精品解析：2025年6月四川省成都市中考数学模拟卷

2025年成都市初中学业水平模拟考试 数学 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 2025年是农历乙巳蛇年，农历共有384天．其中384相反数是（ ） A. 384 B. C. D. 2. 由5个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知第二象限的点，那么点P到y轴的距离为（ ） A 5 B. 4 C. -5 D. -4 5. 某中学12个班级参加春季植树，其中2个班各植60棵，3个班各植100棵，4个班各植120棵，另外三个班分别植70棵、80棵、90棵，下列叙述正确的是（ ） A. 中位数是100，众数是100 B. 中位数是100，众数是120 C. 中位数是90，众数是120 D. 中位数是120，众数是100 6. 下列说法正确的是（ ） A. 有三个角相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 C. 平分弦的直径垂直于这条弦 D. 过一点有且仅有一条直线平行于已知直线 7. 我国古代数学著作《九章算术》有题如下：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平；并燕、雀重一斤，问燕、雀一枚各重几何?”其大意是：现在有5只雀和6只燕，用秤来称它们，发现雀比较重，燕比较轻．将一只雀和一只燕交换位置，重量相等；5只雀和6只燕的重量为一斤．问每只雀和每只燕各重多少斤?设每只雀为x斤，每只燕为y斤，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数的图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ） A. 对称轴为直线 B. 的最小值为 C. 对应的函数值为 D. 当时，则 第II卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 因式分解：______． 10. 分式方程的解是______． 11. 如图，是的直径，是弦，，，则扇形的面积是________． 12. 中国古代的“四书”是指《论语》、《孟子》、《大学》和《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．如图是正面印有“四书”字样的书签，书签除正面的字样外，其余完全相同．将这4张书签背面向上，洗匀放好．则从中随机抽取1张，抽到“中庸”书签的概率是______． 13. 如图，在平行四边形ABCD中，按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AD于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作AP射线，交边CD于点Q，若DQ＝2QC，BC＝3，则平行四边形ABCD周长为_____． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. （1）计算： （2）解不等式组： 15. 某校组织学生积极参与各种科创活动，其中有四个生动演示实验：（A）打印澄池实验；（B）水火箭演示实验；（C）机器人街舞实验；（D）纸质搭高承重实验．观看完后，该校随机选取部分学生对四个实验的喜爱情况做了抽样调查（每位同学选取一样最喜爱的实验），将调查情况制成了如下的条形统计图和扇形统计图： 请根据图中信息，回答下列问题： （1）共调查了________名学生，图2中A所对应圆心角度数为________； （2）请补全条形统计图； （3）已知D组有三名男生，其余为女生，男生小志、女生小勤都在D组中，若从D组男生中随机抽取一位同学，再从D组女生中随机抽取一名同学，抽取的两人作为学校“我爱科创活动”演讲比赛的主持人，请用列表或画树状图的方法，求抽到小志和小勤的概率． 16. 如图1是近几年热门的中小学生课桌椅，其椅子可实现坐直和躺睡两种状态，根据人体工学原理，当椅背与凳面在160度左右时，人体会感到舒适，可进一步提高学生午休的睡眠质量．如图2是该椅子在躺睡状态时的截面图：点E，F均在所在的直线上，若，凳面，凳面始终与地面平行，腿托，椅背，，，，请求出此时躺椅在地面的水平长度投影EF的长．（结果精确到；参考数据：，） 17. 如图，是的直径，，分别与相切于点A，C，交的延长线于点D，交的延长线于点E． （1）求证：； （2）若，，求的长． 18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，与坐标轴交于C、D两点，连接，的面积为1． （1）求反比例函数的解析式； （2）点P是线段的中点，直线向下平移个单位长度后，将的面积分成两部分，求b的值； （3）给出如下定义：只有一组邻边相等，且只有一组对角为直角的四边形，叫作“直角等补形”；设M为y轴负半轴上一点，N为平面内一点，当四边形是直角等补形时，求点M的坐标． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 如图，△ABC为等边三角形，D是△ABC内一点，若将△ABD经过旋转后到△ACP位置，则旋转角等于 _____度． 20. 若，是方程的两个实数根，则代数式的值为________． 21. 定义：若一个矩形中，一组对边的两个三等分点在同一个反比例函数的图像上，则称这个矩形为“奇特矩形”．如图，在直角坐标系中，矩形ABCD是第一象限内的一个“奇特矩形”．且点，，则BC的长为______． 22. 定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若点D是斜边AB的中点，则CD＝AB，运用：如图2，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED连接BE，CE，DE，则CE的长为_____． 23. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝12，BC＝5，点D是半径为4的⊙A上一动点，点M是CD的中点，则BM的取值范围是______． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 春节期间，由“饺子”编剧并执导的奇幻动画电影《哪吒之魔童闹海》一上映就获得观众好评．某商家抓住商机，随即销售一种成本为每件20元的特色哪吒纪念品．经销售发现：当售价为每件30元时，每天可售出100件；售价每上涨2元，日销量就会减少4件；售价每下降1元，日销量就会增加5件．设该纪念品的售价为每件元（为整数且），每天的销售量为件． （1）求出与的函数关系式； （2）该纪念品售价定为多少元时，商家每天获得的销售利润最大？最大利润是多少？ 25. 如图，抛物线的图象经过点C(0，2)，交x轴于点A(﹣1，0)和B，连接BC，直线y＝kx+1与y轴交于点D，与BC上方的抛物线交于点E，与BC交于点F． （1）求抛物线的表达式及点B的坐标； （2）求的最大值及此时点E的坐标； （3）在（2）条件下，若点M为直线DE上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 26. 如图1，矩形ABCD中，点E为AB边上的动点（不与A，B重合），把沿DE翻折，点A的对应点为，延长交直线DC于点F，再把折叠，使点B的对应点落在EF上，折痕EH交直线BC于点H． （1）求证：； （2）如图2，直线MN是矩形ABCD的对称轴，若点恰好落在直线MN上，试判断的形状，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，点G为内一点，且，试探究DG，EG，FG的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年成都市初中学业水平模拟考试 数学 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 2025年是农历乙巳蛇年，农历共有384天．其中384的相反数是（ ） A. 384 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，解题的关键是熟练掌握只有符号不同的两个数是互为相反数，据此即可求解． 【详解】∵ 相反数的定义是只有符号不同的数， ∴ 384的相反数为 故选：B． 2. 由5个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，俯视图是从上边看得到的图形． 根据俯视图是从上边看得到的图形，可得答案． 【详解】解：从上边看，可得俯视图如下： 故选：D． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，包括完全平方公式、指数运算和分配律，选项A错误，因为完全平方公式展开后缺少中间项；选项B错误，因为不是同类项不能合并；选项C正确，符合指数运算法则；选项D错误，因为分配律应用时符号错误． 【详解】解： A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：C． 4. 已知第二象限的点，那么点P到y轴的距离为（ ） A. 5 B. 4 C. -5 D. -4 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点到坐标轴的距离，熟练掌握点到轴的距离等于该点横坐标的绝对值是解题的关键． 明确点到y轴距离的解题思路，即根据点的坐标特征，点到y轴的距离等于其横坐标的绝对值． 【详解】解：∵ 点的坐标为， ∴ 点到轴的距离为， 故选：． 5. 某中学12个班级参加春季植树，其中2个班各植60棵，3个班各植100棵，4个班各植120棵，另外三个班分别植70棵、80棵、90棵，下列叙述正确的是（ ） A. 中位数是100，众数是100 B. 中位数是100，众数是120 C. 中位数是90，众数是120 D. 中位数是120，众数是100 【答案】B 【解析】 【分析】将数据按从小到大的顺序排列，再根据众数和中位数的概念即可得到结果． 【详解】解：根据题意，将这组数据重新排列为60、60、70、80、90、100、100、100、120、120、120、120， 最中间位置的数据为第6个和第7个数据，都为100， 因此中位数为， 120出现了4次，出现次数最多，所以这组数据的众数为120， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了找一组数据中的众数和中位数，解题的关键是掌握众数和中位数的概念． 6. 下列说法正确的是（ ） A. 有三个角相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 C. 平分弦的直径垂直于这条弦 D. 过一点有且仅有一条直线平行于已知直线 【答案】B 【解析】 【分析】利用矩形的判定、菱形的判定、垂径定理及平行公里分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、有三个角相等的四边形不一定是矩形，如四边形中，，，该四边形不是矩形，故错误； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正确； C、平分弦（不是直径）直径垂直于这条弦，故错误； D、过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线，故错误． 故选B． 【点睛】本题考查了矩形的判定，菱形的判定，垂径定理，平行公理，解题的关键是掌握菱形的判定的判定方法，难度不大． 7. 我国古代数学著作《九章算术》有题如下：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平；并燕、雀重一斤，问燕、雀一枚各重几何?”其大意是：现在有5只雀和6只燕，用秤来称它们，发现雀比较重，燕比较轻．将一只雀和一只燕交换位置，重量相等；5只雀和6只燕的重量为一斤．问每只雀和每只燕各重多少斤?设每只雀为x斤，每只燕为y斤，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了列二元一次方程组，理解题意，正确找出等量关系列出方程是解题的关键．根据题目中的条件“将一只雀和一只燕交换位置，重量相等”和“5只雀和6只燕的重量为一斤”建立方程即可． 【详解】解：设每只雀为x斤，每只燕为y斤， 根据题意，列出方程得：， 故选：A． 8. 二次函数的图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ） A. 对称轴为直线 B. 的最小值为 C. 对应的函数值为 D. 当时，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，理解图示，掌握二次函数图象的性质是关键． 根据二次函数与坐标轴的交点，对称轴直线的计算判定A选项；运用待定系数法得到解析式，将一般式化为顶点式可判定B选项；根据自变量值求函数值可判定C选项；根据最值的计算可判定D选项；由此即可求解． 【详解】解：二次函数与轴的两个交点为， ∴对称轴直线为，故A选项正确，不符合题意； 根据题意，二次函数经过， ∴， 解得，， ∴二次函数解析式为， ∴的最小值为，故B选项正确，不符合题意； 当时，，故C选项正确，不符合题意； 当时，，当时，，当时，， ∴当时，则，故D选项错误，符合题意； 故选：D ． 第II卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解—分组分解法，先把原式中一二两项分成一组，三四两项分成一组，每组分别提取公因式，最后组与组之间提取公因式即可． 【详解】解∶原式 ， 故答案∶ ． 10. 分式方程的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，先去分母将分式方程转化为整式方程，求解整式方程，再检验解是否使分母为零． 【详解】解： 方程两边同乘最简公分母 ，得： 化简得： 移项，合并同类项得： 解得： 检验：当 时，分母， 故原方程的解为 ． 11. 如图，是的直径，是弦，，，则扇形的面积是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查扇形面积的计算、圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 根据圆周角定理可以求得，然后根据扇形面积公式即可解答本题． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的直径，是弦，， ∴扇形的面积是：， 故答案为：． 12. 中国古代的“四书”是指《论语》、《孟子》、《大学》和《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．如图是正面印有“四书”字样的书签，书签除正面的字样外，其余完全相同．将这4张书签背面向上，洗匀放好．则从中随机抽取1张，抽到“中庸”书签的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率公式． 直接根据概率公式计算即可． 【详解】解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到“中庸”书签的结果有1种， ∴抽到“中庸”书签的概率为， 故答案为：． 13. 如图，在平行四边形ABCD中，按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AD于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作AP射线，交边CD于点Q，若DQ＝2QC，BC＝3，则平行四边形ABCD周长为_____． 【答案】15． 【解析】 【详解】试题解析：∵由题意可知，AQ是∠DAB的平分线， ∴∠DAQ=∠BAQ． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB，BC=AD=3，∠BAQ=∠DQA， ∴∠DAQ=∠DAQ， ∴△AQD是等腰三角形， ∴DQ=AD=3． ∵DQ=2QC， ∴QC=DQ=， ∴CD=DQ+CQ=3+=， ∴平行四边形ABCD周长=2（DC+AD）=2×（+3）=15． 故答案为15． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. （1）计算： （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握运算法则和解一元一次不等式组的步骤． （1）代入特殊角的三角函数值，然后化简计算各数，再进行计算即可； （2）分别求每一个不等式的解集，再取解集的公共部分作为不等式组的解集． 【详解】解：（1） ； （2） 由①得； 由②得， ∴原不等式的解集为． 15. 某校组织学生积极参与各种科创活动，其中有四个生动的演示实验：（A）打印澄池实验；（B）水火箭演示实验；（C）机器人街舞实验；（D）纸质搭高承重实验．观看完后，该校随机选取部分学生对四个实验的喜爱情况做了抽样调查（每位同学选取一样最喜爱的实验），将调查情况制成了如下的条形统计图和扇形统计图： 请根据图中信息，回答下列问题： （1）共调查了________名学生，图2中A所对应的圆心角度数为________； （2）请补全条形统计图； （3）已知D组有三名男生，其余为女生，男生小志、女生小勤都在D组中，若从D组男生中随机抽取一位同学，再从D组女生中随机抽取一名同学，抽取的两人作为学校“我爱科创活动”演讲比赛的主持人，请用列表或画树状图的方法，求抽到小志和小勤的概率． 【答案】（1）， （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查条形统计图以及扇形统计图，列表法或树状图求概率，准确读出图表信息是解题的关键． （1）根据的人数以及所占百分比求出共调查的人数，求出A所对应的百分比即可求出圆心角的度数； （2）根据扇形统计图求出的人数，即可求出的人数，画出统计图即可； （3）D组有三名男生，即有两名女生，设除小志外的另外两名男生分别为，除小勤外的女生为，列出表格，根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：共调查了（人）， A所对应的圆心角度数为； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：组的人数为：（人）， 组人数为：（人）， 补全图形如下： 【小问3详解】 解：D组有三名男生，即有两名女生，设除小志外的另外两名男生分别为，除小勤外的女生为， 小志 小勤 小志 （小勤，小志） （，小志） （，小志） （，小志） 小勤 （小志，小勤） （，小勤） （，小勤） （，小勤） （小志，） （小勤，） （，） （，） （小志，） （小勤，） （，） （，） （小志，） （小勤，） （，） （，） 共有种情况，符合题意的有种情况， ． 16. 如图1是近几年热门的中小学生课桌椅，其椅子可实现坐直和躺睡两种状态，根据人体工学原理，当椅背与凳面在160度左右时，人体会感到舒适，可进一步提高学生午休的睡眠质量．如图2是该椅子在躺睡状态时的截面图：点E，F均在所在的直线上，若，凳面，凳面始终与地面平行，腿托，椅背，，，，请求出此时躺椅在地面的水平长度投影EF的长．（结果精确到；参考数据：，） 【答案】躺椅在地面的水平长度投影约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，平行线的性质，矩形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点A作，交其延长线于点G，过点B作于点T，根据题意可得四边形是矩形，利用平行线的性质得到，利用三角函数求出的长，根据，求出结果． 【详解】解：过点A作，交其延长线于点G，过点B作于点T， ∵凳面始终与地面平行，，， ∴G，A，B，T四点共线，四边形是矩形， ∴， ∵，， ， ∴， 在中，，， ， ， 又∵， ∴， 在中，，， ， ， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴躺椅在地面的水平长度投影约为． 17. 如图，是的直径，，分别与相切于点A，C，交的延长线于点D，交的延长线于点E． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据切线的性质得，，证得，进而得证； （2）连接，令交圆于点F，利用，可求出，再证明，根据相似三角形的性质和勾股定理即可求出，的长． 【小问1详解】 证明：∵，与分别相切于点A，C， ∴，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：连接，令交圆于点F， ∵，与分别相切于点A，C， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，，即， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线长定理，相似三角形的性质和判定，勾股定理的应用等知识点，能综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键，通过做此题培养了学生的分析问题和解决问题的能力． 18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，与坐标轴交于C、D两点，连接，的面积为1． （1）求反比例函数的解析式； （2）点P是线段的中点，直线向下平移个单位长度后，将的面积分成两部分，求b的值； （3）给出如下定义：只有一组邻边相等，且只有一组对角为直角的四边形，叫作“直角等补形”；设M为y轴负半轴上一点，N为平面内一点，当四边形是直角等补形时，求点M的坐标． 【答案】（1） （2）2 （3）点M的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）由直线求出点的坐标，过点作轴于点，由的面积为1可求出，把代入得，求出点A坐标，代入，求出即可； （2）联立方程组可得，，进而可得，直线的解析式为将直线向下平移个单位长度后得到直线，交y轴于F，交于H，交于G，过点B作交y轴于E，则，再由相似三角形性质即可求得答案； （3）运用新定义“直角等补形”，分两种情况：当时，当时，分别求得点M的坐标． 【小问1详解】 解：对于， 当时，， ∴， ∴, 过点作轴于点，如图， ∵的面积为1， ∴, ∴即点的横坐标为2， 把代入得， ∴， 把代入得，， ∴， ∴反比例函数解析式为； 小问2详解】 解：联立方程组得， 解得：，， ∴，， ∵P是线段的中点， ∴， ∴直线的解析式为， 将直线向下平移个单位长度后得到直线，交y轴于F，交于H，交于G，如图， 过点B作交y轴于E，则， ∵点P是的中点， ∴， ∵直线向下平移b个单位将的面积分成两部分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，代入， 得； 【小问3详解】 解：根据“四边形是直角等补形”可知：四边形中只有一组邻边相等，且只有一组对角为直角， 当时，如图，过点A、B分别作y轴、x轴的平行线交于点K，交y轴于L，则， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； 当时，如图，过点B作轴于L，则 ， ∴， ∴， ∴， ∵此时四边形是圆内接四边形，为直径， ∴根据圆的对称性有，即两组邻边相等，不符合题意； 当时，如图，过点A作轴，过点B作，轴于E，过点N作，轴于F，设， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：或（舍去）， ∴； 当时，如图，过点M作轴，过点B作，过点N作， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴； 当时，设， 如图，过点M作轴，过点B作轴于G，过点A作于D，过点N作于F，过点A作于E， 则，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴①， 同理，， ∴，即， ∴②， ∴， 整理得：③， ∵， ∴， 整理得：④， 联立③④，得：， 解得：（舍去）或（舍去）； 综上所述，点M的坐标为或或． 【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了一次函数的应用、反比例函数的应用、相似三角形的判定和性质、待定系数法、勾股定理等知识，熟练掌握新定义“直角等补形是解题的关键． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 如图，△ABC为等边三角形，D是△ABC内一点，若将△ABD经过旋转后到△ACP位置，则旋转角等于 _____度． 【答案】60 【解析】 【分析】根据题意由旋转的性质可得∠BAD=∠CAP，即可求∠BAC=∠DAP=60°，即可求解． 【详解】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC=60°， ∵将△ABD经过一次逆时针旋转后到△ACP的位置， ∴∠BAD=∠CAP， ∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=60°， ∴∠PAC+∠CAD=60°， ∴∠DAP=60°； 故旋转角度60度. 故答案为：60． 【点睛】本题考查旋转的性质，注意掌握变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变，两组对应点连线的交点是旋转中心． 20. 若，是方程的两个实数根，则代数式的值为________． 【答案】4051 【解析】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 将代入原方程，再结合根与系数的关系即可解决问题． 【详解】解：∵α，β是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 则 ， 故答案为：4051． 21. 定义：若一个矩形中，一组对边的两个三等分点在同一个反比例函数的图像上，则称这个矩形为“奇特矩形”．如图，在直角坐标系中，矩形ABCD是第一象限内的一个“奇特矩形”．且点，，则BC的长为______． 【答案】或9 【解析】 【分析】设BC=m，则D坐标为（4，1+m）、C（7，1+m），然后分反比例函数图象经过AB和CD的三等分点和经过AD和BC的三等分点求出结果． 【详解】解：设BC=m，则D坐标为（4，1+m）、C（7，1+m）， 因为反比例函数图象的一支在第一象限，故k＞0， （1）当反比例函数图象经过AB和CD的三等分点时， ∵k＞0, ∴反比例函数经过（5,m+1）和（6,1）, ∴k=5（m+1）=6×1， 解得m=； （2）当反比例函数图象经过AD和BC的三等分点时， ∵k＞0, ∴反比例函数经过（4,1+ ）和（7,1+）, ∴k=4（+1）=7×（1+）， 解得m=9； 故BC的长为或9； 故答案为或9． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征以及定义新运算，解决问题的关键是正确分类解决问题． 22. 定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若点D是斜边AB的中点，则CD＝AB，运用：如图2，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED连接BE，CE，DE，则CE的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据•BC•AH＝•AB•AC，可得AH＝，根据 AD•BO＝BD•AH，得OB＝，再根据BE＝2OB＝，运用勾股定理可得EC． 【详解】设BE交AD于O，作AH⊥BC于H． 在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3， 由勾股定理得：BC＝， ∵点D是BC的中点， ∴AD＝DC＝DB＝， ∵•BC•AH＝•AB•AC， ∴AH＝， ∵AE＝AB，DE＝DB， ∴点A在BE的垂直平分线上，点D在BE的垂直平分线上， ∴AD垂直平分线段BE， ∵AD•BO＝BD•AH， ∴OB＝， ∴BE＝2OB＝， ∵DE＝DB=CD， ∴∠DBE=∠DEB，∠DEC=∠DCE， ∴∠DEB+∠DEC=×180°=90°，即：∠BEC=90°， ∴在Rt△BCE中，EC＝ ＝． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查直角三角形的性质，勾股定理以及翻折的性质，掌握“直角三角形斜边长的中线等于斜边的一半”以及面积法求三角形的高，是解题的关键． 23. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝12，BC＝5，点D是半径为4的⊙A上一动点，点M是CD的中点，则BM的取值范围是______． 【答案】4.5≤BM≤8.5 【解析】 【分析】取AC中点N，连接MN，BN．利用直角三角形斜边中线的性质，三角形的中位线定理求出BN，MN，再利用三角形的三边关系即可解决问题． 【详解】解：如图，取AC的中点N，连接MN，BN． ∵∠ABC＝90°，AB＝12，BC＝5， ∴AC＝＝13， ∵AN＝NC， ∴BN＝AC＝6.5， ∵AN＝NC，DM＝MC， ∴MN＝AD＝2， ∴BN﹣MN≤BM≤BN+NM， ∴6.5﹣2≤BM≤6.5+2， ∴4.5≤BM≤8.5， 故答案为：4.5≤BM≤8.5． 【点睛】本题考查直角三角形斜边的中线的性质，三角形的中位线定理，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 春节期间，由“饺子”编剧并执导的奇幻动画电影《哪吒之魔童闹海》一上映就获得观众好评．某商家抓住商机，随即销售一种成本为每件20元的特色哪吒纪念品．经销售发现：当售价为每件30元时，每天可售出100件；售价每上涨2元，日销量就会减少4件；售价每下降1元，日销量就会增加5件．设该纪念品的售价为每件元（为整数且），每天的销售量为件． （1）求出与的函数关系式； （2）该纪念品售价定为多少元时，商家每天获得的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）； （2）当定价为50元时，商家每天获得的最大利润为1800元． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，掌握相关知识是解题的关键． （1）分情况列出一次函数关系式即可； （2）根据题意，求出每种情况的最大利润，再比较即可得出答案． 【小问1详解】 解：当时，每天的销量为， 当时，日销量为， ∴； 【小问2详解】 解：设商家获得利润为w元， 当时，则， 对称轴为， ，且x为整数，此时w随x的增大而增大， 故当时，则最大利润， 当时，则， 对称轴为， ，且x为整数，此时w随x的增大而增大， 当时，则最大利润， 综上所述：当定价为50元时，商家每天获得的利润最大，最大利润为1800元． 25. 如图，抛物线的图象经过点C(0，2)，交x轴于点A(﹣1，0)和B，连接BC，直线y＝kx+1与y轴交于点D，与BC上方的抛物线交于点E，与BC交于点F． （1）求抛物线的表达式及点B的坐标； （2）求的最大值及此时点E的坐标； （3）在（2）的条件下，若点M为直线DE上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），B(4，0) （2）2，(2，3) （3） 或或或 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法将点A，C的坐标代入求出抛物线解析式，再根据点B在x轴上，令y=0，即可求出点B的坐标； （2）由题意知，点E位于y轴右侧，作EGy轴交BC于点G，根据平行线截线段成比例可得，由于CD=1，即可将求的最大值转化为求EG的最大值，应用两点间距离公式即可； （3）设M(n，n+1)，用含m的代数式表示出BD，DM，BM，再根据以点B、D、M、N为顶点的四边形是菱形分两种情况：以BD为边，BD=DM或BD=BM；以BD为对角线；分别进行讨论即可． 【小问1详解】 解：设B，将A(-1，0)，C(0，2)代入中， 得 解得 ∴抛物线的解析式为 ∵点B在x轴上 ∴ 将代入得 ∴(不合题意，舍去) ∴B(4，0) 【小问2详解】 由题意得，点E在y轴右侧，作EGy轴交BC于点G，如图 ∴CDEG ∴ ∵直线y=kx+1与y轴交于点D ∴D(0，1) ∴CD=2-1=1 ∴ 设直线BC的解析式为y=mx+n(m≠0) 将B(4，0)，C(0，2)代入，得 解得 ∴设直线BC的解析式为 设点E(t，)，则G(t，)(0<t<4) ∴EG=()-()== ∴ ∵ ∴当t=2时，的值最大，最大值为2 ∴点E的坐标为(2，3) 【小问3详解】 设直线DE的解析式为y=kx+B，将D(0，1)，E(2，3)代入，得 解得 ∴直线DE的解析式为y=x+1 设M(n，n+1) ∴ ∵以点B、D、M、N为顶点的四边形是菱形 ∴分两种情况：BD为边和BD为对角线 ①BD为边 MN=DM=BD(如图1)或MN=BM=BD(如图2) ∴ 或 即 或 解得(舍去) ∴ 或或 ②BD为对角线，如图3 设BD的中点为Q，则Q(2，) ∵四边形BMDN是菱形 ∴MN⊥BD，QB=QD= ∴ 即 解得 ∴ 综上所求，点M的坐标为 或或或． 【点睛】本题考查了二次函数综合题型，待定系数法，菱形性质，平行线截线段成比例，勾股定理等知识点，综合性较强，有一定难度，熟练掌握待定系数法，二次函数图象和性质等相关知识，灵活运用数形结合思想，方程思想和分类讨论思想是解题关键． 26. 如图1，矩形ABCD中，点E为AB边上的动点（不与A，B重合），把沿DE翻折，点A的对应点为，延长交直线DC于点F，再把折叠，使点B的对应点落在EF上，折痕EH交直线BC于点H． （1）求证：； （2）如图2，直线MN是矩形ABCD的对称轴，若点恰好落在直线MN上，试判断的形状，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，点G为内一点，且，试探究DG，EG，FG的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）是等边三角形，见解析；（3）. 【解析】 【分析】(1)由折叠图形的性质可得，°从而可得，依据两个角对应相等的三角形相似可得； (2)由恰好落在直线MN上可知在EF的中点，由SAS易证，即可得， (3)将逆时针旋转到位置，由旋转的旋转将DG，EG，FG集中到中结合，可得为直角三角形，由勾股定理可得，即可证明， 【详解】(1)由折叠的性质可知：，，，， ． 又， ， ； (2)结论：是等边三角形，理由如下： 直线MN是矩形ABCD的对称轴， 点是EF的中点，即， 在和中 ， ， ，， 又，． ， ， 是等边三角形； (3)DG，EG，FG的数量关系是，理由如下： 由(2)可知是等边三角形；将逆时针旋转到位置，如解图(1)， ，，， 是等边三角形， ，， ， ， ， . 【点睛】本题考查翻折变换、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、矩形的性质等知识，熟练掌握并灵活运用相关知识是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $