1.5有理数的减法（基础篇）讲义 2025-2026学年北京版数学七年级上册

1.5有理数的减法 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数。用字母表示为：a - b = a + (-b)，其中a、b为有理数，-b表示b的相反数。 运算步骤 1. 转化运算：将有理数减法运算转化为加法运算，即把减号变为加号，同时把减数变为它的相反数。 2. 确定符号：按照有理数加法的法则确定结果的符号。同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数。 3. 计算绝对值：根据符号确定的结果，对绝对值进行相应的运算（相加或相减），得到最终的数值。 关键要点 1. 与加法的关系：有理数减法是有理数加法的逆运算，通过转化法则，将减法统一为加法进行计算，体现了数学中的转化思想。 2. 减数的处理：在转化过程中，必须同时改变“减号”和“减数的符号”，缺一不可。例如，计算3 - (-2)时，应转化为3 + (+2)，而不是3 + (-2)或-3 + (+2)。 3. 0的特殊性：任何数减去0，仍得原数，即a - 0 = a；0减去一个数，等于这个数的相反数，即0 - a = -a。 4. 分数与小数的减法：当减数或被减数为分数或小数时，同样适用减法法则。可以先将分数化为小数（或小数化为分数），再按照上述步骤进行计算，注意结果的形式要符合题目要求（如保留分数或小数形式）。 型 习 练 题 有数的减法运算 1．在数轴上，距离表示的点3个单位长度的点所表示的数是（   ） A．2 B． C．2或 D．或4 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离计算，有理数的加减法即可，当该点在表示的点的左侧时，用减去两点之间的距离，当该点在表示的点的右侧时，用加上两点之间的距离，据此求解即可． 【详解】解：当距离表示的点3个单位长度的点在左侧时，则该点表示的数为， 当距离表示的点3个单位长度的点在右侧时，则该点表示的数为， 综上所述，该点表示的数为2或， 故选：C． 2．下列说法正确的是（　　） A．一个数加一个负数，所得的和比这个数大 B．一个数减一个正数，结果比这个数大 C．若两个数的和为0，则这两个数互为相反数 D．0减一个数仍得这个数 【答案】C 【分析】本题考查有理数的加减运算和相反数的概念，通过分析每个选项，结合有理数运算规则和相反数定义进行判断． 【详解】选项A：一个数加一个负数，相当于减去一个正数，所得和比原数小（如），故A错误； 选项B：一个数减一个正数，结果比原数小（如），故B错误； 选项C：根据相反数定义，若两个数的和为0，则这两个数互为相反数（如），故C正确； 选项D：0减一个数等于该数的相反数（如0 - 3 = -3 ≠ 3），故D错误。 故选：C． 3．按照有理数减法法则，可以转化为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了理数减法法则，根据有理数减法法则：减去一个数等于加上它的相反数，即可求解． 【详解】解：， 故选：D． 4．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的加法和减法运算，解题的关键是掌握有理数的加、减的运算法则． 分别对每个选项按照有理数加减运算法则进行计算，然后判断其正确性． 【详解】解：A、， A错误； B、， B正确； C、， C错误； D、， D错误． 故选：B． 5．已知，，，则的值为（   ） A． B． C．或 D．2或12 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的加减运算，绝对值． 根据绝对值的定义得到，，根据得到，，进而代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴或， ∴的值为12或2． 故选：D． 6．下面算法正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的加减运算，解题的关键是掌握有理数的加减运算法则，需根据运算法则逐一判断各选项的正确性． 【详解】解： A、，正确； B、，错误； C、，错误； D、，错误； 故选：A． 7．若数轴上点表示的数是，点在数轴的负半轴上，且点到数轴原点的距离与点到数轴原点的距离相等，则数轴上与点相距个单位长度的点表示的数为（　　） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查用数轴上的点表示数，数轴上两点间的距离，有理数的加减运算，熟练掌握其性质及求法是做题的关键．根据点表示的数是，且点到原点的距离与点到原点的距离相等，可得点表示的数是，再求与点相距个单位长度的点表示的数，计算的值即可． 【详解】解：根据点表示的数是，且点到原点的距离与点到原点的距离相等， 则点表示的数是， 又∵与点相距个单位长度的点有两个， ∴该点表示的数为：， 即符合条件的点表示的数为：或． 故选：C． 8．如图，在应用有理数减法法则计算时，需要把“”变成“”的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的减法运算，根据减去一个数等于加上这个数的相反数解答即可． 【详解】解：， 需要把“”变成“”的是②③， 故选：． 有理数减法的实际应用 9．某地某天进行三次气温测量，情况记录如下：早上是，半夜的温度是，则半夜与早上的气温差是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数加减法在实际生活中的应用，气温差是半夜温度减去早上温度，根据有理数减法法则，减去一个负数等于加上其相反数，正确计算是解题的关键． 【详解】解：半夜温度是，早上温度是， 气温差为：． 故选：B． 10．如图是某市某段5天的天气预报，这5天中最高温度与最低温度的差最小的是（   ） A．3月12日 B．3月13日 C．3月14日 D．3月15日 【答案】D 【分析】本题考查了有理数减法的实际应用，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据有理数减法的运算法则求解即可． 【详解】解：月日最高温度与最低温度的差为， 月日最高温度与最低温度的差为， 月日最高温度与最低温度的差为， 月日最高温度与最低温度的差为， 所以这几天中温度与最低温度的差最小的是月日， 故选：D． 11．如图，这是石家庄市2025年某月份连续四天的天气预报信息，其中日温差最大的一天是（   ） A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期四 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数减法的应用和有理数的比较大小等知识点，分别求出每天的温差，然后进行比较即可，熟练掌握有理数减法的运算法则是解决此题的关键． 【详解】解：星期一的温差为：， 星期二的温差为：， 星期三的温差为：， 星期四的温差为：， ∵， ∴日温差最大的一天是星期二． 故选：B． 12．某地一星期内每天的最高气温与最低气温如下表所示，哪天的温差最小？（    ） 星期 一 二 三 四 最高气温/℃ 10 12 11 9 最低气温/℃ 2 1 0 A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期四 【答案】A 【分析】本题考查有理数的减法，有理数比较大小，掌握了相关知识是解决问题的关键．温差是最高气温减去最低气温的差值．计算各天的温差并比较大小，最小值对应的星期即为答案． 【详解】解：星期一温差， 星期二温差 ， 星期三温差 ， 星期四温差 ． 比较得：，故星期一的温差最小． 故选：A． 13．万山“木杉河湿地公园”冬季某天的最高气温为，最低气温为，则这天的温差是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正负数的应用、有理数减法的应用，正确列出运算式子是解题关键．根据温差是最高气温与最低气温的差列式，计算有理数的减法即可得． 【详解】解：∵该公园冬季某天的最高气温为，最低气温为， ∴这天的温差是． 故选：C． 14．小明某一周的微信钱包账单统计如下所示，表示收入5.20元，下列说法正确的是（   ） 账单： ① ② A．表示收入元 B．表示支出元 C．表示支出元 D．该周微信钱包余额比上周多元 【答案】B 【分析】本题主要考查了正负数的应用，解题的关键是理解题意，熟练掌握具有相反意义的量，根据表示收入元，得出表示支出元，进行判断即可． 【详解】解：根据表示收入5.20元，可知“收入”用正数表示，那么“支出”就用负数表示，于是表示支出元．该周微信钱包余额比上周多元． 故选：B． 15．2025年9月3日的胜利日，全球华人都在观看祖国盛大的阅兵式，下表是国外几个城市与首都北京的时差（带正号的表示同一时刻比北京时间早的时数，带负号的表示同一时刻比北京时间晚的时数） 城市 纽约 巴黎 东京 芝加哥 时差/时 如果现在是北京时间9月3日9时，那么现在的纽约时间是（  ） A．9月3日13时 B．9月2日20时 C．9月2日3时 D．9月3日20时 【答案】B 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，熟练掌握时差的计算方法是解题的关键．根据时差定义，明确纽约时间与北京时间的时间差关系，通过北京时间计算纽约时间． 【详解】∵北京时间是月日时，纽约时差为小时， ∴纽约时间小时，即为9月2日的 时，也就是9月2日20时 故选：． 16．数轴上的点M表示，将点M向左平移4个单位后，再向右平移8个单位到点N，那么点N表示的数是（    ） A．10 B．1 C．－3 D．－4 【答案】B 【分析】本题考查数轴上的点平移问题，向左平移减，向右平移加，据此列式计算即可求解． 【详解】解：． 故选：B 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.5有理数的减法 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数。用字母表示为：a - b = a + (-b)，其中a、b为有理数，-b表示b的相反数。 运算步骤 1. 转化运算：将有理数减法运算转化为加法运算，即把减号变为加号，同时把减数变为它的相反数。 2. 确定符号：按照有理数加法的法则确定结果的符号。同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数。 3. 计算绝对值：根据符号确定的结果，对绝对值进行相应的运算（相加或相减），得到最终的数值。 关键要点 1. 与加法的关系：有理数减法是有理数加法的逆运算，通过转化法则，将减法统一为加法进行计算，体现了数学中的转化思想。 2. 减数的处理：在转化过程中，必须同时改变“减号”和“减数的符号”，缺一不可。例如，计算3 - (-2)时，应转化为3 + (+2)，而不是3 + (-2)或-3 + (+2)。 3. 0的特殊性：任何数减去0，仍得原数，即a - 0 = a；0减去一个数，等于这个数的相反数，即0 - a = -a。 4. 分数与小数的减法：当减数或被减数为分数或小数时，同样适用减法法则。可以先将分数化为小数（或小数化为分数），再按照上述步骤进行计算，注意结果的形式要符合题目要求（如保留分数或小数形式）。 型 习 练 题 有数的减法运算 1．在数轴上，距离表示的点3个单位长度的点所表示的数是（   ） A．2 B． C．2或 D．或4 2．下列说法正确的是（　　） A．一个数加一个负数，所得的和比这个数大 B．一个数减一个正数，结果比这个数大 C．若两个数的和为0，则这两个数互为相反数 D．0减一个数仍得这个数 3．按照有理数减法法则，可以转化为（  ） A． B． C． D． 4．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 5．已知，，，则的值为（   ） A． B． C．或 D．2或12 6．下面算法正确的是（ ） A． B． C． D． 7．若数轴上点表示的数是，点在数轴的负半轴上，且点到数轴原点的距离与点到数轴原点的距离相等，则数轴上与点相距个单位长度的点表示的数为（　　） A． B．或 C．或 D． 8．如图，在应用有理数减法法则计算时，需要把“”变成“”的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 有理数减法的实际应用 9．某地某天进行三次气温测量，情况记录如下：早上是，半夜的温度是，则半夜与早上的气温差是（    ） A． B． C． D． 10．如图是某市某段5天的天气预报，这5天中最高温度与最低温度的差最小的是（   ） A．3月12日 B．3月13日 C．3月14日 D．3月15日 11．如图，这是石家庄市2025年某月份连续四天的天气预报信息，其中日温差最大的一天是（   ） A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期四 12．某地一星期内每天的最高气温与最低气温如下表所示，哪天的温差最小？（    ） 星期 一 二 三 四 最高气温/℃ 10 12 11 9 最低气温/℃ 2 1 0 A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期四 13．万山“木杉河湿地公园”冬季某天的最高气温为，最低气温为，则这天的温差是（　　） A． B． C． D． 14．小明某一周的微信钱包账单统计如下所示，表示收入5.20元，下列说法正确的是（   ） 账单： ① ② A．表示收入元 B．表示支出元 C．表示支出元 D．该周微信钱包余额比上周多元 15．2025年9月3日的胜利日，全球华人都在观看祖国盛大的阅兵式，下表是国外几个城市与首都北京的时差（带正号的表示同一时刻比北京时间早的时数，带负号的表示同一时刻比北京时间晚的时数） 城市 纽约 巴黎 东京 芝加哥 时差/时 如果现在是北京时间9月3日9时，那么现在的纽约时间是（  ） A．9月3日13时 B．9月2日20时 C．9月2日3时 D．9月3日20时 16．数轴上的点M表示，将点M向左平移4个单位后，再向右平移8个单位到点N，那么点N表示的数是（    ） A．10 B．1 C．－3 D．－4 学科网（北京）股份有限公司 $