学易金卷：高二数学上学期第三次月考（北师大版，范围：选择性必修第一册第1～5章）

■■■■ 情在各圈目的答题区域内作答，超出黑色电形边框限定区城的客美无效」 请在各题目的答思区域内作答，出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 2025-2026学年高二数学上学期第三次月考卷 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.(15分) 答题卡 15.(13分) 姓名 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码， 2.选择愿必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用 0.5m黑色签字笔答题.不得用加笔或园珠笔答 题：字体工整、笔迹清晰。 3,请按题号氟序在各题日的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效：在草稀纸、试圈卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4。保持卡面清洁，不要折叠，不要弄被 标记 5.正确填欲■ 一、选择题（每小题5分，共40分） [A][B][C][D] s [A][B][C][D] 2 [A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 3 [A][B][C][D] 7[AJ[B][C][D] [A][B][C][D] 8[A][B]IC][D] 选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 1o [A][B][C][D] 11[A][B][C][D) 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 13, 请在各避目的容覆区或内作答，超出黑色矩形边匡限定区域的答案无效！ 请在各题目的咨题区域内作答。超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答避区线内作答。随出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 数学第2页（共6页） 数学第3到（共6页） 情在各碧目的答避区域内作答，超出需色矩形边E限定区域的答案无效！ 请在各悲目的答思区域内作答，超出黑色矩形边：限定区城的答案无效！ 请在各思日的答题区域内作答，超出黑色地形边肛限定区城的答案无效1 17.(15分) 18.(17分) 19.(17分) 请在各题目的答圈区域内作答，超出黑色矩形边艇限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，望出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 请在各题目的答题区域内作答，是出黑色矩形边瓶限定区域的答案无效： 数学弟4页（共6页） 数学第5页（共6项 数学第6页（其6页） 2025-2026学年高二数学上学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版选择性必修第一册第一章~第五章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知双曲线经过点，则的虚轴长为（    ） A． B．2 C． D．1 2．直线经过两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角大小的2倍，则的斜率为（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，若，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 4．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次，且没有出现并列的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你没有得到冠军.”对乙说：“你虽然不是最差的，但你的名次没有甲的好.”从这两个回答分析，5人的名次排列情况的种数为（    ） A．12 B．18 C．27 D．36 5．已知椭圆E：的左、右焦点分别为，，焦距为2，过点且斜率不为0的直线与交于两点，若为的上顶点，且，则的方程为（   ） A． B． C． D． 6．已知直线分别与轴交于点，若直线上存在一点，使最小，则点的坐标为（　 　 ） A． B． C． D． 7．点P是正方体的表面及其围成的空间内一点，已知正方体的棱长为2，若，与平面所成的角为30°，则点P的轨迹的形状是（   ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 8．已知椭圆：的离心率为，左顶点是A，左、右焦点分别是，，是在第一象限上的一点，直线与的另一个交点为．若，则直线的斜率为（ ）． A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．若直线在轴上的截距为，则 C．若直线与直线垂直，则 D．若，则直线的倾斜角的取值范围为 10．已知，则（   ） A． B． C．除以5所得的余数是1 D． 11．已知抛物线的焦点为F，A，B都是上的动点，为坐标原点，线段的中点为，过作的准线的垂线，垂足为，则（    ） A．当为的重心时，轴 B．当时，的最大值为5 C．当时，的最小值为5 D．当时，直线AB的倾斜角为或 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若直线：与直线：平行，则与间的距离为 ． 13．如图，在正四棱锥中，，设平面与直线交于点，则 .    14．动点是两直线与的交点，过作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最大值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知二项式的展开式中各二项式系数之和比各项系数之和小240. (1)求的值及展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中的有理项． 16．（15分） 如图，在棱长为6的正方体中，是线段的中点，是线段上靠近的三等分点. (1)求与所成角的余弦值； (2)求点到直线的距离． 17．（15分） 已知圆的半径为3，圆心在射线上，直线被圆截得的弦长为. (1)求圆方程； (2)过圆心的直线与圆交于M、N两点，且的面积是6（为坐标原点），求直线的方程. ． 18．（17分） 如图，设双曲线的左顶点为点，直线与双曲线相交于A、B两点，且A、B两点均异于点. (1)求点的坐标，及双曲线的离心率； (2)若线段AB的中点为，求直线的方程； (3)若以线段AB为直径的圆恒过点，试判断直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 19．（17分） （新情景）在平面直角坐标系中，任何一条直线都可以用（其中）表示，给定一个点和一个方向，我们可以确定一条直线，例如：已知点在直线上，是直线的一个方向向量，则直线上任意一点满足，化简得直线的方程为．而在空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都可以表示成（其中，且），类似的，在空间中，给定一个点和一个平面的法向量也可以确定一个平面． (1)若点，求平面的方程； (2)求证：是平面的一个法向量； (3)已知某平行六面体，平面的方程为，平面经过点，平面的方程为，求平面与平面夹角的余弦值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高二数学上学期第三次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学上学期第三次月考卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A A B B A D C A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AB ACD ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）令，则展开式中各项系数之和为，各二项式系数和为， 则，解得，（3分） 展开式有5项，二项式系数最大的为第3项;（6分） （2）二项式的展开式的通项公式为，（8分） 令，且，解得，（10分） 则展开式中含的有理项有3项，分别为.（13分） 16．（15分） 【解析】（1）以为原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，则， 因为，则，（3分） 记直线所成角为， 故；（7分） （2）因为，则，故， 则点到直线的距离（15分） 17．（15分） 【解析】（1）设圆心，则圆的方程为 ， 或舍去， 圆的方程为.（6分） （2）由题意得，则点到直线的距离，（8分） ①当斜率不存在时，此时直线方程为， 原点到直线的距离为，满足题意. 此时直线方程为（11分） ②当斜率存在时，设直线l的方程为， 原点到直线l的距离，解得， 此时直线方程为，即.（14分） 综上所述，直线的方程为或.（15分） 18．（17分） 【解析】（1）由题可得：，， 所以双曲线C的左顶点为，双曲线的离心率为：.（3分） （2）由消去整理得，，（4分） 则，且， 设，则，（6分） 由为的中点，可得， 解得，满足，（8分） 所以直线的方程为，即.（9分） （3）由（2）知，．且， 则 ，（12分） 因以为直径的圆恒过点P，则有， 即，解得或，（14分） 当时，直线过，不符合题意； 当时，直线过定点， 所以直线过定点，该定点坐标为.（17分） 19．（17分） 【解析】（1）， 设是平面的一个法向量， 则令，得，所以．（2分） 设点是平面内任意一点，由，得， 所以平面的方程为．（5分） （2）记平面的方程为， 在平面上任取一条直线，直线上任取两点， 则有 因为， 所以．     所以，即垂直于平面上任意一条直线， 所以是平面的一个法向量．（10分） （3）， 设为平面的一个法向量，则令，得， 所以． 因为平面的方程为， 所以由（2）知平面的一个法向量为，（12分） 设直线的一个方向向量为，则 令，得，所以． 因为平面， 所以平面的一个法向量与直线的方向向量垂直， 所以，解得，所以．（15分） 所以平面与平面夹角的余弦值为．（17分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学上学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版选择性必修第一册第一章~第五章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知双曲线经过点，则的虚轴长为（    ） A． B．2 C． D．1 2．直线经过两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角大小的2倍，则的斜率为（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，若，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 4．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次，且没有出现并列的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你没有得到冠军.”对乙说：“你虽然不是最差的，但你的名次没有甲的好.”从这两个回答分析，5人的名次排列情况的种数为（    ） A．12 B．18 C．27 D．36 5．已知椭圆E：的左、右焦点分别为，，焦距为2，过点且斜率不为0的直线与交于两点，若为的上顶点，且，则的方程为（   ） A． B． C． D． 6．已知直线分别与轴交于点，若直线上存在一点，使最小，则点的坐标为（　 　 ） A． B． C． D． 7．点P是正方体的表面及其围成的空间内一点，已知正方体的棱长为2，若，与平面所成的角为30°，则点P的轨迹的形状是（   ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 8．已知椭圆：的离心率为，左顶点是A，左、右焦点分别是，，是在第一象限上的一点，直线与的另一个交点为．若，则直线的斜率为（ ）． A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．若直线在轴上的截距为，则 C．若直线与直线垂直，则 D．若，则直线的倾斜角的取值范围为 10．已知，则（   ） A． B． C．除以5所得的余数是1 D． 11．已知抛物线的焦点为F，A，B都是上的动点，为坐标原点，线段的中点为，过作的准线的垂线，垂足为，则（    ） A．当为的重心时，轴 B．当时，的最大值为5 C．当时，的最小值为5 D．当时，直线AB的倾斜角为或 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若直线：与直线：平行，则与间的距离为 ． 13．如图，在正四棱锥中，，设平面与直线交于点，则 .    14．动点是两直线与的交点，过作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最大值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知二项式的展开式中各二项式系数之和比各项系数之和小240. (1)求的值及展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中的有理项． 16．（15分） 如图，在棱长为6的正方体中，是线段的中点，是线段上靠近的三等分点. (1)求与所成角的余弦值； (2)求点到直线的距离． 17．（15分） 已知圆的半径为3，圆心在射线上，直线被圆截得的弦长为. (1)求圆方程； (2)过圆心的直线与圆交于M、N两点，且的面积是6（为坐标原点），求直线的方程. ． 18．（17分） 如图，设双曲线的左顶点为点，直线与双曲线相交于A、B两点，且A、B两点均异于点. (1)求点的坐标，及双曲线的离心率； (2)若线段AB的中点为，求直线的方程； (3)若以线段AB为直径的圆恒过点，试判断直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 19．（17分） （新情景）在平面直角坐标系中，任何一条直线都可以用（其中）表示，给定一个点和一个方向，我们可以确定一条直线，例如：已知点在直线上，是直线的一个方向向量，则直线上任意一点满足，化简得直线的方程为．而在空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都可以表示成（其中，且），类似的，在空间中，给定一个点和一个平面的法向量也可以确定一个平面． (1)若点，求平面的方程； (2)求证：是平面的一个法向量； (3)已知某平行六面体，平面的方程为，平面经过点，平面的方程为，求平面与平面夹角的余弦值． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学上学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版选择性必修第一册第一章~第五章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知双曲线经过点，则的虚轴长为（    ） A． B．2 C． D．1 1．【答案】A 【解析】由点在双曲线上，得，解得，即双曲线方程为，所以，则的虚轴长为． 故选：A． 2．直线经过两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角大小的2倍，则的斜率为（    ） A． B． C． D． 2．【答案】A 【解析】因为的倾斜角满足，，所以解得， 所以的倾斜角为，其斜率． 故选：A． 3．已知向量，若，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．【答案】B 【解析】因为，所以， 又因为，所以， 解得： 故选：B. 4．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次，且没有出现并列的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你没有得到冠军.”对乙说：“你虽然不是最差的，但你的名次没有甲的好.”从这两个回答分析，5人的名次排列情况的种数为（    ） A．12 B．18 C．27 D．36 4.【答案】B 【解析】由题意可知共有乙得第4名和乙得第3名两种情况： 当乙得第4名，有种可能； 当乙得第3名，有种可能， 故共有种，故B正确. 故选：B. 5．已知椭圆E：的左、右焦点分别为，，焦距为2，过点且斜率不为0的直线与交于两点，若为的上顶点，且，则的方程为（   ） A． B． C． D． 5.【答案】A 【解析】由题知，，，设，由， 所以，即，得，． 由在椭圆上，得，得， 因为，所以， 故E：． 故选：A. 6．已知直线分别与轴交于点，若直线上存在一点，使最小，则点的坐标为（　 　 ） A． B． C． D． 6.【答案】D 【解析】令得，令得，所以， 如图，点在直线的同侧， 设关于直线的对称点为， 则，解得，即， 所以，若最小，即最小， 当三点共线时最小，即最小， 此时，，直线的方程为， 由得，即. 故选：D.    7．点P是正方体的表面及其围成的空间内一点，已知正方体的棱长为2，若，与平面所成的角为30°，则点P的轨迹的形状是（   ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 7.【答案】C 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，设， 则，，所以，， 故，即，所以点在面（四点均为所在边的中点）， 过点作于点，易知面， 即，所以，即， 化简得：，即点P的轨迹的形状是双曲线， 故选：C. 8．已知椭圆：的离心率为，左顶点是A，左、右焦点分别是，，是在第一象限上的一点，直线与的另一个交点为．若，则直线的斜率为（ ）． A． B． C． D． 8．【答案】A 【解析】 因为离心率为，故可设，故， 故椭圆方程为：， 而，，故，因，故. 故直线与轴不垂直也不重合， 故可设，，，则， 由可得， 因在椭圆内部，故恒成立，且， 故，因，故， 此时，， 故在第一象限，符合条件，的斜率为， 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．若直线在轴上的截距为，则 C．若直线与直线垂直，则 D．若，则直线的倾斜角的取值范围为 9.【答案】AB 【解析】直线，令即，得， 所以直线恒过定点，故A正确； 若直线在轴上的截距为，则直线过点，代入直线方程得， 解得，故B正确； 若直线与直线垂直，则，解得，故C不正确； 设直线的倾斜角为，则， 又，所以由正切函数的单调性可知，故D不正确； 故选：AB. 10．已知，则（   ） A． B． C．除以5所得的余数是1 D． 10.【答案】ACD 【解析】选项A，因为， 令，得到，所以选项A正确； 选项B，因为二项展开式的通项公式为（，）， 由通项公式知，二项展开式中偶数项的系数为负数， 所以， 由，令，得到， 令，得到， 所以，所以选项B错误； 选项C，因为， 所以除以5所得的余数是1，选项C正确； 对于选项D，令，得到， 所以选项D正确. 故选：ACD. 11．已知抛物线的焦点为F，A，B都是上的动点，为坐标原点，线段的中点为，过作的准线的垂线，垂足为，则（    ） A．当为的重心时，轴 B．当时，的最大值为5 C．当时，的最小值为5 D．当时，直线AB的倾斜角为或 11.【答案】ACD 【解析】 设的焦点为， 当为的重心时，由重心坐标公式得，得， 则A，B两点关于轴对称，所以轴，A正确； 分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别为， 当时，， 则，所以的最小值为5，所以B错误，C正确； 当且点在第一象限时，设，则， 过点作，垂足为， 则， 则，则，从而直线AB的倾斜角为； 当且点在第一象限时，同理可得直线AB的倾斜角为，D正确. 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若直线：与直线：平行，则与间的距离为 ． 12.【答案】 【解析】，，即， 当时，与重合，不合题意，， 所以两直线方程为与， 与间的距离． 故答案为：. 13．如图，在正四棱锥中，，设平面与直线交于点，则 .    13.【答案】 【解析】因为， 因为，所以， 所以，又， 所以，所以，因为共面， 所以，解得. 故答案为：. 14．动点是两直线与的交点，过作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最大值为 . 14.【答案】 【解析】圆的几何性质可知，， 四边形的面积为，， 所以 直线，过定点，直线过定点， 且两直线的系数满足，所以， 所以点的轨迹是以为直径的圆，圆心是，半径为， 所以的最大值为， 所以的最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知二项式的展开式中各二项式系数之和比各项系数之和小240. (1)求的值及展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中的有理项． 15．（13分） 【解析】（1）令，则展开式中各项系数之和为，各二项式系数和为， 则，解得， 展开式有5项，二项式系数最大的为第3项; （2）二项式的展开式的通项公式为， 令，且，解得， 则展开式中含的有理项有3项，分别为. 16．（15分） 如图，在棱长为6的正方体中，是线段的中点，是线段上靠近的三等分点. (1)求与所成角的余弦值； (2)求点到直线的距离． 16．（15分） 【解析】（1）以为原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，则， 因为，则， 记直线所成角为， 故； （2）因为，则，故， 则点到直线的距离 17．（15分） 已知圆的半径为3，圆心在射线上，直线被圆截得的弦长为. (1)求圆方程； (2)过圆心的直线与圆交于M、N两点，且的面积是6（为坐标原点），求直线的方程. 17．（15分） 【解析】（1）设圆心，则圆的方程为 ， 或舍去， 圆的方程为. （2）由题意得，则点到直线的距离， ①当斜率不存在时，此时直线方程为， 原点到直线的距离为，满足题意. 此时直线方程为 ②当斜率存在时，设直线l的方程为， 原点到直线l的距离，解得， 此时直线方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 18．（17分） 如图，设双曲线的左顶点为点，直线与双曲线相交于A、B两点，且A、B两点均异于点. (1)求点的坐标，及双曲线的离心率； (2)若线段AB的中点为，求直线的方程； (3)若以线段AB为直径的圆恒过点，试判断直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 18．（17分） 【解析】（1）由题可得：，， 所以双曲线C的左顶点为，双曲线的离心率为：. （2）由消去整理得，， 则，且， 设，则， 由为的中点，可得， 解得，满足， 所以直线的方程为，即. （3）由（2）知，．且， 则 ， 因以为直径的圆恒过点P，则有， 即，解得或， 当时，直线过，不符合题意； 当时，直线过定点， 所以直线过定点，该定点坐标为. 19．（17分） （新情景）在平面直角坐标系中，任何一条直线都可以用（其中）表示，给定一个点和一个方向，我们可以确定一条直线，例如：已知点在直线上，是直线的一个方向向量，则直线上任意一点满足，化简得直线的方程为．而在空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都可以表示成（其中，且），类似的，在空间中，给定一个点和一个平面的法向量也可以确定一个平面． (1)若点，求平面的方程； (2)求证：是平面的一个法向量； (3)已知某平行六面体，平面的方程为，平面经过点，平面的方程为，求平面与平面夹角的余弦值． 19．（17分） 【解析】（1）， 设是平面的一个法向量， 则令，得，所以． 设点是平面内任意一点，由，得， 所以平面的方程为． （2）记平面的方程为， 在平面上任取一条直线，直线上任取两点， 则有 因为， 所以．     所以，即垂直于平面上任意一条直线， 所以是平面的一个法向量． （3）， 设为平面的一个法向量，则令，得， 所以． 因为平面的方程为，所以由（2）知平面的一个法向量为，                             设直线的一个方向向量为，则 令，得，所以． 因为平面， 所以平面的一个法向量与直线的方向向量垂直， 所以，解得，所以． 所以平面与平面夹角的余弦值为． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $