第13讲 几何图形（知识点+题型+强化训练） 2025-2026学年人教版七年级数学上册同步讲义与测试

本讲义聚焦初中几何图形核心知识点，系统梳理立体图形与平面图形的概念、特征，从不同方向观察几何体、立体图形展开图及点线面体关系，构建从基础概念到实际应用的完整知识支架。 资料以18类题型系统覆盖几何体识别、组合构成、展开图计算等，强化训练分层设计。通过视图与展开图问题培养空间观念，结合纸盒制作等实际应用发展推理意识与应用意识，课中辅助教学高效推进，课后助力学生查漏补缺。

第13讲 几何图形（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.几何图形与立体图形 2.平面图形 3.从不同方向看立体图形 4.立体图形的展开图 5.点、线、面、体 题型巩固 一、常见的几何体 二、组合几何体的构成 三、立体图形的分类 四、几何体中的点、棱、面 五、从不同方向看几何体 六、几何体展开图的认识 七、由展开图计算几何体的表面积 八、由展开图计算几何体的体积 九、正方体几种展开图的识别 十、正方体相对两面上的字 十一、含图案的正方体的展开图 十二、求展开图上两点折叠后的距离 十三、补一个面使图形围成正方体 十四、平面图形形状的识别 十五、用七巧板拼图形 十六、点、线、面、体四者之间的关系 十七、平面图形旋转后所得的立体图形 十八、截一个几何体 强化训练 单选题（8） 填空题（7） 解答题（7） 知识梳理 知识点1.几何图形与立体图形 1. 几何图形 几何图形是从物体外形中得到的各种图形，分为立体图形和平面图形. 2. 立体图形二维 三维 有些几何图形(如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等)的各部分不都在同一平面内，它们是立体图形. 3. 常见的立体图形 名称 图例 特征 柱 体 圆柱 底面是圆； 侧面是曲面 两个底面互相平行 棱柱 底面是多边形； 侧面都是四边形 锥 体 圆锥 底面是圆； 侧面是曲面 只有一个顶点 棱锥 底面是多边形； 侧面都是三角形底面是几边形就是几棱锥 各侧面有一个公共顶点 名称 图例 特征 球 表面是曲面 知识点2.平面图形 1. 平面图形 有些几何图形(如线段、角、三角形、长方形、圆等)的各部分都在同一平面内，它们是平面图形. 2. 平面图形与立体图形的区别与联系 平面图形 立体图形 区别 各部分都在同一平面内 各部分不都在同一平面内 联系 立体图形中的某些部分是平面图形，研究立体图形时，常把它转化为平面图形 3. 常见的平面图形(如图6 .1 -2) 知识点3.从不同方向看立体图形 1. 从不同方向看立体图形，往往会得到不同形状的平面图形，一般从三个方向看：从前面看，从左面看，从上面看. 2. 常见的立体图形从不同方向看到的平面图形 物体的摆放方式不同，从同一方向看该物体，得到的平面图形可能不同，也可能相同. 知识点4.立体图形的展开图 1. 立体图形的展开图 ：有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当展开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图. 2. 常见立体图形的展开图 注意不要将圆画 在扇形的半径上 知识点5.点、线、面、体 1. 点、线、面、体的概念 体：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体，几何体也简称体. 面：包围着体的是面. 面有平的面和曲的面两种. 线：面和面相交的地方形成线. 线有直线和曲线. 点：线和线相交的地方是点. 2. 点、线、面、体的关系 题型巩固 题型一、常见的几何体 1．（22-23七年级上·广东河源·期中）观察下列实物模型，其整体形状给我们以圆柱的形象的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】常见的几何体 【分析】本题考查了圆柱体的识别，属于简单题，熟悉立体图形的定义是解题关键． 根据圆柱的上下底面是两个等圆判断即可． 【详解】解：A．此物体给我们以圆台的形象，不符合题意； B．此物体给我们以长方体的形象，不符合题意； C．此物体给我们以圆锥的形象，不符合题意； D．此物体给我们以圆柱的形象，符合题意； 故选：D． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）把图中的几何图形与它们相应的名称用线连起来 【答案】见解析 【知识点】常见的几何体 【分析】本题考查认识立体图形，熟练掌握常见几何体的特征是解题关键．根据常见立体图形的特征直接连线即可． 【详解】解：如图， 题型二、组合几何体的构成 3．把14个棱长为1分米的正方体摆成如图所示的形式，然后把露出的表面都涂上颜色，则被涂上颜色的部分面积为（    ） A．33平方分米 B．24平方分米 C．21平方分米 D．42平方分米 【答案】A 【知识点】组合几何体的构成 【分析】把每一层的面积求出，相加即可得出答案． 【详解】棱长为1分米的正方体每个面的面积为1平方分米， 最上层，侧面积为4平方分米，上表面积为1平方分米， 总面积为（平方分米）， 中间一层，侧面积为（平方分米），上表面积为（平方分米）， 总面积为（平方分米）， 最下层，侧面积为（平方分米），上表面积为（平方分米）， 总面积为（平方分米）， （平方分米）， 被涂上颜色的部分面积为33平方分米． 故选：A． 【点睛】本题考查几何体的表面积，分别把每层的面积求出来是解题的关键． 4．（22-23七年级上·山东青岛·期中）如图，模块①由15个棱长为1的小正方体构成，模块②一⑥均由4个棱长为1的小正方体构成，现在从模块②一⑥中选出三个模块放到模块①上，与模块①组成一个棱长为3的大正方体，则符合上述要求的三个模块序号是 ． 【答案】④⑤⑥ 【知识点】组合几何体的构成 【分析】观察所给的模块，结合构成的棱长为3的大正方体的特征即可求解． 【详解】解：由图形可知，模块⑥补模块①上面的左上角，模块⑤补模块①上面的右下角，模块④补模块①上面的⑥⑤之间，使得模块①成为一个棱长为3的大正方体． 故能够完成任务的为模块④，⑤，⑥． 故答案为：④⑤⑥（答案不唯一）． 【点睛】考查了认识立体图形，本题类似七巧板的游戏，考查了拼接图形，可以培养学生动手能力，展开学生的丰富想象力． 题型三、立体图形的分类 5．（25-26七年级上·全国·课后作业）在如图所示的立体图形中，柱体有 ，锥体有 ，球体有 ． （填序号） 【答案】 ①②③⑦ ⑤⑥ ④ 【知识点】立体图形的分类 【分析】本题考查了柱体，锥体，球体，熟练掌握柱体，锥体，球体的特点是解题的关键． 柱体的特点：有两个面互相平行且大小相同，余下的每个相邻两个面的交线互相平行； 锥体的特点：有1个顶点，一个底面，只有1条高； 球是由一个面所围成的几何体，据此可得答案． 【详解】解：在如图所示的立体图形中，柱体有①②③⑦，锥体有⑤⑥，球体有④， 故答案为：①②③⑦；⑤⑥；④． 6．（2024七年级上·浙江·专题练习）观察图中的几何体，回答下列问题： (1)将图中的几何体分类，并说明理由； (2)请用自己的语言描述图②和图⑤的相同点与不同点．（各写一条即可） 【答案】(1)①②④⑤⑥是柱体；⑦是锥体；③是球体，理由见解析 (2)图②和图⑤的相同点：都是柱体，都有上、下两个底面且都是平面（答案不唯一）；不同点：圆柱的底面是圆，圆柱的侧面是曲面，而棱柱的底面是多边形，棱柱的侧面是平面（答案不唯一）． 【知识点】立体图形的分类 【分析】此题主要考查了简单几何体，熟练掌握柱体、锥体、球体的概念是解决问题的关键． （1）根据柱体、锥体、球体划分即可； （2）根据棱柱和圆柱的特点可得出答案． 【详解】（1）解：按柱体、锥体、球体划分可分为三类：①②④⑤⑥是柱体；⑦是锥体；③是球体． （2）解：图②和图⑤的相同点：都是柱体，都有上、下两个底面且都是平面（答案不唯一）； 不同点：圆柱的底面是圆，圆柱的侧面是曲面，而棱柱的底面是多边形，棱柱的侧面是平面（答案不唯一）． 题型四、几何体中的点、棱、面 7．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）一个棱柱有30条棱，则这个棱柱的面有（    ） A．10个 B．12个 C．15个 D．17个 【答案】B 【知识点】几何体中的点、棱、面 【分析】本题考查棱柱，熟知棱柱的棱数和面数与的关系是解答的关键． 设该棱柱为棱柱，则棱的条数为，面数为，由此可求得和面数． 【详解】解：设该棱柱为棱柱，由题意， 得：， 解得：， ∴该棱柱有个面， 故选：B． 8．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，观察下列几何体并回答问题． （1）请观察所给几何体的面、棱、顶点的数量并归纳出n棱柱有 个面， 条棱， 个顶点；n棱锥有 个面， 条棱， 个顶点； （2）所有像三棱柱、四棱柱、六棱柱、三棱锥等这样由四个或四个以上多边形所围成的立体图形叫作多面体，经过前人们归纳总结发现，多面体的面数F，顶点个数V以及棱的条数E存在着一定的关系，请根据（1）总结出这个关系为 ． 【答案】 3n 2n 2n 【知识点】几何体中的点、棱、面 【分析】本题考查认识立体图形，能够通过由特殊到一般的归纳，得到顶点个数、棱数、面数之间满足的关系式是解题的关键． （1）观察所给几何体的面、棱、顶点的数量并归纳即可； （2）用表格分别列出三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱所对应的顶点的个数、棱的条数和面的个数，从而得到三者的关系为． 【详解】（1）观察所给几何体的面、棱、顶点的数量并归纳出n棱柱有个面，3n条棱，2n个顶点；n棱锥有个面，2n条棱，个顶点． 故答案为：，3n，2n，，2n，； （2）用表格分别列出三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱所对应的顶点的个数、棱的条数和面的个数，如下： 顶点数（V） 棱数（E） 面数（F） 三棱柱 6 9 5 四棱柱 8 12 6 五棱柱 10 15 7 六棱柱 12 18 8 根据上表总结出这个关系为． 故答案为：． 题型五、从不同方向看几何体 9．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）如图是由完全相同的6个小立方体组成的几何体，则该几何体从上面看到的形状图为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，俯视图是从物体的上面看得到的视图，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中，然后即可求解； 【详解】解：从上面看，可得选项B的图形， 故选：B． 10．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）如图是一个由若干个大小相同的小立方块搭成的几何体，请画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图． 【答案】见解析 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】此题考查了从不同方向看几何体．根据正面、左面、上面所看到的形状画图即可． 【详解】解：如图： 题型六、几何体展开图的认识 11．（25-26七年级上·河南·期中）下列选项中，左边的平面图形能够折成右边封闭的立体图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】几何体展开图的认识 【分析】本题考查了展开图折叠成几何体，熟记常见几何体的展开图是解题的关键. 根据几何体的展开图，可得答案. 【详解】解：A、不能折叠成四棱锥，故选项错误，不符合题意； B.能折成长方体，故选项正确，符合题意； C、不能折成正方体，故选项错误，不符合题意； D、不能折成圆锥，故选项错误，不符合题意. 故选：B. 12．（25-26七年级上·全国·课后作业）下面是几个立体图形的表面展开图，请依次写出这些立体图形的名字 ． 【答案】（1）三棱柱；（2）圆柱；（3）六棱柱；（4）圆锥 【知识点】几何体展开图的认识 【分析】本题考查了几何体的展开图，根据简单几何体展开图的特征解答即可，会根据展开图确定立体图形是解题的关键． 【详解】解：（1）是三棱柱； （2）是圆柱； （3）是六棱柱； （4）是圆锥． 故答案为：（1）三棱柱；（2）圆柱；（3）六棱柱；（4）圆锥． 题型七、由展开图计算几何体的表面积 13．用一张长米，宽米的铁皮做一个圆柱形烟筒，这个烟筒的侧面积是多少平方米（接口处忽略不计）．（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由展开图计算几何体的表面积 【分析】本题主要考查圆柱的侧面积，熟练掌握圆柱的侧面积是解题的关键；因此此题可根据圆柱的侧面积公式可进行求解 【详解】解：由题意可知，圆柱形烟筒没有上下底面，只有侧面，因此铁皮的面积即为烟筒的侧面积． ． 故选D． 14．（25-26七年级上·四川成都·月考）“双十一”大促销临近，淘宝上某玩具商家根据所售玩具规格的不同，向厂家订制了不同型号的包装盒，所有包装盒均为双层上盖的长方体纸箱（上盖纸板面积刚好等于底面面积的2倍，如图1所示）． (1)已知某种规格的长方体包装盒的长为8厘米，宽为5厘米，高为2厘米，请计算制作一个该长方体纸箱需要多少平方厘米纸板？ (2)该玩具商家在今年“双十一”期间推出“买一送一”的活动，现要将两个同一型号的玩具重新包装在同一个更大的长方体的外包装盒内（如图1），已知单个玩具的长方体盒子长为5分米，宽为3分米，高为4分米．如图2-1所示，现有三种摆放方式（图2-2，2-3，2-4所示），请分别计算这三种摆放方式所需外包装盒的纸板面积（包装盒上盖朝上），并比较哪一种方式所需纸板面积更少； (3)如图3-1，已知某长方体的长为5，宽为3，高为4，图3-2是该长方体的一种表面展开图，请计算出这种表面展开图的外围周长是多少？你能设计一个使外围周长最大的表面展开图吗？请画出示意图（请使用直尺规范画图），此时的外围周长是________．（请直接写出答案） 【答案】(1)172 (2)面积分别为178平方分米，194平方分米，173平方分米；按图2-4所示的方式摆放所需的纸板面积更少； (3)50厘米，示意图见解析，62厘米． 【知识点】由展开图计算几何体的表面积 【分析】本题考查了长方体的展开图，解题的关键是要发挥空间想象能力，计算出每个面的面积． （1）计算长方体的表面积再加底面面积，即可求出制作长方体纸箱的面积； （2）根据图示计算即可； （3）根据图示即可算出图的外围周长，要使展开图的外围周长最长，则需要使沿长为5的边剪开，使长为5的边尽可能多的作外围即可． 【详解】（1）解：， 故制作长方体纸箱需要172平方厘米纸板， 故答案为：172； （2）解：按图所示的方式摆放，需要（平方分米）， 按图所示的方式摆放，需要（平方分米）， 按图所示的方式摆放，需要（平方分米）， ∵， ∴按图所示的方式摆放所需的纸板面积更少； （3）解：表面展开图的外围周长：（厘米）， 如图所示，此时外围周长最大， 最大周长为：（厘米）， 故答案为：62厘米． 题型八、由展开图计算几何体的体积 15．（23-24七年级上·山东滨州·期末）如图所示的长方形（长为20，宽为12）硬纸板，剪掉阴影部分后，将剩余的部分沿虚线折叠，制作成底面为正方形的长方体箱子，则长方体箱子的体积为（    ） A．40 B．56 C．110 D．126 【答案】D 【知识点】由展开图计算几何体的体积 【分析】本题主要考查长方体体积的计算方法，熟练根据图求出长、宽、高是解题关键．利用图形求出长方体的宽及长即可． 【详解】解：∵长方体的底面为正方形，由图可知底面周长为12， ∴长方体的底面边长为：， ∴长方体的高为：， ∴长方体箱子的体积为，， 故选：D． 16．（24-25七年级上·贵州毕节·期末）综合与实践：制作一个无盖的长方体纸盒．七年级“探究小组”计划利用一张边长为的正方形纸板制作一个无盖的长方体纸盒，按照如图1所示的方式先在纸板四角剪去四个同样大的小正方形，再沿虚线折起来就可以做成一个无盖的长方体纸盒． 【特例探究】（1）若剪去的小正方形的边长为，求长方体纸盒的容积； 【一般探究】（2）若剪去的小正方形的边长为，求长方体纸盒的容积（用含x的代数式表示）； 【拓展延伸】（3）“探究小组”把剪去的小正方形的边长x的值按整数值依次增大，计算出对应的长方体纸盒的容积V的变化情况，并绘制折线统计图（如图2），请根据统计图写出两条结论． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析 【知识点】列代数式、由展开图计算几何体的体积 【分析】本题考查了由展开图求体积及统计图信息，比较简单． （1）直接根据容积公式并将值代入计算即可； （2）直接根据容积公式并将值代入化简即可； （3）根据统计图从最大值和增减性即可得出答案． 【详解】解：（1）当剪去的小正方形的边长为时，长方体纸盒的容积为． （2）当剪去的小正方形的边长为时，长方体纸盒的容积为． （3）根据折线统计图，得当时，长方体的容积V的值最大；当时，随着x值的增大，长方体的容积V的值越来越小． 题型九、正方体几种展开图的识别 17．（25-26七年级上·四川成都·期中）下列图形中，不是正方体的表面展开图的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正方体几种展开图的识别 【分析】本题主要考查了正方体的展开图，根据口诀“一线不过四，田凹应弃之”判断是解题的关键． 根据口诀观察图形即可得解； 【详解】观察四个选项发现，选项中有“田”出现，故不是正方体的展开图，其他选项正确； 故选． 18．（25-26七年级上·江西九江·期中）如图是一个没有完全剪开的正方体，若再剪开一条棱，则得到的平面展开图可能是下列图中的 ．（填所有符合题意的序号） 【答案】①③④ 【知识点】正方体几种展开图的识别 【分析】本题考查了几何体展开图的知识；解题的关键是熟练掌握简单几何体展开图的性质，从而完成求解． 结合题意，根据简单几何体展开图的性质对各个选项逐个分析，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，再剪开一条棱，展开图可能为： 故答案为：①③④． 题型十、正方体相对两面上的字 19．（25-26七年级上·福建三明·期中）有一正方体，六个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6，有三个人从不同的角度观察的结果如图所示．如果记2的对面的数字为a，5的对面的数字为b，那么的值为 ． 【答案】5 【知识点】正方体相对两面上的字 【分析】本题主要考查正方体的特征；根据题意易得5的对面数字是1，6的对面数字是3，2的对面的数字是4，然后问题可求解． 【详解】解：由图可知：与相邻，与相邻， ∴5的对面数字是1，3的对面数字是6，2的对面的数字是4， ∵记2的对面的数字为a，5的对面的数字为b， ∴，， ∴； 故答案为：5． 20．（25-26七年级上·云南曲靖·期中）如图，一个正方体的六个面上标着连续的整数，若相对面上所标数之和相等，则这六个数之和是多少？ 【答案】39 【知识点】正方体相对两面上的字 【分析】本题主要考查了正方体对面上的数字问题，根据题意可得这6个整数可以为4，5，6，7，8，9或5，6，7，8，9，10或6，7，8，9，10，11，再由相对面上所标数字之和相等得到最大的数和最小的数是对面，第二大的数和第二小的数为对面，剩下的两个数为对面，据此分三种情况讨论，结合6，8，9三个数不能互相为对面进行求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意得，这6个整数可以为4，5，6，7，8，9或5，6，7，8，9，10或6，7，8，9，10，11， ∵相对面上所标数字之和相等， ∴那么最大的数和最小的数是对面，第二大的数和第二小的数为对面，剩下的两个数为对面，当这6个整数为4，5，6，7，8，9，则4和9为对面，5和8为对面，6和7为对面，符合题意， ∴此时这6个数的和为； 当这6个整数为5，6，7，8，9，10，则6和9为对面，此时不符合题意； 当这6个整数为6，7，8，9，10，11，则8和9为对面，此时不符合题意； 综上所述，这6个整数为4，5，6，7，8，9，它们的和为39． 题型十一、含图案的正方体的展开图 21．（25-26七年级上·河南平顶山·阶段练习）如图是一个正方体纸盒的展开图，则这个正方体是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】含图案的正方体的展开图 【分析】本题主要考查了正方体的展开图，弄清展开图折叠成正方体后各面的关系是解题的关键． 根据正方体的展开图知识，折成正方体后，两个带横线的面是相对的面，并和带圆的面相邻并和横线平行，据此解答即可． 【详解】解：折成正方体后，两个带横线的面是相对的面，并和带圆的面相邻并和横线平行，即B选项符合题意． 故选B． 22．（24-25七年级上·山西太原·期中）如图，是一个没有上底面的正方体纸盒，将该纸盒沿图中加粗的棱剪开，请在右面的方格图中画出该纸盒展开图的示意图． 【答案】见详解 【知识点】含图案的正方体的展开图 【分析】根据无盖可知下面没有对面，再根据图形粗线的位置即可画出展开后的平面图形. 本题是一道有关正方体的展开图的题，结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键. 【详解】解：如图所示： 题型十二、求展开图上两点折叠后的距离 23．（22-23七年级上·陕西西安·期末）如图是一个正方体的表面展开图，若，则该正方体上两点间的距离为 ． 【答案】3 【知识点】求展开图上两点折叠后的距离 【分析】将正方体的展开图叠成一个正方体，A、B刚好是同一个面的对角线，于是可以求出结果． 【详解】将正方体的展开图叠成一个正方体，刚好是同一个面的对角线， 因为两倍对角线为6，那么对角线的长度就是， 即正方体上两点间的距离为：3， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了正方体的展开与折叠，将正方体的展开图正确折叠是解题的关键，难点在于确定A、B两点折叠后的位置． 24．某同学的茶杯是圆柱形，如图①所示，有一只蚂蚁从A处沿侧面爬行到母线CD的中点B处，如果蚂蚁爬行的路线最短，请利用展开图画出这条最短路线． 解：将圆柱的侧面展开成一个长方形，如图②所示，则A，B分别位于图②中所示的位置，连接AB，即AB是这条最短路线． 问题：一个正方体放在桌面上，如图③，有一只蚂蚁从A处沿表面爬行到侧棱GF的中点M处，如果蚂蚁爬行的路线最短，这样的路线有几条？请利用展开图画出最短路线． 【答案】最短路线有2条，作图见解析． 【知识点】求展开图上两点折叠后的距离 【分析】要求正方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是把正方体展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解：将正方体的面展开，作出线段AM， 经过测量比较可知，最短路线有2条， 如图所示： 【点睛】此题主要考查了平面展开最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短． 题型十三、补一个面使图形围成正方体 25．（2025·福建厦门·三模）如图，在的正方形网格中，下列小正方形中能与阴影部分组成正方体展开图的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【知识点】补一个面使图形围成正方体 【分析】本题主要考查了几何体的展开图，依据正方体的展开图的结构特征进行判断，即可得出结论． 【详解】解：如图所示： 根据“141型”，②能与阴影部分组成正方体展开图， 故选：B． 26．（22-23七年级上·陕西西安·期中）图1，图2均为的正方形网格，请你在网格中选择2个空白的正方形涂上阴影，使得其与图中的4个阴影正方形一起构成正方体表面展开图，要求2种方法得到的展开图不完全重合． 【答案】见解析 【知识点】补一个面使图形围成正方体 【分析】根据正方体的展开图的结构特征进行判断，即可得出结论． 【详解】解：如图， 【点睛】本题考查了几何体的展开图：掌握常见几何体的侧面展开图（圆柱的侧面展开图是长方形；圆锥的侧面展开图是扇形；正方体的侧面展开图是长方形；三棱柱的侧面展开图是长方形）是解决问题的关键． 题型十四、平面图形形状的识别 27．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，图中的长方形共有（   ） A．4个 B．5个 C．8个 D．9个 【答案】D 【知识点】平面图形形状的识别 【分析】本题考查平面图形的知识，难度不大，注意仔细按顺序地查找，不要漏查．根据图形查找即可，注意以一条边为基础依次查找． 【详解】解：如图， 根据图形依次查找可得：，，，，，，，，．共有9个长方形． 故选：D． 28．（24-25七年级上·河南新乡·月考）请写出一个你知道的平面图形 ． 【答案】三角形（答案不唯一） 【知识点】平面图形形状的识别 【分析】本题考查平面图形的定义，熟练掌握平面图形的定义是解题的关键； 根据平面图形的定义即可求解； 【详解】解：根据平面图形的定义可知，三角形为平面图形； 故答案为：三角形 题型十五、用七巧板拼图形 29．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列拼图中，不是由原图这副七巧板拼成的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用七巧板拼图形 【分析】本题考查了七巧板，正确地识别图形是解题的关键．解答此题要熟悉七巧板的结构∶五个等腰直角三角形，有大、小两对全等三角形∶一个正方形∶一个平行四边形，根据这些图形的性质便可解答． 【详解】解∶图B中没有一对大的全等三角形，故不是由原图这副七巧板拼成的； 故选∶B． 30．（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）剪图与拼图．（本题要求画出裁剪线，并画出拼接成的图形的示意图）如图1，在边长为2的正方形纸片上，以它的中心为圆心，以1为半径作半圆；再分别以、为圆心，以1为半径作圆，剪去图1中阴影部分，得到图2． (1)图3是图2的纸片，请你剪2刀，再将剪成部分拼成一个正方形： (2)图4是两个图2的纸片，请你在每个图形上各剪1刀，再将剪成的四部分拼成一个正方形（要求画出两种拼法）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】用七巧板拼图形 【分析】本题考查图形的剪拼，能够灵活运用面积关系是解题的关键． （1）可求得个图的面积为，可知拼成的正方形的面积为2，由此可得到剪拼方法； （2）可求得个图的面积为，可知拼成的正方形的边长为，由此可得到剪拼方法． 【详解】（1）由题意可知，个图的面积为，可知拼成的正方形的边长为，因此按如图虚线剪刀，再将剪下的①②部分拼到如图①②的位置，得到一个正方形； （2）由题意可知，个图的面积为，可知拼成的正方形的边长为，因此按如图虚线各剪刀，再将剪下的部分拼如图相应的位置，得到一个正方形．    题型十六、点、线、面、体四者之间的关系 31．（25-26七年级上·陕西西安·期中）如图，打开折扇时，随着扇骨的移动一个扇面便形成了，这种现象可以用数学原理解释为（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．线动成体 【答案】B 【知识点】点、线、面、体四者之间的关系 【分析】本题主要考查了线动成面．根据点，线，面的关系解答即可． 【详解】解：这种现象可以用数学原理解释为线动成面． 故选：B． 32．（25-26七年级上·全国·随堂练习）如图，上面的线分别按箭头所示方向平移或绕定点旋转，可以得出下面的平面图形．把有对应关系的线与平面图形用线连起来． 【答案】见解析 【知识点】点、线、面、体四者之间的关系 【分析】根据线的特征（直线、射线、曲线等）以及平移、旋转的性质，判断线经过相应变换后得到的平面图形，然后进行连线．本题主要考查点、线、面之间的关系，以及平移和旋转的性质，熟练掌握线经过平移、旋转后形成平面图形的规律是解题的关键． 【详解】解：竖直的直线，平移后得到矩形（长方形）；斜向的直线，平移后得到平行四边形；曲线（类似“S”形 ），平移后得到与之形状匹配的曲线图形；线段旋转后得到扇形． 连线如下： 题型十七、平面图形旋转后所得的立体图形 33．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）将如图所示的图形绕虚线旋转一周，得到的立体图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形 【分析】本题考查了点、线、面、体之间的关系，理解面动成体是解题的关键； 根据题意旋转即可得到答案． 【详解】解：将如图所示的图形绕虚线旋转一周可得到的立体图形是：        故选：D ． 34．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，第一行的图形绕虚线旋转一周，便能形成第二行的某个几何体．用线连一连． 【答案】见解析 【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形 【分析】本题主要考查了面动成体，点、线、面、体组成几何图形，根据第一行每个图形的形状特点，想象其绕虚线旋转一周后所形成的立体图形，然后与第二行的几何体进行匹配连线即可，点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界． 【详解】解：如图所示： 题型十八、截一个几何体 35．（25-26七年级上·广东深圳·期中）用一个平面截一个几何体，截面出现了如图所示的四种形状，该几何体是下列选项中（   ） A．圆锥 B．五棱柱 C．长方体 D．圆柱 【答案】D 【知识点】截一个几何体 【分析】本题考查了截一个几何体．截面的形状随截法的不同而改变，一般为多边形或圆，也可能是不规则图形，一般的截面与几何体的几个面相交就得到几条交线，截面就是几边形，因此，若一个几何体有几个面，则截面最多为几边形． 根据该图形的截面来判断该几何体． 【详解】解：因为能截出圆的截面的几何体有球、圆柱、圆锥，而球和圆锥截不出矩形，所以原几何体是圆柱． 故选：D． 36．（24-25七年级上·辽宁阜新·阶段练习）如图所示，用四个不同的平面去截一个正方体，请在下面横线上写出截面的形状． 【答案】正方形；正方形；长方形；长方形 【知识点】截一个几何体 【分析】本题考查正方体的截面，解题时，要注意：截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．根据正方体的形状及截面的角度和方向判断即可． 【详解】解：（1）竖截正方体，截面平行于侧面，那么截面应该是正方形； （2）横截正方体，截面平行于两底，那么截面应该是正方形； （3）（4）沿对边截正方体，截面应该都是长方形． 故答案为：正方形；正方形；长方形；长方形． 强化训练 一、单选题 1．下列几何体是圆柱体的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了圆柱的认识，根据选项中几何体逐一进行判断即可得出答案． 【详解】解：选项A是圆柱体，选项B是三棱锥，选项C是球体，选项D是六棱柱． 故选：A． 2．下列图形中，不是正方体展开图的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查几何体的平面展开图，熟练掌握几何体的平面展开图是解题的关键，注意正方体的展开图中不能出现“田”和“凹”字． 由平面图形的折叠及正方体的展开图解题． 【详解】解：选项A，C，D都可以围成正方体，只有选项B无法围成正方体． 故选：B． 3．如图所示，纸板上有10个小正方形（其中5个有阴影，5个无阴影），从图中5个无阴影的小正方形中选出一个，与5个有阴影的小正方形一起折一个正方体的包装盒，不同的选法有（　　） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 【答案】C 【分析】利用正方体的展开图的特征解答即可． 【详解】解：如图所示，不同的选法有2处， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正方体的展开图．解题的关键是掌握四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形． 4．你见过一种折叠灯笼吗？它看起来是平面的，可是提起来后却变成了美丽的灯笼，这个过程可近似地用哪个数学原理来解释（　　） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．面与面相交的地方是线 【答案】C 【分析】根据点、线、面、体相关的知识进行解答即可． 【详解】解：由平面图形变成立体图形的过程是面动成体， 故选：C． 【点睛】本题考查了根据点、线、面、体的相关知识，解题的关键在于掌握几何变换之间的关系． 5．如图所示的几何体中，面与面相交形成几条线？（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查简单几何体，熟练掌握简单几何体的特征是解题的关键； 根据面与面相交成线即可求解； 【详解】解：面与面相交成条线；即侧面与上面相交的一条曲的和一条直的线，侧面与下面相交的一条曲的和一条直的线，侧面上的曲面与平面相交成两条直的线，共条线； 故选：B 6．在①球体；②柱体；③锥体；④棱柱；⑤棱锥中，必是多面体的是(　　) A．①～⑤ B．②③ C．④ D．④⑤ 【答案】D 【详解】解：①球体只有一个曲面，故球体不是多面体； ②柱体，圆柱有三个面，故柱体不一定是多面体； ③锥体，圆锥有两个面，故锥体不一定是多面体； ④棱柱至少有两个底面，三个侧面，故棱柱是多面体； ⑤棱锥至少有一个底面，三个侧面，故棱锥是多面体． 故选D． 7．用5个小正方体搭成一个立体图形，从上面看到的形状是，从左面看到的形状是，这个图形不可能是（ ） A． B． C． 【答案】A 【分析】本题考查由三视图判定几何体，解题的关键是理解三视图的定义， 利用俯视图，写出小正方体的个数，可得结论． 【详解】 A．从左面看到的形状图形有层，下层有个，而上层正方形靠左边，与已知不符合，故本选项符合题意； B． 从左面看到的形状图形有层，下层有个，而上层正方形靠右边，符合已知的，从上面两排，其中1个的靠最左侧，符合，故本选项不符合题意； C． 从左面看到的形状图形有层，下层有个，而上层正方形靠右边，符合已知的，从上面两排，其中1个的靠最左侧，符合，故本选项不符合题意； 故选：． 8．下列说法中正确的是（    ）． A．折叠①，可得到图甲所示的正方体纸盒 B．图乙所示长方形绕它的对角线所在直线旋转一周，形成的几何体是② C．用一个平面去截图丙，截面图形可能是四边形 D．以上说法都不对 【答案】C 【分析】（1）A选项通过想象可以得出两个黑色实心圆在对面上 （2）B选项就要根据实际图形结合空间想象快速判断出旋转后的物体中间并不是一个点 （3）C选项考虑竖向切割，截面图形是一个四边形 【详解】A、两个黑色实心圆在对面，此选项错误； B、如图所示： C、如图所示： 故选：C． 【点睛】主要考查了图形折叠、旋转以及切割之后所得到的立方图纸，解决这种题目的方法是要多做、多画． 二、填空题 9．如图，将矩形纸片绕边所在的直线旋转一周，得到的立体图形是 ． 【答案】圆柱体 【分析】本题考查了点、线、面、体，熟练掌握“面动成体”得到的几何体的形状是解题的关键．根据矩形绕一边旋转一周得到圆柱体解答即可． 【详解】解：矩形纸片绕边所在的直线旋转一周，得到的立体图形是圆柱体． 故答案为：圆柱体． 10．用一段长30厘米的铁丝恰好做一个长方体的框架，长、宽、高的比是．则这个框架的长比高多 厘米． 【答案】2.5 【分析】先求出这个框架的长和高，再求出他们的差值即可． 【详解】一组长、宽、高的和：（厘米）． 总份数：． 长：（厘米）． 高：（厘米）． 所以这个框架的长比高多（厘米）． 故答案为：2.5． 【点睛】本题考查了有理数加减乘除运算的实际应用，掌握有理数加减乘除运算法则是解题的关键． 11．图1是一个正方体的展开图，该正方体从图2所示的位置依次翻到第1格，第2格，第3格，此时小正方体朝上一面的字是 ． 【答案】国 【分析】动手进行实验操作，或者在头脑中模拟（想象）折纸、翻转活动即可求解． 【详解】由图1可得：“中”和“的”相对；“国”和“我”相对；“梦”和“梦”相对； 由图2可得：该正方体从图2所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格时，“我”在下面，则这时小正方体朝上一面的字是“国”． 故答案为：国． 【点睛】本题以小立方体的侧面展开图为背景，考查学生对立体图形展开图的认识．考查了学生空间想象能力． 12．如图1是用5个相同的正方体搭成的立体图形，若由图1变化至图2，则从正面、左面、上面看到的形状图没有发生变化的是 ． 【答案】左面和上面 【分析】此题考查了从不同方向看几何体，根据从不同方向看到的图可得． 【详解】解：从上面看得到的图形都是第一层三个小正方形，第二层是一个小正方形，从左边看都是第一层是一个小正方形，第二层两个小正方形， 故答案为：左面和上面． 13．如图是某几何体的表面展开图，则该几何体的名称是 ；侧面积＝ （用含的代数式表示）． 【答案】 圆柱体 300π 【分析】根据圆柱的侧面展开图计算即可； 【详解】由题可知几何体的名称是圆柱体； 侧面积=； 故答案是圆柱体；300π． 【点睛】本题主要考查了圆柱体侧面积的求解，准确计算是解题的关键． 14．一个学习小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． 图是一个正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的倍，长比高多，则这个正方形纸板的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，展开图折叠成几何体，设长方体的高为，则该长方体的宽是，该长方体的长是，由题意得，求出的值，再求出正方形纸板的边长即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设长方体的高为，则该长方体的宽是，该长方体的长是， 由题意得：， 解得：， ∴， 故答案为：． 15．按图示切割正方体就可以切割出正六边形（正六边形的各顶点恰是其棱的中点），以下此正方体的平面展开图及切割线的画法正确的有 ．（填序号） 【答案】①③④ 【分析】本题考查了正方体的展开图和截一个几何体，熟练掌握正方体的展开图，观察思考与动手操作结合是解决本题的关键．根据正方体的展开图和正六边形截面的特征，将题目中的展开图重新折叠，再与原来的正方体（含切割线）比较即可得到答案． 【详解】解：对于①，将展开图重新折叠可得出原来的正方体（含切割线），符合题意； 对于②，将展开图重新折叠不能得出原来的正方体（含切割线），不符合题意； 对于③，将展开图重新折叠可得出原来的正方体（含切割线），符合题意； 对于④，将展开图重新折叠可得出原来的正方体（含切割线），符合题意． 故答案为：①③④． 三、解答题 16．如图所示，请将下列几何体分类． 【答案】答案不唯一，见解析 【分析】对于立体图形的分类，可按照不同标准进行，①按照立体图形的种类分类；②根据立体图形包含的平面类型分类． 【详解】解：方法一：（1）、（3）、（5）是一类，都是柱体；（2）是锥体；（4）是球体． 方法二：（1）、（3）是一类，全是由平面构成的；（2）、（5）是一类，既有平面，又有曲面；（4）是一类，只有曲面． 【点睛】本题考查立体图形的认识，掌握分类时的标准选择是解题关键． 17．如图所示是由几个小立方体所组成几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方体的个数． (1)请在下面的网格中画出这个几何体从正面和从左面看到的图形； (2)若小立方体的棱长为，求该几何体的表面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，考查了学生的空间想象能力． （1）根据从正面和从左面看到的形状画出相应的图形即可； （2）根据表面积的计算方法求解即可． 【详解】（1）如图所示： （2）表面积为：． 故该几何体的表面积是． 18．点动成线，线动成面，面动成体，如图，长方形的长，宽，若将长方形绕边所在直线旋转一周，请你解答下列问题： (1)得到的几何体的名称是______； (2)求得到的几何体的侧面积和体积． 【答案】(1)圆柱 (2)， 【分析】（1）根据面动成体可得长方形绕边所在直线旋转后形成圆柱； （2）利用圆柱体的侧面积以及体积计算方法求出即可． 【详解】（1）解：得到的几何体的名称是：圆柱； 故答案为：圆柱 （2）解：得到的几何体的侧面积为： 体积为： ∴几何体的侧面积和体积分别为，． 【点睛】本题考查了平面图形旋转后得到的图形，圆柱的侧面积与体积，理解点、线、面、体，掌握圆柱体的体积公式是解题的关键． 19．有一种牛奶软包装盒如图1所示．为了生产这种包装盒，需要先画出展开图纸样． （1）如图2给出三种纸样甲、乙、丙，在甲、乙、丙中，正确的有______________． （2）利用你所选的一种纸样，求出包装盒的侧面积和表面积（侧面积与两个底面积的和） 【答案】（1）甲、丙；（2）侧面积=2ah+2bh；包装盒的表面积=2 ah+2bh+2ab 【分析】（1）根据几何体的表面展开图的特点解答； （2）根据侧面积公式计算表面积计算公式解答． 【详解】解：（1）给出三种纸样甲、乙、丙，在甲、乙、丙中，正确的有甲、丙， 故答案为：甲、丙； （2）如图甲：包装盒的侧面积=（a+b+a+b）h=2ah+2bh； 包装盒的表面积=2ah+2bh+2ab． ． 【点睛】此题考查立方体的表面展开图，立体图形的表面积及侧面积计算公式，正确掌握立体图形的表面展开图的特点是解题的关键． 20．如果一个棱柱（棱锥）有n条侧棱，那么就称其为n棱柱（棱锥）． (1)图①所示的几何体是一个三棱柱，它有 个顶点， 条棱， 个面； (2)图②所示的几何体是 ，它有 个顶点， 条侧棱， 个侧面， 个底面； (3)如果一个棱锥由7个面围成，那么这个棱锥是几棱锥，它共有几条棱？ 【答案】(1)6；9；5 (2)六棱柱；12；6；6；2 (3)12 【分析】本题主要考查的是认识立体图形，明确n棱柱有n个侧面，2个底面，条棱，个顶点，n棱锥有n个侧面，一个1底面，有条棱，有个顶点是解题的关键． （1）根据三棱柱有6个顶点，9条棱，5个面，进行解答即可； （2）根据几何体的特点进行解答即可； （3）根据n棱柱有个面组成，进行解答即可． 【详解】（1）解：图①所示的几何体是一个三棱柱，它有6个顶点，9条棱、5个面； 故答案为：6；9；5； （2）解：图②所示的几何体是六棱柱，它有12个顶点，6条侧棱、6个侧面、2个底面； 故答案为：六棱柱，12，6，6，2； （3）解：如果一个棱锥由7个面围成，那么这个棱锥是 六棱锥，它共有12条棱． 21．【问题情境】 《制作无盖的长方体纸盒》是苏科版数学课本七年级上册的课题学习内容，某综合实践小组参考这一课题中的内容，开展了“制作长方体纸盒”的实践活动． 【问题解决】 (1)在如图1所示的四个图形中，能够通过折叠围成有盖的长方体纸盒的是______（填序号）． (2)该小组利用边长为的正方形纸板设计了如下两种不同的制作长方体纸盒的方案． ①按如图2所示的方案制作一个无盖的长方体纸盒，其操作步骤为：先在纸板的四个角上剪去个边长为的小正方形，再沿虚线折叠纸板．若，，则该无盖长方体纸盒的底面周长为_______． ②按如图3所示的方案制作一个有盖的长方体纸盒，其操作步骤为：先在纸板的四个角上剪去个边长为的小正方形和个同样大小的小长方形，再沿虚线折叠纸板．若，，求该有盖长方体纸盒的体积． 【答案】(1)①②④ (2)①；② 【分析】本题考查展开图折叠成几何体，掌握棱柱的展开图的特征是正确解答的前提，根据展开图得出折叠后长方体的长、宽、高是解决问题的关键． （1）根据长方体的展开图特征求解即可； （2）①由折叠可得底面是边长为的正方形，进而求出底面周长即可；②由展开与折叠可知，折叠成长方体的长、宽、高分别为、、，根据体积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：能够通过折叠围成有盖的长方体纸盒的是①②④， 故答案为：①②④； （2）①该无盖长方体纸盒的底面周长为， 故答案为：； ②该长方体纸盒的长为，宽为，高为， 该有盖长方体纸盒的体积为． 22．【综合实践】某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． 【知识准备】 （1）下列图形中，不是无盖正方体的表面展开图的是_______；（填序号） 【实践探索】 （2）综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒） ①图1方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的底面周长为______（用含a，b的式子表示）； ②图2方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．如果，．则该长方体纸盒的体积为_____． 【实践分析】 （3）一个无盖长方体的长、宽、高分别为，（它缺一个长为，宽为的长方形盖子），如图是该长方体的一种平面展开图，它的外围周长为．事实上，该长方体的平面展开图还有不少，请你画出该无盖长方体外围周长最大的一种表面展开图，并求出最大外围周长的值． 【答案】（1）②（2）①②1000（3）见解析， 【分析】本题考查简单几何体的展开图，熟练根据简单几何的展开图得出长方体的长宽高是解题的关键． （1）根据无盖正方体纸盒的面数和构成求解； （2）①根据正方形周长公式即可得解； ②根据长方体的体积公式即可得解； （3）根据边长最长的都剪，边长最短的剪得最少，露出外围的边都是长边画图，再据此求解即可． 【详解】（1）解：②不能折成一个无盖正方体纸盒，①③④能折成一个无盖正方体纸盒， 故答案为：②； （2）①解：由题意可知，长方体纸盒的底面为正方形，其边长为， ∴长方体纸盒的底面周长为， 故答案为：； ②由题意可知，该长方体纸盒的长为，高为，宽为， ∴该长方体纸盒的体积为， 故答案为：1000； （3）解：由题意知：边长最长的都剪，边长最短的剪得最少，如图， 所以该长方体表面展开图的最大外围周长为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 几何图形（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.几何图形与立体图形 2.平面图形 3.从不同方向看立体图形 4.立体图形的展开图 5.点、线、面、体 题型巩固 一、常见的几何体 二、组合几何体的构成 三、立体图形的分类 四、几何体中的点、棱、面 五、从不同方向看几何体 六、几何体展开图的认识 七、由展开图计算几何体的表面积 八、由展开图计算几何体的体积 九、正方体几种展开图的识别 十、正方体相对两面上的字 十一、含图案的正方体的展开图 十二、求展开图上两点折叠后的距离 十三、补一个面使图形围成正方体 十四、平面图形形状的识别 十五、用七巧板拼图形 十六、点、线、面、体四者之间的关系 十七、平面图形旋转后所得的立体图形 十八、截一个几何体 强化训练 单选题（8） 填空题（7） 解答题（7） 知识梳理 知识点1.几何图形与立体图形 1. 几何图形 几何图形是从物体外形中得到的各种图形，分为立体图形和平面图形. 2. 立体图形二维 三维 有些几何图形(如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等)的各部分不都在同一平面内，它们是立体图形. 3. 常见的立体图形 名称 图例 特征 柱 体 圆柱 底面是圆； 侧面是曲面 两个底面互相平行 棱柱 底面是多边形； 侧面都是四边形 锥 体 圆锥 底面是圆； 侧面是曲面 只有一个顶点 棱锥 底面是多边形； 侧面都是三角形底面是几边形就是几棱锥 各侧面有一个公共顶点 名称 图例 特征 球 表面是曲面 知识点2.平面图形 1. 平面图形 有些几何图形(如线段、角、三角形、长方形、圆等)的各部分都在同一平面内，它们是平面图形. 2. 平面图形与立体图形的区别与联系 平面图形 立体图形 区别 各部分都在同一平面内 各部分不都在同一平面内 联系 立体图形中的某些部分是平面图形，研究立体图形时，常把它转化为平面图形 3. 常见的平面图形(如图6 .1 -2) 知识点3.从不同方向看立体图形 1. 从不同方向看立体图形，往往会得到不同形状的平面图形，一般从三个方向看：从前面看，从左面看，从上面看. 2. 常见的立体图形从不同方向看到的平面图形 物体的摆放方式不同，从同一方向看该物体，得到的平面图形可能不同，也可能相同. 知识点4.立体图形的展开图 1. 立体图形的展开图 ：有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当展开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图. 2. 常见立体图形的展开图 注意不要将圆画 在扇形的半径上 知识点5.点、线、面、体 1. 点、线、面、体的概念 体：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体，几何体也简称体. 面：包围着体的是面. 面有平的面和曲的面两种. 线：面和面相交的地方形成线. 线有直线和曲线. 点：线和线相交的地方是点. 2. 点、线、面、体的关系 题型巩固 题型一、常见的几何体 1．（22-23七年级上·广东河源·期中）观察下列实物模型，其整体形状给我们以圆柱的形象的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）把图中的几何图形与它们相应的名称用线连起来 题型二、组合几何体的构成 3．把14个棱长为1分米的正方体摆成如图所示的形式，然后把露出的表面都涂上颜色，则被涂上颜色的部分面积为（    ） A．33平方分米 B．24平方分米 C．21平方分米 D．42平方分米 4．（22-23七年级上·山东青岛·期中）如图，模块①由15个棱长为1的小正方体构成，模块②一⑥均由4个棱长为1的小正方体构成，现在从模块②一⑥中选出三个模块放到模块①上，与模块①组成一个棱长为3的大正方体，则符合上述要求的三个模块序号是 ． 题型三、立体图形的分类 5．（25-26七年级上·全国·课后作业）在如图所示的立体图形中，柱体有 ，锥体有 ，球体有 ． （填序号） 6．（2024七年级上·浙江·专题练习）观察图中的几何体，回答下列问题： (1)将图中的几何体分类，并说明理由； (2)请用自己的语言描述图②和图⑤的相同点与不同点．（各写一条即可） 题型四、几何体中的点、棱、面 7．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）一个棱柱有30条棱，则这个棱柱的面有（    ） A．10个 B．12个 C．15个 D．17个 8．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，观察下列几何体并回答问题． （1）请观察所给几何体的面、棱、顶点的数量并归纳出n棱柱有 个面， 条棱， 个顶点；n棱锥有 个面， 条棱， 个顶点； （2）所有像三棱柱、四棱柱、六棱柱、三棱锥等这样由四个或四个以上多边形所围成的立体图形叫作多面体，经过前人们归纳总结发现，多面体的面数F，顶点个数V以及棱的条数E存在着一定的关系，请根据（1）总结出这个关系为 ． 题型五、从不同方向看几何体 9．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）如图是由完全相同的6个小立方体组成的几何体，则该几何体从上面看到的形状图为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）如图是一个由若干个大小相同的小立方块搭成的几何体，请画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图． 题型六、几何体展开图的认识 11．（25-26七年级上·河南·期中）下列选项中，左边的平面图形能够折成右边封闭的立体图形的是（   ） A． B． C． D． 12．（25-26七年级上·全国·课后作业）下面是几个立体图形的表面展开图，请依次写出这些立体图形的名字 ． 题型七、由展开图计算几何体的表面积 13．用一张长米，宽米的铁皮做一个圆柱形烟筒，这个烟筒的侧面积是多少平方米（接口处忽略不计）．（   ） A． B． C． D． 14．（25-26七年级上·四川成都·月考）“双十一”大促销临近，淘宝上某玩具商家根据所售玩具规格的不同，向厂家订制了不同型号的包装盒，所有包装盒均为双层上盖的长方体纸箱（上盖纸板面积刚好等于底面面积的2倍，如图1所示）． (1)已知某种规格的长方体包装盒的长为8厘米，宽为5厘米，高为2厘米，请计算制作一个该长方体纸箱需要多少平方厘米纸板？ (2)该玩具商家在今年“双十一”期间推出“买一送一”的活动，现要将两个同一型号的玩具重新包装在同一个更大的长方体的外包装盒内（如图1），已知单个玩具的长方体盒子长为5分米，宽为3分米，高为4分米．如图2-1所示，现有三种摆放方式（图2-2，2-3，2-4所示），请分别计算这三种摆放方式所需外包装盒的纸板面积（包装盒上盖朝上），并比较哪一种方式所需纸板面积更少； (3)如图3-1，已知某长方体的长为5，宽为3，高为4，图3-2是该长方体的一种表面展开图，请计算出这种表面展开图的外围周长是多少？你能设计一个使外围周长最大的表面展开图吗？请画出示意图（请使用直尺规范画图），此时的外围周长是________．（请直接写出答案） 题型八、由展开图计算几何体的体积 15．（23-24七年级上·山东滨州·期末）如图所示的长方形（长为20，宽为12）硬纸板，剪掉阴影部分后，将剩余的部分沿虚线折叠，制作成底面为正方形的长方体箱子，则长方体箱子的体积为（    ） A．40 B．56 C．110 D．126 16．（24-25七年级上·贵州毕节·期末）综合与实践：制作一个无盖的长方体纸盒．七年级“探究小组”计划利用一张边长为的正方形纸板制作一个无盖的长方体纸盒，按照如图1所示的方式先在纸板四角剪去四个同样大的小正方形，再沿虚线折起来就可以做成一个无盖的长方体纸盒． 【特例探究】（1）若剪去的小正方形的边长为，求长方体纸盒的容积； 【一般探究】（2）若剪去的小正方形的边长为，求长方体纸盒的容积（用含x的代数式表示）； 【拓展延伸】（3）“探究小组”把剪去的小正方形的边长x的值按整数值依次增大，计算出对应的长方体纸盒的容积V的变化情况，并绘制折线统计图（如图2），请根据统计图写出两条结论． 题型九、正方体几种展开图的识别 17．（25-26七年级上·四川成都·期中）下列图形中，不是正方体的表面展开图的是（   ） A． B． C． D． 18．（25-26七年级上·江西九江·期中）如图是一个没有完全剪开的正方体，若再剪开一条棱，则得到的平面展开图可能是下列图中的 ．（填所有符合题意的序号） 题型十、正方体相对两面上的字 19．（25-26七年级上·福建三明·期中）有一正方体，六个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6，有三个人从不同的角度观察的结果如图所示．如果记2的对面的数字为a，5的对面的数字为b，那么的值为 ． 20．（25-26七年级上·云南曲靖·期中）如图，一个正方体的六个面上标着连续的整数，若相对面上所标数之和相等，则这六个数之和是多少？ 题型十一、含图案的正方体的展开图 21．（25-26七年级上·河南平顶山·阶段练习）如图是一个正方体纸盒的展开图，则这个正方体是（    ） A． B． C． D． 22．（24-25七年级上·山西太原·期中）如图，是一个没有上底面的正方体纸盒，将该纸盒沿图中加粗的棱剪开，请在右面的方格图中画出该纸盒展开图的示意图． 题型十二、求展开图上两点折叠后的距离 23．（22-23七年级上·陕西西安·期末）如图是一个正方体的表面展开图，若，则该正方体上两点间的距离为 ． 24．某同学的茶杯是圆柱形，如图①所示，有一只蚂蚁从A处沿侧面爬行到母线CD的中点B处，如果蚂蚁爬行的路线最短，请利用展开图画出这条最短路线． 解：将圆柱的侧面展开成一个长方形，如图②所示，则A，B分别位于图②中所示的位置，连接AB，即AB是这条最短路线． 问题：一个正方体放在桌面上，如图③，有一只蚂蚁从A处沿表面爬行到侧棱GF的中点M处，如果蚂蚁爬行的路线最短，这样的路线有几条？请利用展开图画出最短路线． 题型十三、补一个面使图形围成正方体 25．（2025·福建厦门·三模）如图，在的正方形网格中，下列小正方形中能与阴影部分组成正方体展开图的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 26．（22-23七年级上·陕西西安·期中）图1，图2均为的正方形网格，请你在网格中选择2个空白的正方形涂上阴影，使得其与图中的4个阴影正方形一起构成正方体表面展开图，要求2种方法得到的展开图不完全重合． 题型十四、平面图形形状的识别 27．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，图中的长方形共有（   ） A．4个 B．5个 C．8个 D．9个 28．（24-25七年级上·河南新乡·月考）请写出一个你知道的平面图形 ． 题型十五、用七巧板拼图形 29．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列拼图中，不是由原图这副七巧板拼成的是（   ） A． B． C． D． 30．（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）剪图与拼图．（本题要求画出裁剪线，并画出拼接成的图形的示意图）如图1，在边长为2的正方形纸片上，以它的中心为圆心，以1为半径作半圆；再分别以、为圆心，以1为半径作圆，剪去图1中阴影部分，得到图2． (1)图3是图2的纸片，请你剪2刀，再将剪成部分拼成一个正方形： (2)图4是两个图2的纸片，请你在每个图形上各剪1刀，再将剪成的四部分拼成一个正方形（要求画出两种拼法）． 题型十六、点、线、面、体四者之间的关系 31．（25-26七年级上·陕西西安·期中）如图，打开折扇时，随着扇骨的移动一个扇面便形成了，这种现象可以用数学原理解释为（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．线动成体 32．（25-26七年级上·全国·随堂练习）如图，上面的线分别按箭头所示方向平移或绕定点旋转，可以得出下面的平面图形．把有对应关系的线与平面图形用线连起来． 题型十七、平面图形旋转后所得的立体图形 33．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）将如图所示的图形绕虚线旋转一周，得到的立体图形是（    ） A． B． C． D． 34．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，第一行的图形绕虚线旋转一周，便能形成第二行的某个几何体．用线连一连． 题型十八、截一个几何体 35．（25-26七年级上·广东深圳·期中）用一个平面截一个几何体，截面出现了如图所示的四种形状，该几何体是下列选项中（   ） A．圆锥 B．五棱柱 C．长方体 D．圆柱 36．（24-25七年级上·辽宁阜新·阶段练习）如图所示，用四个不同的平面去截一个正方体，请在下面横线上写出截面的形状． 强化训练 一、单选题 1．下列几何体是圆柱体的是（　　） A． B． C． D． 2．下列图形中，不是正方体展开图的是（　　） A． B． C． D． 3．如图所示，纸板上有10个小正方形（其中5个有阴影，5个无阴影），从图中5个无阴影的小正方形中选出一个，与5个有阴影的小正方形一起折一个正方体的包装盒，不同的选法有（　　） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 4．你见过一种折叠灯笼吗？它看起来是平面的，可是提起来后却变成了美丽的灯笼，这个过程可近似地用哪个数学原理来解释（　　） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．面与面相交的地方是线 5．如图所示的几何体中，面与面相交形成几条线？（   ） A． B． C． D． 6．在①球体；②柱体；③锥体；④棱柱；⑤棱锥中，必是多面体的是(　　) A．①～⑤ B．②③ C．④ D．④⑤ 7．用5个小正方体搭成一个立体图形，从上面看到的形状是，从左面看到的形状是，这个图形不可能是（ ） A． B． C． 8．下列说法中正确的是（    ）． A．折叠①，可得到图甲所示的正方体纸盒 B．图乙所示长方形绕它的对角线所在直线旋转一周，形成的几何体是② C．用一个平面去截图丙，截面图形可能是四边形 D．以上说法都不对 二、填空题 9．如图，将矩形纸片绕边所在的直线旋转一周，得到的立体图形是 ． 10．用一段长30厘米的铁丝恰好做一个长方体的框架，长、宽、高的比是．则这个框架的长比高多 厘米． 11．图1是一个正方体的展开图，该正方体从图2所示的位置依次翻到第1格，第2格，第3格，此时小正方体朝上一面的字是 ． 12．如图1是用5个相同的正方体搭成的立体图形，若由图1变化至图2，则从正面、左面、上面看到的形状图没有发生变化的是 ． 13．如图是某几何体的表面展开图，则该几何体的名称是 ；侧面积＝ （用含的代数式表示）． 14．一个学习小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． 图是一个正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的倍，长比高多，则这个正方形纸板的边长为 ． 15．按图示切割正方体就可以切割出正六边形（正六边形的各顶点恰是其棱的中点），以下此正方体的平面展开图及切割线的画法正确的有 ．（填序号） 三、解答题 16．如图所示，请将下列几何体分类． 17．如图所示是由几个小立方体所组成几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方体的个数． (1)请在下面的网格中画出这个几何体从正面和从左面看到的图形； (2)若小立方体的棱长为，求该几何体的表面积． 18．点动成线，线动成面，面动成体，如图，长方形的长，宽，若将长方形绕边所在直线旋转一周，请你解答下列问题： (1)得到的几何体的名称是______； (2)求得到的几何体的侧面积和体积． 19．有一种牛奶软包装盒如图1所示．为了生产这种包装盒，需要先画出展开图纸样． （1）如图2给出三种纸样甲、乙、丙，在甲、乙、丙中，正确的有______________． （2）利用你所选的一种纸样，求出包装盒的侧面积和表面积（侧面积与两个底面积的和） 20．如果一个棱柱（棱锥）有n条侧棱，那么就称其为n棱柱（棱锥）． (1)图①所示的几何体是一个三棱柱，它有 个顶点， 条棱， 个面； (2)图②所示的几何体是 ，它有 个顶点， 条侧棱， 个侧面， 个底面； (3)如果一个棱锥由7个面围成，那么这个棱锥是几棱锥，它共有几条棱？ 21．【问题情境】 《制作无盖的长方体纸盒》是苏科版数学课本七年级上册的课题学习内容，某综合实践小组参考这一课题中的内容，开展了“制作长方体纸盒”的实践活动． 【问题解决】 (1)在如图1所示的四个图形中，能够通过折叠围成有盖的长方体纸盒的是______（填序号）． (2)该小组利用边长为的正方形纸板设计了如下两种不同的制作长方体纸盒的方案． ①按如图2所示的方案制作一个无盖的长方体纸盒，其操作步骤为：先在纸板的四个角上剪去个边长为的小正方形，再沿虚线折叠纸板．若，，则该无盖长方体纸盒的底面周长为_______． ②按如图3所示的方案制作一个有盖的长方体纸盒，其操作步骤为：先在纸板的四个角上剪去个边长为的小正方形和个同样大小的小长方形，再沿虚线折叠纸板．若，，求该有盖长方体纸盒的体积． 22．【综合实践】某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． 【知识准备】 （1）下列图形中，不是无盖正方体的表面展开图的是_______；（填序号） 【实践探索】 （2）综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒） ①图1方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的底面周长为______（用含a，b的式子表示）； ②图2方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．如果，．则该长方体纸盒的体积为_____． 【实践分析】 （3）一个无盖长方体的长、宽、高分别为，（它缺一个长为，宽为的长方形盖子），如图是该长方体的一种平面展开图，它的外围周长为．事实上，该长方体的平面展开图还有不少，请你画出该无盖长方体外围周长最大的一种表面展开图，并求出最大外围周长的值． 学科网（北京）股份有限公司 $