28.1锐角三角函数第二课时教学设计2025-2026学年人教版数学九年级下册

该初中数学教学设计聚焦锐角三角函数第二课时，核心内容为正切的定义、求法及与直角三角形边角关系的关联，通过复习正弦、余弦知识，以类比迁移为学习支架，衔接旧知降低新知学习难度。 资料特色突出数学思维与眼光的培养，通过类比正弦、余弦推导正切定义体现推理意识，结合直角三角形图形分析强化几何直观，分层训练（基础计算到拓展应用）与互动探究（小组讨论正切值变化规律）落实知识提升能力，助力教师高效教学，培养学生创新意识与应用意识。

28.1锐角三角函数 第二课时 教学设计 一、内容与内容解析 （一）教学内容 本节课是人教版初中数学九年级（下册）第28章“锐角三角函数”的第一节。内容包括：正切的定义、锐角正切值的求法，正切与直角三角形边角关系的关联，正切值随锐角变化的简单规律。 （二）教学内容解析 正切是锐角三角函数的核心内容之一，承接第一课时正弦、余弦的定义逻辑，以直角三角形为载体，聚焦“对边与邻边的比值”，是后续学习解直角三角形、解决实际几何应用问题的基础。其本质是直角三角形中锐角与特定边长比值的对应关系，体现“数形结合”思想，既是三角函数概念的延伸，也是连接几何图形与代数计算的关键纽带，对培养学生边角转化能力至关重要。基于以上分析，确定本节课的教学重点为： 【教学重点】理解余弦、正切的概念； 二、目标与目标解析 （一）教学目标 1. 理解正切的定义，能准确写出直角三角形中锐角的正切表达式，会求特殊锐角（30°、45°、60°）及一般锐角的正切值。 2. 掌握正切与直角三角形边角的关联，能运用正切解决简单的直角三角形边长计算问题。 3. 体会数形结合、类比推理思想，提升几何图形分析与代数运算结合的能力。 （二）教学目标解析 1. 能在直角三角形中明确锐角的对边、邻边，依据定义写出，熟练计算已知直角边长度时锐角的正切值，牢记30°、45°、60°的正切固定值。 2. 面对含已知锐角及一条直角边的直角三角形，能通过正切表达式逆向求未知直角边长度，实现边角关系的简单转化。 3. 类比正弦、余弦的学习思路推导正切定义，通过图形分析、数值计算，感知“锐角固定则正切值固定”的规律，初步建立几何图形与代数比值的对应意识。 三、学生学情分析 1. 知识基础：学生已掌握直角三角形的边长关系（勾股定理）、锐角三角函数的基本概念（正弦、余弦），熟悉“锐角与边长比值对应”的逻辑，具备类比迁移的知识前提。 2. 能力基础：九年级学生已具备一定的几何图形分析能力、代数计算能力，能自主观察图形、推导简单概念，但对“比值与锐角的唯一对应性”理解需强化，逆向运用正切求边长的逻辑转化易出错。 3. 认知难点：易混淆锐角的“对边”与“邻边”（尤其非直角的两个锐角同时存在时），对正切值随锐角变化的规律缺乏直观感知，逆向运用定义解决问题时思路不清晰。基于以上分析，确定教学难点如下： 【教学难点】熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算。 四、教学策略分析 1. 类比迁移策略：以正弦、余弦的定义推导流程为模板，引导学生自主观察直角三角形，推导正切定义，降低概念学习难度，强化知识关联性。 2. 数形结合策略：通过实物图形、几何示意图展示直角三角形，标注锐角的对边、邻边，结合数值计算直观呈现正切值，帮助学生建立图形与表达式的对应。 3. 分层训练策略：设计“基础计算（求正切值）—中档应用（求边长）—拓展感知（正切值变化）”三层习题，逐步突破难点，适配不同学情学生的学习需求。 4. 互动探究策略：通过小组讨论分析“锐角变化时对边与邻边比值的变化”，让学生自主感知正切值的增减规律，提升主动探究能力。 五、教学过程分析 （一）复习引入 1如图所示,在Rt△ABC 中, ∠ACB=90°, ∠A=30°,设∠A 的对变为 a,斜边 为 2a,另一条直角边为 这时 。 2如图所示,在 Rt△ABC 中, ∠ACB=90°, ∠E=45°时，设∠A 的对变为 a,, 另一条直角边也是 a ，斜边为 这时 。 设计意图：通过复习旧知，激活学生已有的知识储备，降低新知识的学习难度。 （二）主动参与、感悟新知 问1：在中，，当锐角确定时，的对边与斜边比随之确定．那的邻边与斜边的比也是定值吗？ 已知和, ,, 求证： 解：∵∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α， ∴Rt△ABC ∽Rt△A'B’C‘； ∴即=. 归纳: 在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个锐角的邻边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关. 如图所示，在中，°， 我们把锐角的邻边与斜边的比叫的余弦,记作， 即 特别注意： (1)是一个函数，不是一个角 (2)中不写“”,但如是等必须写为， （即当角是由一个大写表示时，的符号可以省略） (3)不是与的乘积 (4)是一个比值（比有顺序），没有单位 (5)是一个正数 (6) 问2：在中，，当锐角确定时，的对边与邻边的比也是定值吗？ 归纳： 由此可得，在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个锐角的对边与邻边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关. 如图所示，在中，°， 把锐角的对边与邻边的比叫作的正切，记作， 即 特别注意： (1)是一个函数，不是一个角 (2)中不写“”,但如是等必须写为， （即当角是由一个大写表示时，的符号可以省略） (3)不是与的乘积 (4)是一个比值（比有顺序），没有单位 (5)是一个正数 (6) , , 锐角的正弦、余弦、正切都叫作的锐角三角函数. 对于锐角的每一个确定的值，有唯一确定的值与它对应，所以是的函数。 同样地，，也是的函数。 例1 如图在 Rt△ABC 中, ∠C=90°,AB=5,BC=3,求,cosA, 的值.（学生说教师规范板演，提示书写注意点） 变式练习 1. 在 Rt△ABC 中， ∠C=90 ° , AB=5 ，AC=4 ，则 cosA= 2. 如图，在 Rt△ABC 中，斜边 AB 的长 则直角边 AC 的长是( ) 。 A 5 B 6 C 8 D 7.5 3. 如图，在 Rt△ABC 中，斜边 AB 的长 ，则直角边 AC 的长是( )。 例 2 I教材例 2 改编] 如图,在 Rt△ABC 中, ∠C=90°,AB=5,BC=3,求 tanA 的值.（学生独立完成，请一名学生板演） （三）课堂总结 1、本节课研究了什么问题？ 2、本节课经历了怎样的研究过程？用到了哪些数学思想？ 3、对今后数学研究的启发？你还有哪些疑惑呢？ 【设计意图】梳理知识脉络，提炼核心方法，帮助学生形成系统的认知，同时加深对代数式价值的理解。 （四）布置作业、巩固提高 1．已知，在中，，，，那么下列各式中，正确的是（    ）． A． B． C． D．不确定 2.如图，在中，，过点作，垂足为点，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 3.如图，小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处，已知，则，两处相距（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 4.如图，直线与、轴分别交于、两点，则的值是__________ 5.如图，在中，，则的长为________ 6.在中，，若，则的值为_______ 7. （24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，点，，，在上，若，，，则的长为 ． 8.如图，已知在中，是边上的高，是边的中点，，．求：    (1)线段的长； (2)的正切值． 1. 亮点：以类比迁移为核心，衔接旧知降低学习难度；数形结合+分层训练，兼顾知识落实与能力提升；自主探究环节培养学生主动思考能力，符合九年级学生的认知特点。 2. 不足：对“非直角锐角的对边、邻边辨析”需增加易错案例讲解；拓展题中锐角正切值的变化规律可结合计算器辅助演示，增强直观性，后续教学可补充该环节。 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $