专题4.1 条件概率与事件的独立性（高效培优讲义）数学人教B版2019选择性必修第二册

本高中数学讲义聚焦条件概率与事件的独立性，系统梳理条件概率的概念、三种计算方法及乘法公式，递进至全概率公式、贝叶斯公式的逻辑关系与应用，最后构建相互独立事件的判定及概率计算体系，搭建从基础到综合的学习支架。 资料以“即学即练”衔接知识点与应用，通过“餐厅选择”“零件次品率”等现实情境例题，培养学生用数学眼光观察实际问题的能力。题型分层设计强化逻辑推理的数学思维，助力教师课堂教学与学生课后查漏补缺，提升知识应用能力。

专题4.1 条件概率与事件的独立性 教学目标 1．理解条件概率的概念，掌握定义法、基本事件法、缩小样本空间法等求解方法，熟记并运用乘法公式。 2．理解全概率公式和贝叶斯公式的适用条件，掌握公式内容及内在转化关系，能运用公式解决概率问题。 3．理解相互独立事件的定义，熟记相关概率计算公式，知晓A与B独立时衍生的独立关系。 教学重难点 重点：条件概率的计算；全概率公式、贝叶斯公式的应用；相互独立事件的判定及概率计算。 难点：全概率公式与贝叶斯公式的区分及灵活运用；条件概率与相互独立事件的综合应用。 知识点01 条件概率 ①条件概率的概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率． ②条件概率的解法 方法 公式或步骤 定义法 基本事件法 缩小样本空间法 去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解 ③乘法公式：对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则 【即学即练】 1．设集合，且，则（    ） A．1 B．0.7 C．0.5 D．0.2 【答案】A 【详解】因为，，所以， 所以， 故选：A. 2．已知两个随机事件，若，，则 . 【答案】 【详解】， . 故答案为：. 知识点02 全概率公式与贝叶斯公式 1.全概率公式 一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意的事件，有 图示： 2.贝叶斯公式 ①概念：设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意的事件，,有 ②作用：贝叶斯公式充分体现了，，，，，之间的转化关系，即，，之间的内在联系． 【即学即练】 1．某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.6；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.8．则王同学第2天去餐厅用餐的概率为 ． 【答案】/ 【详解】设 “第1天去餐厅用餐”，“第1天去B餐厅用餐”，“第2天去A餐厅用餐”， 根据题意得，，， 由全概率公式，得， 即王同学第2天去餐厅用餐的概率为0.7，故王同学第2天去餐厅用餐的概率为. 故答案为： 2．有3台车床加工同一型号的零件，第台车床加工的次品率分别为加工出来的零件混放在一起.已知第台车床加工的零件数分别占总数的 (1)任取一个零件，计算它是次品的概率； (2)如果取到的零件是次品，试问该次品来自第几台车床的概率最大？ 【答案】(1)； (2)2. 【分析】 【详解】（1）利用全概率公式可知，任取一个零件，它是次品的概率为： ； （2）利用贝叶斯公式可知， 如果取到的零件是次品，该次品来自第1台车床的概率为： 如果取到的零件是次品，该次品来自第2台车床的概率为： 如果取到的零件是次品，该次品来自第3台车床的概率为： 通过比较，如果取到的零件是次品，该次品来自第2台车床的概率最大.nn 知识点03 相互独立 对任意两个事件与,如果成立,则称事件A与事件B相互独立,简称为独立. （1）如果与相互独立,则与，与，与也相互独立. （2）与相互独立事件有关的概率的计算公式如下表: 事件相互独立 概率计算公式 同时发生 同时不发生 至少有一个不发生 至少有一个发生 恰有一个发生 【即学即练】 1．在一段线路中并联两个自动控制的常用开关，只要其中一个开关能够闭合，线路就能正常工作.假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.6，则这段时间内线路正常工作的概率为 .    【答案】 【详解】由题可知这段时间内线路不正常工作的情形就是两个开关都不能够闭合， 此时的概率为， 根据对立事件概率可知：这段时间内线路正常工作的概率为， 故答案为： 2．已知事件A与事件B相互独立，事件A的概率，事件B的概率，则 ； ． 【答案】 0.2/ 0.5/ 【详解】由事件A与事件B相互独立， 则， ． 故答案为：；． 题型01 条件概率的计算 【例1】某校开展安全知识竞赛，每个参赛选手从6道题（其中选择题4道，填空题2道）中不放回地依次抽取2道题作答，则在第一次抽到选择题的条件下，第二次抽到填空题的概率（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在第一次抽到选择题的条件下，第二次抽到填空题， 即在3道选择题2道填空题中随机抽一题，抽到填空题的概率. 故选：B． 【例2】设，是一个随机试验中的两个随机事件，且，，，则 ． 【答案】/ 【详解】因为， 所以， 解得. 所以. 故答案为：. 【变式1-1】某机场进行数据分析，发现航班延误小时数与航班起飞前雷暴雨发生时间（单位：小时）存在一定关系，具体数据如下表： 1 3 4 4.5 根据机场多年数据统计，小于1，2，3的概率分别为0.4，0.7，0.9，若某航班起飞前已经发生了1小时雷暴雨，则其延误时间不超过4小时的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由概率的加法公式可得， 故． 故选：D． 【变式1-2】已知甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，采取“七局四胜制”，若每一局比赛甲获胜的概率均为，记“甲获得比赛胜利”为事件，“比赛仅进行了5局”为事件，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】事件包含甲前四局赢了三局，第五局甲又赢了和乙前四局赢了三局，第五局乙又赢了， 所以 ， 所以. 故选：D. 【变式1-3】盒子中装有形状、大小完全相同的五张卡片，分别标有数字1，2，3，4，5.现每次从中任意抽取一张，取出后不再放回，若抽取三次，则在前两张卡片所标数字之和为偶数的条件下，第三张为奇数的概率为 ． 【答案】 【详解】设“前两张卡片所标数字之和为偶数”为事件，“第三张为奇数”为事件， 那么事件的情况有：共8种， 所以. 事件的情况有：共12种， 所以. 则所求概率为. 故答案为：. 题型02 乘法公式的应用 【例3】在随机事件满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知，根据条件概率公式，可得，即. 因为表示不发生且发生，所以，那么. 又因为，所以，展开可得，得到，则与相互独立. 已知，可得. 因为事件与相互独立，所以，将，代入可得： 故选：B. 【例4】已知事件，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 故选：B 【变式2-1】已知某品牌的手机从1米高的地方掉落时，第一次未损坏的概率为0.3，在第一次未损坏的情况下第二次也未损坏的概率为0.1.则这样的手机从1米高的地方掉落两次后仍未损坏的概率为（    ） A．0.25 B．0.15 C．0.1 D．0.03 【答案】D 【详解】某品牌的手机从1米高的地方掉落时， 第一次未损坏的概率为0.3， 在第一次未损坏的情况下第二次也未损坏的概率为0.1. 这样的手机从1米高的地方掉落两次后仍未损坏的概率为： . 故选：D. 【点睛】本题考查条件概率的应用，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，属基础题. 【变式2-2】已知在8个球中，有2个白球，6个红球，每次任取一个球，取出后不再放回，则经过2次取球恰好将2个白球全部取出的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设第一次取到白球为事件，则， 设第二次取到白球为事件，则， 所以. 故选：B 【变式2-3】已知一道解答题有两小问，每小问5分，共10分.现每十个人中有六人能够做出第一问，但在第一问做不出的情况下，第二问做出的概率为0.1；第一问做出的情况下，第二问做不出的概率为0.6.用频率估计概率，则此题得满分的概率是 ；得0分的概率是 . 【答案】 0.24/ 0.36/ 【详解】设“第一问做出”为事件A，“第二问做出”为事件B， 由题意可得：， 则， 所以，即此题得满分的概率是0.24； 所以，即此题得0分的概率是0.36. 故答案为：0.24；0.36. 题型03 条件概率的性质及应用 【例5】已知随机事件A，B，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 所以，所以， 所以. 故选：C 【例6】（多选）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对A：因为，故A正确； 对B：由，所以，故B正确； 对C：由，且，所以， 所以，故C错误； 对D：因为，故D正确. 故选：ABD 【变式3-1】已知随机事件A，B发生的概率分别为，且则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若，则， 若，则不一定成立，则不一定成立， 如，时，，满足，但不满足， 若，则，故，即， 所以是的必要不充分条件， 故选：B. 【变式3-2】（多选）设A，B是一个随机试验中的两个事件，，，则（   ） A．事件A，B相互独立 B．若，则 C． D．若，则必有 【答案】BCD 【详解】由可得, 又, , 则, 不妨设，则， 所以，化简得， 设，则，所以， 对于A，要使A，B相互独立，则需要， 即，即，不恒成立，故A错误， 对于B，由，得，， 故，B正确， 对于C, , 当且仅当时取到等号，而,故，C正确， 对于D,由，得,又, 所以，化简可得, 由于，则,将其代入上式得 ,化简得①， 结合②, 联立①②可得,故， 解得，则，故，故D正确. 故选：BCD 【变式3-3】设A，是两个随机事件，且则 【答案】 【详解】因为，所以. 由. 设，则，. 由. 又① ②. ①②得：. 故答案为： 题型04 全概率公式的应用 【例7】近期某市推进“光储充一体化”充电站建设，现有A充电站配备2个超级快充桩和3个普通充电桩，B充电站配备1个超级快充桩和3个普通充电桩，为优化资源配置，系统随机从A站调度1个充电桩至B站，随后技术人员从B站随机选取2个充电桩进行升级调试，记“选取的两个充电桩均为普通桩”为事件B，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设从A站调度的充电桩为超级快充桩为事件，从A站调度的充电桩为普通充电桩为事件， 则，. 则. 故选：D 【例8】某次社会实践活动中，甲､乙两个班的同学共同在一社区进行民意调查.参加活动的甲､乙两班的人数之比为，其中甲班中女生占，乙班中女生占.则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率是 ，则该社区居民遇到一位进行民意调查的女同学恰好来自甲班的概率是 . 【答案】 【详解】令事件为甲班，事件为乙班，设女生为事件，则， 所以， ， 故答案为：；. 【变式4-1】已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由全概率公式知 ， 所以. 故选：A 【变式4-2】（多选）在遵义市独竹漂表演中，选手需要完成“独立平衡”和“绕标滑行”两个项目才能完成表演（如图）.已知某选手完成“独立平衡”项目的概率为0.9；该选手完成“独立平衡”，则完成“绕标滑行”的概率为0.8；该选手未完成“独立平衡”，则完成“绕标滑行”的概率为0.4.设事件A为该选手完成“独立平衡”，事件B为该选手完成“绕标滑行”，则下列选项正确的是（    ）    A． B．与相互独立 C． D． 【答案】ACD 【详解】由题意可知，，，，则， 则，故A正确； ，， 则，故与不独立，故B错误； ，故C正确； ，故D正确. 故选：ACD 【变式4-3】已知甲袋中有大小质地完全相同的3个红球和3个黑球，乙袋中有大小质地完全相同的2个红球和3个黑球，现随机地选择一个袋子，并从中不放回地依次随机摸出两个球，则在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到的也是红球的概率是 . 【答案】 【详解】设事件A表示“第一次摸到红球”，事件B表示“第二次摸到红球”． 设事件表示“选择甲袋”，事件表示“选择乙袋”， 且，，， 根据全概率公式，得， 在甲袋中，第一次摸出红球后，还剩2个红球和3个黑球，共5个球， 所以从甲袋中第一次和第二次都摸到红球的概率， 在乙袋中，第一次摸出红球后，还剩1个红球和3个黑球，共4个球， 所以从乙袋中第一次和第二次都摸到红球的概率， 根据全概率公式，得， 所以，在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率为． 故答案为：． 题型05 贝叶斯公式的应用 【例9】某汽车4S店从甲乙丙三个车企分别采购同一款智能汽车500，400，100辆进行销售，甲乙丙三个车企生产的该智能汽车的智驾故障率分别为2%，3%，5%，某消费者从该4S店购买了一台此款智能汽车，在智驾过程中突然出现故障，则根据概率计算出甲乙丙三个车企应承担的责任比为（　　） A．2：3：5 B．10：12：5 C．5：12：10 D．5：4：1 【答案】B 【详解】设事件 分别表示购买一辆汽车是甲、乙、丙车企生产的， 则 ， 事件 表示智驾出现故障， 则由全概率公式得 ， 由贝叶斯公式得，，， 所以甲乙丙要承担的责任比为. 故选：B. 【例10】袋中有4个红球，6个白球，不放回地摸两次球，求： (1)第二次摸到红球的概率； (2)已知第二次摸到红球，求第一次也摸到红球的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）设事件表示“第一次摸到红球＂，事件表示”“第一次摸到白球”，事件表示“第二次摸到红球”， 则 由全概率公式有． （2）由贝叶斯公式有． 【变式5-1】已知编号为1，2，3的箱中各装有除颜色外完全相同的若干个红球和蓝球，且各箱中的小球总个数之比为5：6：9，红球在1，2，3号箱中分别占．从3个箱中的所有球中随机取出一个球，若每个球被取出的概率相等，在取出的球为红球的条件下，该球取自3号箱的概率为 . 【答案】 【详解】设事件为“取出的小球来自i号箱”，事件B为“取出的球为红球”， 则构成了总的样本空间，且两两互斥， 由题意有， ， 则由全概率公式得， 则在取出的球为红球的条件下，该球取自3号箱的概率为. 故答案为： 【变式5-2】甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球． (1)从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，求2个球都是红球的概率； (2)掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱中随机抽出1个球，若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）记事件A表示“抽出的2个球中有红球”，事件B表示“两个球都是红球”， 则，， 故； （2）设事件C表示“从乙箱中抽球”，则事件表示“从甲箱中抽球”，事件D表示“抽到红球”， 则，，，， 则， 故． 【变式5-3】某仓库有一批电流表，其中60%，30%，10%依次由甲、乙、丙三家厂家生产，且甲、乙、丙厂的次品率分别是． (1)现在从这批电流表中任取一个，求取到次品的概率； (2)若从这批电流表中取出一个，发现是次品，求该电流表是乙厂家生产的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）用，，分别表示事件取到的这件产品是甲、乙、丙厂生产的， 以表示事件取到的产品为次品，则 ，，， ，，， 由全概率公式，得 . （2）若从这批产品中取出一件产品，发现是次品， 该件产品是乙厂生产的概率为 . 题型06 相互独立事件的概率计算 【例11】如图，某电子元件由，，三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，，，三种部件能正常工作的概率分别为，，，各个部件是否正常工作相互独立，则该电子元件能正常工作的概率为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设上半部分正常工作为事件，下半部分正常工作为事件，该电子元件能正常工作为事件，则， 因为，则， 因为， 所以. 故选：D 【例12】2025年10月31日中国神舟二十一号载人飞船在酒泉卫星发射中心成功发射.在太空停留期间，航天员们计划开展“天宫课堂”，在空间站进行太空授课，极大地激发了广大中学生对航天知识的兴趣.为此，某校组织了一次“航空知识答题竞赛”活动. (1)在A，B两个班中各选3名同学参加本次知识答题竞赛，经初赛，从6名同学中选2名同学参加复赛，求参加复赛的这2名同学来自同一个班的概率； (2)班进行了三轮初选活动，甲同学每轮合格概率分别为，各轮结果均相互独立，至少两轮合格记为“优秀”，求三轮初选后，甲记为“优秀”的概率 【答案】(1)； (2). 【分析】 【详解】（1）设来自班的3名同学分别为，来自班的3名同学分别为， 则总共有，共15种情况， 其中共有6种情况满足题意, 由古典概型的概率公式可得参加复赛的这2名同学来自同一个班的概率. （2）设甲同学每轮合格分别为事件，甲记为“优秀”为事件， 则， , 则三轮初选后，甲记为“优秀”的概率为. 【变式6-1】年全国计算机三级考试分上机考试与笔试两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机三级考试“合格”，并颁发计算机三级证书，甲、乙、丙三人在上机考试中“合格”的概率依次为，在笔试中“合格”的概率依次为，所有考试是否合格互不影响. (1)求甲没有获得计算机三级证书的概率； (2)这三人进行上机考试与笔试两项考试后，求恰有两人获得计算机三级证书的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）记甲，乙，丙三人在计算机三级上机考试中合格依次为事件，在笔试考试中合格依次为， 设甲没有获得执业医师证书的概率为，则. （2）甲、乙、丙获得计算机三级证书依次为事件，并且与，与，与相互独立， 则，，， 事件彼此相互独立 记“恰有两人获得计算机三级证书”为事件， 则， . 【变式6-2】2024年阿里巴巴全球数学竞赛公布决赛名单，801人成功晋级，某17岁中专生排名12名，引发社会广泛关注，进而点燃了全社会对数学的热情．某高校数学竞赛爱好者小组中的甲、乙、丙3人，各自独立去做2024年阿里巴巴全球数学竞赛预赛中的某道题，已知甲能解出该题的概率为，乙能解出而丙不能解出该题的概率为，甲、丙都能解出该题的概率为． (1)求乙、丙各自解出该题的概率； (2)求甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）设乙能解出该题的概率为，丙能解出该题的概率为， 因为甲、丙都能解出该题的概率为，所以，解得. 因为乙能解出而丙不能解出该题的概率为，所以，解得. 所以乙、丙各自解出该题的概率是. （2）甲、乙、丙3人都没有解出该题的概率是 ， 所以甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题的概率是. 【变式6-3】为提高中学生的网络安全意识和信息技术能力，某中学组织了一次信息技术创新比赛，参赛选手两人为一组，需要在规定时间内独自对两份不同的加密文件进行解密，每份文件只有一次解密机会．已知甲每次解开密码的概率为，乙每次解开密码的概率为，每次是否解开密码也互不影响．已知：甲成功解密一份文件的概率为，乙成功解密两份文件的概率为． (1)求的值； (2)求甲、乙两次解密过程中一共解开密码至多两次的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：设“甲成功解密份文件”，“乙成功解密份文件”（） 由题知，解得. （2）解：由（1）知：， 设“甲乙两人两次一共解开密码至多2次”，则， 其中两两互斥，与，与，与分别相互独立， 可得，， 所以，则 所以甲、乙两次解密过程中一共解开密码至多两次的概率为． 题型07 相互独立事件的判断 【例13】一个质地均匀的正四面体玩具的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体玩具两次，并记录每次正四面体玩具朝下的面上的数字，记事件为“第一次向下的数字为1或2”，事件为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（    ） A． B．事件与事件互斥 C．事件与事件相互独立 D． 【答案】C 【详解】用两位数字表示连续抛掷这个正四面体得到的点数，, ，事件，， 事件，， 对于A，，故A错误；     对于B，因为，所以事件与事件不互斥，故B错误； 对于C，，，， 因为，所以事件与事件相互独立，故C正确；     对于D，， ，，故D错误. 故选：C. 【例14】（多选）为了更准确地使用韦恩图来探究事件的相互独立性，王老师用面积大小来表示某事件所包含样本点的数目，即，其中，为事件A，B对应区域的面积，U表示全集．下列韦恩图中，事件A与事件B相互独立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】选项A：法1：事件A，B互斥，所以，而，．所以，故事件A，B不独立，A不正确． 法2：事件A，B互斥，所以，而，所以，故事件A，B不独立，A不正确． 选项B：设图中的小的长方形的面积为S， 法1：利用事件A，B相互独立的定义有，由， ，，所以， 所以图中事件A，B相互独立．B正确； 法2：利用事件A，B相互独立 由，，所以图中事件A，B相互独立．B正确； 选项C：法1：利用事件A，B相互独立的定义有 由图得，，  ， 所以图中事件A，B相互独立．C正确； 法2：因为，所以图中事件A，B相互独立．C正确； 选项D：法1：由图知：A为B的子集，所以；而B为U的真子集，则， 所以，所以，D不正确； 法2：由图知：A为B的子集，所以；而B为U的真子集，则． 所以，则事件A与事件B不独立，D不正确． 故选：BC． 【变式7-1】一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1，2；红球有两个，编号为3，4，从中不放回地依次取出两个球，表示事件“取出的两球不同色”，表示事件“第一次取出的是黑球”，表示事件“第二次取出的是黑球”，表示事件“取出的两球同色”，则下列判断错误的是（    ） A．与相互独立 B．与相互独立 C．与相互独立 D．与相互独立 【答案】A 【详解】不放回地依次取出两个，事件的结果用“”表示，，表示第一次取出的小球的编号， 表示第二次取出的小球的编号，基本事件有，共种， 事件，事件， 事件，事件. 事件，事件， 事件， 事件， 则，，， ，，，， 所以，所以与不相互独立； ，所以与相互独立； ，所以与相互独立； ，所以与相互独立； 故选：A 【变式7-2】依次抛掷两枚质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，事件“第一次抛掷骰子的点数为2”，事件“两次抛掷骰子的点数之和为5”，事件“两次抛掷骰子的点数之和为7”，则下列说法正确的是（    ） A．与为对立事件 B．与为互斥事件 C．与为相互独立事件 D．与为相互独立事件 【答案】D 【详解】为样本空间， 对于A，， 比如第一次第一次抛掷骰子的点数为，该事件既不在中，也不在中， 所以与不为对立事件. 对于B，事件为，所以与不为互斥事件. 对于C,， 所以与不相互独立. 对于D，， 所以与相互独立. 故选：D. 【变式7-3】已知随机事件A、B发生的概率分别为 ，则下列说法不正确的是（   ） A．若A与B互斥，则 B．若A与B相互独立，则 C．若 ，则事件与B相互独立 D．若，则 【答案】D 【详解】对于A，若与互斥，则，故A正确； 对于B，若与相互独立，则， 所以，，故B正确； 对于C，若，且， 所以，事件与相互独立，故C正确； 对于D，若，则，所以，故D错误. 故选：D 一、单选题 1．同时投掷两枚质地均匀的骰子，设事件A为第一枚骰子投出的点数为奇数，事件B为两枚骰子点数之和为6，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】详解】同时投掷两枚质地均匀的骰子，设两枚骰子投出的点数构成有序数对，则总共有种可能， 所以事件包含的样本点个数有个， 所以， 事件包含的基本事件有：， 所以， 所以. 故选：A. 2．甲乙两人同时射击同一目标，若每人独立击中目标的概率为0.6，则这个目标能够被击中的概率为（   ） A．0.84 B．0.72 C．0.36 D．0.16 【答案】A 【分析】详解】设甲击中目标是事件，乙击中目标是事件， 由题意得这个目标能够被击中的对立事件为两个人都没击中， 由题意得， 则这个目标能够被击中的概率为，故A正确. 故选：A 3．甲、乙、丙三人参加“校史知识竞答”比赛，若甲、乙、丙三人荣获一等奖的概率分别为，且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中仅有两人获得一等奖的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】详解】设这三人中仅有两人获得一等奖为事件A， 则. 故选：B 4．全概率公式指的是：设为样本空间，若事件两两互斥，，则对任意的事件，有.小张一家打算去西安市或汉中市旅游，去西安市与汉中市的概率分别为0.7，0.3，在西安市去游乐园的概率为0.6，在汉中市去游乐园的概率为0.4，则小张一家去游乐园的概率为（    ） A．0.48 B．0.49 C．0.52 D．0.54 【答案】D 【分析】详解】设去西安市与汉中市旅游分别为事件，，则，. 设事件为去游乐园，则，. 所以. 故选：D 5．已知口袋内放有8个大小、质地均匀的小球，其中4个白球，4个红球，每次从中不放回地摸出2个小球，设事件表示第1次摸出的小球中恰有1个红球，事件表示第2次摸出的小球中有红球，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】详解】因为是不放回，所以第1次摸完后还剩6个球， 又因为事件发生了，即第1次摸出了1个红球和1个白球，还剩3个红球和3个白球. ， 故选：A. 6．如图，某机器狗位于点处，它可以向上、下、左、右四个方向自由移动，每次移动一个单位.现机器狗从点出发移动4次，则在机器狗仍回到点的条件下，它向右移动了2次的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】详解】设事件“向右移动2次”，事件“移动4次后仍回到点”， 每次移动有4种方向，4次移动，总路径数为：， 设上、下单位数分别为，左、右单位数分别为 因运动4次后仍回到点，所以上下步数相等且左右步数相等， 记，，则，即. 若即则路径数有6种； 若即则路径数有24种； 若即则路径数有6种； 所以. 事件“向右移动2次且回到点” 要使向右移动2次且回到点，则且， 又，所以，路径数有6种； . . 故选：A. 7．已知随机事件互相独立，满足，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】详解】因为随机事件互相独立，所以， 则， , 解得，，， ． 故选：A． 二、多选题 8．甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有2个红球，8个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”，表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（    ） A．为对立事件 B． C． D． 【答案】ABD 【分析】详解】对于A，因为甲罐中只有红球和白球，即， 所以为对立事件，故A正确； 对于B，当发生时，乙罐中有3个红球，8个白球，此时，故B正确； 对于C，当发生时，乙罐中有2个红球，9个白球，此时， 所以，故C不正确； 对于D，，故D正确， 故选：ABD． 9．若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】详解】对于A：因为，，即， 所以，又，所以，故A正确； 对于B：，故B正确； 对于C：， 而，故C错误； 对于D：，故D正确. 故选：ABD 三、填空题 10．甲、乙两人进行象棋有奖比赛，约定：一共下两局，只有当乙两局都获胜时，乙才获得奖品，否则就是甲获得奖品．已知每局比赛甲、乙获胜的概率分别为，，没有和棋且各局比赛相互独立，则甲获得奖品的概率为 ． 【答案】 【分析】详解】设事件“甲获得奖品”，事件“乙获奖”，则互为对立事件， 由于乙获奖的条件是：乙两局全胜，所以. 所以 故答案为：. 11．已知，则 . 【答案】/0.8 【分析】详解】因为， 所以， 故， 故答案为： 12．联合国教科文组织批准，中国传统节日端午节正式列入世界非物质文化遗产，同时，端午节成为中国首个入选世界非物质文化遗产的节日．为弘扬中国传统文化，某校在端午节期间组织有关端午节文化知识竞赛活动，某班甲、乙两人组成“粽队”参加竞赛活动，每轮活动由甲、乙各回答一个问题，已知每轮活动中甲、乙答对问题的概率分别为和，且每轮活动中甲、乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．则甲在两轮活动中答对两个问题的概率为 ，“粽队”在两轮活动中至少答对三个问题的概率为 ． 【答案】 【分析】详解】设事件“甲答对问题”，事件“乙答对问题”， 因为每轮活动中甲、乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响， 所以甲在两轮活动中答对两个问题的概率为； “粽队”在两轮活动中至少答对三个问题，则包含， 可得概率为 . 故答案为：；. 四、解答题 13．甲、乙两人参加面试，每人需回答2道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是0.7，乙答对每道题目的概率都是0.6，不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人答题互不影响 (1)求甲只答对第二题的概率； (2)求甲乙两人答对题目数之和为1的概率. 【答案】(1)0.21 (2) 【详解】（1）设 “甲只答对第二题”，则, （2）记 “甲只答对一道题”， “乙只答对一道题”， “甲两道题都答错”， “乙两道题都答错”， 故,, ,, 记 “甲乙两人答对题目数之和为1”， 由于事件相互独立，事件相互独立， 则 14．甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有3道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，对抽到的不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人答题互不影响； (1)求甲、乙两人共答对5道题目的概率． (2)若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止，求甲、乙两人只有一人通过面试的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设“甲答对3道题目”, “甲答对2道题目” “乙答对3道题目”， “乙答对2道题目”，根据独立事件的性质，可得， ，    ， ，     ， 设为 “甲、乙两人共答对5道题目”， 则，因为与互斥，与，与分别相互独立，， 所以甲、乙两人共答对5道题目的概率． （2）C=“甲通过面试”，D=“乙通过面试”，与相互独立， ， E=“甲、乙两人只有一人通过面试”，则，因为与互斥， 与，与分别相互独立， 所以甲、乙两人只有一人通过面试的概率 15．某社区实施垃圾分类投放，居民主要在早、中、晚三个时间段投放垃圾，且早、中、晚三个时间段垃圾投放量占比分别为、、.环保部门监测发现，各时段因监管力度不同，出现垃圾混投情况：在已知垃圾是早上投放的条件下，违规混投的概率为是中午投放的条件下，违规混投的概率为是晚上投放的条件下，违规混投的概率为现随机抽查一袋垃圾，求： (1)这袋垃圾来自中午时段且违规混投的概率; (2)这袋垃圾存在违规混投的概率; (3)若已知该垃圾违规混投，求它来自晚上时段投放的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设垃圾来自早、中、晚时段分别为事件 A， B，；垃圾违规混投为事件V ， 由题意可知：，， 可得， 所以这袋垃圾来自中午时段且违规混投的概率为. （2）由题意可得： ， 所以这袋垃圾存在违规混投的概率为. （3）由题意可得：， 所以已知该垃圾违规混投，它来自晚上时段投放的概率为 16．有甲乙两个袋子，袋子里有形状大小完全相同的球.其中甲袋中有3个红球7个白球，乙袋中有4个红球6个白球.从两袋中等可能的选一个袋子，再从该袋中随机摸出一球，称为一次摸球试验，多次做摸球试验直到摸出白球，试验结束. (1)求首次摸球后试验就结束的概率； (2)在首次摸出红球的条件下，求选到的袋子是乙袋的概率； (3)在首次摸出红球的条件下，将红球放回原袋中，继续第二次摸球试验，有如下两个方案：方案一：从原袋中摸球； 方案二：从另外一个袋子中摸球. 请通过计算，说明哪个方案能使第二次摸球后试验结束的概率更大. 【答案】(1)； (2)； (3)方案二. 【详解】（1）设摸球一次，“取到甲袋”为事件，“取到乙袋”为事件，“摸出白球”为事件，“摸出红球”为事件． 则， 所以首次摸球后试验就结束的概率为. （2）由题意，和为对立事件，则， 则， 所以选到的袋子是乙袋的概率是. （3）方案一：从原袋中摸球 若首次在甲袋中摸出红球，则， 原袋（甲袋）中摸出白球的概率，所以第二次摸球后试验结束的概率为； 若首次在乙袋中摸出红球，则， 原袋（乙袋）中摸出白球的概率，所以第二次摸球后试验结束的概率为. 综上，方案一使第二次摸球后试验结束的概率为. 方案二：从另外一个袋子中摸球 若首次在甲袋中摸出红球，则， 另一个袋子（乙袋）中摸出白球的概率，所以第二次摸球后试验结束的概率为； 若首次在乙袋中摸出红球，则， 另一个袋子（甲袋）中摸出白球的概率，所以第二次摸球后试验结束的概率为. 综上，方案二使第二次摸球后试验结束的概率为. 因为，所以方案二使第二次摸球后试验结束的概率更大. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.1 条件概率与事件的独立性 教学目标 1．理解条件概率的概念，掌握定义法、基本事件法、缩小样本空间法等求解方法，熟记并运用乘法公式。 2．理解全概率公式和贝叶斯公式的适用条件，掌握公式内容及内在转化关系，能运用公式解决概率问题。 3．理解相互独立事件的定义，熟记相关概率计算公式，知晓A与B独立时衍生的独立关系。 教学重难点 重点：条件概率的计算；全概率公式、贝叶斯公式的应用；相互独立事件的判定及概率计算。 难点：全概率公式与贝叶斯公式的区分及灵活运用；条件概率与相互独立事件的综合应用。 知识点01 条件概率 ①条件概率的概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称为在事件_______发生的条件下，事件_______发生的条件概率． ②条件概率的解法 方法 公式或步骤 定义法 基本事件法 缩小样本空间法 _______第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解 ③乘法公式：对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则_______ 【即学即练】 1．设集合，且，则（    ） A．1 B．0.7 C．0.5 D．0.2 2．已知两个随机事件，若，，则 . 知识点02 全概率公式与贝叶斯公式 1.全概率公式 一般地，设是一组两两_______的事件，，且，则对任意的事件，有 图示： 2.贝叶斯公式 ①概念：设是一组两两_______的事件，，且，则对任意的事件，,有_______ ②作用：贝叶斯公式充分体现了，，，，，之间的转化关系，即，_______，之间的内在联系． 【即学即练】 1．某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.6；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.8．则王同学第2天去餐厅用餐的概率为 ． 2．有3台车床加工同一型号的零件，第台车床加工的次品率分别为加工出来的零件混放在一起.已知第台车床加工的零件数分别占总数的 (1)任取一个零件，计算它是次品的概率； (2)如果取到的零件是次品，试问该次品来自第几台车床的概率最大？ 知识点03 相互独立 对任意两个事件与,如果_______成立,则称事件A与事件B相互独立,简称为独立. （1）如果与相互独立,则与，与，与也相互独立. （2）与相互独立事件有关的概率的计算公式如下表: 事件相互独立 概率计算公式 同时发生 同时不发生 _______ 至少有一个不发生 _______ 至少有一个发生 _______ 恰有一个发生 【即学即练】 1．在一段线路中并联两个自动控制的常用开关，只要其中一个开关能够闭合，线路就能正常工作.假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.6，则这段时间内线路正常工作的概率为 .    2．已知事件A与事件B相互独立，事件A的概率，事件B的概率，则 ； ． 题型01 条件概率的计算 【例1】某校开展安全知识竞赛，每个参赛选手从6道题（其中选择题4道，填空题2道）中不放回地依次抽取2道题作答，则在第一次抽到选择题的条件下，第二次抽到填空题的概率（    ） A． B． C． D． 【例2】设，是一个随机试验中的两个随机事件，且，，，则 ． 【变式1-1】某机场进行数据分析，发现航班延误小时数与航班起飞前雷暴雨发生时间（单位：小时）存在一定关系，具体数据如下表： 1 3 4 4.5 根据机场多年数据统计，小于1，2，3的概率分别为0.4，0.7，0.9，若某航班起飞前已经发生了1小时雷暴雨，则其延误时间不超过4小时的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，采取“七局四胜制”，若每一局比赛甲获胜的概率均为，记“甲获得比赛胜利”为事件，“比赛仅进行了5局”为事件，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】盒子中装有形状、大小完全相同的五张卡片，分别标有数字1，2，3，4，5.现每次从中任意抽取一张，取出后不再放回，若抽取三次，则在前两张卡片所标数字之和为偶数的条件下，第三张为奇数的概率为 ． 题型02 乘法公式的应用 【例3】在随机事件满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【例4】已知事件，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知某品牌的手机从1米高的地方掉落时，第一次未损坏的概率为0.3，在第一次未损坏的情况下第二次也未损坏的概率为0.1.则这样的手机从1米高的地方掉落两次后仍未损坏的概率为（    ） A．0.25 B．0.15 C．0.1 D．0.03 【变式2-2】已知在8个球中，有2个白球，6个红球，每次任取一个球，取出后不再放回，则经过2次取球恰好将2个白球全部取出的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】已知一道解答题有两小问，每小问5分，共10分.现每十个人中有六人能够做出第一问，但在第一问做不出的情况下，第二问做出的概率为0.1；第一问做出的情况下，第二问做不出的概率为0.6.用频率估计概率，则此题得满分的概率是 ；得0分的概率是 . 题型03 条件概率的性质及应用 【例5】已知随机事件A，B，，则等于（    ） A． B． C． D． 【例6】（多选）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知随机事件A，B发生的概率分别为，且则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-2】（多选）设A，B是一个随机试验中的两个事件，，，则（   ） A．事件A，B相互独立 B．若，则 C． D．若，则必有 【变式3-3】设A，是两个随机事件，且则 题型04 全概率公式的应用 【例7】近期某市推进“光储充一体化”充电站建设，现有A充电站配备2个超级快充桩和3个普通充电桩，B充电站配备1个超级快充桩和3个普通充电桩，为优化资源配置，系统随机从A站调度1个充电桩至B站，随后技术人员从B站随机选取2个充电桩进行升级调试，记“选取的两个充电桩均为普通桩”为事件B，则（    ） A． B． C． D． 【例8】某次社会实践活动中，甲､乙两个班的同学共同在一社区进行民意调查.参加活动的甲､乙两班的人数之比为，其中甲班中女生占，乙班中女生占.则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率是 ，则该社区居民遇到一位进行民意调查的女同学恰好来自甲班的概率是 . 【变式4-1】已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（多选）在遵义市独竹漂表演中，选手需要完成“独立平衡”和“绕标滑行”两个项目才能完成表演（如图）.已知某选手完成“独立平衡”项目的概率为0.9；该选手完成“独立平衡”，则完成“绕标滑行”的概率为0.8；该选手未完成“独立平衡”，则完成“绕标滑行”的概率为0.4.设事件A为该选手完成“独立平衡”，事件B为该选手完成“绕标滑行”，则下列选项正确的是（    ）    A． B．与相互独立 C． D． 【变式4-3】已知甲袋中有大小质地完全相同的3个红球和3个黑球，乙袋中有大小质地完全相同的2个红球和3个黑球，现随机地选择一个袋子，并从中不放回地依次随机摸出两个球，则在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到的也是红球的概率是 . 题型05 贝叶斯公式的应用 【例9】某汽车4S店从甲乙丙三个车企分别采购同一款智能汽车500，400，100辆进行销售，甲乙丙三个车企生产的该智能汽车的智驾故障率分别为2%，3%，5%，某消费者从该4S店购买了一台此款智能汽车，在智驾过程中突然出现故障，则根据概率计算出甲乙丙三个车企应承担的责任比为（　　） A．2：3：5 B．10：12：5 C．5：12：10 D．5：4：1 【例10】袋中有4个红球，6个白球，不放回地摸两次球，求： (1)第二次摸到红球的概率； (2)已知第二次摸到红球，求第一次也摸到红球的概率． 【变式5-1】已知编号为1，2，3的箱中各装有除颜色外完全相同的若干个红球和蓝球，且各箱中的小球总个数之比为5：6：9，红球在1，2，3号箱中分别占．从3个箱中的所有球中随机取出一个球，若每个球被取出的概率相等，在取出的球为红球的条件下，该球取自3号箱的概率为 . 【变式5-2】甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球． (1)从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，求2个球都是红球的概率； (2)掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱中随机抽出1个球，若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率． 【变式5-3】某仓库有一批电流表，其中60%，30%，10%依次由甲、乙、丙三家厂家生产，且甲、乙、丙厂的次品率分别是． (1)现在从这批电流表中任取一个，求取到次品的概率； (2)若从这批电流表中取出一个，发现是次品，求该电流表是乙厂家生产的概率． 题型06 相互独立事件的概率计算 【例11】如图，某电子元件由，，三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，，，三种部件能正常工作的概率分别为，，，各个部件是否正常工作相互独立，则该电子元件能正常工作的概率为（   ）    A． B． C． D． 【例12】2025年10月31日中国神舟二十一号载人飞船在酒泉卫星发射中心成功发射.在太空停留期间，航天员们计划开展“天宫课堂”，在空间站进行太空授课，极大地激发了广大中学生对航天知识的兴趣.为此，某校组织了一次“航空知识答题竞赛”活动. (1)在A，B两个班中各选3名同学参加本次知识答题竞赛，经初赛，从6名同学中选2名同学参加复赛，求参加复赛的这2名同学来自同一个班的概率； (2)班进行了三轮初选活动，甲同学每轮合格概率分别为，各轮结果均相互独立，至少两轮合格记为“优秀”，求三轮初选后，甲记为“优秀”的概率 【变式6-1】年全国计算机三级考试分上机考试与笔试两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机三级考试“合格”，并颁发计算机三级证书，甲、乙、丙三人在上机考试中“合格”的概率依次为，在笔试中“合格”的概率依次为，所有考试是否合格互不影响. (1)求甲没有获得计算机三级证书的概率； (2)这三人进行上机考试与笔试两项考试后，求恰有两人获得计算机三级证书的概率. 【变式6-2】2024年阿里巴巴全球数学竞赛公布决赛名单，801人成功晋级，某17岁中专生排名12名，引发社会广泛关注，进而点燃了全社会对数学的热情．某高校数学竞赛爱好者小组中的甲、乙、丙3人，各自独立去做2024年阿里巴巴全球数学竞赛预赛中的某道题，已知甲能解出该题的概率为，乙能解出而丙不能解出该题的概率为，甲、丙都能解出该题的概率为． (1)求乙、丙各自解出该题的概率； (2)求甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题的概率． 【变式6-3】为提高中学生的网络安全意识和信息技术能力，某中学组织了一次信息技术创新比赛，参赛选手两人为一组，需要在规定时间内独自对两份不同的加密文件进行解密，每份文件只有一次解密机会．已知甲每次解开密码的概率为，乙每次解开密码的概率为，每次是否解开密码也互不影响．已知：甲成功解密一份文件的概率为，乙成功解密两份文件的概率为． (1)求的值； (2)求甲、乙两次解密过程中一共解开密码至多两次的概率． 题型07 相互独立事件的判断 【例13】一个质地均匀的正四面体玩具的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体玩具两次，并记录每次正四面体玩具朝下的面上的数字，记事件为“第一次向下的数字为1或2”，事件为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（    ） A． B．事件与事件互斥 C．事件与事件相互独立 D． 【例14】（多选）为了更准确地使用韦恩图来探究事件的相互独立性，王老师用面积大小来表示某事件所包含样本点的数目，即，其中，为事件A，B对应区域的面积，U表示全集．下列韦恩图中，事件A与事件B相互独立的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1，2；红球有两个，编号为3，4，从中不放回地依次取出两个球，表示事件“取出的两球不同色”，表示事件“第一次取出的是黑球”，表示事件“第二次取出的是黑球”，表示事件“取出的两球同色”，则下列判断错误的是（    ） A．与相互独立 B．与相互独立 C．与相互独立 D．与相互独立 【变式7-2】依次抛掷两枚质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，事件“第一次抛掷骰子的点数为2”，事件“两次抛掷骰子的点数之和为5”，事件“两次抛掷骰子的点数之和为7”，则下列说法正确的是（    ） A．与为对立事件 B．与为互斥事件 C．与为相互独立事件 D．与为相互独立事件 【变式7-3】已知随机事件A、B发生的概率分别为 ，则下列说法不正确的是（   ） A．若A与B互斥，则 B．若A与B相互独立，则 C．若 ，则事件与B相互独立 D．若，则 一、单选题 1．同时投掷两枚质地均匀的骰子，设事件A为第一枚骰子投出的点数为奇数，事件B为两枚骰子点数之和为6，则（    ） A． B． C． D． 2．甲乙两人同时射击同一目标，若每人独立击中目标的概率为0.6，则这个目标能够被击中的概率为（   ） A．0.84 B．0.72 C．0.36 D．0.16 3．甲、乙、丙三人参加“校史知识竞答”比赛，若甲、乙、丙三人荣获一等奖的概率分别为，且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中仅有两人获得一等奖的概率为（    ） A． B． C． D． 4．全概率公式指的是：设为样本空间，若事件两两互斥，，则对任意的事件，有.小张一家打算去西安市或汉中市旅游，去西安市与汉中市的概率分别为0.7，0.3，在西安市去游乐园的概率为0.6，在汉中市去游乐园的概率为0.4，则小张一家去游乐园的概率为（    ） A．0.48 B．0.49 C．0.52 D．0.54 5．已知口袋内放有8个大小、质地均匀的小球，其中4个白球，4个红球，每次从中不放回地摸出2个小球，设事件表示第1次摸出的小球中恰有1个红球，事件表示第2次摸出的小球中有红球，则（    ） A． B． C． D． 6．如图，某机器狗位于点处，它可以向上、下、左、右四个方向自由移动，每次移动一个单位.现机器狗从点出发移动4次，则在机器狗仍回到点的条件下，它向右移动了2次的概率为（   ） A． B． C． D． 7．已知随机事件互相独立，满足，，则（  ） A． B． C． D． 二、多选题 8．甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有2个红球，8个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”，表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（    ） A．为对立事件 B． C． D． 9．若，，，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 10．甲、乙两人进行象棋有奖比赛，约定：一共下两局，只有当乙两局都获胜时，乙才获得奖品，否则就是甲获得奖品．已知每局比赛甲、乙获胜的概率分别为，，没有和棋且各局比赛相互独立，则甲获得奖品的概率为 ． 11．已知，则 . 12．联合国教科文组织批准，中国传统节日端午节正式列入世界非物质文化遗产，同时，端午节成为中国首个入选世界非物质文化遗产的节日．为弘扬中国传统文化，某校在端午节期间组织有关端午节文化知识竞赛活动，某班甲、乙两人组成“粽队”参加竞赛活动，每轮活动由甲、乙各回答一个问题，已知每轮活动中甲、乙答对问题的概率分别为和，且每轮活动中甲、乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．则甲在两轮活动中答对两个问题的概率为 ，“粽队”在两轮活动中至少答对三个问题的概率为 ． 四、解答题 13．甲、乙两人参加面试，每人需回答2道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是0.7，乙答对每道题目的概率都是0.6，不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人答题互不影响 (1)求甲只答对第二题的概率； (2)求甲乙两人答对题目数之和为1的概率. 14．甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有3道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，对抽到的不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人答题互不影响； (1)求甲、乙两人共答对5道题目的概率． (2)若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止，求甲、乙两人只有一人通过面试的概率． 15．某社区实施垃圾分类投放，居民主要在早、中、晚三个时间段投放垃圾，且早、中、晚三个时间段垃圾投放量占比分别为、、.环保部门监测发现，各时段因监管力度不同，出现垃圾混投情况：在已知垃圾是早上投放的条件下，违规混投的概率为是中午投放的条件下，违规混投的概率为是晚上投放的条件下，违规混投的概率为现随机抽查一袋垃圾，求： (1)这袋垃圾来自中午时段且违规混投的概率; (2)这袋垃圾存在违规混投的概率; (3)若已知该垃圾违规混投，求它来自晚上时段投放的概率. 16．有甲乙两个袋子，袋子里有形状大小完全相同的球.其中甲袋中有3个红球7个白球，乙袋中有4个红球6个白球.从两袋中等可能的选一个袋子，再从该袋中随机摸出一球，称为一次摸球试验，多次做摸球试验直到摸出白球，试验结束. (1)求首次摸球后试验就结束的概率； (2)在首次摸出红球的条件下，求选到的袋子是乙袋的概率； (3)在首次摸出红球的条件下，将红球放回原袋中，继续第二次摸球试验，有如下两个方案：方案一：从原袋中摸球； 方案二：从另外一个袋子中摸球. 请通过计算，说明哪个方案能使第二次摸球后试验结束的概率更大. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $