精品解析：江苏省吉安市 2025-2026学年上学期九年级数学期中试卷

吉安市2025-2026学年（上）九年级数学期中试卷 一、单选题（每小题3分，共18分） 1. 若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，将一个长方体木块和一个正方体木块按如图位置摆放在桌面上，其主视图为（　　） A. B. C. D. 3. 若，是方程的两个根，则（） A. B. C. D. 4. 在直角坐标系中，已知点，，以坐标原点O为位似中心，作与的位似比为2的位似图形，则点A的对应点的坐标是（　　） A. B. C. 或 D. 或 5. 如图，在矩形ABCD中，连接AC，以点A为圆心，小于AD的长为半径画弧，分别交AD，AC于点E，F，分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧在∠DAC内交于点G，画射线AG交DC于点H．若AD＝6，AB＝8，则△AHC的面积为（　　） A. 9 B. 15 C. 18 D. 30 6. 如图，E是平行四边形的边延长线上一点，连接，交于点F，连接，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 7. 将一元二次方程化成一般形式为________． 8. 已知正方形ABCD的一条对角线长为2，则它的面积是______． 9. 某制药厂两年前生产1吨某种药品的成本是100万元，随着生产技术的进步，现在生产1吨这种药品的成本为81万元，则这种药品的成本的年平均下降率为___________． 10. 如图，将长方形纸片沿折叠，使点落在点处，交于点，若，，则的长为_________________． 11. 如图，在平行四边形中，点在的延长线上，，、交于点．，则的长为__． 12. 在菱形中，，点E，F分别是的中点，动点P从B出发，沿着顺时针方向运动到C点，当为直角三角形时，的长度为______． 三、解答题（每小题6分，共30分） 13. （1）解方程：． （2）已知，求． 14. 跑在水美泗乡，3月30日下午，2025京东宿迁马拉松圆满收官．这场主打“体验感” “温馨感” “科技感”与“时尚感”的豪横赛事也获得了大众的好感，它不仅点燃了全民运动热情，更向世界展示了宿迁“项王故里、中国酒都、水润之城”的独特魅力．赛道中途补给站给参赛选手准备了A．小番茄，B．香蕉，C．黄瓜，D．面包四种补给（假设参赛选手选中每种补给的结果是等可能的）． （1）选手宿宿在经过补给站时，选中D．面包的概率是____； （2）请用列表或画树状图的方法，求参赛选手甲、乙两人经过同一补给站所选的补给中有B．香蕉的概率． 15. 如图，在Rt中，，平分，交于点；，分别是，上的点，连接．若垂直平分，求证：四边形是正方形． 16. 图1、图2均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中的边上确定一点E，连接，使； （2）在图②中的边上确定一点P，在边上确定一点Q，连接，使，且相似比为． 17. 如图，小张所在的数学小组想测量教学楼正后方水塔的高度．当小张站在与教学楼和水塔在同一直线的点处时，刚好看到教学楼顶端与水塔顶端在一条直线上，此时他与教学楼的距离为．已知教学楼的高为，小张的眼睛到地面的距离为．求水塔的高度． 四、解答题（每小题8分，共24分) 18. 如图，矩形的对角线，交于点F，延长到点C，使，延长到点D，使，连接，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的面积． 19. 今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件． （1）求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率． （2）经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？ 20. 已知一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程与有一个相同的根，求此时m的值． 五、解答题（本大题共2个小题，每小题9分，共18分） 21. 配方法是数学中重要的一种思想方法，能帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等问题． 【材料一】我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，可称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，再如，，（x，y是整数）， 所以M也是“完美数”． 【材料二】例如，把二次三项式进行配方，可求其最值． 解：； 当时，的最小值为2． 请通过阅读以上材料，解决以下问题： 【解决问题】（1）下列各数中，“完美数”有______（只填序号）；①11；②34；③60． 【探究问题】（2）若可配方成（m，n为正整数），则的值为______； 【拓展应用】（3）已知实数x，y均满足，求代数式的最小值． 22. 如图，，动点，分别以每秒和的速度同时开始运动，其中点从点出发，沿边一直移到点为止，点从点出发沿边一直运动到点为止（点到达点后，点继续运动） （1）请直接用含的代数式表示的长和的长，并写出的取值范围； （2）当等于何值时，与相似？ 六、解答题（共12分） 23. 综合与探究 如图，在菱形中，，点是对角线上的一个动点（不与点，重合），过点作交于点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点的对应点恰好落在射线上． 问题解决： （1）线段与之间的数量关系是_________； （2）求的度数． 拓展探究： （3）连接，与交于点．若，，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉安市2025-2026学年（上）九年级数学期中试卷 一、单选题（每小题3分，共18分） 1. 若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一般地，形如（其中a、b、c是常数且）的方程叫做一元二次方程，据此求解即可． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， 故选：D． 2. 如图，将一个长方体木块和一个正方体木块按如图位置摆放在桌面上，其主视图为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了简单组合体的主视图，熟练掌握主视图是从物体正面观察得到的视图是解题的关键．根据主视图的定义，从正面观察该组合体，确定看到的图形形状，再与选项进行对比． 【详解】解：从正面看，左边是一个长方形（长方体的主视图），右边是一个正方形（正方体的主视图），形状与选项A一致． 故选：A． 3. 若，是方程的两个根，则（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，掌握知识点是解题的关键． 利用一元二次方程根与系数的关系，直接计算根的和与积． 【详解】解：∵方程中，，，， ∴，． 只有选项B正确． 故选B． 4. 在直角坐标系中，已知点，，以坐标原点O为位似中心，作与的位似比为2的位似图形，则点A的对应点的坐标是（　　） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得点A的对应点的坐标是或，即可得． 【详解】解：∵以坐标原点O为位似中心，作与的位似比为2的位似图形，点， ∴点A的对应点的坐标是或， 即或， 故选：D． 【点睛】本题考查了位似的变换，解题的关键是掌握位似的变换的概念． 5. 如图，在矩形ABCD中，连接AC，以点A为圆心，小于AD的长为半径画弧，分别交AD，AC于点E，F，分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧在∠DAC内交于点G，画射线AG交DC于点H．若AD＝6，AB＝8，则△AHC的面积为（　　） A. 9 B. 15 C. 18 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】由作图过程可得AH平分∠DAC，过点H作HQ⊥AC于点Q，根据角平分线的性质可得DH＝QH，然后证明Rt△ADH≌Rt△AQH（HL），可得AD＝AQ＝6，所以CQ＝AC﹣AQ＝10﹣6＝4，再根据勾股定理可得HQ，进而可以解决问题． 【详解】解：由作图过程可知：AH平分∠DAC， 如图，过点H作HQ⊥AC于点Q， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D＝90°， ∴DH＝QH， ∵AD＝6，DC＝AB＝8， ∴AC10， ∴HC＝DC﹣DH＝8﹣HQ， 在Rt△ADH和Rt△AQH中， ， ∴Rt△ADH≌Rt△AQH（HL）， ∴AD＝AQ＝6， ∴CQ＝AC﹣AQ＝10﹣6＝4， 在Rt△CHQ中，根据勾股定理得： CH2＝CQ2+HQ2， ∴（8﹣HQ）2＝42+HQ2， 解得HQ＝3， ∴△AHC的面积AC•HQ10×3＝15， 故选：B． 【点睛】本题考查了作图一基本作图、角平分线的性质,矩形的性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理，掌握基本作图方法是解决本题的关键． 6. 如图，E是平行四边形的边延长线上一点，连接，交于点F，连接，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，利用高相等的两个三角形面积之比等于底之比是解题的关键． 首先由，得，再根据相似三角形的性质，可得，，可得，据此即可求解． 【详解】解：是的边延长线上一点， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共18分） 7. 将一元二次方程化成一般形式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式（a，b，c是常数且）是解题的关键． 通过移项将原方程化成一元二次方程的一般形式即可． 【详解】解：由可得． 所以将一元二次方程化成一般形式． 故答案为：． 8. 已知正方形ABCD的一条对角线长为2，则它的面积是______． 【答案】6 【解析】 【分析】正方形的面积：边长的平方或两条对角线之积的一半，根据公式直接计算即可. 【详解】解： 正方形ABCD的一条对角线长为2， 故答案为： 【点睛】本题考查的是正方形的性质，掌握“正方形的面积等于两条对角线之积的一半”是解题的关键. 9. 某制药厂两年前生产1吨某种药品的成本是100万元，随着生产技术的进步，现在生产1吨这种药品的成本为81万元，则这种药品的成本的年平均下降率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】设年平均下降率为，由题意得，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：设年平均下降率为， 由题意得，， 解得，（舍去）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 10. 如图，将长方形纸片沿折叠，使点落在点处，交于点，若，，则的长为_________________． 【答案】或#### 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识点，根据折叠前后的图形全等得到相关条件是解答本题的关键． 先证明可得，设，则，在中，由勾股定理得，然后代入相关数据计算即可． 【详解】解：∵在矩形中， ∴，，， ∵由折叠的性质可知：，， ∴，， ∵在和中，， ∴， ∴， 设，则， ∵在中，由勾股定理得：， ∴，解得：， ∴． 故答案为：． 11. 如图，在平行四边形中，点在的延长线上，，、交于点．，则的长为__． 【答案】4 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质得出，，再结合已知可得，，然后再证明，根据相似三角形的性质得出，进行计算即可解答． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ，， ， ，， ， ， ， 故答案为：4． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 12. 在菱形中，，点E，F分别是的中点，动点P从B出发，沿着顺时针方向运动到C点，当为直角三角形时，的长度为______． 【答案】3或或 【解析】 【分析】分三种情况考虑：点P在边上；点P在边上；点P在边上，利用等边三角形的判定与性质、勾股定理即可求得． 【详解】∵四边形为菱形，， ∴菱形四边长为4，且， ∴, ∵， ∴，即，． ∵E，F分别是的中点． ∴； 连接，则是等边三角形； ①当点P在边上时；如图， 当点P是的中点时，为直角三角形，此时， ∴； ②当点P在边上时，如图，连接， 当点P是的中点时，为直角三角形，此时， 连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴，由勾股定理得， 由勾股定理得：； ③当点P在边上时，连接，如图， 当点P是的中点时，此时， ∵，为的中位线，为的中位线， ∴，， ∴， ∴为直角三角形， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， 由勾股定理得； 故答案为：3或或． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线定理等知识，注意分类讨论是解题的关键． 三、解答题（每小题6分，共30分） 13. （1）解方程：． （2）已知，求． 【答案】（1）或；（2）3 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程和比例的性质，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）方程移项后运用公式法求解即可； （2）设，得，代入计算即可． 【详解】解：（1）， ， 这里， ， ∴， ∴或； （2）设，则， ∴． 14. 跑在水美泗乡，3月30日下午，2025京东宿迁马拉松圆满收官．这场主打“体验感” “温馨感” “科技感”与“时尚感”的豪横赛事也获得了大众的好感，它不仅点燃了全民运动热情，更向世界展示了宿迁“项王故里、中国酒都、水润之城”的独特魅力．赛道中途补给站给参赛选手准备了A．小番茄，B．香蕉，C．黄瓜，D．面包四种补给（假设参赛选手选中每种补给的结果是等可能的）． （1）选手宿宿在经过补给站时，选中D．面包的概率是____； （2）请用列表或画树状图的方法，求参赛选手甲、乙两人经过同一补给站所选的补给中有B．香蕉的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查列表法或画树状图法计算随机事件的概率，掌握列表法或画树状图法是解题的关键． （1）根据概率公式的计算即可求解； （2）列表法把所有等可能结果表示出来，再运用概率公式计算即可求解． 【小问1详解】 解：∵赛道中途补给站给参赛选手准备了A．小番茄，B．香蕉，C．黄瓜，D．面包四种补给（假设参赛选手选中每种补给的结果是等可能的）， ∴选手宿宿在经过补给站时，选中D．面包的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表表示如下， ∴共有种等可能结果，参赛选手甲、乙两人经过同一补给站所选的补给中有B．香蕉的情况有钟， ∴参赛选手甲、乙两人经过同一补给站所选的补给中有B．香蕉的概率为． 15. 如图，在Rt中，，平分，交于点；，分别是，上的点，连接．若垂直平分，求证：四边形是正方形． 【答案】 证明：平分， ， 垂直平分， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形． 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定，角平分线，线段的垂直平分线，等腰三角形的判定，证明四边形是矩形是解题的关键．先证明四边形是矩形，再证四边形是正方形． 【详解】略 16. 图1、图2均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中的边上确定一点E，连接，使； （2）在图②中的边上确定一点P，在边上确定一点Q，连接，使，且相似比为． 【答案】（1） 点即为所求： （2） 点，点即为所求： 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定： （1）作于E，一个公共角以及另一组对应角为，即可作答； （2）作出，的中点，即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 如图，小张所在的数学小组想测量教学楼正后方水塔的高度．当小张站在与教学楼和水塔在同一直线的点处时，刚好看到教学楼顶端与水塔顶端在一条直线上，此时他与教学楼的距离为．已知教学楼的高为，小张的眼睛到地面的距离为．求水塔的高度． 【答案】水塔的高度为 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，先过作，交于点交于点，可以构造矩形，利用平行线分线段成比例定理的推论易得，再利用比例线段，可求，进而可求即可． 【详解】解：如图，过作，交于点交于点， 结合题意知，，，，，则， ∵， ， ， ∴， ， ， 所以水塔的高度为． 四、解答题（每小题8分，共24分) 18. 如图，矩形的对角线，交于点F，延长到点C，使，延长到点D，使，连接，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1） 证明：，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ． ． ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理． （1）先由对角线互相平分的四边形是平行四边形，再由矩形的性质得出，即可得出结论； （2）根据矩形的性质，，．在中，利用勾股定理计算的长度，进而得到的长度．利用菱形的面积公式计算面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形，四边形是菱形， ，． 在中，由勾股定理得：． ． ， ． 19. 今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件． （1）求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率． （2）经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？ 【答案】（1） （2）降价5元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用； （1）设平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程，解方程并取符合题意的解，即可求解． （2）设降价y元，根据商场六月份可获利4250元，列出一元二次方程，解方程并取符合题意的解，即可求解． 【小问1详解】 解：设平均增长率为x，由题意得：， 解得：或舍； 四、五这两个月的月平均增长百分率为； 【小问2详解】 设降价y元，由题意得：， 整理得：， 解得：或舍； 当商品降价5元时，商场六月份可获利4250元． 20. 已知一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程与有一个相同的根，求此时m的值． 【答案】（1） （2）m的值为或 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的解，根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． （1）根据根的判别式进行解答即可； （2）先根据题意得出，解方程，得出或，然后分别代入求出m的值即可． 【小问1详解】 解：∵有两个不相等的实数根 ∴， 解得：． 【小问2详解】 解：∵k是符合条件的最大整数， ∴， ∴， 解得：或， 当时，得：； 当时，得：； 综上分析可知m的值为或． 五、解答题（本大题共2个小题，每小题9分，共18分） 21. 配方法是数学中重要的一种思想方法，能帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等问题． 【材料一】我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，可称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，再如，，（x，y是整数）， 所以M也是“完美数”． 【材料二】例如，把二次三项式进行配方，可求其最值． 解：； 当时，的最小值为2． 请通过阅读以上材料，解决以下问题： 【解决问题】（1）下列各数中，“完美数”有______（只填序号）；①11；②34；③60． 【探究问题】（2）若可配方成（m，n为正整数），则的值为______； 【拓展应用】（3）已知实数x，y均满足，求代数式的最小值． 【答案】（1）②；（2）9；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法的应用，偶次方的非负数的性质、完全平方式、新定义等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）依据“完美数”的定义求解即可； （2）将配方成的形式，即可得解； （3），据此求解即可． 【详解】解：（1）由于②，所以②是完美数， ； 所以，不能表示成（a，b是整数）的形式，不是完美数； 故答案为：②； （2）由， 可配方成， ，， ， 故答案为：9； （3）， ， ， ， 当时，的最小值为2025． 22. 如图，，动点，分别以每秒和的速度同时开始运动，其中点从点出发，沿边一直移到点为止，点从点出发沿边一直运动到点为止（点到达点后，点继续运动） （1）请直接用含的代数式表示的长和的长，并写出的取值范围； （2）当等于何值时，与相似？ 【答案】（1）AP=2tcm（），AQ=（16-t）cm（） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意求解即可； （2）分两种情况：当时，当6≤t≤16时，利用相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：由题可知：AP=2tcm（），AQ=（16-t）cm（） 【小问2详解】 解：当时 ①若QP∥BC，则有△AQP∽△ABC． ∴ 又∵AB=16cm，AC=12cm，AP=2tcm， ∴ 解得：； ②由∠A=∠A，若∠AQP=∠C，则有△AQP∽△ACB． ∴， ∴ 解得：t=6.4（不合题意，舍去） 当6≤t≤16时，点P与点C重合， ∵∠A=∠A，只有当∠AQC=∠ACB，有△AQP∽△ACB． ∴ ∴ 解得： 综上所述：或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形的性质是解题的关键． 六、解答题（共12分） 23. 综合与探究 如图，在菱形中，，点是对角线上的一个动点（不与点，重合），过点作交于点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点的对应点恰好落在射线上． 问题解决： （1）线段与之间的数量关系是_________； （2）求的度数． 拓展探究： （3）连接，与交于点．若，，请直接写出的长． 【答案】（1）；（2）；（3）的长为或 【解析】 【分析】（1）先证明是等边三角形，得到，，再根据平行线的性质得，，从而得到，则有，即可由得出结论； （2）连接，利用菱形的对称性，得出，，再利用旋转的性质与等腰三角形的性质得出，最后利用三角形外角的性质可求解； （3）连接交于，分两种情况：①当点在上时，②当点在上时，分别 求解即可． 【详解】解：（1）； 理由：菱形， ， ， 是等边三角形， ，， ， ，， ， ， ， 即； 故答案为：； （2）如图，连接． 四边形是菱形， ，． ， 是等边三角形． ． ， ． ． 在和中， ，，， ． ，． 由旋转的性质，得． ． ． ， ，． ． ． 在和中， ，，， ． ． ， 即． （3）的长为或． 解：连接交于点． 由（2）可知是等边三角形，， ． 四边形是菱形， ，，． ． ． ． ，， ． ． 分两种情况： ①当点在线段上时，如图． ． 由（1）可知． ． 由（2）可知， ． ． ． ②当点在线段上时，如图． ． 由（1）可知． ． 由（2）可知， ． ． ． 综上，的长为或． 【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，此题属四边形综合题目，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $