1.10有理数的混合运算（基础篇）讲义 2025-2026学年北京版数学七年级上册

本讲义聚焦有理数混合运算核心知识点，系统梳理运算顺序、符号规则、运算律应用等关键要点，衔接前期有理数加减乘除及乘方运算基础，通过思维导图构建知识体系，为学生搭建从单一运算到综合运算的学习支架。 资料以“30分提至70分”为目标分层设计，含程序流程图转换、算24点游戏、乘方综合运算等多样题型。借助流程图题培养数学眼光（抽象能力），通过算24点发展创新意识，强化运算能力与推理意识，课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，提升综合应用能力。

1.10有理数的混合运算 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的，按小括号、中括号、大括号的顺序依次进行。 同级运算：按照从左到右的顺序依次计算，如只有加减或只有乘除运算时。 符号规则：同号两数相加（或相乘）得正，异号两数相加（或相乘）得负；减法转化为加法，减去一个数等于加上这个数的相反数；除法转化为乘法，除以一个不为0的数等于乘以这个数的倒数。 运算律应用：可运用加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法对加法的分配律简化运算，注意运算律使用时符号的正确性。 分数与小数运算：分数运算中，带分数可化为假分数；小数与分数混合运算时，可根据情况将小数化为分数或分数化为小数进行计算，结果一般保留分数形式（最简分数）。 0和1的特性：0加任何数等于原数，0乘任何数等于0，1乘任何数等于原数，任何非0数的0次幂等于1（注意底数不为0）。 运算结果：结果应为最简形式，若是分数需化为最简分数，能合并的同类项要合并（针对含字母的有理数运算）。 易错点提示：注意运算顺序不要混淆，特别是括号与乘除的优先级；符号处理易出错，需仔细确定每一步运算的符号；避免漏写或错写运算符号。 型 习 练 题 程序流程图与有理数计算 1．如图，这是一个数值转换机的转换流程图，若输入的值为5，则输出的结果是（　　） A．33 B． C．51 D． 2．如图是一个运算程序的示意图：若第一次输入x的值为27，则第2025次输出的结果（） A．27 B．9 C．3 D．1 3．根据流程图中的程序，若输入x的值为，则输出y的值为（　　） A．2 B．7 C．5 D． 4．按如图所示的程序计算，当输入x 的值为时，则输出的值为（  ） A．7 B．8 C．17 D．25 5．有一个数值转换器，其工作原理如图所示，若输入，则输出的结果是（   ） A． B．3 C． D． 算24点 6．有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数必须且只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10．运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 7．下面各组数中，不能通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24的是（　　） A．1，1，7，7 B．2，2，8，8 C．1，1，2，8 D．1，1，4，6 8．有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10，运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 9．玩“24点”游戏时，小明抽到“”四张牌，请写出运算结果为24的算式： ． 10．现有四个有理数3，4，，10，将这4个数（每个数要用且只用一次）进行加、减、乘、除四则运算，使其结果等于24，例如：；请你写出不同的算式 ． 含乘方的有理数混合运算 11．计算： (1)； (2)． 12．计算： (1)； (2) 13．计算： (1)； (2)． 14．计算：． 15．计算： (1)； (2)． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.10有理数的混合运算 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的，按小括号、中括号、大括号的顺序依次进行。 同级运算：按照从左到右的顺序依次计算，如只有加减或只有乘除运算时。 符号规则：同号两数相加（或相乘）得正，异号两数相加（或相乘）得负；减法转化为加法，减去一个数等于加上这个数的相反数；除法转化为乘法，除以一个不为0的数等于乘以这个数的倒数。 运算律应用：可运用加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法对加法的分配律简化运算，注意运算律使用时符号的正确性。 分数与小数运算：分数运算中，带分数可化为假分数；小数与分数混合运算时，可根据情况将小数化为分数或分数化为小数进行计算，结果一般保留分数形式（最简分数）。 0和1的特性：0加任何数等于原数，0乘任何数等于0，1乘任何数等于原数，任何非0数的0次幂等于1（注意底数不为0）。 运算结果：结果应为最简形式，若是分数需化为最简分数，能合并的同类项要合并（针对含字母的有理数运算）。 易错点提示：注意运算顺序不要混淆，特别是括号与乘除的优先级；符号处理易出错，需仔细确定每一步运算的符号；避免漏写或错写运算符号。 型 习 练 题 程序流程图与有理数计算 1．如图，这是一个数值转换机的转换流程图，若输入的值为5，则输出的结果是（　　） A．33 B． C．51 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算．根据转换流程图代入计算即可得出答案． 【详解】解：根据题意：， 则， 则输出的结果是， 故选：B． 2．如图是一个运算程序的示意图：若第一次输入x的值为27，则第2025次输出的结果（） A．27 B．9 C．3 D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数的运算，关键是根据题意得到解题的规律，然后直接求解即可． 根据运算程序图可直接每次输出的结果，然后根据输出结果得到规律即可． 【详解】解：由题意得： 第一次输出的结果为：； 第二次输出的结果为：， 第三次输出的结果为：； 第四次输出的结果为：； 第五次输出的结果为：； 由上可得规律：从第一次开始输出结果都是9、3、1循环下去； 所以可得：， ∴第2025次输出的结果为1； 故选：D． 3．根据流程图中的程序，若输入x的值为，则输出y的值为（　　） A．2 B．7 C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的混合运算，程序流程图，熟知有理数混合运算的法则是解题的关键．先根据题意把代入程序求出代数式的值，判断计算结果的正负，如果为负，将计算结果作为新的的值输入程序再次计算，直至计算结果为正数时输出． 【详解】解：当时， ， 当时， ， ． 故选：B． 4．按如图所示的程序计算，当输入x 的值为时，则输出的值为（  ） A．7 B．8 C．17 D．25 【答案】B 【分析】本题主要考查了与流程图有关的有理数计算，计算的结果，再把这个结果与5比较，若比5大，则输出，若比5小则把计算的结果作为新数输入，据此求解即可． 【详解】解：， ∴输出的结果为8， 故选：B． 5．有一个数值转换器，其工作原理如图所示，若输入，则输出的结果是（   ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的计算，弄清原理图的计算方法是关键． 根据工作原理图，先算的平方，再判断是否大于8，再计算下一步输出结果． 【详解】解：由题意得， ∴， 故选：A． 算24点 6．有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数必须且只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10．运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，通过计算每个算式的值，判断是否等于24即可得到答案． 【详解】解：A、，原式不正确，符合题意； B、，原式正确，不符合题意； C、，原式正确，不符合题意； D、，原式正确，不符合题意； 故选：A． 7．下面各组数中，不能通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24的是（　　） A．1，1，7，7 B．2，2，8，8 C．1，1，2，8 D．1，1，4，6 【答案】A 【分析】本题考查有理数的四则运算，通过尝试不同的四则运算组合，判断每组数字是否能得到24． 【详解】解：A、无法通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24； B、，即可以通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24； C、，即可以通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24； D、，即可以通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24． 故选：A 8．有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10，运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据有理数的运算法则逐项计算可得答案． 【详解】解：A．，故符合题意； B．，故不符合题意； C．，故不符合题意；     D．，故不符合题意； 故选A． 9．玩“24点”游戏时，小明抽到“”四张牌，请写出运算结果为24的算式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了有理数的混合运算，根据题意结合有理数的混合运算法则写出式子即可，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解：根据题意得：， 故答案为（答案不唯一）． 10．现有四个有理数3，4，，10，将这4个数（每个数要用且只用一次）进行加、减、乘、除四则运算，使其结果等于24，例如：；请你写出不同的算式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合运算，熟练掌握有理数的运算规则并尝试不同组合是解题的关键．尝试不同的四则运算组合，利用有理数的运算规则，构造出结果为24的算式． 【详解】解： ， 故答案为：（答案不唯一，如等）． 含乘方的有理数混合运算 11．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)-11 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则及运算顺序是解题的关键． （1）先算乘方和括号，再算乘法，最后算加减即可． （2）先将除法转化为乘法，再根据乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 12．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，涉及有理数的加减法，乘除法，有理数的乘方，熟练掌握其运算规则是解题的关键． （1）根据有理数的加减法运算，需注意负号的运算规则； （2）涉及有理数乘方、乘除和加减混合运算，需遵循运算顺序先算乘方，再算乘除，最后算加减． 【详解】（1）解： ． （2）解： 13．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)8 【分析】本题主要考查有理数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式根据有理数加减法法则进行计算即可； （2）原式先计算乘方，再计算除法运算，最后进行加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 14．计算：． 【答案】1 【分析】本题考查了有理数的混合运算， 根据有理数的混合运算的法则计算即可． 【详解】解： ． 15．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)25 (2) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序． （1）根据乘法分配律计算； （2）先算乘方，再算乘法，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有绝对值，要先做绝对值内的运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 学科网（北京）股份有限公司 $