5.4一元一次方程与实际问题（动点问题）跟踪练习2025-2026学年青岛版数学七年级上册

5.4一元一次方程与实际问题（动点问题）跟踪练习 2025-2026学年青岛版数学七年级上册 一、单选题 1．数轴上一动点向右移动个单位长度到达点，再向左移动个单位长度到达点，若表示的数是，则点表示的数是（    ） A． B．5 C．0 D．1 2．电子跳蚤在数轴上的点处，第一步从向右跳1个单位到，第二步由向左跳2个单位到，第三步由向右跳3个单位到，第四步由向左跳4个单位到，…按以上规律跳了50步时电子跳蚤落在数轴上的点处，若所表示的数是-26.5，则电子跳蚤的初始位置点所表示的数是（    ） A．0 B．-1 C．-1.5 D．1.5 3．如图，已知A，B两点在数轴上，点A表示的数为，，点M以每秒1个单位长度的速度从点A向右运动，点N以每秒3个单位长度的速度从点B向左运动（点M、点N同时出发），经过几秒，点M、点N分别到原点O的距离相等（　　） A．5秒 B．5秒或4秒 C．5秒或秒 D．秒 4．点A，B是数轴上两点，位置如图，点P，Q是数轴上两动点，点P由点A点出发，以1单位长度/秒的速度在数轴上运动，点Q由点B点出发，以2单位长度/秒的速度在数轴上运动．若两点同时开始和结束运动，设运动时间为t秒．下面是四位同学的判断： ①小康同学：当t=2时，点P和点Q重合． ②小柔同学：当t=6时，点P和点Q重合． ③小议同学：当t=2时，PQ=8． ④小科同学：当t=6时，PQ=18． 以上说法可能正确的是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 5．已知点A在数轴上对应的数为，点对应的数为，且，A、之间的距离记作，定义：．下列结论：①线段的长；②设点在数轴上对应的数为，当时，；③若点在A的左侧，；④若点在线段上，则的值不变．其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①④ 6．数轴上点，，，分别表示实数，，，，点，分别从，出发，沿数轴正方向移动，点从出发，在线段上往返运动（在，处掉头的时间忽略不计），三个点同时出发，点，，的速度分别为2，1，1个单位长度每秒，点，重合时，运动停止．当点为线段的中点时，运动时间为（    ） A．2 B． C． D．或 二、填空题 7．数轴上，A，B两点所表示的数分别为，9，点P从A点出发以3单位长度每秒向右运动，点Q同时从B点出发以2单位长度每秒向左运动，当时，则运动时间为 秒． 8．有理数a，b，c在数轴上的对应点A，B，C的位置如图所示，点A与点B和点C的距离分别为3和9．原点O从点A开始，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点O运动 秒时，． 9．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离，如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为8，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒，当为 时，． 10．已知、分别是数轴上的两点，点表示的数为，点表示的数为80，点为数轴上一动点，点到点和点的距离之和为120，则点表示的数为 ． 11．如图，已知数轴上点表示的数为8，是数轴上一点，且．动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为． （1）当 时，； （2）若点表示的数是，当的值最小时，则的取值范围是 ． 三、解答题 12．如图，数轴上的点，，分别表示有理数，1，6．请利用数形结合思想回答下列问题： (1)点与点的距离_____，点与点的距离_____． (2)到点的距离为4的点表示的数是_____，点向左移动了8个单位长度得到点，点表示的有理数为_____． (3)，两点同时在数轴上向右运动，点的速度是每秒3个单位长度，点的速度是每秒1.5个单位长度，多少秒后，，两点相距2个单位长度？ 13．如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是4，阅读以下材料并解决相关问题．若在数轴上存在一点P，使得点P到点A的距离与点P到点B的距离之和等于n，则称点P为点A、B的“n格距点”．例如：在图1中，点P表示的数是，点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为，则称点P为点A、B的“7格距点”． (1)若点P表示的数是2，则n的值为 ； (2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点P为点A、B的“7格距点”，则这样的整点P有 个； (3)若点P在数轴上运动，满足点P到点B的距离等于点P到点A的距离的2倍，且此时点P为点A、B的“n格距点”，求点P表示的数及n的值． 14．已知点M，N在数轴上，点M对应的数是，点N在点M的右边，且距点个单位长度，点P，Q是数轴上两个动点． (1)点N对应的数是 ． (2)当点P到点M，N的距离之和是5个单位长度时，直接写出点P对应的数． (3)如果点P，Q分别从点M，N出发，均沿数轴向左运动，点P每秒走2个单位长度，先出发5秒钟，点Q每秒走3个单位长度，当P，Q两点相距3个单位长度时，点P，Q对应的数分别是多少？ 15．如图，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是最小的正整数，且，满足，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，设运动时间为秒． (1)问：________，________，________； (2)当点与点到原点的距离相等时，求此时点对应的数； (3)探究：在运动过程中，的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 16．如图①，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点与点之间的距离记为，我们规定：的大小可以用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即．请用上面的知识解答下面的问题： 如图②，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是最大的负整数，且，满足与互为相反数． (1)________，_____． (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数_____表示的点重合； (3)点，，开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后． ①请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值； ②探究：若点，向右运动，点向左运动，速度均保持不变，的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 17．如图在数轴上点，表示的数分别为，，且满足． (1)点表示的数为 ，点表示的数为 ； (2)点在数轴上，且点与点之间的距离为4，若该数轴可以折叠，以数轴上一点为折点，将数轴对折后，点与点重合，则折点表示的数为 ； (3)若在原点处放一块挡板，一只小蚂蚁（可以看作一点）从点处以6个单位/秒的速度向左运动，在碰到挡板后以4个单位/秒的速度返回到点，并停止运动．设运动的时间为秒，在整个运动过程中，当它把线段分为的两段时，请求出的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】设数轴上的动点表示的数是，根据数轴上的点向左移动时，点表示的数减去移动的长度，向右移动时，点表示的数加上移动的长度，得到点表示的数是，点表示的数是，根据点表示数是，推出，解之即可． 【详解】解：设数轴上的动点A表示的数是， 由于右移动7个单位长度到点， ∴点表示的数是， 再向左移动5个单位长度到， ∴点表示的数是． ∵点表示数是， ∴，即， ∴点A表示的数是． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题，解一元一次方程，解决问题的关键是熟练掌握数轴上的点表示的数“左减右加”． 2．C 【分析】根据题意，每跳动2次，向左平移1个单位，跳动50次，相当于在原数的基础上减了25，相应的等量关系为：原数字-25=-26.5． 【详解】解：设点所对应的数为x，由题意得：每跳动2次，向左平移1个单位，跳动50次，相当于在原数的基础上减了25， 则x-25=-26.5， 解得：x=-1.5． 即电子跳蚤的初始位置点所表示的数为-1.5． 故选C 【点睛】本题考查了数轴、图形的变化规律，得到每跳动2次相对于原数的规律是解决本题的突破点． 3．C 【分析】本题考查了数轴上两点之间距离，一元一次方程与行程问题，根据题意，分别求出点表示的数，及运动时间，设运动时间为秒，分类讨论，第一种情况，点在原点左边，点在原地右边；第二种情况，点都在原点左边；第三种情况，当点在原点右边时，运动时间大于秒，则点在点坐标，不存在；图形结合，列式求解即可． 【详解】解：点表示的数为， ∴， ∵，则， ∴点表示的数为， ∵点以每秒个单位长度的速度从点向右运动，点以每秒个单位长度的速度从点向左运动（点、点同时出发）， ∴点从点到点的时间为：秒；点从点到点的时间为：秒；点从点到点的时间为：（秒）； 根据题意，设经过秒， ∴点表示的数为：，点表示的数为：， 第一种情况，点在原点左边，点在原地右边， ∴，，且 ∴， 解得，； 第二种情况，点都在原点左边， ∴，，且， ∴， 解得，； 第三种情况，当点在原点右边时，运动时间大于秒，则点在点坐标，不存在； 综上所述，当秒或秒时，点、点分别到原点的距离相等， 故选：C ． 4．A 【分析】由题意，先求出AB的长度，然后对P、Q两点的运动方向进行分析：当P、Q相向运动时可判断①；当点P在前，点Q在后运动可判断②；当点Q在前，点P在后可判断③；当P、Q反向运动或相向运动相遇后时，可判断④． 【详解】解：根据题意， ∵点A表示4，点B表示2， ∴， 当点P、Q相向运动时，设t秒后P、Q重合， ∴， ∴；故①正确； 当点P在前，点Q在后运动时，设t秒后P、Q重合， ， ∴；故②正确； 当点Q在前，点P在后时，设t秒后， ∴， ∴；故③正确； 当P、Q反向运动时，设t秒后， ∴， ∴； 当P、Q两点相遇后再相距18，则 ， ∴； ∴④的说法错误； ∴正确的说法有①②③； 故选：A． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，数轴上两点之间的距离，解题的关键是把各个距离用含有t的代数式表示和列方程是解决问题的两项重要任务． 5．B 【分析】①根据非负数的和为0，各项都为0确定，即可判断；②应考虑到A、B、P三点之间的位置关系的多种可能解题；③④利用②中的位置关系求解即可． 【详解】解：①∵， ∴， ∴，即线段的长度为3． 故①正确； ②如图，分三种情况：    当P在点A左侧时， ． 当P在点B右侧时， ． ∴上述两种情况的点P不存在． 当P在A、B之间时，， ∵， ∴由，得． ∴解得：； ∴当时，， 故②正确； ③由②得当P在点A左侧时， ，故③错误； ④当P在A、B之间时，， ， ∴的值不变，故④正确； 综合上述，①②④说法正确． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点． 6．B 【分析】根据题意画出图形，秒后，点表示的数为，点表示的数为， 设点表示的数为，根据题意得出，然后根据当，时，分类讨论，得出点，表示的数，列出方程即可求解． 【详解】解：依题意，秒后，点表示的数为，点表示的数为， 设点表示的数为， 当相遇时，，解得， ∴相遇点在， ∴当点为线段的中点时，点在点的右侧， ∴ 解得： ∵点从出发，在线段上往返运动 ∴ ∴ 当时，此时点从2往3运动， ∴点表示的数为 ∴ 解得：（舍去） 当时，此时点从3往2运动， ∴点表示的数为 ∴ 解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了数轴上动点问题，一元一次方程的应用，求得点表示的数是解题的关键． 7．1.6或4.8 【分析】设时间为t秒，根据点的运动求出，和，再根据列出方程求解即可，考查学生列方程和解方程的能力，解题技巧是利用绝对值表示避免分类讨论，能用t表示这三条线段的长度是解题的关键． 【详解】解：设时间为t秒， ∵A，B两点所表示的数分别为，9，点P从A点出发以3单位长度每秒向右运动，点Q同时从B点出发以2单位长度每秒向左运动， ∴t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为，，， ∴， ∵， ∴， 解得：或4.8． 故答案为：或4.8． 8．4 【分析】本题主要查了一元一次方程的应用，数轴上两点间的距离．根据数轴上两点间的距离可得，然后根据，可列出方程，即可求解． 【详解】解：∵点A与点B和点C的距离分别为3和9， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴当点O运动4秒时，． 故答案为：4 9．1或3 【分析】此题考查解一元一次方程的应用、数轴上的动点问题的求解等知识与方法，用数轴上两点间的距离公式求出，用，列出方程求解即可． 【详解】解：∵t秒后，点P表示的数，点Q表示的数为， ∴，， ∵， ∴， 解得：或3， ∴当或3时，， 故答案为：1或3． 10．或95 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离的表示方法、解一元一次方程，设点表示的数为，分点M在之间、点A的左边、点B的右边三种情况，列方程然后求解即可． 【详解】解：设点表示的数为，则，， 当M在之间，，不符合题意； 当M在A的左侧，， 解得； 当M在A的右侧，， 解得， 所以点M对应的数为或95， 故答案为：或95． 11． 2或 【分析】本题考查的是绝对值的化简，一元一次方程的应用，熟练的化简绝对值是解本题的关键； （1）先求解B对应的数，再由，再建立方程求解即可； （2）分三种情况化简绝对值，再求解代数式的值，得到的最小值为，此时，再建立方程即可得到答案． 【详解】解：（1）∵点表示的数为8，是数轴上一点，且， ∴，即对应的数为， 而运动中对应的数为：， ∴， ∵， ∴， ∴或， 解得：或． 故答案为：2或； （2）当时， ∴ ， 当时，此时代数式有最小值； 当时， ∴ ， 当时， ∴ ， 当时，此时最小值为； 综上：的最小值为，此时， 当时，解得， 当时，解得， ∴． 故答案为：． 12．(1)， (2)或， (3)秒或秒后，，两点相距2个单位长度 【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离公式求解即可； （2）分别根据数轴上两点之间的距离公式和数轴上的点移动规律“左减右加”求解即可； （3）设运动时间为秒，由题意得，解方程即可． 本题考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的实际应用，数轴上两点之间的距离等知识点，正确运用数轴上两点之间的距离公式求解是解题的关键． 【详解】（1）解：，． 故答案为：，． （2）若该点在点的左侧：， 若该点在点的右侧：； ； 故答案为：或，． （3）设运动时间为秒， 则点表示有理数，点表示有理数， 由条件得， 即， 解得或， 则秒或秒后，，两点相距2个单位长度 13．(1) (2) (3)点P表示的数为，或点P表示的数为， 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，有理数与数轴，一元一次方程的应用，解题的关键在于正确理解“n格距点”． （1）根据数轴上两点之间的距离，求出，进而根据“点P到点A的距离与点P到点B的距离之和等于n，”求解，即可解题； （2）根据题意得到，结合数轴得出整点P的可能取值，进而即可得到满足条件的整点P的个数； （3）根据题意设点P表示的数是，分两种情况①当点在点左侧时，②当点在之间时，结合点P到点B的距离等于点P到点A的距离的2倍，建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）解：点P表示的数是2，点A表示的数是，点B表示的数是4， ， ， 故答案为：； （2）解：整点P为点A、B的“7格距点”， ， 由数轴可知，整点P可取， 即这样的整点P有个； 故答案为：； （3）解：点P在数轴上运动，且满足点P到点B的距离等于点P到点A的距离的2倍， 设点P表示的数是， ①当点在点左侧时， 有， ， 解得， ； ②当点在之间时， 有， ， 解得， ； 综上所述，点P表示的数为，或点P表示的数为，． 14．(1)1 (2)或 (3)点P，Q对应的数分别是，或， 【分析】本题考查了两点间的距离和数轴，解决本题的关键是熟练运用“分类讨论”的数学思想． （1）根据两点间的距离公式即可求解； （2）分两种情况：点P在点M的左边时和点P在点N的右边时，进行讨论即可求解； （3）分两种情况：点P在点Q的左边时和点P在点Q的右边时，进行讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵点M对应的数是，点N在M右边4个单位， ∴， 故答案为：1； （2）解：设点P对应的数为，分两种情况： 当P在M左侧时，距离和为， 解得； 当P在N右侧时，距离和为， 解得． 综上，点P对应的数为或． （3）解：设点Q出发后经过秒，P、Q相距3个单位， ∵点P先出发5秒， ∴点P初始位置为； ∴t秒后点P的位置：，点Q的位置：， 当Q在P右侧时，距离为3， ∴ 解得， 此时P：，Q：， 当P在Q右侧时，距离为3， ∴ 解得， 此时P：，Q：． 15．(1),,； (2)； (3)不随时间的变化而改变，值为． 【分析】根据绝对值和平方的非负性求出、的值，根据是最小的正整数求出的值； 用含的代数式表示出点与点到原点的距离，根据点与点到原点的距离相等，可得关于的一元一次方程，解方程求出，再求出此时点对应的数； 用含的代数式表示出点、、表示的数，再用含的代数式表示出、，计算可得的值． 【详解】（1）解：， ，， 解得：，， 是最小的正整数， ， 故答案为：，，； （2）解：运动时间为秒时，点表示的数是 ，点表示的数是， 点与点到原点的距离相等， 可得：， 解得：， 此时点对应的数为； （3）解：运动时间为秒时，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是， ，， ， 在运动过程中，的值不随时间的变化而改变，值为． 【点睛】本题考查绝对值和平方的非负性、数轴上的动点问题、数轴上两点间距离公式、解一元一次方程等知识点，解题的关键是用含t的代数式表示出各个动点表示的数． 16．(1)；； (2)； (3)不变，； 相遇前值变化，理由见解析； 相遇后值不改变，． 【分析】本题主要考查了用数轴上的点表示数、数轴上两点间的距离、数轴上的动点问题，解决本题的关键是用含的代数式表示运动后的点表示的数． 根据绝对值的非负性、平方的非负性、最大的负整数，得到、、表示的数，再求代数式 的值； 根据折叠的性质求出折痕位置的点表示的数，设与点对称的点表示的数为，列方程求解； 用含的代数式表示出点、、表示的数，根据整式的加减求出的值； 用含的代数式表示出点、、表示的数，分当在的右侧和当在的左侧两种情况求解． 【详解】（1）解：与互为相反数， ，， 解得：，， 是最大的负整数， ， ，， 故答案为：，； （2）解：由可知，， 折痕位置的点表示的数是， 设与点对称的点表示的数为， 可得：， 解得：， 点与表示数的点重合， 故答案为：； （3）解：秒钟后点、、表示的数分别为：，，， ，， ， ，值不会改变； 解：在点与点相遇前的值随的变化而变化，相遇后的值不会改变， 理由如下： 秒钟后点、、表示的数分别为：，，， ， 当在的右侧时，， ， 当在的左侧时，， ， 点与点相遇前，的值随的变化而变化，相遇后的值不改变，是． 17．(1)，； (2)4或8 (3)当或或或时，线段被点M分为． 【分析】本题主要考查了非负数的性质、用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、数轴上动点问题等知识，运用分类讨论和数形结合的思想分析问题是解题关键． （1）结合非负数的性质确定答案即可； （2）分点在点左侧和点在点右侧两种情况，分别确定点表示的有理数，然后计算折点表示的数即可； （3）首先求得的中点表示的有理数以及之间的距离；再分小蚂蚁未到挡板和过挡板两种情况讨论，然后分类计算的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得，． 故答案为：，； （2）由（1）可知，点表示的有理数为24，点A表示的有理数为， 当点在点左侧时，且点与点之间的距离为4，点表示的有理数为， 将数轴对折后，点与点A重合，则折点表示的数为； 当点在点右侧时，点表示的有理数为， 将数轴对折后，点与点A重合，则折点表示的数为， 综上所述，折点表示的数为4或8． 故答案为：4或8； （3）解：∵点A表示的有理数为，点表示的有理数为24，， 当小蚂蚁没有从挡板回来时，即时，则有，此时使得线段分为的两段，则有： ①当，即，解得：； ②当，即，解得：； 当小蚂蚁从挡板回到点B时，即，则有，此时使得线段分为的两段，则有： ①当，即，解得：； ②当，即，解得：； ∴综上所述：当或或或时，线段被点M分为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $