2.5二次函数与一元二次方程题型总结讲义2025-2026学年北师大版九年级数学下册

本讲义聚焦二次函数与一元二次方程的核心关联，系统梳理抛物线与x轴交点（方程根的判定与求解）、图象法求方程近似根、二次函数与不等式解集三大题型，构建从基础概念到综合应用的递进式学习支架。 资料精选2025年各地期中真题为例题，搭配梯度变式题，通过函数图象分析培养几何直观（数学眼光），借助表格数据推理近似根提升运算能力（数学思维），结合“笑口线”等情境问题强化模型意识（数学语言）。课中助力教师分层教学，课后便于学生针对性练习，有效查漏补缺。

2.5二次函数与一元二次方程题型总结讲义 【题型一】抛物线与x轴的交点 【例1】（2025秋•睢宁县期中）如图，已知二次函数y＝a（x+1）（x﹣3）的图象经过点A（0，3），则关于x的一元二次方程ax2﹣2ax＝3a+3的根是（　　） A．x1＝0，x2＝2 B．x1＝﹣1，x2＝3 C．x1＝0，x2＝3 D．x1＝1，x2＝﹣3 【例2】（2025秋•武昌区校级期中）若抛物线y＝x2﹣2x+k与x轴无交点，则k的取值范围是 　 ． 【变式1】（2025秋•合肥期中）二次函数y＝（k﹣1）x2﹣2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是 　 ． 【变式2】（2025•兰州校级模拟）如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），则关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解为 　 ． 【变式3】（2025秋•浙江期中）已知二次函数y＝ax2﹣2x+c的图象经过点（1，0），（0，3）． （1）求该二次函数的表达式． （2）求出二次函数的图象与x轴的另一个交点坐标． 【题型二】图象法求一元二次方程的近似根 【例1】（2025秋•老城区期中）根据下列表格中二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与函数值y的对应值，可以判断关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是（　　） x 0.5 1 1.1 1.2 1.3 y＝ax2+bx+c ﹣8.75 ﹣2 ﹣0.59 0.84 2.29 A．1.2＜x＜1.3 B．1.1＜x＜1.2 C．1＜x＜1.1 D．0.5＜x＜1 【例2】（2025秋•天河区校级期中）如表是一组二次函数y＝x2+3x﹣5的自变量x与函数值y的对应值，那么方程x2+3x﹣5＝0的一个近似根的取值范围是 　 　 ． x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 y ﹣1 ﹣0.49 0.04 0.59 1.16 【变式1】（2025秋•山阳县期中）已知二次函数y＝x2+5x﹣3中，函数y与自变量x的部分对应值如下表所示，则方程x2+5x﹣3＝0的一个解x的取值范围是　 　 ． x 0 0.25 0.5 0.75 1 y ﹣3 ﹣1.69 ﹣0.25 1.31 3 【变式2】（2025秋•良庆区期中）二次函数y＝x2+3x﹣5的自变量x与函数值y对应值如表，那么方程x2+3x﹣5＝0的一个近似根的取值范围是（　　） x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 y ﹣1 ﹣0.49 0.04 0.59 1.16 A．1＜x＜1.1 B．1.1＜x＜1.2 C．1.2＜x＜1.3 D．1.3＜x＜1.4 【变式3】（2025秋•湖里区校级月考）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表： x … ﹣1 0 1 2 … y … m 2 2 n … 且当时，对应的函数值y＜0，有以下结论： ①abc＞0；②当x≤0时y随x的增大而增大；③关于x的方程ax2+bx+c＝0有异号两实根的，而且负实数根在和0之间；④；其中正确的结论是　 　 ． 【题型三】二次函数与不等式（组） 【例1】（2025秋•广州校级期中）如图，已知抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+b交于A（﹣3，y1），B（1，y2）两点，则关于x的不等式ax2+c＞kx+b的解集是（　　） A．x＜﹣3或x＞1 B．x＞﹣3或x＜1 C．﹣3＜x＜1 D．﹣1＜x＜1 【例2】（2025秋•萧山区期中）已知直线y＝mx+n和抛物线y＝ax2+bx+c在同一坐标系中的位置如图所示，且抛物线与x轴交于点（﹣1，0）、（2，0），抛物线与直线交点的横坐标为1和，那么不等式mx+n＜ax2+bx+c＜0的解集是（　　） A．1＜x＜2 B．x或x＞1 C．x＜2 D．﹣1＜x＜2 【变式1】（2024秋•鄄城县期末）一次函数y1＝mx+n（m≠0）与二次函数的图象如图所示，则不等式ax2+（b﹣m）x+c＞n的解集为（　　） A．3＜x＜﹣4 B．x＜﹣4 C．﹣4＜x＜3 D．x＞3或x＜﹣4 【变式2】（2025秋•西宁期中）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，已知图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：①abc＞0；②5是方程ax2+bx+c＝0的一个根；③当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大；④5a+c＝0；⑤4a+2b＞am2+bm．其中正确的结论有　 　 ． 【变式3】（2025•硚口区模拟）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）经过（﹣2，0），（m，0）两点，且2＜m＜3． 下列五个结论： ①b＜0； ②b2﹣4ac＜0； ③若抛物线经过点（﹣1，﹣1），则； ④若关于x的不等式2ax2+2bx＜﹣cx的解集为0＜x＜t，则2＜t＜3； ⑤点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，若，x1＜x2，总有y1＜y2，则． 其中正确的结论是 　 　 （填写序号）． 【课后练习】 1．（2025秋•洛龙区期中）对于二次函数y＝3（x﹣2）2+1的图象，下列说法正确的是（　　） A．开口向下 B．顶点坐标是（2，1） C．当x＞2时，y随x的增大而减小 D．与x轴有两个交点 2．（2025秋•苏州期中）若关于x的方程x2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝3，则抛物线y＝（x﹣1）2+b（x﹣1）+c与x轴的交点的横坐标为（　　） A．x1＝0，x2＝2 B．x1＝0，x2＝4 C．x1＝﹣2，x2＝2 D．x1＝0，x2＝﹣2 3．（2025秋•鹿城区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（2，P），B（﹣4，q）两点，则关于x的方程ax2+c﹣mx﹣n＝0的解是 　 ． 4．（2025秋•萧山区期中）已知二次函数图象经过（﹣1，0）、（1，3）、（3，0）三点． （1）求二次函数表达式； （2）结合图象直接写出y＞0时，自变量x的取值范围是 　 　 ． 5．（2025秋•青山湖区校级期中）定义：由两条与x轴有相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“笑口线”．抛物线与抛物线组成一个如图所示的“笑口线”． （1）求出点M，N的坐标； （2）求的值． 6．（2025秋•惠东县期中）如图：已知二次函数的图象经过点C（0，3），顶点坐标为（﹣2，4），与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧）． （1）求这个二次函数的解析式； （2）求△ABC的面积． 7．（2025秋•金华期中）设函数y1＝（x+m）（x﹣n），，其中m≠n． （1）若函数y1的图象过点（0，2），函数y2的图象过点（1，4），求m2+n2的值； （2）若0＜m＜n＜4，判断函数y2与x轴的交点个数，说明理由； （3）若函数y1和函数y2与x轴的交点均相同，求m，n的值． 8．（2025秋•惠州期中）已知抛物线y＝x2﹣5x+6与x轴相交于A，B两点，且A在B的左边，与y轴相交于点C． （1）画出此抛物线； （2）写出A，B，C三点的坐标； （3）求△ABC的面积． 9．（2025秋•连江县期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），自变量x与函数值y的部分对应值如表所示．若m是方程ax2+bx+c＝0的一个实数根，且1＜m＜2，则下列四个数中，与m最接近的是（　　） x … 1.2 1.3 1.4 1.5 … y … ﹣0.96 ﹣0.41 0.16 0.75 … A．1.18 B．1.28 C．1.38 D．1.48 10．（2025春•道里区校级期中）如图所示是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，该函数图象的对称轴是直线x＝1，图象与y轴交点的纵坐标是2．则下列结论：①2a+b＝0；②方程ax2+bx+c＝0一定有一个根在﹣2和﹣1之间；③方程ax2+bx+c﹣a＝0一定有两个不相等的实数根；④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，且x1＜1＜x2，当x1+x2＞2时，y1＞y2；⑤函数y的最大值大于．其中正确结论的个数为（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 11．（2025秋•杭州期中）抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝mx+c相交于如图所示的A，B两点，则不等式ax2﹣mx+bx≤0的解集为（　　） A．x≤0或x≥3 B．x≤3 C．﹣1≤x≤3 D．0≤x≤3 12．（2025秋•永川区校级期中）二次函数y＝ax2+bx+c和一次函数y＝mx+n的图象交于点（﹣2，0）和（1，y），如图所示，则ax2+bx+c≥mx+n时，x的取值范围是　 　 ． 13．（2025秋•乐清市校级期中）如图，二次函数与一次函数y2＝mx+c的图象交于点（0，3）和（﹣3，0），则满足ax2+bx＞mx的x的取值范围为　 　 ． 14．（2025秋•东城区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线和直线y2＝kx（k＞0）交于点O和点A．若点A的横坐标是3，则kx＞ax2﹣2ax的解集为　 　 ． 15．（2025秋•东城区校级期中）如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），则关于x的不等式ax2﹣bx﹣c＜0的解集为 　 　 ． 16．（2025秋•江津区期中）如图，二次函数y＝x2+4x+3的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点A（﹣1，0），B（﹣4，3），则不等式x2+4x+3＜kx+b的解集是　 　 ． 17．（2025秋•平潭县校级期中）二次函数与一次函数y2＝kx+m（k≠0）的图象如图所示，当ax2+（b﹣k）x+c＜m时，自变量x的取值范围是　 　 ． 18．（2025秋•东湖区期中）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示．图象过点（﹣1，0），其对称轴为直线x＝2，则由图象可知，不等式ax2+bx+c＞0的解集为　 　 ． 19．（2025秋•宁乡市期中）如图，抛物线与x轴交于点A，与y轴交于点B，顶点为C，直线AB的解析式为y2＝mx+n． （1）抛物线的解析式为 　 ； （2）当﹣1＜x＜2时，y1的取值范围是 　 　 ； （3）方程a（x﹣h）2+k＝mx+n的两根是 　 ； （4）当y1＜y2时，x的取值范围是 　 ． 20．（2025秋•合肥期中）已知二次函数y＝x2﹣4x+3． （1）列表如下，请完成表格中的填空并画出二次函数y＝x2﹣4x+3的图象； x … 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 … y … 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 … （2）根据图象，直接写出不等式x2﹣4x+3＜0的解集． 21．（2025秋•苏州校级期中）如图，二次函数的图象与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与一次函数y2＝﹣x+b的图象交于A，C两点． （1）求b的值； （2）求点C的坐标； （3）根据图象，直接写出当y1＞y2时x的取值范围． 22．（2025秋•顺义区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝（x﹣1）2﹣1图象顶点为A，与x轴正半轴交于点B． （1）求点B的坐标，并画出这个二次函数的图象； （2）结合函数图象，直接写出y＜0时，x的取值范围； （3）一次函数y＝kx+b的图象过A，B两点，结合图象，直接写出关于x的不等式kx+b＞（x﹣1）2﹣1的解集． 23．（2025秋•番禺区校级期中）如图，抛物线y＝﹣（x﹣1）2+4交x轴于A、B两点，交y轴于点C． （1）求点A、B坐标； （2）若直线y＝kx+b经过B、C两点，直接写出不等式﹣（x﹣1）2+4＞kx+b的解集． 24．（2025秋•海珠区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A（1，﹣4），且与x轴交于B，C两点，点B的坐标为（3，0）． （1）写出C点的坐标，并求出抛物线的解析式； （2）若一次函数的图象经过A，B两点，观察图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围． 25．（2025秋•惠州期中）已知抛物线y＝a（x﹣1）2+k经过点A（﹣1，0），B（0，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）直接写出不等式a（x﹣1）2+k＞3的解集． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.5二次函数与一元二次方程题型总结讲义 【题型一】抛物线与x轴的交点 【例1】（2025秋•睢宁县期中）如图，已知二次函数y＝a（x+1）（x﹣3）的图象经过点A（0，3），则关于x的一元二次方程ax2﹣2ax＝3a+3的根是（　　） A．x1＝0，x2＝2 B．x1＝﹣1，x2＝3 C．x1＝0，x2＝3 D．x1＝1，x2＝﹣3 【分析】可知二次函数y＝a（x+1）（x﹣3）＝ax2﹣2ax﹣3a的对称轴为直线x1，则点A（0，3）关于对称轴对称的点为（2，3），可知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a的图象与直线y＝3的交点横坐标为0，2，进而可得答案． 【解答】解：∵二次函数y＝a（x+1）（x﹣3）＝ax2﹣2ax﹣3a的对称轴为直线x1， ∴点A（0，3）关于对称轴对称的点为（2，3）， ∴二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a的图象与直线y＝3的交点横坐标为0，2， ∴关于x的一元二次方程ax2﹣2ax＝3a+3的根为x1＝0，x2＝2． 故选：A． 【例2】（2025秋•武昌区校级期中）若抛物线y＝x2﹣2x+k与x轴无交点，则k的取值范围是k＞1　 ． 【分析】抛物线与x轴无交点，则对应的一元二次方程无实数根，即判别式小于零，列不等式求解即可得到答案． 【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x+k与x轴无交点， ∴一元二次方程x2﹣2x+k＝0无实数根， 则Δ＝（﹣2）2﹣4×1×k＝4﹣4k＜0， 解不等式得k＞1， 故答案为：k＞1． 【变式1】（2025秋•合肥期中）二次函数y＝（k﹣1）x2﹣2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是 k≤2且k≠1　 ． 【分析】根据二次函数y＝（k﹣1）x2﹣2x+1的图象与x轴有交点，可得b2﹣4ac≥0，代入求解即可． 【解答】解：∵二次函数y＝（k﹣1）x2﹣2x+1的图象与x轴有交点， ∴b2﹣4ac≥0，即（﹣2）2﹣4（k﹣1）≥0， 解得：k≤2， ∵k﹣1≠0， ∴k≠1， 综上，k的取值范围是k≤2且k≠1， 故答案为：k≤2且k≠1． 【变式2】（2025•兰州校级模拟）如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），则关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解为x1＝﹣2，x2＝1　 ． 【分析】把抛物线与直线联立可得方程ax2﹣bx﹣c＝0，那么方程ax2﹣bx﹣c＝0的解就是抛物线和直线交点的横坐标． 【解答】解：由函数图象可知， ∵抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1）， ∴关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解，就是抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点的横坐标， ∴x1＝﹣2，x2＝1． 故答案为：x1＝﹣2，x2＝1． 【变式3】（2025秋•浙江期中）已知二次函数y＝ax2﹣2x+c的图象经过点（1，0），（0，3）． （1）求该二次函数的表达式． （2）求出二次函数的图象与x轴的另一个交点坐标． 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的表达式即可． （2）由题意得二次函数的图象的对称轴为直线x1，结合抛物线的对称性可得答案． 【解答】解：（1）将（1，0），（0，3）代入y＝ax2﹣2x+c， 得， 解得， ∴该二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3． （2）二次函数的图象的对称轴为直线x1， ∵函数图象经过点（1，0）， ∴二次函数的图象与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0）． 【题型二】图象法求一元二次方程的近似根 【例1】（2025秋•老城区期中）根据下列表格中二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与函数值y的对应值，可以判断关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是（　　） x 0.5 1 1.1 1.2 1.3 y＝ax2+bx+c ﹣8.75 ﹣2 ﹣0.59 0.84 2.29 A．1.2＜x＜1.3 B．1.1＜x＜1.2 C．1＜x＜1.1 D．0.5＜x＜1 【分析】通过观察二次函数值的符号变化，确定一元二次方程根的所在区间． 【解答】解：∵当x＝1.2时，y＝0.84＞0；当x＝1.1时，y＝﹣0.59＜0； ∴方程ax2+bx+c＝0的一个解x在1.1和1.2之间， 故选：B． 【例2】（2025秋•天河区校级期中）如表是一组二次函数y＝x2+3x﹣5的自变量x与函数值y的对应值，那么方程x2+3x﹣5＝0的一个近似根的取值范围是 　1.1＜x＜1.2　 ． x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 y ﹣1 ﹣0.49 0.04 0.59 1.16 【分析】观察表格可得出0.04最接近0，进而可得出最接近方程x2+3x﹣5＝0的一个根的范围． 【解答】解：∵|0.04|＜|﹣0.49|＜|0.59|＜|﹣1|＜|1.16|， ∴最接近方程x2+3x﹣5＝0的一个根的范围是1.1＜x＜1.2． 故答案为：1.1＜x＜1.2． 【变式1】（2025秋•山阳县期中）已知二次函数y＝x2+5x﹣3中，函数y与自变量x的部分对应值如下表所示，则方程x2+5x﹣3＝0的一个解x的取值范围是　0.5＜x＜0.75　 ． x 0 0.25 0.5 0.75 1 y ﹣3 ﹣1.69 ﹣0.25 1.31 3 【分析】通过观察表格中函数值的变化，确定方程根所在区间． 【解答】解：方程x2+5x﹣3＝0的解即为函数y＝x2+5x﹣3的零点． 由表格数据可知，当x＝0.5时，y＝﹣0.25＜0； 当x＝0.75时，y＝1.31＞0． 由于函数连续，故在x＝0.5与x＝0.75之间必然存在一点使y＝0， 因此方程的一个解x的取值范围是0.5＜x＜0.75． 故答案为：0.5＜x＜0.75． 【变式2】（2025秋•良庆区期中）二次函数y＝x2+3x﹣5的自变量x与函数值y对应值如表，那么方程x2+3x﹣5＝0的一个近似根的取值范围是（　　） x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 y ﹣1 ﹣0.49 0.04 0.59 1.16 A．1＜x＜1.1 B．1.1＜x＜1.2 C．1.2＜x＜1.3 D．1.3＜x＜1.4 【分析】观察表格可得出0.04最接近0，进而可得出最接近方程x2+3x﹣5＝0的一个根的范围． 【解答】解：∵|0.04|＜|﹣0.49|＜|0.59|＜|﹣1|＜|1.16|， ∴最接近方程x2+3x﹣5＝0的一个根的范围是1.1＜x＜1.2． 故选：B． 【变式3】（2025秋•湖里区校级月考）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表： x … ﹣1 0 1 2 … y … m 2 2 n … 且当时，对应的函数值y＜0，有以下结论： ①abc＞0；②当x≤0时y随x的增大而增大；③关于x的方程ax2+bx+c＝0有异号两实根的，而且负实数根在和0之间；④；其中正确的结论是　②③④　 ． 【分析】由x＝0时，c＝2，x＝1时，a+b+2＝2，得出a+b＝0，即可判断①；求得对称轴和开口方向即可判断②；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在至0之间，即可判断③；由对称轴公式得出b＝﹣a，则y＝ax2﹣ax+2，即可得出m＝n＝2a+2，得出3m﹣n＝4a+4，由当x时，y，求得a，即可得出3m﹣n，即可判断④． 【解答】解：当x＝0时，c＝2， 当x＝1时，a+b+2＝2， ∴a+b＝0， ∴abc＜0，故①错误； ∵x＝0时，y＝2，x＝1时，y＝2， ∴对称轴为：x， ∵当x时，对应的函数值y＜0， ∴抛物线开口向下， ∴当x 时，y随x的增大而增大， ∴当x≤0时，y随x的增大而增大，故②正确； ∵x＝1时，y＝2，x时，y＜0， ∴抛物线与x轴的交点在1至之间， ∵对称轴为x， ∴抛物线与x轴的另一个交点在至0之间， ∴关于x的方程ax2+bx+c＝0有异号两实根，而且负实数根在和0之间，故③正确； ∵，∴b＝﹣a， ∴y＝ax2﹣ax+2， ∴m＝n＝2a+2， ∴3m﹣n＝4a+4， ∵当x时，y， ∴a， ∴3m﹣n，故④正确； 故答案为：②③④． 【题型三】二次函数与不等式（组） 【例1】（2025秋•广州校级期中）如图，已知抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+b交于A（﹣3，y1），B（1，y2）两点，则关于x的不等式ax2+c＞kx+b的解集是（　　） A．x＜﹣3或x＞1 B．x＞﹣3或x＜1 C．﹣3＜x＜1 D．﹣1＜x＜1 【分析】不等式ax2+c＞kx+b的解集是抛物线y＝ax2+c在直线y＝kx+b上方相对应的自变量x的取值范围，根据函数图象及其交点即可解答． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+b交于A（﹣3，y1），B（1，y2）两点， 结合抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+b的图象可知，关于x的不等式ax2+c＞kx+b的解集是﹣3＜x＜1， 故选：C． 【例2】（2025秋•萧山区期中）已知直线y＝mx+n和抛物线y＝ax2+bx+c在同一坐标系中的位置如图所示，且抛物线与x轴交于点（﹣1，0）、（2，0），抛物线与直线交点的横坐标为1和，那么不等式mx+n＜ax2+bx+c＜0的解集是（　　） A．1＜x＜2 B．x或x＞1 C．x＜2 D．﹣1＜x＜2 【分析】直接根据二次函数的图象与一次函数的交点即可得出结论． 【解答】解：∵由函数图象可知，当﹣1＜x＜2时，ax2+bx+c＜0；当x＞1时，mx+n＜ax2+bx+c， ∴不等式mx+n＜ax2+bx+c＜0的解集是1＜x＜2． 故选：A． 【变式1】（2024秋•鄄城县期末）一次函数y1＝mx+n（m≠0）与二次函数的图象如图所示，则不等式ax2+（b﹣m）x+c＞n的解集为（　　） A．3＜x＜﹣4 B．x＜﹣4 C．﹣4＜x＜3 D．x＞3或x＜﹣4 【分析】观察图象得：当﹣4＜x＜3时，二次函数图象位于一次函数图象的上方，即可求解． 【解答】解：观察图象得：当﹣4＜x＜3时，二次函数图象位于一次函数图象的上方， ∴不等式ax2+bx+c＞mx+n的解集为﹣4＜x＜3， 即不等式ax2+（b﹣m）x+c＞n的解集为﹣4＜x＜3． 故选：C． 【变式2】（2025秋•西宁期中）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，已知图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：①abc＞0；②5是方程ax2+bx+c＝0的一个根；③当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大；④5a+c＝0；⑤4a+2b＞am2+bm．其中正确的结论有　②④　 ． 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴和与x、y轴交点可知，从而易判断①②；由图知，当x＝﹣1时，函数值为0，即有a﹣b+c＝0，再结合由对称轴得到b＝﹣4a，从而易判断④；由图象易判断③；由于函数在x＝2时取得最大值，对任意的实数m，其函数值不超过函数的最大值，从而易判断⑤． 【解答】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵抛物线的对称轴为直线x＝2，图象过点（﹣1，0）， ∴，图象过点（5，0） ∴b＝﹣4a，b＞0， ∵抛物线与y轴交于坐标轴正半轴， ∴c＞0， ∴abc＜0，故①错误； ∵图象过点（5，0）， ∴5是方程ax2+bx+c＝0的一个根，故②正确； 当x＝﹣1时，函数值为0，即有a﹣b+c＝0， ∵b＝﹣4a， ∴a+4a+c＝0，即5a+c＝0，故④正确； 观察图象知，当x＞﹣1时，随自变量的增加，函数值有增大有减小，故③错误； ∵函数在x＝2时取得最大值4a+2b+c， ∴对任意的实数m，都有4a+2b+c≥am2+bm+c， 即4a+2b≥am2+bm，故⑤错误， ∴正确的有②④， 故答案为：②④． 【变式3】（2025•硚口区模拟）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）经过（﹣2，0），（m，0）两点，且2＜m＜3． 下列五个结论： ①b＜0； ②b2﹣4ac＜0； ③若抛物线经过点（﹣1，﹣1），则； ④若关于x的不等式2ax2+2bx＜﹣cx的解集为0＜x＜t，则2＜t＜3； ⑤点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，若，x1＜x2，总有y1＜y2，则． 其中正确的结论是 　①③⑤　 （填写序号）． 【分析】根据抛物线的对称性，增减性，对称轴的两种表示方法，抛物线与不等式，解答即可． 【解答】解：由题意可得：a＞0，0＜m﹣2＜1，， ∴， ∴b＜0； 故①正确； 由题意可得：x＝﹣2，x＝m是方程ax2+bx+c＝0的两个不相等的实数根， ∴b2﹣4ac＞0； 故②错误； ∵抛物线经过点（﹣1，﹣1）， ∴a﹣b+c＝﹣1， ∵4a﹣2b+c＝0， 解得b＝3a﹣1， ∵， ∴， ∴0＜﹣b＜a； ∴0＜1﹣3a＜a； 解得， 故③正确； ∵关于x的不等式2ax2+2bx＜﹣cx的解集为0＜x＜t， ∴2ax2+（2b+c）x＜0， ∴2ax2+（2b+c）x＝0的两个根为x＝0，， ∵关于x的不等式2ax2+2bx＜﹣cx的解集为0＜x＜t， ∴， ∵， ∴b＝a（2﹣m）， ∴c＝2b﹣4a＝﹣2amb＝a（2﹣m）， ∴t＝2m﹣2， ∴， ∵2＜m＜3， ∴， ∴2＜t＜4， 故④错误； ∵点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，抛物线的对称轴为，，总有y1＜y2， ∴，且， 解得， ∵2＜m＜3 ∴． 故⑤正确， 故答案为：①③⑤． 【课后练习】 1．（2025秋•洛龙区期中）对于二次函数y＝3（x﹣2）2+1的图象，下列说法正确的是（　　） A．开口向下 B．顶点坐标是（2，1） C．当x＞2时，y随x的增大而减小 D．与x轴有两个交点 【分析】由二次函数解析式可知该二次函数图象的开口向上，顶点坐标是（2，1），当x＞2时，y随x的增大而增大．根据3（x﹣2）2+1≥1可知，二次函数y＝3（x﹣2）2+1的图象始终在x轴的上方，即二次函数y＝3（x﹣2）2+1的图象与x轴没有交点． 【解答】解：∵二次函数为y＝3（x﹣2）2+1， ∴该二次函数图象的开口向上，顶点坐标是（2，1），当x＞2时，y随x的增大而增大， 故A，C选项不正确，不符合题意，B选项正确，符合题意； ∵3（x﹣2）2≥0恒成立， ∴3（x﹣2）2+1≥1恒成立， ∴二次函数y＝3（x﹣2）2+1的图象始终在x轴的上方， ∴二次函数y＝3（x﹣2）2+1的图象与x轴没有交点， 故D选项不正确，不符合题意． 故选：B． 2．（2025秋•苏州期中）若关于x的方程x2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝3，则抛物线y＝（x﹣1）2+b（x﹣1）+c与x轴的交点的横坐标为（　　） A．x1＝0，x2＝2 B．x1＝0，x2＝4 C．x1＝﹣2，x2＝2 D．x1＝0，x2＝﹣2 【分析】把（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0看作关于x﹣1的一元二次方程，则x﹣1＝﹣1，x﹣1＝3，所以方程（x﹣1）2+b（x﹣1）+c的解为x1＝0，x2＝4，然后根据抛物线与x轴的交点问题求解． 【解答】解：∵关于x的方程x2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝3， ∴关于x﹣1的一元二次方程（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0的解为x﹣1＝﹣1，x﹣1＝3， 解得x1＝0，x2＝4， ∴抛物线y＝（x﹣1）2+b（x﹣1）+c与x轴的交点的横坐标为x1＝0，x2＝4． 故选：B． 3．（2025秋•鹿城区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（2，P），B（﹣4，q）两点，则关于x的方程ax2+c﹣mx﹣n＝0的解是 x1＝﹣4，x2＝2　 ． 【分析】由于抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交点坐标满足两个解析式，所以当x＝﹣4和x＝2时，ax2+c＝mx+n，从而得到关于x的方程ax2+c﹣mx﹣n＝0的解． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（2，P），B（﹣4，q）两点， ∴当x＝﹣4和x＝2时，ax2+c＝mx+n， ∴关于x的方程ax2+c﹣mx﹣n＝0的解是x1＝﹣4，x2＝2． 故答案为：x1＝﹣4，x2＝2． 4．（2025秋•萧山区期中）已知二次函数图象经过（﹣1，0）、（1，3）、（3，0）三点． （1）求二次函数表达式； （2）结合图象直接写出y＞0时，自变量x的取值范围是 　﹣1＜x＜3　 ． 【分析】（1）设交点式为y＝a（x+1）（x﹣3），然后把（1，3）代入求出a的值即可； （2）利用函数图象，写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围即可． 【解答】解：（1）∵抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0）， ∴抛物线解析式可设为y＝a（x+1）（x﹣3）， 把（1，3）代入得3＝a×（1+1）×（1﹣3）， 解得a， ∴抛物线解析式为y（x+1））（x﹣3）， 即yx2x； （2）∵a＜0， ∴抛物线开口向下， ∵抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0）， ∴当y＞0时，自变量x的取值范围是﹣1＜x＜3． 故答案为：﹣1＜x＜3． 5．（2025秋•青山湖区校级期中）定义：由两条与x轴有相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“笑口线”．抛物线与抛物线组成一个如图所示的“笑口线”． （1）求出点M，N的坐标； （2）求的值． 【分析】（1）解方程（x﹣1）2﹣2＝0可得到M、N的坐标； （2）利用抛物线与x轴的交点问题得一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为x1＝﹣1，x2＝3，则根据根与系数的关系得x1x23，从而得到的值． 【解答】解：（1）当y1＝0时，（x﹣1）2﹣2＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝3， ∴M（﹣1，0），N（3，0）； （2）∵抛物线与x轴的交点为M（﹣1，0），N（3，0）， ∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为x1＝﹣1，x2＝3， ∵x1x2， ∴1×3， ∴3， ∴． 6．（2025秋•惠东县期中）如图：已知二次函数的图象经过点C（0，3），顶点坐标为（﹣2，4），与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧）． （1）求这个二次函数的解析式； （2）求△ABC的面积． 【分析】（1）设二次函数的解析式为y＝a（x+2）2+4，再把点C的坐标代入解析式，即可求得； （2）首先求得点A、B的坐标，再根据三角形的面积公式，即可求得． 【解答】解：（1）由题意可得：设二次函数的解析为y＝a（x+2）2+4， 把C（0，3）代入解析式， 得3＝a（0+2）2+4， 解得， 所以，； （2）令y＝0，则， 解得或x＝﹣6， ∴AB＝2﹣（﹣6）＝8， ∴． 7．（2025秋•金华期中）设函数y1＝（x+m）（x﹣n），，其中m≠n． （1）若函数y1的图象过点（0，2），函数y2的图象过点（1，4），求m2+n2的值； （2）若0＜m＜n＜4，判断函数y2与x轴的交点个数，说明理由； （3）若函数y1和函数y2与x轴的交点均相同，求m，n的值． 【分析】（1）把（0，2）代入y1得﹣mn＝2，把（1，4）代入y2得﹣1+m﹣n＝4，即mn＝﹣2，m﹣n＝3，然后把m﹣n＝3两边平方后利用整体代入的方法可计算出m2+n2的值； （2）先计算出Δ＝m2﹣4×（﹣1）×（﹣n）＝m2﹣4n，然后根据0＜m＜n＜4可判断Δ＜0，从而根据根的判别式的意义可判断函数y2与x轴的交点个数； （3）先解方程（x+m）（x﹣n）＝0得到函数y1的图象与x轴的交点坐标为（﹣m，0），（n，0），由于函数y1和函数y2与x轴的交点均相同，则利用交点式得到y2＝﹣（x+m）（x﹣n），展开后对比得到n﹣m＝m，mn＝﹣n，然后解方程组得到m、n的值． 【解答】解：（1）把（0，2）代入y1＝（x+m）（x﹣n）得﹣mn＝2， 把（1，4）代入y2＝﹣x2+mx﹣n得﹣1+m﹣n＝4， 即mn＝﹣2，m﹣n＝3， ∵（m﹣n）2＝9， 即m2﹣2mn+n2＝9， ∴m2+n2＝9+2mn＝9+2×（﹣2）＝5； （2）函数y2与x轴的交点个数为0． 理由如下： 当y2＝0时，﹣x2+mx﹣n＝0， ∵0＜m＜n＜4， ∴Δ＝m2﹣4×（﹣1）×（﹣n）＝m2﹣4n＜0， ∴函数y2与x轴的交点个数为0； （3）当y1＝0时，（x+m）（x﹣n）＝0， 解得x1＝﹣m，x2＝n， ∴函数y1的图象与x轴的交点坐标为（﹣m，0），（n，0）， ∵函数y1和函数y2与x轴的交点均相同， ∴y2＝﹣（x+m）（x﹣n）， 即y2＝﹣x2+（n﹣m）x+mn， ∴n﹣m＝m，mn＝﹣n， 解得m＝﹣1，n＝﹣2． 8．（2025秋•惠州期中）已知抛物线y＝x2﹣5x+6与x轴相交于A，B两点，且A在B的左边，与y轴相交于点C． （1）画出此抛物线； （2）写出A，B，C三点的坐标； （3）求△ABC的面积． 【分析】（1）利用描点法画出函数图象即可； （2）令y＝0，求得x的值即可求得A、B的坐标，令x＝0，求得函数值，即可求得C的坐标； （3）利用三角形面积公式即可求得． 【解答】解：（1）列表： x … 0 1 2 3 4 5 y … 6 2 0 0 2 6 画出函数图象如图： （2）在y＝x2﹣5x+6中，令y＝0，则x2﹣5x+6＝0， 解得x1＝2，x2＝3， 又∵A在B左边， ∴A（2，0），B（3，0）， 在y＝x2﹣5x+6中，令x＝0，得y＝6， ∴C（0，6）； （3）∵A（2，0），B（3，0）， ∴AB＝3﹣2＝1， ∵C（0，6）， ∴OC＝6， ∴S△ABC3． 9．（2025秋•连江县期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），自变量x与函数值y的部分对应值如表所示．若m是方程ax2+bx+c＝0的一个实数根，且1＜m＜2，则下列四个数中，与m最接近的是（　　） x … 1.2 1.3 1.4 1.5 … y … ﹣0.96 ﹣0.41 0.16 0.75 … A．1.18 B．1.28 C．1.38 D．1.48 【分析】观察表中数据得到抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴的一个交点在（1.3，0）和点（1.4，0）之间，然后根据抛物线与x轴的交点问题可得到方程ax2+bx+c＝0一个根的近似值． 【解答】解：∵x＝1.3时，y＝ax2+bx+c＝﹣0.41； x＝1.4时，y＝ax2+bx+c＝0.16； ∴抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴的一个交点在（1.3，0）和点（1.4，0）之间， ∴方程ax2+bx+c＝0有一个根在1.3和1.4点之间． 故选：C． 10．（2025春•道里区校级期中）如图所示是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，该函数图象的对称轴是直线x＝1，图象与y轴交点的纵坐标是2．则下列结论：①2a+b＝0；②方程ax2+bx+c＝0一定有一个根在﹣2和﹣1之间；③方程ax2+bx+c﹣a＝0一定有两个不相等的实数根；④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，且x1＜1＜x2，当x1+x2＞2时，y1＞y2；⑤函数y的最大值大于．其中正确结论的个数为（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【分析】根据二次函数的对称性，开口方向等来判断结论①②，根据二次函数与一元二次方程的关系来判断结论③，根据函数的增减性，函数值判断结论④⑤即可． 【解答】解：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象开口向下， ∴a＜0， 对称轴直线为x1 ∴b＝﹣2a＞0， ∴2a+b＝0，故①正确； ∵图象与x轴的一个交点在2～3之间，且对称轴直线为x＝1， ∴另一个交点在﹣1～0之间，故②错误； ∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象与y轴交点的纵坐标是2， ∴c＝2， ∴ax2﹣2ax+2﹣a＝0， ∴Δ＝（﹣2a）2﹣4a×（2﹣a）＝8a2﹣8a＝8a（a﹣1）， 令Δ＝0，得8a2﹣8a＝8a（a﹣1）＝0， ∴a＝0或a＝1， ∵a＜0， ∴Δ＞0， ∴方程ax2+bx+c﹣a＝0一定有两个不相等的实数根，故③正确； ∵抛物线的开口向下， ∴抛物线上的点距离对称轴越远y值越小，距离对称轴越近y值越大， ∵x1+x2＞2， ∴x1＞2﹣x2， ∴﹣x1＜﹣2+x2， ∴1﹣x1＜﹣2+x2+1， ∴1﹣x1＜x2﹣1， ∵A点到对称轴的距离是1﹣x1，B点到对称轴的距离是x2﹣1， ∴y1＞y2，故④正确； 如图，当x＝3时，y＜0， ∴9a﹣6a+2＜0， ∴， ∴， 当x＝1时，， ∴函数y的最大值大于，故⑤正确， 综上所述，正确的结论有：①③④⑤，共4个， 故选：B． 11．（2025秋•杭州期中）抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝mx+c相交于如图所示的A，B两点，则不等式ax2﹣mx+bx≤0的解集为（　　） A．x≤0或x≥3 B．x≤3 C．﹣1≤x≤3 D．0≤x≤3 【分析】根据图象中直线不在抛物线下方的x的取值范围求解． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝mx+c相交于A，B两点，A的横坐标为0，B的横坐标为3， ∴当0＜x＜3时，抛物线在直线下方， ∵不等式ax2﹣mx+bx≤0的解集即为ax2+bx≤mx的解集，也是ax2+bx+c≤mx+c的解集 ∴不等式ax2﹣mx+bx≤0的解集为0≤x≤3， 故选：D． 12．（2025秋•永川区校级期中）二次函数y＝ax2+bx+c和一次函数y＝mx+n的图象交于点（﹣2，0）和（1，y），如图所示，则ax2+bx+c≥mx+n时，x的取值范围是　﹣2≤x≤1　 ． 【分析】根据二次函数图象与一次函数图象的位置关系求解即可． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c和一次函数y＝mx+n的图象交于点（﹣2，0）和（1，y）， ∴两函数交点的横坐标分别为x1＝﹣2，x2＝1， ∴ax2+bx+c≥mx+n时，x的取值范围是﹣2≤x≤1，故答案为：﹣2≤x≤1． 13．（2025秋•乐清市校级期中）如图，二次函数与一次函数y2＝mx+c的图象交于点（0，3）和（﹣3，0），则满足ax2+bx＞mx的x的取值范围为　﹣3＜x＜0　 ． 【分析】由图象可知，ax2+bx+c＞mx+c的解集为﹣3＜x＜0，即可得出答案． 【解答】解：由图象可知，ax2+bx+c＞mx+c的解集为﹣3＜x＜0， ∴满足ax2+bx＞mx的x的取值范围为﹣3＜x＜0． 故答案为：﹣3＜x＜0． 14．（2025秋•东城区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线和直线y2＝kx（k＞0）交于点O和点A．若点A的横坐标是3，则kx＞ax2﹣2ax的解集为　0＜x＜3　 ． 【分析】根据两函数图象的交点确定ax＞ax2﹣2ax表示的意思是一次函数在抛物线上方，即在点O和点A之间，据此求解即可． 【解答】解：∵抛物线和直线y2＝kx（k＞0）交于点O和点A，且点A的横坐标是3， ∴解集为0＜x＜3， 故答案为：0＜x＜3． 15．（2025秋•东城区校级期中）如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），则关于x的不等式ax2﹣bx﹣c＜0的解集为 　﹣2＜x＜1　 ． 【分析】根据二次函数与不等式的关系求解． 【解答】解：由图象得：当﹣2＜x＜1时，有ax2＜bx+c，即ax2﹣bx﹣c＜0， 故答案为：﹣2＜x＜1． 16．（2025秋•江津区期中）如图，二次函数y＝x2+4x+3的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点A（﹣1，0），B（﹣4，3），则不等式x2+4x+3＜kx+b的解集是　﹣4＜x＜﹣1　 ． 【分析】利用函数图象，写出二次函数y＝x2+4x+3的图象在一次函数y＝kx+b的图象下方部分所对应的自变量范围即可． 【解答】解：由图象可知，不等式x2+4x+3＜kx+b的解集是﹣4＜x＜﹣1． 故答案为：﹣4＜x＜﹣1． 17．（2025秋•平潭县校级期中）二次函数与一次函数y2＝kx+m（k≠0）的图象如图所示，当ax2+（b﹣k）x+c＜m时，自变量x的取值范围是　﹣1＜x＜4　 ． 【分析】根据函数图象写出抛物线在直线下方部分的x的取值范围即可． 【解答】解：观察图象得：当1＜x＜4时，y1＜y2， 即当1＜x＜4时，ax2+bx+c＜kx+m，此时ax2+（b﹣k）x+c＜m， 所以当ax2+（b﹣k）x+c＜m时，自变量x的取值范围是1＜x＜4． 故答案为：1＜x＜4． 18．（2025秋•东湖区期中）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示．图象过点（﹣1，0），其对称轴为直线x＝2，则由图象可知，不等式ax2+bx+c＞0的解集为　﹣1＜x＜5　 ． 【分析】先根据二次函数的对称性求出二次函数与x轴的另一个交点的坐标为（﹣1，0），再结合二次函数的图象即可得解． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点为（﹣1，0）， ∴二次函数与x轴的另一个交点的坐标为（5，0）， ∵二次函数的图象开口向下， ∴不等式ax2+bx+c＞0的解集为﹣1＜x＜5， 故答案为：﹣1＜x＜5． 19．（2025秋•宁乡市期中）如图，抛物线与x轴交于点A，与y轴交于点B，顶点为C，直线AB的解析式为y2＝mx+n． （1）抛物线的解析式为 y＝﹣（x﹣1）2+9　 ； （2）当﹣1＜x＜2时，y1的取值范围是 　5＜y1≤9　 ； （3）方程a（x﹣h）2+k＝mx+n的两根是 x1＝0，x2＝4　 ； （4）当y1＜y2时，x的取值范围是 x＜0或x＞4　 ． 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）当x＝1时，y1有最大值9，当x＝﹣1时，y1＝5，从而求出范围； （3）根据图象即可求解； （4）根据图象即可求解． 【解答】解：（1）根据图象可知顶点坐标为（1，9）， ∴， ∵抛物线过点A（4，0）， ∴0＝a（4﹣1）2+9， 解得：a＝﹣1， ∴， 故答案为：； （2）当x＝1时，y1有最大值9，当x＝﹣1时，， 当﹣1＜x＜2时，y1的取值范围是5＜y1≤9， 故答案为：5＜y1≤9； （3）根据图象可知，方程a（x﹣h）2+k＝mx+n的两根是x1＝0，x2＝4， 故答案为：x1＝0，x2＝4； （4）根据图象可知，当y1＜y2时，x的取值范围是x＜0或x＞4， 故答案为：x＜0或x＞4． 20．（2025秋•合肥期中）已知二次函数y＝x2﹣4x+3． （1）列表如下，请完成表格中的填空并画出二次函数y＝x2﹣4x+3的图象； x … 　0　 　1　 　2　 　3　 　4　 … y … 　3　 　0　 　﹣1　 　0　 　3　 … （2）根据图象，直接写出不等式x2﹣4x+3＜0的解集． 【分析】（1）根据函数解析式找出对应的x，y的值列表，描点、连线画出函数的图象即可； （2）根据图象可得． 【解答】解：（1）已知二次函数y＝x2﹣4x+3，列表如下： x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 ﹣1 0 3 … 如图即为所求抛物线； 故答案为：0，1，2，3，4；3，0，﹣1，0，3； （2）根据图象可得：当1＜x＜3时，x2﹣4x+3＜0． 21．（2025秋•苏州校级期中）如图，二次函数的图象与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与一次函数y2＝﹣x+b的图象交于A，C两点． （1）求b的值； （2）求点C的坐标； （3）根据图象，直接写出当y1＞y2时x的取值范围． 【分析】（1）利用二次函数求出点A坐标，再利用待定系数法解答即可； （2）联立两函数解析式，求出方程组的解即可； （3）根据函数图象解答即可． 【解答】解：（1）把y＝0代入二次函数，得x2﹣2x﹣3＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝3， ∴A（﹣1，0）， 把A（﹣1，0）代入一次函数y2＝﹣x+b，得0＝1+b， ∴b＝﹣1； （2）∵b＝﹣1， ∴一次函数y2＝﹣x﹣1， 由，解得或， ∴点C的坐标为（2，﹣3）； （3）由函数图象可知，当y1＞y2时x的取值范围为x＜﹣1或x＞2． 22．（2025秋•顺义区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝（x﹣1）2﹣1图象顶点为A，与x轴正半轴交于点B． （1）求点B的坐标，并画出这个二次函数的图象； （2）结合函数图象，直接写出y＜0时，x的取值范围； （3）一次函数y＝kx+b的图象过A，B两点，结合图象，直接写出关于x的不等式kx+b＞（x﹣1）2﹣1的解集． 【分析】（1）利用二次函数的性质求出图象与横轴的交点坐标即可，利用描点法画出函数图象； （2）利用二次函数图象和坐标轴的交点确定不等式的解集即可； （3）利用利用二次函数图象与直线的交点坐标确定不等式的解集即可． 【解答】解：（1）当y＝（x﹣1）2﹣1＝0时，得x＝0或x＝2， ∵点B位于x轴正半轴， ∴B（2，0）； 列表得： x ﹣1 0 1 2 3 y 3 0 ﹣1 0 3 描点，画出函数图象如下： （2）当y＜0时，0＜x＜2； （3）∵一次函数y＝kx+b的图象过A，B两点， ∴关于x的不等式kx+b＞（x﹣1）2﹣1的解集为1＜x＜2． 23．（2025秋•番禺区校级期中）如图，抛物线y＝﹣（x﹣1）2+4交x轴于A、B两点，交y轴于点C． （1）求点A、B坐标； （2）若直线y＝kx+b经过B、C两点，直接写出不等式﹣（x﹣1）2+4＞kx+b的解集． 【分析】（1）令﹣（x﹣1）2+4＝0，求出x的值，即可得点A，B的坐标． （2）结合图象可得出答案． 【解答】解：（1）令﹣（x﹣1）2+4＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝3， ∴A（﹣1，0），B（3，0）． （2）由图象可知，不等式﹣（x﹣1）2+4＞kx+b的解集为0＜x＜3． 24．（2025秋•海珠区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A（1，﹣4），且与x轴交于B，C两点，点B的坐标为（3，0）． （1）写出C点的坐标，并求出抛物线的解析式； （2）若一次函数的图象经过A，B两点，观察图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围． 【分析】（1）设出抛物线的解析式将点代入求解即可得到答案； （2）画出一次函数，根据图象找到一次函数图象在上的部分即可得到答案． 【解答】解：（1）抛物线的顶点为A（1，﹣4），且与x轴交于B，C两点，点B的坐标为（3，0）．设二次函数的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，将点B的坐标代入得： （3﹣1）2a﹣4＝0， 解得：a＝1， ∴y＝（x﹣1）2﹣4； （2）一次函数值大于二次函数值的x的取值范围为1＜x＜3；理由如下： 如图， 由图象可得：A、B之间直线在上二次函数在下， ∴一次函数值大于二次函数值的x的取值范围为1＜x＜3． 25．（2025秋•惠州期中）已知抛物线y＝a（x﹣1）2+k经过点A（﹣1，0），B（0，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）直接写出不等式a（x﹣1）2+k＞3的解集． 【分析】（1）将A、B两点坐标代入函数解析式即可； （2）B（0，3），即y＝3，根据对称性和抛物线开口向下，从而确定不等式解集． 【解答】解：（1）由题意得， ， ∴， ∴y＝﹣（x﹣1）2+4； （2）∵抛物线对称轴是直线x＝1， ∴B（0，3）关于直线x＝1的对称点是（2，3）， 又∵a＝﹣1＜0， ∴不等式a（x﹣1）2+k＞3的解集是0＜x＜2． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $