湖北省武汉市2025年九年级数学中考复习测试卷 (1)

湖北省武汉市2025年九年级数学中考复习测试卷 一．选择题（共10小题，满分24分） 1．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）下列说法正确的是（　　） A．“没有水分，种子发芽”是随机事件 B．“在同一年出生的13名学生中，至少有2人出生在同一个月”是必然事件 C．“买一张电影票，座位号是奇数号”是确定事件 D．“抛掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是6”是不可能事件 3．如图是一个空心圆柱体，其主视图是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）2025年2月12日，中国载人航天工程办公室宣布，载人月球探测任务的登月服命名为“望字”．已知月球距离地球的距离约为384000km，将384000用科学记数法表示为（　　） A．3.84×105 B．384×103 C．3.84×103 D．0.384×106 5．（3分）下列计算中，不正确的是（　　） A．a5•a3＝a8 B．5a﹣3a＝2 C．a7÷a4＝a3 D．（ab）3＝a3b3 6．（3分）火车匀速通过隧道时，火车在隧道内的长度y（米）与火车行驶时间x（秒）之间的关系用图象描述如图所示，有下列结论：①火车的速度为30米/秒；②火车的长度为100米；③火车整体都在隧道内的时间为30秒；④隧道长度为1200米．正确的结论是（　　） A．①②③ B．①③ C．①④ D．③④ 7．（3分）如图所示，现有四张背面完全相同的扑克牌，将这四张扑克牌背面朝上洗匀．从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的三张牌中随机抽取一张，则抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的概率为（　　） A． B． C． D． 8．（3分）已知一张三角形纸片ABC（如图甲），其中AB＝AC．将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到AB边上的E点处，折痕为BD（如图乙）．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为EF（如图丙）．原三角形纸片ABC中，∠ABC的大小为（　　） A．60° B．72° C．36° D．90° 9．（3分）如图，AC、BD为⊙O的两条弦，AC⊥BD于点H，连接AD、BC，若∠DBC＝15°，⊙O的半径为6，则劣弧的长为（　　） A．12π B．10π C．6π D．5π 10．（3分）如图，点A、B、C在⊙O上，且AB经过点O，AB＝13，BC＝5，动点D在AB上，过点D作DE⊥AB，交折线A﹣C﹣B于点E，设AD＝x，△ADE的面积为y，则下列能大致反映y与x函数关系的图象是（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共6小题，满分12分） 11．（3分）　 　 既不是正数也不是负数． 12．（3分）“数形结合”就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来进行研究的数学思想．结合函数的图象，当y＜3时，x的取值范围为 　 　 ． 13．分式方程的解为　 　 ． 14．（3分）如图，无人机飞到某大桥桥面AB的正上方，与桥面AB相距600米的点C处悬停，此时测得A，B的俯角分别为30°和45°，则桥面AB的长是 　 　 米．，结果保留整数） 15．（3分）我国古建筑的屋顶结构设计融合实用功能、艺术美学于一体，既利于排水采光，又形成灵动曲线，是中华工匠智慧的立体结晶．如图，某古建筑屋顶的人字架是等腰三角形，AB＝AC，AD⊥BC，若跨度BC＝24尺，上弦AB＝15尺，则中柱AD的长　 　 尺． 16．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点为B，对称轴为直线x＝1．下列四个结论： ①3a+b＜0； ②过点（0，c﹣a）平行于x轴的直线与抛物线有唯一的公共点； ③若a＞0，关于x的不等式a（x+1）2+b（x+1）＜0的解集为﹣1＜x≤1； ④若a＜0，点P（t，y1），Q（t﹣1，y2）在该抛物线上，当实数t，y1＞y2． 其中正确的结论是 　 　 ． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（8分）解不等式组． 18．（8分）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，BD∥AC，点E为AB上一点，且AE＝BD，连接AD，EC，求证：AD＝EC． 19．（8分）为让学生了解“大别山红色革命史”，立德中学拟举办主题为“赓续大别山红色革命史”的知识竞赛活动．九年级在一班和二班进行了预赛，两个班参加比赛的人数相同，成绩分为A，B，C，D四个等级，其等级对应的分值分别为100分、90分、80分、70分，将这两个班学生的最后等级成绩分析整理绘制成了如图所示的统计图． （1）这次预赛中，一班参加比赛的人数为 　 　 人，二班成绩在B等及以上的有 　 　 人； （2）分别计算这次预赛中一班成绩的平均数及二班成绩的中位数和众数； （3）已知两个班参加预赛学生成绩的方差分别为s2一班＝78.75，s二班2＝74，从平均数、众数、方差中任选一个量，结合九年级一班和二班预赛成绩，解释其在本题中的意义． 20．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点D，将△CDB沿BC．所在的直线翻折，得到△CEB，点D的对应点为E，延长EC交BA的延长线于点F． （1）求证：CF是⊙O的切线． （2）若sin∠CFB，AB＝4，求图中阴影部分的面积． 21．（8分）如图是2×3的正方形网格，△ABC的顶点都在格点上，按下列要求画图． （1）在图1中画△DEF，使△DEF与△ABC关于某条直线成轴对称； （2）在图2中画△GHP，使△GHP与△ABC关于某点成中心对称． 22．（10分）东莞“启航文化”公司设计生产一种学生毕业纪念册，并投放市场，已知制造成本为18元/件．经过市场调查发现，销售单价为32元时，每月的销售量为36（万件）；销售单价为24元时，每月的销售量为52（万件）；如果每月的销售量y（万件）与销售单价x（元/件）成一次函数关系． （1）求每月销售量y（万件）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式； （2）根据市场监管部门规定，这种产品的销售利润率不能高于50%，同时厂家要求这种产品每月的制造成本不能超过900万元．当销售单价为多少元时，厂家每月能获得最大利润？最大利润是多少？ 23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D是射线BC上的动点（不与点B，C重合），连接AD，过点D在AD左侧作DE⊥AD，使AD＝kDE，连接AE，点F，G分别是AE，BD的中点，连接DF，FG，BE． （1）如图1，点D在线段BC上，且点D不是BC的中点，当α＝90°，k＝1时，AB与BE的位置关系是 　 　 ，　 　 ． （2）如图2，点D在线段BC上，当α＝60°，k时，求证：BC+CD＝2FG． （3）当α＝60°，k时，直线CE与直线AB交于点N，若BC＝6，CD＝5，请直接写出线段CN的长． 24．（12分）在平面直角坐标系中，若点P的坐标为（m，n），点Q的坐标为（4﹣n，4﹣m），那么称点Q是点P的“相关点”． 例如，点P（3，0）的“相关点”点Q的坐标为（4，1）． （1）当m＝2时，反比例函数的图象经过点P，则点P的“相关点”点Q的坐标是　 　 ； （2）点P的“相关点”点Q的坐标为（5，2），一次函数y＝2x﹣b的图象经过点Q，与x轴交于点M，求证MP＝MQ； （3）抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（4，0）和点O（0，0）．点Q是点P的“相关点”，若m＝2，直线AQ与抛物线交于点C，，求n的值． 湖北省武汉市2025年九年级数学中考复习测试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B D A． B C A B D D 一．选择题（共10小题，满分24分） 1．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【考点】轴对称图形．版权所有 【分析】根据轴对称图形的定义解答即可． 【解答】解：A、图形不是轴对称图形，不符合题意； B、图形不是轴对称图形，不符合题意； C、图形不是轴对称图形，不符合题意； D、图形是轴对称图形，符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查的是轴对称图形的定义，熟知如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形是解决问题的关键． 2．（3分）下列说法正确的是（　　） A．“没有水分，种子发芽”是随机事件 B．“在同一年出生的13名学生中，至少有2人出生在同一个月”是必然事件 C．“买一张电影票，座位号是奇数号”是确定事件 D．“抛掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是6”是不可能事件 【考点】随机事件．版权所有 【分析】事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的；在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件；据此进行判断即可． 【解答】解：“没有水分，种子发芽”是不可能事件，则A不符合题意， “在同一年出生的13名学生中，至少有2人出生在同一个月”是必然事件，则B符合题意， “买一张电影票，座位号是奇数号”是随机事件，则C不符合题意， “抛掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是6”是随机事件，则D不符合题意， 故选：B． 【点评】本题考查随机事件，熟练掌握其定义是解题的关键． 3．如图是一个空心圆柱体，其主视图是（　　） A． B． C． D． 【考点】简单组合体的三视图．版权所有 【分析】找到从前面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 【解答】解：从前面观察物体可以发现：它的主视图应为矩形， 又因为该几何体为空心圆柱体，故中间的两条棱在主视图中应为虚线， 故选：D． 【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图；注意看得到的棱画实线，看不到的棱画虚线． 4．（3分）2025年2月12日，中国载人航天工程办公室宣布，载人月球探测任务的登月服命名为“望字”．已知月球距离地球的距离约为384000km，将384000用科学记数法表示为（　　） A．3.84×105 B．384×103 C．3.84×103 D．0.384×106 【考点】科学记数法—表示较大的数．版权所有 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：384000＝3.84×105． 故选：A． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 5．（3分）下列计算中，不正确的是（　　） A．a5•a3＝a8 B．5a﹣3a＝2 C．a7÷a4＝a3 D．（ab）3＝a3b3 【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．版权所有 【分析】A．根据同底数幂相乘法则进行计算，然后判断即可； B．根据合并同类项法则进行计算，然后判断即可； C．根据同底数幂相除法则进行计算，然后判断即可； D．根据积的乘方法则进行计算，然后判断即可． 【解答】解：A．∵a5•a3＝a8，∴此选项的计算正确，故此选项不符合题意； B.5a﹣3a＝2a，∴此选项的计算不正确，故此选项符合题意； C．∵a7÷a4＝a3，∴此选项的计算正确，故此选项不符合题意； D．∵（ab）3＝a3b3，∴此选项的计算正确，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握同底数幂的乘除法则、合并同类项法则和积的乘方法则 6．（3分）火车匀速通过隧道时，火车在隧道内的长度y（米）与火车行驶时间x（秒）之间的关系用图象描述如图所示，有下列结论：①火车的速度为30米/秒；②火车的长度为100米；③火车整体都在隧道内的时间为30秒；④隧道长度为1200米．正确的结论是（　　） A．①②③ B．①③ C．①④ D．③④ 【考点】函数的图象．版权所有 【分析】根据函数的图象即可确定在BC段，所用的时间是5秒，路程是150米，则速度是30米/秒，进而即可确定其它答案． 【解答】解：由题意可知： 在BC段，所用的时间是5秒，路程是150米，则速度是30米/秒．故①正确； 火车的长度是150米，故②错误； 整个火车都在隧道内的时间是：45﹣5﹣5＝35（秒），故③错误； 隧道长是：40×30＝1200（米），故④正确． 故正确的是：①④． 故选：C． 【点评】本题主要考查了用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决． 7．（3分）如图所示，现有四张背面完全相同的扑克牌，将这四张扑克牌背面朝上洗匀．从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的三张牌中随机抽取一张，则抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的概率为（　　） A． B． C． D． 【考点】列表法与树状图法；概率公式．版权所有 【分析】画树状图，得出共有12种等可能的情况，其中抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的结果有2种，再由概率公式求解即可．解题的关键是掌握：树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；当事件中涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，用表格不重不漏地列出所有可能的结果，这种方法叫列表法．解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验，计算概率的公式为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 【解答】解：由题意画树状图如下， ∴从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的三张牌中随机抽取一张一共有12种可能的结果，抽取的两张牌的牌面数字恰好相同的结果共有方6和黑6或黑6和方6共2种结果， ∴抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的概率为． 故选：A． 【点评】本题考查概率公式和画树状图法求概率或或，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率． 8．（3分）已知一张三角形纸片ABC（如图甲），其中AB＝AC．将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到AB边上的E点处，折痕为BD（如图乙）．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为EF（如图丙）．原三角形纸片ABC中，∠ABC的大小为（　　） A．60° B．72° C．36° D．90° 【考点】翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的性质．版权所有 【分析】由AB＝AC，得∠ABC＝∠C，由折叠得∠BED＝∠C，∠EDF＝∠A，则∠ABC＝∠C＝∠BED＝∠EDF+∠A＝2∠A，所以2∠A+2∠A+∠A＝180°，求得∠A＝36°，则∠ABC＝72°，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C， 由折叠得∠BED＝∠C，∠EDF＝∠A， ∴∠BED＝∠EDF+∠A＝2∠A， ∴∠ABC＝∠C＝2∠A， ∵∠ABC+∠C+∠A＝180°， ∴2∠A+2∠A+∠A＝180°， ∴∠A＝36°， ∴∠ABC＝2∠A＝72°， 故选：B． 【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、轴对称的性质、三角形内角和定理等知识，证明∠ABC＝∠C＝2∠A是解题的关键． 9．（3分）如图，AC、BD为⊙O的两条弦，AC⊥BD于点H，连接AD、BC，若∠DBC＝15°，⊙O的半径为6，则劣弧的长为（　　） A．12π B．10π C．6π D．5π 【考点】弧长的计算；勾股定理；垂径定理；圆周角定理．版权所有 【分析】连接OB，先求出∠ACB的度数，再根据圆周角定理得出∠AOB的度数，最后根据弧长的计算公式即可解决问题． 【解答】解：连接OB， ∵AC⊥BD，∠DBC＝15°， ∴∠ACB＝75°， ∴∠AOB＝2∠ACB＝150°． 又∵⊙O的半径为6， ∴劣弧的长为． 故选：D． 【点评】本题主要考查了弧长的计算、勾股定理、垂径定理及圆周角定理，熟知圆周角定理及弧长的计算公式是解题的关键． 10．（3分）如图，点A、B、C在⊙O上，且AB经过点O，AB＝13，BC＝5，动点D在AB上，过点D作DE⊥AB，交折线A﹣C﹣B于点E，设AD＝x，△ADE的面积为y，则下列能大致反映y与x函数关系的图象是（　　） A． B． C． D． 【考点】动点问题的函数图象．版权所有 【分析】可求，①点E在AC上时，可求，从而可求面积解析式；②当点E在BC上时，可求，从而可求面积解析式；进而可求解． 【解答】解：∵AB经过点O， ∴∠ACB＝90°， ∴， ∴， ①如图，点E在AC上时， ∵DE⊥AB， ∴∠ADE＝90°， ∴， ∴， ∴， ； ∴图象为过原点的开口向上的一段抛物线， ②当点E在BC上时， ∴BE＝13﹣x，， ∴ ∴ ∴， ； ∴图象为一段开口向下的抛物线； 故选：D． 【点评】本题考查了三角函数，二次函数在动点产生面积问题中的应用，掌握三角函数的定义，“化动为静”列出函数解析式是解题的关键． 二．填空题（共6小题，满分12分） 11．（3分）　0　 既不是正数也不是负数． 【考点】正数和负数．版权所有 【分析】利用正数和负数的定义即可求得答案． 【解答】解：0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界线， 故答案为：0． 【点评】本题考查正数和负数，熟练掌握其定义是解题的关键． 12．（3分）“数形结合”就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来进行研究的数学思想．结合函数的图象，当y＜3时，x的取值范围为 x＜﹣1或x＞0　 ． 【考点】反比例函数的性质；反比例函数的图象．版权所有 【分析】画出y的图象，观察图象即可得到答案． 【解答】解：如图： 由函数图象可知，当y＜3时，x的取值范围为x＜﹣1或x＞0； 故答案为：x＜﹣1或x＞0． 【点评】本题考查反比例函数图象及性质，解题的关键是数学结合思想的应用． 13．分式方程的解为　1　 ． 【考点】解分式方程．版权所有 【分析】去分母，解得x＝1，经检验x＝1是分式方程的解，即可得． 【解答】解：， （x+2）×1＝3， x+2＝3， 解得：x＝1， 经检验x＝1是分式方程的解． 故答案为：1． 【点评】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是关键． 14．（3分）如图，无人机飞到某大桥桥面AB的正上方，与桥面AB相距600米的点C处悬停，此时测得A，B的俯角分别为30°和45°，则桥面AB的长是 　1639　 米．，结果保留整数） 【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．版权所有 【分析】过点C作CF⊥AB，垂足为F，根据题意可得：CF＝600米，DE∥AB，从而可得∠DCA＝∠CAF＝30°，∠ECB＝∠CBA＝45°，然后分别在Rt△ACF和Rt△CBF中，利用锐角三角函数的定义求出AF和BF的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【解答】解：如图：过点C作CF⊥AB，垂足为F， 由题意得：CF＝600米，DE∥AB， ∴∠DCA＝∠CAF＝30°，∠ECB＝∠CBA＝45°， 在Rt△ACF中，AF600（米）， 在Rt△CBF中，BF600（米）， ∴AB＝AF+BF＝600600≈1639（米）， ∴则桥面AB的长约为1639米， 故答案为：1639． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 15．（3分）我国古建筑的屋顶结构设计融合实用功能、艺术美学于一体，既利于排水采光，又形成灵动曲线，是中华工匠智慧的立体结晶．如图，某古建筑屋顶的人字架是等腰三角形，AB＝AC，AD⊥BC，若跨度BC＝24尺，上弦AB＝15尺，则中柱AD的长　9　 尺． 【考点】等腰三角形的性质；勾股定理；函数的图象．版权所有 【分析】首先由三线合一得到，然后根据勾股定理求解即可． 【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝DCBC24＝12，∠ADB＝∠ADC＝90°， ∴（尺）． 即中柱AD的长为9尺， 故答案为：9． 【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理，函数的图象，解题的关键是熟练掌握“等腰三角形的三线合一的性质”． 16．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点为B，对称轴为直线x＝1．下列四个结论： ①3a+b＜0； ②过点（0，c﹣a）平行于x轴的直线与抛物线有唯一的公共点； ③若a＞0，关于x的不等式a（x+1）2+b（x+1）＜0的解集为﹣1＜x≤1； ④若a＜0，点P（t，y1），Q（t﹣1，y2）在该抛物线上，当实数t，y1＞y2． 其中正确的结论是 　②④　 ． 【考点】二次函数与不等式（组）；二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点．版权所有 【分析】先由题意画出图象，再根据图象与系数的关系求解． 【解答】解：当a＞0时，如图L1，当a＜0时，如图L2， ①由题意得：，a﹣b+c＝0， ∴b＝﹣2a， ∴2a+b＝0， ∴当a＞0时，3a+b＞0， 当a＜0时，3a+b＜0， 故①是错误的； ②当y＝c﹣a时，ax2+bx+c＝c﹣a，即：ax2+bx+a＝0， ∴Δ＝b2﹣4a2＝（2a+b）（b﹣2a）＝0， ∴ax2+bx+c＝c﹣a有两个相等的实数根， ∴过点（0，c﹣a）平行于x轴的直线与抛物线有唯一的公共点； 故②是正确； ③当a＞0时，如L1所示： ∴ax2+bx+c＜0的解集为：﹣1＜x＜3， ∴a（x+1）2+b（x+1）＜0的解集为：﹣1＜x+1＜3，即：﹣2＜x＜2， 故③是错误的； ④当a＜0时，如L2所示： ∵t， ∴， ∴P到x＝1的距离待大于Q到x＝1的距离， ∴y1＞y2， 故④是正确的； 故答案为：②④． 【点评】本题考查了二次函数与系数的关系，掌握数形结合思想是解题的关键． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（8分）解不等式组． 【考点】解一元一次不等式组．版权所有 【分析】分别求出每个不等式的解集，再依据口诀“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”确定不等式组的解集． 【解答】解：由x﹣2＜2x得x＞﹣2， 由x﹣1得x≤2， 则不等式组的解集为﹣2＜x≤2． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 18．（8分）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，BD∥AC，点E为AB上一点，且AE＝BD，连接AD，EC，求证：AD＝EC． 【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有 【分析】由∠ABC＝∠ACB，得AB＝CA，由BD∥AC，得∠ABD＝∠CAE，而BD＝AE，即可根据“SAS”证明△ABD≌△CAE，则AD＝EC． 【解答】证明：∵∠ABC＝∠ACB， ∴AB＝CA， ∵BD∥AC，点E为AB上一点， ∴∠ABD＝∠CAE， 在△ABD和△CAE中， ， ∴△ABD≌△CAE（SAS）， ∴AD＝EC． 【点评】此题重点考查等腰三角形的判定、平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明△ABD≌△CAE是解题的关键． 19．（8分）为让学生了解“大别山红色革命史”，立德中学拟举办主题为“赓续大别山红色革命史”的知识竞赛活动．九年级在一班和二班进行了预赛，两个班参加比赛的人数相同，成绩分为A，B，C，D四个等级，其等级对应的分值分别为100分、90分、80分、70分，将这两个班学生的最后等级成绩分析整理绘制成了如图所示的统计图． （1）这次预赛中，一班参加比赛的人数为 　20　 人，二班成绩在B等及以上的有 　9　 人； （2）分别计算这次预赛中一班成绩的平均数及二班成绩的中位数和众数； （3）已知两个班参加预赛学生成绩的方差分别为s2一班＝78.75，s二班2＝74，从平均数、众数、方差中任选一个量，结合九年级一班和二班预赛成绩，解释其在本题中的意义． 【考点】条形统计图；加权平均数；中位数；众数；方差；统计量的选择；扇形统计图．版权所有 【分析】（1）根据条形统计图的数据相加可得一班参加的人数，根据扇形统计图可计算出二班成绩在B等及以上的人数； （2）根据平均数的计算方法求出一班的平均数，根据中位数、众数的定义直接得到即可； （3）选择方差，并根据方差的意义解答即可． 【解答】解：（1）一班参加比赛的人数为4+9+5+2＝20（人）， ∵两个班参加比赛的人数相同， ∴二班成绩在B等及以上的有35%×20+10%×20＝9（人）， 故答案为：20；9； （2）一班成绩的平均数为：（4×100+9×90+5×80+2×70）＝87.5（分）， 二班成绩的中位数是80，众数是80． （3）选择方差，∵78.75＞74， ∴一班方差大于二班方差，说明一班成绩比较分散，二班成绩比较集中． 【点评】本题考查了条形统计图、扇形统计图、方差、中位数、平均数，熟练掌握以上知识点是关键． 20．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点D，将△CDB沿BC．所在的直线翻折，得到△CEB，点D的对应点为E，延长EC交BA的延长线于点F． （1）求证：CF是⊙O的切线． （2）若sin∠CFB，AB＝4，求图中阴影部分的面积． 【考点】切线的判定与性质；扇形面积的计算；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；勾股定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心．版权所有 【分析】（1）证连接OC，根据垂直的定义得到∠BDC＝90°，根据等腰三角形的性质得到∠OCB＝∠OBC，根据折叠的性质得到∠EBC＝∠DBC，∠E＝∠BDC＝90°，根据平行线的性质得到∠COF＝∠E＝90°，根据切线的判定定理得到结论； （2）根据三角函数的定义得到∠CFB＝45°，求得∠COF＝∠CFO＝45，°得到CD＝ODOC，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论． 【解答】（1）证明：连接OC， ∵CD⊥AB， ∴∠BDC＝90°， ∵OC＝OB， ∴∠OCB＝∠OBC， ∵将△CDB沿BC所在的直线翻折，得到△CEB， ∴∠EBC＝∠DBC，∠E＝∠BDC＝90°， ∴∠OCB＝∠CBE， ∴OC∥BE， ∴∠OCF＝∠E＝90°， ∵OC是⊙O的半径， ∴CF是⊙O的切线； （2）解：∵， ∴∠CFB＝45°， 由（1）得∠OCF＝90°， ∴∠COF＝∠CFO＝45°， ∴， ∵∠CDO＝90°，∠COD＝45°， ∴∠OCD＝∠COD＝45°， ∴， ∴图中阴影部分的面积为． 【点评】本题考查了切线的判定和性质，折叠的性质，解直角三角形，扇形面积的计算，等腰直角三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 21．（8分）如图是2×3的正方形网格，△ABC的顶点都在格点上，按下列要求画图． （1）在图1中画△DEF，使△DEF与△ABC关于某条直线成轴对称； （2）在图2中画△GHP，使△GHP与△ABC关于某点成中心对称． 【考点】作图﹣旋转变换；作图﹣轴对称变换．版权所有 【分析】（1）利用轴对称的性质和网格特点画出A、B、C关于直线MN的对称点D、E、F即可； （2）利用中心对称的性质画出A、B、C的对称点G、H、P即可． 【解答】解：（1）如图1，△DEF为所作； （2）如图2，△GHP为所作． 【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了轴对称变换． 22．（10分）东莞“启航文化”公司设计生产一种学生毕业纪念册，并投放市场，已知制造成本为18元/件．经过市场调查发现，销售单价为32元时，每月的销售量为36（万件）；销售单价为24元时，每月的销售量为52（万件）；如果每月的销售量y（万件）与销售单价x（元/件）成一次函数关系． （1）求每月销售量y（万件）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式； （2）根据市场监管部门规定，这种产品的销售利润率不能高于50%，同时厂家要求这种产品每月的制造成本不能超过900万元．当销售单价为多少元时，厂家每月能获得最大利润？最大利润是多少？ 【考点】二次函数的应用．版权所有 【分析】（1）依据题意，根据待定系数法计算可以得解； （2）根据利润＝销售量×（销售单价﹣成本），代入代数式求出函数关系式；根据厂商每月的制造成本不超过900万元，以及成本价18元，得出销售单价的取值范围，进而得出最大利润． 【解答】解：（1）设销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为：y＝kx+b， 把（32，36），（24，52）代入y＝kx+b得， ∴， ∴每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为：y＝﹣2x+100； （2）设每月的利润w万元， 由题意得，w＝y（x﹣18）， ＝（﹣2x+100）（x﹣18） ＝﹣2x2+136x﹣1800 ＝﹣2（x﹣34）2+512， 商每月的制造成本不超过900万元，每件制造成本为18元， ∴每月的生产量为：小于等于50（万件）， ∴y＝﹣2x+100≤50， ∴x≥25， 又由销售利润率不能高于50%，得x≤27， ∴25≤x≤27， ∵﹣2＜0， ∴图象开口向下，对称轴左侧w随x的增大而增大， ∴当x＝27时，w取最大值，最大值为414万元． 答：当销售单价为27元时，厂商每月获得的利润最大，最大利润为414万元． 【点评】本题主要考查了二次函数的二次函数的应用、根据实际问题列一次函数关系式、根据实际问题列二次函数关系式，解答本题的关键是得出月销售利润的表达式，要求同学们熟练掌握配方法求二次函数最值的应用． 23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D是射线BC上的动点（不与点B，C重合），连接AD，过点D在AD左侧作DE⊥AD，使AD＝kDE，连接AE，点F，G分别是AE，BD的中点，连接DF，FG，BE． （1）如图1，点D在线段BC上，且点D不是BC的中点，当α＝90°，k＝1时，AB与BE的位置关系是 　垂直　 ，　　 ． （2）如图2，点D在线段BC上，当α＝60°，k时，求证：BC+CD＝2FG． （3）当α＝60°，k时，直线CE与直线AB交于点N，若BC＝6，CD＝5，请直接写出线段CN的长． 【考点】相似形综合题．版权所有 【分析】（1）连接BF并延长交AC于R，可推出∠AED＝∠ABD＝45°，从而A、B、E、D共圆，从而∠ABE＝90°，从而得出AB与BE垂直，可证得△BEF≌△RAF，从而BF＝RF，从而得出RB∥FG，FG，进一步得出结果； （2）作AQ⊥BC于Q，作EH⊥CB，交CB的延长线于H，连接BF，可推出∠AED＝∠ABC＝60°，从而点A、E、B、D共圆，从而得出∠ABE＝∠ADE＝90°，可推出FG⊥BC，进而得出EH∥FG∥AQ，可证得EH+AQ＝2FG，变形得，可推出DQEH，CQAQ，进一步得出结论； （3）分两种情形：当点D在BC上时，作EH⊥CB，交CB的延长线于点H，作AQ⊥BC于Q，作CX⊥EB，交EB的延长线于X，可推出△DHE∽△AQD，从而，从而求得EH，BH，CH及CE，在Rt△BCX中可求得BX，EX，根据BN∥CX得出，进一步得出结果；当点D在BC的延长线上时，作EH⊥CB于H，作AQ⊥BC于Q，作CX⊥EB，交EB的延长线于X，同样的过程得出结果． 【解答】（1）解：如图1， 连接BF并延长交AC于R， ∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠ABC＝∠C＝45°， 同理可得：∠AED＝45°， ∴∠AED＝∠ABD， ∴A、B、E、D共圆， ∴∠ABE+∠ADE＝180°， ∵∠ADE＝90°， ∴∠ABE＝90°， ∴AB与BE垂直， ∵F是AE的中点， ∴BF＝DFAE， ∵G是BD的中点， ∴FG⊥BC， ∵∠ABE+∠BAC＝90°+90°＝180°， ∴BE∥AC， ∴∠EAR＝∠FEB， ∵∠AFR＝∠BFE，AF＝EF， ∴△BEF≌△RAF（ASA）， ∴BF＝RF， ∴RD∥FG，FG， ∵FG⊥BC， ∴RD⊥BC， ∵∠C＝45°， ∴CD＝RD， ∴FG， 故答案为：垂直，； （2）证明：如图2， 作AQ⊥BC于Q，作EH⊥CB，交CB的延长线于H，连接BF，作射线HF，交QA的延长线于点W， ∵AB＝AC，∠BAC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝60°， ∵∠ADE＝90°，， ∴∠AED＝60°， ∴∠AED＝∠ABC， ∴点A、E、B、D共圆， ∴∠ABE＝∠ADE＝90°， ∵F是AE的中点， ∴BF＝DFAE， ∴FG⊥BC， ∴EH∥FG∥AQ， ∴， ∴HG＝QG， ∵EH∥AQ， ∴∠EHF＝∠W， ∵∠EFH＝∠AFW， ∴△AFW≌△EFH（AAS）， ∴EH＝AW，FH＝FW， ∴FGWQ， 即：EH+AQ＝2FG， ∴， ∵∠H＝90°，∠EBH＝180°﹣∠ABE﹣∠ABC＝30°， ∴BHEH， ∵HG＝QG，BG＝DG， ∴BH＝DQ， ∴DQEH， ∵∠AQC＝90°，∠C＝60°， ∴CQAQ， ∴DQ+3CQ＝2FG， ∴（DQ+CQ）+2CQ＝2FG， ∴BC+CD＝2FG； （3）解：如图3， 当点D在BC上时， 作EH⊥CB，交CB的延长线于点H，作AQ⊥BC于Q，作CX⊥EB，交EB的延长线于X， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠C＝60°，BQ＝CQBC＝3， ∴DQ＝CD﹣CQ＝2，AQAC＝3， ∵∠ADE＝90°， ∴∠EDH+∠ADQ＝90°， ∵∠H＝∠ADQ＝90°， ∴∠ADQ+∠DAQ＝90°， ∴∠EDH＝∠DAQ， ∴△DHE∽△AQD， ∴， ∴EH， ∴BE＝2EH，BHEH＝2， ∴CH＝BH+BC＝8， ∴CE， 在Rt△BCX中，BC＝6，∠BCX＝∠EBH＝30°， ∴BX＝6•cos30°＝3， ∴EX＝EB+BX， ∵BN∥CX， ∴， ∴， ∴CN， 如图4， 当点D在BC的延长线上时， 作EH⊥CB于H，作AQ⊥BC于Q，作CX⊥EB，交EB的延长线于X， 由上可知：AQ＝3，CQ＝3，△DHE∽△AQD， ∴DQ＝CQ+CD＝8，， ∴EHDQ， ∴BHEH＝8，BE＝2EH， ∴CH＝BH﹣BC＝2， ∴CE， ∵BXBC＝3， ∴EX＝BE﹣BX， ∵BN∥CX， ∴， ∴ ∴CN， 综上所述：CN或． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定和垂直，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，确定圆的条件，平行线分线段成比例定理，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造梯形的中位线． 24．（12分）在平面直角坐标系中，若点P的坐标为（m，n），点Q的坐标为（4﹣n，4﹣m），那么称点Q是点P的“相关点”． 例如，点P（3，0）的“相关点”点Q的坐标为（4，1）． （1）当m＝2时，反比例函数的图象经过点P，则点P的“相关点”点Q的坐标是　（3，2）　 ； （2）点P的“相关点”点Q的坐标为（5，2），一次函数y＝2x﹣b的图象经过点Q，与x轴交于点M，求证MP＝MQ； （3）抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（4，0）和点O（0，0）．点Q是点P的“相关点”，若m＝2，直线AQ与抛物线交于点C，，求n的值． 【考点】二次函数综合题．版权所有 【分析】（1）根据新定义“相关点”，即可求得答案； （2）根据新定义“相关点”，可求得点P的坐标，把点Q的坐标代入y＝2x﹣b，求得b＝8，利用直线y＝2x﹣8交x轴于点M，可求得点M的坐标，过点P作PE⊥x轴于点E，过点Q作QF⊥x轴于点F，可证得△PEM≌△MFQ（SAS），即可证得结论； （3）利用待定系数法求得抛物线解析式为y＝﹣x2+4x，当m＝2时，点P的坐标为（2，n），点Q的坐标为（4﹣n，2），过点P作PE⊥x轴于点E，过点Q作QF⊥x轴于点F，可证得△PEA≌△AFQ（SAS），得出AP＝AQ．结合题意可得AQ＝3CQ．过点C作CD⊥x轴于点D，则CD∥QF．分两种情况：当点C在线段AQ上时，当点C在AQ延长线上时，分别求得n的值即可． 【解答】（1）解：当m＝2时，P（2，n）， ∵反比例函数y的图象经过点P， ∴n1， ∴点P的“相关点”点Q的坐标是（3，2）， 故答案为：（3，2）． （2）证明：∵点P的“相关点”点Q的坐标为（5，2）， ∴点P的坐标为（2，﹣1）． ∵一次函数y＝2x﹣b的图象经过点Q（5，2）， ∴2＝2×5﹣b， ∴b＝8． ∵一次函数y＝2x﹣8的图象与x轴交于点M， ∴点M的坐标为（4，0）． 过点P作PE⊥x轴于点E，过点Q作QF⊥x轴于点F，如图1， ∴∠PEM＝∠QFM＝90°，PE＝1，EM＝4﹣2＝2，QF＝2，FM＝5﹣4＝1． ∴PE＝FM，EM＝QF． ∴△PEM≌△MFQ（SAS）． ∴MP＝MQ． （3）解：抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（4，0）和点O（0，0） ∴， 解得：． ∴抛物线解析式为y＝﹣x2+4x． 当m＝2时，点P的坐标为（2，n），点Q的坐标为（4﹣n，2）． 当n≥2时，过点P作PE⊥x轴于点E，过点Q作QF⊥x轴于点F，如图2， ∴∠PEA＝∠QFA＝90°，PE＝n，EA＝4﹣2＝2，QF＝2，FA＝4﹣（4﹣n）＝n． ∴PE＝FA，EA＝QF． ∴△PEA≌△AFQ（SAS）． ∴AP＝AQ． ∵， ∴AQ＝3CQ． 过点C作CD⊥x轴于点D，则CD∥QF． 当点Q在线段AC上时， ∵QF∥CD， ∴△AQF∽△ACD， ∴，即， ∴ADn，CD， ∴OD＝OA﹣AD＝4n， ∴C（4n，）， ∵点C在抛物线y＝﹣x2+4x上， ∴﹣（4n）2+4（4n）， 解得：n1（舍去），n2； 当点C在线段AQ上时，如图3，过点C作CD⊥x轴于点D，过点P作PE⊥x轴于点E，过点Q作QF⊥x轴于点F，则CD∥QF． ∵AC+CQ＝AQ，即ACAQ＝AQ， ∴． ∵CD∥QF， ∴． ∴． ∴． ∴点C的横坐标为． ∴点C的坐标为． ∵点C在抛物线y＝﹣x2+4x上， ∴． 解得：， ∵n≥2， ∴n＝3． 当0＜n＜2时，且点C在AQ延长线上时，如图4， 同理可得：C（4n，）， ∴﹣（4n）2+4（4n）， 解得：n或n（舍去）； 当n＜0时，如图5， ∵AP＝AQ＜CQ， ∴不符合CQAP． 综上，n＝3或． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，函数的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，添加辅助线构造全等三角形和相似三角形，理解并应用新定义是解题关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/12/1 20:26:38；用户：张思雨；邮箱：18366661343；学号：24445058 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $