第21章 解一元二次方程、根与系数的关系、以二次方程为背景的材料阅读类问题 专项训练-2025-2026学年人教版九年级数学上册

解一元二次方程、根与系数的关系、以二次方程为背景的材料阅读类问题专项训练 解一元二次方程、根与系数的关系、以二次方程为背景的材料阅读类问题专项训练 考点目录 解一元二次方程 一元二次方程根与系数的关系 以二次方程为背景的材料阅读类问题 考点一 解一元二次方程 例1．（25-26九年级上·湖南娄底·期中）解下列方程： (1)； (2)． 例2．（25-26九年级上·云南昆明·期中）计算： (1)； (2)． 例3．（25-26九年级上·辽宁丹东·期中）解下列方程： (1)； (2)． 例4．（2025·四川雅安·一模）解方程 (1) (2) 变式1．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）解方程： (1) (2) 变式2．（25-26九年级上·广西南宁·期中）计算 (1) (2)． 变式3．（25-26九年级上·广东深圳·期中）解下列方程： (1)； (2)． 变式4．（25-26九年级上·江苏南京·期中）解下列方程： (1)； (2)． 考点二 一元二次方程根与系数的关系 例1．（25-26九年级上·云南昆明·期中）关于x的一元二次方程 (1)求证：无论m取何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2)若，是该方程的两个实数根，且，求m的值． 例2．（24-25九年级上·重庆永川·月考）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个不相等的实数根； (2)已知方程的一个根为，求方程的另一个根． 例3．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）关于的方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若方程的一个实数根是另一个实数根的倍，求的值． 例4．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）已知关于的一元二次方程有两个异号的实数根． (1)求的取值范围； (2)设是该方程的两个根，且，求的值． 变式1．（25-26九年级上·湖南邵阳·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值时，原方程总有两个不相等的实数根； (2)若是原方程的两根，且，求的值． 变式2．（25-26九年级上·湖北省直辖县级单位·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根，满足，求的值． 变式3．（25-26九年级上·湖南岳阳·期中）关于x的一元二次方程 (1)试判断该方程根的情况∶ (2)若是该方程的两个实数根，且，求m的值． 变式4．（25-26九年级上·福建三明·期中）若关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求m的取值范围； (2)若方程的两个根满足，求m的值． 考点三 以二次方程为背景的材料阅读类问题 例1．（25-26九年级上·福建厦门·月考）我们定义：两根都为整数的一元二次方程均为整数称为“幸运方程”，两整数根称为“幸运根”，代数式的值为该“幸运方程”的“幸运数”，用表示，即．若有另一个“幸运方程”均为整数的“幸运数”为，若，则称与互为“开心数”． (1)关于x的一元二次方程是一个“幸运方程”． ①当时，该幸运方程的“幸运数”是______； ②若该幸运方程的“幸运数”是，则m的值为______． (2)若关于x的一元二次方程为整数，且是“幸运方程”，求m的值及该方程的“幸运数”； (3)若关于x的一元二次方程与、n均为整数都是“幸运方程”，且其“幸运数”互为“开心数”，求n的值． 例2．（25-26九年级上·甘肃兰州·期中）阅读理解材料：已知实数m，n满足，，且，求的值． 解：由题意知m，n是方程的两个不相等的实数根， 根据一元二次方程根与系数的关系得，， ∴． 解决以下问题： (1)方程的两个实数根为，，则________，________． (2)已知实数m，n满足，，且，求的值． 例3．（25-26九年级上·四川眉山·期中）阅读材料，根据上述材料解决以下问题： 材料1：若一元二次方程的两个根为，则 材料2：已知实数m，n满足，且，则 m，n 是方程的两个不相等的实数根． (1)材料理解：一元二次方程 两个根为 ，则 ， ． (2)应用探究：已知两实数m，n满足，则的值为？ (3)思维拓展：已知实数s，t分别满足，且，求的值． 例4．（25-26九年级上·湖南永州·期中）阅读材料 材料1：（韦达定理）一元二次方程的两根，有如下的关系：，； 材料2：（同构思想）如果实数m、n满足、，且，则可将m、n看作是一元二次方程．两个不相等实数根．请根据材料解决下面问题： (1)若实数a，b满足：，，则______，______； (2)已知实数m、n满足，，且，求的值； (3)已知实数s、t分别满足，，且．求的值． 变式1．（25-26八年级上·上海普陀·期中）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根、，小普发现对于这个方程的两根，有，．假设、在数轴上对应的点分别为、，点、之间的距离为2，的中点表示的数是p． (1)当时，_____________； (2)根据小普的结论，求m、n；（结果用含p的代数式表示） (3)如果n是一个正整数的平方，现保持的中点不变，、之间的距离变为8，对应的方程中也是一个正整数的平方，求的中点表示的数． 变式2．（25-26九年级上·河北保定·期中）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以，把代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为， 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：______； (2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数； (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，请直接写出一元二次方程两根． 变式3．（25-26九年级上·福建福州·期中）阅读材料后解答问题： 材料1：已知一元二次方程的两个实数根分别为，求的值． 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为 ∴，则． 材料2：已知实数、满足，且，求的值． 解：依题意得：与为方程的两根， ∴，∴ 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)材料理解：一元二次方程的两个根为和，则______，_____． (2)类比应用：已知实数、满足，求的值． (3)思维拓展：设，且，求的值． 变式4．（25-26九年级上·甘肃兰州·期中）材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程（，）的两根，有如下的关系（韦达定理）：， 材料2：如果实数、满足，，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将、看作是此方程的两个不相等实数根； 请根据上述材料解决下面问题： (1)初步体验：已知实数，满足，（），求的值； (2)类比应用：已知实数，满足，，且，求 2 学科网（北京）股份有限公司 $解一元二次方程、根与系数的关系、以二次方程为背景的材料阅读类问题专项训练 解一元二次方程、根与系数的关系、以二次方程为背景的材料阅读类问题专项训练 考点目录 解一元二次方程 一元二次方程根与系数的关系 以二次方程为背景的材料阅读类问题 考点一 解一元二次方程 例1．（25-26九年级上·湖南娄底·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， ， ， 或， ∴，； （2）解：， ， 或， ∴，． 例2．（25-26九年级上·云南昆明·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， ， ∴， 即， ， ，； （2）解：， ， ∴， 或， ∴，． 例3．（25-26九年级上·辽宁丹东·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， 移项得：， 分解因式得：， 解得：，； （2）解：， 方程两边同时除以得：， 移项得：， 配方得：， 分解因式得：， 两边同时开方得：， 解得：，． 例4．（2025·四川雅安·一模）解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2)， 【详解】（1） 二次项系数化1得 移项，配方得 使用完全平方公式得 开方得 拆开式子得 解得 故原方程的解为． （2） 设， 则原式为 十字相乘法得 或 解得或． 当时，； 当时，； 解得，． 故原方程的解为，． 变式1．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： ， ， ， 解得：，． （2）， ， 解得：，． 变式2．（25-26九年级上·广西南宁·期中）计算 (1) (2)． 【答案】(1)8 (2)， 【详解】（1）解： ； （2）解：， 方法1：    ， 方法2： ，， 方程有两个不相等的实数根 ， 方法3： 则或 ， 变式3．（25-26九年级上·广东深圳·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，. 【详解】（1）解：， 整理得， 开方得， 解得：，； （2）解：， 整理得， 因式分解得，即， ∴或， 解得：，． 变式4．（25-26九年级上·江苏南京·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)，． 【详解】（1）解：整理得， 配方得，即， 开方得， 解得，； （2）解：整理得， 因式分解得，即可， 则或， 解得，． 考点二 一元二次方程根与系数的关系 例1．（25-26九年级上·云南昆明·期中）关于x的一元二次方程 (1)求证：无论m取何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2)若，是该方程的两个实数根，且，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明： ， 无论m取何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：根据根与系数的关系得，， ， ， ， 解得， 即m的值为1． 例2．（24-25九年级上·重庆永川·月考）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个不相等的实数根； (2)已知方程的一个根为，求方程的另一个根． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【详解】（1）证明：在方程中， ， ∴该方程总有两个不相等的实数根． （2）解：设方程的另一个根为， ∵的一个根为， 根据根与系数的关系，两根之积为， 则， 解得． 例3．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）关于的方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若方程的一个实数根是另一个实数根的倍，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 即：， 解得： （2）解：设一个根为，则另一个根为 根据根与系数的关系得： ， 即：， ∵， ∴， 即：. 例4．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）已知关于的一元二次方程有两个异号的实数根． (1)求的取值范围； (2)设是该方程的两个根，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）关于的一元二次方程有两个异号的实数根， 且， 解得：． （2）， ， 则， 又，， ， 整理得， 解得：，， 又， ． 变式1．（25-26九年级上·湖南邵阳·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值时，原方程总有两个不相等的实数根； (2)若是原方程的两根，且，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：， 无论取何值时，原方程总有两个不相等的实数根； （2）解：， ， 又， ， 解得：． 变式2．（25-26九年级上·湖北省直辖县级单位·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根，满足，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 【详解】（1）解：关于的一元二次方程，即， ， ， ，即， 无论为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：关于的一元二次方程，即， ，， ， ， 解得或． 变式3．（25-26九年级上·湖南岳阳·期中）关于x的一元二次方程 (1)试判断该方程根的情况∶ (2)若是该方程的两个实数根，且，求m的值． 【答案】(1)方程有实数根 (2) 【详解】（1）证明：关于的一元二次方程为， ， 所以无论为何值，方程总有实数根； （2）解：因为，是该方程的两个实数根， 所以，． ， ， 即， 解得． 变式4．（25-26九年级上·福建三明·期中）若关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求m的取值范围； (2)若方程的两个根满足，求m的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵方程有两个实数根， ， 解得； （2）和是一元二次方程的两个根， ，， ∵， ∴， ， 解得． 考点三 以二次方程为背景的材料阅读类问题 例1．（25-26九年级上·福建厦门·月考）我们定义：两根都为整数的一元二次方程均为整数称为“幸运方程”，两整数根称为“幸运根”，代数式的值为该“幸运方程”的“幸运数”，用表示，即．若有另一个“幸运方程”均为整数的“幸运数”为，若，则称与互为“开心数”． (1)关于x的一元二次方程是一个“幸运方程”． ①当时，该幸运方程的“幸运数”是______； ②若该幸运方程的“幸运数”是，则m的值为______． (2)若关于x的一元二次方程为整数，且是“幸运方程”，求m的值及该方程的“幸运数”； (3)若关于x的一元二次方程与、n均为整数都是“幸运方程”，且其“幸运数”互为“开心数”，求n的值． 【答案】(1)①；②或3 (2)，“幸运数”为 (3)或 【详解】（1）解：①当时，代入得，， ，即， 故答案为：； ②依题意，， 整理得，， 解得，， 故答案为：或3； （2）解：， ， ， ， 是“幸运方程”， 是完全平方数， 即是完全平方数， 或49或64， 解得或9或， 为整数， ， 当时，方程化为， ， 方程的“幸运数”为； （3）解：是“幸运方程”， 的两个根为整数， 设方程的两个根分别为p，q， ，， ， ， ， ，q为整数，， 当，时，则，，此时， 当，时，则，，此时， 当，时，则，，此时， 当，时，则，，此时， 综上所述，m的值为5或， 方程的“幸运数”为， 当时，， 当时，， ， 方程的“幸运数”为， 与互为“开心数”， ，即， 当时，方程为：， 解得：或舍去，不是整数， 当时，方程为：， 解得：， 综上所述，或． 例2．（25-26九年级上·甘肃兰州·期中）阅读理解材料：已知实数m，n满足，，且，求的值． 解：由题意知m，n是方程的两个不相等的实数根， 根据一元二次方程根与系数的关系得，， ∴． 解决以下问题： (1)方程的两个实数根为，，则________，________． (2)已知实数m，n满足，，且，求的值． 【答案】(1)4， (2) 【详解】（1）解：∵方程的两个实数根为，， ∴，． 故答案为：4，； （2）解：∵，，且， ∴m，n可看作方程的两个不相等的实数根． ∴，． ∴m，n均为正数， ∴． ∴． 例3．（25-26九年级上·四川眉山·期中）阅读材料，根据上述材料解决以下问题： 材料1：若一元二次方程的两个根为，则 材料2：已知实数m，n满足，且，则 m，n 是方程的两个不相等的实数根． (1)材料理解：一元二次方程 两个根为 ，则 ， ． (2)应用探究：已知两实数m，n满足，则的值为？ (3)思维拓展：已知实数s，t分别满足，且，求的值． 【答案】(1)2， (2) (3) 【详解】（1）解： 一元二次方程 两个根为，， ， 故答案为：2，； （2）解：由题意、是方程的两个根， 该方程的判别式， 方程有两个不相等的实数根，即， 则，， ； （3）解：把，两边同时除以得： ， 实数和可看作方程的根， ，， ． 例4．（25-26九年级上·湖南永州·期中）阅读材料 材料1：（韦达定理）一元二次方程的两根，有如下的关系：，； 材料2：（同构思想）如果实数m、n满足、，且，则可将m、n看作是一元二次方程．两个不相等实数根．请根据材料解决下面问题： (1)若实数a，b满足：，，则______，______； (2)已知实数m、n满足，，且，求的值； (3)已知实数s、t分别满足，，且．求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【详解】（1）解：由材料知，可将、看作是一元二次方程两个不相等的实数根， ∴，； 故答案为：，； （2）解：∵，，且， ∴、可看作方程的两个不相等的实数根， ∴，， ∴； （3）解：将两边同时除以， 变形为， ∴实数和可看作方程的两个不相等的实数根， ∴，， ∴． 变式1．（25-26八年级上·上海普陀·期中）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根、，小普发现对于这个方程的两根，有，．假设、在数轴上对应的点分别为、，点、之间的距离为2，的中点表示的数是p． (1)当时，_____________； (2)根据小普的结论，求m、n；（结果用含p的代数式表示） (3)如果n是一个正整数的平方，现保持的中点不变，、之间的距离变为8，对应的方程中也是一个正整数的平方，求的中点表示的数． 【答案】(1) (2)， (3)或或或 【详解】（1）解：∵的中点表示的数是p， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴； 由题意得， ∴， ∴， ∴； （3）解：当时，（为正整数）， 当时，（为正整数，且）， ∴ 两式相减得， 即． ∴ 或 解得或， ∴或 ∴ ，，，， 即的中点表示的数是或或或． 变式2．（25-26九年级上·河北保定·期中）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以，把代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为， 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：______； (2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数； (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，请直接写出一元二次方程两根． 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）解：设所求方程的根为，则，所以， 把代入，得，即， 故答案为：； （2）解：设所求方程的根为，则，所以， 把代入，得， 化简，两边同乘得，即， 故答案为：； （3）解：已知的根为， 对于方程， 变形为，即， 令，则方程变为，所以或， 当时，，解得；当时，，解得， 故答案为：． 变式3．（25-26九年级上·福建福州·期中）阅读材料后解答问题： 材料1：已知一元二次方程的两个实数根分别为，求的值． 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为 ∴，则． 材料2：已知实数、满足，且，求的值． 解：依题意得：与为方程的两根， ∴，∴ 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)材料理解：一元二次方程的两个根为和，则______，_____． (2)类比应用：已知实数、满足，求的值． (3)思维拓展：设，且，求的值． 【答案】(1)3， (2)或2 (3) 【详解】（1）解：∵一元二次方程的两个根为和， ∴，， 故答案为：3，； （2）解：∵实数、满足， ∴当时，原式； 当时， 令一元二次方程的两个实数根分别为， ∴， ∴， 综上可得：原式的值为2或； （3）解： ， ∴， 设，则， ∴c是一元二次方程的根， ， ∴也是一元二次方程的根， 假设和c是一元二次方程两个不同的根， 则，， ， ∴， ∴，与矛盾， ∴假设不成立， ∴， ， ∴， ∴． 变式4．（25-26九年级上·甘肃兰州·期中）材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程（，）的两根，有如下的关系（韦达定理）：， 材料2：如果实数、满足，，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将、看作是此方程的两个不相等实数根； 请根据上述材料解决下面问题： (1)初步体验：已知实数，满足，（），求的值； (2)类比应用：已知实数，满足，，且，求 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由实数，满足，（），可将m、n看作是方程的两个根， 根据韦达定理可得：， ∴， ∴ ； （2）解：由，可变形为，， ∴把看作是方程的两个根，根据韦达定理可得， ∴． 2 学科网（北京）股份有限公司 $