第13讲 走进几何世界（知识点+题型+强化训练） 2025-2026学年苏科版七年级数学上册同步讲义与测试

本讲义系统梳理“走进几何世界”核心知识点，从几何图形的分类（平面与立体，含柱体、锥体、球体）入手，逐步深入构成要素（点、线、面、体及其关系）、棱柱棱锥特征辨析，到空间几何体与平面展开图的转化（重点解析正方体11种展开图类型），结合图形形成方式（平移、旋转、轴对称）及七巧板认识，构建从概念认知到空间想象再到实际应用的学习支架。 该资料以“数学眼光”培养空间观念，通过正方体展开图分类、折叠与旋转问题（如长方形旋转成圆柱）发展几何直观；以“数学思维”设计分层题型，如截面形状判断、由展开图计算表面积体积提升推理意识；结合七巧板拼图、包装盒展开图实例，用“数学语言”描述几何关系，课中辅助教师分层教学，课后通过单选、填空、解答题组合训练帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

第13讲 走进几何世界（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.几何图形 2.构成几何体的基本要素 3.棱柱与棱锥的认识 4.点、线、面、体 5.图形形成的方式 6.七巧板的认识 7.空间几何体的平面展开图 8.正方体的平面展开图 9.折叠成几何体 10.形与数相互转化 题型巩固 一、常见的几何体 二、组合几何体的构成 三、立体图形的分类 四、几何体中的点、棱、面 五、截一个几何体 六、点、线、面、体四者之间的关系 七、平面图形旋转后所得的立体图形 八、用七巧板拼图形 九、平面图形形状的识别 十、几何体展开图的认识 十一、由展开图计算几何体的表面积 十二、由展开图计算几何体的体积 十三、正方体几种展开图的识别 十四、正方体相对两面上的字 十五、含图案的正方体的展开图 十六、从不同方向看几何体 强化训练 单选题（8） 填空题（6） 解答题（7） 知识梳理 知识点1.几何图形 几何图形分为平面图形和立体图形(或几何体). 常见的几何体有三种类型：(1)柱体；(2)锥体；(3)球体. 常见的平面图形有三角形、四边形、五边形、圆等． 几何图形的分类如图5.1-1所示： 知识点2.构成几何体的基本要素 观察现实世界中的建筑物, 可以抽象出四棱锥、四棱柱等不同的几何体. 几何体是由若干个面围成的封闭图形，相邻两个面的公共边称为棱，棱与棱的交点称为顶点． 点、线、面是构成几何体的基本要素． 知识点3.棱柱与棱锥的认识 1. 棱柱有三棱柱、四棱柱、五棱柱等. 棱柱的特征：如图5.1-4，棱柱的所有侧棱长都相等，上、下底面的形状、大小相同，并且都是多边形，直棱柱的侧面都是长方形. 2. 棱锥有三棱锥、四棱锥、五棱锥等. 棱锥的特征：如图5.1-5，棱锥的侧面都是三角形，底面是多边形. 知识点4.点、线、面、体 1. 点、线、面、体的概念 点：线和线相交的地方是点. 线：面和面相交的地方形成线. 线有直线和曲线. 面：包围着体的是面. 面有平面和曲面两种. 体：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体，几何体也简称体. 2. 点、线、面、体的关系 点动成线：笔尖可以看成一个点，这个点在纸上运动时形成线，这可以说点动成线. 线动成面：汽车的雨刮器可以看成一条线，这条线在挡风玻璃上运动时形成扇面， 这可以说线动成面. 面动成体：长方形纸板绕它的一条边所在的直线旋转一周，形成一个圆柱体，这可以说面动成体. 知识点5.图形形成的方式 1. 图形形成的方式：平移、旋转和轴对称． 2. 图形的平移、旋转和轴对称变换不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置. 3. 常见的变换类型 (1)平移变换；(2)旋转变换；(3)轴对称变换；(4)旋转变换与平移变换的组合；(5)旋转变换与轴对称变换的组合；(6)轴对称变换与平移变换的组合． 知识点6.七巧板的认识 将一块正方形薄板按如图5.2-3所示的方式分割成七块，就成了七巧板. 它是由两块小型三角形(③ ⑥)、一块中型三角形(⑦)和两块大型三角形(① ②)、一块正方形(⑤)和一块平行四边形(④)共七块板组成的. 七巧板是一种拼图游戏，用七巧板可以拼出1 600 种以上千变万化的图案. 知识点7.空间几何体的平面展开图 有些空间几何体是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应空间几何体的平面展开图. 空间几何体的表面在展开时，一般都是沿棱剪开的，所以空间几何体面的个数与平面展开图中平面图形的个数相同. 知识点8.正方体的平面展开图 正方体有12条棱，剪开其中的7条棱，就可以得到其平面展开图. 正方体的11种平面展开图可分为下面几种类型： 第一类，中间四连方，两侧各1个，共6种(如图5.3-2)； 第二类，中间三连方，两侧分别有1个或2个，共3种(如图5.3-3)； 第三类，中间二连方，两侧各有2 个，只有1 种(如图5.3-4)； 第四类，两排各3 个，只有1 种(如图5.3–5). 知识点9.折叠成几何体 平面展开图的折叠是指把平面展开图通过折叠，还原成空间图形. 空间图形与平面图形的相互转化，可以利用实物加以想象，从给定的平面图形中辨认它们能否折叠成给定的空间图形. 知识点10.形与数相互转化一般先确定底面，然后找重合的点和边. 在数学中，数与形之间也可以相互转化. 观察图形的结构特征，发现数量之间存在的变化规律. 通过观察，把表达式中抽象的数量关系, 转化为适当的几何图形，这是数学中常用的、重要的一种数学思想方法，即数形结合思想. 题型巩固 题型一、常见的几何体 1．（24-25七年级上·江苏常州·期末）下列四个几何体中，圆锥是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】常见的几何体 【分析】本题考查了常见立体图形，根据圆锥等立体图形的概念直接选出即可，掌握常见立体图形的形状是解题的关键． 【详解】下列四个几何体中，圆锥是： ． 故选：C． 2．（24-25七年级上·江苏南京）一个长方体切 6 刀，可分成 24 个棱长为 1 厘米的小正方体，这个长方体的表面积是 平方厘米． 【答案】 【知识点】常见的几何体 【分析】本题考查立体图形，解题的关键是根据切割方法和小正方体的个数，明确切割方法以及原长方体的长宽高的值．一个长方体切6刀，可以分成24个棱长1厘米的小正方体，那么可以如图切割，正好是切了6刀，得到24个小正方体，因为每个小正方体的棱长是1厘米，所以原长方体的长宽高分别是4厘米、3厘米、2厘米，据此利用长方体的表面积公式计算即可解答问题． 【详解】解：一个长方体切6刀，可以分成24个棱长1厘米的小正方体，那么可以如图切割， ∴原长方体的长宽高分别是4厘米、3厘米、2厘米， 所以表面积是： （平方厘米） 答：原长方体的表面积是52平方厘米． 故答案为：52． 题型二、组合几何体的构成 3．下面四个立体图形中，只由一个面就能围成的是（    ） A．   B．  C．   D．   【答案】C 【知识点】组合几何体的构成 【分析】根据各立体图形的构成逐项判断即可. 【详解】解：A、六棱柱是由8个面构成的，此项不符合题意； B、四面体是由4个面构成的，此项不符合题意； C、球是由一个曲面组成，此项符题意 D、圆柱体是由两个底面和一个侧面组成， 故选：C． 【点睛】本题考查了立体图形的特点，掌握常见几何体的形状以及构成是解题关键. 4．图中的几何体由 个面围成． 【答案】9 【知识点】组合几何体的构成 【分析】可将几何体分成两个部分观察． 【详解】该几何体可分为上下两个部分，上面部分有4个面，下面部分有5个面，共有9个面． 故答案为：9 【点睛】本题考查立体几何的相关知识，解题的关键是具有空间想象能力． 题型三、立体图形的分类 5．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）下列几何体中是三棱锥的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】立体图形的分类 【分析】本题考查了立体图形的识别，正确理解三棱锥的概念是解题的关键．根据三棱锥的概念，即可判断答案． 【详解】A、是三棱柱，所以选项A不符合题意； B、是四棱锥，所以选项B不符合题意； C、是三棱锥，所以选项C符合题意； D、是四棱台，所以选项D不符合题意． 故选：C． 6．将图中的几何体进行分类，并说明理由． 【答案】见解析． 【知识点】立体图形的分类 【分析】首先要确定分类标准，可以按组成几何体的面的平或曲来划分，也可以按柱、锥、球来划分． 【详解】解：若按形状划分：（1）（2）（6）（7）是一类，组成它的各面全是平面；（3）（4）（5）是一类，组成它的面至少有一个是曲面． 若按构成划分：（1）（2）（4）（7）是一类，是柱体；（5）（6）是一类，即锥体；（3）是球体． 【点睛】本题主要考查了几何体的分类，解题的关键在于先根据立体图形的底面的个数，确定它是柱体、锥体还是球体，再根据其侧面是否为多边形来判断它是圆柱(锥)还是棱柱(锥)． 题型四、几何体中的点、棱、面 7．（2024七年级上·江苏徐州·专题练习）一个长方体，表面全部涂上红色后，被分割成若干个体积都等于1立方厘米的小正方体．如果在这些小正方体中，不带红色的小正方体的个数有7个，则两面带红色的小正方体有（　　）个． A．20 B．25 C．28 D．36 【答案】D 【知识点】几何体中的点、棱、面 【分析】本题考查了立体图形，由不带红色的小正方体的个数等于7 ，说明这个长方体是的长方体，那么三面涂色的顶点处，两面带红色的小正方体都在这个长方体的棱上，正确理解立体图形的特点是解题的关键． 【详解】解：因为7是质数， 所以不带红色的小正方体只能是排成一排， 所以这个长方体由即个小正方体组成， 把它看成3层，第一层两面带红色的小正方体个数为：（个）， 第二层两面带红色的小正方体个数为：4个， 第三层两面带红色的小正方体个数为：（个）， 所以两面带红色的小正方体个数为：（个）， 故选D． 8．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）若一个棱锥有12条棱，则它是 棱锥． 【答案】六 【知识点】几何体中的点、棱、面 【分析】本题考查了棱锥的性质，熟练掌握棱锥的性质是解题关键．根据一个棱锥有条棱，求解即可得． 【详解】解：∵， ∴若一个棱锥有12条棱，则它是六棱锥， 故答案为：六． 9．（2024七年级上·江苏·专题练习）观察如图所示的棱柱： (1)这个棱柱的底面是 ； (2)这个棱柱有 个侧面，侧面的形状是 ； (3)侧面的个数与底面的边数 ；（填“相等”或“不相等” (4)这个棱柱有 个顶点， 条侧棱，一共有 条棱； (5)若这个棱柱的底面边长都是，侧棱长是，则该棱柱所有侧面的面积之和为 ． 【答案】(1)三角形； (2)3，长方形； (3)相等； (4)6；3，9； (5)45 【知识点】几何体中的点、棱、面 【分析】此题主要考查了棱柱的特征，熟悉掌握棱柱的特征是解此题的关键． （1）根据棱柱这个几何体的特征即可求解； （2）根据棱柱这个几何体的特征即可求解； （3）根据棱柱这个几何体的特征即可求解； （4）根据棱柱这个几何体的特征即可求解； （5）根据棱柱的三个侧面相等，结合长方形的面积公式即可计算． 【详解】（1）解：这个棱柱的底面是三角形； 故答案为：三角形； （2）解：这个棱柱有3个侧面，侧面的形状是长方形； 故答案为：3，长方形； （3）解：依题意，侧面的个数是3，底面的边数是3 ∴侧面的个数与底面的边数相等； 故答案为：相等． （4）解：这个棱柱有6个顶点，3条侧棱，一共有9条棱； 故答案为：6；3，9； （5）解：， 则该棱柱所有侧面的面积之和为． 故答案为： 45． 题型五、截一个几何体 10．（2023七年级上·江苏·专题练习）如果将圆柱切割后拼成一个近似的长方体，他们的（　　） A．体积和表面积都相等 B．体积相等，表面积不相等 C．表面积相等，体积不相等 D．体积和表面积都不相等 【答案】B 【知识点】截一个几何体 【分析】本题考查了截一个几何体，几何体的表面积，圆柱的表面积，圆柱的体积，根据圆柱和长方体的特征，即可解答． 【详解】解：如果将圆柱切割后拼成一个近似的长方体，他们的体积相等，而长方体的表面积大于圆柱的表面积， 故选：B． 11．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）用一个平面去截一个正方体，截面（截出的面）是不同形状，则这个截面可以是：①正方形：②五边形；③平行四边形；④梯形，其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②③④ 【知识点】截一个几何体 【分析】本题考查了截一个几何体，截面的形状随截法的不同而改变，一般为多边形或圆，也可能是不规则图形，一般的截面与几何体的几个面相交就得到几条交线，截面就是几边形，因此，若一个几何体有几个面，则截面最多为几边形． 根据题目要求和截出的面的形状，即可判定 【详解】解：这个截面可以是：①正方形：②五边形；③平行四边形；④梯形， 故答案为：①②③④． 题型六、点、线、面、体四者之间的关系 12．（2023七年级上·江苏·专题练习）足球比赛中，一名前锋队员起脚射门，球划出一道漂亮的弧线进入球门，在这个过程中，你认为下列判断正确的是（　　） A．点运动成线 B．线运动成面 C．面运动成体 D．线与线相交得点 【答案】A 【知识点】点、线、面、体四者之间的关系 【分析】本题考查点、线、面的关系；点动线，线动成面，把足球看做一动点，而足球在运动过程中形成了一条曲线． 【详解】解：根据题意，足球在划出一道漂亮的弧线进入球门运动过程中，可以把足球看做一动点，而足球在运动过程中形成了一条曲线， 所以此过程可以看做是点动成线． 故选：A． 13．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）“鸣语既过渐细微，映空摇飏如丝飞”是唐代诗人杜甫作品《雨不觉》中的诗句，意为喧哗的雨已经过去，逐渐变得细微，映着天空摇漾如丝的细雨飘飞．诗中描写雨滴下来形成雨丝，用数学语言解释这一现象为 ． 【答案】点动成线 【知识点】点、线、面、体四者之间的关系 【分析】本题考查了点、线、面、体四者之间的关系，根据点线之间的关系即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解：数学语言解释这一现象为点动成线， 故答案为：点动成线． 题型七、平面图形旋转后所得的立体图形 14．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）下列图形中，绕铅垂线旋转一周可得到如图所示几何体的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形 【分析】此题考查了认识平面图形与点、线、面、体，掌握图形的特点是关键． 根据面动成体的原理及日常生活中的常识解题即可． 【详解】解：A、旋转一周得到圆台，符合题意； B、旋转一周得到圆柱与圆锥的组合体，不合题意； C、旋转一周得到球，不合题意； D、旋转一周得到圆锥，不合题意． 故选：A． 15．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）将一个长方形纸板绕它的一条边旋转1周形成的几何体是 ． 【答案】圆柱 【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形 【分析】本题考查了平面图形旋转可以得到立体图形，掌握点动成线，线动成面，面动成体是解题的关键． 根据一个长方形绕着它的一条边旋转一周，围成一个光滑的曲面是圆柱体，即可解答． 【详解】解：一个长方形绕着它的一条边旋转一周，围成一个光滑的曲面，想象可知是圆柱． 故答案为：圆柱． 题型八、用七巧板拼图形 16．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）如图，是一个同学用一副七巧板拼出的一个三角形，下列说法不正确的是（    ） A．第⑥块的面积是第③块的4倍 B．图中的等腰直角三角形一共有8个 C．第①块的面积是整个面积的 D．第②块的面积与第⑤块的面积相等 【答案】C 【知识点】用七巧板拼图形 【分析】本题考查了三角形，解题的关键是了解七巧板，（七巧板是由五块等腰直角三角形两块小形三角形、一块中形三角形和两块大形三角形，一块正方形和一块平行四边形组成）．设①和③的面积为，计算其他几块的面积即可解答． 【详解】解：设①和③的面积为， 则②的面积为，④的面积为，⑤的面积为，⑥和⑦的面积为， ∴整个三角形的面积为， ∴第⑥块的面积是第③块的倍，A选项不符合题意； 图中的等腰直角三角形一共有个，B选项不符合题意； 第①块的面积是整个面积的，C选项符合题意； 第②块的面积与第⑤块的面积相等，D选项不符合题意， 故选∶C． 17．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）如图，用边长为8的正方形，做了如图1所示的七巧板．将这个七巧板拼成如图2所示的图形，则图2中阴影部分的面积为 ． 【答案】16 【知识点】用七巧板拼图形 【分析】由七巧板的制作过程可知，阴影部分是用平行四边形和一个小正方形拼成的，所以面积是正方形面积的． 【详解】解：阴影部分面积等于大正方形的面积减去两个大三角形的面积和两个中等三角形的面积所得的值， 而两个中等三角形的面积等于一个大三角形的面积，四个大三角形的面积等于正方形的面积， ∴阴影部分的面积等于正方形面积的 即． 故答案为：16． 18．（2023七年级上·江苏·专题练习）如图，大小完全相同的两个直角三角形纸片，若将它们的某条边重合，能拼成几种不同形状的平面图形? 试一试，画出拼成的图形． 【答案】见解析 【知识点】用七巧板拼图形 【分析】分别将两个直角三角形纸片的斜边、两条直角边重合，即可求解． 【详解】解：可以拼成如图的6种不同形状的图形． 【点睛】本题考查平面图形的相关知识点．将两个直角三角形的斜边、两条直角边分别重合是解题关键． 题型九、平面图形形状的识别 19．（22-23七年级上·江苏扬州·开学考试）用一条直线把一个正方形分成完全一样的两部分，有（    ）种分法． A．2 B．4 C．无数 D．以上答案都不对 【答案】C 【知识点】平面图形形状的识别 【分析】过正方形的两边中点的直线，对角线所在的直线，过两对角线的交点的任意一条直线，即过正方形的中心点的任意一条直线都可以把一个正方形分成完全一样的两部分．此题考查了图形的拆拼，正方形是一个中心对称图形，过中心点的任意一条直线都可以把正方形分成完全一样的两部分． 【详解】解：如图所示，在图形中下一行的直线有无数条，只要过中心点就可以． 过正方形的两个对边的中点的直线，对角线所在的直线，过两对角线的交点的任意一条直线即过正方形的中心点的任意一条直线都可以把一个正方形分成完全一样的两部分，故有无数种分法． 故选：C． 20．（22-23七年级上·江苏无锡·期中）有一张长和宽分别是5和4的长方形纸片，现在把它正好分成5张形状各不相同的长方形（包括正方形）纸片，且每张纸片的边长都为整数．这样的5张长方形纸片共有 种． 【答案】9 【知识点】平面图形形状的识别 【分析】把可以分得的边长为整数的长方形（或正方形）按照面积从小到大排列有：，，，， ，，，，，，，，，，若能分成5张满足条件的纸片，因为其面积之和正好为20，依此找到满足条件的情况数即可求解． 【详解】解：把可以分得的边长为整数的长方形（或正方形）按照面积从小到大排列有： ，，，， ，，，，，，，，，，若能分成5张满足条件的纸片，因为其面积之和正好为20， 那么满足条件的有：，，，，； ，，，，； ，，，，； ，，，，； ，，，，； ，，，，； ，，，，； ，，，，； ，，，，； 故这样的5张长方形纸片共有9种． 故答案为：9． 【点睛】本题考查了认识平面图形，解题的关键是找到5张满足条件的纸片，其面积之和正好为20． 21．（2024七年级上·江苏·专题练习）如图，要在一块正方形土地上修筑两条笔直的道路，使道路把这块土地分成形状相同且面积相等的4部分，若道路的宽度忽略不计，请你设计三种不同的修筑方案．（只需画简图） 【答案】见解析（答案不唯一） 【知识点】平面图形形状的识别 【分析】①由正方形的性质知，它的两个对角线把正方形分成面积相等的四部分， 故作出正方形的对角线即可；②由正方形的性质知，连接对边的中点，也能把正方形分成四个小的正方形，且每个的面积相等；③过两条对角线的交点的两条互相垂直的直线也能把正方形分成面积相等的四部分面积，本题考查了平面图形—正方形的认识． 【详解】解：方法一，如图，对角线，能把正方形分成面积相等的四部分； 方法二，连接对边的中点，能把正方形分成面积相等的四部分； 方法三，过两条对角线的交点的两条互相垂直的直线，能正方形分成面积相等的四部分 ． 题型十、几何体展开图的认识 22．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段练习）某几何体的展开图如图所示，该几何体是（   ） A．三棱柱 B．三棱锥 C．四棱柱 D．圆柱 【答案】A 【知识点】几何体展开图的认识 【分析】本题考查了几何体的展开图，掌握三棱柱的侧面展开图是解题的关键． 根据三棱柱的侧面展开图解答． 【详解】解：观察几何体的展开图可知，该几何体是三棱柱． 故选：A． 23．（22-23七年级上·江苏扬州·阶段练习）如图是一个几何体的展开图，则这个几何体是 ． 【答案】三棱柱 【知识点】几何体展开图的认识 【分析】本题考查了立体几何的展开图，理解图示，掌握立体图形的特点是解题的关键． 由展开图可得上下两个底面，有三个侧面，由此即可求解． 【详解】解：通过几何体展开图可得，上下两个底面为三角形，有三个长方形侧面， ∴该几何体为三棱柱， 故答案为：三棱柱． 24．（25-26七年级上·江苏·期中）一个长方体纸盒的长、宽、高均为正整数（单位：厘米），其展开图如图所示．已知面的面积是32平方厘米，面的面积是12平方厘米，面的面积是24平方厘米． (1)求面与面的面积之和； (2)求这个长方体纸盒的体积．（纸的厚度忽略不计） 【答案】(1)44 (2)这个长方体纸盒的体积是立方厘米． 【知识点】几何体展开图的认识 【分析】本题考查了长方体的侧面展开图． （1）根据长方体的侧面展开图知面的面积等于面的面积，面的面积等于面的面积，据此求解即可； （2）设长方体纸盒的长为，宽为，高为，则有，，，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：面的面积等于面的面积，即32平方厘米； 面的面积等于面的面积，即12平方厘米； 则面与面的面积之和平方厘米； （2）解：设长方体纸盒的长为，宽为，高为， 由题意得，，， ∴， ∴， ∴这个长方体纸盒的体积是立方厘米． 题型十一、由展开图计算几何体的表面积 25．（2024七年级上·江苏·专题练习）小滨正对相同的长方体快递盒进行包装，如图1单个盒子的表面积为，如图2三个盒子叠一起的表面积为，则如图3四个盒子叠一起的表面积是 ． 【答案】 【知识点】由展开图计算几何体的表面积 【分析】本题考查几何体的表面积，能用a，b，c表示出三个图中几何体的表面积及巧用整体思想是解题的关键．根据图1和图2的表面积，可得出关于a，b，c的两个等式，再用a，b，c表示出图3的表面积，利用整体思想即可解决问题． 【详解】解：设长方体一个上表面的面积为，一个右表面的面积为，一个前表面的面积为， 因为图1的表面积为，即， 则①． 因为图2的表面积为， 所以， 则②． 由①②得，，． 又因为图3的表面积可表示为， 则． 故答案为：． 26．如图是一个用硬纸板制作的长方体包装盒展开图，已知它的底面形状是边长为6cm正方形，高为12cm． (1)制作这样的包装盒需要多少平方厘米的硬纸板？ (2)若1平方厘米硬纸板价格为0.5元，则制作10个这的包装盒需花费多少钱？不考虑边角损耗 【答案】(1)制作这样的包装盒需要360平方厘米的硬纸板； (2)制作10个这样的包装盒需花费1800元钱． 【知识点】由展开图计算几何体的表面积 【分析】（1）依据底面形状是边长为6cm正方形，高为12cm，即可得到制作这样的包装盒需要多少硬纸板； （2）依据所需硬纸板的面积以及单价和数量，即可得到制作10个这的包装盒需花费多少钱． 【详解】（1）解：由题意得，6×12×4+6×6×2=360（）． 答：制作这样的包装盒需要360平方厘米的硬纸板； （2）解：由题意得，360×0.5×10=1800（元）． 答：制作10个这样的包装盒需花费1800元钱． 【点睛】本题主要考查了几何体的表面积，几何体的表面积=侧面积+底面积（上、下底的面积和）． 题型十二、由展开图计算几何体的体积 27．（22-23七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图是一个长方体纸盒的表面展开图，纸片厚度忽略不计，按图中数据，这个盒子的容积为（    ） A．36 B．48 C．54 D．64 【答案】B 【知识点】由展开图计算几何体的体积 【分析】由该长方体展开图可求出其长、宽、高，再根据长方体的体积公式求解即可， 【详解】由该长方体展开图可知，其宽为，长为，高为2， ∴这个盒子的容积为． 故选B． 【点睛】本题考查由长方体展开图求其体积．解答此题的关键是根据长方体的表面展开图，得出其长、宽、高的长度，进而根据长方体的体积计算公式进行解答． 28．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）小明同学将一个长方体包装盒展开，并进行了测量，结果如图所示（纸片厚度忽略不计），根据图中数据可得原长方体包装盒的体积是 ． 【答案】64 【知识点】由展开图计算几何体的体积 【分析】本题考查了长方体的展开图，熟练掌握长方体的展开图是解题关键．根据长方体的展开图求出长方体的长、宽、高，再根据长方体的体积公式计算即可得． 【详解】解：由展开图可知，长方体的高为，长为，宽为， 所以原长方体包装盒的体积是， 故答案为：64． 29．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）一个无盖的长方体包装盒展开后如图所示（单位：），分别是长方体的长宽高， (1)求长方体的高c； (2)求长方体的容积． 【答案】(1)长方体的高c的值为 (2)长方体的容积为 【知识点】由展开图计算几何体的体积 【分析】考查了几何体的展开图，解题的关键是得到长方体的长宽高． （1）由长方体的高等于，宽高高，宽高即可求解； （2）由题图，得该长方体包装盒的长十宽，宽高，宽高高，求得即可求解． 【详解】（1）解： 答：长方体的高c的值为； （2） ． 答：长方体的容积为． 题型十三、正方体几种展开图的识别 30．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）一个正方体的表面展开图如图所示，将其折叠成正方体时，与点A重合的是（   ） A．点B B．点C C．点D D．点E 【答案】B 【知识点】正方体几种展开图的识别 【分析】本题考查展开图折叠成几何体，根据正方体展开图的特征进行解答即可；掌握正方体展开图的特征是正确判断的关键． 【详解】解：由图可知，将这个正方体的表面展开图折成一个正方体，点A与点C重合， 故选：B． 31．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）利用如图所示的方格纸板，以纸板中的每个小方格为一个面，先剪后折，最多能制作 个无盖的正方体纸盒． 【答案】3 【知识点】正方体几种展开图的识别 【分析】本题考查了正方体的展开与折叠； 根据正方体的展开图画出图形，然后可得答案． 【详解】解：如图所示，最多能制作3个无盖的正方体纸盒， 故答案为：3． 32．（22-23七年级上·江苏盐城·阶段练习）已知正方体盒子如图所示，最多剪7条棱，请画出它所有类型的平面展开图，相似算一类． 【答案】见解析 【知识点】正方体几种展开图的识别 【分析】根据正方体的表面展开图的特征即可求解． 【详解】 解：如图所示： 【点睛】本题考查了几何体的展开图，解题的关键是熟悉正方体的特征及正方体展开图的各种情形． 题型十四、正方体相对两面上的字 33．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段练习）一个小正方体6个面上分别写着1、2、3、4、5、6，图中是由同样的4个小正方体组成的．数字2对面的数字是（   ） A．1 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【知识点】正方体相对两面上的字 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，根据相邻的面确定出对面上的数字是解题关键．根据图形确定“5”和“6”相对，进一步可得“4”和“1、2、5、6”相邻，“4”的对面是3，即可得到答案． 【详解】解：由图形可知，“5”和“1、2、3、4”相邻， ∴“5”的对面是6， ∴“4”和“1、2、5、6”相邻， ∴“4”的对面是3， ∴“2”和“1”相对，即“2”对面的数字是“1”． 故选：A． 34．（22-23七年级上·江苏扬州·阶段练习）某正方体的每一个面上都有一个汉字，如图是它的一种表面展开图，那么在原正方体的表面上，与“洗”字相对的面上的汉字是 ． 【答案】“戴”/戴 【知识点】正方体相对两面上的字 【分析】本题主要考查了正方体展开图，解题的关键是掌握对面的法则． 利用正方体展开图隔一个是对面的法则进行求解即可． 【详解】解：与“洗”字相对的面上的汉字是“戴”， 故答案为：“戴”． 题型十五、含图案的正方体的展开图 35．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）如果有一个正方体，它的展开图可能是下列四个展开图中的（不考虑数字方向）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】含图案的正方体的展开图 【分析】本题考查几何体的展开图，由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．利用带有数的面的特点及位置解答是解题的关键 【详解】解：由原正方体的特征可知，含有，，的数字的三个面一定相交于一点，选项C符合；而选项A、B、D中，经过折叠后与含有，，的数字的三个面一定相交于一点不符． 故选：C． 36．（24-25七年级上·江苏南京·期末）按图示切割正方体就可以切割出正六边形（正六边形的各顶点恰是其棱的中点），以下此正方体的平面展开图及切割线的画法正确的有 ．（填序号） 【答案】①③④ 【知识点】含图案的正方体的展开图 【分析】本题考查了正方体的展开图和截一个几何体，熟练掌握正方体的展开图，观察思考与动手操作结合是解决本题的关键．根据正方体的展开图和正六边形截面的特征，将题目中的展开图重新折叠，再与原来的正方体（含切割线）比较即可得到答案． 【详解】解：对于①，将展开图重新折叠可得出原来的正方体（含切割线），符合题意； 对于②，将展开图重新折叠不能得出原来的正方体（含切割线），不符合题意； 对于③，将展开图重新折叠可得出原来的正方体（含切割线），符合题意； 对于④，将展开图重新折叠可得出原来的正方体（含切割线），符合题意． 故答案为：①③④． 题型十六、从不同方向看几何体 37．（2025七年级上·江苏·专题练习）观察，下面各图形中，（ ）是从这个物体的上面看到的． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】根据从上面看的意义解答即可． 本题考查了从不同方向看，熟练掌握不同方向看的意义是解题的关键． 【详解】 解：根据题意，得从上面看的平面图形为： 故答案为：D． 38．（24-25七年级上·江苏淮安·开学考试）图中的立体图形是14个棱长为5厘米的立方体组成，则这个立体图形（包括底面）的表面积是 ． 【答案】/平方厘米 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】主要考查了立体图形的视图问题，解题的关键是能把从不同的方向上看到的图形面积抽象出来，从而求得总面积．该立体图形的表面积=上面的表面积+下面的表面积+正面的表面积+后面的表面积+两个侧面的表面积． 【详解】解：①从上面和下面看到的面积和为： ②从正面和后面看到的面积为： ③从两个侧面看到的面积为： ∴这个立体图形的表面积为：． 故答案为：． 39．（23-24七年级上·江苏徐州·月考）如图，是由多个小正方体组合成的立体图形，      (1)分别画出从正面、左面、上面观察到的图形． (2)如果将这个立体图形表面涂上红色（底面不涂），则需要涂 个面． 【答案】(1)图形见解析 (2) 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】本题主要考查简单组合体的三视图，熟练掌握三视图的画法是解题的关键． （1）根据简单组合体的三视图的画法画出图形即可； （2）根据三视图的面数与被遮挡的面数进行计算即可． 【详解】（1）解： （2）解：（个）， 故答案为：． 强化训练 一、单选题 1．下列图形中，是长方体的平面展开图的是（    ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】根据长方体有六个面，展开后长方体相对的两个面不可能相邻进行判断． 【详解】A.中间两个细长方形相邻，错误； B.各个相对的面没有相邻，正确； C.中间两个大长方形相邻，错误； D.图中有七个面，错误； 故选 B． 【点睛】本题考查几何体的展开，关键在于理解长方体有六个面，展开后长方体相对的两个面不可能相邻． 2．如图，把图形绕着给定的直线旋转一周后形成的几何体是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了点、线、面、体，根据面动成体的原理以及空间想象力可直接选出答案． 【详解】解：观察如图，几何体可能是：空心的圆柱体． 故选：D． 3．下列图形中可以作为正方体的展开图的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方体的展开图，熟记展开图的11种形式是解题的关键， 利用不是正方体展开图的“一线不过四、田凹应弃之”（即不能出现同一行有多于4个正方形的情况，不能出现田字形、凹字形的情况）判断也可． 【详解】解：A．可以作为一个正方体的展开图，故本选项符合题意； B．有 “田” 字格结构，不可以作为一个正方体的展开图，故本选项不符合题意； C．不可以作为一个正方体的展开图，故本选项不符合题意； D．不可以作为一个正方体的展开图，故本选项不符合题意． 故选：A． 4．七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具，它来源于4000多年前中国古老的测量工具－矩，张老师把如图1所示边长为4的正方形厚纸板分成七部分(由五块大小不同的等腰直角三角形、一块正方形，一块平行四边形组成），然后将它割开，制成七巧板．用自制的七巧板在一个大矩形中拼出如图2所示的图案，则图2中阴影部分的面积是（    ） A．16 B．32 C．34 D．36 【答案】C 【分析】本题考查了七巧板，根据七巧板的特点，求得图2长方形的长与宽，即可求解． 【详解】解：图1所示边长为4的正方形面积为16， 由图可知图2中，长方形的长为，宽为，面积为， 则图2中阴影部分的面积是， 故选：C． 5．如图是一个正方体纸盒的展开图，若正方体相对面上的两个数字之和相等，则的值为（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，根据正方体的表面展开图找相对面的方法：一线隔一个，可得3与9是相对面，5与x是相对面，4与y是相对面，然后根据已知可得：，从而可得：，，最后把x，y的值代入式子中进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：3与9是相对面，5与x是相对面，4与y是相对面， ∵正方体相对面上的两个数字之和相等， ∴， 解得：，， ∴， 故选：D． 6．如图是一个正方体包装盒的表面展开图，若在其中的三个面A，B，C上分别填上适当的数，使得A，B，C的数字与其对面数字互为相反数，则B上数字为（   ） A． B．0 C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查正方体的展开图，相反数．依据正方体展开图的性质确定出相对面，然后依据相反数的定义计算，即可得到答案． 【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， B与数字3是相对面， 相对面数字互为相反数， B上数字为， 故选：A． 7．桌面上摆着一个由一些相同的小正方体搭成的立体图形，从它的正面看到的形状是  ，从它的左面看到的形状是 ，这个立体图形可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合立体图形从正面看到的形状和从它的左面看到的形状，对照选项逐项分析，得出正确结论． 【详解】解：A．从正面能看到4个正方形，分两层，下层3个，上层1居中，与题干中正面看到的形状不符，故A不符合题意； B．从左面能看到3个正方形，分两层，下层2个，上层1个，左齐，与题干中左面看到的形状不符，故B不符合题意； C．从正面能看到4个正方形，分两层，下层3个，上层1个，左齐；从左面能看到4个正方形，分两层，下层3个，上层1个，右齐，与题干中从正面看到的形状和从它的左面看到的形状相符，故C符合题意； D．从左面能看到四个正方形，分两层，下层3个，上层1个，右齐，与题干中左面看到的形状不符，故D不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查作简单图形的三视图，能正确辨认从正面、上面、左面（或右面）观察到的简单几何体的平面图形． 8．下列说法中正确的是（    ）． A．折叠①，可得到图甲所示的正方体纸盒 B．图乙所示长方形绕它的对角线所在直线旋转一周，形成的几何体是② C．用一个平面去截图丙，截面图形可能是四边形 D．以上说法都不对 【答案】C 【分析】（1）A选项通过想象可以得出两个黑色实心圆在对面上 （2）B选项就要根据实际图形结合空间想象快速判断出旋转后的物体中间并不是一个点 （3）C选项考虑竖向切割，截面图形是一个四边形 【详解】A、两个黑色实心圆在对面，此选项错误； B、如图所示： C、如图所示： 故选：C． 【点睛】主要考查了图形折叠、旋转以及切割之后所得到的立方图纸，解决这种题目的方法是要多做、多画． 二、填空题 9．图1是一个正方体的展开图，该正方体从图2所示的位置依次翻到第1格，第2格，第3格，此时小正方体朝上一面的字是 ． 【答案】国 【分析】动手进行实验操作，或者在头脑中模拟（想象）折纸、翻转活动即可求解． 【详解】由图1可得：“中”和“的”相对；“国”和“我”相对；“梦”和“梦”相对； 由图2可得：该正方体从图2所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格时，“我”在下面，则这时小正方体朝上一面的字是“国”． 故答案为：国． 【点睛】本题以小立方体的侧面展开图为背景，考查学生对立体图形展开图的认识．考查了学生空间想象能力． 10．如图所示，这个几何体是由若干个完全相同的小正方体搭成的．如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持其从正面看和从左面看得到的图形不变，那么最多可以再添加 个小正方体． 【答案】4 【分析】本题主要考查了从不同方向看几何体，为保持这个几何体的从左面看和从正面看到的形状图不变，可在最底层第二列第三行加1个，第三列第二行加2个，第三列第三行加1个，即可得最多可以再添加4个小正方体，熟练掌握从不同方向看几何体的方法是解决此题的关键． 【详解】保持从上面看到的图形和从左面看到的图形不变，最多可以再添加4个小正方体； 故答案为：4． 11．如图，有一个正方体纸盒，其棱长为．小明沿着同一顶点处的三条棱在三个面上分别剪掉了，和的三个长方形．将正方体纸盒剩余部分沿棱展开，得到的展开图周长最大是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方体侧面展开图，根据小明沿着同一顶点处的三条棱在三个面上分别剪掉了，和的三个长方形，分别画出图形，然后比较即可得到的展开图周长最大是，然后求解即可，掌握正方体侧面展开图是解题的关键． 【详解】解：如图， ∴得到的展开图周长是， 如图， ∴得到的展开图周长是， 如图， ∴得到的展开图周长是， ∵， ∴得到的展开图最大周长是， 故答案为：． 12．一个正方体六个面上分别写着A，B，C，D，E，F，如图为这个正方体三种不同的摆法，则字母A对面的字母是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方体相对两面上的字，熟练掌握正方体的特征是解题关键．先找出与字母所在面相邻的四个面上的字母，再根据正方体的特征求解即可得． 【详解】解：由前面两个图可知，与字母所在面相邻的四个面上的字母是， 所以字母对面的字母是， 故答案为：． 13．一个长方体包装盒展开后如图所示（单位：cm），则其容积为 cm3． 【答案】6600 【分析】根据题意分别求出长方体的长、宽、高，再根据长方体的体积公式计算即可求解． 【详解】解：由题意可得，该长方体的高为：42﹣32＝10（cm），宽为：32﹣10＝22（cm），长为：（70﹣10）÷2＝30（cm）， 故其容积为：30×10×22＝6600（cm3）， 故答案为：6600． 【点睛】本题考查了几何体的展开图，解题的关键是得到长方体的长宽高． 14．如图，四个几何体分别是三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱，三棱柱有5个面、9条棱、6个顶点，观察图形并填空． (1)四棱柱有 个面， 条棱， 个顶点； (2)五棱柱有 个面， 条棱， 个顶点； (3)六棱柱有 个面， 条棱， 个顶点； (4)由此猜想棱柱有 个面， 条棱， 个顶点． 【答案】(1)6，12，8 (2)7，15，10 (3)8，18，12 (4)，， 【分析】本题考查了立体图形中的顶点、棱、面． （1）四棱柱面数：2个底面4个侧面，棱数：个底面棱4个侧棱，顶点数：个底面顶点； （2）五棱柱面数：2个底面5个侧面，棱数：个底面棱5个侧棱，顶点数：个底面顶点； （3）六棱柱面数：2个底面6个侧面，棱数：个底面棱6个侧棱，顶点数：个底面顶点； （4）棱柱面数：2个底面个侧面，棱数：个底面棱个侧棱，顶点数：个底面顶点． 【详解】（1）解：四棱柱有6个面，12条棱，8个顶点； （2）五棱柱有7个面，15条棱，10个顶点； （3）六棱柱有8个面，18条棱，12个顶点； （4）由此猜想棱柱有个面，条棱，个顶点． 三、解答题 15．将一个长方形绕它的一边所在的直线旋转一周，得到的几何体是圆柱，现在有一个长为厘米，宽为厘米的长方形，若绕它的一边所在直线旋转一周，得到的圆柱体的体积是多少？（结果保留） 【答案】立方厘米或立方厘米 【分析】本题考查了点、线、面、体，理解“面动成体”及圆柱体体积计算公式是正确解答的前提，同时考虑到以不同的边为轴旋转一周而进行分类讨论的数学思想是解题的关键． 【详解】解：①以长为厘米的边所在直线旋转一周，所得圆柱体的底面半径为厘米，高为厘米，故得到的圆柱体的体积为： （立方厘米） ②以宽为厘米的边所在直线旋转一周，所得圆柱体的底面半径为厘米，高为厘米，故得到的圆柱体的体积为： （立方厘米） ∴得到的圆柱体的体积是立方厘米或立方厘米． 16．如图是一个正方体的展开图，如果正方体的相对两个面上所标注的式子的值互为相反数，求x的值. 【答案】 【分析】本题主要考查正方体的展开图，熟练掌握正方体的展开图是解题的关键．由展开图找到对立面，根据相对两个面上所标注的式子的值互为相反数得到答案． 【详解】解：由题意正方体的相对两个面上所标注的式子的值互为相反数， 所以， 解得. 17．图1是三棱柱和圆柱，将图1中的圆柱沿竖直方向切开后，得到图2的剩余几何体． (1)图2中的几何体与棱柱、圆柱有很多相同点，请你列举2条与棱柱或圆柱的相同点； (2)如何能求出图2中几何体的体积？请写出你的想法． 【答案】(1)1、上下底面相同；2、它们的体积都等于底面积乘以高（答案不唯一） (2)见解析 【分析】本题考查了圆柱和棱柱，熟知圆柱和棱柱的特征是解题的关键． （1）根据与圆柱和棱柱相同点，写出两条即可； （2）可以将该几何体放入盛满水的容器里，测量溢出的水的体积，即可得到几何体的体积． 【详解】（1）解：图2中的几何体与棱柱、圆柱的相同点：1、上下底面相同；2、它们的体积都等于底面积乘以高； （2）解：可以将该几何体放入盛满水的容器里，测量溢出的水的质量，求出溢出水的体积即为该几何体的体积． 18．【问题背景】 用小立方块搭一个几何体，使它从正面和上面看到的形状如图所示，从上面看到形状中小正方形中的字母表示在该位置上小立方块的个数． 【初步探究】（1）表示的数是______，表示的数是______，表示的数是______； 【深入探究】（2）这个几何体最少由____个小立方块搭成，最多由_____个小立方块搭成。 （3）当，时，画出从左面看这个几何体的形状． 【答案】（1），，；（2）；；（3）见解析 【分析】本题考查了从不同方向看几何体的知识； （1）根据第三列小立方体的个数为3，第二列为个，即可求解； （2）根据第一列小立方体的个数最多为，最少为，那么加上其他两列小立方体的个数即可； （3）根据从左面看到的图形有三列，每列小正方形数目分别为，，，即可求解． 【详解】解：（1）根据从正面看到的图形可知，第三列小立方体的个数为3，第二列为个， ∴表示的数是3，表示的数是，表示的数是； 故答案为：，，；（． （2）这个几何体最少由个小立方块搭成，最多由个小立方块搭成； 故答案为：；． （3）∵，，从左面看到的图形如图所示， 19．下列图形中，图（a）是正方体木块，把它切去一块，得到如图（b）（c）（d）（e）的木块． (1)我们知道，图（a）（b）的相关数据已经给出，请你将图（c），（d），（e）中木块的顶点数，棱数，面数填入表： 图号 顶点数x 棱数y 面数z （a） 8 12 6 （b） 6 9                   （c）                                                     （d）                                                     （e）                                                     (2)如表，各种木块的顶点数，棱数，面数之间的数量关系可以归纳出一定的规律，请你试写出顶点数，棱数，面数之间的数量关系式． 【答案】(1)5，8，12，6，8，13，7，10，15，7 (2) 【分析】本题考查了截一个几何体，规律型：数字变化类． （1）只要将图（b）、（c）、（d）、（e）各个木块的顶点数、棱数、面数数一下即可； （2）通过观察找出每个图中“顶点数、棱数、面数”之间隐藏着的数量关系，这个数量关系用公式表示出来即可． 【详解】（1）解：见表： 图号 顶点数x 棱数y 面数z （a） 8 12 6 （b） 6 9 5 （c） 8 12 6 （d） 8 13 7 （e） 10 15 7 故答案为：5，8，12，6，8，13，7，10，15，7； （2）解：观察上表可得： ， ， ， ， ， ∴， ∴顶点数x、棱数y、面数z之间的数量关系式为． 20．某班综合实践小组开展“制作长方体形纸盒”的实践活动． 【知识准备】 （1）如图①~⑥图形中，是正方体的表面展开图的有______（只填写序号）． 【制作纸盒】综合实践小组利用边长为的正方形纸板，按以上两种方式制作长方体形盒子． （2）如图⑦，先在纸板四角剪去四个同样大小且边长为的小正方形，此时，表面展开图的外围周长为，再沿虚线折合起来，可制作一个无盖长方体形盒子，制作成的无盖长方体盒子的体积是______； （3）如图⑧，先在纸板四角剪去两个同样大小且边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，则，此时表面展开图的外围周长为______，再沿虚线折合起来，可制作一个有盖的长方体形盒子．求制作成的有盖盒子的体积． 【拓展探究】 若长方体的长、宽、高分别为4、3、6．将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形．则当该长方体形盒子表面展开图的外围周长最大时，该长方体形盒子表面展开图的外围的最大周长是______． 【答案】（1）①⑤⑥；（2）588；（3）80，；拓展探究：70 【分析】本题主要考查了立体图形表面展开图．熟练掌握正方体、长方体表面展开图特征，是解题的关键． （1）是正方体的表面展开图的有①⑤⑥； （2）长方体的一边长为，另一边长也为，高为，体积为； （3）表面展开图的外围周长为，盒子一边长为，另一边长为，高为，体积为； 拓展探究：画出该长方体形盒子表面展开图的外围周长最大时的图形，计算其周长为． 【详解】解：（1）是正方体的表面展开图的有①⑤⑥； 故答案为：①⑤⑥； （2）长方体的另一边长为：（）， 另一边长为：（）， 体积为：（）； 故答案为：588； （3）表面展开图的外围周长为：（）， 盒子一边长为：， 另一边长为：， 体积为：（）， 拓展探究： 如图，是该长方体形盒子表面展开图的外围周长最大时的情形， 其周长为：． 故答案为：70． 21．【综合实践】某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． 【知识准备】 （1）下列图形中，不是无盖正方体的表面展开图的是_______；（填序号） 【实践探索】 （2）综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒） ①图1方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的底面周长为______（用含a，b的式子表示）； ②图2方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．如果，．则该长方体纸盒的体积为_____． 【实践分析】 （3）一个无盖长方体的长、宽、高分别为，（它缺一个长为，宽为的长方形盖子），如图是该长方体的一种平面展开图，它的外围周长为．事实上，该长方体的平面展开图还有不少，请你画出该无盖长方体外围周长最大的一种表面展开图，并求出最大外围周长的值． 【答案】（1）②（2）①②1000（3）见解析， 【分析】本题考查简单几何体的展开图，熟练根据简单几何的展开图得出长方体的长宽高是解题的关键． （1）根据无盖正方体纸盒的面数和构成求解； （2）①根据正方形周长公式即可得解； ②根据长方体的体积公式即可得解； （3）根据边长最长的都剪，边长最短的剪得最少，露出外围的边都是长边画图，再据此求解即可． 【详解】（1）解：②不能折成一个无盖正方体纸盒，①③④能折成一个无盖正方体纸盒， 故答案为：②； （2）①解：由题意可知，长方体纸盒的底面为正方形，其边长为， ∴长方体纸盒的底面周长为， 故答案为：； ②由题意可知，该长方体纸盒的长为，高为，宽为， ∴该长方体纸盒的体积为， 故答案为：1000； （3）解：由题意知：边长最长的都剪，边长最短的剪得最少，如图， 所以该长方体表面展开图的最大外围周长为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 走进几何世界（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.几何图形 2.构成几何体的基本要素 3.棱柱与棱锥的认识 4.点、线、面、体 5.图形形成的方式 6.七巧板的认识 7.空间几何体的平面展开图 8.正方体的平面展开图 9.折叠成几何体 10.形与数相互转化 题型巩固 一、常见的几何体 二、组合几何体的构成 三、立体图形的分类 四、几何体中的点、棱、面 五、截一个几何体 六、点、线、面、体四者之间的关系 七、平面图形旋转后所得的立体图形 八、用七巧板拼图形 九、平面图形形状的识别 十、几何体展开图的认识 十一、由展开图计算几何体的表面积 十二、由展开图计算几何体的体积 十三、正方体几种展开图的识别 十四、正方体相对两面上的字 十五、含图案的正方体的展开图 十六、从不同方向看几何体 强化训练 单选题（8） 填空题（6） 解答题（7） 知识梳理 知识点1.几何图形 几何图形分为平面图形和立体图形(或几何体). 常见的几何体有三种类型：(1)柱体；(2)锥体；(3)球体. 常见的平面图形有三角形、四边形、五边形、圆等． 几何图形的分类如图5.1-1所示： 知识点2.构成几何体的基本要素 观察现实世界中的建筑物, 可以抽象出四棱锥、四棱柱等不同的几何体. 几何体是由若干个面围成的封闭图形，相邻两个面的公共边称为棱，棱与棱的交点称为顶点． 点、线、面是构成几何体的基本要素． 知识点3.棱柱与棱锥的认识 1. 棱柱有三棱柱、四棱柱、五棱柱等. 棱柱的特征：如图5.1-4，棱柱的所有侧棱长都相等，上、下底面的形状、大小相同，并且都是多边形，直棱柱的侧面都是长方形. 2. 棱锥有三棱锥、四棱锥、五棱锥等. 棱锥的特征：如图5.1-5，棱锥的侧面都是三角形，底面是多边形. 知识点4.点、线、面、体 1. 点、线、面、体的概念 点：线和线相交的地方是点. 线：面和面相交的地方形成线. 线有直线和曲线. 面：包围着体的是面. 面有平面和曲面两种. 体：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体，几何体也简称体. 2. 点、线、面、体的关系 点动成线：笔尖可以看成一个点，这个点在纸上运动时形成线，这可以说点动成线. 线动成面：汽车的雨刮器可以看成一条线，这条线在挡风玻璃上运动时形成扇面， 这可以说线动成面. 面动成体：长方形纸板绕它的一条边所在的直线旋转一周，形成一个圆柱体，这可以说面动成体. 知识点5.图形形成的方式 1. 图形形成的方式：平移、旋转和轴对称． 2. 图形的平移、旋转和轴对称变换不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置. 3. 常见的变换类型 (1)平移变换；(2)旋转变换；(3)轴对称变换；(4)旋转变换与平移变换的组合；(5)旋转变换与轴对称变换的组合；(6)轴对称变换与平移变换的组合． 知识点6.七巧板的认识 将一块正方形薄板按如图5.2-3所示的方式分割成七块，就成了七巧板. 它是由两块小型三角形(③ ⑥)、一块中型三角形(⑦)和两块大型三角形(① ②)、一块正方形(⑤)和一块平行四边形(④)共七块板组成的. 七巧板是一种拼图游戏，用七巧板可以拼出1 600 种以上千变万化的图案. 知识点7.空间几何体的平面展开图 有些空间几何体是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应空间几何体的平面展开图. 空间几何体的表面在展开时，一般都是沿棱剪开的，所以空间几何体面的个数与平面展开图中平面图形的个数相同. 知识点8.正方体的平面展开图 正方体有12条棱，剪开其中的7条棱，就可以得到其平面展开图. 正方体的11种平面展开图可分为下面几种类型： 第一类，中间四连方，两侧各1个，共6种(如图5.3-2)； 第二类，中间三连方，两侧分别有1个或2个，共3种(如图5.3-3)； 第三类，中间二连方，两侧各有2 个，只有1 种(如图5.3-4)； 第四类，两排各3 个，只有1 种(如图5.3–5). 知识点9.折叠成几何体 平面展开图的折叠是指把平面展开图通过折叠，还原成空间图形. 空间图形与平面图形的相互转化，可以利用实物加以想象，从给定的平面图形中辨认它们能否折叠成给定的空间图形. 知识点10.形与数相互转化一般先确定底面，然后找重合的点和边. 在数学中，数与形之间也可以相互转化. 观察图形的结构特征，发现数量之间存在的变化规律. 通过观察，把表达式中抽象的数量关系, 转化为适当的几何图形，这是数学中常用的、重要的一种数学思想方法，即数形结合思想. 题型巩固 题型一、常见的几何体 1．（24-25七年级上·江苏常州·期末）下列四个几何体中，圆锥是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏南京）一个长方体切 6 刀，可分成 24 个棱长为 1 厘米的小正方体，这个长方体的表面积是 平方厘米． 题型二、组合几何体的构成 3．下面四个立体图形中，只由一个面就能围成的是（    ） A．   B．  C．   D．   4．图中的几何体由 个面围成． 题型三、立体图形的分类 5．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）下列几何体中是三棱锥的是（   ） A． B． C． D． 6．将图中的几何体进行分类，并说明理由． 题型四、几何体中的点、棱、面 7．（2024七年级上·江苏徐州·专题练习）一个长方体，表面全部涂上红色后，被分割成若干个体积都等于1立方厘米的小正方体．如果在这些小正方体中，不带红色的小正方体的个数有7个，则两面带红色的小正方体有（　　）个． A．20 B．25 C．28 D．36 8．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）若一个棱锥有12条棱，则它是 棱锥． 9．（2024七年级上·江苏·专题练习）观察如图所示的棱柱： (1)这个棱柱的底面是 ； (2)这个棱柱有 个侧面，侧面的形状是 ； (3)侧面的个数与底面的边数 ；（填“相等”或“不相等” (4)这个棱柱有 个顶点， 条侧棱，一共有 条棱； (5)若这个棱柱的底面边长都是，侧棱长是，则该棱柱所有侧面的面积之和为 ． 题型五、截一个几何体 10．（2023七年级上·江苏·专题练习）如果将圆柱切割后拼成一个近似的长方体，他们的（　　） A．体积和表面积都相等 B．体积相等，表面积不相等 C．表面积相等，体积不相等 D．体积和表面积都不相等 11．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）用一个平面去截一个正方体，截面（截出的面）是不同形状，则这个截面可以是：①正方形：②五边形；③平行四边形；④梯形，其中所有正确结论的序号是 ． 题型六、点、线、面、体四者之间的关系 12．（2023七年级上·江苏·专题练习）足球比赛中，一名前锋队员起脚射门，球划出一道漂亮的弧线进入球门，在这个过程中，你认为下列判断正确的是（　　） A．点运动成线 B．线运动成面 C．面运动成体 D．线与线相交得点 13．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）“鸣语既过渐细微，映空摇飏如丝飞”是唐代诗人杜甫作品《雨不觉》中的诗句，意为喧哗的雨已经过去，逐渐变得细微，映着天空摇漾如丝的细雨飘飞．诗中描写雨滴下来形成雨丝，用数学语言解释这一现象为 ． 题型七、平面图形旋转后所得的立体图形 14．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）下列图形中，绕铅垂线旋转一周可得到如图所示几何体的是（   ） A． B． C． D． 15．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）将一个长方形纸板绕它的一条边旋转1周形成的几何体是 ． 题型八、用七巧板拼图形 16．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）如图，是一个同学用一副七巧板拼出的一个三角形，下列说法不正确的是（    ） A．第⑥块的面积是第③块的4倍 B．图中的等腰直角三角形一共有8个 C．第①块的面积是整个面积的 D．第②块的面积与第⑤块的面积相等 17．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）如图，用边长为8的正方形，做了如图1所示的七巧板．将这个七巧板拼成如图2所示的图形，则图2中阴影部分的面积为 ． 18．（2023七年级上·江苏·专题练习）如图，大小完全相同的两个直角三角形纸片，若将它们的某条边重合，能拼成几种不同形状的平面图形? 试一试，画出拼成的图形． 题型九、平面图形形状的识别 19．（22-23七年级上·江苏扬州·开学考试）用一条直线把一个正方形分成完全一样的两部分，有（    ）种分法． A．2 B．4 C．无数 D．以上答案都不对 20．（22-23七年级上·江苏无锡·期中）有一张长和宽分别是5和4的长方形纸片，现在把它正好分成5张形状各不相同的长方形（包括正方形）纸片，且每张纸片的边长都为整数．这样的5张长方形纸片共有 种． 21．（2024七年级上·江苏·专题练习）如图，要在一块正方形土地上修筑两条笔直的道路，使道路把这块土地分成形状相同且面积相等的4部分，若道路的宽度忽略不计，请你设计三种不同的修筑方案．（只需画简图） 题型十、几何体展开图的认识 22．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段练习）某几何体的展开图如图所示，该几何体是（   ） A．三棱柱 B．三棱锥 C．四棱柱 D．圆柱 23．（22-23七年级上·江苏扬州·阶段练习）如图是一个几何体的展开图，则这个几何体是 ． 24．（25-26七年级上·江苏·期中）一个长方体纸盒的长、宽、高均为正整数（单位：厘米），其展开图如图所示．已知面的面积是32平方厘米，面的面积是12平方厘米，面的面积是24平方厘米． (1)求面与面的面积之和； (2)求这个长方体纸盒的体积．（纸的厚度忽略不计） 题型十一、由展开图计算几何体的表面积 25．（2024七年级上·江苏·专题练习）小滨正对相同的长方体快递盒进行包装，如图1单个盒子的表面积为，如图2三个盒子叠一起的表面积为，则如图3四个盒子叠一起的表面积是 ． 26．如图是一个用硬纸板制作的长方体包装盒展开图，已知它的底面形状是边长为6cm正方形，高为12cm． (1)制作这样的包装盒需要多少平方厘米的硬纸板？ (2)若1平方厘米硬纸板价格为0.5元，则制作10个这的包装盒需花费多少钱？不考虑边角损耗 题型十二、由展开图计算几何体的体积 27．（22-23七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图是一个长方体纸盒的表面展开图，纸片厚度忽略不计，按图中数据，这个盒子的容积为（    ） A．36 B．48 C．54 D．64 28．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）小明同学将一个长方体包装盒展开，并进行了测量，结果如图所示（纸片厚度忽略不计），根据图中数据可得原长方体包装盒的体积是 ． 29．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）一个无盖的长方体包装盒展开后如图所示（单位：），分别是长方体的长宽高， (1)求长方体的高c； (2)求长方体的容积． 题型十三、正方体几种展开图的识别 30．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）一个正方体的表面展开图如图所示，将其折叠成正方体时，与点A重合的是（   ） A．点B B．点C C．点D D．点E 31．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）利用如图所示的方格纸板，以纸板中的每个小方格为一个面，先剪后折，最多能制作 个无盖的正方体纸盒． 32．（22-23七年级上·江苏盐城·阶段练习）已知正方体盒子如图所示，最多剪7条棱，请画出它所有类型的平面展开图，相似算一类． 题型十四、正方体相对两面上的字 33．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段练习）一个小正方体6个面上分别写着1、2、3、4、5、6，图中是由同样的4个小正方体组成的．数字2对面的数字是（   ） A．1 B．3 C．4 D．6 34．（22-23七年级上·江苏扬州·阶段练习）某正方体的每一个面上都有一个汉字，如图是它的一种表面展开图，那么在原正方体的表面上，与“洗”字相对的面上的汉字是 ． 题型十五、含图案的正方体的展开图 35．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）如果有一个正方体，它的展开图可能是下列四个展开图中的（不考虑数字方向）（    ） A． B． C． D． 36．（24-25七年级上·江苏南京·期末）按图示切割正方体就可以切割出正六边形（正六边形的各顶点恰是其棱的中点），以下此正方体的平面展开图及切割线的画法正确的有 ．（填序号） 题型十六、从不同方向看几何体 37．（2025七年级上·江苏·专题练习）观察，下面各图形中，（ ）是从这个物体的上面看到的． A． B． C． D． 38．（24-25七年级上·江苏淮安·开学考试）图中的立体图形是14个棱长为5厘米的立方体组成，则这个立体图形（包括底面）的表面积是 ． 39．（23-24七年级上·江苏徐州·月考）如图，是由多个小正方体组合成的立体图形，      (1)分别画出从正面、左面、上面观察到的图形． (2)如果将这个立体图形表面涂上红色（底面不涂），则需要涂 个面． 强化训练 一、单选题 1．下列图形中，是长方体的平面展开图的是（    ） A．B． C． D． 2．如图，把图形绕着给定的直线旋转一周后形成的几何体是（　　） A． B． C． D． 3．下列图形中可以作为正方体的展开图的是（   ） A． B． C． D． 4．七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具，它来源于4000多年前中国古老的测量工具－矩，张老师把如图1所示边长为4的正方形厚纸板分成七部分(由五块大小不同的等腰直角三角形、一块正方形，一块平行四边形组成），然后将它割开，制成七巧板．用自制的七巧板在一个大矩形中拼出如图2所示的图案，则图2中阴影部分的面积是（    ） A．16 B．32 C．34 D．36 5．如图是一个正方体纸盒的展开图，若正方体相对面上的两个数字之和相等，则的值为（   ） A． B．2 C． D．1 6．如图是一个正方体包装盒的表面展开图，若在其中的三个面A，B，C上分别填上适当的数，使得A，B，C的数字与其对面数字互为相反数，则B上数字为（   ） A． B．0 C． D．3 7．桌面上摆着一个由一些相同的小正方体搭成的立体图形，从它的正面看到的形状是  ，从它的左面看到的形状是 ，这个立体图形可能是（    ） A． B． C． D． 8．下列说法中正确的是（    ）． A．折叠①，可得到图甲所示的正方体纸盒 B．图乙所示长方形绕它的对角线所在直线旋转一周，形成的几何体是② C．用一个平面去截图丙，截面图形可能是四边形 D．以上说法都不对 二、填空题 9．图1是一个正方体的展开图，该正方体从图2所示的位置依次翻到第1格，第2格，第3格，此时小正方体朝上一面的字是 ． 10．如图所示，这个几何体是由若干个完全相同的小正方体搭成的．如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持其从正面看和从左面看得到的图形不变，那么最多可以再添加 个小正方体． 11．如图，有一个正方体纸盒，其棱长为．小明沿着同一顶点处的三条棱在三个面上分别剪掉了，和的三个长方形．将正方体纸盒剩余部分沿棱展开，得到的展开图周长最大是 ． 12．一个正方体六个面上分别写着A，B，C，D，E，F，如图为这个正方体三种不同的摆法，则字母A对面的字母是 ． 13．一个长方体包装盒展开后如图所示（单位：cm），则其容积为 cm3． 14．如图，四个几何体分别是三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱，三棱柱有5个面、9条棱、6个顶点，观察图形并填空． (1)四棱柱有 个面， 条棱， 个顶点； (2)五棱柱有 个面， 条棱， 个顶点； (3)六棱柱有 个面， 条棱， 个顶点； (4)由此猜想棱柱有 个面， 条棱， 个顶点． 三、解答题 15．将一个长方形绕它的一边所在的直线旋转一周，得到的几何体是圆柱，现在有一个长为厘米，宽为厘米的长方形，若绕它的一边所在直线旋转一周，得到的圆柱体的体积是多少？（结果保留） 16．如图是一个正方体的展开图，如果正方体的相对两个面上所标注的式子的值互为相反数，求x的值. 17．图1是三棱柱和圆柱，将图1中的圆柱沿竖直方向切开后，得到图2的剩余几何体． (1)图2中的几何体与棱柱、圆柱有很多相同点，请你列举2条与棱柱或圆柱的相同点； (2)如何能求出图2中几何体的体积？请写出你的想法． 18．【问题背景】 用小立方块搭一个几何体，使它从正面和上面看到的形状如图所示，从上面看到形状中小正方形中的字母表示在该位置上小立方块的个数． 【初步探究】（1）表示的数是______，表示的数是______，表示的数是______； 【深入探究】（2）这个几何体最少由____个小立方块搭成，最多由_____个小立方块搭成。 （3）当，时，画出从左面看这个几何体的形状． 19．下列图形中，图（a）是正方体木块，把它切去一块，得到如图（b）（c）（d）（e）的木块． (1)我们知道，图（a）（b）的相关数据已经给出，请你将图（c），（d），（e）中木块的顶点数，棱数，面数填入表： 图号 顶点数x 棱数y 面数z （a） 8 12 6 （b） 6 9                   （c）                                                     （d）                                                     （e）                                                     (2) 如表，各种木块的顶点数，棱数，面数之间的数量关系可以归纳出一定的规律，请你试写出顶点数，棱数，面数之间的数量关系式． 20．某班综合实践小组开展“制作长方体形纸盒”的实践活动． 【知识准备】 （1）如图①~⑥图形中，是正方体的表面展开图的有______（只填写序号）． 【制作纸盒】综合实践小组利用边长为的正方形纸板，按以上两种方式制作长方体形盒子． （2）如图⑦，先在纸板四角剪去四个同样大小且边长为的小正方形，此时，表面展开图的外围周长为，再沿虚线折合起来，可制作一个无盖长方体形盒子，制作成的无盖长方体盒子的体积是______； （3）如图⑧，先在纸板四角剪去两个同样大小且边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，则，此时表面展开图的外围周长为______，再沿虚线折合起来，可制作一个有盖的长方体形盒子．求制作成的有盖盒子的体积． 【拓展探究】 若长方体的长、宽、高分别为4、3、6．将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形．则当该长方体形盒子表面展开图的外围周长最大时，该长方体形盒子表面展开图的外围的最大周长是______． 21．【综合实践】某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． 【知识准备】 （1）下列图形中，不是无盖正方体的表面展开图的是_______；（填序号） 【实践探索】 （2）综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒） ①图1方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的底面周长为______（用含a，b的式子表示）； ②图2方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．如果，．则该长方体纸盒的体积为_____． 【实践分析】 （3）一个无盖长方体的长、宽、高分别为，（它缺一个长为，宽为的长方形盖子），如图是该长方体的一种平面展开图，它的外围周长为．事实上，该长方体的平面展开图还有不少，请你画出该无盖长方体外围周长最大的一种表面展开图，并求出最大外围周长的值． 学科网（北京）股份有限公司 $