专题02 二次函数5大考点（期末真题汇编，黑龙江专用）九年级数学上学期人教版

专题02 二次函数 5大高频考点概览 考点01 二次函数的图象与性质 考点02 待定系数法求二次函数的解析式 考点03 二次函数系数间的关系 考点04 二次函数与方程、不等式 考点05 实际问题与二次函数 地 城 考点01 二次函数的图象与性质 一、单选题 1．(24-25九上·黑龙江省哈尔滨市巴彦县第四共同体·期末)抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·黑龙江哈尔滨通河县·期末)抛物线的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 3．(24-25九上·黑龙江省双鸭山市集贤县·期末)抛物线顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 4．(24-25九上·黑龙江齐齐哈尔拜泉县·期末)一次函数的图像如图所示，则二次函数的图像为（    ） A． B． C． D． 5．(24-25九上·黑龙江省大庆市肇源县·期末)若，，为二次函数的图像上的三点，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 6．(24-25九上·黑龙江省绥化市明水县·期末)关于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．图像与轴的交点坐标为 B．图像的对称轴在轴的右侧 C．当时，的值随值的增大而减小 D．的最小值为-3 二、填空题 7．(24-25九上·黑龙江省大庆市肇源县·期末)写出一个二次函数的表达式，使其图象经过原点： ． 8．(24-25九上·黑龙江绥化望奎县·期末)二次函数的顶点坐标是 ． 9．(24-25九上·黑龙江绥化明水县·期末)已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围为 ． 10．(24-25九上·黑龙江龙东部分学校·期末)已知点，和都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是 （用“>”连接）． 11．(24-25九上·黑龙江省佳木斯市富锦市·期末)抛物线 y＝ax2＋bx＋c 经过点 A(－2，0)、B(1，0)两点，则关于 x 的一元二次方程a(x－3)2＋c＝3b－bx 的解是 12．(24-25九上·黑龙江佳木斯富锦·期末)已知二次函数的图象过点，，，则，，的大小关系是 ． 地 城 考点02 待定系数法求二次函数的解析式 一、填空题 1．(24-25九上·黑龙江省七台河市·期末)二次函数的图象过点，，，，其中m，n为常数，则的值为 ． 二、解答题 2．(24-25九上·黑龙江七台河·期末)已知抛物线（是常数，）． (1)若此抛物线的图象经过点和，求此抛物线的解析式； (2)若，当时，函数随的增大而增大，求的取值范围． 3．(24-25九上·黑龙江大庆肇源县·期末)已知二次函数的图象经过点． (1)求此二次函数的解析式； (2)求的面积． 4．(24-25九上·黑龙江省佳木斯市第二十中学·期末)如图，抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且 ． (1)求抛物线的解析式； (2)P 为抛物线上的一动点，且在直线上方，过点 P 作 y 轴的平行线交直线 于点Q，，请直接写出点 P 的坐标． 5．(24-25九上·黑龙江牡丹江第十一中学区·期末)如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点． (1)求抛物线对应的函数解析式，并直接写出顶点的坐标； (2)求的面积． 6．(24-25九上·黑龙江省绥化市望奎县·期末)如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点为直线上方抛物线上的动点，连接，直线与抛物线的对称轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)求直线的解析式； (3)求的面积最大值． 7．(24-25九上·黑龙江省双鸭山市集贤县·期末)如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，点、是二次函数图象上一对对称点，一次函数的图象过点、． (1)直接写出点、的坐标； (2)求二次函数的解析式； (3)根据图象求的解集． 地 城 考点03 二次函数系数间的关系 一、单选题 1．(24-25九上·黑龙江省绥化市明水县·期末)函数和（是常数，且在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A．   B．   C．   D．   2．(24-25九上·黑龙江省齐齐哈尔市梅里斯区·期末)函数与在同一直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 3．(24-25九上·黑龙江省绥化市海伦市·期末)已知二次函数下列结论正确的是（    ） ①已知点，点在二次函数的图象上，则；②该图象一定过定点和；③直线与抛物线一定存在两个交点；④当时，的最小值是，则． A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 4．(24-25九上·黑龙江省牡丹江市·期末)一次函数y=bx+a与二次函数y=ax2+bx+c(a0)在同一坐标系中的图象大致是（　） A． B． C． D． 5．(24-25九上·黑龙江省绥化市望奎县·期末)二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 6．(24-25九上·黑龙江省佳木斯市·期末)已知一次函数y=x+c的图象如图，则二次函数y=ax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是（　　）    A．   B．   C．   D．   7．(24-25九上·黑龙江省齐齐哈尔市龙江县·期末)已知二次函数图象的对称轴为，其图象如图所示，现有下列结论：①，②，③，④，⑤．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．(24-25九上·黑龙江齐齐哈尔拜泉县·期末)已知二次函数的图像如图所示，对称轴为直线，有下列结论：①②③④方程的两根是⑤当时，随的增大而增大．其中正确的个数为（    ）个 A．5 B．4 C．3 D．2 9．(24-25九上·黑龙江省双鸭山市集贤县·期末)已知二次函数的图象如图所示，则下列结论：①；②；③；④当时，的值只能为；⑤，其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．(24-25九上·黑龙江省大庆市肇源县·期末)二次函数的顶点坐标为，其部分图象如图所示．以下结论错误的是（　　） A． B． C． D．关于x的方程无实数根 11．(24-25九上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期末)如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④若方程的两根为和，且，则满足；⑤不等式的解集为．其中正确结论的个数为（  ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 12．(24-25九上·黑龙江牡丹江第十一中学区·期末)如图，抛物线的对称轴为直线，经过点．下列结论：①；②；③；④抛物线经过点和，则；⑤（为任意实数）．其中，正确结论的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 13．(24-25九上·黑龙江哈尔滨香坊区·期末)如图，是抛物线的部分图象，其对称轴是直线，且抛物线与x轴的一个交点的坐标是，下列结论：①；②；③该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是；④若点和在抛物线上，则．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．(24-25九上·黑龙江海林朝鲜族中学·期末)如图是二次函数图象的一部分，图象过点，与y轴交于点C，对称轴为．给出五个结论：①；②；③；④当时，；⑤若，点P是抛物线对称轴上一点，则周长的最小值为，其中正确结论的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 15．(24-25九上·黑龙江省齐齐哈尔市梅里斯区·期末)如图，抛物线（为常数，）与轴的交点，顶点坐标，与轴交点在和之间（包括端点），则下列结论：①；②；③对于任意实数，总成立；④关于的方程有两个不相等的实根，其中正确的是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①④ D．②③ 16．(24-25九上·黑龙江七台河·期末)二次函数（是常数，）部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论：①；②（m是任意实数）；③；④；⑤若是抛物线上不同的两个点，则；其中正确结论是（   ） A．②③④ B．②③⑤ C．①②③④ D．①③④⑤ 17．(24-25九上·黑龙江牡丹江·期末)如图，抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析下列结论：①；②当时，y随x的增大而增大；③；④若，为方程的两个根，则且；⑤点，在抛物线上，，若，则，其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 18．(24-25九上·黑龙江虎林·期末)二次函数的图象如图所示，以下结论：①；②；③；④其顶点坐标为；⑤当时，随的增大而减小；⑥；⑦方程有实数解．其中结论正确的序号为 ． 19．(24-25九上·黑龙江龙东部分学校·期末)二次函数的图象如图所示，以下结论：①；②；③；④其顶点坐标为；⑤当时，随的增大而减小；⑥；⑦方程有实数解．其中结论正确的序号为 ． 地 城 考点04 二次函数与方程、不等式 一、单选题 1．(24-25九上·黑龙江省佳木斯市富锦市·期末)抛物线与轴交点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·黑龙江哈尔滨阿城区·期末)下列各选项为某同学得出的关于二次函数的性质的结论，其中不正确的是（    ） A．方程的解是， B．开口向下 C．与y轴交点坐标为 D．顶点坐标为 3．(24-25九上·黑龙江省佳木斯市富锦市·期末)已知抛物线y＝（x﹣a）2+x﹣3a+1与直线y＝a（a是常数，且a≠0）有两个不同的交点，且抛物线的对称轴在y轴右侧，则a的取值范围是（　　） A．a＞ B．a＞ C．＜a＜ D．﹣＜a＜﹣ 4．(24-25九上·黑龙江省佳木斯市富锦市·期末)二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）和正比例函数y＝﹣x的图象如图所示，则方程ax2+（b+ ）x+c＝0（a≠0）的两根之和（　　）    A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．不能确定 5．(24-25九上·黑龙江哈尔滨南岗区·期末)抛物线与轴的公共点个数为（   ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 6．(24-25九上·黑龙江大庆让胡路区·期末)已知二次函数，若点，点，点都在二次函数图象上，且，则的取值范围（    ） A． B．或 C． D．或 7．(24-25九上·黑龙江牡丹江第十一中学区·期末)已知抛物线向右平移2个单位后与的一个交点为，则代数式的值为（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 地 城 考点05 实际问题与二次函数 一、填空题 1．(24-25九上·黑龙江省绥化市海伦·期末)如图，某幢建筑物从米高的窗口A用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线型（抛物线所在平面与墙面垂直），如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面3米，则水流下落点B离墙的距离是 ． 2．(24-25九上·黑龙江绥化海伦·期末)如图，用一段长为60米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18米，设矩形菜园的面积为S，的长为，则S关于x的函数关系式是 ． 二、解答题 3．(24-25九上·黑龙江省大庆市肇源县·期末)某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个20元，市场调查发现，该种健身球每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：，设这种健身球每天的销售利润为w元． (1)如果销售单价定为25元，那么健身球每天的销售量是 个； (2)求w与x之间的函数关系式； (3)该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 4．(24-25九上·黑龙江省大庆市肇源县·期末)如图，小亮父亲想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈，已知房屋外墙长，设矩形的边，面积为． （1）写出S与x之间的关系式，并指出x的取值范围； （2）当分别为多少米时，羊圈的面积最大？最大面积是多少？ 5．(24-25九上·黑龙江省大庆市让胡路区·期末)某种蔬菜的销售单价y1与销售月份x之间的关系如图1所示，成本y2与销售月份x之间的关系如图2所示（图1的图象是线段，图2的图象是抛物线） （1）已知6月份这种蔬菜的成本最低，此时出售每千克的收益是多少元？（收益=售价﹣成本） （2）哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？简单说明理由． （3）已知市场部销售该种蔬菜4、5两个月的总收益为22万元，且5月份的销售量比4月份的销售量多2万千克，求4、5两个月的销售量分别是多少万千克？ 6．(24-25九上·黑龙江省哈尔滨市通河县·期末)怡然美食店的A、B两种菜品，每份成本均为14元，售价分别为20元、18元，这两种菜品每天的营业额共为1120元，总利润为280元． （1）该店每天卖出这两种菜品共多少份； （2）该店为了增加利润，准备降低A种菜品的售价，同时提高B种菜品的售价，售卖时发现，A种菜品售价每降0.5元可多卖1份；B种菜品售价每提高0.5元就少卖1份，如果这两种菜品每天销售总份数不变，那么这两种菜品一天的总利润最多是多少． 7．(24-25九上·黑龙江省双鸭山市集贤县·期末)2025年第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨举办．“冰雪同梦，亚洲同心”推动亚洲各国携手合作，共同发展．亚冬会吉祥物“滨滨”和“妮妮”寓意“哈尔滨欢迎您”．亚运会特许商品零售店预售吉祥物“滨滨”，该吉祥物每个进价为30元，规定售价不低于进价．现在售价为每个50元，每天可销售100个．经市场调查发现，若售价每降价1元，则每天的销售量将增加10个．设每个吉祥物降价x元（x为整数），每天的销售量为y个， (1)直接写出y与x之间的函数关系式； (2)设每天销售吉祥物“滨滨”的利润为W元，求出W与x的函数关系式； (3)在（2）的条件下，特许零售店如何定价，才能使每天销售吉祥物“滨滨”的利润W最大？最大利润是多少元？ 8．(24-25九上·黑龙江省齐齐哈尔市拜泉县·期末)某商店销售龙年春晚吉祥物形象“龙辰辰”纪念品，已知每件进价为元，当销售单价定为元时，每天可以销售件，市场调查反映：销售单价每提高元，日销量将会减少件，现销售单价不低于原销售单价，且不得超过进价的倍，设该纪念品的销售单价为（元），日销量为（件），日销售利润为（元）． (1)求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)求日销售利润（元）与销售单价（元）的函数关系式，当为何值时，日销售利润最大，并求出最大利润． 9．(24-25九上·黑龙江哈尔滨香坊区·期末)中央大街某特产店销售，两种特产．种特产进价为每件元，种特产进价为每件元．售出件种特产与件种特产的总售价为元；售出件种特产与件种特产的总售价为元． (1)求、两种特产每件利润分别为多少元； (2)由于种特产供货紧张，每天只能购进件且按原价售完．种特产供货充足，按原售价进行销售，每天可售出件．经市场调查发现，种特产在原售价基础上每降价元，每天可多售出件（每件售价不低于进价），设该店每天销售这两种特产的总利润为元，总利润有没有最大值？如果没有，说明理由；如果有，求出这个最大值，并求出此时每件种特产降价多少元．（利润售价进价） 10．(24-25九上·黑龙江省佳木斯市·期末)在杭州举办的亚运会令世界瞩目，吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”家喻户晓，其相关产品成为热销产品．某商店购进了一批吉祥物毛绒玩具，进价为每个元．若毛绒玩具每个的售价是元时，每天可售出个；若每个售价提高元，则每天少卖个． (1)设该吉祥物毛绒玩具每个售价定为元，求该商品销售量与之间的函数关系式； (2)如果每天的利润要达到元，并且尽可能让利于顾客，每个毛绒玩具售价应定为多少元？ (3)若获利不得高于进价的，每个毛绒玩具售价定为多少元时，每天销售玩具所获利润最大，最大利润是多少元？ 11．(24-25九上·黑龙江省七台河市·期末)春节期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成本为2000元，该影院每天售出的电影票数量y（单位：张）与售价x（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且x是整数），部分数据如下表所示： 电影票售价x（元/张） 40 50 售出电影票数量y（张） 164 124 (1)请求出y与x之间的函数关系式； (2)设该影院每天的利润（利润票房收入运营成本）为w（单位：元），求w与x之间的函数关系式； (3)该影院将电影票售价x定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？ 12．(24-25九上·黑龙江省齐齐哈尔市梅里斯区·期末)某商场销售一种商品的进价为每件30元，销售过程中发现月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系如图所示． （1）根据图象直接写出y与x之间的函数关系式． （2）设这种商品月利润为W（元），求W与x之间的函数关系式． （3）这种商品的销售单价定为多少元时，月利润最大？最大月利润是多少？ 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数 5大高频考点概览 考点01 二次函数的图象与性质 考点02 待定系数法求二次函数的解析式 考点03 二次函数系数间的关系 考点04 二次函数与方程、不等式 考点05 实际问题与二次函数 地 城 考点01 二次函数的图象与性质 一、单选题 1．(24-25九上·黑龙江省哈尔滨市巴彦县第四共同体·期末)抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数的性质，顶点坐标是．据此即可求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 故选D． 2．(24-25九上·黑龙江哈尔滨通河县·期末)抛物线的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 根据题目中的函数解析式，直接可以写出对称轴即可． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线， 故选：A． 3．(24-25九上·黑龙江省双鸭山市集贤县·期末)抛物线顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求二次函数顶点坐标，将二次函数一般式改为顶点式即可直接得出其顶点坐标，这也是解题关键． 【详解】解：∵， ∴该抛物线顶点坐标是． 故选C． 4．(24-25九上·黑龙江齐齐哈尔拜泉县·期末)一次函数的图像如图所示，则二次函数的图像为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数与二次函数的系数与图象的关系是解题的关键．先利用一次函数的图象得出，的取值范围，再判断的图象． 【详解】解：由一次函数的图象可得，， ∴对于二次函数的图象，开口向上，与轴的交点在轴负半轴上， 又∵的图象的对称轴为轴， 只有选项B的图象符合， 故选：B． 5．(24-25九上·黑龙江省大庆市肇源县·期末)若，，为二次函数的图像上的三点，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先计算抛物线的对称轴，在计算各点与对称轴的水平距离，根据抛物线开口向上，距离越大，函数值也越大比较即可． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线，且， ∵，，， ∴点A到对称轴直线的距离为， 点B到对称轴直线的距离为， 点C到对称轴直线的距离为， ∵， ∴， 根据抛物线开口向上，离对称轴越近，函数值越小， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了抛物线的增减性，熟练掌握抛物线开口向上，离对称轴越近，函数值越小是解题的关键． 6．(24-25九上·黑龙江省绥化市明水县·期末)关于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．图像与轴的交点坐标为 B．图像的对称轴在轴的右侧 C．当时，的值随值的增大而减小 D．的最小值为-3 【答案】D 【详解】∵y=2x2+4x-1=2（x+1）2-3， ∴当x=0时，y=-1，故选项A错误， 该函数的对称轴是直线x=-1，故选项B错误， 当x＜-1时，y随x的增大而减小，故选项C错误， 当x=-1时，y取得最小值，此时y=-3，故选项D正确， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 二、填空题 7．(24-25九上·黑龙江省大庆市肇源县·期末)写出一个二次函数的表达式，使其图象经过原点： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查二次函数的性质，根据题意可以写出一个符合要求的函数表达式，注意本题答案不唯一，只要符合要求即可，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 【详解】解：∵二次函数图象经过原点， ∴二次函数的表达式可以为， 故答案为：．（答案不唯一） 8．(24-25九上·黑龙江绥化望奎县·期末)二次函数的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据的顶点坐标进行作答即可． 【详解】解：依题意，抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 9．(24-25九上·黑龙江绥化明水县·期末)已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴交点问题，根据解析式，得抛物线的对称轴为，开口向上，抛物线与x轴的另一个交点为，结合图形即可求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为，开口向上，抛物线与轴的一个交点为， 则关于对称的点为，即抛物线与轴另一个交点为， 所以时，的取值范围是． 故答案为：． 10．(24-25九上·黑龙江龙东部分学校·期末)已知点，和都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是 （用“>”连接）． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数图象的性质的性质是解题的关键． 根据二次函数解析式可得二次函数图象开口向下，对称轴直线为，根据二次函数增减性即可求解． 【详解】解：∵二次函数， ∴二次函数图象开口向下，对称轴直线为， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， ∴离对称轴直线越远，值越小， ∵，，，， ∴， 故答案为：． 11．(24-25九上·黑龙江省佳木斯市富锦市·期末)抛物线 y＝ax2＋bx＋c 经过点 A(－2，0)、B(1，0)两点，则关于 x 的一元二次方程a(x－3)2＋c＝3b－bx 的解是 【答案】 【分析】先根据抛物线 y＝ax2＋bx＋c 经过点 A(－2，0)、B(1，0)两点建立方程组，用含有a的代数式来表示b和c，之后直接将代数式代入方程即可整理求解． 【详解】解：∵抛物线 y＝ax2＋bx＋c 经过点 A(－2，0)、B(1，0)两点， ∴ ， ①+②×2可得：6a+3c=0， ， ①-②可得：， ， a(x－3)2＋c＝a(x－3)2－2a=3b－bx=3a－ax， ， 解得：； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数且）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程，也考查了二次函数的性质． 12．(24-25九上·黑龙江佳木斯富锦·期末)已知二次函数的图象过点，，，则，，的大小关系是 ． 【答案】/ 【分析】此题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键在于求出对称轴，再利用二次函数的增减性求解更简便． 先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的对称性解答． 【详解】解：∵， ∴图象的开口向上，对称轴是直线， ∴关于直线的对称点是． ∵，且当时，y随x的增大而减小， ∴． 故答案为： 地 城 考点02 待定系数法求二次函数的解析式 一、填空题 1．(24-25九上·黑龙江省七台河市·期末)二次函数的图象过点，，，，其中m，n为常数，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，把A、B、D的坐标代入，求出a、b、c，然后把C的坐标代入可得出m、n的关系，即可求解． 【详解】解：把，，代入， 得， 解得， ∴， 把代入， 得， ∴， ∴， 故答案为：． 二、解答题 2．(24-25九上·黑龙江七台河·期末)已知抛物线（是常数，）． (1)若此抛物线的图象经过点和，求此抛物线的解析式； (2)若，当时，函数随的增大而增大，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求二次函数解析式，二次函数的性质； （1）将和代入函数表达式即可； （2）根据解析式得出抛物线的对称轴为直线，进而根据二次函数性质即可求解． 【详解】（1）解：将和代入函数中， 得： ， 解得 ， 故函数表达式为：； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线 ∵当时，函数随x的增大而增大 ∴，且 ∴a的取值范围为 3．(24-25九上·黑龙江大庆肇源县·期末)已知二次函数的图象经过点． (1)求此二次函数的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)15 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解． （1）设交点式，然后把C点坐标代入求出a，从而得到抛物线解析式； （2）直接根据三角形的面积公式求解． 【详解】（1）解：由题意得，设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线解析式为， 即； （2）解：∵， ∴， ∴的面积． 4．(24-25九上·黑龙江省佳木斯市第二十中学·期末)如图，抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且 ． (1)求抛物线的解析式； (2)P 为抛物线上的一动点，且在直线上方，过点 P 作 y 轴的平行线交直线 于点Q，，请直接写出点 P 的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)点P的坐标为或 【分析】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法、一元二次方程的应用等知识，数形结合是解题的关键． （1）求出，利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出点C的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式为，设点 P 的坐标为．则利用得到，解方程后即可得到答案． 【详解】（1）解：∵． ∴ 把点代入得到， 解得 ∴ （2）令， 解得 ∴点B的坐标是， 设直线的解析式为，把点B和点的坐标代入得到， 解得 ∴直线的解析式为， 设点 P 的坐标为． ∴点的坐标是， ∴， ∵， ∴， 解得 当时，， 当时，， ∴点P的坐标为或． 5．(24-25九上·黑龙江牡丹江第十一中学区·期末)如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点． (1)求抛物线对应的函数解析式，并直接写出顶点的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质、待定系数法、割补法求面积，掌握以上知识点是解题的关键． （1）将、点的坐标代入解析式即可； （2）过点作轴交轴于点，利用面积转化即可求解． 【详解】（1）将、代入解析式，得 ， 解得： ∴抛物线解析式为， ∵， ∴顶点． （2）如图，过点作轴交轴于点，则， ． ∴的面积为． 6．(24-25九上·黑龙江省绥化市望奎县·期末)如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点为直线上方抛物线上的动点，连接，直线与抛物线的对称轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)求直线的解析式； (3)求的面积最大值． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2) (3)的面积最大值为 【分析】（1）把点，代入抛物线，利用待定系数法即可求解； （2）根据抛物线的解析式，令，可求出抛物线与轴的交点，根据待定系数法即可求解； （3）如图所示，过点作轴交于，设，则，用含的式子表示的面积，根据抛物线的顶点式即可求出最大值． 【详解】（1）解：将，代入， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：令，则，解得，， ∴，且， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为． （3）解：如图所示，过点作轴交于， 设，则， ∴， ∴， ∴当时，的面积有最大值，最大值为， ∴的面积最大值为． 【点睛】本题主要考查二次函数，一次函数的综合，掌握待定系数法求解析式，函数图像的性质特点及面积的计算方法是解题的关键． 7．(24-25九上·黑龙江省双鸭山市集贤县·期末)如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，点、是二次函数图象上一对对称点，一次函数的图象过点、． (1)直接写出点、的坐标； (2)求二次函数的解析式； (3)根据图象求的解集． 【答案】(1)点坐标为，点坐标为 (2)二次函数的解析式为 (3)或 【分析】本题考查了二次函数的对称性，待定系数法求抛物线的解析式，根据交点确定不等式的解集． （1）先根据二次函数的对称性求出抛物线的对称轴为，求出点的坐标，根据二次函数的对称性即可求出点的坐标； （2）将、代入，解方程组即可求出抛物线的解析式； （3）根据抛物线与一次函数的交点横坐标，结合图象，即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于、两点， ∴的对称轴为直线， 令，得， 故点的坐标为， ∵点、是二次函数图象上一对对称点， 故点的坐标为． （2）解：将、代入，得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为． （3）解：∵二次函数的图象与一次函数的图象过点、．且，， ∴的解集为：或． 地 城 考点03 二次函数系数间的关系 一、单选题 1．(24-25九上·黑龙江省绥化市明水县·期末)函数和（是常数，且在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象性质：可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，故选项错误； B、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，故选项错误； C、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴，故选项正确； D、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的对称轴，故选项错误． 故选：． 2．(24-25九上·黑龙江省齐齐哈尔市梅里斯区·期末)函数与在同一直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象及反比例函数的图象，分类讨论：当时，当时，利用数形结合即可求解，利用分类讨论思想和数形结合思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：当时，则， 抛物线的开口向上，且与轴交于负半轴， 反比例函数的图象经过一、三象限， 当时， 抛物线的开口向下，且与轴交于正半轴， 反比例函数的图象经过二、四象限， 综上所述，在同一直角坐标系中的图象可能， 故选A． 3．(24-25九上·黑龙江省绥化市海伦市·期末)已知二次函数下列结论正确的是（    ） ①已知点，点在二次函数的图象上，则；②该图象一定过定点和；③直线与抛物线一定存在两个交点；④当时，的最小值是，则． A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数与一元二次方程、二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据题意可以得到此二次函数开口向上，对称轴为直线，再根据二次函数的性质，即可判断题目中的各个小题是否正确． 【详解】解：二次函数，开口向下， 且对称轴为直线， ①∵点，点在二次函数的图象上，且， ∴，故①正确； ②∵， 当时，即， 解得：或， 该图象一定过定点和；故②正确； ③将代入，即， 整理得，， ∴， ∴直线与抛物线一定存在两个交点，故③正确； ④当时，y随x的增大而增大， ∴当时，y有最小值为m， 即， 解得：，故④错误； 综上，正确的有①②③， 故选：A． 4．(24-25九上·黑龙江省牡丹江市·期末)一次函数y=bx+a与二次函数y=ax2+bx+c(a0)在同一坐标系中的图象大致是（　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A. 由抛物线可知，a>0，x=− <0，得b<0，由直线可知，a>0，b>0，故本选项错误； B. 由抛物线可知，a>0，x=−>0，得b<0，由直线可知，a>0，b>0，故本选项错误； C. 由抛物线可知，a<0，x=−<0，得b<0，由直线可知，a<0，b<0，故本选项正确； D. 由抛物线可知，a<0，x=−<0，得b<0，由直线可知，a<0，b>0，故本选项错误． 故选C. 5．(24-25九上·黑龙江省绥化市望奎县·期末)二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，判断出系数的符号，再利用数形结合的思想解答．根据二次函数的图象可以得到a、b的正负情况，从而可以得到一次函数的图象，本题得以解决． 【详解】解：由二次函数的图象可得，，， ∴∴一次函数的图象经过第二、三、四象限， 故选：C． 6．(24-25九上·黑龙江省佳木斯市·期末)已知一次函数y=x+c的图象如图，则二次函数y=ax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是（　　）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】由一次函数的图象判断出<0, c>0，再判断二次函数的图象特征，进而求解. 【详解】由一次函数的图象可得：<0, c>0，所以二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴=>0,与y轴的交点在正半轴，符合题意的只有A.故选A. 【点睛】本题考查了二次函数图象与一次函数的图象，解题的关键是根据一次函数的图象判断出<0, c>0. 7．(24-25九上·黑龙江省齐齐哈尔市龙江县·期末)已知二次函数图象的对称轴为，其图象如图所示，现有下列结论：①，②，③，④，⑤．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的图象与系数之间的关系，根据图象的开口方向，对称轴，与轴的交点位置，判断①，对称轴判断②，特殊点判断③，最值判断④，特殊点结合对称轴判断⑤． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，对称轴为直线，与轴交于正半轴， ∴， ∴，故①错误； ∵， ∴，故②错误； 由图象，当时，，故③错误； 当时，函数有最大值，当时，， ∴， ∴，故④正确； 由对称性可知：和的函数值相同， ∴， ∵， ∴， ∴；故⑤正确； 故选B． 8．(24-25九上·黑龙江齐齐哈尔拜泉县·期末)已知二次函数的图像如图所示，对称轴为直线，有下列结论：①②③④方程的两根是⑤当时，随的增大而增大．其中正确的个数为（    ）个 A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数图象与系数的关系，以及抛物线与轴的交点，二次函数，的符号由抛物线的开口方向决定，的符号由抛物线与轴交点的位置确定，的符号由及对称轴的位置决定，抛物线的增减性由对称轴与开口方向共同决定，当抛物线开口向上时，对称轴左边随的增大而减小，对称轴右边随的增大而增大；当抛物线开口向下时，对称轴左边随的增大而增大，对称轴右边随的增大而减小．此外抛物线解析式中得到一元二次方程的解即为抛物线与轴交点的横坐标． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 对称轴在轴右侧， ， ， 抛物线与轴的交点在轴正半轴， ， ，故①错误； 抛物线与轴的一个交点为，又对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点为， 方程的两根是，，故④正确； 则抛物线过点，当时，， ∴，故③正确； 当时，，即，故②正确， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，故⑤错误． 综上：②③④正确， 故选：C 9．(24-25九上·黑龙江省双鸭山市集贤县·期末)已知二次函数的图象如图所示，则下列结论：①；②；③；④当时，的值只能为；⑤，其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，由抛物线的开口向上得到，由与轴的交点为()得到，而对称轴为 ，得，进一步得到，由此判定①；根据抛物线与轴有两个不同交点，则方程有两个不等实数根，即可判断②；由，，由此判定③；由得到，由此确定判定④；根据图象可得，当时的函数值小于，即可判定⑤正确． 【详解】解：由图象可得，，， ，故①错误， 抛物线与轴有两个不同交点，则方程有两个不等实数根， ，故②正确 = ，， ，， ， ，故③正确； 对称轴为， 点()和()关于对称轴对称， 当时，的值为和，故④错误； 根据函数图象可得，时，，故⑤错误． 综上，可得正确结论的个数是个：②③． 故选B． 10．(24-25九上·黑龙江省大庆市肇源县·期末)二次函数的顶点坐标为，其部分图象如图所示．以下结论错误的是（　　） A． B． C． D．关于x的方程无实数根 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，掌握二次函数的性质及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与y轴的交点可以对A进行判断；根据抛物线与x轴的交点情况可对B进行判断；时，，可对C进行判断；根据抛物线与直线无交点，可对D进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∴，故选项A正确，该选项不符合题意； ∵有图可知，抛物线与x轴有两个交点， ∴，即， 故选项B正确，该选项不符合题意； ∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点在和之间， ∴抛物线与x轴的另一个交点在和之间， ∴时，， 即， ∵， ∴， 故选项C错误，该选项符合题意； ∵抛物线开口向下，顶点为， ∴函数有最大值n， ∴抛物线与直线无交点， ∴一元二次方程无实数根， 故选项D正确，该选项不符合题意；． 故选：C． 11．(24-25九上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期末)如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④若方程的两根为和，且，则满足；⑤不等式的解集为．其中正确结论的个数为（  ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系、二次函数图象与x轴的交点坐标与方程的解之间的关系，利用开口方向和对称轴的位置即可判断①，利用对称轴和特殊点的函数值即可判断②，利用二次函数的最值即可判断③，利用二次函数的对称性得出函数为，由抛物线与直线的交点可知，即可得出，，即可判断④，求得抛物线与直线的交点坐标根据图象即可判断． 【详解】解：①∵函数图象开口方向向上， ∴； ∵对称轴在y轴右侧， ∴a、b异号， ∴， 又抛物线与轴负半轴相交， ∴， ∴，故①错误； ②∵二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线， ∴1， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确； ③由对称轴和开口方向可知最小值， ， ∴， 故③正确； ④∵二次函数的图象与x轴交于点，对称轴为直线， ∴二次函数的图象与x轴的另一个交点为， ∴， 由图象可知抛物线与直线交点在x轴的上方， ∴若方程的两根为和，且， ∴， ∴，， ∵， ∴， 故④正确； ∵，， ∴， ∴抛物线为，则直线， 令， 整理得，解得，， ∴抛物线为与直线的交点的横坐标为， 由图象可知，不等式的解集为， 故⑤正确； 综上所述，正确的有4个． 故选：B． 12．(24-25九上·黑龙江牡丹江第十一中学区·期末)如图，抛物线的对称轴为直线，经过点．下列结论：①；②；③；④抛物线经过点和，则；⑤（为任意实数）．其中，正确结论的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与系数的关系、二次函数的性质，根据图象得出二次函数的性质，再推断即可． 【详解】解：①开口向下，故， 又对称轴在轴右边，即 ， 与轴交点在原点上方，故， ，即①错误． ②二次函数的图象与轴有两个交点， ，故②正确． ③由图可知对称轴是直线， 二次函数解析式可化为 将点代入得：， 即：＝．故③正确． ④抛物线的对称轴是直线，且图象经过点， 根据对称性图象经过点． 由图可知当时，随着的增大而减小， 又 所以 故④错误． ⑤抛物线的对称轴是直线，开口向下． 当时，有最大值． 当时对应的函数值要小于或等于时对应的函数值， 即， ． 故⑤正确． 故正确的有：②③⑤，共个． 故选：B． 13．(24-25九上·黑龙江哈尔滨香坊区·期末)如图，是抛物线的部分图象，其对称轴是直线，且抛物线与x轴的一个交点的坐标是，下列结论：①；②；③该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是；④若点和在抛物线上，则．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．根据二次函数的图像和性质进行解题即可． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴 ∴，， ∴，故①错误； ∵对称轴是直线，且抛物线与x轴的一个交点的坐标是， ∴该抛物线与轴的另一个交点坐标是，故③错误； 将代入，得， 由图像可知，此时图像在轴上方，故，故②正确； 时，函数有最大值，距离对称轴更近，故，故④正确； 综上所述，其中正确的有2个． 故选：B． 14．(24-25九上·黑龙江海林朝鲜族中学·期末)如图是二次函数图象的一部分，图象过点，与y轴交于点C，对称轴为．给出五个结论：①；②；③；④当时，；⑤若，点P是抛物线对称轴上一点，则周长的最小值为，其中正确结论的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题可根据二次函数的图象与性质，分别对五个结论进行分析判断．本题主要考查了二次函数的图象与性质，勾股定理，熟练掌握二次函数的对称轴、与轴交点个数与判别式的关系以及最短路径问题是解题的关键． 【详解】解：抛物线与轴有两个交点 ，即，故①正确 对称轴为 ，即，，故②错误 当时， ，故③错误 抛物线开口向下， 当时， ，， 又， 无法确定与的大小关系，故④错误 抛物线的对称轴为， 点关于对称轴的对称点为 的周长为 的周长的最小值为 ， 的周长的最小值为，故⑤正确 综上，正确的结论有①⑤，共个 故选：A． 15．(24-25九上·黑龙江省齐齐哈尔市梅里斯区·期末)如图，抛物线（为常数，）与轴的交点，顶点坐标，与轴交点在和之间（包括端点），则下列结论：①；②；③对于任意实数，总成立；④关于的方程有两个不相等的实根，其中正确的是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①④ D．②③ 【答案】B 【分析】利用抛物线开口方向得到a＜0，再由抛物线的对称轴方程得到b=2a，则3a+b=a，于是可对①进行判断；利用2≤c≤3和c=3a可对②进行判断；利用二次函数的性质可对③进行判断；根据抛物线y=ax2+bx+c与直线有两个交点可对④进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， 而抛物线的对称轴为直线=1，即b=2a， ∴3a+b=3a2a=a＜0，所以①错误； 把点代入，则，， ∴， ∴， ∵2≤c≤3， ∴2≤3a≤3， ∴1≤a≤，所以②正确； ∵抛物线的顶点坐标（1，n）， ∴x=1时，二次函数值有最大值n， ∴a+b+c≥am2+bm+c， 即a+b≥am2+bm，所以③正确； 当时，最大值为：， ∵， ∴抛物线y=ax2+bx+c与直线有两个交点， ∴关于x的方程有两个不相等的实数根，所以④正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左； 当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 16．(24-25九上·黑龙江七台河·期末)二次函数（是常数，）部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论：①；②（m是任意实数）；③；④；⑤若是抛物线上不同的两个点，则；其中正确结论是（   ） A．②③④ B．②③⑤ C．①②③④ D．①③④⑤ 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，解题时要熟练掌握二次函数的性质并能数形结合是关键． 根据抛物线的开口方向，对称轴可得，即可判断①，时，函数值最大，即可判断②，根据时，，即可判断③，根据图象当，，代入，即可判断④，根据对称性可得即可判断⑤，即可求解． 【详解】解：∵二次函数图象开口向下 ∴ ∵对称轴为直线， ∴ ∴ ∵抛物线与轴交于正半轴，则 ∴，故①错误， ∵抛物线开口向下，对称轴为直线, ∴当时，取得最大值，最大值为 ∴（m为任意实数） 即，故②正确； ∵时，, 即 ∵ ∴ 即 ∴，故③正确； 当，，，故④正确； ∵、是抛物线上不同的两个点， ∴关于对称， ∴即，故⑤不正确， 正确的有②③④， 故选：A． 17．(24-25九上·黑龙江牡丹江·期末)如图，抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析下列结论：①；②当时，y随x的增大而增大；③；④若，为方程的两个根，则且；⑤点，在抛物线上，，若，则，其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由抛物线开口向下可得，由抛物线的对称轴为直线可得，由抛物线与轴的交点在正半轴上可得，据此即可判断结论①；由二次函数的图象与性质即可判断结论②；由抛物线与x轴交于点可得，即，结合，可得，由于，因而，两式结合即可判断结论③；利用轴对称的性质可求得抛物线与x轴的另一个交点为，由抛物线与x轴交于点、可得，由，为方程的两个根可得，为函数与直线的两个交点的横坐标，再结合，利用二次函数的图象与性质即可判断结论④；由可得，因而点离对称轴的距离大于点离对称轴的距离，再结合抛物线开口向下，利用二次函数的图象与性质即可判断结论⑤；综上，即可得出所有正确的结论． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线的对称轴为直线， ， ， 抛物线与轴的交点在正半轴上， ， ，故结论①正确； 抛物线的对称轴为直线，且抛物线开口向下， 当时，y随x的增大而增大，故结论②错误； 抛物线与x轴交于点， ， 即：， ， ， ∴ ， ， ，故结论③正确； 抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线， 抛物线与x轴的另一个交点为， ，为方程的两个根， ，为方程的两个根， ，为函数与直线的两个交点的横坐标， 由抛物线与x轴交于点、，可得， ，为函数与直线的两个交点的横坐标， ， 当时，对应的的值且，故结论④正确； ， ， 点离对称轴的距离大于点离对称轴的距离， 又抛物线开口向下， ，故结论⑤错误； 综上，正确的结论有：，共个， 故选：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象判断式子符号，抛物线与轴的交点问题，二次函数的图象与系数的关系，轴对称的性质，不等式的性质，中点坐标公式等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质并运用数形结合思想是解题的关键． 二、填空题 18．(24-25九上·黑龙江虎林·期末)二次函数的图象如图所示，以下结论：①；②；③；④其顶点坐标为；⑤当时，随的增大而减小；⑥；⑦方程有实数解．其中结论正确的序号为 ． 【答案】①②③⑤ 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系等知识点．①根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点即可判断；②根据抛物线与x轴的交点个数即可判断；③根据抛物线的对称轴即可判断；④根据抛物线与y轴的交点和顶点坐标即可判断；⑤根据抛物线的性质即可判断；⑥根据当时y的值即可判断；⑦先说明二次函数的最小值为，则抛物线与没有交点即可判断． 【详解】解：①∵抛物线开口方向向上， ∴， ∵对称轴， ∴， ∵抛物线与y轴的交点的纵坐标为， ∴， ∴，即①正确； ②∵抛物线与x轴有两个交点，即方程有两个不同的解， ∴，即， ∴，②正确； ③∵抛物线的对称轴，即， ∴， ∴，即③正确； ④∵抛物线与y轴的交点坐标为， ∴抛物线的顶点的纵坐标不能为，即④错误； ⑤∵二次函数的图象与x轴交点的横坐标为， ∴抛物线的对称轴为：， 根据抛物线的性质可知： ∴当时，随的增大而减小，即⑤正确； ⑥由函数图象可知：当时，， ∴，即⑥错误； ⑦由图象可得：抛物线过点， 则，解得：， ∴， ∴二次函数的最小值为， ∴二次函数与无交点， ∴方程无实数解，即⑦错误． 故答案为①②③⑤． 19．(24-25九上·黑龙江龙东部分学校·期末)二次函数的图象如图所示，以下结论：①；②；③；④其顶点坐标为；⑤当时，随的增大而减小；⑥；⑦方程有实数解．其中结论正确的序号为 ． 【答案】①②③⑤ 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系等知识点，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． ①根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点即可判断；②根据抛物线与x轴的交点个数即可判断；③根据抛物线的对称轴即可判断；④根据抛物线与y轴的交点和顶点坐标即可判断；⑤根据抛物线的性质即可判断；⑥根据当时y的值即可判断；⑦先说明二次函数的最小值为，则抛物线与没有交点即可判断． 【详解】解：①∵抛物线开口方向向上， ∴， ∵对称轴， ∴， ∵抛物线与y轴的交点的纵坐标为， ∴， ∴，即①正确； ②∵抛物线与x轴有两个交点，即方程有两个不同的解， ∴，即， ∴，②正确； ③∵抛物线的对称轴，即， ∴， ∴，即③正确； ④∵抛物线与y轴的交点坐标为， ∴抛物线的顶点的纵坐标不能为，即④错误； ⑤∵二次函数的图象与x轴交点的横坐标为， ∴抛物线的对称轴为：， 根据抛物线的性质可知： ∴当时，随的增大而减小，即⑤正确； ⑥由函数图象可知：当时，， ∴，即⑥错误； ⑦由图象可得：抛物线过点， 则，解得：， ∴， ∴二次函数的最小值为， ∴二次函数与无交点， ∴方程无实数解，即⑦错误． 故答案为①②③⑤． 地 城 考点04 二次函数与方程、不等式 一、单选题 1．(24-25九上·黑龙江省佳木斯市富锦市·期末)抛物线与轴交点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求图象与y轴的交点坐标，令x＝0，求y即可． 【详解】当时，， 抛物线与轴交点的坐标是． 故选C 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与y轴的交点坐标特点，解题的关键是熟知函数图象的特点． 2．(24-25九上·黑龙江哈尔滨阿城区·期末)下列各选项为某同学得出的关于二次函数的性质的结论，其中不正确的是（    ） A．方程的解是， B．开口向下 C．与y轴交点坐标为 D．顶点坐标为 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的关系等知识．分别根据二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系等知识逐项判断即可求解． 【详解】解：A．解方程得，故原选项正确，不合题意； B．∵， ∴抛物线开口向下，故原选项正确，不合题意； C．把代入得：， ∴与y轴交点坐标为，故原选项正确，不合题意； D．∵， ∴抛物线的顶点坐标为，故原选项不正确，符合题意． 故选：D． 3．(24-25九上·黑龙江省佳木斯市富锦市·期末)已知抛物线y＝（x﹣a）2+x﹣3a+1与直线y＝a（a是常数，且a≠0）有两个不同的交点，且抛物线的对称轴在y轴右侧，则a的取值范围是（　　） A．a＞ B．a＞ C．＜a＜ D．﹣＜a＜﹣ 【答案】B 【分析】根据直线和抛物线有两个不同的交点，由直线和抛物线解析式得出关于x的一元二次方程，通过判别式Δ＞0，求出a的取值，再根据对称轴在y轴右侧，得出a的取值，故可以判断B正确． 【详解】解：∵抛物线y=（x-a）2+x-3a+1与直线y=a（a是常数，且a≠0）有两个不同的交点， ∴（x-a）2+x-3a+1=a， 整理得：x2+（1-2a）x+a2-4a+1=0， Δ=（1-2a）2-4×1×（a2-4a+1）=1-4a+4a2-4a2+16a-4=12a-3＞0， ∴a＞， 又∵二次函数y=（x-a）2+x-3a+1=x2+（1-2a）x+a2-3a+1对称轴在y轴右侧， ∴-=-+a＞0， ∴a＞， ∴a＞， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数之间的关系，直线与抛物线的交点等知识，关键是对二次函数的图象和性质的掌握． 4．(24-25九上·黑龙江省佳木斯市富锦市·期末)二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）和正比例函数y＝﹣x的图象如图所示，则方程ax2+（b+ ）x+c＝0（a≠0）的两根之和（　　）    A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．不能确定 【答案】C 【分析】设的两根为x1，x2，由二次函数的图象可知，；设方程的两根为m，n，再根据根与系数的关系即可得出结论． 【详解】解：设的两根为x1，x2， ∵由二次函数的图象可知，， ． 设方程的两根为m，n，则 . 故选C． 【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，熟知抛物线与x轴的交点与一元二次方程根的关系是解答此题的关键． 5．(24-25九上·黑龙江哈尔滨南岗区·期末)抛物线与轴的公共点个数为（   ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与轴的的交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．求出当时，的值，由此即可得． 【详解】解：对于二次函数， 当时，，解得， 所以抛物线与轴的公共点个数为1个， 故选：B． 6．(24-25九上·黑龙江大庆让胡路区·期末)已知二次函数，若点，点，点都在二次函数图象上，且，则的取值范围（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，绝对值的性质，由点、点可得抛物线的对称轴为直线，即得，得，再根据二次函数解析式得抛物线与轴的交点坐标为，又根据抛物线开口向上，抛物线上的点离对称轴的距离越近，函数值越小，得到点到对称轴的距离比点到对称轴的距离近，即得，最后根据绝对值的性质解不等式即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵点，点在二次函数图象上， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标为， ∵抛物线开口向上， ∴抛物线上的点离对称轴的距离越近，函数值越小， ∵， ∴点到对称轴的距离比点到对称轴的距离近， ∴， 即， 当时，， ∴； 当时，， ∴； 综上， 的取值范围为或， 故选：． 7．(24-25九上·黑龙江牡丹江第十一中学区·期末)已知抛物线向右平移2个单位后与的一个交点为，则代数式的值为（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，二次函数与一元二次方程的联系，正确理解二次函数与一元二次方程的联系是解题的关键．先求出抛物线平移后的解析式，再根据二次函数与一元二次方程的联系，得到是方程的根，从而得出，最后将代入计算，即得答案． 【详解】， 抛物线向右平移2个单位后的解析式为， 令，则， 是方程的根， ， ． 故选：D． 地 城 考点05 实际问题与二次函数 一、填空题 1．(24-25九上·黑龙江省绥化市海伦·期末)如图，某幢建筑物从米高的窗口A用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线型（抛物线所在平面与墙面垂直），如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面3米，则水流下落点B离墙的距离是 ． 【答案】/米 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，理解图示，设二次函数的解析式为，运用待定系数法求解析式，再将点的纵坐标为代入解析式即可求解，掌握二次函数顶点式的运用是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得，，顶点坐标， ∴设抛物线的解析式为， 把点代入得，， 解得，， ∴抛物线的解析式为：， 根据题意，点的纵坐标为， ∴， 解得，，（不符合题意，舍去）， ∴， ∴， 故答案为：． 2．(24-25九上·黑龙江绥化海伦·期末)如图，用一段长为60米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18米，设矩形菜园的面积为S，的长为，则S关于x的函数关系式是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，由，，再利用面积公式建立二次函数关系式即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 故答案为：． 二、解答题 3．(24-25九上·黑龙江省大庆市肇源县·期末)某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个20元，市场调查发现，该种健身球每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：，设这种健身球每天的销售利润为w元． (1)如果销售单价定为25元，那么健身球每天的销售量是 个； (2)求w与x之间的函数关系式； (3)该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2) (3)该种健身球销售单价定为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元 【分析】（1）在中，令，进行计算即可得； （2）根据总利润=每个建生球的利润×销售量即可列出w与x之间的函数关系式； （3）结合（2）的函数关系式，根据二次函数性质即可得． 【详解】（1）解：在中，令得，， 故答案为：； （2）解：根据题意得，， 即w与x之间的函数关系式为：； （3）解：， ∵， ∴当时，w取最大值，最大值为， 即该种健身球销售单价定为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意，列出函数关系式． 4．(24-25九上·黑龙江省大庆市肇源县·期末)如图，小亮父亲想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈，已知房屋外墙长，设矩形的边，面积为． （1）写出S与x之间的关系式，并指出x的取值范围； （2）当分别为多少米时，羊圈的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）S=-2x2+80x，（15≤x＜40）；（2）当AB=20m，BC=40m时，面积S有最大值为800m2． 【分析】（1）根据BC=（栅栏总长-2AB），再利用矩形面积公式即可求出； （2）根据配方法求出二次函数最值即可． 【详解】解：（1）∵AB=CD=xm， ∴BC=（80-2x）m， ∴S=x（80-2x）=-2x2+80x， ∴， ∴， ∴， ∴15≤x＜40， ∴S=-2x2+80x，（15≤x＜40）； （2）∵S=-2（x2-40x+400-400）=-2（x-20）2+800， ∵15≤x＜40， ∴当x=20时，S有最大值为800， ∴即当AB=20m，BC=40m时，面积S有最大值为800m2． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，找到所给面积的等量关系是解决本题的关键． 5．(24-25九上·黑龙江省大庆市让胡路区·期末)某种蔬菜的销售单价y1与销售月份x之间的关系如图1所示，成本y2与销售月份x之间的关系如图2所示（图1的图象是线段，图2的图象是抛物线） （1）已知6月份这种蔬菜的成本最低，此时出售每千克的收益是多少元？（收益=售价﹣成本） （2）哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？简单说明理由． （3）已知市场部销售该种蔬菜4、5两个月的总收益为22万元，且5月份的销售量比4月份的销售量多2万千克，求4、5两个月的销售量分别是多少万千克？ 【答案】（1）6月份出售这种蔬菜每千克的收益是2元．（2）5月份出售这种蔬菜，每千克的收益最大．（3）4月份的销售量为4万千克，5月份的销售量为6万千克． 【详解】分析：（1）找出当x=6时，y1、y2的值，二者作差即可得出结论； （2）观察图象找出点的坐标，利用待定系数法即可求出y1、y2关于x的函数关系式，二者作差后利用二次函数的性质即可解决最值问题； （3）求出当x=4时，y1﹣y2的值，设4月份的销售量为t万千克，则5月份的销售量为（t+2）万千克，根据总利润=每千克利润×销售数量，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论． 详解：（1）当x=6时，y1=3，y2=1， ∵y1﹣y2=3﹣1=2， ∴6月份出售这种蔬菜每千克的收益是2元． （2）设y1=mx+n，y2=a（x﹣6）2+1． 将（3，5）、（6，3）代入y1=mx+n， ，解得：， ∴y1=﹣x+7； 将（3，4）代入y2=a（x﹣6）2+1， 4=a（3﹣6）2+1，解得：a=， ∴y2=（x﹣6）2+1=x2﹣4x+13． ∴y1﹣y2=﹣x+7﹣（x2﹣4x+13）=﹣x2+x﹣6=﹣（x﹣5）2+． ∵﹣＜0， ∴当x=5时，y1﹣y2取最大值，最大值为， 即5月份出售这种蔬菜，每千克的收益最大． （3）当t=4时，y1﹣y2=﹣x2+x﹣6=2． 设4月份的销售量为t万千克，则5月份的销售量为（t+2）万千克， 根据题意得：2t+（t+2）=22， 解得：t=4， ∴t+2=6． 答：4月份的销售量为4万千克，5月份的销售量为6万千克． 点睛：本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、二次函数的性质以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）观察函数图象，找出当x=6时y1﹣y2的值；（2）根据点的坐标，利用待定系数法求出y1、y2关于x的函数关系式；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 6．(24-25九上·黑龙江省哈尔滨市通河县·期末)怡然美食店的A、B两种菜品，每份成本均为14元，售价分别为20元、18元，这两种菜品每天的营业额共为1120元，总利润为280元． （1）该店每天卖出这两种菜品共多少份； （2）该店为了增加利润，准备降低A种菜品的售价，同时提高B种菜品的售价，售卖时发现，A种菜品售价每降0.5元可多卖1份；B种菜品售价每提高0.5元就少卖1份，如果这两种菜品每天销售总份数不变，那么这两种菜品一天的总利润最多是多少． 【答案】（1）60；（2）316． 【分析】(1)、首先设该店每天卖出A、B两种菜品分别为x、y份，然后根据总营业额和总利润得出二元一次方程组，从而求出答案；(2)、设A种菜品售价降0.5a元，则每天卖（20+a）份，根据每天销售总份数不变，则B种菜品卖（40﹣a）份，每份售价提高0.5a元，然后根据总利润=单件利润×数量得出函数解析式，然后根据二次函数的性质得出最大值． 【详解】解：(1)、设该店每天卖出A、B两种菜品分别为x、y份， 根据题意得：，     解得：， 答：该店每天卖出这两种菜品共60份； (2)、设A种菜品售价降0.5a元，即每天卖（20+a）份，总利润为w元， 因为两种菜品每天销售总份数不变，所以B种菜品卖（40﹣a）份，每份售价提高0.5a元． 则w=（20﹣14﹣0.5a）（20+a）+（18﹣14+0.5a）（40﹣a） =（6﹣0.5a）（20+a）+（4+0.5a）（40﹣a）=（﹣0.5a2﹣4a+120）+（﹣0.5a2+16a+160） =﹣a2+12a+280=﹣（a﹣6）2+316， 当a=6，w最大，w=316 答：这两种菜品每天的总利润最多是316元． 7．(24-25九上·黑龙江省双鸭山市集贤县·期末)2025年第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨举办．“冰雪同梦，亚洲同心”推动亚洲各国携手合作，共同发展．亚冬会吉祥物“滨滨”和“妮妮”寓意“哈尔滨欢迎您”．亚运会特许商品零售店预售吉祥物“滨滨”，该吉祥物每个进价为30元，规定售价不低于进价．现在售价为每个50元，每天可销售100个．经市场调查发现，若售价每降价1元，则每天的销售量将增加10个．设每个吉祥物降价x元（x为整数），每天的销售量为y个， (1)直接写出y与x之间的函数关系式； (2)设每天销售吉祥物“滨滨”的利润为W元，求出W与x的函数关系式； (3)在（2）的条件下，特许零售店如何定价，才能使每天销售吉祥物“滨滨”的利润W最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2) (3)定价为45元，利润最大，最大利润是2250元， 【分析】本题考查了二次函数的应用——销售问题．根据销售量与原销售量和增加销售量的关系，总利润与每个利润和数量的关系，列出函数关系式是解题的关键． （1）根据售价为每个50元，每天可销售100个．售价每降价1元，每天的销售量将增加10个．设每个吉祥物降价x元（x为整数），每天的销售量为y个，列出函数关系式即可； （2）根据总利润等于每个利润乘数量列出函数关系式； （3）根据 ，，得到时，w有最大值2250，定价为45元． 【详解】（1）解：∵售价为每个50元，每天可销售100个．售价每降价1元，每天的销售量将增加10个．设每个吉祥物降价x元（x为整数），每天的销售量为y个， ∴； （2） ； （3）∵，， ∴当时，w有最大值， 最大值为2250， 此时定价为：（元）． 8．(24-25九上·黑龙江省齐齐哈尔市拜泉县·期末)某商店销售龙年春晚吉祥物形象“龙辰辰”纪念品，已知每件进价为元，当销售单价定为元时，每天可以销售件，市场调查反映：销售单价每提高元，日销量将会减少件，现销售单价不低于原销售单价，且不得超过进价的倍，设该纪念品的销售单价为（元），日销量为（件），日销售利润为（元）． (1)求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)求日销售利润（元）与销售单价（元）的函数关系式，当为何值时，日销售利润最大，并求出最大利润． 【答案】(1)与的函数关系式为 (2)当为时，日销售利润最大，最大利润元 【分析】本题考查了二次函数的运用，利用总利润=单个利润×销售数量建立函数关系式，进一步利用性质的解决问题，解答时求出二次函数的解析式是关键． （1）根据题意得到函数解析式即可； （2）根据题意得到，根据二次函数的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：根据题意得，， 故与的函数关系式为； （2）解：根据题意得，， ∵， ∴当时，随的增大而增大， 当时，最大， 答：当为时，日销售利润最大，最大利润元． 9．(24-25九上·黑龙江哈尔滨香坊区·期末)中央大街某特产店销售，两种特产．种特产进价为每件元，种特产进价为每件元．售出件种特产与件种特产的总售价为元；售出件种特产与件种特产的总售价为元． (1)求、两种特产每件利润分别为多少元； (2)由于种特产供货紧张，每天只能购进件且按原价售完．种特产供货充足，按原售价进行销售，每天可售出件．经市场调查发现，种特产在原售价基础上每降价元，每天可多售出件（每件售价不低于进价），设该店每天销售这两种特产的总利润为元，总利润有没有最大值？如果没有，说明理由；如果有，求出这个最大值，并求出此时每件种特产降价多少元．（利润售价进价） 【答案】(1)种特产每件利润元，种特产每件利润元 (2)种特产降价元时，总利润有最大值，最大值为元 【分析】本题主要考查二次函数的应用，二元一次方程组的应用，得到能解决问题的相等关系是解答本题的关键． （1）根据售出件种特产与件种特产的总售价为元，售出件种特产与件种特产的总售价为元列出二元一次方程组，求解即可； （2）产品的利润产品的利润，把相关数值代入后可得二次函数，进而根据二次函数的性质可得每件种特产降价多少元时总利润最大及最大利润． 【详解】（1）解：设种特产每件售价为元，种特产每件售价为元， 根据题意得：， 解得：， （元），（元）， 答：种特产每件利润元，种特产每件利润元； （2）解：设种特产降价元， 根据题意得：， ， 有最大值， 当时，最大， ， 答：种特产降价元时，总利润有最大值，最大值为元． 10．(24-25九上·黑龙江省佳木斯市·期末)在杭州举办的亚运会令世界瞩目，吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”家喻户晓，其相关产品成为热销产品．某商店购进了一批吉祥物毛绒玩具，进价为每个元．若毛绒玩具每个的售价是元时，每天可售出个；若每个售价提高元，则每天少卖个． (1)设该吉祥物毛绒玩具每个售价定为元，求该商品销售量与之间的函数关系式； (2)如果每天的利润要达到元，并且尽可能让利于顾客，每个毛绒玩具售价应定为多少元？ (3)若获利不得高于进价的，每个毛绒玩具售价定为多少元时，每天销售玩具所获利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2) (3)定为元时，每天销售毛绒玩具所获利润最大，最大利润是元 【分析】本题考查一次函数、二次函数及一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．（1）根据题意列出函数解析式即可；（2）利润为元，求的值；（3）求出利润函数解析式，根据二次函数性质求出最值． 【详解】（1）解：根据题意，得， 与之间的函数关系式：； （2）根据题意，得， 解得， 尽可能让利于顾客， ， 答：每个毛绒玩具售价应定为元； （3）， 获利不得高于进价的，， ， ， 当时，随着的增大而增大， 当时，最大，此时． 答：每个售价定为元时，每天销售毛绒玩具所获利润最大，最大利润是元． 11．(24-25九上·黑龙江省七台河市·期末)春节期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成本为2000元，该影院每天售出的电影票数量y（单位：张）与售价x（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且x是整数），部分数据如下表所示： 电影票售价x（元/张） 40 50 售出电影票数量y（张） 164 124 (1)请求出y与x之间的函数关系式； (2)设该影院每天的利润（利润票房收入运营成本）为w（单位：元），求w与x之间的函数关系式； (3)该影院将电影票售价x定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2) (3)定价40元/张或41元/张时，每天获利最大，最大利润是4560元 【分析】本题考查二次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值． （1）根据题意和表格中的数据，可以计算出与之间的函数关系式； （2）根据利润票房收入运营成本和（1）中的结果，可以写出与之间的函数关系式； （3）将（2）中的函数解析式化为顶点式，再根据二次函数的性质和的取值范围，可以求得该影院将电影票售价定为多少时，每天获利最大，最大利润是多少． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式是， 由表格可得，， 解得， 即与之间的函数关系式是，且是整数）； （2）由题意可得， ， 即与之间的函数关系式是； （3）由（2）知：， ，且是整数， 当或41时，取得最大值，此时， 答：该影院将电影票售价定为40元或41元时，每天获利最大，最大利润是4560元． 12．(24-25九上·黑龙江省齐齐哈尔市梅里斯区·期末)某商场销售一种商品的进价为每件30元，销售过程中发现月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系如图所示． （1）根据图象直接写出y与x之间的函数关系式． （2）设这种商品月利润为W（元），求W与x之间的函数关系式． （3）这种商品的销售单价定为多少元时，月利润最大？最大月利润是多少？ 【答案】（1）y＝；（2）W＝;（3）这种商品的销售单价定为65元时，月利润最大，最大月利润是3675． 【分析】（1）当40≤x≤60时，设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，当60＜x≤90时，设y与x之间的函数关系式为y=mx+n，解方程组即可得到结论； （2）当40≤x≤60时，当60＜x≤90时，根据题意即可得到函数解析式； （3）当40≤x≤60时，W=-x2+210x-5400，得到当x=60时，W最大=-602+210×60-5400=3600，当60＜x≤90时，W=-3x2+390x-9000，得到当x=65时，W最大=-3×652+390×65-9000=3675，于是得到结论． 【详解】解：（1）当40≤x≤60时，设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b， 将（40，140），（60，120）代入得， 解得：， ∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+180； 当60＜x≤90时，设y与x之间的函数关系式为y＝mx+n， 将（90，30），（60，120）代入得， 解得：， ∴y＝﹣3x+300； 综上所述，y＝； （2）当40≤x≤60时，W＝（x﹣30）y＝（x﹣30）（﹣x+180）＝﹣x2+210x﹣5400， 当60＜x≤90时，W＝（x﹣30）（﹣3x+300）＝﹣3x2+390x﹣9000， 综上所述，W＝； （3）当40≤x≤60时，W＝﹣x2+210x﹣5400， ∵﹣1＜0，对称轴x＝＝105， ∴当40≤x≤60时，W随x的增大而增大， ∴当x＝60时，W最大＝﹣602+210×60﹣5400＝3600， 当60＜x≤90时，W＝﹣3x2+390x﹣9000， ∵﹣3＜0，对称轴x＝＝65， ∵60＜x≤90， ∴当x＝65时，W最大＝﹣3×652+390×65﹣9000＝3675， ∵3675＞3600， ∴当x＝65时，W最大＝3675， 答：这种商品的销售单价定为65元时，月利润最大，最大月利润是3675． 【点睛】本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用．根据题意分情况建立二次函数的模型是解题的关键． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $