学易金卷：九年级数学上学期第三次月考（天津专用，测试范围：人教版九上第21章～第24章）

2025-2026学年九年级数学上学期第三次月考卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版九年级上册21章~第24章（第21章20%，第22章27%，第23章10%，第24章40%）。 第一部分（选择题 共36分） 一、单选题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（本题3分）下列方程是关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：A、含有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B、不是整式方程，故不合题意； C、当时，不是一元二次方程，故不合题意； D、是一元二次方程，故符合题意； 故选：D． 2．（本题3分）已知中，最长的弦长为16cm，则的半径是（    ） A．4cm B．8cm C．16cm D．32cm 【答案】B 【解析】解：∵中，最长的弦长为16cm，即直径为16cm， ∴的半径是8cm， 故选：B． 3．（本题3分）已知的半径为，，则点和的位置关系是（    ） A．点在圆上 B．点在圆外 C．点在圆内 D．不确定 【答案】B 【解析】解：∵的半径为，， ∴点到圆心的距离大于半径， ∴点在圆外， 故选：B． 4．（本题3分）下列四个圆形图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【解析】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意． 故选：C． 5．（本题3分）抛物线的对称轴是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：抛物线的对称轴， 故选：A． 6．（本题3分）半径为的圆中，的圆心角所对的弧的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】弧长= ， 故选：D． 7．（本题3分）如图将半径为的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】连接，过作，交于点，交弦于点 折叠后恰好经过圆心 的半径为cm cm 在中， 故选：B．    8．（本题3分）对于二次函数，下列说法不正确的是（      ） A．当时，有最大值 B．当时，随的增大而减小 C．开口向下 D．函数图象与轴交于点和 【答案】A 【解析】解：∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，-1＜0， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为（1，4），故C正确，不符合； 当x≥1时，y随x的增大而减小，故B正确，不符合； 当x=1时，y有最大值4，故A错误，符合； 当y=0时，-x2+2x+3=0，解得x1=-1，x2=3， ∴抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0），（3，0），故D正确，不符合； 故选：A． 9．（本题3分）正方形内接于，P是劣弧上任意一点，则等于（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：连接； 四边形是圆的内接正方形， ； ， ， 故选：C．    10．（本题3分）如图，是的直径，是的切线，A为切点，与交于点D，连接．若，则的度数为（　  　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：∵是的直径，是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 11．（本题3分）如图，在平行四边形中，，将平行四边形绕顶点B顺时针旋转到平行四边形，当首次经过顶点C时，旋转角为(        )度．    A．30 B．40 C．45 D．50 【答案】B 【解析】∵平行四边形绕顶点B顺时针旋转到平行四边形， ∴， ∴， ∵在平行四边形中，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 12．（本题3分）如图，抛物线＝与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析下列结论： ① ；   ② ； ③ ＞0； ④当时，随的增大而增大； ⑤ ≤（m为实数），其中正确的结论有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【解析】∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（-3，0），其对称轴为直线， ∴抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（-3，0）和（2，0），且=， ∴a=b， 由图象知：a<0，c>0，b<0， ∴abc>0，故结论①正确； ∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（-3，0）， ∴9a-3b+c=0， ∵a=b， ∴c=-6a， ∴3a+c=-3a>0，故结论②正确； ∵当时，y=>0， ∴＜0，故结论③错误； 当x＜时，y随x的增大而增大，当<x<0时，y随x的增大而减小，故结论④错误； ∵a=b， ∴≤可换成≤， ∵a＜0， ∴可得≥-1， 即4m2+4m+1≥0 （2m+1）2≥0，故结论⑤正确； 综上：正确的结论有①②⑤， 故选：B． 二、填空题（共18分） 13．（本题3分）正六边形的半径为3，则正六边形的边心距为 ． 【答案】 【解析】解：如图：过O作于G，连接，    ∵六边形是正六边形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴为等边的高， ∴即为正六边形的边心距， 又, ∴， 由勾股定理可得：， 故答案为：． 14．（本题3分）已知圆锥的母线长，底面半径是，则这个圆锥的侧面积为 ． 【答案】 【解析】解：依题意，， 故答案为：． 15．（本题3分）设、是一元二次方程的两个根，则 ． 【答案】 【解析】原方程化为一般式： 利用韦达定理可知： 故答案为3 16．（本题3分）用一根长为80cm的铁丝，把它弯成一个矩形，设矩形的面积为ycm2，一边长为xcm，则y与x的函数表达式为 （化为一般式） 【答案】 【解析】由题意得：矩形的另一边长=80÷2-x=40-x， ∴y=x（40-x）=． 故答案为． 17．（本题3分）在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为 ． 【答案】 【解析】解：点关于原点的对称点的坐标为， 故答案为：． 18．（本题3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B均在格点上． （Ⅰ）线段AB的长为 ． （Ⅱ）请利用网格，用无刻度的直尺在AB上作出点P，使AP=，并简要说明你的作图方法（不要求证明）． ． 【答案】 2 取格点M，N，连接MN交AB于P，则点P即为所求 【解析】 (1)由勾股定理得AB=； (2)∵AB，AP=， ∴, ∴ AP:BP=2:1. 取格点 M ， N ，连接 MN 交 AB 于 P ，则点 P 即为所求； ∵AM∥BN, ∴△AMP∽△BNP, ∴, ∵AM=2,BN=1, ∴, ∴P点符合题意. 故答案为取格点 M ， N ，连接 MN 交 AB 于 P ，则点 P 即为所求． 三、解答题（共66分） 19．（本题8分）解下列方程： （1）（x﹣1）2+2x（x﹣1）＝0； （2）（x﹣1）（x+2）＝70． 【解析】（1）（x﹣1）[（x﹣1）+2x]＝0， （x﹣1）（3x﹣1）＝0， x﹣1＝0或3x﹣1＝0， 所以x1＝1，x2＝； （2）x2+x﹣2＝70， x2+x﹣72＝0， （x+9）（x﹣8）＝0， x+9＝0或x﹣8＝0， 所以x1＝﹣9，x2＝8． 20．（本题8分）如图，已知为的直径，切于点C，交的延长线于点D，且． (1)求的大小； (2)若，求的长． 【解析】（1）连接． ∵ ， ∴ ，即 ． ∵ ， ∴ ． ∵ 是⊙的切线， ∴ ，即 ． ∴ ． ∴ ． ∴ ． （2）∵ ，， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∴ 的长． 21．（本题10分）如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏． （1）若a＝20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长． （2）若a＝40，求矩形菜园ABCD面积的最大值． 【解析】解：（1）设AB＝xm，则BC＝（100﹣2x）m， 根据题意得x（100﹣2x）＝450， 解得x1＝5，x2＝45， 当x＝5时，100﹣2x＝90＞20，不合题意舍去； 当x＝45时，100﹣2x＝10， 答：AD的长为10m； （2）设AD＝xm． ∴S＝x（100﹣x）＝﹣（x﹣50）2+1250， ∴开口向下，对称轴为直线x=50， ∵a＝40， ∴0＜x≤40， ∴x＝40时，S的最大值为：﹣（40﹣50）2+1250＝﹣50+1250＝1200（m²）． 答：若a＝40，矩形菜园ABCD面积的最大值为1200平方米． 22．（本题10分）在“多‘盔’有你”交通安全宣传月期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶，商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于58元但不低于进价，经调查发现：每降价2元，平均每周可多售出40顶． (1)若每顶头盔降价10元，则平均每周售出_______顶，共获利________元； (2)若该商店希望平均每周获利4000元，则每顶头盔应降价多少？ (3)商店降价销售后，决定每销售1顶头盔就向某慈善机构捐赠m元（m为整数，且）帮助做“交通安全”宣传．捐赠后发现，该商店每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大，求m的值． 【解析】（1）解：根据题意，可知若每顶头盔降价10元， 则平均每周售出顶， 共获利元． 故答案为：300，5400． （2）设每顶头盔应降价元， 根据题意，可得， 整理可得，， 解得，， 当时时，售价为元； 当时时，售价为元； ∵每顶售价不高于58元， ∴每顶头盔应降价20元． （3）设每周扣除捐赠后可获得利润为元，每顶头盔售价元， 根据题意，得 ， 则该函数图像的对称轴为，开口向下， 当时，利润仍随售价的增大而增大， ∴，解得， ∵，且为整数， 或4． 23．（本题10分）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB＝8，CD＝2． （1）求OD的长． （2）求EC的长． 【解析】解：(1)设⊙O半径为r，则OA＝OD＝r，OC＝r﹣2， ∵OD⊥AB， ∴∠ACO＝90°， AC＝BC＝AB＝4， 在Rt△ACO中，由勾股定理得：r2＝42+（r﹣2）2， r＝5， ∴OD＝r＝5； (2)连接BE，如图： 由(1)得：AE＝2r＝10， ∵AE为⊙O的直径， ∴∠ABE＝90°， 由勾股定理得：BE＝6， 在Rt△ECB中，EC＝＝＝2． 故答案为(1)5；(2). 24．（本题10分）如图，中，，D为上一点，以为直径的与相切于点E，交于点F，，垂足为G． (1)求证：是的切线； (2)若的半径长为，，求的长． 【解析】（1）证明：如图1，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵是半径， ∴是的切线； （2）解：如图2，连接， ∵以为直径的与相切于点E， ∴，为半径， ∴四边形是正方形， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∴的长为． 25．（本题10分）若直线与轴交于点，与轴交于点，二次函数的图像经过点，点，且与轴交于点    (1)求二次函数的解析式 (2)若点为直线下方抛物线上一点，过点作直线的垂线，垂足为，作轴交直线于点，求周长的最大值及此时点的坐标 (3)将抛物线沿轴的正方向平移2个单位长度得到新抛物线是新抛物线与轴的交点（靠近轴），是原抛物线对称轴上一动点，在新抛物线上存在一点，使得以、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的点的坐标，并写出求解点坐标的其中一种情况的过程． 【解析】（1）令，解得，故与轴交于点， 令，可得，故与轴交于点， 把代入， 得， 解这个方程组，得 所以该抛物线得表达式为； （2）延长交于点，    ∵， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 当最大时，最大， 设，则， ， 当时，有最大值，即有最大值， 此时，点的坐标为； （3）满足条件的点的坐标有 由题意得平移后抛物线的表达式为 原抛物线的对称轴为直线， 设 当为对角线时，中点坐标为，中点坐标为， ∵以、、为顶点的四边形是平行四边形， ∴中点与中点为同一个点， ∴，解得， ， 同理，为对角线时， 当为对角线时； 综上所述，满足条件的点的坐标有． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期第三次月考卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版九年级上册第21章~第24章（第21章20%，第22章27%，第23章10%，第24章40%）。 第一部分（选择题 共36分） 一、单选题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列方程是关于的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．已知中，最长的弦长为16cm，则的半径是（     ） A．4cm B．8cm C．16cm D．32cm 3．已知的半径为，，则点和的位置关系是（     ） A．点在圆上 B．点在圆外 C．点在圆内 D．不确定 4．下列四个圆形图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（     ） A．   B．   C．    D．   5．抛物线的对称轴是（     ） A． B． C． D． 6．半径为的圆中，的圆心角所对的弧的长度为（     ） A． B． C． D． 7．如图将半径为的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（     ）   A． B． C． D． 8．对于二次函数，下列说法不正确的是（      ） A．当时，有最大值 B．当时，随的增大而减小 C．开口向下 D．函数图象与轴交于点和 9．正方形内接于，P是劣弧上任意一点，则等于（　　）   A． B． C． D． 10．如图，是的直径，是的切线，A为切点，与交于点D，连接．若，则的度数为（　  　） A． B． C． D． 11．如图，在平行四边形中，，将平行四边形绕顶点B顺时针旋转到平行四边形，当首次经过顶点C时，旋转角为(         )度．   A．30 B．40 C．45 D．50 12．如图，抛物线＝与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析下列结论：① ；   ② ；③ ＞0； ④当时，随的增大而增大； ⑤ ≤（m为实数），其中正确的结论有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 第二部分（非选择题 共66分） 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 13．正六边形的半径为3，则正六边形的边心距为 ． 14．已知圆锥的母线长，底面半径是，则这个圆锥的侧面积为 ． 15．设、是一元二次方程的两个根，则 ． 16．用一根长为80cm的铁丝，把它弯成一个矩形，设矩形的面积为ycm2，一边长为xcm，则y与x的函数表达式为 （化为一般式） 17．在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为 ． 18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B均在格点上． （Ⅰ）线段AB的长为 ． （Ⅱ）请利用网格，用无刻度的直尺在AB上作出点P，使AP=，并简要说明你的作图方法（不要求证明）． ． 三、解答题（本题共7小题，共66分。解答题应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19．（本题8分）解下列方程： （1）（x﹣1）2+2x（x﹣1）＝0； （2）（x﹣1）（x+2）＝70． 20． （本题8分）如图，已知为的直径，切于点C，交的延长线于点D，且． (1)求的大小； (2)若，求的长． 21．（本题10分）如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏． （1）若a＝20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长． （2）若a＝40，求矩形菜园ABCD面积的最大值． 22．（本题10分）在“多‘盔’有你”交通安全宣传月期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶，商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于58元但不低于进价，经调查发现：每降价2元，平均每周可多售出40顶． (1)若每顶头盔降价10元，则平均每周售出_______顶，共获利________元； (2)若该商店希望平均每周获利4000元，则每顶头盔应降价多少？ (3)商店降价销售后，决定每销售1顶头盔就向某慈善机构捐赠m元（m为整数，且）帮助做“交通安全”宣传．捐赠后发现，该商店每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大，求m的值． 23.（本题10分）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC． 若AB＝8，CD＝2． （1）求OD的长． （2）求EC的长． 24．（本题10分）如图，中，，D为上一点，以为直径的与相切于点E，交于点F，，垂足为G． (1)求证：是的切线； (2)若的半径长为，，求的长． 25．（本题10分）若直线与轴交于点，与轴交于点，二次函数的图像经过点，点，且与轴交于点 (1)求二次函数的解析式 (2)若点为直线下方抛物线上一点，过点作直线的垂线，垂足为，作轴交直线于点，求周长的最大值及此时点的坐标 (3)将抛物线沿轴的正方向平移2个单位长度得到新抛物线是新抛物线与轴的交点（靠近轴），是原抛物线对称轴上一动点，在新抛物线上存在一点，使得以、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的点的坐标，并写出求解点坐标的其中一种情况的过程． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 11 2025-2026学年九年级数学上学期第三次月考卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题3分，共36分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 12.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷二、填空题（每小题3分，共18分） 11．_________________ 12．___________________ 13. ___________________ 14．_________________ 15．__________________ 16. ___________________ 17. ________________ 18.（Ⅰ）_________ （Ⅱ）_________________________________________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共7个小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（本题8分） （1） （2） 20.（本题8分） （1） （2） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（本题10分） （1） （2） 22．（本题10分） （1）__________ ;___________. （2） （3） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.（本题10分） 24． （本题10分） (1) (2) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（本题10分） (1) (2) (3) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度九年级数学（上）第三次月考卷 参考答案 第一部分（选择题 共36分） 一、单选题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D B B C A D B A C A B B 第二部分（非选择题 共66分） 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 13． 14． 15． 16． 17． 18． 2 ； 取格点M，N，连接MN交AB于P，则点P即为所求 三、解答题（本题共7小题，共66分。解答题应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19．【详解】（1）（x﹣1）[（x﹣1）+2x]＝0， （x﹣1）（3x﹣1）＝0， ……………………（2分） x﹣1＝0或3x﹣1＝0， ……………………（3分） 所以x1＝1，x2＝； ……………………（4分） （2）x2+x﹣2＝70， x2+x﹣72＝0，……………………（1分） （x+9）（x﹣8）＝0，……………………（2分） x+9＝0或x﹣8＝0，……………………（3分） 所以x1＝﹣9，x2＝8．……………………（4分） 20． 【详解】（1）连接． ……………………（1分） ∵ ， ∴ ，即 ．……………………（2分） ∵ ， ∴ ． ∵ 是⊙的切线， ∴ ，即 ．……………………（3分） ∴ ． ∴ ． ∴ ．……………………（4分） （2）∵ ，， ∴ ．……………………（6分） ∵ ， ∴ ． ∴ 的长．……………………（8分） 21． 【详解】解：（1）设AB＝xm，则BC＝（100﹣2x）m， ……………………（1分） 根据题意得x（100﹣2x）＝450， ……………………（3分） 解得x1＝5，x2＝45， ……………………（4分） 当x＝5时，100﹣2x＝90＞20，不合题意舍去； 当x＝45时，100﹣2x＝10， 答：AD的长为10m； ……………………（5分） （2）设AD＝xm． ∴S＝x（100﹣x）＝﹣（x﹣50）2+1250，……………………（7分） ∴开口向下，对称轴为直线x=50， ∵a＝40， ∴0＜x≤40， ……………………（8分） ∴x＝40时，S的最大值为：﹣（40﹣50）2+1250＝﹣50+1250＝1200（m²）． 答：若a＝40，矩形菜园ABCD面积的最大值为1200平方米． ……………………（10分） 22． 【详解】（1）解：根据题意，可知若每顶头盔降价10元，……………………（1分） 则平均每周售出顶，……………………（2分） 共获利元．……………………（3分） 故答案为：300，5400． ……………………（4分） （2）设每顶头盔应降价元， 根据题意，可得， 整理可得，， 解得，， ……………………（6分） 当时时，售价为元； 当时时，售价为元； ∵每顶售价不高于58元， ∴每顶头盔应降价20元． ……………………（7分） （3）设每周扣除捐赠后可获得利润为元，每顶头盔售价元， 根据题意，得 ， ……………………（8分） 则该函数图像的对称轴为，开口向下， 当时，利润仍随售价的增大而增大， ∴，解得， ∵，且为整数， 或4． ……………………（10分） 23． 【详解】解：(1)设⊙O半径为r，则OA＝OD＝r，OC＝r﹣2，……………………（1分） ∵OD⊥AB， ∴∠ACO＝90°， AC＝BC＝AB＝4， 在Rt△ACO中，由勾股定理得：r2＝42+（r﹣2）2， ……………………（4分） r＝5， ∴OD＝r＝5； ……………………（5分） (2)连接BE，如图：……………………（6分） 由(1)得：AE＝2r＝10， ∵AE为⊙O的直径， ∴∠ABE＝90°，……………………（8分） 由勾股定理得：BE＝6， 在Rt△ECB中，EC＝＝＝2． ……………………（10分） 24． 【详解】（1）证明：如图1，连接，……………………（1分） ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ……………………（3分） ∵， ∴，……………………（4分） 又∵是半径， ∴是的切线；……………………（5分） （2）解：如图2，连接， ∵以为直径的与相切于点E， ∴，为半径， ∴四边形是正方形， ……………………（7分） ∴， 由勾股定理得，， ∴， ……………………（9分） ∴的长为． ……………………（10分） 25． 【详解】（1）令，解得，故与轴交于点， 令，可得，故与轴交于点， 把代入， 得， 解这个方程组，得 所以该抛物线得表达式为； ……………………（3分） （2）延长交于点，    ∵， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 当最大时，最大， 设，则， ， 当时，有最大值，即有最大值， 此时，点的坐标为； ……………………（7分） （3）满足条件的点的坐标有 ……………………（10分） 由题意得平移后抛物线的表达式为 原抛物线的对称轴为直线， 设 当为对角线时，中点坐标为，中点坐标为， ∵以、、为顶点的四边形是平行四边形， ∴中点与中点为同一个点， ∴，解得， ， 同理，为对角线时， 当为对角线时； 综上所述，满足条件的点的坐标有． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级数学上学期第三次月考卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版九年级上册第21章~第24章（第21章20%，第22章27%，第23章10%，第24章40%）。 第一部分（选择题 共36分） 一、单选题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列方程是关于的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．已知中，最长的弦长为16cm，则的半径是（     ） A．4cm B．8cm C．16cm D．32cm 3．已知的半径为，，则点和的位置关系是（     ） A．点在圆上 B．点在圆外 C．点在圆内 D．不确定 4．下列四个圆形图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（     ） A．   B．   C．    D．   5．抛物线的对称轴是（     ） A． B． C． D． 6．半径为的圆中，的圆心角所对的弧的长度为（     ） A． B． C． D． 7．如图将半径为的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（     ）   A． B． C． D． 8．对于二次函数，下列说法不正确的是（      ） A．当时，有最大值 B．当时，随的增大而减小 C．开口向下 D．函数图象与轴交于点和 9．正方形内接于，P是劣弧上任意一点，则等于（　　）   A． B． C． D． 10．如图，是的直径，是的切线，A为切点，与交于点D，连接．若，则的度数为（　  　） A． B． C． D． 11．如图，在平行四边形中，，将平行四边形绕顶点B顺时针旋转到平行四边形，当首次经过顶点C时，旋转角为(         )度．   A．30 B．40 C．45 D．50 12．如图，抛物线＝与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析下列结论：① ；   ② ；③ ＞0； ④当时，随的增大而增大； ⑤ ≤（m为实数），其中正确的结论有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 第二部分（非选择题 共66分） 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 13．正六边形的半径为3，则正六边形的边心距为 ． 14．已知圆锥的母线长，底面半径是，则这个圆锥的侧面积为 ． 15．设、是一元二次方程的两个根，则 ． 16．用一根长为80cm的铁丝，把它弯成一个矩形，设矩形的面积为ycm2，一边长为xcm，则y与x的函数表达式为 （化为一般式） 17．在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为 ． 18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B均在格点上． （Ⅰ）线段AB的长为 ． （Ⅱ）请利用网格，用无刻度的直尺在AB上作出点P，使AP=，并简要说明你的作图方法（不要求证明）． ． 三、解答题（本题共7小题，共66分。解答题应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19．（本题8分）解下列方程： （1）（x﹣1）2+2x（x﹣1）＝0； （2）（x﹣1）（x+2）＝70． 20． （本题8分）如图，已知为的直径，切于点C，交的延长线于点D，且． (1)求的大小； (2)若，求的长． 21．（本题10分）如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏． （1）若a＝20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长． （2）若a＝40，求矩形菜园ABCD面积的最大值． 22．（本题10分）在“多‘盔’有你”交通安全宣传月期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶，商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于58元但不低于进价，经调查发现：每降价2元，平均每周可多售出40顶． (1)若每顶头盔降价10元，则平均每周售出_______顶，共获利________元； (2)若该商店希望平均每周获利4000元，则每顶头盔应降价多少？ (3)商店降价销售后，决定每销售1顶头盔就向某慈善机构捐赠m元（m为整数，且）帮助做“交通安全”宣传．捐赠后发现，该商店每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大，求m的值． 23.（本题10分）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC． 若AB＝8，CD＝2． （1）求OD的长． （2）求EC的长． 24．（本题10分）如图，中，，D为上一点，以为直径的与相切于点E，交于点F，，垂足为G． (1)求证：是的切线； (2)若的半径长为，，求的长． 25．（本题10分）若直线与轴交于点，与轴交于点，二次函数的图像经过点，点，且与轴交于点 (1)求二次函数的解析式 (2)若点为直线下方抛物线上一点，过点作直线的垂线，垂足为，作轴交直线于点，求周长的最大值及此时点的坐标 (3)将抛物线沿轴的正方向平移2个单位长度得到新抛物线是新抛物线与轴的交点（靠近轴），是原抛物线对称轴上一动点，在新抛物线上存在一点，使得以、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的点的坐标，并写出求解点坐标的其中一种情况的过程． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年九年级数学上学期第三次月考卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ==▣===-====。。=-。====-。一=▣。■ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][1【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共36分） 1[A][B][C][D] 5.[A][B][C1[D1 9.[A1[B1[CJ[D] 2.[A][B][C][D] 6.[A][BJ[C1[D1 10.[A][B][CJ[D] 3.[A][B][C][D] 7.A][B1[C1[D1 11.[AI[B1[CJ[D] 4.A][B1[CI[D] 8.IA][B[C][D] 12.[A][B][C1[D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共18分） 12. 13 14 15. 17 18.(I) (Ⅱ) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共7个小题，共66分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 19.(本题8分) (1) (2) 20.(本题8分) (1) (2) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(本题10分) (1) (2) 22.(本题10分) (1) (2) (3) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(本题10分) c D 24.(本题10分) (1) A D E G B F (2) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(本题10分) (1) (2) (3) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！