学易金卷：九年级数学上学期第三次月考（重庆专用，测试范围：人教版九上第21章～第24章）

( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 … ……………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 …………… …○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年九年级数学上学期第三次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版2012九年级上册 第二十一章~第二十四章。 第一部分（选择题 共40分） 1、 选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列博物馆图标中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 3．二次函数的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 4．如图，四边形ABCD内接于，，连接BD．若，，则的周长是（    ） A． B．4 C．6 D．8 5．在同一平面直角坐标系中，一次函数（a，b为常数，且）的图象与二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 6．已知是方程的两个实数根，则的值是（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 7．用配方法解一元二次方程时，此方程可化为（　　） A． B． C． D． 8．抛物线的部分图象如图所示，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 9．如图，四边形为正方形，为对角线上一点，连接，将绕着点顺时针旋转交的延长线于点，，则的值为（    ） A． B． C． D． 10．关于x，y的二次三项式（m为常数），下列结论正确的有（    ） ①当时，若，则 ②无论x取任何实数，等式都恒成立，则 ③若，则 ④满足的正整数解共有25个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第二部分（非选择题 共110分） 2、 填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．方程的根是 ． 12．在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为 ． 13．已知二次函数与一次函数的图象相交于点，．如图所示，则能使成立的x的取值范围是 ． 14．若关于的方程无解，则的取值范围为 ． 15．如图，内接于，连接并延长交于点，过点作于点．连接交于点，延长交于点，连接．若，则 ， ． 16．对于一个四位自然数n，若百位数字与个位数字之和等于千位数字与十位数字和的2倍，那么称这个数n为“双喜数”．如：，因为，所以1347是一个“双喜数”，则最小的“双喜数”为 ；若一个四位自然数是“双喜数”，使二次函数与x轴只有一个交点，且能被15整除，则满足条件的四位自然数m的最大值与最小值的差为 ． 3、 解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（8分）解下列方程： (1)； (2)． 18．（8分）如图，在中，，点D为平面内一动点（点A、B、D三点不共线），连接． (1)如图1，用尺规作线段的垂直平分线，交于点E，连接（不写作法，保留作图痕迹）． (2)如图2，在（1）的条件下，将绕点A顺时针旋转，得到，连接，求证：． 小明同学的证明过程如下，请你帮他完成填空： 证明：延长至点M，使得，连接， 在和中， ， ②______， ， ∴③______， ， ， 由旋转得：， ， ， ， ， ． 19．（10分）先化简，再求值：，其中是方程的解． 20．（10分）每年的3月12日是植树节．某校组织全校学生参加了“植物百科”的知识竞赛．现从该校七、八年级中各选取了20名同学的竞赛成绩进行了整理、描述和分析（成绩得分用x表示，其中A:，B：，C：，D：，得分在90分及以上为优秀）．下面给出了部分信息： 七年级20名同学在B组的分数为：90，93，93，94； 八年级20名同学在B组的分数为：90，91，92，92，94，94，94，94，94． 七、八年级选取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七年级 91 a 95 m 八年级 91 92 b (1)填空： ； ， ，并把条形统计图补充完整； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在“植物百科”的知识竞赛中，哪个年级的学生成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可） (3)该校七年级，八年级共有1600名学生，估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数共有多少？ 21．（10分）随着人们对健康生活的追求，全民健身意识日益增强，徒步走成为人们锻炼的日常，中老年人尤为喜爱． (1)张大伯徒步走的速度是李大伯徒步走的倍，张大伯走分钟，李大伯走分钟，共走米，求张大伯和李大伯每分钟各走多少米？ (2)天气好，天色早，张大伯和李大伯锻炼兴致很浓，又继续走，与（1）中相比，张大伯的速度不变，李大伯的速度每分钟提高了米，时间都各自多走了分钟，结果两人又共走了米，求的值． 22．（10分）如图1，在中，，，，点从点出发，以的速度沿折线运动，同时点从点出发，以的速度沿线段运动，当点到达点时，停止运动．设点运动的时间为，的面积为． (1)请直接写出与的函数关系式，并注明自变量的取值范围； (2)在图2平面直角坐标系中，画出的函数图象，并写出这个函数的一条性质； (3)若的函数图象与直线有两个交点，请直接写出实数的取值范围． 23．（10分）已知，点P是等边三角形中一点，线段绕点A逆时针旋转60°到，连接． (1)求证：． (2)若，求的长度． 24．（10分）如图，抛物线过三点，点是抛物线上动点． (1)试求抛物线的表达式； (2)如图，当在第一象限时，过点作轴并交于点，作轴并交抛物线的对称轴于点，若，求点的坐标； (3)当点P运动到使时，请直接写出点的坐标． 25．（10分）如图，四边形为正方形，为四边形所在平面内一点，绕点逆时针旋转至． (1)如图1，若、、三点在同一直线上，，求的度数； (2)如图2，若恰好经过点，，证明：； (3)如图3，若点在直线上运动，，请直接写出的最小值． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年九年级数学上学期第三次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题4分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题4分，共24分） 11．____________________ 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 15．____________________ 16．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18． （8分） ___________① ___________② ___________③ 三、解答题（本大题共9个小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8分） (1)； (2)． 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（10分） 20． （10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21． （10分） 22． （10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25． （10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $情在各圈目的答题区域内作答，超出黑色电形边框限定区城的客美无效」 2025-2026学年九年级数学上学期第三次月考卷 请在各题目的答恶区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 三，解答题（本大题共9个小题，共86分，解答应写出文字说明、证明 19,(10分) 答题卡 过程或演算步骤) 17.(8分) 姓名： 0)(x+2y2=9 (2)X2-2x-3=0 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码， 2.选择愿必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用 0.5m黑色签字笔答题.不得用加笔或园珠笔答 题：字体工整、笔迹清晰。 3,请按题号氟序在各题日的答题区域内作答，超出 区域书写的容業无效：在草稀纸、试题鉴上容题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4。保持卡面清洁，不要折叠，不要弄被 标记 5.正确填欲■ 一、选择题（每小题4分，共40分） [A][B][C][D] 3 [A][B][C][D] [A][B][C][D] 2 [A][B][C][D] 6 [A][B][C][D] 10 [A][B][C][D] 3 [A][B][C][D] 7 [A][B][C][D] 18.8分) 20.(10分) [A][B][C][D] 8 (AI[B][C][D] 七年级选取的学生竟 八年级选取的学生竞 赛成绩条形统计图 赛成绩扇形统计图 二、填空题（每小题4分，共24分） 人 图 729 20%D 12 15% 分数 13 4 请在各避目的容覆区或内作答，超出黑色矩形边匡限定区域的答案无效！ 请在各题目的咨题区域内作答。超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答避区线内作答。随出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 数学第2页（共6页） 数学第3到（共6页） 情在各碧目的答避区域内作答，超出需色矩形边E限定区域的答案无效！ 请在各悲目的答思区域内作答，超出黑色矩形边艇限定区城的答案无效！ 请在各思日的答题区域内作答，超出黑色地形边肛限定区城的答案无效1 21.(10分) 23.(10分) 25.(10分) 22(10分) 24.(10分) 01234 图1 图2 请在各题目的答圈区域内作答，超出黑色矩形边艇限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答。望出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，是出黑色矩形边瓶限定区域的答案无效： 数学弟4页（共6页） 数学第5页（共6项） 数学第6页（共6页） 2025-2026学年九年级数学上学期第三次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版2012九年级上册 第二十一章~第二十四章。 第一部分（选择题 共40分） 1、 选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列博物馆图标中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．是中心对称图形，故此选项符合题意； C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2．下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A项：含有两个未知数，不符合题意； B项：含有分式，不是整式方程，不符合题意； C项：含有两个未知数，不符合题意； D项：只含未知数x，最高次数为2，且为整式方程，符合题意． 故选：D． 3．二次函数的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：二次函数的顶点坐标是 ． 故选：B． 4．如图，四边形ABCD内接于，，连接BD．若，，则的周长是（    ） A． B．4 C．6 D．8 【答案】C 【详解】解：∵四边形内接于 是等边三角形， ∴的周长 故选：C． 5．在同一平面直角坐标系中，一次函数（a，b为常数，且）的图象与二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A项：由二次函数图象可知，，由一次函数图象可知，，故选项A错误，不符合题意； B项：由二次函数图象可知，，由一次函数图象可知，，故选项B错误，不符合题意； C项：由二次函数图象可知，，由一次函数图象可知，，故选项C正确，符合题意； D项：由二次函数图象可知，，由一次函数图象可知，，故选项D错误，不符合题意． 故选：C． 6．已知是方程的两个实数根，则的值是（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的根与系数的关系：，，先把代入，得出，据此计算即可解答． 【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根， ∴， 把代入， 则，即， 故 ， 故选：C． 7．用配方法解一元二次方程时，此方程可化为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， 故选：C． 8．抛物线的部分图象如图所示，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由图象可知：， ∴， ∴；故A，B错误； 由图象可知，当时，；故C错误， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴与时的函数值相同， ∴， ∵， ∴；故D正确； 故选D． 9．如图，四边形为正方形，为对角线上一点，连接，将绕着点顺时针旋转交的延长线于点，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：过点作的平行线交于点，交于点，如图， 设，则， ∵四边形为正方形， ∴，，，， ∴四边形为矩形， ∴，， 在中，∵， ∴， 在中，∵，， ∴， ∵绕着点顺时针旋转交的延长线于点， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 10．关于x，y的二次三项式（m为常数），下列结论正确的有（    ） ①当时，若，则 ②无论x取任何实数，等式都恒成立，则 ③若，则 ④满足的正整数解共有25个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】解：将代入可得，，即 解得或，即或，①错误； 由可得， ∵无论x取任何实数，等式都恒成立， ∴，②正确； 两式相加可得： 即 令，则，解得， 即或，③错误； 由可得 正整数解为： ，总共有个，④错误 正确的个数为1， 故选：A 第二部分（非选择题 共110分） 2、 填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．方程的根是 ． 【答案】 【详解】解：移项，得：， 开平方，得：， ∴． 故答案为：． 12．在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为 ． 【答案】 【详解】在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点坐标为． 故答案为：． 13．已知二次函数与一次函数的图象相交于点，．如图所示，则能使成立的x的取值范围是 ． 【答案】或 【详解】解：∵二次函数与一次函数的交点横坐标分别为， ∴使成立的的取值范围为或， 故答案为：或． 14．若关于的方程无解，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的根的判别式进行求解． 【详解】∵关于的方程无解， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，熟练运用根的判别式是解答此题的关键． 15．如图，内接于，连接并延长交于点，过点作于点．连接交于点，延长交于点，连接．若，则 ， ． 【答案】 【详解】解：过点O作于H，连接，如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 过点O作于N，于T连接，如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴ ∴， 设，则：， ∴， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 即 解得或(舍去)， ∴， ∴， 在中，． 故答案为：；． 16．对于一个四位自然数n，若百位数字与个位数字之和等于千位数字与十位数字和的2倍，那么称这个数n为“双喜数”．如：，因为，所以1347是一个“双喜数”，则最小的“双喜数”为 ；若一个四位自然数是“双喜数”，使二次函数与x轴只有一个交点，且能被15整除，则满足条件的四位自然数m的最大值与最小值的差为 ． 【答案】 1002 3636 【详解】解：设一个四位自然数是“双喜数”，则满足： ， 为了使 n 最小，需要让 a尽可能小，四位数的 a最小为1， 设定 ，则 为了使 n 最小，还需要让 b 和 c 尽可能小； c最小为， ， 最小的 b 是0，那么， 所以，最小的“双喜数”是 1002； 一个四位自然数是“双喜数”， ， 二次函数与x轴只有一个交点， 有两个相等的实数根， ， ， 能被15整除， 能被5整除， 都是个位数，且， 最大时为4，最小时为1， 当时，且能被5整除， 或8， 当时，根据，则不合题意舍去； 当时，根据，则， 则满足条件的四位自然数m的最大值为4848； 当时，且能被5整除，， ， 则满足条件的四位自然数m的最小值为1212； 则满足条件的四位自然数m的最大值与最小值的差为3636． 故答案为： 1002；3636． 3、 解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（8分）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的一般方法，是解题的关键． （1）直接开平方法解一元二次方程即可； （2）用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， 开平方得：， 解得：，； （2）解：， 因式分解得：， ∴，， 解得：，． 18．（8分）如图，在中，，点D为平面内一动点（点A、B、D三点不共线），连接． (1)如图1，用尺规作线段的垂直平分线，交于点E，连接（不写作法，保留作图痕迹）． (2)如图2，在（1）的条件下，将绕点A顺时针旋转，得到，连接，求证：． 小明同学的证明过程如下，请你帮他完成填空： 证明：延长至点M，使得，连接， 在和中， ， ②______， ， ∴③______， ， ， 由旋转得：， ， ， ， ， ． 【答案】(1)见解析 (2)，， 【分析】（1）作垂线即可； （2）按照步骤作答即可． 【详解】（1）解：作线段的垂直平分线，点E，即为所作； （2）证明：延长至点M，使得，连接， 在和中，， ， ， ， ∴， ， ， 由旋转得：， ， ， ， ， ∴． 故答案为：，，． 19．（10分）先化简，再求值：，其中是方程的解． 【答案】，． 【详解】解： ， ∵是方程的解， ∴， ∴， ∴原式． 20．（10分）每年的3月12日是植树节．某校组织全校学生参加了“植物百科”的知识竞赛．现从该校七、八年级中各选取了20名同学的竞赛成绩进行了整理、描述和分析（成绩得分用x表示，其中A:，B：，C：，D：，得分在90分及以上为优秀）．下面给出了部分信息： 七年级20名同学在B组的分数为：90，93，93，94； 八年级20名同学在B组的分数为：90，91，92，92，94，94，94，94，94． 七、八年级选取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七年级 91 a 95 m 八年级 91 92 b (1)填空： ； ， ，并把条形统计图补充完整； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在“植物百科”的知识竞赛中，哪个年级的学生成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可） (3)该校七年级，八年级共有1600名学生，估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数共有多少？ 【答案】(1)93，94，60，条形统计图见解析 (2)八年级学生的优秀率高于七年级，所以八年级的学生成绩更好 (3)1000人 【详解】（1）解：七年级学生竞赛成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为（分，因此中位数， 八年级学生竞赛成绩的94出现的次数最多，故众数， ，即， 七年级组的人数为（人， 补全条形统计图如下： 故答案为：93，94，60； （2）解：八年级的学生成绩更好，理由如下： 因为八年级学生的优秀率高于七年级，所以八年级的学生成绩更好； （3）解：（人， 答：估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数共有1000人． 21．（10分）随着人们对健康生活的追求，全民健身意识日益增强，徒步走成为人们锻炼的日常，中老年人尤为喜爱． (1)张大伯徒步走的速度是李大伯徒步走的倍，张大伯走分钟，李大伯走分钟，共走米，求张大伯和李大伯每分钟各走多少米？ (2)天气好，天色早，张大伯和李大伯锻炼兴致很浓，又继续走，与（1）中相比，张大伯的速度不变，李大伯的速度每分钟提高了米，时间都各自多走了分钟，结果两人又共走了米，求的值． 【答案】(1)张大伯每分钟走米，李大伯每分钟走米 (2)的值为 【详解】（1）解：设李大伯徒步走的速度为每分钟米，得 解得 ∴（米） 所以，张大伯每分钟走米，李大伯每分钟走米； （2）解：依题意，得 整理得 解得（舍）， 答：的值为． 22．（10分）如图1，在中，，，，点从点出发，以的速度沿折线运动，同时点从点出发，以的速度沿线段运动，当点到达点时，停止运动．设点运动的时间为，的面积为． (1)请直接写出与的函数关系式，并注明自变量的取值范围； (2)在图2平面直角坐标系中，画出的函数图象，并写出这个函数的一条性质； (3)若的函数图象与直线有两个交点，请直接写出实数的取值范围． 【答案】(1) (2)图见解析，当时，随着的增大而增大；当时，随着的增大而减小； (3) 【详解】（1）解：由题意得，点从点运动到点所需时间为，点从点运动到点所需时间为，点从点运动到点所需时间为， 当时，，， 此时的面积； 当时，，， ∴， 此时的面积； ∴综上，与的函数关系式为； （2）解：画出的函数图象如下： 这个函数的一条性质：当时，随着的增大而增大；当时，随着的增大而减小； （3）解：如图，有2个临界位置， 将代入得，， 解得； 将代入得，， 解得； ∵的函数图象与直线有两个交点， ∴． 23．（10分）已知，点P是等边三角形中一点，线段绕点A逆时针旋转60°到，连接． (1)求证：． (2)若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵线段绕点A逆时针旋转到， ∴，       ∴是等边三角形，， ∵是等边三角形， ∴，      ∴，     在和中， ∵， ∴． （2）解：∵由（1）得是等边三角形， ∴，     ∵， ∴，      ∵ ∴， ∴． 24．（10分）如图，抛物线过三点，点是抛物线上动点． (1)试求抛物线的表达式； (2)如图，当在第一象限时，过点作轴并交于点，作轴并交抛物线的对称轴于点，若，求点的坐标； (3)当点P运动到使时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)抛物线解析式为 (2) (3)点的坐标为或 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为， （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设直线：， ∵，在上， ∴， 解得， ∴直线为：； 由点是第一象限内抛物线上的动点，点的横坐标是，且，设， ∵轴，轴，抛物线的对称轴为直线，直线为：， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得（舍去）， 当时，， ∴； （3）解：∵抛物线的对称轴为直线，，，， ∴、两点关于直线成轴对称，设点关于直线的对称点为， ∴， ∴， ∴点关于直线的对称点为， ∵、两点关于直线成轴对称，点关于直线的对称点为，连接， ∴与关于直线成轴对称， ∴， 过点作平分交抛物线于点，交于点，则，点为所求的点， ∵，，， ∴，， ∴， ∵平分交抛物线于点，交于点， ∴，， ∴，， ∴，即， 设直线为：， ∵直线为：过，， ∴， 解得， ∴直线为：， 联立直线为与抛物线解析式为得， ， 解得或（舍去）， ∴； 同理，作点关于轴的对称点， ∴， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 联立方程组得，， 整理得，， 解得，，（不符合题意，舍去）， ∴； 综上所述，点的坐标为或． 25．（10分）如图，四边形为正方形，为四边形所在平面内一点，绕点逆时针旋转至． (1)如图1，若、、三点在同一直线上，，求的度数； (2)如图2，若恰好经过点，，证明：； (3)如图3，若点在直线上运动，，请直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【详解】（1）解：如图，延长，交于点， ， ， ， ， 绕点逆时针旋转至， ，， ，， ， ， ， ， ； （2）证明：绕点逆时针旋转至， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； （3）解：连接， 由（2）可知：， ，， ， 作直线于，在的延长线上截取，连接，， ， ， 当点，点，点三点共线，的最小值为的长， ， ， 又，， ， ， ，， ， 即的最小值为． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2025-2026学年九年级数学上学期第三次月考卷 参考答案 第一部分（选择题共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题10分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B 0 B C C D B 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11.x1=2,x2=-2 12.(-2,3) 13.x<-2或x>8 4k< 15. 35 10W6 16. 1002 3636 三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(8分) 【详解】(1)解：(x+22=9, 开平方得：x+2=±3， 解得：x=1,x2=-5; (4分) (2)解：x2-2x-3=0, 因式分解得：（x-3)(x+1)=0, .x-3=0,x+1=0, 解得：x=3,x2=-1. (8分) 18.(8分) 【详解】(1)解：作线段BD的垂直平分线，点E,AE即为所作； 1/11 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 E (5分) (2)证明：延长AE至点M,使得ME=AE，,连接DM、BM, BE=DE 在△AEB和MED中， ∠AEB=∠MED, AE=ME .△AEB≌△MED(SAS), ∴.AB=MD,∠BAE=∠DME, .AB∥MD, .∠MDA+∠BAD=180°， AB=AC, :AB=AC=DM, 由旋转得：AF=AD,∠DAF=90°， :∠BAC=90°，∠DAF+∠BAC+LBAD+∠CAF=360 ∠BAD+∠CAF=180°， △ACF≌△OMA(SAS, CF=AM, :AE=24M, .AE-TCF 2 故答案为：∠MED,∠DME,∠MDA+LBAD=180°. (8分) 19.(10分) 2a2 【详解】解： -a-2÷ a2-2a a-2 a2-4a+4 2a2_a2-4(a-2 a-2a-2aa-2) =2a2-a2+4×a-2 a-2 a 2/11 画学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 =a2+4xa-2 a-2 a =42+4 (7分) a :x=a是方程x2-8x+4=0的解， .a2-8a+4=0, .a2=8a-4, :原式=8a-4+4_80=8 (10分) a a 20.(10分) 【详解】(1)解：七年级学生竞赛成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为(93+93)÷2=93（分 ),因此中位数a=93, 八年级学生竞赛成绩的94出现的次数最多，故众数b=94, m%=(20-3-5)÷20×100%=60%,即m=60, 七年级A组的人数为20-3-5-4=8（人）， 补全条形统计图如下： 七年级选取的学生竞 赛成绩条形统计图 人 分数 D C BA 故答案为：93,94,60： (3分) (2)解：八年级的学生成绩更好，理由如下： 因为八年级学生的优秀率高于七年级，所以八年级的学生成绩更好； (6分) (3)解：1600×4+8+20X659%=100(人)， (10分) 20×2 答：估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数共有1000人. 21.(10分) 【详解】(1)解：设李大伯徒步走的速度为每分钟x米，得 5×1.2x+10x=800 3/11 窗学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 解得x=50 .1.2x=60(米) 所以，张大伯每分钟走60米，李大伯每分钟走50米： (5分) (2)解：依题意，得60(10a+5)+(50+2a(10a+10)=6900 整理得a2+56a-305=0 解得a1=-61（舍)，a2=5 答：a的值为5. (10分) 22.(10分) 【详解】(1)解：由题意得，点P从点A运动到点B所需时间为4÷2=2(s,点P从点B运动到点C所需时 间为3+2=小，点2从点g运动道点C所器时间为31=3s, 当0<x≤2时，AP=2xcm,BQ=xcm, 此时△4P0的面积y=号4P-BQ=2xx=R, 1 当2<x≤3时，BP=2x-4)cm,BQ=xcm, .P0=B0-BP=x-(2x-4=(4-xcm, 此时△4P0的面积为=号4B-PQ-244-=-2x+8: x2(0<x≤2 .综上，片与x的函数关系式为= -2x+8(2<x≤3 (3分) (2)解：画出的函数图象如下： 6 5 4 3 2 O1234x 图2 这个函数的一条性质：当0<x≤2时，随着x的增大而增大；当2<x≤3时，随着x的增大而减小； (6分) (3)解：如图，有2个临界位置， 4/11 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 V 6 4 3 2 01234x 图2 1 将(2,4)代入y2= 2x+n得，-1+n=4, 解得n=5; 1 3 将3,2刘代入乃=2x+n得，一 +n=2, 7 解得n=2 :片的函数图象与直线片= x+n有两个交点， 、 2m<5. (10分) 23.(10分) 【详解】(1)证明：：线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ, .AP=AQ,∠PAQ=60°， .△APQ是等边三角形，∠PAC+∠CAQ=60°， :ABC是等边三角形， .∠BAP+∠PAC=60°，AB=AC, .∠BAP=∠CAQ, 在△BAP和△CAQ中， BA=CA ∠BAP=∠CAQ, AP=AO 5/11 窗学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .△BAP≌aCAQ(SAS). (5分) (2)解：：由(1)得△APQ是等边三角形， .AP=PQ=6,∠AQP=60°， .∠APB=150°， :.∠PQC=150°-60°=90°， .PB=OC,PB=8 QC=8, PC=VPQ2+QC2=V62+82=10. (10分) 24.(10分)【详解】(1)解：：抛物线y=ax2+2x+c过点B6,0,C(0,8, 3 36a+2x6+c=0 3 c=8 1 解得 a=-3, c=8 :抛物线解折式为y=-x+名x+8, (3分) 3 3 (2)解：：y=- 3 ∴.抛物线的对称轴为直线x=1, 设直线BC:y=kx+bk≠0， :B6,0),C(0,8)在y=kx+b(k≠0)上， b=8 6k+8=0 b=8 解得 4, k=- 3 4 .直线BC为：y=- x+8: 3 P是第一象限内抛物线y=-x+x+8E的动点，点P的横坐标是m,且1<m<6, P写m+号m+8, 1 3 :PN∥y轴，PM∥x轴，抛物线的对称轴为直线x=1,直线BC为：y=- 4 x+8, 3 6/11 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 w-+号+8m音+8 4 3 PN=--m2+2m,PM=m-1, 3 PM-2PN. 3 m-1=31 33 m2+2m 3 解得m,=3,m,=主（舍去)， 2 当m=3时，写m+号m+8=7, .P(3,7: (7分) 3)解：：抛物线y三？x+< x+8的对称轴为直线x=1,A-4,0),B(6,0,C(0,8), 3 .A、B两点关于直线x=1成轴对称，设点C(0,8)关于直线x=1的对称点为D(xo,8), :6+0=l, 2 .X0=2, .点C(0,8)关于直线x=1的对称点为D(2,8, :A、B两点关于直线x=1成轴对称，点C(0,8)关于直线x=1的对称点为D(2,8),连接AC,AD,BD, .ABC与aBAD关于直线x=1成轴对称， ∠ABC=∠BAD, 过点A作AP平分∠BAD交抛物线于点P,交BD于点H,则∠PAB=∠BAD=∠ABC,点P为所求的点， 2 2 7/11 学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 C D H B :A-4,0,B(6,0),D(2,8), :AB=4+6=10,AD=V2+4)2+82=10, ∴.AB=AD, :AP平分∠BAD交抛物线于点P,交BD于点H, AH⊥BD,HD=HB, .B6,0),D2,8, H 6+20+8 2,2 即H(4,4), 设直线AP为：y=mx+n, :直线AP为：y=mx+n过H(4,4),A-4,0), 0=-4m+n 4=4m+n 1 m=- 解得2， n=2 1 直线4P为：y=2x+2, 8/11 窗学科网·学易金卷 Www.ZX×k.com 做好卷，就用学易金卷 联立直线4P为y=)x+2与抛物线解析式为y=-x2+名x+8得， 2 2 3 3 1 少2+2 1 2 y=-3 3+8 x+ 9 X= 2或 解得子171 x=-4 (舍去)， y=0 y=- 4 8 同理，作点C,D,H关于x轴的对称点C,D',H', .∠ABC'=∠ABC,C'0,-8,D'2,-8),H'4,-4, .设直线Ap'的解析式为y=r+e(f≠0)， [-4f+e=0 4f+e=-41 1 1= 解得， 2, e=-2 ·直线AP'的解析式为y=- 5x-2, 1 联立方程组得， y=-2-2 12 y=-3 3+8 整理得，2x2-7x-60=0, 15 解得， x22 x2=-4 =- 3’⅓2=0 (不符合题意，舍去)， 4 p1523） 2’49 综上所述，P点的坐标为 3) (10分) 25.(10分) 【详解】(1)解：如图，延长BA,CF交于点H, 9/11 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 H :AB∥CD, D 图1 LDCF=∠H, :∠DCF=2∠DAE, .∠H=2∠DAE, AE绕点A逆时针旋转90°至AF, :.AE=AF,∠EAF=90°， ∠AFE=45°，LEAF=∠DAH=90°， ∠DAE=∠HAF, .∠H=2∠DAE=2∠HAF, :∠H+∠HAF=∠AFE=45°， .∠H=30°， .∠DCF=30°； (4分) (2)证明：：AE绕点A逆时针旋转90°至AF, ∴.AE=AF,∠EAF=90°， ∠F=∠AEF=45°， :∠F=2∠DAF, ∠DAF=22.5°， LEAD=LADE=67.5°， .AE=DE :DE =AF, :∠FAE=∠DAB=90°， ∴.∠DAF=∠BAE, AB=AD,AE=AF, ·△ADF≌△ABE(SAS), .DF BE .BE+AF=DF DE=EF; (8分) 10/11 2025-2026学年九年级数学上学期第三次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版2012九年级上册 第二十一章~第二十四章。 第一部分（选择题 共40分） 1、 选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列博物馆图标中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 3．二次函数的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 4．如图，四边形ABCD内接于，，连接BD．若，，则的周长是（    ） A． B．4 C．6 D．8 5．在同一平面直角坐标系中，一次函数（a，b为常数，且）的图象与二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 6．已知是方程的两个实数根，则的值是（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 7．用配方法解一元二次方程时，此方程可化为（　　） A． B． C． D． 8．抛物线的部分图象如图所示，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 9．如图，四边形为正方形，为对角线上一点，连接，将绕着点顺时针旋转交的延长线于点，，则的值为（    ） A． B． C． D． 10．关于x，y的二次三项式（m为常数），下列结论正确的有（    ） ①当时，若，则 ②无论x取任何实数，等式都恒成立，则 ③若，则 ④满足的正整数解共有25个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第二部分（非选择题 共110分） 2、 填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．方程的根是 ． 12．在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为 ． 13．已知二次函数与一次函数的图象相交于点，．如图所示，则能使成立的x的取值范围是 ． 14．若关于的方程无解，则的取值范围为 ． 15．如图，内接于，连接并延长交于点，过点作于点．连接交于点，延长交于点，连接．若，则 ， ． 16．对于一个四位自然数n，若百位数字与个位数字之和等于千位数字与十位数字和的2倍，那么称这个数n为“双喜数”．如：，因为，所以1347是一个“双喜数”，则最小的“双喜数”为 ；若一个四位自然数是“双喜数”，使二次函数与x轴只有一个交点，且能被15整除，则满足条件的四位自然数m的最大值与最小值的差为 ． 3、 解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（8分）解下列方程： (1)； (2)． 18．（8分）如图，在中，，点D为平面内一动点（点A、B、D三点不共线），连接． (1)如图1，用尺规作线段的垂直平分线，交于点E，连接（不写作法，保留作图痕迹）． (2)如图2，在（1）的条件下，将绕点A顺时针旋转，得到，连接，求证：． 小明同学的证明过程如下，请你帮他完成填空： 证明：延长至点M，使得，连接， 在和中， ， ②______， ， ∴③______， ， ， 由旋转得：， ， ， ， ， ． 19．（10分）先化简，再求值：，其中是方程的解． 20．（10分）每年的3月12日是植树节．某校组织全校学生参加了“植物百科”的知识竞赛．现从该校七、八年级中各选取了20名同学的竞赛成绩进行了整理、描述和分析（成绩得分用x表示，其中A:，B：，C：，D：，得分在90分及以上为优秀）．下面给出了部分信息： 七年级20名同学在B组的分数为：90，93，93，94； 八年级20名同学在B组的分数为：90，91，92，92，94，94，94，94，94． 七、八年级选取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七年级 91 a 95 m 八年级 91 92 b (1)填空： ； ， ，并把条形统计图补充完整； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在“植物百科”的知识竞赛中，哪个年级的学生成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可） (3)该校七年级，八年级共有1600名学生，估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数共有多少？ 21．（10分）随着人们对健康生活的追求，全民健身意识日益增强，徒步走成为人们锻炼的日常，中老年人尤为喜爱． (1)张大伯徒步走的速度是李大伯徒步走的倍，张大伯走分钟，李大伯走分钟，共走米，求张大伯和李大伯每分钟各走多少米？ (2)天气好，天色早，张大伯和李大伯锻炼兴致很浓，又继续走，与（1）中相比，张大伯的速度不变，李大伯的速度每分钟提高了米，时间都各自多走了分钟，结果两人又共走了米，求的值． 22．（10分）如图1，在中，，，，点从点出发，以的速度沿折线运动，同时点从点出发，以的速度沿线段运动，当点到达点时，停止运动．设点运动的时间为，的面积为． (1)请直接写出与的函数关系式，并注明自变量的取值范围； (2)在图2平面直角坐标系中，画出的函数图象，并写出这个函数的一条性质； (3)若的函数图象与直线有两个交点，请直接写出实数的取值范围． 23．（10分）已知，点P是等边三角形中一点，线段绕点A逆时针旋转60°到，连接． (1)求证：． (2)若，求的长度． 24．（10分）如图，抛物线过三点，点是抛物线上动点． (1)试求抛物线的表达式； (2)如图，当在第一象限时，过点作轴并交于点，作轴并交抛物线的对称轴于点，若，求点的坐标； (3)当点P运动到使时，请直接写出点的坐标． 25．（10分）如图，四边形为正方形，为四边形所在平面内一点，绕点逆时针旋转至． (1)如图1，若、、三点在同一直线上，，求的度数； (2)如图2，若恰好经过点，，证明：； (3)如图3，若点在直线上运动，，请直接写出的最小值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $