1.6有理数的加减混合运算（基础篇） 讲义 2025-2026学年北京版数学七年级上册

1.6有理数的加减混合运算 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 运算意义 有理数加减混合运算是有理数加法和减法的综合运用，其本质是将减法运算统一转化为加法运算后进行的代数和运算。例如算式"3-5+2"可理解为3、-5、+2这三个有理数的代数和。 核心转化法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数。用字母表示为：a - b = a + (-b)。此法则是混合运算的基础，通过转化可将所有运算统一为加法，便于后续计算。 运算步骤 1. 统一转化：将算式中所有减法运算转化为加法运算，即把"-"号（减号）变为"+"号（加号），同时将减数变为其相反数。例如：(-8)-(-3)+(-5)转化为(-8)+(+3)+(-5)。 2. 省略符号：省略算式中的"+"号和括号，写成省略加号和的形式。如上述转化后的式子可写成-8+3-5，读作"负8加3减5"或"负8、正3、负5的和"。 3. 合理运算：运用加法交换律和结合律简化计算。通常有两种组合方式：①将正数与正数结合相加，负数与负数结合相加，再进行异号两数相加；②将互为相反数的数结合（和为0），或能凑整的数结合。例如计算12-(-18)+(-7)-15，转化后为12+18-7-15，可先算12+18=30，再算-7-15=-22，最后30-22=8。 关键要点 1. 符号处理：是运算的核心难点。转化减法时，需同时改变运算符号和减数的性质符号，注意避免只变其一的错误。例如-3-5不能错误转化为-3+5，而应是-3+(-5)。 2. 运算顺序：在没有括号的情况下，按照从左到右的顺序依次计算；若有括号，先算括号内的运算。 3. 性质符号与运算符号：在省略加号的和的形式中，数字前面的符号均为性质符号，运算时按有理数加法法则进行。如算式-2+(-3)-(-4)，省略加号后为-2-3+4，其中"-2"的"-"是负号，"-3"的"-"是负号，"+4"的"+"是正号。 易错提醒 1. 混淆运算符号和性质符号，导致符号错误。 2. 运用加法交换律交换加数位置时，忘记连同前面的符号一起移动。例如计算5-3+2，不能写成5+2-3（正确），但不能写成5-2+3（错误，移动-3时未带符号）。 3. 括号前是"-"号时，去括号或添括号，括号内各项都要变号。例如-(a-b+c)=-a+b-c。 型 习 练 题 省略加法和括号的形式 1．不改变原式的值，省略算式中的括号和加号后，可以写成的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的加减运算中去括号和省略加号的规则．根据去括号法则（正号不变号，负号变号），将每个选项的算式去括号并省略加号后，与给定的算式比较即可． 【详解】解：选项A：，不合题意； 选项B：，不合题意； 选项C：，不合题意； 选项D：，符合题意． 故选：D． 2．不改变原式的值，把写成省略括号的和的形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握去括号法则．根据去括号法则，括号前是“”时，去括号后各项符号不变；括号前是“”时，去括号后各项符号改变，由此求解即可． 【详解】解：． 故选：C． 3．将式子省略括号和加号后变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查去括号和省略加号的规则，解决本题的关键是正确理解规则． 括号前是加号时，去括号后符号不变；括号前是减号时，去括号后符号改变，由此规则变形即可． 【详解】解：． 故选： C． 4．把写成省略括号和加号的形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的加减法，去括号时注意符号变化．根据有理数运算法则，加上一个负数等于减去这个数，减去一个负数等于加上这个数解答即可． 【详解】解：∵， ∵， ∴省略括号和加号后为 ． 故选 ：A． 5．不改变原式的值，将改写成省略括号和加号的形式正确的是（   ） A． B． C． D．8 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握有理数的减法法则是解题的关键， 根据有理数的加减法规则，将减法转化为加法，并省略括号和加号 【详解】解： 省略括号和加号后为：． 故选：B． 去括号添括号 6．下列去括号的过程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查去括号的规则，掌握相关知识是解决问题的关键．利用去括号法则对每个选项逐一验证． 【详解】解：A： ，故A错误； B： ，故B错误； C： ，故C错误； D： ，与右边相等，故D正确． 故选：D． 【点睛】 7．下列去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查去括号法则，熟练掌握法则是解题关键．根据去括号法则：括号前是正号，去括号后括号内各项符号不变；括号前是负号，去括号后括号内各项符号改变，逐项判断即可． 【详解】解：A．，故A错误； B．，故B错误； C．，故C正确； D．，故D错误． 故选：C． 8．下列去括号或添括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查去括号、添括号．根据去括号和添括号的规则：括号前是“”号，去括号后各项符号不变；括号前是“”号，去括号后各项符号改变．依次验证各选项即可． 【详解】解：A，∵ ，而右边为 ，∴ A错误； B，∵ ，而右边为 ，∴ B错误； C，∵ ，与左边 相等，∴ C正确； D，∵ ，而左边为 ，∴ D错误． 故选：C． 9．下列去括号（或添括号）正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查去括号和添括号的规则，根据去括号和添括号的法则逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，正确，符合题意； 故选：D． 10．下列各式中，去括号或添括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查去括号及添括号，熟练掌握去括号与添括号法则是解题的关键；根据去括号和添括号的规则：括号前是正号，去括号或添括号后各项符号不变；括号前是负号，去括号或添括号后各项符号改变；逐一验证各选项是否符合规则即可． 【详解】解：选项A：A错误； 选项B：，B错误； 选项C：，C错误； 选项D：，D正确； 故选D． 有理数加减混合运算 11．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数加减运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据有理数加法与减法的运算法则求解即可； （2）根据有理数加法与减法的运算法则求解即可； （3）根据有理数加法与减法的运算法则求解即可； （4）根据有理数加法与减法的运算法则求解即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ． 12．计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键， （1）利用有理数的加减法则计算即可； （2）利用有理数的加减法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 13．计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，同符号的放在一起简便运算即可． 【详解】解：原式 ． 14．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的加减混合运算． （1）先去括号，再计算； （2）将小数和分数统一形式后合并计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 15．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握有理数的加减运算法则（减去一个数等于加上这个数的相反数）是解题的关键． （1）按照有理数加法的运算顺序，从左到右依次计算． （2）先将减法转化为加法，再按照有理数加法的运算顺序计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 有理数加减中的简便运算 (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是有理数的加减混合运算． （1）先化为省略加号的和的形式，再利用运算律进行简便运算即可． （2）先化为省略加号的和的形式，再利用运算律进行简便运算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 17．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)22 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算， （1）根据有理数的结合律计算； （2）先将减法变为加法，再运用结合律计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 18．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的加减法混合运算， （1）先去绝对值，再用结合律计算即可； （2）先用结合律，再根据加法法则计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 19．计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，解题的关键是利用加法交换律和结合律进行简便计算． 通过观察式子，将同分母的分数结合，小数结合，再分别计算，最后求和． 【详解】解： ． 20．计算： 【答案】15 【分析】本题考查了有理数加减混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则和运算律． 根据交换律和结合律进行加减计算． 【详解】解： ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.6有理数的加减混合运算 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 运算意义 有理数加减混合运算是有理数加法和减法的综合运用，其本质是将减法运算统一转化为加法运算后进行的代数和运算。例如算式"3-5+2"可理解为3、-5、+2这三个有理数的代数和。 核心转化法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数。用字母表示为：a - b = a + (-b)。此法则是混合运算的基础，通过转化可将所有运算统一为加法，便于后续计算。 运算步骤 1. 统一转化：将算式中所有减法运算转化为加法运算，即把"-"号（减号）变为"+"号（加号），同时将减数变为其相反数。例如：(-8)-(-3)+(-5)转化为(-8)+(+3)+(-5)。 2. 省略符号：省略算式中的"+"号和括号，写成省略加号和的形式。如上述转化后的式子可写成-8+3-5，读作"负8加3减5"或"负8、正3、负5的和"。 3. 合理运算：运用加法交换律和结合律简化计算。通常有两种组合方式：①将正数与正数结合相加，负数与负数结合相加，再进行异号两数相加；②将互为相反数的数结合（和为0），或能凑整的数结合。例如计算12-(-18)+(-7)-15，转化后为12+18-7-15，可先算12+18=30，再算-7-15=-22，最后30-22=8。 关键要点 1. 符号处理：是运算的核心难点。转化减法时，需同时改变运算符号和减数的性质符号，注意避免只变其一的错误。例如-3-5不能错误转化为-3+5，而应是-3+(-5)。 2. 运算顺序：在没有括号的情况下，按照从左到右的顺序依次计算；若有括号，先算括号内的运算。 3. 性质符号与运算符号：在省略加号的和的形式中，数字前面的符号均为性质符号，运算时按有理数加法法则进行。如算式-2+(-3)-(-4)，省略加号后为-2-3+4，其中"-2"的"-"是负号，"-3"的"-"是负号，"+4"的"+"是正号。 易错提醒 1. 混淆运算符号和性质符号，导致符号错误。 2. 运用加法交换律交换加数位置时，忘记连同前面的符号一起移动。例如计算5-3+2，不能写成5+2-3（正确），但不能写成5-2+3（错误，移动-3时未带符号）。 3. 括号前是"-"号时，去括号或添括号，括号内各项都要变号。例如-(a-b+c)=-a+b-c。 型 习 练 题 省略加法和括号的形式 1．不改变原式的值，省略算式中的括号和加号后，可以写成的是（    ） A． B． C． D． 2．不改变原式的值，把写成省略括号的和的形式为（    ） A． B． C． D． 3．将式子省略括号和加号后变形正确的是（    ） A． B． C． D． 4．把写成省略括号和加号的形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 5．不改变原式的值，将改写成省略括号和加号的形式正确的是（   ） A． B． C． D．8 去括号添括号 6．下列去括号的过程正确的是（　　） A． B． C． D． 7．下列去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 8．下列去括号或添括号正确的是（   ） A． B． C． D． 9．下列去括号（或添括号）正确的是（   ） A． B． C． D． 10．下列各式中，去括号或添括号正确的是（   ） A． B． C． D． 有理数加减混合运算 11．计算： (1) (2) (3) (4) 12．计算 (1)； (2)． 13．计算：． 14．计算： (1) (2) 15．计算： (1)； (2)． 有理数加减中的简便运算 16．计算： (1)； (2) 17．计算： (1)； (2)． 18．计算： (1)； (2)． 19．计算：． 20．计算： 学科网（北京）股份有限公司 $