精品解析：山东省菏泽市2025-2026学年高二上学期期中考试数学A卷

2025—2026学年度第一学期期中考试 高二数学试题（A） 2025.11 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 外离 D. 内含 3. 已知直线，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 4. 已知椭圆，若的离心率为，则（ ） A. B. C. D. 5. 以点为圆心的圆截直线所得弦长为，则该圆的半径为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 6. 已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线右支上的任意一点，若的最小值为，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面）的反射后，集中于它的焦点．用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线C放在平面直角坐标系中，对称轴与x轴重合，顶点与原点重合，如图，若抛物线C的方程为，平行于x轴的光线从点射出，经过C上的点A反射后，再从C上的另一点B射出，则（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 8. 已知圆，动点在直线上，过点向圆引两条切线，，为切点，则的最小值为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，上、下顶点分别为，，的延长线交于点，且，则（ ） A. 的离心率为 B. 直线的斜率为 C. 为等腰三角形 D. 10. 已知圆，直线，则（ ） A. 直线过定点 B. 直线与圆相交 C. 当时，直线被圆截得的线段最短 D. 存在实数，使得直线与圆的两个交点到原点的距离相等 11. 已知圆，抛物线的焦点为，为上一点，则下列结论正确的有（ ） A. 存在点，使为等边三角形 B. 若为上一点，则的最小值为1 C. 若，则直线与圆相切 D. 若以为直径的圆与圆外切，则 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上） 12. 已知直线：，：，若，则______. 13. 设为抛物线的焦点，直线交于A，B两点，则__________． 14. “”可以看作数学上的无穷符号，也可以用来表示数学上特殊的曲线.如图所示的曲线过坐标原点上的点到两定点的距离之积为9.若上第一象限内的点满足的面积为，则__________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，. （1）求的面积； （2）求中边上的高所在的直线方程. 16. 已知点是圆上的任意一点，点，线段的垂直平分线交于点. （1）求动点的轨迹的方程； （2）分别过，作平行直线，，若直线与交于，两点，直线与交于，两点，其中点，在轴上方.若，求的值. 17. 已知椭圆的长轴长为，短轴长为2. （1）求椭圆C的焦点坐标； （2）直线与椭圆C相交于A､B两点，点F为椭圆C的左焦点，若为锐角，求实数m的取值范围. 18. 已知圆的方程为． （1）求过点的圆的切线方程； （2）已知，直线与圆交于M，N（异于A点）两点，若直线的斜率之积为2，试问直线是否经过定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由． 19. 已知双曲线（，）的实轴长为，右焦点到一条渐近线的距离为1. （1）求的方程； （2）过上一点，作的切线，与的两条渐近线分别交于，两点，为点关于坐标原点的对称点，过作的切线，与的两条渐近线分别交于，两点，求四边形的面积； （3）过上一点向的两条渐近线作垂线，垂足分别为，，是否存在点，满足？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期期中考试 高二数学试题（A） 2025.11 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据渐近线方程直接进行求解. 【详解】的渐近线方程为， 即. 故选：A 2. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 外离 D. 内含 【答案】A 【解析】 【分析】求出两个圆心距与两个圆半径和、半径差的关系，进而可得解. 【详解】， 又， 圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径，∴， ∴，圆与圆相交． 故选：A 3. 已知直线，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先由直线平行的充要条件求出参数，再由必要不充分条件定义即可得解. 【详解】若“”，则且， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 4. 已知椭圆，若的离心率为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由离心率公式和的关系即可计算求解. 【详解】由题得的离心率， 所以. 故选：D 5. 以点为圆心的圆截直线所得弦长为，则该圆的半径为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求圆心到直线的距离，结合垂径定理求半径. 【详解】由题意可知：圆心到直线的距离， 所以圆的半径为. 故选：B 6. 已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线右支上的任意一点，若的最小值为，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，则，由的最小值为及范围可求. 【详解】设，则， 所以，当且仅当时取等号． 由，得，又， 所以. 故选：D. 7. 用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面）的反射后，集中于它的焦点．用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线C放在平面直角坐标系中，对称轴与x轴重合，顶点与原点重合，如图，若抛物线C的方程为，平行于x轴的光线从点射出，经过C上的点A反射后，再从C上的另一点B射出，则（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】由题意求出A点坐标，根据光线反射的性质求出反射光线的方程，即可求出B点坐标，利用两点间距离公式，即可求得答案. 【详解】由抛物线C的方程为，可得其焦点为， 由于，故点纵坐标为4，代入中，即， 即，由题意知反射光线经过点， 则的方程为，联立，得，即得， 故， 故选：C 8. 已知圆，动点在直线上，过点向圆引两条切线，，为切点，则的最小值为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题设结合得到即可求解. 【详解】由题可得圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相离，由题意可知与全等， 所以由得， 则. 故选：C 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，上、下顶点分别为，，的延长线交于点，且，则（ ） A. 的离心率为 B. 直线的斜率为 C. 为等腰三角形 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据椭圆的定义、的关系及余弦定理对选项逐一分析即可. 【详解】对于C：，，则， 所以， 所以为等腰三角形，故C正确； 对于A：， 所以，解得， 所以，所以，故A正确； 对于B：，故B错误； 对于D：，所以， 所以，所以，故D正确. 故选：. 10. 已知圆，直线，则（ ） A. 直线过定点 B. 直线与圆相交 C. 当时，直线被圆截得的线段最短 D. 存在实数，使得直线与圆的两个交点到原点的距离相等 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A：将直线整理为关于的一元一次方程，再令的系数为0即可求得所过定点；对于B：注意到直线所过定点在圆内，故与圆必相交；对于C：当垂直于时，弦长最短；对于D：由题可知点均在弦的垂直平分线上，故即为弦的垂直平分线，求出即说明存在. 【详解】由圆方程可知圆心，半径. 对于A：将直线整理为，令，得： ,即直线过定点，故A错误； 对于B：直线所过定点，到圆心的距离，即该定点在圆内，故直线必与圆相交，故B正确； 对于C：直线被圆截得的线段最短，当且仅当直线与圆心到定点的连线垂直.易知此时直线的斜率不存在，则,即，故C错误； 对于D：设直线与圆的两个交点为和,则,即在的垂直平分线上. 又因为的垂直平分线也过圆心,因此直线即线段的垂直平分线. 和的连线斜率为： 直线的斜率为： 要使在的垂直平分线上，需： ，解得. 因此，存在使得直线与圆的两个交点到原点的距离相等，故D正确. 故选：BD. 11. 已知圆，抛物线的焦点为，为上一点，则下列结论正确的有（ ） A. 存在点，使为等边三角形 B. 若为上一点，则的最小值为1 C. 若，则直线与圆相切 D. 若以为直径的圆与圆外切，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由正三角形边长和对称性即可分析判断A；设，结合和代数运算即可求解判断B；先结合B令求出点，接着由A即可得到直线与圆相切判断C；设，以为直径的圆圆心为G，利用中点坐标公式和焦半径公式结合求出即可由焦半径公式得解判断D. 【详解】由题可得圆心，半径，抛物线的焦点为， 对于A，若为等边三角形，则，由对称性不妨设P在第一象限，则， 显然点P在抛物线上，所以存在点，使为等边三角形，故A正确； 对于B，设，则 ，故B错误； 对于C，由B得，令，所以， 由A可知为边长为4的等边三角形，圆心C到的距离为， 所以若，则直线与圆相切，故C正确； 对于D，设，若以为直径的圆与圆外切，设以为直径的圆圆心为G， 则，， 所以，化简并解得， 所以，故D正确. 故选：ACD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上） 12. 已知直线：，：，若，则______. 【答案】6 【解析】 【分析】根据两直线垂直的性质求解即可． 【详解】因为直线：，：，且， 可得，解得 故答案为：. 13. 设为抛物线的焦点，直线交于A，B两点，则__________． 【答案】5 【解析】 【分析】联立方程，利用韦达定理可得，结合抛物线的定义分析求解即可. 【详解】由题意可知：抛物线的准线为， 设， 联立方程，消去x得， 则，可得， 所以. 故答案为：5. 14. “”可以看作数学上的无穷符号，也可以用来表示数学上特殊的曲线.如图所示的曲线过坐标原点上的点到两定点的距离之积为9.若上第一象限内的点满足的面积为，则__________. 【答案】6 【解析】 【分析】确定点是曲线和以为直径的圆在第一象限内的交点， 【详解】已知原点在上，则， 设为上任意一点， 则有，整理得． 因为，又， 所以，可得， 所以点是曲线和以为直径的圆在第一象限内的交点， 联立方程，解得，，即， 所以， 故答案为：6 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，. （1）求的面积； （2）求中边上的高所在的直线方程. 【答案】（1）14； （2）. 【解析】 【分析】（1）先由两点间距离公式和余弦定理依次求出三角形的三边和夹角即可由正弦定理面积公式计算求解； （2）由和两垂直直线的斜率关系得到所求直线斜率，再由点斜式即可求解. 【小问1详解】 由题可得， 所以， 因为，所以， 所以的面积为. 【小问2详解】 因为，所以中边上的高所在的直线斜率为， 所以中边上的高所在的直线方程为，即. 16. 已知点是圆上的任意一点，点，线段的垂直平分线交于点. （1）求动点的轨迹的方程； （2）分别过，作平行直线，，若直线与交于，两点，直线与交于，两点，其中点，在轴上方.若，求的值. 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（1）由题意得到，再结合椭圆定义即可求解； （2）由题可设直线，直线，依次与椭圆联立求出点A，D即可求出，进而得解. 【小问1详解】 由题可得圆心，半径为， 因为线段的垂直平分线交于点，所以， 又，所以， 又，所以动点的轨迹是以为焦点的椭圆，其中， 所以，所以动点的轨迹的方程为. 【小问2详解】 由题可得直线的斜率不为0，因为， 故可设直线，直线，， 联立方程得，可得，解得或1， 因为点A在x轴上方，所以，即， 所以， 联立方程得，可得，解得或， 因为点在x轴上方，所以，即， 所以， 所以. 17. 已知椭圆的长轴长为，短轴长为2. （1）求椭圆C的焦点坐标； （2）直线与椭圆C相交于A､B两点，点F为椭圆C的左焦点，若为锐角，求实数m的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】 （1）由长轴长为，短轴长为2得，直接求出c，写出焦点坐标； （2）设A､B坐标为，用“设而不求法”联立方程组，得到由为锐角，利用，求出实数m的范围. 【详解】（1）∵椭圆的长轴长为，短轴长为2 ∴ 即可得：， ∴焦点坐标为. （2）设A､B坐标为，椭圆的左焦点F(-1,0), 联立，消去x的： ∴ ∴ ∵为锐角，∴，即 ∴ 解得：. ∴实数m的范围 【点睛】（1）待定系数法可以求二次曲线的标准方程，可以直接写出焦点坐标； （2）"设而不求"是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题. 18. 已知圆的方程为． （1）求过点的圆的切线方程； （2）已知，直线与圆交于M，N（异于A点）两点，若直线的斜率之积为2，试问直线是否经过定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由． 【答案】（1）或 （2）直线经过定点，该定点的坐标为 【解析】 【分析】（1）根据切线的斜率是否存在进行分类讨论，结合点到直线的距离公式求得正确答案. （2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，由直线的斜率之积列方程，化简求得定点坐标. 【小问1详解】 圆的圆心坐标为，半径为， 当过点的圆C的切线斜率不存在时，切线方程为； 当斜率存在时，设切线方程为，即． 由，解得，则切线方程为，即． 过点的圆C的切线方程为或． 【小问2详解】 点在圆：上． 若直线的斜率不存在，则设直线的方程为，， 则，整理得． 又，解得，所以直线的方程为， 此时经过点，不符合题意． 若直线的斜率存在，则设直线的方程为，， 联立方程组，整理得， 则，． ， 则， 整理得， 解得或． 当时，直线的方程为， 此时直线经过点，不符合题意，故舍去． 所以，故直线的方程为，即，经过定点． 综上所述，直线经过定点，且该定点的坐标为． 19. 已知双曲线（，）的实轴长为，右焦点到一条渐近线的距离为1. （1）求的方程； （2）过上一点，作的切线，与的两条渐近线分别交于，两点，为点关于坐标原点的对称点，过作的切线，与的两条渐近线分别交于，两点，求四边形的面积； （3）过上一点向的两条渐近线作垂线，垂足分别为，，是否存在点，满足？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）； （2）； （3）存在点Q满足条件，或或或. 【解析】 【分析】（1）由题意列出关于的方程组即可求解； （2）先由点在双曲线上求纵坐标，用“联立方程+判别式”求切线方程，再求切线与渐近线交点，结合“两点间距离+点到直线距离”算三角形面积，利用平行四边形与三角形的面积倍数关系得结果 （3）设Q坐标，利用双曲线方程建立与的关系，用点到直线距离公式表示，代入条件求解，判断方程是否有解即可. 【小问1详解】 因为双曲线的实轴长为，所以，解得， 设C的一条渐近线为，因为右焦点到一条渐近线的距离为1， 所以， 所以双曲线； 【小问2详解】 由（1）可得，如图，由题意可知四边形为平行四边形，其面积为， 由题意可得直线的斜率存在，设直线， 代入点得，且， 联立得 因为直线与双曲线相切，故， 联立，所以直线的方程为， 设直线与的交点为R，与的交点为S， 联立，同理得， 则， 因为原点O到直线的距离， 所以. 【小问3详解】 假设存在点Q满足条件 ，如图，设，则， 点Q到直线的距离为， 同理，所以， 又因为，所以或， 当时，解得， 则联立解得或，同理有或， 所以存在点或或或，满足. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $