精品解析：安徽省合肥市第一中学2025-2026学年高一上学期期中数学试题

合肥一中2025级高一上学期期中教学质量测评 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名､准考证号和座位号后两位． 2．答题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．答题时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整､笔迹清晰．作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚．必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上答题无效． 4．考试结束，务必将答题卡和答题卷一并上交． 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 使“”成立的必要不充分条件是（ ） A. B. 或 C. D. 或 3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 如图为函数的图象，则的图象是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则图象上关于原点对称的点有（ ） A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 8. 已知正实数，满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 命题，则命题的否定是： B. ，则的最大值为1 C. 定义在上的函数为奇函数的充分条件是 D. “且”是“”的充分不必要条件 10. 下列命题是真命题的为（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知定义在上的函数满足：，且，，则下列说法正确的是（ ）（注：分别表示对应函数的平方） A. B. C. 为奇函数 D. 的图象关于点对称 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若集合中只有一个元素，则满足条件的实数为____ 13. ______． 14. 已知偶函数的定义域为，已知当时，，若，则的解集为______. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 设集合． （1）若，求实数的取值范围； （2）若存在实数，使得与可以同时成立，求实数的取值范围． 16. 我国某企业计划在2025年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万元，且年产量（单位：千部）与另投入成本（单位：万元）的关系式为，由市场调研知，每部手机售价为0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完. （1）求2025年的利润（单位：万元）关于年产量（单位：千部）的函数关系式（利润=销售额－成本）； （2）当2025年年产量为多少时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 17. 已知幂函数在定义域上不单调． （1）求函数的解析式； （2）函数是否具有奇偶性？请说明理由； （3）若，求实数的取值范围． 18. 已知函数是定义在上的奇函数且 （1）求函数的解析式； （2）判断函数的单调性；并利用单调性定义证明你的结论； （3）设，当，使得成立，试求实数的所有可能取值. 19. 定义在D上的函数，如果满足：存在常数，对任意，都有成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界. （1）判断函数是否是上的有界函数并说明理由； （2）已知函数，若函数在上是以4为上界的有界函数，求实数a的取值范围； （3）若，函数在区间上是否存在上界，若存在，求出的取值范围，若不存在请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 合肥一中2025级高一上学期期中教学质量测评 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名､准考证号和座位号后两位． 2．答题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．答题时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整､笔迹清晰．作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚．必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上答题无效． 4．考试结束，务必将答题卡和答题卷一并上交． 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出两集合，再根据交集和补集的含义即可得到答案. 【详解】， 或， 则，则. 故选：D. 2. 使“”成立的必要不充分条件是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式不等式的解法，求得，结合选项，即可求解. 【详解】由不等式，即，解得， 结合选项，可得不等式成立的必要不充分条件是. 故选：C. 3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复合函数定义域和具体函数的定义域求法，即可列式求解. 【详解】函数的定义域满足不等式,解得且, 则函数的定义域为; 故选：A 4. 如图为函数的图象，则的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意利用特殊值排除法可得答案. 【详解】当时，则， 由函数图象，时，， 所以的图象经过点，结合选项可排除A,B,C. 故选：D. 5. 已知函数，满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由条件可得在上单调递减，列出不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为对任意，当时，都有成立， 所以在上单调递减， 则，即，所以. 即实数的取值范围是. 故选：A 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用作差法，结合已知数据，即可比较大小. 【详解】∵， ∴，∴； 又， ∴，又均为正数， ∴，∴， ∴. 故选：A. 7. 已知函数，则图象上关于原点对称的点有（ ） A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 【答案】C 【解析】 【分析】作出的图象，再作出函数关于原点对称的图象，进而数形结合判断即可. 【详解】作出的图象，再作出函数关于原点对称的图象如图所示. 因为函数关于原点对称的图象与图象有三个交点， 故图象上关于原点对称的点有3对. 故选：C 8. 已知正实数，满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分离常数后整理化简转化为求的最小值，由,利用“乘1法”转换变形后，利用基本不等式可得. 【详解】由正实数，满足，所以，. ， 当且仅当，结合已知求解得当，时等号成立. 所以的最小值为. 故答案为：C. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 命题，则命题的否定是： B. ，则的最大值为1 C. 定义在上的函数为奇函数的充分条件是 D. “且”是“”的充分不必要条件 【答案】AD 【解析】 【分析】特称命题的否定需要特称改全称，结果变否定，判断A选项；举反例即可判断B选项；充分必要条件的判定：，则是的充分条件；，则是的必要条件条件；判断C，D选项. 【详解】A选项：命题，则命题的否定是，A选项正确； B选项：举例，满足，但是该函数最大值为0，并不是1，故B错误； C选项：在0处函数值为0的函数不一定是奇函数，例如，所以充分性不成立，C选项错误； D选项：当且时，成立，满足充分条件； 当时，且不成立，例如，，故不是且的必要条件； 所以“且”是“”的充分不必要条件，D选项正确. 故选：AD. 10. 下列命题是真命题的为（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A、C、D：根据不等式的性质结合作差法逐项判断，对B：根据幂函数的单调性判断. 【详解】对A：若，则，所以，A正确； 对B：在上单调递增，若，则，即，B正确； 对C， ， 若，则， ，即，C错误. 对D：， 当且仅当，即时，等号成立，则成立，D正确； 故选：ABD. 11. 已知定义在上的函数满足：，且，，则下列说法正确的是（ ）（注：分别表示对应函数的平方） A. B. C. 为奇函数 D. 的图象关于点对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】取可知A正确；取，结合A中式子可知B错误；令可求得为偶函数，分别令、可证得D正确；取，，结合D的结论可证得C正确. 【详解】对于A，取，则，A正确； 对于B，若恒成立，则，恒成立，显然不合题意， 不恒等于， 令，则，，故B错误； 对于D，将代入A中式子可得：，即，， 令，则，即， 为定义在上的偶函数，； 令，则， 令，则，即， ，的图象关于点对称，D正确； 对于C，取，，则， 由D知：，， 为奇函数，C正确. 故选：ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若集合中只有一个元素，则满足条件的实数为____ 【答案】或 【解析】 【分析】分与进行讨论即可得. 【详解】当时，，则，故，符合要求； 当时，，令，解得； 综上所述：满足条件的实数为或. 故答案为：或. 13. ______． 【答案】 【解析】 【分析】根据对数运算法则和性质即可计算. 【详解】 . 故答案为：. 14. 已知偶函数的定义域为，已知当时，，若，则的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】由，可得，令，从而可得出函数在上得单调性，再判断函数的奇偶性，结合，求得，而所求不等式可化为，再根据函数的单调性和奇偶性列出不等式即可得出答案. 【详解】解：当时，由， 得， 令，当时，， 则， 所以函数在上递减， 因为函数为偶函数，所以， 则， 所以函数也是偶函数， 因为，所以， 不等式可化为， 即， 所以，解得， 所以的解集为. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 设集合． （1）若，求实数的取值范围； （2）若存在实数，使得与可以同时成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）先得出，然后按照是否为空集分类讨论； （2）根据题意，可将问题转化成的讨论，再利用正难则反的思想，先计算出的范围，再求其补集即可. 【小问1详解】 ， 根据可知，，有两种情况： 若，则，解得； 若，根据可得，解得. 综上可得，实数的取值范围为. 【小问2详解】 若存在实数x，使同时成立，即， 考虑正难则反，先求，有两种情况： 若，则，解得； 若且时，则有，解得， 或，解得， 综上可得当时，或， 则当时，. 则实数的取值范围. 16. 我国某企业计划在2025年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万元，且年产量（单位：千部）与另投入成本（单位：万元）的关系式为，由市场调研知，每部手机售价为0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完. （1）求2025年的利润（单位：万元）关于年产量（单位：千部）的函数关系式（利润=销售额－成本）； （2）当2025年年产量为多少时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）； （2）当2025年年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是8250万元. 【解析】 【分析】（1）利用收入减去另投入成本和固定成本即可得利润函数； （2）利用分段函数思想来求每一段函数的最大值，然后再判断此函数的最大值即可. 【小问1详解】 当时，， 当时，， 所以. 【小问2详解】 当时，， 当时，万元， 当时，，当且仅当，即时等号成立，万元. 即当2025年年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是8250万元. 17. 已知幂函数在定义域上不单调． （1）求函数的解析式； （2）函数是否具有奇偶性？请说明理由； （3）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）奇函数，理由如下： 函数的定义域关于原点对称， 且， ∴函数为奇函数. （3）. 【解析】 【分析】（1）由幂函数的定义可得或，结合函数的单调性验证得解. （2）结合奇函数和偶函数的定义，判断函数的奇偶性； （3）利用奇函数的性质化简不等式，再结合函数的单调性通过讨论化简不等式求其解. 【小问1详解】 由幂函数，得，解得或， 若，则在定义域内单调递增，不合题意； 若，则在定义域内单调递减， 但在定义域内不单调，符合题意； 所以函数的解析式为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由及为奇函数， 得， 即， 而在上递减且恒负，在上递减且恒正， 所以或或，解得或， 所以实数的取值范围. 18. 已知函数是定义在上的奇函数且 （1）求函数的解析式； （2）判断函数的单调性；并利用单调性定义证明你的结论； （3）设，当，使得成立，试求实数的所有可能取值. 【答案】（1） （2） 函数在上增函数，证明如下： 设，且， 则， 又，所以，因为，所以， 所以，则， 故函数在上增函数； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用题给条件列出关于a、b的方程，解之即可求得a、b的值，进而得到函数的解析式； （2）利用函数单调性定义去证明函数在上为增函数； （3）利用函数在上为增函数，构造关于实数的不等式，解之即可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 由在上的奇函数， 所以，则，则 由，得，所以.经检验符合题意； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ，使得成立， 即，使得成立， 即， ∵，即， 使得成立， ，使得， 即，且， 即且， 当时，， 即且，解得：. 19. 定义在D上的函数，如果满足：存在常数，对任意，都有成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界. （1）判断函数是否是上的有界函数并说明理由； （2）已知函数，若函数在上是以4为上界的有界函数，求实数a的取值范围； （3）若，函数在区间上是否存在上界，若存在，求出的取值范围，若不存在请说明理由． 【答案】（1）是上的有界函数，理由如下： 当时，， 当时，， 由对勾函数性质得或， 或， 或， ∴的值域为，， ∴存在，使得， 所以是上的有界函数； （2） （3）存在，当时，； 当时，. 【解析】 【分析】（1）考虑和两种情况，结合对勾函数性质得到函数值域，进而得到，存在，使得，证明出是上的有界函数； （2）由题意可知在上恒成立，变形得到，换元后根据函数单调性得到答案； （3）分离常数，得到函数单调性，故，分和两种情况，得到答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意可知在上恒成立， ，， 即， ∴在上恒成立， ∴． 设，，， 由，得． ∵在上单调递减，在上是单调递增， ∴在上，，． 所以，实数a的取值范围是. 【小问3详解】 ， ∵，， ∴在上递增， 根据复合函数的单调性可得在上递减， ∴， ∴h(x)存在上界. ①若，两边平方整理得， 即时，；此时，即， ②若，两边平方整理得， 即时，；此时，即， 综上，当时，； 当时，. 【点睛】函数新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念和性质. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $