学易金卷：九年级数学上学期第三次月考（北京专用，测试范围：人教版九年级上册第二十一章～第二十四章）

( ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年九年级数学上学期第三次月考 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版九年级上册第二十一章~第二十四章。 第一部分（选择题 共16分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列各式是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．下列图案中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A．B． C． D． 3．如图，A，B，C是上的三个点．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 4．二次函数的图象向右平移1个单位长度，得到的二次函数解析式为（    ） A． B． C． D． 5．在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点中，可能是旋转中心的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 6．如图，将绕点C顺时针旋转得到，使点A的对应点D恰好落在边上，点B的对应点为E，连接，下列四个结论：①；②；③；④平分，其中一定正确的是（   ） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 7．某商品的进价为每件40元，当售价为每件80元时，每星期可卖出200件，现需降价处理，且经市场调查发现：每降价1元，每星期可多卖出8件，店里每周利润要达到8450元．若设店主把该商品每件售价降低x元，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 8．如图，抛物线的对称轴是直线，其部分图象如图，则下面结论中： ；；；； 若点在此抛物线上，且，则． 所有正确结论的序号为（ ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共84分） 2、 填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9．已知是一元二次方程的一个根，则另一个根是 ． 10．点关于原点对称的点的坐标是 ． 11．如图，是的内切圆，切点分别为D，E，F．若，，则的周长为 ． 12．已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是 ． 13．如图，矩形中，，，将矩形绕点旋转得到矩形，若恰好经过点，则的长为 ． 14．关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 15．在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：确定图1中所在圆的圆心． 已知：． 求作：所在圆的圆心O． 曈曈的作法如下：如图2， （1）在上任意取一点M，分别连接，； （2）分别作弦，的垂直平分线，两条垂直平分线交于点O．点O就是所在圆的圆心． 老师说：“曈曈的作法正确．” 请你回答：曈曈的作图依据是 ． 16．车间里有五台车床同时出现故障．已知第一台至第五台修复的时间如下表： 车床代号 A B C D E 修复时间（分钟） 15 8 29 7 10 若每台车床停产一分钟造成经济损失10元，修复后即可投入生产． （1）若只有一名修理工，且每次只能修理一台车床，则下列三个修复车床的顺序： ①；②；③中，经济损失最少的是 （填序号）； （2）若由两名修理工同时修理车床，且每台车床只由一名修理工修理，则最少经济损失为 元． 3、 解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（5分）解方程：． 18．（5分）已知关于的方程． （1）若方程只有一个实数根，求的值，并求此时方程的根； （2）若方程有两个相等的实数根，求的值，并求此时方程的根． 19．（5分）如图，在平行四边形中，为边上一点，连接，为线段上一点，且． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 20．（6分）已知，求代数式的值． 21．（5分）某学校八年级和九年级两个年级各有600名同学，为了科普卫生防疫知识，学校组织了一次在线知识竞赛，小宇分别从八年级、九年级两个年级随机抽取了40名同学的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a．八年级、九年级学生知识竞赛成绩不完整的频数分布直方图如下（数据分成5组：）： b．八年级学生知识竞赛成绩在这一组的数据如下： c．八年级、九年级学生知识竞赛成绩的平均数、中位数如下： 平均数 中位数 八年级 80.8 九年级 80.6 86 根据以上信息，回答下列问题： (1)补全上面的知识竞赛成绩频数分布直方图； (2)的值为________； (3)不在同一年级的两位同学的成绩均在被抽中的样本中，同学看到上述的信息后，说自己的成绩能在本年级排在前同学看到同学的成绩后说：“很遗憾，你的成绩在我们年级进不了前”．请判断同学所在的年级，并说明理由； (4)若成绩在85分及以上为优秀，请估计八年级竞赛成绩优秀的人数为________． 22．（6分）如图，是的直径，于点，连接交于点． (1)求证：． (2)若，求的长． 23．（5分）如图，点是等边内一点，将绕点逆时针旋转得到，连接，，，，． (1)求证：； (2)若，，，请直接写出的度数． 24．（6分）在平面直角坐标系中，抛物线（）． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若当时，函数图象的最高点为P，点P的纵坐标为24，求二次函数的表达式； (3)若直线与抛物线其中一个交点的横坐标为2，过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N，且点M在点N的下方．当线段的长度随m的增大而减少时，求m的取值范围． 25．（5分）某科技团队研发的机器人能够进行舞蹈表演，其表演队形随音乐节奏动态调整．在一次表演中，开场阶段参加表演的所有机器人整齐排列，组成一个正方形方阵．当音乐推进至高潮部分，表演队形发生变化，首先有4个机器人出列，在舞台的最前方担任领舞，其余机器人则迅速调整站位组成一个长方形方阵．该长方形方阵的列数比原来的2倍少1，行数比原来少4．求此次参加表演的机器人的总个数． 26．（6分）佩奇和朋友们一起踢足球，球射向球门的路线呈抛物线形．佩奇从球门正前方的处射门，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面，球门高为． (1)请建立适当平面直角坐标系，求该抛物线对应的函数表达式． (2)通过计算判断佩奇此次射门能否射入球门内． (3)点为上一点，且，若射门路线的形状和大小、最大高度均保持不变，当佩奇带球向正后方移动再射门，足球恰好经过区域（含点和），直接写出的取值范围． 27．（7分）已知，，，点O为中点，射线与线段交于点D，将射线绕点O逆时针旋转，与线段交于点E． (1)完成作图，并证明：； (2)若，求点E到直线的距离． 28．（7分）在平面直角坐标系中，的半径为1，对于的弦和不在直线上的点，给出如下定义：若点关于弦的中点的对称点在上或其内部，且，则称点是弦的“阳光点”． (1)如图，点． ①在点中，点 是弦的“阳光点”，其中 ； ②若直线上一点是弦的“阳光点”，则b的取值范围是 ； (2)已知是直线上一点，且存在的弦，使得点是弦的“阳光点”．记点的横坐标为，直接写出的取值范围． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期第三次月考 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版九年级上册第二十一章~第二十四章。 第一部分（选择题 共16分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列各式是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的整式方程，据此对选项进行判断即可. 【详解】解：A、展开化简为，不是一元二次方程，故A不符合题意； B、含有两个未知数，不是一元二次方程，故B不符合题意； C、含有分式，不是一元二次方程，故C不符合题意； D、展开化简为，是一元二次方程，故D符合题意. 故选：D. 2．下列图案中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，熟记轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关键． 明确轴对称图形沿对称轴折叠后两部分重合，中心对称图形绕对称中心旋转后与原图重合，据此逐一分析选项． 【详解】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项A符合题意． B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项B不符合题意． C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项C不符合题意． D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项D不符合题意． 故选：A． 3．如图，A，B，C是上的三个点．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，解题关键是熟练掌握圆周角定理．根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半解题即可． 【详解】∵， ∴． 故选：A． 4．二次函数的图象向右平移1个单位长度，得到的二次函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：二次函数的图象向右平移1个单位，得到新二次函数解析式为． 故选B． 5．在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点中，可能是旋转中心的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了找旋转中心，熟练掌握旋转中心的确定方法是解题关键．确定旋转中心的方法：分别作两组对应点所连线段的垂直平分线，其交点就为旋转中心，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，，分别作，的垂直平分线，其交点为点，则旋转中心是点． 故选：A． 6．如图，将绕点C顺时针旋转得到，使点A的对应点D恰好落在边上，点B的对应点为E，连接，下列四个结论：①；②；③；④平分，其中一定正确的是（   ） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【详解】解：∵绕点C顺时针旋转得到， ∴，，，，故①正确； ∴，， ∴平分，，故④正确； ∵， ∴， ∴根据三角形内角和定理可知，， ∴，故②正确； ∵不一定等于， 不一定等于，故③错误． 综上，正确的有①②④， 故选：A. 7．某商品的进价为每件40元，当售价为每件80元时，每星期可卖出200件，现需降价处理，且经市场调查发现：每降价1元，每星期可多卖出8件，店里每周利润要达到8450元．若设店主把该商品每件售价降低x元，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：原来售价为每件元，进价为每件元，利润为每件元，又每件售价降低元后，利润为每件元； 每降低1元，每星期可多卖出件，所以每件售价降低元，每星期可多卖出件，现在的销量为件， 根据题意得：． 故选． 8．如图，抛物线的对称轴是直线，其部分图象如图，则下面结论中： ；；；； 若点在此抛物线上，且，则． 所有正确结论的序号为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴为，即， ∴，， ∴，；故错误；正确； 设抛物线与轴的交点为，且在正半轴上， ∵，对称轴是直线， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴时，， ∵， ∴， 故错误； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴故正确； 根据题意， ， ∴； ∴， ∵， ∴， 解得或，故错误； 综上可知：正确， 故选：． 第二部分（非选择题 共84分） 2、 填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9．已知是一元二次方程的一个根，则另一个根是 ． 【答案】5 【详解】解：设该方程的另一个根为， ∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， 故答案为：5． 10．点关于原点对称的点的坐标是 ． 【答案】 【详解】点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 11．如图，是的内切圆，切点分别为D，E，F．若，，则的周长为 ． 【答案】32 【分析】本题考查了切线长定理，掌握切线长定理是解题的关键．由切线长定理得，，，即可求解． 【详解】解：是的内切圆，切点分别为，，， ∴，，， ∴ ． 故答案为：32． 12．已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：∵抛物线对称轴为，且与轴的一个交点为， ∴该交点到对称轴的距离为， ∴抛物线与轴的另一个交点为，即， 又∵抛物线开口向下， ∴当时，的取值范围是． 故答案为：． 13．如图，矩形中，，，将矩形绕点旋转得到矩形，若恰好经过点，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 由旋转性质可知，，，， ∴， ∴， 故答案为：． 14．关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查根的判别式， 根据一元二次方程有两个不相等的实数根的条件，判别式大于零，列不等式求解． 【详解】∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． 故答案为：． 15．在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：确定图1中所在圆的圆心． 已知：． 求作：所在圆的圆心O． 曈曈的作法如下：如图2， （1）在上任意取一点M，分别连接，； （2）分别作弦，的垂直平分线，两条垂直平分线交于点O．点O就是所在圆的圆心． 老师说：“曈曈的作法正确．” 请你回答：曈曈的作图依据是 ． 【答案】①线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；②圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆） 【详解】解：根据线段的垂直平分线的性质定理可知：， 所以点O 是所在圆的圆心 (理由①线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；②圆的定义 (到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆) 故答案为：①线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；②圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆）． 16．车间里有五台车床同时出现故障．已知第一台至第五台修复的时间如下表： 车床代号 A B C D E 修复时间（分钟） 15 8 29 7 10 若每台车床停产一分钟造成经济损失10元，修复后即可投入生产． （1）若只有一名修理工，且每次只能修理一台车床，则下列三个修复车床的顺序： ①；②；③中，经济损失最少的是 （填序号）； （2）若由两名修理工同时修理车床，且每台车床只由一名修理工修理，则最少经济损失为 元． 【答案】 ① 1010 【详解】解：（1）①总停产时间：分钟， ②总停产时间：分钟， ③总停产时间：分钟， 故答案为：①； （2）一名修理工修按D，E，C的顺序修，另一名修理工修按B，A的顺序修， 分钟， （元） 故答案为：1010． 3、 解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（5分）解方程：． 【答案】或 【详解】.解：原方程变为：，. ∴或， ∴或． 18．（5分）已知关于的方程． （1）若方程只有一个实数根，求的值，并求此时方程的根； （2）若方程有两个相等的实数根，求的值，并求此时方程的根． 【答案】（1）k=-2，x=；（2）k=2，x1=x2=，或k=，x1=x2= 【详解】（1）∵方程只有一个实数根， ∴2+k=0， 解得k=-2， ∴原方程为：-12x-7=0， 解得x=； （2）由题意得2+k0，即k-2，， ∴， 解得k=2或k=， 当k=2时，方程为，解得x1=x2=， 当k=时，方程为，解得x1=x2=． 19．（5分）如图，在平行四边形中，为边上一点，连接，为线段上一点，且． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)12 【详解】（1）解：证明：四边形是平行四边形， ，． ，， ， ； （2）四边形是平行四边形， ， ， ， ． 20．（6分）已知，求代数式的值． 【答案】1 【分析】本题主要考查分式的化简求值，将条件变形为，再把要求代数式化简整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴． ∴ ． 21．（5分）某学校八年级和九年级两个年级各有600名同学，为了科普卫生防疫知识，学校组织了一次在线知识竞赛，小宇分别从八年级、九年级两个年级随机抽取了40名同学的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a．八年级、九年级学生知识竞赛成绩不完整的频数分布直方图如下（数据分成5组：）： b．八年级学生知识竞赛成绩在这一组的数据如下： c．八年级、九年级学生知识竞赛成绩的平均数、中位数如下： 平均数 中位数 八年级 80.8 九年级 80.6 86 根据以上信息，回答下列问题： (1)补全上面的知识竞赛成绩频数分布直方图； (2)的值为________； (3)不在同一年级的两位同学的成绩均在被抽中的样本中，同学看到上述的信息后，说自己的成绩能在本年级排在前同学看到同学的成绩后说：“很遗憾，你的成绩在我们年级进不了前”．请判断同学所在的年级，并说明理由； (4)若成绩在85分及以上为优秀，请估计八年级竞赛成绩优秀的人数为________． 【答案】(1)见解析 (2) (3)八年级，理由见解析 (4)225名 【详解】（1）解：（人） 补全知识竞赛成绩频数分布直方图如下： （2）由题意知八年级学生知识竞赛成绩的第20、21个数据为80、81， 所以， 故答案为：80.5； （3）同学是八年级的学生， 理由：由表可知，八年级的中位数为80.5，九年级的中位数86， 若是九年级学生，其成绩必定低于中位数，放到八年级，成绩会更靠前． 所以同学是八年级的学生； （4）（名）， 估计八年级竞赛成绩优秀的人数为255名， 故答案为：225名． 22．（6分）如图，是的直径，于点，连接交于点． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：连接， 是的直径， ， ， ， ， ． 又， ， ， ， ； （2）解：连接，交于点， ， 是等边三角形， ， ，且， ， 在Rt中，， ， ， ， ，即， （负值舍去）， ， ， ， ∴， ∴． 23．（5分）如图，点是等边内一点，将绕点逆时针旋转得到，连接，，，，． (1)求证：； (2)若，，，请直接写出的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：绕点B逆时针旋转得到， ，， 是等边三角形． ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：，， 是等边三角形， ，， ， ，， ， ，， ， ， ， ． 24．（6分）在平面直角坐标系中，抛物线（）． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若当时，函数图象的最高点为P，点P的纵坐标为24，求二次函数的表达式； (3)若直线与抛物线其中一个交点的横坐标为2，过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N，且点M在点N的下方．当线段的长度随m的增大而减少时，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线； （2）解：，抛物线的对称轴是直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴当时，函数值最大， ∴ 将代入二次函数中， 得， 解得， 二次函数表达式为． （3）解：把代入中，得， 将代入中， 得， 解得， ， 令， 解得， 点在点的下方， 的取值范围是． 点的坐标可分别表示为，， ． ，对称轴为直线， 当线段的长度随的增大而减小时，的取值范围是． 综上所述，的取值范围是． 25．（5分）某科技团队研发的机器人能够进行舞蹈表演，其表演队形随音乐节奏动态调整．在一次表演中，开场阶段参加表演的所有机器人整齐排列，组成一个正方形方阵．当音乐推进至高潮部分，表演队形发生变化，首先有4个机器人出列，在舞台的最前方担任领舞，其余机器人则迅速调整站位组成一个长方形方阵．该长方形方阵的列数比原来的2倍少1，行数比原来少4．求此次参加表演的机器人的总个数． 【答案】64个 【详解】解：设原正方形方阵每边有n个机器人，则总数为． 出列4个机器人后，剩余机器人数为． 长方形方阵的列数为，行数为． 根据题意，有， 化简得，，解得或， ∵时，行数（不合理）， ∴． 总机器人数为． 答：此次参加表演的机器人的总个数为64． 26．（6分）佩奇和朋友们一起踢足球，球射向球门的路线呈抛物线形．佩奇从球门正前方的处射门，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面，球门高为． (1)请建立适当平面直角坐标系，求该抛物线对应的函数表达式． (2)通过计算判断佩奇此次射门能否射入球门内． (3)点为上一点，且，若射门路线的形状和大小、最大高度均保持不变，当佩奇带球向正后方移动再射门，足球恰好经过区域（含点和），直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)球不能射进球门，理由见解析 (3) 【详解】（1）解：如图所示，以为原点，为轴，建立如图所示直角坐标系， ， 抛物线的顶点坐标为， 设抛物线，把点代入得：，解得， 抛物线的函数表达式为； （2）解：依题意，当时，， 球不能射进球门． （3）解：设佩奇带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为， 把点代入得：， 解得（舍去）或， 把点代入得：， 解得：（舍去）或， 即． 27．（7分）已知，，，点O为中点，射线与线段交于点D，将射线绕点O逆时针旋转，与线段交于点E． (1)完成作图，并证明：； (2)若，求点E到直线的距离． 【答案】(1)见解析 (2)点E到直线的距离为． 【详解】（1）解：所作图形如图： 连接． ∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：作于点， 设， ∵，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，，即， ∴， ∵点O为中点， ∴， ∴， 解得， ∴点E到直线的距离为． 28．（7分）在平面直角坐标系中，的半径为1，对于的弦和不在直线上的点，给出如下定义：若点关于弦的中点的对称点在上或其内部，且，则称点是弦的“阳光点”． (1)如图，点． ①在点中，点 是弦的“阳光点”，其中 ； ②若直线上一点是弦的“阳光点”，则b的取值范围是 ； (2)已知是直线上一点，且存在的弦，使得点是弦的“阳光点”．记点的横坐标为，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①，；② (2) 【详解】（1）解：①设， 是中点， ， 和关于对称， ， 不在外， ， ， ，， 点是弦的“阳光点”， ， ； 故答案为：，； ②设，则， 在直线上， ， ， 在优弧上， 设直线与轴交于点，则，如图： 连接，当直线与相切时，取最值，即取最值， ， ， ， ， ∴， ； 故答案为：； （2）解：作直线l：，连接并延长，交直线于点，取中点，连接，，如图： 在直线上， ， ， ， ； ， 在以为圆心，为半径的圆内， 两条直线平行， ， ， 且， 在以为圆心，1为半径的圆内， 当与有交点时，点存在， ， 与关于原点对称， ， 与有交点， ， 即， 解得： / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ 情在各圈目的答题区域内作答，超出黑色电形边框限定区城的客美无效！ 请在各题目的答思区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025-2026学年九年级数学上学期第三次月考卷 三、解答题（共68分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20.(6分) 答题卡 17.(5分) x2-4x-5=0 姓名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码， 2.选择愿必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用 0.5m黑色签字笔答题.不得用加笔或园珠笔答 题：字体工整、笔迹清晰。 3,请按题号氟序在各题日的答题区域内作答，超出 区域书写的容業无效：在草稀纸、试题鉴上容题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4。保持卡面清洁，不要折叠，不要弄被 标记 18.(5分) 21.(5分) 5.正确填欲■ 八，九效学1如四过容适烫韩数分后代小图 口礼牛液 一、选择题（每小题2分，共16分） 回九年线 [A][B][C][D] s [A][B][C][D] 2 [A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 3 [A][B][C][D 7[A][B][C][P] [A][B][C][D] 8[A][B]IC][D] 二、填空题（每小题2分，共16分） 10 19,(5分) 22.(6分) 3 请在各避目的容覆区或内作答，超出黑色矩形边匡限定区域的答案无效！ 请在各题目的咨题区域内作答。超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答避区线内作答。随出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 数学第2页（共6页） 数学第3到（共6页） 情在各碧目的容避区域内作答，都出需色矩形边E限定区域的容案无效！ 请在各悲目的答思区域内作答，超出黑色矩形边艇限定区城的答案无效！ 请在各思日的答题区域内作答，超出黑色地形边肛限定区城的答案无效1 23.(5分) 25.(5分) 27.(7分) 24.(6分) 26.(6分) 28.(7分》 0 请在各题目的答圈区域内作答，超出黑色矩形边艇限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答。望出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，是出黑色矩形边瓶限定区域的答案无效： 数学弟4页（共6页） 数学第5页（共6项） 数学第6页（共6页） 2025-2026学年九年级数学上学期第三次月考 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版九年级上册第二十一章~第二十四章。 第一部分（选择题 共16分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列各式是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．下列图案中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A．B． C． D． 3．如图，A，B，C是上的三个点．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 4．二次函数的图象向右平移1个单位长度，得到的二次函数解析式为（    ） A． B． C． D． 5．在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点中，可能是旋转中心的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 6．如图，将绕点C顺时针旋转得到，使点A的对应点D恰好落在边上，点B的对应点为E，连接，下列四个结论：①；②；③；④平分，其中一定正确的是（   ） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 7．某商品的进价为每件40元，当售价为每件80元时，每星期可卖出200件，现需降价处理，且经市场调查发现：每降价1元，每星期可多卖出8件，店里每周利润要达到8450元．若设店主把该商品每件售价降低x元，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 8．如图，抛物线的对称轴是直线，其部分图象如图，则下面结论中： ；；；； 若点在此抛物线上，且，则． 所有正确结论的序号为（ ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共84分） 2、 填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9．已知是一元二次方程的一个根，则另一个根是 ． 10．点关于原点对称的点的坐标是 ． 11．如图，是的内切圆，切点分别为D，E，F．若，，则的周长为 ． 12．已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是 ． 13．如图，矩形中，，，将矩形绕点旋转得到矩形，若恰好经过点，则的长为 ． 14．关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 15．在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：确定图1中所在圆的圆心． 已知：． 求作：所在圆的圆心O． 曈曈的作法如下：如图2， （1）在上任意取一点M，分别连接，； （2）分别作弦，的垂直平分线，两条垂直平分线交于点O．点O就是所在圆的圆心． 老师说：“曈曈的作法正确．” 请你回答：曈曈的作图依据是 ． 16．车间里有五台车床同时出现故障．已知第一台至第五台修复的时间如下表： 车床代号 A B C D E 修复时间（分钟） 15 8 29 7 10 若每台车床停产一分钟造成经济损失10元，修复后即可投入生产． （1）若只有一名修理工，且每次只能修理一台车床，则下列三个修复车床的顺序： ①；②；③中，经济损失最少的是 （填序号）； （2）若由两名修理工同时修理车床，且每台车床只由一名修理工修理，则最少经济损失为 元． 3、 解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（5分）解方程：． 18．（5分）已知关于的方程． （1）若方程只有一个实数根，求的值，并求此时方程的根； （2）若方程有两个相等的实数根，求的值，并求此时方程的根． 19．（5分）如图，在平行四边形中，为边上一点，连接，为线段上一点，且． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 20．（6分）已知，求代数式的值． 21．（5分）某学校八年级和九年级两个年级各有600名同学，为了科普卫生防疫知识，学校组织了一次在线知识竞赛，小宇分别从八年级、九年级两个年级随机抽取了40名同学的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a．八年级、九年级学生知识竞赛成绩不完整的频数分布直方图如下（数据分成5组：）： b．八年级学生知识竞赛成绩在这一组的数据如下： c．八年级、九年级学生知识竞赛成绩的平均数、中位数如下： 平均数 中位数 八年级 80.8 九年级 80.6 86 根据以上信息，回答下列问题： (1)补全上面的知识竞赛成绩频数分布直方图； (2)的值为________； (3)不在同一年级的两位同学的成绩均在被抽中的样本中，同学看到上述的信息后，说自己的成绩能在本年级排在前同学看到同学的成绩后说：“很遗憾，你的成绩在我们年级进不了前”．请判断同学所在的年级，并说明理由； (4)若成绩在85分及以上为优秀，请估计八年级竞赛成绩优秀的人数为________． 22．（6分）如图，是的直径，于点，连接交于点． (1)求证：． (2)若，求的长． 23．（5分）如图，点是等边内一点，将绕点逆时针旋转得到，连接，，，，． (1)求证：； (2)若，，，请直接写出的度数． 24．（6分）在平面直角坐标系中，抛物线（）． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若当时，函数图象的最高点为P，点P的纵坐标为24，求二次函数的表达式； (3)若直线与抛物线其中一个交点的横坐标为2，过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N，且点M在点N的下方．当线段的长度随m的增大而减少时，求m的取值范围． 25．（5分）某科技团队研发的机器人能够进行舞蹈表演，其表演队形随音乐节奏动态调整．在一次表演中，开场阶段参加表演的所有机器人整齐排列，组成一个正方形方阵．当音乐推进至高潮部分，表演队形发生变化，首先有4个机器人出列，在舞台的最前方担任领舞，其余机器人则迅速调整站位组成一个长方形方阵．该长方形方阵的列数比原来的2倍少1，行数比原来少4．求此次参加表演的机器人的总个数． 26．（6分）佩奇和朋友们一起踢足球，球射向球门的路线呈抛物线形．佩奇从球门正前方的处射门，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面，球门高为． (1)请建立适当平面直角坐标系，求该抛物线对应的函数表达式． (2)通过计算判断佩奇此次射门能否射入球门内． (3)点为上一点，且，若射门路线的形状和大小、最大高度均保持不变，当佩奇带球向正后方移动再射门，足球恰好经过区域（含点和），直接写出的取值范围． 27．（7分）已知，，，点O为中点，射线与线段交于点D，将射线绕点O逆时针旋转，与线段交于点E． (1)完成作图，并证明：； (2)若，求点E到直线的距离． 28．（7分）在平面直角坐标系中，的半径为1，对于的弦和不在直线上的点，给出如下定义：若点关于弦的中点的对称点在上或其内部，且，则称点是弦的“阳光点”． (1)如图，点． ①在点中，点 是弦的“阳光点”，其中 ； ②若直线上一点是弦的“阳光点”，则b的取值范围是 ； (2)已知是直线上一点，且存在的弦，使得点是弦的“阳光点”．记点的横坐标为，直接写出的取值范围． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年九年级数学上学期第三次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题2分，共16分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题2分，共16分） 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 15．____________________ 16．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（5分） 三、解答题（共68分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（5分） 19． （5分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.（5分） 22.(6分) 20．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.（5分） 24.（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（5分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27.（7分） 28.（7分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2025-2026学年九年级数学上学期第三次月考卷 参考答案 第一部分（选择题共16分） 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 5 6 8 0 B B B 第二部分（非选择题共84分） 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9.5 10.(1,-2 11.32 12.-1≤x≤3 13.1 14.m<5 15.①线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等； ②圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆） 16. ① 1010 三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(5分) 【详解】.解：原方程变为：(x+1)(x-5)=0,. (1分) x+1=0或x-5=0, x=-1或x=5.. (5分) 18.(5分) 【详解】(1)：方程只有一个实数根， .2+k-0, 解得k=-2, 1/11 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 原方程为：-12x-70, 解得2 (1分) (2)由题意得2+k≠0，即k≠-2，△=0， .(6k)2-4(2+k)(4k+1)=0, 解得k2暖k号 ，方程为4x+12x+9=0,解得为 (3分) k时，程为产0，解得 1 (5分) 5 5x+5 19.(5分) 【详解】(1)解：证明：：四边形ABCD是平行四边形， .∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC. '∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B, .∠AFD=LC, :△ADF∽△DEC;· (2分) (2):四边形ABCD是平行四边形， :CD=AB=8, :△ADF∽△DEC, AD DE AF DC :DE=D-CD_65x8=12. (5分) AF 4V3 20.(6分) 【详解】解：：a-b-3=0, .a-b=3. .3(a-2b)+3b a2-2ab+b2 3a-6b+3b (a-b)2 =3a-3b （a-b2 2/11 @学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 3(a-b) (a-b)2 3 (4分) a-b 3 23 =1. (6分) 21.(5分) 【详解】(1)解：40-1-7-13-9=10（人) 补全知识竞赛成绩频数分布直方图如下： 八、九年级学生知识竞赛成绩频数分布直方图 频数本 (学生人数) 口八年级 口九年级 22 20 15 10 10 5 5 1 x<60 60≤x<7070≤x<8080≤x<9090≤x<100成绩/分 (1分) (2)由题意知八年级学生知识竞赛成绩的第20、21个数据为80、81， 所以m=80+8 =80.5, 2 故答案为：80.5； (2分) (3)A同学是八年级的学生， 理由：由表可知，八年级的中位数为80.5，九年级的中位数86， 若A是九年级学生，其成绩必定低于中位数，放到八年级，成绩会更靠前. 所以A同学是八年级的学生； (4分) 6460×15=25(名)， 40 估计八年级竞赛成绩优秀的人数为255名， 故答案为：225名. (5分)》 22.(6分) 3/11 应学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 【详解】(1)证明：连接AC, D B:AB是OO的直径， ∠ACB=90°， ∠A=90°-∠ABC :CE⊥AB, ∠CEB=90°， ∠ECB=90°-∠ABC, .∠ECB=∠A 又：CD=CB, :CD=CB, ∠DBC=LA, .∠ECB=∠DBC, CF=BF;· (3分) (2)解：连接OC,交BD于点G, D G B:BC=0B=0C, :△OCB是等边三角形， .∠0CB=L0BC=60°， :CE⊥AB,且CF=BF, ∠CBF=∠ECB=1∠0CB=300, 2 在RtECR中，EB=BC=5 2 2 4/11 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .CE-BC-BE-7 :∠DBA=∠CBE-∠CBD=30°， .EF-BF, 2 :EF2+BE2=BF2,即EF2+ 5 =(2EF2, 2 r-号 (负值舍去)， :BE=CF =2EF=1, BC=DC, ∠D=∠CBD=30°， .∠DCF=∠DCB-LBCE=90°， .DF=2CF=2. (6分) 23.(5分) 【详解】(1)证明：：BO绕点B逆时针旋转60°得到BD, B0=BD,∠0BD=60°， “ABC是等边三角形. :BA=BC,∠CBA=60°， ·∠OBD=∠CBA, ∠CBO=LABD, 在△BCO和△BAD中， OB=BD ∠CBO=∠ABD, BC=BA :△BCO≌△BAD(SAS); (2分) (2)解：：B0=BD,∠0BD=60°， :aOBD是等边三角形， :0D=0B=6,∠0DB=60°， :△BCO≌△BAD, ·AD=OC=8,∠BOC=∠ADB, 5/11 高学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ”0A=10, .AD2+0D2=82+62=100,0A2=100, ·OA=AD2+OD2, ∠AD0=90°， ·∠ADB=∠AD0+∠BD0=150°， :∠B0C=∠ADB=150°. (5分) 24.(6分) 【详解】(1)解：抛物线y=ax2-2ax+a-1的对称轴为直线x=- -20-1；· (1分) 2a (2)解：：a>0,抛物线的对称轴是直线x=1, “抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， :-4≤x≤2， 当x=-4时，函数值最大， .P(-4,24 :将P(-4,24)代入二次函数y=ax2-2ax+a-1中， 得16a+8a+a-1=24, 解得a=1, :二次函数表达式为y=x2-2x.· (3分) （3)解：把x=2代入y=x中，得y=1, 1 将2,1代入y=ax2-2ax+a-1中， 得4a-4a+a-1=1, 解得a=2, .y=2x2-4x+1, 1 令2x2-4x+1=5x, 2 1 解得X=45=2, :点M在点N的下方， 1 ∴.m的取值范围是二<m<2. 4 6/11 @学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 点MN的坐标可分别表示为m2m-4加+小，(m, .MN=-(2m2-4m+1）=-2m2+9m-1. 9 2 9 :-2<0,对称轴为直线m= 29， 2×-2）8 9 :当线段MN的长度随m的增大而减小时，m的取值范围是m> 8 9 综上所述，m的取值范围是3<m<2.· (6分) 25.(5分) 【详解】解：设原正方形方阵每边有n个机器人，则总数为n2. 出列4个机器人后，剩余机器人数为n2-4· 长方形方阵的列数为2n-1,行数为n-4. 根据题意，有n-4)(2n-1=n2-4, 化简得，n2-9n+8=0,解得n=1或n=8, (3分) :n=1时，行数n-4=-3(不合理)， n=8. 总机器人数为n2=64. 答：此次参加表演的机器人的总个数为64.· (5分) 26.(6分) 【详解】(1)解：如图所示，以O为原点，OA为x轴，建立如图所示直角坐标系， y(m) B H出 6 4 x(m) 8 8-6=2, :抛物线的顶点坐标为2,3)， 设抛物线y=a(x-2+3,把点A8,0)代入得：36a+3=0,解得a=-日 12 提物线的确数衣达式为y=古x-2+3,。 (2分) 7/11 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (2)解：依题意，当x=0时，y=- 8 ×4+3=°>2.44， 12 3 :球不能射进球门. (3分) (3)解：设佩奇带球向正后方移动n米，则移动后的抛物线为y= 12x-2-m+3, 把点D0,25)代入得：25=0-2-m+3, 解得n=-5（舍去)或n=1, 把点0100代入得：0=0-2+3 解得：n=-8(舍去)或n=4, 即1≤n≤4. (6分) 27.(7分) 【详解】(1)解：所作图形如图： 连接0C. B :AC=BC=2V2,LACB=90°，A0=0B, ∴.OC⊥AB,OC=A0=OB, ∠0CE=∠B=45°， :∠M0N=∠C0B=90°， .∠EOC=∠D0B, :.△EOC≌aDOB(ASA), ∴CE=BD, ·.CD+CE=CD+BD=BC=2N2;· (3分) (2)解：作EF⊥AB于点F, F 8/11 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 设EF=x, :AC=BC=2V2,∠ACB=90°， .∠A=45°，AB=V2AC=4, △AEF是等腰直角三角形， .AF EF =x, :∠M0B=30°，∠M0N=90°， ∴.∠E0F=60°， .∠FE0=30°， .0E=20F,OE2=OF2+EF2,即(20F)2=OF2+x2, ·0F= 3t, :点O为AB中点， A0=0B=2, 2x=2, 解得x=3-5, :点E到直线AB的距离为3-√5.· (7分) 28.(7分) 【详解】(1)解：①设Cm,n, M是AB中点， 5》 :C'和C关于M对称， C1-m,1-n, :C'不在⊙0外， .0C'≤1， (1-m)2+(1-n)2≤1， 0≤m≤2,0≤n≤2， :点C,是弦AB的“O阳光点”， 9/11 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∠AC,B=90°， ∴.0a=90; 故答案为：C2,90; ②设Da,a+b),则D'(1-a,1-a-b), D在直线y=x-b上， :∠ADB=45, LAD'B=45°， .D在优弧AB上， 设直线y=x-b与y轴交于点E,则E(0,-b,如图： YA 连接OD',当直线y=x-b与⊙0相切时，OE取最值，即b取最值， .OD'⊥D'E, k=1, ∠D'E0=45°， :0E=√20D'=V2, -V2≤-b≤V2, .-√2≤b≤√2； 故答案为：-√2≤b≤√2；· (4分) (2)解：作直线1：y=√5x-√5，连接PO并延长，交直线1于点F,取MN中点Q,连接OQ,FP',如 图： P在直线y=V3x+V3上， P5(t+1月， 10/11