1.7有理数的乘法（基础篇） 讲义 2025-2026学年北京版数学七年级上册

本初中数学讲义围绕有理数乘法法则及运算律展开，系统梳理两数相乘符号法则、与零相乘规律、多个负因数积的符号判定，结合乘法交换律、结合律、分配律，通过思维导图构建知识框架，配套三类分层练习题作为学习支架。 资料以“30分提至70分”为目标分层设计，融入地垫费用计算、公司盈利分析等实际应用题型，培养学生用数学眼光观察现实世界，运算律题目强化数学思维推理能力，思维导图辅助知识整合，课中助力教师高效授课，课后帮助学生查漏补缺巩固基础。

1.7有理数的乘法 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 有理数乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； ②任何数与零相乘都得零； ③几个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定．奇数个负数为负，偶数个负数为正。 ．有理数乘法的运算律：①乘法的交换律：ab=ba； ②乘法的结合律：（ab）c=a（bc）； ③乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac ．（简便运算） 型 习 练 题 有理数的乘法运算 1．下列说法正确的是（    ） A．最大的正整数是1 B．绝对值是本身的数是正数 C．分数分为正分数和负分数 D．几个有理数相乘，负因数的个数是奇数个时，积为负数 【答案】C 【分析】本题考查有理数的基本概念，包括正整数、绝对值、分数的分类以及有理数乘法的符号法则．需逐一分析各选项的正确性． 【详解】解：A．∵正整数有无限多个，例如2、3、4等均大于1，∴不存在最大的正整数，故A错误； B．绝对值是本身的数包括正数和零（），但零不是正数，故B错误； C．分数是指有理数中非整数的部分，分为正分数和负分数；零是整数，不属于分数，故C正确； D．几个有理数相乘时，如果有一个因数为零，则积为零（不是负数）；只有当所有因数非零时，负因数个数为奇数个积才为负，故D错误， 故选：C． 2．4个均不为0的有理数相乘，积为负数．下列关于这4个有理数的描述，可能正确的是（　　） A．2个正数，2个负数 B．1个正数，3个负数 C．都是负数 D．都是正数 【答案】B 【分析】本题考查有理数的乘法，正确的推理是解题的关键． 根据有理数乘法法则，多个非零有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定：若负因数个数为奇数，则积为负数；若负因数个数为偶数，则积为正数。本题中积为负数，故负因数个数必为奇数． 【详解】∵ 4个非零有理数相乘，积为负数， ∴ 负因数的个数为奇数（即1或3）， 选项A：2个负数，负因数个数为偶数（2），积应为正数，不符合； 选项B：3个负数，负因数个数为奇数（3），积为负数，符合； 选项C：4个负数，负因数个数为偶数（4），积应为正数，不符合； 选项D：0个负数，负因数个数为偶数（0），积应为正数，不符合． 故选：B． 3．若3，， a 这三个数的积比0小，则a 的值可以是（  ） A． B．0 C． D．4 【答案】D 【分析】本题考查了多个有理数的乘法法则，熟练掌握有理数的乘法法则是解题的关键．根据多个数相乘法则：积的符号由负因数的个数决定，负因数是奇数个时积为负，即可得出答案． 【详解】解：∵若3，， a 这三个数的积比0小，即积为负数， ∴a只能是正数，即， ∴a的值可以是4， 故选：D． 4．下列算式中，积为负数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘法运算．根据有理数乘法法则，几个非零数相乘，负因数的个数为奇数时积为负，为偶数时积为正；任何数与0相乘得0，据此判断各选项，即可作答． 【详解】解：A、，不是负数，故该选项不符合题意； B、，负因数个数为2（偶数），积不是负数，故该选项不符合题意； C、，负因数个数为2（偶数），积不是负数，故该选项不符合题意； D、，负因数个数为3（奇数），积是负数，故该选项符合题意； 故选：D． 5．在，，，，这五个数中，任取三个数相乘，所得的积最大是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是有理数的乘法，有理数的大小比较，熟练掌握有理数的乘法法则是解题的关键．根据几个不等于0的数相乘，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正；所以根据题中的五个数，要找出三个数相乘，所得的积最大，需考虑选两个负数且绝对值较大的，再选正数里面绝对值较大的，进一步可得答案． 【详解】解：∵ 数字为，，，，，任取三个数相乘，所得的积最大， ∴选两个负数且绝对值较大的，再选正数里面绝对值较大的， ∴积最大为． 故选：C． 有理数乘法的实际应用 6．实验小学要给报告厅的小舞台铺上地垫，舞台的面积是平方米，地垫的单价为元/平方米，一共要准备多少元？下面符合实际需要的估算方法是（ ） A．，（元），准备796元就够了 B．，（元），准备760元就够了 C．，（元），准备800元就够了 D．，（元），准备820元就够了 【答案】D 【分析】题目主要考查有理数的乘法及估算的应用，理解题意，根据选项计算判断即可． 为确保准备的钱足够覆盖实际成本，估算时应使总价略大于实际总价，因此需将面积和单价均向上取整． 【详解】解：实际总价约为元， ∵ 选项A：（估小），不变，，可能不足； 选项B：（估小），（估小），，可能不足； 选项C：（估小），（估大），，可能不足； 选项D：（估大），（估大），，足够覆盖； ∴ 选项D符合实际需要， 故选：D． 7．我市某公司今年1月月平均每月亏损2.5万元，4月月平均每月盈利12万元，则该公司今年1月月共盈利（   ） A．万元 B．万元 C．36万元 D．万元 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘法与减法在实际盈利问题中的应用，解题的关键是明确亏损与盈利的数量关系，分别计算前3个月的总亏损和后3个月的总盈利，再通过差值求出总盈利． 先根据“总盈亏月均盈亏月数”分别算出1月月的总亏损和4月月的总盈利，再用总盈利减去总亏损得到1月月的总盈利，对应选项得出答案． 【详解】解：1月月共3个月，总亏损为万元； 4月月共3个月，总盈利为万元； 该公司1月月共盈利为万元． 故选：B． 8．某食堂买了5袋白菜，以每袋20千克为标准，超过的千克数记为正数，称重后的记录分别为（单位：千克），，，，请大家快速准确地算出5袋白菜的总质量是（    ） A．千克 B．2千克 C．98千克 D．102千克 【答案】C 【分析】本题考查正负数的实际应用，通过计算标准总质量和记录的总和得出实际总质量即可 【详解】解：标准总质量千克， 记录总和千克， 实际总质量千克， 故选：C 9．在范围内，当温度每上升时，某种金属丝约伸长；反之，当温度每下降时，金属丝约缩短，把的这种金属丝加热到，再使它冷却到，金属丝最后的长度比原长度约伸长（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的乘法运算，结合已知条件列出算式是解题的关键． 根据温度变化规则，计算金属丝从加热到再冷却到的长度变化，先加热上升，伸长；再冷却下降，缩短，即可求解金属丝最后的长度比原长度约伸长多少． 【详解】解：由题意得， ∵ 从加热到，温度上升，∴ 伸长， ∵ 从冷却到，温度下降，∴ 缩短， ∴ 总长度变化为 故金属丝最后的长度比原长度约伸长 故选：C． 10．水位上升为正，下降为负，如果水位每天下降，那么3天后水位变化用算式正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数乘法的实际应用，正负数的实际应用，水位下降记为负，每天变化为-4 cm，3天后水位变化为每天变化与天数的乘积，据此求解即可． 【详解】解：∵水位下降为负， ∴每天变化为． ∵经过3天， ∴总变化为， 故选：C． 有理数乘法运算律 11．计算 的结果是（   ） A．6 B．8 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算．先根据有理数的乘法运算律计算，再计算减法即可． 【详解】解： 故选：A 12．式子中，运用的运算律是（    ）． A．乘法交换律及结合律 B．乘法交换律及分配律 C．加法结合律及分配律 D．乘法结合律及分配律 【答案】A 【分析】本题主要考查了乘法运算律的应用，区分交换律（改变顺序）和结合律（改变分组）是关键；等式右边通过改变因数的顺序和分组方式进行计算，使用了乘法的交换律和结合律，没有涉及分配律． 【详解】解：∵ 原式 中，将 与 3 交换位置，使 2 和 相邻，再分组为 ， ∴ 使用了乘法交换律和乘法结合律， 故选：A． 13．用分配律计算，过程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数乘法的分配律：或，熟练掌握有理数乘法的分配律是解题关键．根据有理数乘法的分配律解答即可得． 【详解】解：方法一：． 方法二： ． 故选：C． 14．若表示三个有理数，则下列等式可以表示乘法结合律的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查乘法运算律．乘法结合律是指三个数相乘时，先乘前两个数或先乘后两个数，结果相同，即．分析各选项：A为加法交换律，B为加法结合律，C为乘法交换律，D符合乘法结合律． 【详解】解：乘法结合律的定义是； A：，表示加法交换律； B：，表示加法结合律； C：，表示乘法交换律； D：，即，表示乘法结合律． 故选：D． 15．计算的结果是（   ） A．0 B． C．49 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了乘法分配律的逆用，熟练掌握乘法运算律是解题的关键．逆用乘法分配律进行计算即可． 【详解】解： ． 故选：A． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.7有理数的乘法 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 有理数乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； ②任何数与零相乘都得零； ③几个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定．奇数个负数为负，偶数个负数为正。 ．有理数乘法的运算律：①乘法的交换律：ab=ba； ②乘法的结合律：（ab）c=a（bc）； ③乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac ．（简便运算） 型 习 练 题 有理数的乘法运算 1．下列说法正确的是（    ） A．最大的正整数是1 B．绝对值是本身的数是正数 C．分数分为正分数和负分数 D．几个有理数相乘，负因数的个数是奇数个时，积为负数 2．4个均不为0的有理数相乘，积为负数．下列关于这4个有理数的描述，可能正确的是（　　） A．2个正数，2个负数 B．1个正数，3个负数 C．都是负数 D．都是正数 3．若3，， a 这三个数的积比0小，则a 的值可以是（  ） A． B．0 C． D．4 4．下列算式中，积为负数的是（    ） A． B． C． D． 5．在，，，，这五个数中，任取三个数相乘，所得的积最大是（  ） A． B． C． D． 有理数乘法的实际应用 6．实验小学要给报告厅的小舞台铺上地垫，舞台的面积是平方米，地垫的单价为元/平方米，一共要准备多少元？下面符合实际需要的估算方法是（ ） A．，（元），准备796元就够了 B．，（元），准备760元就够了 C．，（元），准备800元就够了 D．，（元），准备820元就够了 7．我市某公司今年1月月平均每月亏损2.5万元，4月月平均每月盈利12万元，则该公司今年1月月共盈利（   ） A．万元 B．万元 C．36万元 D．万元 8．某食堂买了5袋白菜，以每袋20千克为标准，超过的千克数记为正数，称重后的记录分别为（单位：千克），，，，请大家快速准确地算出5袋白菜的总质量是（    ） A．千克 B．2千克 C．98千克 D．102千克 9．在范围内，当温度每上升时，某种金属丝约伸长；反之，当温度每下降时，金属丝约缩短，把的这种金属丝加热到，再使它冷却到，金属丝最后的长度比原长度约伸长（    ） A． B． C． D． 10．水位上升为正，下降为负，如果水位每天下降，那么3天后水位变化用算式正确的为（    ） A． B． C． D． 有理数乘法运算律 11．计算 的结果是（   ） A．6 B．8 C． D． 12．式子中，运用的运算律是（    ）． A．乘法交换律及结合律 B．乘法交换律及分配律 C．加法结合律及分配律 D．乘法结合律及分配律 13．用分配律计算，过程正确的是（    ） A． B． C． D． 14．若表示三个有理数，则下列等式可以表示乘法结合律的是（    ） A． B． C． D． 15．计算的结果是（   ） A．0 B． C．49 D． 学科网（北京）股份有限公司 $