5.4一元一次方程与实际问题（几何问题）跟踪练习 2025-2026学年青岛版数学七年级上册

5.4一元一次方程与实际问题（几何问题）跟踪练习 2025-2026学年青岛版数学七年级上册 一、单选题 1．如图，“日”字形窗框的铝合金总长是，窗的高比宽多．则窗框的宽为（　　）    A． B． C． D． 2．如图，数轴上标出了四个点，这四个点对应的数分别是整数，若，且，那么数轴的原点应是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 3．如图，一个长方形的周长为30cm，若这个长方形的长减少5cm，宽增加4cm，就可以围成一个正方形，则原长方形的宽为（    ） A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm 4．如图，数轴上有A，B，C，D，E五个整数点（即各点均表示整数），且，若A，D两点表示的数分别为，9，点E为的中点，则点E所表示的数为（   ）    A．2 B．3 C． D．5 5．如图，数轴上点表示的数分别为．现有一动点P以2个单位每秒的速度从点A向B运动，另一动点Q以3个单位每秒的速度从点B向A运动．当时，运动的时间为（   ） A．15秒 B．25秒 C．15秒或25秒 D．15秒或20秒 6．图①为一正面白色、反面灰色的长方形纸片．今沿虚线剪下分成甲，乙两长方形纸片，并将甲纸片反面朝上粘贴于乙纸片上，形成一张白、灰相间的长方形纸片，如图②所示．若图②中白色与灰色区域的面积比为，图②纸片的面积为36，则图①纸片的面积为（　　） A．42 B．45 C．48 D．52 7．在原点为的数轴上，从左到右依次排列的三个点A，，，满足，将点A，，表示的数分别记为，，．若，，则的值是（） A． B． C．2 D．2或 二、填空题 8．一个长方形的长减少，宽增加后，面积保持不变，已知这个长方形的长为，则它的宽为 ． 9．如图所示，数轴上点A表示的数是，点G表示的数是8．若数轴上另有一点M，点M到点A，G的距离之和是13，则点M表示的数是 ． 10．如图，有一条可以折叠的数轴，点和表示的数分别是和12，为两点之间的一点（不与点重合），以点为折点，将此数轴向右对折，使点落在直线上，且满足，则点表示的数为 ．（表示点与点之间的距离） 11．数轴上有A、B、C三个动点，其中点A，点B在起始位置所表示的数分别为6和，点C在A、B两点之间．点A以每秒1个单位长度的速度向左运动；点B以每秒2个单位长度的速度向右运动；点C以每秒3个单位长度的速度先向右运动，当其与点A相遇后立即返回向左运动，与点B相遇后又立即返回向右运动，依此方式在A、B两点之间往返运动；若三个点同时开始运动，当三点恰好相遇同一点时，都停止运动，则相遇点所表示的数为 ． 12．数轴上有、、三个动点，其中点，点在起始位置所表示的数分别为6和，点在、两点之间．点以每秒1个单位长度的速度向左运动，点以每秒2个单位长度的速度向右运动；点以每秒3个单位长度的速度先向右运动，当其与点相遇后立即返回向左运动，与点相遇后又立即返回向右运动，依此方式在、两点之间往返运动，若三个点同时开始运动，当三点恰好相遇同一点时，都停止运动，则相遇点所表示的数为 ． 13．如图，一个长方形被两条直线分成四个长方形，其中三个的面积分别是20平方米、25平方米和30平方米．另一个长方形的面积是 平方米． 三、解答题 14．如图，在一个正方形中先剪去一个宽为的长方形，再从剩下部分剪去一个宽为的长方形，若剪下来的两个长方形面积相等，求原正方形的面积． 15．如图，小强将一个正方形纸片剪去一个宽为的长条后，再从剩下的长方形纸片剪去一个宽为的长条，如果第二次剪下的长条面积比第一次剪下的长条面积的一半还少，那么剪下两次后剩下的图形的面积是多少？ 16．（1）如图，是一块在电脑屏幕上出现的长方形色块图，由6个颜色不同的正方形组成，设中间最小的一个正方形边长为1，求这个长方形色块图的面积？ （2）某工厂在此图案的基础上，加工制作出地毯，并按成本价提高40%后标价，又以八折出售可获得利润60元． ①求该商品的成本价为多少元？ ②若按七五折（即75%）出售则可获得利润多少元？ 17．已知数轴上有A、B两个点对应的数分别是a、b，且； (1)直接写出a、b的值： ， ； (2)如图①：点M是数轴上A、B之间的一个点，若，求点M所对应的数； (3)如图②：点P、点Q为数轴上的两个动点，点P从A点以2个单位长度每秒的速度沿数轴正向运动，点Q同时从B点以1个单位长度每秒的速度沿数轴负向运动．设运动时间为t秒，在点P与点Q相遇之前，若，求时间t的值． 18．已知点在数轴上对应的数分别为，且满足，是最小的正整数． (1)请直接写出________，________． (2)若点从点处以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点从点处以每秒5个单位长度的速度向右运动，点从点处以每秒2个单位长度向右运动．设运动的时间为秒（）． ①是否存在的值使得？若不存在，请说明理由；若存在，请求出的值． ②数轴上有一点始终保持到两点的距离相等，若存在的值使得值不随的变化而变化，求的值． 19．已知，如图，点对应的数为2． (1)若B点在A点左边，距离A点6个单位长度，则B点对应的数为　　； (2)在（1）的条件下，A，B两点同时运动，点A以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，点B以每秒3个单位长度的速度向右运动，当点A运动到所在的点，点B运动到的点对应的数为　　； (3)在（1）的条件下，A，B两点同时运动， 点A以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，点B以每秒3个单位长度的速度向右运动，经过多长时间A，B两点之间相距3个单位长度？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设窗的宽是米，则窗的高是米，根据木条总长是米即可列方程求解，读懂题意，找到等量关系，正确列出方程是解题的关键． 【详解】解：设窗的宽是米，则窗的高是米， 由题意得 ，， 解得， ∴窗的宽是米， 故选：． 2．B 【分析】本题考查了数轴，根据得每相邻两点相据1个单位长度，由图可知，，根据，进行计算得，即可得；掌握数轴是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴每相邻两点相据1个单位长度， 由图可知，， ∵， ， 解得， ∴数轴的原点应是点B， 故选：B． 3．D 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用．设原长方形的宽为，则长为，根据正方形的边长相等，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设原长方形的宽为，则长为，由题意，得： ， 解得：； 故选：D． 4．D 【分析】根据题意求得线段的长，结合等量关系和中点求得和的长，即可解得点E所表示的数． 【详解】解：∵A，D两点表示的数分别为，9， ∴， 设， ∵， ∴，， 则，解得， ∵点E为的中点， ∴， ∵点A表示的数为，，， ∴点E表示的数为5， 故选：D． 【点睛】本题主要考查数轴上两点之间距离、一元一次方程的应用、数轴上点的表示和线段中点，列出线段之间的等量关系是解题的关键． 5．D 【分析】根据点A，B表示的数，分两种情况：P、Q相遇前，P、Q相遇后，结合即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设运动的时间为t 秒， P、Q相遇前， 依题意有 ， 解得； P、Q相遇后， 依题意有 ， 解得． 故运动的时间为15秒或20秒． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、数轴以及两点间的距离，根据数量关系列出关于时间t的一元一次方程是解题的关键． 6．B 【分析】设每一份为x，则图②中白色的面积为，灰色部分的面积为，根据②中的纸片的面积为36为等量关系建立方程，求出其解即可． 【详解】解：设每一份为x，则图②中白色的面积为，灰色部分的面积为， 由题意，得 ， 解得：， ∴灰色部分的面积为：9， ∴图①纸片的面积为：． 答：图①纸片的面积为45． 故选B． 【点睛】本题考查了比例问题在解实际问题中的运用，一元一次方程的解法的运用，解答时根据条件建立方程求出灰色部分的面积是关键． 7．D 【分析】，或，进而分类讨论列方程求解即可． 【详解】解：由题意可知，或， 时， ∵， ∴， 解得， 当时， ∵， ∴， 解得∶， ∴或， 故选∶D． 【点睛】本题考查了数轴以及图像的变化，综合性较强，熟练掌握数形结合的思想是解题的关键． 8．4 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，设长方形的宽为，根据长减少、宽增加后，面积保持不变，列出方程求解。 【详解】解：设宽为，则原面积为，新面积为．根据题意，得方程， 展开右边：， 移项：， 即， 解得， 即它的宽为． 故答案为：4． 9．或 【分析】本题考查了数轴上两点的距离，解绝对值方程，掌握绝对值的意义是解题的关键．设在数轴上到点A，G的距离之和是13，设所表示的数为，再分情况列出方程即可求解． 【详解】解：在数轴上点M到点A，G的距离之和是13，设所表示的数为，根据题意可知 ， 当时，原方程可化为：， 解得， 当时，原方程可化为：， 方程无解，不符合题意； 当时，原方程可化为， 解得； 故答案为：或． 10．0或6 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，设出来表示的数，根据距离得到表达式，再根据已知条件列得等式，求解即可，分类讨论是解题的关键． 【详解】解：设点C表示的数为x， ∵A和表示的数分别是和12， ∴， 以点为折点，将此数轴向右对折，使点落在直线上， 当时， ∵， ∴， 解得， 当时， ∵， ∴， 解得， ∴点表示的数为0或6， 故答案为：0或6． 11． 【分析】由题意可知，三点的相遇点恰好为点，的相遇点，当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，由两点相遇时表示的数相同，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，再将其代入中，即可求出结论．本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为， 根据题意得：， 解得：， ， 相遇点所表示的数为． 故答案为：． 12．/ 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴．由题意可知，三点的相遇点恰好为点，的相遇点，当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，由两点相遇时表示的数相同，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为， 根据题意得：， 解得：， ， 相遇点所表示的数为． 故答案为：． 13．24 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，推导出上面两个长方形面积的比等于下面两个长方形面积的比是解题的关键． 设另一个长方形的面积是x平方米，由上面两个长方形的宽相等，下面两个长方形的宽也相等，推导出上面两个长方形面积的比等于下面两个长方形面积的比，则，然后解方程即可解答． 【详解】解：设另一个长方形的面积是x平方米， ∵上面两个长方形的宽相等，下面两个长方形的宽也相等， ∴上面两个长方形面积的比等于它们的长的比，下面两个长方形面积的比也等于它们的长的比， ∴上面两个长方形面积的比等于下面两个长方形面积的比， ∴，解得， ∴另一个长方形的面积是24平方米． 故答案为：24． 14．原正方形的面积为． 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，注意：第一次剪完后，剩下的这边为，难度一般，正确列出方程是解题关键．设原正方形的边长为，根据两次剪下的长方形面积正好相等，可得出方程，解出边长即可． 【详解】解：设原正方形的边长为， 根据题意得：， 解得：， ∴原正方形的面积为． 15． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意、列出方程并正确求解是解题的关键；设正方形的边长为，则可分别表示两次剪下的长条的面积，根据第二次剪下的长条面积比第一次剪下的长条面积的一半还少，列出方程并求解，再用正方形面积减去再次剪下的长条面积即可求得剪下两次后剩下的图形的面积． 【详解】解：设正方形的边长为，则第一次剪下长条面积为，第二次剪下长条面积为， 由题意得：， 解得：； 剪下两次后剩下的图形的面积为． 答：剪下两次后剩下的图形的面积为． 16．（1）143 （2）①该商品的成本价为500元；②按七五折（即）出售则可获得利润25元 【分析】本题考查一元一次方程解决实际问题，找出等量关系并列出方程是解题的关系． （1）设右下方两个相等的正方形的边长为x，用含x的代数式分别表示这些正方形的边长，再根据长方形的对边相等建立方程求解； （2）①根据营销问题的等量关系列方程求解；②根据利润=售价-成本求解即可． 【详解】解：（1）设右下方两个相等的正方形的边长为x， ， ， ， 则这个长方形色块图的面积为， 故答案为：143； （2）①设商品的成本价为x， ， ， 答：该商品的成本价为500元； ②． 答：按七五折（即）出售则可获得利润25元． 17．(1)， (2)点M 表示的数是2 (3)时间t的值为 【分析】本题考查的是数轴，非负数的性质，一元一次方程的应用，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键． （1）先根据非负数的性质求出a，b的值即可； （2）先根据两点间的距离公式可求，再根据题意即可得出结论； （3）先用t表示出，及的值，再根据列出关于t的方程，求出t的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得，． （2）解：设点M 表示的数是x， ∵点M 在 A、 B之间， ∴， ， ∵，    ∴， 解得：， ∴点M 表示的数是2． （3）解：由题意： ， ， 点P和点Q相遇前， ， ∵， ∴， 解得：， ∴ 时间t的值为． 18．(1)， (2)①不存在，理由见详解；② 【分析】本题考查数轴上动点问题，涉及非负数和为零的条件、数轴上两点之间距离公式及一元一次方程的运用等知识，熟记数轴上两点之间距离公式列方程求解是解决问题的关键． （1）由绝对值非负性、平方的非负性及非负数和为零的条件列等式求解即可得到答案； （2）①根据题意，得到点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，结合，由数轴上两点之间距离列式求解即可得到答案；②由题意可知，点为线段的中点，从而得到点表示的数为，再运用数轴上两点之间距离公式得到，最后由值不随的变化而变化，得到，求解即可得到答案． 【详解】（1）解：，且， ，， 解得，； （2）解：①不存在， 如图所示： 若点从点处以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点从点处以每秒5个单位长度的速度向右运动，点从点处以每秒2个单位长度向右运动， 设运动的时间为秒（）， ，，， 点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 当时，则， 或， 当时，方程无解； 当时，解得（负值，不合题意）， 故不存在，使； ②数轴上有一点始终保持到两点的距离相等， 点为线段的中点， 由①知点表示的数为，点表示的数为， 则点表示的数为， ， 当值不随的变化而变化， ，解得． 19．(1) (2)5 (3)或秒 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，数轴，行程问题的数量关系的运用，解答时根据行程的问题的数量关系建立方程是关键． （1）根据左减右加可求点所对应的数； （2）先根据时间路程速度，求出运动时间，再根据路程速度时间求解即可； （3）分两种情况：运动后的点在点右边3个单位长度；运动后的点在点左边3个单位长度；列出方程求解即可． 【详解】（1）解：点对应的数为． 故答案为：； （2）解：， 故点运动到的点对应的数为5； （3）解：运动后的点在点左边3个单位长度， 设经过秒长时间，两点相距3个单位长度，依题意有 ， 解得； 运动后的点在点右边3个单位长度， 设经过秒长时间，两点相距3个单位长度，依题意有 ， 解得． 故经过或秒，，两点之间相距3个单位长度． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $