1.9有理数的乘法（基础篇）讲义 2025-2026学年北京版数学七年级上册

本讲义聚焦有理数乘方核心知识点，系统梳理乘方定义（底数、指数、幂）、符号法则（正数任何次幂为正，负数奇次幂为负偶次幂为正，0的任何次幂为0）及非负数性质，前承有理数乘法，作为相同因式积的运算引入，含思维导图辅助知识结构化，为后续混合运算搭建学习支架。 该资料特色为分层设计适配基础薄弱学生，结合《庄子》“一尺之棰”等实例培养应用意识，通过概念理解、运算应用等类型习题提升抽象能力与运算能力，课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺。

1.9有理数的乘法 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 乘方的定义：①求相同因式积的运算，叫做乘方； ②乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂； ③ a2 是重要的非负数，即 a2 ≥0；若 a2+|b|=0 a=0,b=0； ④正数的任何次幂都是正数，0 的任何次幂都是0；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。 有理数乘方的法则：①正数的任何次幂都是正数； ②负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数； 型 习 练 题 有理数幂的概念理解 1．中底数是（   ） A． B．6 C．5 D． 2．可以写成（   ） A． B． C． D． 3．下列说法中正确的是（   ） A．在中，底数是7 B．若，则 C．在中，指数是8 D．若，则 4．对于有下列说法：①可以写成的形式；②底数是，指数是4；③计算结果为；④计算结果为，其中错误的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．关于的说法正确的是（    ） A．底数是4，指数是 B．结果是 C．可以表示为 D．结果是 有理数的乘方运算 6．下列各数中，与相等的是（   ） A． B． C． D． 7．下列各式运算错误的是（    ） A． B． C． D． 8．已知，，．下列大小关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 9．下列各组数中，数值相等的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 10．下列各数中，互为倒数的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 乘方运算的符号规律 11．已知，则的值是（ ） A． B．1 C．2 D．3 12．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 13．下列选项中，数值相等的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 14．一个负数的奇次幂为（    ） A．正数 B．负数 C．正数或负数 D．分数 15．若 ，则一定有（   ） A． B． C． D． 乘方的应用 16．《庄子》记载：“一尺之捶，日取其半，万世不竭．”这句话意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完，按此方式截一根长为1的木棍，第n天截取后木棍剩余的长度是（    ） A． B． C． D． 17．《庄子》中记载：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为1的木棍，第7天截取后，木棍剩余的长度是（    ） A． B． C． D． 18．名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意为：一尺木棍，第一天截取它的一半，以后每天截取剩下部分的一半，那么永远也截取不尽．照这样推算，第四天截取木棍总长度的（    ） A． B． C． D． 19．某种细胞每30分钟分裂一次（每次分裂为两个），若初始有1个细胞，则经过3小时后，细胞总数为（  ） A．32 B．64 C．128 D．256 20．有一张厚度是的纸，将它对折1次后，厚度是，那么对折6次后的厚度是（   ） A．12 B．1.2 C．64 D．6.4 有理数乘方逆运算 21．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 22．以下叙述正确的是（   ） A．是一个负数 B．若，则 C．若一个数的平方是16，则这个数是4 D．在“0，，”三个数中，不是有理数 23．如果，则是（   ） A．8或 B． C．4 D．4或 24．《庄子·天下篇》讲到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”意思是说一尺长的木棍，每天截取它的一半，千秋万代也截不完．一天之后“一尺之棰”剩尺，两天之后剩尺，那么五天之后，这个“一尺之棰”还剩（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.9有理数的乘法 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 乘方的定义：①求相同因式积的运算，叫做乘方； ②乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂； ③ a2 是重要的非负数，即 a2 ≥0；若 a2+|b|=0 a=0,b=0； ④正数的任何次幂都是正数，0 的任何次幂都是0；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。 有理数乘方的法则：①正数的任何次幂都是正数； ②负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数； 型 习 练 题 有理数幂的概念理解 1．中底数是（   ） A． B．6 C．5 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数的乘方，熟练掌握乘方运算的意义是解题的关键；根据幂运算的定义，底数是指数运算中的底数，由此问题可求解． 【详解】解：∵在幂运算中，是底数，是指数， ∴对于，底数是； 故选A． 2．可以写成（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了乘方的定义，8个相乘应表示为的8次方，即 ． 【详解】解：∵ 多个相同数相乘可用幂表示， ∴ 8个相乘为 ． 故选：C． 3．下列说法中正确的是（   ） A．在中，底数是7 B．若，则 C．在中，指数是8 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查幂运算中底数和指数的概念，以及绝对值的性质，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、在中，底数是，故该选项不符合题意； B、若，则，故该选项不符合题意； C、在中，指数是8，故该选项符合题意； D、若，则或，故该选项不符合题意； 故选：C 4．对于有下列说法：①可以写成的形式；②底数是，指数是4；③计算结果为；④计算结果为，其中错误的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘方． 根据有理数的乘方法则逐一判断即可． 【详解】解：①可以写成的形式，原说法正确； ②底数是，指数是4，原说法错误； ③计算结果为，原说法正确； ④计算结果为，原说法错误； 故选：B． 5．关于的说法正确的是（    ） A．底数是4，指数是 B．结果是 C．可以表示为 D．结果是 【答案】C 【分析】本题主要考查了乘方的运算，幂的有关定义，解题的关键是掌握表示n个a相乘，a为底数，n为指数．根据乘方的运算，幂的有关定义逐项判断即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 选项正确． ∵ ， ∴ 选项和错误． ∵底数是，指数是4， ∴ 选项错误． 故选：． 有理数的乘方运算 6．下列各数中，与相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘方，掌握有理数的乘方运算法则是解题的关键． ，分别计算四个选项即可． 【详解】解：， A． ，故A不符合题意； B． ，故B不符合题意；        C． ，故C不符合题意；         D． ，故D符合题意；   故选：D． 7．下列各式运算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】本题考查有理数的基本运算，包括相反数、绝对值和乘方的概念．逐一计算各选项再判断即可． 【分析】解：选项A：，正确；   选项B：，故相等，正确；   选项C：，正确；   选项D：，错误．   故选：D． 8．已知，，．下列大小关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，有理数的乘方，绝对值，先计算的具体数值，再通分并比较它们的大小关系，由此求解即可． 【详解】解：， ， ， 比较大小：，即． 故选：C． 9．下列各组数中，数值相等的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘方的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 通过直接计算每个选项中两个表达式的数值，判断它们是否相等，注意运算顺序，特别是负号和指数的优先级，然后即可求解； 【详解】A：∵ ，，∴ ，不相等． B：∵ ，，∴ ，不相等． C：∵ ，，∴ ，不相等． D：∵ ，，∴ ，相等． 故选：D. 10．下列各数中，互为倒数的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题考查倒数，有理数的乘方运算，互为倒数的两个数乘积为1，分别计算各选项两个数的乘积，进行判断即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，符合题意； D、，不符合题意； 故选C． 乘方运算的符号规律 11．已知，则的值是（ ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查非负数的性质，即几个非负数的和为零，则每个非负数均为零．也考查了有理数的加法． 根据非负数的性质，平方和绝对值均非负，它们的和为零，则每个部分必为零，据此求解即可． 【详解】解：∵且，且， ∴且， ∴，即， ∴，即， ∴． 故选B． 12．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是乘方的含义，乘法分配律的应用，通过提取 简化表达式，利用负数的奇数次幂为负的性质进一步求解即可． 【详解】解：∵ ， 又∵ （指数2025为奇数）， ∴ 原式． 故选：C 13．下列选项中，数值相等的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题考查了乘方符号的规律，根据负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，逐项进行比较即可． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：C． 14．一个负数的奇次幂为（    ） A．正数 B．负数 C．正数或负数 D．分数 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算，根据正数的任何次幂都是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂为负数求解即可． 【详解】解：正数的任何次幂都是正数，几次幂就是几个数相乘，例如2的3次幂就是3个2相乘，8的5次幂就是5个8相乘…都是正数相乘，结果肯定是正数．负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数．因为负负得正，所以两个负数相乘等于正数，负数的奇次幂两两配对后，还多一个负数，所以结果就是负数， 故选：B． 15．若 ，则一定有（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是乘方运算的符号规律，分别根据，，进行探究即可得到答案． 【详解】解：当，则， 当，则， 当，则，则， ∴当，则， 故选：C 乘方的应用 16．《庄子》记载：“一尺之捶，日取其半，万世不竭．”这句话意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完，按此方式截一根长为1的木棍，第n天截取后木棍剩余的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘方，理解题意，正确找出数字规律，是解答本题的关键．根据题意，先分别求出第一、二、三天截取后木棍剩余的长度，从而找出规律，利用规律直接推导第n天剩余长度，由此得到答案． 【详解】初始长度为1， 第1天截取后剩余：， 第2天截取后剩余：， 第3天截取后剩余：， 则第n天截取后剩余：． 故选：C． 17．《庄子》中记载：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为1的木棍，第7天截取后，木棍剩余的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的乘方，准确根据题意求解是解题的关键． 根据题意，每天截取后剩余长度是前一天剩余长度的一半，第天后剩余长度为，代入即可得出结果。 【详解】初始长度为1，每天截取后剩余长度是前一天的一半， 第天剩余长度：， 第天剩余长度：， …… 第天剩余长度：， 第7天截取后木棍剩余长度为； 故选． 18．名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意为：一尺木棍，第一天截取它的一半，以后每天截取剩下部分的一半，那么永远也截取不尽．照这样推算，第四天截取木棍总长度的（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的乘方的意义，熟练掌握有理数的乘方的意义是解题的关键． 根据题意，第一天截取，第二天截取，第三天截取，依次类推即可． 【详解】解：第一天截取，则剩下； 第二天截取，则剩下； 第三天截取，则剩下； …… 由此可以得到第天截取， 第四天截取木棍总长度的． 故选：B． 19．某种细胞每30分钟分裂一次（每次分裂为两个），若初始有1个细胞，则经过3小时后，细胞总数为（  ） A．32 B．64 C．128 D．256 【答案】B 【分析】本题主要考查了乘方计算，3小时可以分裂6次，每一次分裂得到的结果都是前一次分裂的结果的2倍，那么分裂n次可以得到个，据此求解即可． 【详解】解：因为分钟小时，所以分裂次数为（次），， ∴经过3小时，细胞由1个可分裂成个， 故选：B． 20．有一张厚度是的纸，将它对折1次后，厚度是，那么对折6次后的厚度是（   ） A．12 B．1.2 C．64 D．6.4 【答案】D 【分析】本题考查了有理数乘方的应用，正确列出运算式子是解题关键．根据题意得出将它对折6次后，厚度是，据此计算即可得． 【详解】解：将它对折1次后，厚度是， 将它对折2次后，厚度是， 将它对折3次后，厚度是， 依此类推，将它对折6次后，厚度是， 故选：D． 有理数乘方逆运算 21．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的乘方及其逆运算． 按照运算法则，将原式转化为，计算即可． 【详解】解： ． 故选：C． 22．以下叙述正确的是（   ） A．是一个负数 B．若，则 C．若一个数的平方是16，则这个数是4 D．在“0，，”三个数中，不是有理数 【答案】D 【分析】本题考查了相反数、绝对值、平方的定义、有理数的分类，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据相反数、绝对值、平方的定义、有理数的分类，对选项逐个分析判断即可． 【详解】解：A、当时，是一个正数，故此选项叙述错误，不符合题意； B、若，则或，故此选项叙述错误，不符合题意； C、若一个数的平方是16，则这个数是4或，故此选项叙述错误，不符合题意； D、在“0，，”三个数中，不是有理数，故此选项叙述正确，符合题意； 故选：D． 23．如果，则是（   ） A．8或 B． C．4 D．4或 【答案】D 【分析】此题考查有理数的乘方．直接利用有理数的乘方运算法则计算得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴a是：4或−4． 故选：D． 24．《庄子·天下篇》讲到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”意思是说一尺长的木棍，每天截取它的一半，千秋万代也截不完．一天之后“一尺之棰”剩尺，两天之后剩尺，那么五天之后，这个“一尺之棰”还剩（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的乘方，弄懂题意并掌握乘方的运算法则是解答的关键． 【详解】解：根据题意，第一天后剩尺， 两天之后剩（尺）， 第三天后剩（尺）， … 第n天后剩（尺）， 第五天后这个“一尺之棰”还剩（尺）． 故选：D． 学科网（北京）股份有限公司 $