第15讲 一元一次方程相关概念及其解法（知识点+题型+强化训练） 2025-2026学年浙教版七年级数学上册同步讲义与测试

本讲义聚焦一元一次方程核心知识点，系统梳理从方程概念、解及等式性质，到一元一次方程定义、解法步骤（去分母、去括号等）的完整脉络，知识梳理含易错点提示，构建清晰学习支架。 资料以结构化表格对比解法步骤与易错点，14类题型覆盖判断、列方程等，强化训练分层设计。通过实际情境列方程培养数学语言表达，参数问题提升推理意识，课中辅助教学，课后助学生查漏补缺。

第15讲 一元一次方程相关概念及其解法（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.方程的概念 2.方程的解 3.用尝试检验的方法求方程的解 4.等式的基本性质 5.一元一次方程 6.一元一次方程的解与解方程 7.利用等式的性质解简单的一元一次方程 8.移项解一元一次方程 9.去括号解一元一次方程 10.去分母解一元一次方程 11.解一元一次方程的基本程序 题型巩固 一、判断各式是否是方程 二、列方程 三、判断是否是方程的解 四、已知方程的解，求参数 五、等式的性质 六、判断是否是一元一次方程 七、判断是否是一元一次方程解 八、解一元一次方程（一）—合并同类项与移项 九、解一元一次方程（二）—去括号 十、解一元一次方程（三）—去分母 十一、绝对值方程 十二、利用平方根解方程 十三、已知一元一次方程的解，求参数 十四、一元一次方程解的关系 强化训练 单选题（10） 填空题（8） 解答题（6） 知识梳理 知识点1.方程的概念 1.方程：含有未知数的等式叫作方程。 2.方程必须具备两个条件： （1）是等式；（2）含有未知数。两者缺一不可。 知识点2.方程的解 1.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。 2.检验方程的解的方法：检验一个值是不是方程的解，要把这个值分别代入方程的左右两边，当左边= 右边时，这个值是方程的解，当左边≠ 右边时，这个值不是方程的解。 知识点3.用尝试检验的方法求方程的解 对于一些较简单的方程，先确定未知数的一个较小的取值范围，逐一将这些可取的值代入方程进行尝试检验，能使方程两边相等的未知数的值就是方程的解。 知识点4.等式的基本性质 内容 字母表示 等式的性质1 等式的两边都加上（或都减去）同一个数或式，所得结果仍是等式。 如果a=b ，那么a±c=b±c 。 等式的性质2 等式的两边都乘或都除以同一个数或式（除数不能为零），所得结果仍是等式。 如果a=b ,那么ac=bc ,或=(c≠0) 。 教材延伸 等式的其他性质 （1）等式的对称性：如果a=b，那么b=a 。 （2）等式的传递性：如果a=b，b=c，那么a=c 。 知识点5.一元一次方程 1.一元一次方程：只含有一个未知数，未知数的次数都是一次，且两边都是整式， ①未知数不出现在分母上，如等不是整式；②未知数不出现在根号内，如等不是整式 这样的方程叫作一元一次方程。 2.一元一次方程必备的三个要素：①只含有一个未知数；②未知数的次数都是一次；③两边都是整式。三者缺一不可。 知识点6.一元一次方程的解与解方程 1.一元一次方程的解：能使一元一次方程两边相等的未知数的值叫作一元一次方程的解，也叫作方程的根。 含有一个未知数的方程的解也可以称为方程的根 2.解方程：求方程的解的过程称为解方程。 ：方程的解与解方程的区别与联系 方程的解 解方程 区别 是一个具体的数。 求方程的解的过程。 联系 方程的解是通过解方程求得的。 知识点7.利用等式的性质解简单的一元一次方程 等式的性质是方程变形的依据，利用等式的性质将一元一次方程一步一步变形，最后变形成“x=a（a 为已知数）”的形式，就求出了一元一次方程的解。 知识点8.移项解一元一次方程 移项：一般地，把方程中的项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫作移项。移项时，通常把含有未知数的项移到等号的左边，把常数项移到等号的右边。 移项与加法交换律的区别 移项是把某些项从方程的一边移到另一边，移动的项要变号；而加法交换律中加数交换位置只是改变排列的顺序，不改变符号。 注意： 移项的依据是等式的性质1，移项的目的是将含有未知数的项移到方程的左边，将常数项（不含未知数的项）移到方程的右边，将方程化成ax=b(a≠0) 的形式。 知识点9.去括号解一元一次方程 当方程中的一边或两边有括号时，我们往往先去掉括号，再进行移项、合并同类项等变形求解。 知识点10.去分母解一元一次方程 去分母的步骤： 注意： （1）不要漏乘不含分母的项（每项都乘）；（2）由于分数线具有括号的作用，因此若分子是多项式，则去分母后，要将分子作为一个整体加上括号。 知识点11.解一元一次方程的基本程序 解一元一次方程的基本程序如下表： 变形名称 变形依据 具体做法 易错点 去分母 等式的性质2 在方程两边同时乘各分母的最小公倍数。 （1）不要漏乘不含分母的项；（2）分子是多项式时，去分母后应将分子作为一个整体加上括号。 去括号 分配律、去括号法则 先去小括号，再去中括号，最后去大括号（也可以先去大括号，再去中括号，最后去小括号）。 （1）不要漏乘括号里的任何一项； （2）若括号前是负号，则去括号后，括号内各项都要变号。 移项 等式的性质1 把含有未知数的项移到方程的一边，常数项移到方程的另一边。 移项要改变项的符号。 合并同类项 合并同类项法则 把方程化成 ax=b(a，b 为常数，且a≠0) 的形式。 系数相加，字母及其指数均不变。 两边同除以未知数的系数 等式的性质2 方程两边同除以未知数的系数a ，得到方程的解x= （1）切忌分子、分母位置颠倒； （2）不要忘记未知数系数的符号。 题型巩固 题型一、判断各式是否是方程 1．（2024七年级上·浙江·专题练习）下列四个式子中，是方程的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断各式是否是方程 【详解】本题主要考查的是方程的定义，解题的关键是理解方程的定义． 依据方程的定义：含有未知数的等式叫做方程．方程有两个特征：（1）方程是等式；（2）方程中必须含有字母（未知数），逐个判断即可． 【分析】解：A、不含未知数，不是方程，故此选项不符合题意； B、是方程，故此选项符合题意； C、不是等式，故此选项不符合题意； D、不是等式，故此选项不符合题意． 故选：B． 2．在 ①，②，③，④中，方程有 （填序号）． 【答案】②③ 【知识点】判断各式是否是方程 【分析】本题考查了方程，熟练掌握方程的定义是解题的关键． 根据含有未知数的等式叫方程，可得答案． 【详解】解：∵①，是等式但不含未知数，故不是方程； ∵②③，含有未知数的等式，故是方程； ④，含有未知数但不是等式，故不是方程， 故答案为：②③． 3．下列各式中．哪些是方程？如果是方程．指出方程中的未知数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) 【答案】(1)是方程，未知数是x (2)是方程，未知数是y (3)不是方程 (4)是方程，未知数是a (5)是方程，未知数是m (6)是方程，未知数是x、y 【知识点】判断各式是否是方程 【分析】本题主要考查了方程的定义，熟练掌握方程定义是关键． 根据方程的定义解答，即含未知数的等式叫做方程． 【详解】（1）解：是方程，未知数是x； （2）解：4是方程，未知数是y； （3）解：因为不是等式，所以不是方程； （4）解：是方程，未知数是a； （5）解：是方程，未知数是m； （6）解：是方程，未知数是x、y． 题型二、列方程 4．（2022·浙江杭州·一模）在地球表面以下，每下降1km温度就上升约10℃．某日地表温度是18℃，地下某处A的温度是25℃．设A处在地表以下x千米，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】列方程 【分析】根据题意列出方程即可． 【详解】解：∵A处在地表以下x千米，每下降1km温度就上升约10℃ ∴从地表到地下x千米要增加10x℃． ∵地表温度是18℃，地下某处A的温度是25℃， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查列方程，正确理解题意是解题关键． 5．已知长方形的长与宽分别为16、x，周长为40，根据条件，列出方程为 ． 【答案】 【知识点】列方程 【分析】根据长方形的周长等于长与宽的和的2倍，即可求解． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了列一元一次方程，熟练掌握长方形的周长等于长与宽的和的2倍是解题的关键． 6．（2024七年级上·浙江·专题练习）根据下列情境中的等量关系列出一个等式： (1)根据江苏省第七次全国人口普查结果，江苏省常住人口为84748016人，岁人口为n人，占； (2)小明今年a岁，爸爸今年40岁，比小明年龄的2倍还大12岁； (3)如图，一张长方形纸片被分割成三部分． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】列方程 【分析】本题考查了列等式，找到对应的等量关系是关键． （1）根据题意列出相应的等式即可； （2）根据题意和图示列出相应的等式即可； （3）根据图示列出相应的等式即可． 【详解】（1）解：根据题意列出等式为：； （2）解：根据题意列出等式为：； （3）解：根据长方形面积和图示，列出的等式为． 题型三、判断是否是方程的解 7．下列方程中，解是的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断是否是方程的解 【分析】方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，把代入各个方程进行进行检验，看能否使方程的左右两边相等．本题的关键是正确理解方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值． 【详解】解：把分别代入A，B，C，D四个选项． A中，左边，右边，左边右边，错误，不符合题意； B中，左边，右边，左边=右边，正确，符合题意； C中，左边，右边，左边右边，错误，不符合题意； D中，左边，右边，左边右边，错误，不符合题意． 答案：B． 8．（2024七年级上·浙江·专题练习） 方程 的解．（填“是”或“不是”） 【答案】不是 【知识点】判断是否是方程的解 【分析】本题考查方程的解，关键是掌握：方程的解是指使方程两边相等的未知数的值． 把分别代入方程的左右两边计算，再比较两边值是否相等即可判断． 【详解】解：把，，代入方程， ∵方程左边，右边， ∴方程左边≠右边， ∴不是方程的解． 故答案为：不是． 9．（2024七年级上·浙江·专题练习）检验下列括号中的数是不是方程的解： (1)； (2)． 【答案】(1)不是方程的解 (2)是方程的解 【知识点】判断是否是方程的解 【分析】本题考查方程的解，解题的关键是掌握方程的解的定义（能满足方程成立的未知数的值，叫做方程的解）． （1）把括号中的数分别代入方程左边和右边，根据方程的解的定义即可判断． （2）把括号中的数分别代入方程左边和右边，根据方程的解的定义即可判断． 【详解】（1）解：当时，左边，右边， ∵左边右边， ∴不是方程的解； （2）解：当时， 左边，右边＝12， ∵左边＝右边， ∴是方程的解． 题型四、已知方程的解，求参数 10．（24-25七年级上·浙江台州·期末）方程“”一部分被遮挡．已知该方程的解为，则部分可能是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知方程的解，求参数 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，解题关键是熟练掌握一元一次方程解的定义．把代入，得到关于的方程，然后解方程求出的值，再把代入各选项判断即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴， 当时，选项A的值为2，不符合题意，舍去； 选项B的值为，不符合题意，舍去； 选项C的值为，符合题意； 选项D的值为，不符合题意，舍去； 故选：C． 11．（24-25七年级上·浙江温州·期末）已知是关于的一元一次方程的解，则的值为 ． 【答案】 【知识点】已知方程的解，求参数 【分析】本题考查了一元一次方程的解，把代入方程，再根据等式的性质求出关于a的方程的解即可． 【详解】解：把代入方程， 得， 解得． 故答案为：． 12．如果是关于的方程的解，求的值． 【答案】21 【知识点】已知方程的解，求参数、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了一元一次方程的解，代数式求值．熟练掌握一元一次方程的解，整体代入是解题的关键．由题意知，，整理得，，根据，代值求解即可． 【详解】解：由题意知，， 整理得，， ∴． 题型五、 等式的性质 13．（24-25七年级·浙江杭州·期末）若商品的进价为，售价为，则毛利率，把这个公式变形成已知，求的公式，应为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键． 将已知的毛利率公式进行等式变形，得出b的表达式即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴ 故选：C． 14．（2024七年级上·浙江·专题练习）写出下列等式变形的依据． （1）由，得， ； （2）由，得， ； （3）由，得， ． 【答案】 等式的性质1 等式的性质2 等式的性质2 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立．分析题意，回忆等式的性质；根据等式的性质1：等式的两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等，对（1）进行分析；根据等式的性质2：等式的两边同乘（或除以）同一个数（除数不为0），结果仍相等，对（2）（3）进行分析． 【详解】解：（1）由，得，依据是等式的性质1； （2）由，得，依据是等式的性质2； （3）由，得，依据是等式的性质2． 故答案为：等式的性质1；等式的性质2；等式的性质2． 15．（2024七年级上·浙江·专题练习）在将等式变形时，小明的变形过程如下： 因为， 所以，（第一步） 所以．（第二步） (1)上述过程中，第一步的依据是什么？ (2)小明第二步的结论正确吗？请说明原因． 【答案】(1)第一步的依据是：等式的性质1 (2)小明第二步的结论不正确，理由见解析 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】此题考查了等式性质的应用能力． （1）运用等式的性质1进行求解； （2）根据等式的性质2进行解答． 【详解】（1）解：∵， ∴根据等式的性质1，两边都加上， 得， ∴第一步的依据是：等式的性质1； （2）解：小明第二步的结论不正确，理由如下： ∵根据等式的性质2，等式两边同时除以不为0的两个数，等式仍然成立， ∴当时，等式的两边都除以x，等式不成立， ∴小明第二步的结论不正确． 题型六、判断是否是一元一次方程 16．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）已知方程是关于x的一元一次方程，则m的值是（   ） A．0 B．1 C． D．或1 【答案】B 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】本题考查一元一次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不为0，则这个整式方程是一元一次方程，根据定义可得关于m的方程，求解即可． 【详解】解：∵方程是关于x的一元一次方程， ∴ ∴， 故选：B． 17．关于x的方程是一元一次方程，则 ． 【答案】 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，绝对值， 根据一元一次方程的定义列出，，即可求出m的值．熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵关于x的方程是一元一次方程， ∴，， 解得， 故答案为：． 18．已知是关于x的一元一次方程，试求k的值． 【答案】或或 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】本题考查了一元一次方程的定义． 根据一元一次方程的定义分三种情况作答即可． 【详解】解：由题意可知， 当时，即，是一元一次方程， 当时，即，是一元一次方程， 当且，即， 方程可化简为，若是一元一次方程， 则， ， 综上所述，或或． 题型七、判断是否是一元一次方程解 19．下列方程的解为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断是否是一元一次方程解 【分析】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 将逐一代入各方程，判断方程左右两边是否相等，即可作出判断． 【详解】解：A、当时，，故不是此方程的解； B、当时，，故是此方程的解； C、当时，，故不是此方程的解； D、当时，，故不是此方程的解； 故选：B． 20．（2024七年级上·浙江·专题练习）判断是否为下列一元一次方程的解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)是 (2)不是 (3)是 【知识点】判断是否是一元一次方程解 【分析】本题考查了一元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键． （1）将代入原方程，方程左边=方程右边，进而可得出是方程的解； （2）将代入原方程，方程左边≠方程右边，进而可得出不是方程的解； （3）将代入原方程，方程左边=方程右边，进而可得出是方程的解． 【详解】（1）解：将代入原方程，方程左边，方程右边， ∵， ∴方程左边方程右边， ∴是方程的解； （2）解：将代入原方程，方程左边，方程右边， ∵， ∴方程左边方程右边， ∴不是方程的解； （3）解：将代入原方程，方程左边，方程右边， ∵， ∴方程左边方程右边， ∴是方程的解． 题型八、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 21．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）定义运算“”如下：当时，；当时，．若，则的值是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了解一元一次方程，根据新定义列出方程是解题的关键． 按照定义的新运算进行计算，即可解答 【详解】解：∵，，， ∴， ， ， ， ， 故选：B． 22．（24-25七年级上·浙江·期末）将四个数、、、排列成，并且规定，若的值为，则的值为 【答案】 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查的知识点是新定义下的运算、解一元一次方程，解题关键是根据题意列出正确的方程． 按照题意的规定列出方程，然后进行计算即可． 【详解】解：，， ， 即， 解得． 故答案为：． 23．（24-25七年级上·浙江·阶段练习）解方程：． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查了解一元一次方程：按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】解： ． 题型九、解一元一次方程（二）——去括号 24．（23-24七年级上·浙江温州·阶段练习）解方程，以下去括号正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解题步骤是解答本题的关键．去括号注意几点：①不要漏乘括号里的每一项；②括号前面是负因数，去掉括号和负号，括号里的每一项一定都变号． 根据乘法分配律先将乘进去，去括号得到结果，即可作出判断． 【详解】 去括号，得：， 故选：B． 25．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）已知是关于x的方程的解，则a的值为 ． 【答案】 【知识点】方程的解、解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题主要考查了方程的解的定义，正确解方程是解题的关键．根据方程的解的定义，把代入方程，即可得到关于a的方程，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 解得： 故答案为：． 26．（2024七年级上·浙江·专题练习）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题考查了解一元一次方程，去括号时要注意符号问题，解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤． （1）根据去括号、移项、合并同类项、系数化为1，可得方程的解； （2）根据去括号、移项、合并同类项、系数化为1，可得方程的解； （3）根据去括号、移项、合并同类项、系数化为1，可得方程的解； （4）根据去括号、移项、合并同类项、系数化为1，可得方程的解； 【详解】（1）解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 把系数化为1，得； （2）解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 把系数化为1，得； （3）解：， 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得； （4）解：， 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． 题型十、解一元一次方程（三）——去分母 27．（24-25七年级上·浙江湖州·期末）对于方程，去分母后所得方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，方程两边同时乘以6，即可得出答案. 【详解】解：， 方程两边同时乘以6，得： ， 故选：C 28．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了一元一次方程的解法．把代入得到，则，设，得到，解得，则，解出即可得出答案． 【详解】解：∵关于的一元一次方程的解为， ∴ 即， ∴， 设， 则 解得， ∴， 解得， 故答案为： 29．（2025七年级上·浙江绍兴·专题练习）解方程： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查解方程，方程中含有百分数，先把百分数化成小数，再依据等式的性质，求解即可． （1）利用等式的性质求得，进一步计算即可解题； （2）利用等式的性质求得，进一步计算即可解题； （3）利用等式的性质求得，进一步计算即可解题． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 题型十一、绝对值方程 30．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）如果，那么（　　） A．3 B． C．1或 D．3或 【答案】D 【知识点】绝对值方程 【分析】可得，即可求解． 【详解】解：由题意得 ， 解得：，； 故选：D． 【点睛】本题考查了绝对值方程的解法，掌握解法是解题的关键． 31．（25-26七年级上·浙江·阶段练习）若，则的值为 ； 【答案】或 【知识点】绝对值方程 【分析】本题主要考查了绝对值的意义和运算，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键 根据绝对值的性质得到关于的方程，再解方程即可求得的值． 【详解】解：， ， 解得：或． 故答案为：或． 32．解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)或 (2)或 (3)或 (4)或 【知识点】绝对值的几何意义、绝对值方程 【分析】（1）根据绝对值的意义，去绝对值，得出或，然后解出方程，即可得出原方程的解； （2）根据绝对值的意义，去绝对值，得出或，然后解出方程，即可得出原方程的解； （3）根据绝对值的意义，去绝对值，得出或，然后解出方程，即可得出原方程的解； （4）首先对方程进行整理，得出，再根据绝对值的意义，去绝对值，得出或，然后解出方程，即可得出原方程的解． 【详解】（1）解：， ∴或， 解得：或， ∴原方程的解为：或； （2）解：， ∴或， 解得：或， ∴原方程的解为：或； （3）解：， ∴或， 解得：或， ∴原方程的解为：或； （4）解：， 整理，可得：， ∴或， 解得：或， ∴原方程的解为：或． 【点睛】本题考查了含绝对值的一元一次方程，解本题的关键在根据绝对值的意义，去绝对值．正数的绝对值为它本身，负数的绝对值则是它的相反数，0的绝对值还是为0． 题型十二、利用平方根解方程 33．已知，则的值是（    ） A．3 B． C．3或 D．不确定 【答案】C 【知识点】利用平方根解方程 【分析】两边开平方，再解一元一次方程即可． 【详解】解：， ∴， ∴或， 解得：或． 故选：C． 【点睛】本题考查了利用平方根解方程，解题时要注意有两个解． 34．（22-23七年级上·浙江温州·期中）若一个正数的两个不相等的平方根分别是和3，则的值为 ． 【答案】 【知识点】利用平方根解方程 【分析】根据一个正数的两个不相等的平方根之和为零计算即可． 【详解】由题意可知， ， 故答案为． 【点睛】本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解答本题的关键，如果一个数的平方等于a，则这个数叫做a的平方根，即，那么x叫做a的平方根，记作．0的平方根是0；正数有两个不同的平方根，它们是互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根． 35．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【知识点】利用平方根解方程 【分析】（1）先将系数化为，然后方程左右两边同时开方即可求解； （2）用直接开方法求出的值，再求出的值即可． 【详解】（1）解：， ， ，． （2）解：， 或， ，． 【点睛】本题考查了利用平方根求解，正确利用平方根求解是解答本题的关键． 题型十三、已知一元一次方程的解，求参数 36．（24-25七年级上·浙江杭州·月考）关于x的方程，无论k为何值，此方程的解总是，则 ． 【答案】 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义，使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解；把代入方程，即可得到一个关于k的方程，从而求得n的值和m的值，代入求解即可． 【详解】把代入方程， 得， 即 根据题意得， 解得， 则． 故答案为：． 37．（2024七年级上·浙江·专题练习）同学们在做解方程练习时，卷中有一个方程“■”中的■没印清晰，小梅问老师，老师只是说：“■是一个常数，该方程的解与当时代数式的值相同．”聪明的小梅很快补上了这个常数．求小梅补上的这个常数是多少？ 【答案】7 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解的应用．根据题意把代入中得到，把代入原方程，求出方程的解即可． 【详解】解：把代入中得：， 把代入原方程得，■， 解得：■． 答：小梅补上的这个常数是7． 题型十四、一元一次方程解的关系 38．（24-25七年级上·浙江金华·期末）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【知识点】一元一次方程解的关系 【分析】本题考查一元一次方程的解，掌握一元一次方程的解法是解题的关键．将化为，根据关于x的一元一次方程的解可知关于的一元一次方程的解，从而求出关于y的一元一次方程：的解即可． 【详解】解：可化为， ∵关于x的一元一次方程， ∴， ∴． 故答案为：． 39．（2024七年级上·浙江·专题练习）（1）已知关于x的方程的解与方程的解互为相反数，求m的值． （2）已知关于x的方程的解比关于x的方程的解大2，求m的值． 【答案】（1）；（2）m 【知识点】相反数的定义、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、一元一次方程解的关系 【分析】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． （1）求出第二个方程的解，根据两方程解互为相反数求出第一个方程的解，即可求出m的值； （2）分别求两个方程的解，根据已知可列出关于m的方程，可求出m的值． 【详解】解：（1）方程， 解得：， 把代入得：， 解得：； （2）， 移项得：， 系数化为一得：x， ， 移项得：， 系数化为一得：， ∴， 解得：m． 强化训练 一、单选题 1．解方程，以下去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的去括号操作，需根据乘法分配律和符号法则进行计算，注意负数乘以正数得负数． 【详解】解：∵ ∴去括号后方程为． 故选：D． 2．设某数为x，“比某数的大1的数是4”，可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了列一元一次方程，某数的为，则根据题意可得． 【详解】解：由题意得，， 故选：A． 3．下列各式中是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的概念，即只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程．根据定义逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵ 一元一次方程需满足：①只含一个未知数；②未知数的最高次数为1；③整式方程． A：中，x在分母位置，不是整式方程； B：中，x的最高次数为2； C：，即，只含一个未知数x，且次数为1，是整式方程； D：中含有两个未知数． ∴ 只有C选项是一元一次方程， 故选：C． 4．若是的解，则的值为（    ） A． B．2 C．1 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的解．根据一元一次方程的解的定义把代入关于x的方程中即可求出k的值． 【详解】解：把代入关于x的方程中， 得， 解得， 故选：D． 5．定义一种新运算“*” ∶ 则中x的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查新定义，根据新定义运算的规则，将已知条件代入，转化为一元二次方程，运用平方根求解即可． 【详解】解：根据定义，运算“*”的规则为， ∵， ∴， 解得： 故选：D． 6．下列解方程正确的有（   ） ①由，得；       ②由，得； ③由，得；      ④由，得． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查解一元一次方程，等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质是解答的关键．根据等式的基本性质：等式两边都加上或减去同一个代数式，结果仍是等式；等式两边都乘同一个数或除以同一个不为零的数，结果仍是等式；逐一判断即可． 【详解】解：① ， ，故错误； ② ， ，故错误； ③ ， ，故正确； ④ ， ，故错误。 ∴ 正确的只有1个， 故选：A． 7．根据等式的基本性质，下列不成立的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，包括等式两边同时加、减、乘、除除以（除数不为零）同一个数，等式仍然成立．根据等式的基本性质，逐项判断即可． 【详解】解：A．∵，等式两边加5， ∴，故A成立，不符合题意； B．∵，等式两边乘， ∴，但选项给出，故B不成立，符合题意； C．∵ ，等式两边加， ∴，故C成立，不符合题意； D．∵，等式两边减5， ∴，故D成立，不符合题意． 故选：B． 8．若关于的方程的解为正整数，则满足条件的所有整数值的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的解，先解一元一次方程，再根据其解为正整数解答即可． 【详解】解：， ， ， ， 当，即时，方程的解是， ∵关于x的方程的解为正整数，a为整数， ∴或或或， ∴或或或， 所以满足条件的所有整数a值的个数是4， 故选：D． 9．已知关于x的方程有无数多个解，那么的值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了方程的定义，方程的解的定义，正确理解方程的解的含义是解题的关键．方程有无数多个解的条件是未知数的系数为0且常数项为0，由此求出a和b的值，再代入所求代数式计算． 【详解】解：∵ 方程 有无数多个解， ∴ 且 ， 由 得 ， 代入 得 ，即 ， ∴ ， 则 ． 故选：D． 10．王老师在如下所示的木板上写了两个关于x的方程，并解出方程①的解比方程②的解小4，则a的值为（   ） ①； ②． A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程的知识，掌握以上知识是解答本题的关键． 先分别求出两个方程的解，然后根据方程①的解比方程②的解小4，列出方程，然后即可求解． 【详解】解：对于方程①：， ∵ 当 时，两边同乘6得 ，即，矛盾， ∴ ，即， 对于方程②： 移项得： ∴ 由题意，方程①的解比方程②的解小4，即， ， ， 解得， 因此，的值为2； 故选：C． 二、填空题 11．方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，掌握移项、合并同类项是解答本题的关键； 本题通过移项和合并同类项，将方程化为最简形式，即可求解 【详解】解：移项，得， 即， 系数化为1，得， 故答案为： 12．如果，那么（ ）． 【答案】 【分析】本题主要考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键；根据等式的性质进行求解即可． 【详解】解：由可知等式两边同时加上得：； 故答案为． 13．已知关于x的方程的解与方程的解互为相反数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，相反数，掌握知识点是解题的关键． 先分别求解两个关于的方程，得到它们的解；根据两个解互为相反数的条件，建立关于的方程，进而求解的值， 【详解】解：解第一个方程， 两边同乘2，得 ， 移项，得 ， 即， 解得 ， 解第二个方程， 两边同乘6（分母2和3的最小公倍数），得 ， 即， 移项，得 ， 即， 解得 ， 由题意，两个方程的解互为相反数，即 ， 解此方程，两边同乘3，得 ， 移项，得 ， 解得， 故答案为． 14．已知是关于的一元一次方程，则的值为 ． 【答案】1 【分析】根据是关于x的一元一次方程，得到，求得a的值即可． 本题考查了一元一次方程的定义，根据定义，列式计算是解题关键． 【详解】解：∵方程是关于x的一元一次方程， ∴， 解得或且， 故． 故答案为：1． 15．如图，根据图形中标出的量及其满足的关系，可列方程 ． 【答案】 【分析】本题考查列方程，根据三角形面积公式列出方程即可． 【详解】解：根据题意直角三角形两直角边的边长分别为x，，面积为6， 则， 故答案为：． 16．若整数a、b满足，则满足条件的的值是 ． 【答案】0或2或 【分析】本题考查有理数加法，绝对值，掌握绝对值的意义和有理数加法法则是正确计算的关键．根据a、b是整数，而，因此有或或三种情况，进而求出相应的a、b的值，得出结论． 【详解】解：∵a、b是整数，而， 或或， 当时， 或， 或； 当时， 或，， 或； 当时， 或，或0， 或或； 综上所述，满足条件的的值是0或2或， 故答案为：0或2或． 17．已知为整数，且关于的方程的解为正整数，则整数 的值为 ． 【答案】4或8 【分析】本题考查了一元一次方程的解．通过解方程得到关于的表达式，再根据为正整数确定的取值． 【详解】解：解方程， 移项得， 所以． 由于为正整数，且为整数，因此必须是5的正因数， 即或． 解得或． 当时，分母，方程无解，故舍去． 因此整数的值为4或8． 故答案为：4或8． 18．我们给出一种定义：如果两个一元一次方程的解的和为，那么我们就称这两个方程互为“漂亮方程”．例如：方程和互为“漂亮方程”． （）若关于的方程与互为“漂亮方程”，则的值为 ． （）若关于的方程与互为“漂亮方程”，则关于的方程的解是 ． 【答案】 【分析】（）分别求出方程的解，再根据“漂亮方程”的定义求出的值即可； （）分别求出方程的解，再根据“漂亮方程”的定义求出的值，然后把的值代入方程，解方程即可求解； 本题考查了解一元一次方程，理解新定义是解题的关键． 【详解】解：（）解方程，得， 解方程，得， ∵关于的方程与互为“漂亮方程”， ∴， 解得， 故答案为：； （）解方程，得， 解方程，得， ∵关于的方程与互为“漂亮方程”， ∴， 解得， ∴方程为， 解得， 故答案为：． 三、解答题 19．利用等式的基本性质，将下面的等式变形为（c是常数）的形式． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查等式的基本性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）等式两边同减去5即可； （2）等式两边同除以3即可； （3）等式两边同乘以即可； （4）等式两边同加上即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ； （3）解：， ， ； （4）解：， ， ． 20．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解此题的关键． （1）根据解一元一次方程的步骤计算即可得解； （2）根据解一元一次方程的步骤计算即可得解． 【详解】（1）解：去括号可得：， 移项并合并同类项可得：， 系数化为1可得：； （2）解：去分母可得：， 去括号可得：， 移项并合并同类项可得：， 系数化为1可得：． 21．已知方程的解与关于x的方程的解互为倒数，求k的值． 【答案】 【分析】本题的关键是正确解一元一次方程以及互为倒数的意义；理解方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值． 先求已知方程的解，再利用倒数关系确定含字母系数方程的解，把解代入方程，可求字母系数k． 【详解】解：解方程得：． 因为方程的解与关于x的方程的解互为倒数， 所以关于x的方程的解是， 把代入方程得：，解得：． 22．已知关于 x 的方程和的解相同． (1)求m的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解和代数式求值，准确计算是解题的关键． （1）根据两个方程的解相同求出m即可； （2）把m代入求解即可． 【详解】（1）解：解方程得， 解方程得， ∵关于 x 的方程和的解相同， ∴， 解得． （2）解： ． 23．一只小跳蚤从数轴原点出发，沿数轴向左或向右跳动，第①步跳1个单位长度，第②步跳2个单位长度，第③步跳3个单位长度，……，第⑩步跳10个单位长度． (1)若小跳蚤第⑩步结束时落在数轴上的位置所表示的数是． ①跳到第⑨步结束时，小跳蚤在数轴上的位置所表示的数是什么？ ②小跳蚤在这10步里面，至少需要向左跳动多少步，才能使第⑩步结束时落到表示的位置？分别是哪几步（写出一种情况即可）？ (2)小跳蚤最后能否回到原点位置？若能，请写出跳动方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)①3或②至少需要向左跳动4步，分别是第④步，第⑧步，第⑨步，第⑩步（答案不唯一） (2)小跳蚤最后不能回到原点位置，理由见解析 【分析】本题主要考查了实数和数轴，两点之间的距离，动点问题，解一元一次方程，解题的关键是掌握数形结合的思想． （1）①根据两点之间的距离确定点对应的数即可； ②设向左跳的单位长度之和为，则向右跳的单位长度之和为，根据总步数列出方程求解即可； （2）设向左向右各跳的单位长度之和为，根据总步数列出方程求解即可． 【详解】（1）解：①跳到第⑨步结束时，小跳蚤在数轴上的位置所表示的数是或， ∴所表示的数是3或； ②由终点为可知向右跳动的总距离比向左跳动的总距离少7，设向左跳的单位长度之和为，则向右跳的单位长度之和为，根据题意得， ， 解得， ∴需要向左跳动31个单位长度； ∵， ∴分别是第④步，第⑧步，第⑨步，第⑩步可跳至位置， ∴至少需要向左跳动4步，分别是第④步，第⑧步，第⑨步，第⑩步； （2）解：小跳蚤最后不能回到原点位置，理由如下： 因为小跳蚤最后要回到原点，所以向左跳的单位长度之和与向右跳的单位长度之和应相等，设均为 ，根据题意得， ， 解得，为小数，不符合题意， ∴小跳蚤最后不能回到原点位置． 24．阅读下列材料并解决有关问题： 我们知道，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式时，可令和，分别求得和，我们称分别为与的零点值． 在数轴上分别找出零点值对应点，这两点将数轴分为三部分（如图），在有理数范围内，这三部分可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：（1）；（2）；（3）．从而化简代数式可分以下3种情况： (1)直接写出和的零点值分别为______和______； (2)化简代数式； (3)解方程． 【答案】(1)，4 (2)原式 (3)或 【分析】本题主要考查绝对值及一元一次方程，理解零点及化简带绝对值的代数式的方法是解答本题的关键． （1）阅读材料，根据零点值的求法，即绝对值里面的代数式等于，即可解答． （2）根据阅读材料中，化简绝对值的代数式的方法，根据的取值范围，分为三种情况，根据绝对值的性质解答即可． （3）根据（2）中的化简结果列方程求解即可． 【详解】（1）解：分别令和， 解得和， 则和的零点值分别为和． （2）解：由（1）知和的零点值分别为和； ①当时，原式， ②当时，原式， ③当时，原式， 综上讨论，原式． （3）解：当时，原方程即为，解得， 当时，原方程即为，解得， 当时，原方程即为，解得，不符合题意，舍去， 所以，原方程分解为或． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15讲 一元一次方程相关概念及其解法（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.方程的概念 2.方程的解 3.用尝试检验的方法求方程的解 4.等式的基本性质 5.一元一次方程 6.一元一次方程的解与解方程 7.利用等式的性质解简单的一元一次方程 8.移项解一元一次方程 9.去括号解一元一次方程 10.去分母解一元一次方程 11.解一元一次方程的基本程序 题型巩固 一、判断各式是否是方程 二、列方程 三、判断是否是方程的解 四、已知方程的解，求参数 五、等式的性质 六、判断是否是一元一次方程 七、判断是否是一元一次方程解 八、解一元一次方程（一）—合并同类项与移项 九、解一元一次方程（二）—去括号 十、解一元一次方程（三）—去分母 十一、绝对值方程 十二、利用平方根解方程 十三、已知一元一次方程的解，求参数 十四、一元一次方程解的关系 强化训练 单选题（10） 填空题（8） 解答题（6） 知识梳理 知识点1.方程的概念 1.方程：含有未知数的等式叫作方程。 2.方程必须具备两个条件： （1）是等式；（2）含有未知数。两者缺一不可。 知识点2.方程的解 1.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。 2.检验方程的解的方法：检验一个值是不是方程的解，要把这个值分别代入方程的左右两边，当左边= 右边时，这个值是方程的解，当左边≠ 右边时，这个值不是方程的解。 知识点3.用尝试检验的方法求方程的解 对于一些较简单的方程，先确定未知数的一个较小的取值范围，逐一将这些可取的值代入方程进行尝试检验，能使方程两边相等的未知数的值就是方程的解。 知识点4.等式的基本性质 内容 字母表示 等式的性质1 等式的两边都加上（或都减去）同一个数或式，所得结果仍是等式。 如果a=b ，那么a±c=b±c 。 等式的性质2 等式的两边都乘或都除以同一个数或式（除数不能为零），所得结果仍是等式。 如果a=b ,那么ac=bc ,或=(c≠0) 。 教材延伸 等式的其他性质 （1）等式的对称性：如果a=b，那么b=a 。 （2）等式的传递性：如果a=b，b=c，那么a=c 。 知识点5.一元一次方程 1.一元一次方程：只含有一个未知数，未知数的次数都是一次，且两边都是整式， ①未知数不出现在分母上，如等不是整式；②未知数不出现在根号内，如等不是整式 这样的方程叫作一元一次方程。 2.一元一次方程必备的三个要素：①只含有一个未知数；②未知数的次数都是一次；③两边都是整式。三者缺一不可。 知识点6.一元一次方程的解与解方程 1.一元一次方程的解：能使一元一次方程两边相等的未知数的值叫作一元一次方程的解，也叫作方程的根。 含有一个未知数的方程的解也可以称为方程的根 2.解方程：求方程的解的过程称为解方程。 ：方程的解与解方程的区别与联系 方程的解 解方程 区别 是一个具体的数。 求方程的解的过程。 联系 方程的解是通过解方程求得的。 知识点7.利用等式的性质解简单的一元一次方程 等式的性质是方程变形的依据，利用等式的性质将一元一次方程一步一步变形，最后变形成“x=a（a 为已知数）”的形式，就求出了一元一次方程的解。 知识点8.移项解一元一次方程 移项：一般地，把方程中的项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫作移项。移项时，通常把含有未知数的项移到等号的左边，把常数项移到等号的右边。 移项与加法交换律的区别 移项是把某些项从方程的一边移到另一边，移动的项要变号；而加法交换律中加数交换位置只是改变排列的顺序，不改变符号。 注意： 移项的依据是等式的性质1，移项的目的是将含有未知数的项移到方程的左边，将常数项（不含未知数的项）移到方程的右边，将方程化成ax=b(a≠0) 的形式。 知识点9.去括号解一元一次方程 当方程中的一边或两边有括号时，我们往往先去掉括号，再进行移项、合并同类项等变形求解。 知识点10.去分母解一元一次方程 去分母的步骤： 注意： （1）不要漏乘不含分母的项（每项都乘）；（2）由于分数线具有括号的作用，因此若分子是多项式，则去分母后，要将分子作为一个整体加上括号。 知识点11.解一元一次方程的基本程序 解一元一次方程的基本程序如下表： 变形名称 变形依据 具体做法 易错点 去分母 等式的性质2 在方程两边同时乘各分母的最小公倍数。 （1）不要漏乘不含分母的项；（2）分子是多项式时，去分母后应将分子作为一个整体加上括号。 去括号 分配律、去括号法则 先去小括号，再去中括号，最后去大括号（也可以先去大括号，再去中括号，最后去小括号）。 （1）不要漏乘括号里的任何一项； （2）若括号前是负号，则去括号后，括号内各项都要变号。 移项 等式的性质1 把含有未知数的项移到方程的一边，常数项移到方程的另一边。 移项要改变项的符号。 合并同类项 合并同类项法则 把方程化成 ax=b(a，b 为常数，且a≠0) 的形式。 系数相加，字母及其指数均不变。 两边同除以未知数的系数 等式的性质2 方程两边同除以未知数的系数a ，得到方程的解x= （1）切忌分子、分母位置颠倒； （2）不要忘记未知数系数的符号。 题型巩固 题型一、判断各式是否是方程 1．（2024七年级上·浙江·专题练习）下列四个式子中，是方程的是（  ） A． B． C． D． 2．在 ①，②，③，④中，方程有 （填序号）． 3．下列各式中．哪些是方程？如果是方程．指出方程中的未知数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) 题型二、列方程 4．（2022·浙江杭州·一模）在地球表面以下，每下降1km温度就上升约10℃．某日地表温度是18℃，地下某处A的温度是25℃．设A处在地表以下x千米，则（    ） A． B． C． D． 5．已知长方形的长与宽分别为16、x，周长为40，根据条件，列出方程为 ． 6．（2024七年级上·浙江·专题练习）根据下列情境中的等量关系列出一个等式： (1)根据江苏省第七次全国人口普查结果，江苏省常住人口为84748016人，岁人口为n人，占； (2)小明今年a岁，爸爸今年40岁，比小明年龄的2倍还大12岁； (3)如图，一张长方形纸片被分割成三部分． 题型三、判断是否是方程的解 7．下列方程中，解是的方程是（   ） A． B． C． D． 8．（2024七年级上·浙江·专题练习） 方程 的解．（填“是”或“不是”） 9．（2024七年级上·浙江·专题练习）检验下列括号中的数是不是方程的解： (1)； (2)． 题型四、已知方程的解，求参数 10．（24-25七年级上·浙江台州·期末）方程“”一部分被遮挡．已知该方程的解为，则部分可能是（    ） A．2 B． C． D． 11．（24-25七年级上·浙江温州·期末）已知是关于的一元一次方程的解，则的值为 ． 12．如果是关于的方程的解，求的值． 题型五、 等式的性质 13．（24-25七年级·浙江杭州·期末）若商品的进价为，售价为，则毛利率，把这个公式变形成已知，求的公式，应为（　　） A． B． C． D． 14．（2024七年级上·浙江·专题练习）写出下列等式变形的依据． （1）由，得， ； （2）由，得， ； （3）由，得， ． 15．（2024七年级上·浙江·专题练习）在将等式变形时，小明的变形过程如下： 因为， 所以，（第一步） 所以．（第二步） (1)上述过程中，第一步的依据是什么？ (2)小明第二步的结论正确吗？请说明原因． 题型六、判断是否是一元一次方程 16．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）已知方程是关于x的一元一次方程，则m的值是（   ） A．0 B．1 C． D．或1 17．关于x的方程是一元一次方程，则 ． 18．已知是关于x的一元一次方程，试求k的值． 题型七、判断是否是一元一次方程解 19．下列方程的解为的是（   ） A． B． C． D． 20．（2024七年级上·浙江·专题练习）判断是否为下列一元一次方程的解： (1)； (2)； (3)． 题型八、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 21．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）定义运算“”如下：当时，；当时，．若，则的值是（    ） A． B． C． D．无法确定 22．（24-25七年级上·浙江·期末）将四个数、、、排列成，并且规定，若的值为，则的值为 23．（24-25七年级上·浙江·阶段练习）解方程：． 题型九、解一元一次方程（二）——去括号 24．（23-24七年级上·浙江温州·阶段练习）解方程，以下去括号正确的是（　　） A． B． C． D． 25．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）已知是关于x的方程的解，则a的值为 ． 26．（2024七年级上·浙江·专题练习）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型十、解一元一次方程（三）——去分母 27．（24-25七年级上·浙江湖州·期末）对于方程，去分母后所得方程正确的是（   ） A． B． C． D． 28．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为 ． 29．（2025七年级上·浙江绍兴·专题练习）解方程： (1) (2) (3) 题型十一、绝对值方程 30．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）如果，那么（　　） A．3 B． C．1或 D．3或 31．（25-26七年级上·浙江·阶段练习）若，则的值为 ； 32．解下列方程： (1) (2) (3) (4) 题型十二、利用平方根解方程 33．已知，则的值是（    ） A．3 B． C．3或 D．不确定 34．（22-23七年级上·浙江温州·期中）若一个正数的两个不相等的平方根分别是和3，则的值为 ． 35．解方程： (1)； (2)． 题型十三、已知一元一次方程的解，求参数 36．（24-25七年级上·浙江杭州·月考）关于x的方程，无论k为何值，此方程的解总是，则 ． 37．（2024七年级上·浙江·专题练习）同学们在做解方程练习时，卷中有一个方程“■”中的■没印清晰，小梅问老师，老师只是说：“■是一个常数，该方程的解与当时代数式的值相同．”聪明的小梅很快补上了这个常数．求小梅补上的这个常数是多少？ 题型十四、一元一次方程解的关系 38．（24-25七年级上·浙江金华·期末）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为 ． 39．（2024七年级上·浙江·专题练习）（1）已知关于x的方程的解与方程的解互为相反数，求m的值． （2）已知关于x的方程的解比关于x的方程的解大2，求m的值． 强化训练 一、单选题 1．解方程，以下去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 2．设某数为x，“比某数的大1的数是4”，可列方程为（　　） A． B． C． D． 3．下列各式中是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 4．若是的解，则的值为（    ） A． B．2 C．1 D．3 5．定义一种新运算“*” ∶ 则中x的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 6．下列解方程正确的有（   ） ①由，得；       ②由，得； ③由，得；      ④由，得． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．根据等式的基本性质，下列不成立的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 8．若关于的方程的解为正整数，则满足条件的所有整数值的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．已知关于x的方程有无数多个解，那么的值为（   ） A． B． C．2 D． 10．王老师在如下所示的木板上写了两个关于x的方程，并解出方程①的解比方程②的解小4，则a的值为（   ） ①； ②． A． B． C．2 D． 二、填空题 11．方程的解是 ． 12．如果，那么（ ）． 13．已知关于x的方程的解与方程的解互为相反数，则 ． 14．已知是关于的一元一次方程，则的值为 ． 15．如图，根据图形中标出的量及其满足的关系，可列方程 ． 16．若整数a、b满足，则满足条件的的值是 ． 17．已知为整数，且关于的方程的解为正整数，则整数 的值为 ． 18．我们给出一种定义：如果两个一元一次方程的解的和为，那么我们就称这两个方程互为“漂亮方程”．例如：方程和互为“漂亮方程”． （）若关于的方程与互为“漂亮方程”，则的值为 ． （）若关于的方程与互为“漂亮方程”，则关于的方程的解是 ． 三、解答题 19．利用等式的基本性质，将下面的等式变形为（c是常数）的形式． (1)； (2)； (3)； (4)． 20．解方程： (1)； (2)． 21．已知方程的解与关于x的方程的解互为倒数，求k的值． 22．已知关于 x 的方程和的解相同． (1)求m的值； (2)求代数式的值． 23．一只小跳蚤从数轴原点出发，沿数轴向左或向右跳动，第①步跳1个单位长度，第②步跳2个单位长度，第③步跳3个单位长度，……，第⑩步跳10个单位长度． (1)若小跳蚤第⑩步结束时落在数轴上的位置所表示的数是． ①跳到第⑨步结束时，小跳蚤在数轴上的位置所表示的数是什么？ ②小跳蚤在这10步里面，至少需要向左跳动多少步，才能使第⑩步结束时落到表示的位置？分别是哪几步（写出一种情况即可）？ (2)小跳蚤最后能否回到原点位置？若能，请写出跳动方案；若不能，请说明理由． 24．阅读下列材料并解决有关问题： 我们知道，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式时，可令和，分别求得和，我们称分别为与的零点值． 在数轴上分别找出零点值对应点，这两点将数轴分为三部分（如图），在有理数范围内，这三部分可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：（1）；（2）；（3）．从而化简代数式可分以下3种情况： (1)直接写出和的零点值分别为______和______； (2)化简代数式； (3)解方程． 学科网（北京）股份有限公司 $