第3章 空间向量及其应用（高效培优单元测试·强化卷）数学沪教版2020选择性必修第一册

第3章 空间向量及其应用（高效培优单元测试·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．设，点在线段上，且，则（）的最小值为 ． 【答案】 【分析】方法一，数形结合，将向量的加法转化为向量的减法，从而求得动点到定点的距离的最小值；方法二，从代数角度入手，利用模长公式，将其转化为关于的一元二次函数求最值. 【详解】方法一：几何法 因为且，点在线段上， 所以为等边三角形． 由于， 记，则， 则线段为的高时，最短，最短为， 故的最小值为. 故答案为：. 方法二：代数法 且，点在线段上， 所以为等边三角形． 故当时，取得最小值为． 故答案为：. 2．点在轴上的射影的坐标为 ，在轴上的射影的坐标为 ，在轴上的射影的坐标为 . 【答案】 【分析】根据空间直角坐标系的特点可得出结果. 【详解】点在轴上的射影的坐标为，在轴上的射影的坐标为， 在轴上的射影的坐标为. 故答案为：；；. 3．已知空间向量，，若的夹角为钝角，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】依题意且与不共线（反向），结合数量积的坐标表示得到不等式，解得即可. 【详解】因为，且的夹角为钝角， 所以且与不共线（反向）， 由，则，解得， 当与共线时，，则，解得， 综上可得实数的取值范围为. 故答案为： 4．已知，，且与的夹角为钝角，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由求解，再排除与共线时的值即可得答案. 【详解】 与的夹角为钝角， ，解得， 由题意得与不共线，则，解得， 的取值范围是. 故答案为：. 5．已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则 . 【答案】/ 【分析】利用向量平行的坐标表示即可求解． 【详解】根据题意，若，则，又，， 所以，解得，所以. 故答案为：. 6．已知空间向量，，中两两夹角都是，且，，，则 ． 【答案】10 【分析】由 ，展开后利用数量积的定义直接运算再开方即可得解. 【详解】∵，，，且， ∴ ， ∴． 故答案为：10. 【点睛】本题主要考查了应用空间向量数量积求解模长，属于基础题. 7．已知向量，，且，则实数 ， . 【答案】 【分析】运用向量垂直坐标表示和模长公式计算即可. 【详解】，则，解得. 则，，. . 故答案为：；13. 8．如图，在三棱柱中，、分别为和的中点，设，，，则 （用表示）． 【答案】 【分析】利用向量加法的三角形法则与向量减法的三角形法则即可求得结果. 【详解】 , 故答案为： 9．已知平行六面体 ，底面是正方形， ， ，则 的长度为 . 【答案】 【分析】利用向量线性运算，结合几何体特征确定与的线性关系，结合空间向量数量积的运算律及已知条件求的长度. 【详解】设， 则， ， ， 所以 . 所以. 故答案为： 10．已知两条直线m，n，两个平面α，β，给出下列四个说法： ①m∥n，m⊥α⇒n⊥α；②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n；③m⊥n，m∥α⇒n∥α；④α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β. 其中正确说法的序号是 . 【答案】①④ 【分析】利用直线的平行移动，不改变该直线与另外直线或平面所成的角的大小，再结合空间线面关系的相关判定和性质定理来论证. 【详解】①可由直线平行移动，它与另外直线或平面所成的角是不变的性质可推证是正确的； ②根据两个平面平行的定义，可知分别在两平面内的直线一定是无公共点，这样就可知m与n平行或异面，所以②错误； ③中由m⊥n，m∥α，可知n∥α或n⊂α或n与α相交，故③错误； ④可先由m∥n，m⊥α⇒n⊥α，再由α∥β可得n⊥β，故④正确. 故正确的序号是：①④． 11．如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱．若二面角的平面角为，且，，则 ． 【答案】 【分析】根据已知条件用空间向量的模的公式求出的长. 【详解】由条件知， 又二面角的平面角为，则，所以 ， 所以． 故答案为：. 12．在棱长为6的正四面体中，点M在OA上，且，则 ． 【答案】 【分析】利用空间向量的数量积运算求解. 【详解】因为， 所以， ． 故答案为：-12 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．如图，M、N分别是四面体OABC的边OA、BC的中点，P是MN靠近N的三等分点．若向量，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由P是MN靠近N的三等分点得到，整理得到 ，又为BC的中点得到，由为OA的中点得到，从而得到． 【详解】M、N分别是四面体OABC的边OA、BC的中点，P是MN靠近N的三等分点． 则，即，也即， 则，因，，， 又为BC的中点，则， 为OA的中点，则， 因此，． 故选：C. 14．已知空间四点满足，，，，则的值（    ）． A．只有一个 B．有两个 C．有四个 D．有无穷多个 【答案】A 【分析】观察得知，由平方可得，再结合，计算即可得解. 【详解】通过观察有， 又，则， 两边平方得， 则， 故 ， 所以只有一个值0． 故选：A． 15．在空间四边形中，（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的加法与减法运算法则可得结果. 【详解】由题意得，. 故选：B. 16．在正方体中，若点P（异于点B）是棱上一点，则满足与所成的角为的点P的个数为（   ） A．0 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用线线角的向量求法建立点坐标间的等式，再分类讨论得解. 【详解】在正方体中，以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 令，则，设， ，，于是， 整理得，显然点不能在坐标轴上，否则， 当时，， 而，无解，即点不能在棱上； 当时，， 若，则；若，则无解；若，则， 于是点不能在棱上，可以在棱上； 当时，， 若，则无解；若，则，于是点不能在棱上，可以在棱上， 所以可以在棱上，点P的个数为3. 故选：B 【点睛】思路点睛：建立空间直角坐标系，利用空间向量结合线线角的求法建立等式，分类讨论求解. 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．如图，在四棱柱中，四边形是正方形，，，点G为的中点． (1)用向量，，表示，并求线段AG的长； (2)求直线AG与所成角的正弦值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由题可得，再利用模长公式求解即可； （2）同理（1）用向量，，表示，计算出与的数量积，再用夹角公式求解. 【详解】（1）由题意知 ． 因为四边形是正方形，，， 所以，，， 所以 ， 即线段的长为． （2）因为，， 由（1）知，以，，， 所以 ． 又 ， 所以． 设直线AG与所成角为，则， 即直线AG与所成角的正弦值为． 18．如图，在平行六面体中，，，，，.求： (1)证明直线直线； (2)求异面直线和间的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据空间向量基本定理，利用基底表示各向量，再结合向量垂直的数量积表示，可得证. （2）直线平面，直线平面，求出平面的法向量，进而求出异面直线的距离. 【详解】（1）取空间向量的一个基底，则，， 且，， ， 因此， 即，所以直线直线. （2）由（1）得，， 由和是异面直线，令直线平面，直线平面， 设是平面的法向量，则，且， 即，取，得， ， ， 异面直线与间的距离即在上投影向量的模长， 所以异面直线与间的距离为. 19．在棱长为1的正方体中，，，分别是，，的中点    (1)求与所成角的余弦值； (2)点到平面的距离． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）构建合适空间直角坐标系，标注相关点坐标，求出对应的一个方向向量，应用向量法求异面直线的夹角； （2）根据（1），求出、平面对应的一个方向向量、法向量，应用向量法求点面距. 【详解】（1）如图建系，，，，，，    则，， ， 所以异面直线与所成的角的余弦值为； （2）由（1）知， 设平面的一个法向量为，则，令，则， 点到平面的距离. 20．如图甲，在梯形中，，，，是的中点，将沿折起，使点到达点的位置，如图乙，且.    (1)求证：平面平面； (2)求点到平面的距离； (3)设的中点为，在平面内取点，使得直线平面，问点是否在内？ 【答案】(1)证明见解析 (2). (3)点不在内 【分析】（1）取的中点，通过证明和，证得平面，可证平面平面； （2）以点为原点建立空间直角坐标系，向量法求点到平面的距离； （3）设，由在平面内可知，再由平面，求出点坐标，判断结论即可. 【详解】（1）取的中点，连结，，因为，所以， 在中，，所以， 在中，， 在中， ，，，所以， 所以，又因为，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. （2）连结，，， ，所以， 且，由（1）可知平面， 又因为平面， 所以，，所以两两垂直， 如图，以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，    则， ， 设平面的法向量为，则，     取，得，则， 所以点到平面的距离. （3）设，由在平面内可知， 即， 所以，即，所以， 因为平面，所以是平面的一个法向量，所以， 即，解得，故， 而，可知点不在内. 21．如图，在平行六面体中，，，，，是的中点，设，，． (1)试用，，表示向量，并求向量的长度； (2)求； (3)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)，长度为； (2)； (3). 【分析】（1）根据平行六面体的性质，结合已知条件，运用向量加法表示向量，再结合已知条件求出向量的模； （2）利用向量数量积的运算规则计算求解； （3）先求出向量数量积，再分别求出向量的模，最后利用向量夹角余弦公式求解． 【详解】（1）由平行六面体的性质可知， 是的中点， ， ， ， ， ． （2） ． （3） ，， ， 又， ， ， 异面直线与所成角的余弦值为． 试卷第2页，共15页 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 空间向量及其应用（高效培优单元测试·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．设，点在线段上，且，则（）的最小值为 ． 2．点在轴上的射影的坐标为 ，在轴上的射影的坐标为 ，在轴上的射影的坐标为 . 3．已知空间向量，，若的夹角为钝角，则实数的取值范围为 ． 4．已知，，且与的夹角为钝角，则的取值范围是 . 5．已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则 . 6．已知空间向量，，中两两夹角都是，且，，，则 ． 7．已知向量，，且，则实数 ， . 8．如图，在三棱柱中，、分别为和的中点，设，，，则 （用表示）． 9．已知平行六面体 ，底面是正方形， ， ，则 的长度为 . 10．已知两条直线m，n，两个平面α，β，给出下列四个说法： ①m∥n，m⊥α⇒n⊥α；②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n；③m⊥n，m∥α⇒n∥α；④α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β. 其中正确说法的序号是 . 11．如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱．若二面角的平面角为，且，，则 ． 12．在棱长为6的正四面体中，点M在OA上，且，则 ． 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．如图，M、N分别是四面体OABC的边OA、BC的中点，P是MN靠近N的三等分点．若向量，，，则（    ） A． B． C． D． 14．已知空间四点满足，，，，则的值（    ）． A．只有一个 B．有两个 C．有四个 D．有无穷多个 15．在空间四边形中，（ ） A． B． C． D． 16．在正方体中，若点P（异于点B）是棱上一点，则满足与所成的角为的点P的个数为（   ） A．0 B．3 C．4 D．6 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．如图，在四棱柱中，四边形是正方形，，，点G为的中点． (1)用向量，，表示，并求线段AG的长； (2)求直线AG与所成角的正弦值． 18．如图，在平行六面体中，，，，，.求： (1)证明直线直线； (2)求异面直线和间的距离. 19．在棱长为1的正方体中，，，分别是，，的中点    (1)求与所成角的余弦值； (2)点到平面的距离． 20．如图甲，在梯形中，，，，是的中点，将沿折起，使点到达点的位置，如图乙，且.    (1)求证：平面平面； (2)求点到平面的距离； (3)设的中点为，在平面内取点，使得直线平面，问点是否在内？ 21．如图，在平行六面体中，，，，，是的中点，设，，． (1)试用，，表示向量，并求向量的长度； (2)求； (3)求异面直线与所成角的余弦值． 试卷第2页，共15页 4 学科网（北京）股份有限公司 $