可得到答案； （3）求出三种方案的收益的均值，根据均值越大作为判断标准. 【详解】（1）由散点图可以判断，更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类型. （2）将两边同时取自然对数，可得， 由题中的数据可得，，， 所以， 则， 所以z关于x的线性回归方程为， 故y关于x的回归方程为； （3）用，和分别表示选择三种方案的收益. 采用第1种方案，无论气温如何，产值不受影响，收益为万，即 采用第2种方案，不发生28℃以上的红蜘蛛虫害，收益为万， 如果发生，则收益为万，即， 同样，采用第3种方案，有 所以，， ， . 显然，最大，所以选择方案1最佳. 43．某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区植物覆盖面积与某种野生动物数量的关系，将其分成面积相近的若干个地块，从这些地块中随机抽取20个作为样区，调查得到样本数据，其中，和，分别表示第个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量（单位：只），并计算得. (1)求样本的相关系数（精确到0.01），并推断这种野生动物的数量y（单位：只）和植物覆盖面积x（单位：公顷）的相关程度； (2)已知20个样区中有8个样区的这种野生动物数量低于样本平均数，从20个样区中随机抽取2个，记抽到这种野生动物数量低于样本平均数的样区的个数为X，求随机变量X的分布列. 附：相关系数 【答案】(1)0.94，相关性较强． (2)见解析 【分析】（1）根据相关系数的计算公式即可代入求解， （2）根据超几何概率的概率公式求解概率，即可得分布列. 【详解】（1）样本，，2，， 的相关系数为 ． 由于相关系数,，则相关性很强，的值越大，相关性越强． 故，故相关性越强． （2）由题意得：的可能取值为0，1，2， 20个样区中有8个样区的这种野生动物数量低于样本平均数，有12个样区的这种野生动物数量不低于样本平均数， 所以， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 二项式定理与概率统计 4大高频考点概览 考点01 二项式系数60 考点02 求指定项的系数69 考点03 求其它系数问题81 考点04 随机变量与概率统计 地 城 考点01 二项式系数 1．(24-25高二上·上海松江区华东师范大学松江实验高级中学·)的二项展开式中系数最大的项是（    ）. A．第n项 B．第n＋1项 C．第n＋1项和第n－1项 D．无法确定 2．(23-24高二下·河北石家庄师大附中·期末)关于二项式的展开式，下列说法正确的是（    ） A．展开式的所有系数和为1 B．展开式的第4项二项式系数最大 C．展开式中不含项 D．展开式的常数项为240 3．(22-23高二上·甘肃庆阳宁县第二中学·期末)在的二项展开式中，下列说法正确的是（    ） A．展开式中所有项的系数和为256 B．展开式中所有奇数项的二项式系数和为128 C．展开式中含x项的系数为 D．展开式中二项式系数的最大项为第四项 4．(24-25高二上·甘肃定西八校·期末)已知，则（    ） A． B． C． D．展开式中所有项的二项式系数的和为16 5．(24-25高二上·甘肃庆阳·期末)对于二项式，下列说法正确的是（   ） A．其展开式一共有项 B．其展开式的二项式系数和为 C．其展开式的所有项的系数和为 D．其展开式的第三项为 6．(24-25高二上·甘肃·期末)在下列关于二项式的命题中，正确的是（   ） A．的展开式中，一共有6项 B．在的展开式中，所有二项式系数的和为64 C．若，则 D．二项式，若，则 7．(24-25高二上·甘肃·期末)在的展开式中，各项的二项式系数中第三项和第四项相等且最大，则的系数为 ． 8．(23-24高二上·甘肃白银靖远县第四中学·期末)在的展开式中，所有项的二项式系数之和为128，则的系数为 ． 9．(21-22高三上·辽宁铁岭六校·期末)已知的二项式系数和为256，则展开式中含项的系数为 ． 0．(24-25高二上·甘肃甘南州卓尼县柳林中学·期末)在的展开式中，______. 给出下列条件：①二项式系数和为64；②各项系数之和为729；③第三项的二项式系数为15.试在这三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并且完成下列问题： (1)求的值并求展开式中的常数项； (2)求展开式中的系数. 注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分. 地 城 考点02 求指定项的系数 11．(24-25高二上·甘肃兰州神州天立学院式高中·期末)的展开式中含项的系数为（    ） A．5 B．7 C．8 D．10 12．(24-25高二上·甘肃白银靖远县第四中学·期末)在的展开式中，的系数为（    ） A． B．21 C． D．28 13．(24-25高二上·甘肃临夏州高中·期末)二项式的展开式中的常数项为（    ） A． B．10 C． D．20 14．已知展开式中各项系数之和为，则展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 15．的展开式中的系数为（    ） A．60 B．50 C．40 D．20 16．在的展开式中，含项的系数为 . 17．(24-25高二上·甘肃定西岷县·期末)二项式的展开式中常数项为，则含项的系数为 . 18．(24-25高二上·甘肃酒泉·期末)在的展开式中，的系数为 .（用数字作答） 19．(24-25高二上·甘肃定西岷县·期末)已知二项式. (1)求二项展开式中的常数项； (2)记二项展开式中奇数项系数之和为，偶数项系数之和为，求. 地 城 考点03 求其它系数问题 20．若且，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D．1或 21．(24-25高二上·甘肃白银靖远县第四中学·期末)若的展开式中含的系数为15，则实数（    ） A．2 B．1 C． D． 22．(24-25高二上·甘肃庆阳环县第一中学·期末)若，，则（    ） A． B． C． D． 23．(21-22高二下·湖南株洲第二中学·期中)我国南宋数学家杨辉年所著的《详解九章算法》就给出著名的杨辉三角， 由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.如图所示，由杨辉三角的左腰上的各数出发，引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为.以下关于杨辉三角的猜想中正确的是（    ） A．由 “与首末两端等距离的两个二项式系数相等” 猜想 B．由 “在相邻两行中， 除以外的每个数都等于它肩上的两个数字之和猜想 ； C．第条斜线上各数字之和为； D．在第条斜线上， 各数从左往右先增大后减少 24．(24-25高二上·辽宁抚顺重点高中六校协作体·期末)已知，则（    ） A． B． C． D． 25．(20-21高二下·浙江浙北G2（嘉兴一中、湖州中学）·期中)已知，且，则 . 26．(24-25高二上·甘肃定西八校·期末)的展开式中，各项系数的最大值是 ． 27．(24-25高二上·甘肃白银靖远县第四中学·期末)的展开式中的常数项为84，则 ． 28．(24-25高二上·甘肃多校·期末)在的展开式中． (1)求二项式系数最大的项； (2)系数的绝对值最大的项是第几项？ (3)求系数最大的项． 29．(24-25高二上·甘肃白银·期末)已知的展开式中共有9项. (1)求的值； (2)求展开式中的系数； (3)求二项式系数最大的项. 30．(22-23高二上·四川攀枝花·期末)从①第4项的系数与第2项的系数之比是；②第3项与倒数第2项的二项式系数之和为36；这两个条件中任选一个，再解决补充完整的题目． 已知（），且的二项展开式中，____． (1)求的值； (2)①求二项展开式的中间项； ②求的值． 31．(20-21高二上·江苏镇江第一中学·期末)（1）已知. 求：①； ②； （2）在的展开式中，求： ①展示式中的第3项； ②展开式中二项式系数最大的项. 地 城 考点04 随机变量与概率统计 32．某兴趣小组研究光照时长x（h）和向日葵种子发芽数量y（颗）之间的关系，采集5组数据，作如图所示的散点图．若去掉后，下列说法正确的是（    ） A．相关系数r变小 B．决定系数变小 C．残差平方和变大 D．解释变量x与预报变量y的相关性变强 33．鸢是鹰科的一种鸟，《诗经·大雅·旱麓》曰：“鸢飞戾天，鱼跃余渊”. 鸢尾花因花瓣形如鸢尾而得名，寓意鹏程万里、前途无量.通过随机抽样，收集了若干朵某品种鸢尾花的花萼长度和花瓣长度（单位：cm），绘制散点图如图所示，计算得样本相关系数为，利用最小二乘法求得相应的经验回归方程为，根据以上信息，如下判断正确的为（    ） A．花瓣长度和花萼长度不存在相关关系 B．花瓣长度和花萼长度负相关 C．花萼长度为7cm的该品种鸢尾花的花瓣长度的平均值为 D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是 34．如图：样本A和B分别取自两个不同的总体，他们的样本平均数分别为和，样本标准差分别为和，则（ ）    A． B． C． D． 35．四川省将从2022年秋季入学的高一年级学生开始实行高考综合改革，高考采用“3+1+2”模式，其中“1”为首选科目，即物理与历史二选一.某校为了解学生的首选意愿，对部分高一学生进行了抽样调查，制作出如下两个等高条形图，根据条形图信息，下列结论正确的是（    ） A．样本中选择物理意愿的男生人数少于选择历史意愿的女生人数 B．样本中女生选择历史意愿的人数多于男生选择历史意愿的人数 C．样本中选择物理学科的人数较多 D．样本中男生人数少于女生人数 36．已知，则，，.今有一批数量庞大的零件.假设这批零件的某项质量指标引单位：毫米）服从正态分布，现从中随机抽取N个，这N个零件中恰有K个的质量指标ξ位于区间.若，试以使得最大的N值作为N的估计值，则N为（    ） A．45 B．53 C．54 D．90 37．(24-25高三上·湖南长沙长郡中学·期末)如图，某电子实验猫线路图上有，两个即时红绿指示灯，当遇到红灯时，实验猫停止前行，恢复绿灯后，继续前行，，两个指示灯工作相互独立，且出现红灯的概率分别为，.同学甲从第一次实验到第五次实验中，实验猫在处遇到红灯的次数为，在，两处遇到红灯的次数之和为，则（    ） A． B． C．一次实验中，，两处至少遇到一次红灯的概率为 D．当时， 38．(23-24高三下·辽宁大连二十四中学·模拟)下列命题中，正确的有（    ） A．若随机变量，，则 B．数据1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的第分是 C．若随机变量，则 D．若两组成对数据的样本相关系数分别为，，则组数据比组数据的相关性较强 39．(24-25高三上·天津和平区·期末)某射击俱乐部开展青少年射击培训，俱乐部共有6支气枪，其中有2支气枪未经试射校正，有4支气枪已校正，若用校正过的气枪射击，射中10环的概率为0.8，用未校正过的气枪射击，射中10环的概率为0.4，某少年射手任取一支气枪进行1次射击，射中10环的概率是 ；若此少年射手任取一支气枪进行4次射击（每次射击后将气枪放回），每次射击结果相互不影响，则4次射击中恰有2次射中10环的概率为 ． 40．某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下： 优级品 合格品 不合格品 总计 甲车间 26 24 0 50 乙车间 70 28 2 100 总计 96 52 2 150 (1)填写如下列联表： 优级品 非优级品 甲车间 乙车间 能否有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？ (2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率，设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（） 附： 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 优级品 非优级品 甲车间 26 24 乙车间 70 30 41．某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立． (1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率． (2)假设， （i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ （ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 42．红蜘蛛是柚子的主要害虫之一，能对柚子树造成严重伤害，每只红蜘蛛的平均产卵数y（个）和平均温度x（℃）有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.    (1)根据散点图判断，与（其中…为自然对数的底数）哪一个更适合作为平均产卵数y（个）关于平均温度x（℃）的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） (2)由（1）的判断结果及表中数据，求出y关于x的回归方程.（计算结果精确到0.1） 附：回归方程中，， 参考数据（） 5215 17713 714 27 81.3 3.6 (3)根据以往每年平均气温以及对果园年产值的统计，得到以下数据：平均气温在22℃以下的年数占60%，对柚子产量影响不大，不需要采取防虫措施；平均气温在22℃至28℃的年数占30%，柚子产量会下降20%；平均气温在28℃以上的年数占10%，柚子产量会下降50%.为了更好的防治红蜘蛛虫害，农科所研发出各种防害措施供果农选择. 在每年价格不变，无虫害的情况下，某果园年产值为200万元，根据以上数据，以得到最高收益（收益＝产值－防害费用）为目标，请为果农从以下几个方案中推荐最佳防害方案，并说明理由. 方案1：选择防害措施A，可以防止各种气温的红蜘蛛虫害不减产，费用是18万； 方案2：选择防害措施B，可以防治22℃至28℃的蜘蛛虫害，但无法防治28℃以上的红蜘蛛虫害，费用是10万； 方案3：不采取防虫害措施. 43．某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区植物覆盖面积与某种野生动物数量的关系，将其分成面积相近的若干个地块，从这些地块中随机抽取20个作为样区，调查得到样本数据，其中，和，分别表示第个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量（单位：只），并计算得. (1)求样本的相关系数（精确到0.01），并推断这种野生动物的数量y（单位：只）和植物覆盖面积x（单位：公顷）的相关程度； (2)已知20个样区中有8个样区的这种野生动物数量低于样本平均数，从20个样区中随机抽取2个，记抽到这种野生动物数量低于样本平均数的样区的个数为X，求随机变量X的分布列. 附：相关系数 0 1 2 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $