第4讲 带电粒子在匀强磁场中的临界、极值与多解性和周期问题 讲义 -2025-2026学年高二下学期物理人教版选择性必修第二册

该高中物理讲义通过梳理核心结论、方法总结及模型对比构建知识体系，用表格归纳临界极值问题的“四个结论”“两种方法”，以对比表格呈现磁发散与磁聚焦模型的特点，结合图例解析多解原因，清晰呈现重难点内在联系。 亮点在于分层典例设计与方法创新，通过等边三角形磁场临界速度分析（典例1）、磁聚焦模型应用（典例8）等，渗透动态放缩法等技巧，培养科学思维与运动和相互作用观念。基础题巩固方法，综合题提升能力，助力学生自主复习与教师分层教学。

物理冯老师 第4讲 带电粒子在匀强磁场中的临界、极值与多解性和周期问题 ——夯基强化讲义 考点1：带电粒子在磁场中运动的临界、极值问题 1.分析临界极值问题常用的四个结论 (1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。 (2)当速率v一定时,弧长越长,圆心角越大,则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。 (3)当速率v变化时,圆心角大的运动时间长,解题时一般要根据受力情况和运动情况画出运动轨迹的草图,找出圆心,根据几何关系求出半径及圆心角等。 (4)在圆形边界匀强磁场中,若运动轨迹圆半径大于区域圆半径,则当入射点和出射点分别为圆形边界的同一直径的两个端点时,轨迹对应的偏转角最大(所有的弦中直径最长)。 2.处理临界问题常用的两种方法 解决带电粒子在匀强磁场中运动的临界问题,关键在于运用动态思维,寻找临界状态(一般是粒子运动轨迹与磁场边界相切或轨迹半径达到最大),常用方法如下: (1)动态放缩法:定点粒子源发射速度大小不同、方向相同、比荷和电性都相同的粒子,粒子速度越大,粒子运动轨迹的半径就越大,运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线上。 (2)旋转平移法:定点粒子源发射速度大小相等、方向不同、比荷和电性都相同的粒子,运动轨迹的圆心在以入射点为圆心,半径为R=的圆周上。 重点1：磁发散、磁聚焦模型(见典例8) 磁发散 磁聚焦 带电粒子从圆形有界匀强磁场边界上同一点射入,如果轨迹半径与磁场半径相等,则粒子出射方向与入射点的切线方向平行 带电粒子平行射入圆形有界匀强磁场,如果轨迹半径与磁场半径相等,则粒子从磁场边界上同一点射出,该点切线与粒子入射方向平行 四个特点 1.在圆形磁场中一点入，平行出（或平行入，一点出）； 2.粒子在该磁场中的轨迹半径与该圆形磁场的半径相同，即R轨=R磁； 3.出射点所在直径与粒子入射方向相垂直，或出射方向垂直于发射源所在直径； 4.出入射点磁场圆弧（劣弧）所对应的圆心角等于粒子偏转角； 【典例1】边长为a的等边三角形ABC区域内有垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B,一束质量为m、电荷量为q的带负电粒子【1】(不计重力),从AB边的中点沿平行BC边的方向以不同的速率射入磁场区域,则 (　     ) A.能从BC边射出的粒子的最大速率【2】为  B.能从BC边射出的粒子的最大速率为 C.能从BC边射出的粒子在磁场中最长运动时间【3】为  D.能从BC边射出的粒子在磁场中最长运动时间为 【典例2】（多选）矩形边界ABCD内存在磁感应强度为B的匀强磁场,方向垂直纸面向里,AB长为2L,AD长为L。从AD的中点E在纸面内发射各种速率的粒子,方向与AD成30°角,粒子带正电,电荷量为q,质量为m,不计粒子重力与粒子间的相互作用,下列判断正确的是　(　　) A.粒子可能从BC边离开 B.经过AB边的粒子最小速度为 C.经过AB边的粒子最大速度为 D.AB边上有粒子经过的区域长度为L 【典例3】如图所示,直角三角形MPN区域内存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场。∠M=30°,NP=L,C为MP的中点,D为NP的中点,在C点有一粒子源在纸面内不断沿垂直于PM方向射入速度大小不同的正、负带电粒子。粒子的质量均为m、电荷量大小均为e。不考虑粒子间的相互作用,不计粒子的重力。下列说法正确的是(　　) A.可能有粒子从M点射出磁场 B.从D点离开磁场的粒子的速度大小为 C.从MN边射出的正粒子在磁场中运动的最长时间为 D.负粒子在磁场中运动的最长时间为 【典例4】一匀强磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外,其边界如图中虚线所示,ab=cd=2L,bc=de=L,一束粒子在纸面内从a点垂直于ab射入磁场,这些粒子具有各种速率。不计重力和粒子之间的相互作用。已知粒子的质量为m、电荷量为+q。则在磁场中运动时间最长的粒子,其运动速率为(　　) A.　　　　B.　　　　 C.　　　　D. 【典例5】如图,在平面直角坐标系xOy的第一象限内,存在垂直纸面向外的匀强磁场,磁感应强度大小为B。大量质量为m、电荷量为q的相同粒子从y轴上的P(0,L)点,以相同的速率在纸面内沿不同方向先后射入磁场,设入射速度方向与y轴正方向的夹角为α(0≤α≤180°)。当α=150°时,粒子垂直x轴离开磁场。不计粒子的重力。则(　　) A.粒子一定带负电 B.粒子入射速率为 C.当α=45°时,粒子也垂直x轴离开磁场 D.粒子离开磁场的位置到O点的最大距离为3L 【典例6】（多选）一质量为m、电荷量为q的带电粒子以速度v0从y轴上的A点垂直y轴射入第一象限,第一象限某区域存在磁感应强度大小为B的匀强磁场,磁场方向垂直于纸面向外,粒子离开第一象限时速度方向与x轴正方向夹角θ=60°,如图所示(粒子仅受洛伦兹力),下列说法正确的是(　　) A.带电粒子带负电荷 B.带电粒子在磁场中做圆周运动的时间为 C.如果该磁场区域是圆形,则该磁场的最小面积是 D.如果该磁场区域是矩形,则该磁场的最小面积是 【典例7】如图所示,空间分布着磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场。薄板MN的长度为3a,O点在MN的中垂线上,且O点到MN的距离为a。O点有一粒子源,能沿纸面内任意方向发射速率相同、质量为m、电荷量为q的带正电粒子。已知水平向右发射的粒子恰能垂直打在MN上,打到MN上、下表面的粒子均被吸收。不计粒子的重力,则被MN吸收的粒子在磁场中运动的最长时间为(　　) A.　　　　B.　　　　 C.　　　　D. 【典例8】如图所示,在xOy平面内有以O点为圆心、半径为R的圆形匀强磁场区域,磁场方向垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B,在x=2R处有一垂直于x轴的足够长的挡板,一宽度为d(未知)且关于y轴对称的质子束,以一定的速度平行于y轴射入圆形磁场,偏转后所有质子都经过P点射出磁场,挡板上有质子打到的区域关于x坐标轴对称,长度为R。已知质子质量为m、带电荷量为e,忽略质子重力及质子间的相互作用,则质子束的宽度d为(　　) A.R　　 　　B.R　　　 　 C.R　　 　　D.R 【典例9】极光是由于太阳抛射出的高能带电粒子受到地磁场作用,在地球南北极附近与大气碰撞产生的发光现象。从北极地区看赤道平面的地磁场,可简化为如图甲:O为地球球心,R为地球半径,将地磁场在半径为R到3R之间的圆环区域看成是匀强磁场,磁感应强度为B。假设高能粒子的质量为m,电荷量为+q。不计粒子重力及大气对粒子运动的影响,且不考虑相对论效应。 (1)若高能粒子从A点以不同的速率v0沿切线进入磁场边界位置,求能到达地球表面的粒子的速率v0的范围。 (2)地球磁层是保护地球的一道天然屏障,它阻挡着高能粒子直接到达地球表面,从而保护了地球上的生态环境。 a.假设高能粒子从磁场边缘A点以速率v沿半径方向射入磁场时恰好不能到达地球表面,求粒子的比荷; b.高能粒子实际上可在赤道平面内向各个方向均匀地射入磁场,如图乙所示。若高能粒子仍从A点以速率v沿不同方向射入地磁场,若入射角用速度方向和AO连线之间的夹角表示,求恰好不能到达地球表面的粒子的最大入射角的正弦值。 　 考点2：带电粒子在磁场中运动的多解问题 1. 多解的原因 原因 特点 图例 带电粒子电性不确定 受洛伦兹力作用的带电粒子,可能带正电,也可能带负电,在相同的初速度条件下,正、负粒子在磁场中运动轨迹不同,形成多解 如图,带电粒子以速度v垂直进入匀强磁场,若带正电,其轨迹为a,若带负电,其轨迹为b 磁场方向不确定 有些题目只告诉了磁感应强度的大小,而未具体指出磁感应强度的方向,此时由于磁感应强度方向不确定形成多解 如图,带正电粒子以速度v垂直进入匀强磁场,若B垂直纸面向里,其轨迹为a,若B垂直纸面向外,其轨迹为b 速度不确定 有些题目只指明了带电粒子的电性,但未具体指出速度的大小或方向,此时要考虑由于速度的不确定而形成的多解 如图,两磁场的磁感应强度大小均为B,带正电的粒子从M运动到N,速度大小不确定,故其轨迹有多种可能,造成了多解 运动的周期性 带电粒子在电场和磁场的组合场空间运动时,运动往往具有往复性,从而形成多解 如图,带负电的粒子从O点沿y轴正方向射入匀强磁场后,在磁场和电场中做周期性运动 2. 解决多解问题的思路 重点1：带电粒子在交变电磁场中的运动(见典例16) 带电粒子在交变电磁场中的运动情况不仅取决于场的变化规律,还与粒子进入场的时刻有关,带电粒子的运动往往表现出多过程现象,其特点较为隐蔽。 1.解答带电粒子在交变电磁场中的运动问题,关键要明确粒子在不同时间段内、不同区域内的受力特性,对粒子的运动情境、运动性质作出判断,找出衔接相邻两过程的物理量,对不同阶段分别列方程求解。 2.带电粒子在交变电磁场中的运动一般都具有周期性,在分析粒子运动情况时,要注意粒子的运动周期、电场的周期、磁场的周期三者之间的关系。 3.带电粒子在交变电磁场中的运动仍遵循牛顿运动定律、运动的合成与分解、动能定理、能量守恒定律、动量定理、动量守恒定律等力学规律。 4.解决带电粒子在交变电磁场中的运动问题的基本思路 先读图 看清并明白场的变化情况 受力分析 分析粒子在不同的变化场区的受力情况 过程分析 分析粒子在不同时间内的运动情况 找衔接点 找出衔接相邻两过程的物理量 选规律 对不同阶段分别列方程求解 【典例10】已知如图所示,直线MN下方无磁场,上方空间存在两个有界匀强磁场,分布在以O点为圆心、半径为R和2R的两半圆之间区域的磁场方向垂直纸面向里,分布在以O点为圆心、半径为R的半圆内的磁场方向垂直纸面向外,磁感应强度大小均为B。现有一质量为m、电荷量为q的带负电微粒从P点沿半径方向向左侧射出,最终打到Q点【1】,不计微粒的重力。求: (1)微粒在磁场中从P点转过90°【2】所用的时间; (2)微粒从P点到Q点运动的最大速度【3】; (3)微粒从P点到Q点可能的运动时间【4】 。 【典例11】（多选）如图所示,A点的离子源在纸面内沿垂直OQ方向向上射出一束负离子,离子的重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域,可加垂直纸面的匀强磁场。已知O、A两点间的距离为s,负离子的比荷为,速率为v,OP与OQ间的夹角为30°,则所加匀强磁场的磁感应强度B的大小和方向可能是(　　) A.B>,垂直纸面向里 B.B>,垂直纸面向里 C.B>,垂直纸面向外 D.B>,垂直纸面向外 【典例12】（多选）平面OM和平面ON之间的夹角为35°,其横截面(纸面)如图所示,平面OM上方存在匀强磁场,磁感应强度大小为B,方向垂直于纸面向外。一质量为m、电荷量绝对值为q、电性未知的带电粒子从OM上的某点向左上方射入磁场,速度方向与OM成20°角,运动一会儿后从OM上另一点射出磁场。不计粒子重力。则下列几种情形可能出现的是(　　) A.粒子在磁场中运动的轨迹与ON只有一个公共点,在磁场中运动的时间是 B.粒子在磁场中运动的轨迹与ON只有一个公共点,在磁场中运动的时间是 C.粒子在磁场中运动的轨迹与ON共有两个公共点,在磁场中运动的时间是 D.粒子在磁场中运动的轨迹与ON共有两个公共点,在磁场中运动的时间是 【典例13】(多选) 如图所示,边长为3L的等边三角形ABC内、外分布着两方向相反的匀强磁场,三角形内磁场方向垂直纸面向外,两磁场的磁感应强度大小均为B。顶点A处有一粒子源,粒子源能沿∠BAC的角平分线发射不同速率的粒子,粒子质量均为m、电荷量均为+q,不计粒子重力及粒子间的相互作用力,则能通过B点且通过B点前的轨迹不穿过BC、AC边的粒子的发射速度v0的大小可能为　(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 【典例14】(多选) 真空区域有宽度为l、磁感应强度为B的匀强磁场,磁场方向如图所示,MN、PQ是磁场的边界。质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子(不计重力)沿着与MN夹角θ=30°的方向以一定的速度v0(大小未知)射入磁场中,从PQ边界射出磁场时与PQ的夹角为60°。则v0的大小可能为(　　) A.　　　　B. C.　　　　D. 【典例15】（多选）(创新题·新考法)如图,匀强磁场的磁感应强度大小为B,方向垂直纸面向里。质量为m、电荷量为q的带正电微粒,从M点沿水平直线MN垂直射入磁场。微粒运动过程中重力势能最大的位置与直线MN间距离h=,g为重力加速度。不计空气阻力,在微粒运动过程中,下列说法正确的是(　　) A.微粒射入磁场的初速度大小为 B.微粒重力势能最大时受到的洛伦兹力大小为2mg C.微粒第一次回到水平线MN时距离M点 D.微粒射入磁场后经恰好处于水平线MN上 【典例16】如图甲所示,M、N为竖直放置彼此平行的两块平板,板间距离为d,两板中央各有一个小孔O、O'正对,在两板间有垂直于纸面方向的磁场,磁感应强度随时间的变化如图乙所示。有一群正离子在t=0时垂直于M板从小孔O射入磁场。已知正离子质量为m、带电荷量为q,正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0,不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响,不计离子所受重力。求: 　 (1)磁感应强度的大小B0; (2)要使正离子从O'垂直于N板射出磁场,正离子射入磁场时的速度v0的可能值。 【典例17】如图所示,xOy平面内0≤x≤12d、-∞<y<+∞区域存在两个有界匀强磁场,右边界与x轴的交点为Q,x轴上方磁场方向垂直纸面向里,磁感应强度大小为3B,x轴下方磁场方向垂直纸面向外,磁感应强度大小为2B。质量为m、电荷量为-q的粒子,从y轴上P点以初速度v0沿x轴正方向射入磁场,v0大小可调,P点的纵坐标为d。不计粒子重力,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。 (1)若v0=,求粒子第二次经过x轴位置的横坐标x0; (2)求粒子从左边界射出时的位置与P点的最大距离L; (3)若v0在0~范围内,求粒子从P点运动到Q点的最短时间t。 为则易 行则至 第 12 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $物理冯老师 第4讲 带电粒子在匀强磁场中的临界、极值与多解性和周期问题 ——夯基强化讲义 考点1：带电粒子在磁场中运动的临界、极值问题 1.分析临界极值问题常用的四个结论 (1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。 (2)当速率v一定时,弧长越长,圆心角越大,则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。 (3)当速率v变化时,圆心角大的运动时间长,解题时一般要根据受力情况和运动情况画出运动轨迹的草图,找出圆心,根据几何关系求出半径及圆心角等。 (4)在圆形边界匀强磁场中,若运动轨迹圆半径大于区域圆半径,则当入射点和出射点分别为圆形边界的同一直径的两个端点时,轨迹对应的偏转角最大(所有的弦中直径最长)。 2.处理临界问题常用的两种方法 解决带电粒子在匀强磁场中运动的临界问题,关键在于运用动态思维,寻找临界状态(一般是粒子运动轨迹与磁场边界相切或轨迹半径达到最大),常用方法如下: (1)动态放缩法:定点粒子源发射速度大小不同、方向相同、比荷和电性都相同的粒子,粒子速度越大,粒子运动轨迹的半径就越大,运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线上。 (2)旋转平移法:定点粒子源发射速度大小相等、方向不同、比荷和电性都相同的粒子,运动轨迹的圆心在以入射点为圆心,半径为R=的圆周上。 重点1：磁发散、磁聚焦模型(见典例8) 磁发散 磁聚焦 带电粒子从圆形有界匀强磁场边界上同一点射入,如果轨迹半径与磁场半径相等,则粒子出射方向与入射点的切线方向平行 带电粒子平行射入圆形有界匀强磁场,如果轨迹半径与磁场半径相等,则粒子从磁场边界上同一点射出,该点切线与粒子入射方向平行 四个特点 1.在圆形磁场中一点入，平行出（或平行入，一点出）； 2.粒子在该磁场中的轨迹半径与该圆形磁场的半径相同，即R轨=R磁； 3.出射点所在直径与粒子入射方向相垂直，或出射方向垂直于发射源所在直径； 4.出入射点磁场圆弧（劣弧）所对应的圆心角等于粒子偏转角； 【典例1】边长为a的等边三角形ABC区域内有垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B,一束质量为m、电荷量为q的带负电粒子【1】(不计重力),从AB边的中点沿平行BC边的方向以不同的速率射入磁场区域,则 (　     ) A.能从BC边射出的粒子的最大速率【2】为  B.能从BC边射出的粒子的最大速率为 C.能从BC边射出的粒子在磁场中最长运动时间【3】为  D.能从BC边射出的粒子在磁场中最长运动时间为 【答案】A 【详解】信息提取    【1】用左手定则判断洛伦兹力方向时,四指指向粒子运动的相反方向。 【2】根据R=可知,速率最大,运动半径最大。【3】轨迹对应的圆心角最大,运动时间最长。 思路点拨    首先根据题意可知粒子从BC边射出且半径最大时,粒子从C点射出,根据几何关系可求出半径,根据洛伦兹力提供向心力求最大速度;其次粒子从BC边射出、运动的时间最长时,轨迹对应的圆心角最大,为180°,结合周期公式求最长时间。 解析    如图所示,当粒子恰好从C点射出时,轨迹半径最大,速率最大(由【2】得到),设轨迹圆心为O1、半径为r1,由几何关系可知r1=a sin 60°=a,由牛顿第二定律可得qv1B=m,解得v1=,选项A正确,B错误。能从BC边射出的粒子中,当粒子的轨迹恰好与BC边相切时,轨迹所对应的圆心角最大,为π,圆心为O2,粒子在磁场中运动时间最长(由【3】得到),有t=,由T=,解得t=,选项C、D错误。 【典例2】（多选）矩形边界ABCD内存在磁感应强度为B的匀强磁场,方向垂直纸面向里,AB长为2L,AD长为L。从AD的中点E在纸面内发射各种速率的粒子,方向与AD成30°角,粒子带正电,电荷量为q,质量为m,不计粒子重力与粒子间的相互作用,下列判断正确的是　(　　) A.粒子可能从BC边离开 B.经过AB边的粒子最小速度为 C.经过AB边的粒子最大速度为 D.AB边上有粒子经过的区域长度为L 【答案】CD 【详解】应用“放缩圆”法作出粒子的运动轨迹如图所示。粒子的轨迹与CD边相切时,打到AB边上的距离最远(破题关键),对于经过AB边的粒子,此时运动的半径最大,为R1=L,粒子的最大速度vmax==,打到AB边上的点到A点的距离为L(1+cos 30°)=L<2L,可知粒子不可能从BC边射出,选项A错误,C正确;粒子打到AB边,当速度最小时,R2+R2 sin 30°=,得R2=,则vmin==,此时粒子打到AB上的位置到A点的距离为R2 sin 60°=L,则AB边上有粒子经过的区域长度为L-L=L,选项B错误,D正确。 【典例3】如图所示,直角三角形MPN区域内存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场。∠M=30°,NP=L,C为MP的中点,D为NP的中点,在C点有一粒子源在纸面内不断沿垂直于PM方向射入速度大小不同的正、负带电粒子。粒子的质量均为m、电荷量大小均为e。不考虑粒子间的相互作用,不计粒子的重力。下列说法正确的是(　　) A.可能有粒子从M点射出磁场 B.从D点离开磁场的粒子的速度大小为 C.从MN边射出的正粒子在磁场中运动的最长时间为 D.负粒子在磁场中运动的最长时间为 【答案】C 【详解】关键点拨 　　应用“放缩圆”法,以入射点C为定点,圆心在边界直线PM上,将半径放缩确定运动轨迹,探索粒子运动的临界轨迹及极值轨迹,如图1、2所示。 正粒子恰好从MN边界射出时轨迹如“关键点拨”图1所示,根据正粒子的运动轨迹可知,不可能从M点射出磁场,故A错误;粒子在磁场中运动的周期为T=,从MN边射出的正粒子运动的轨迹与MN相切时在磁场中运动时间最长,由几何关系可知圆心角为120°,则最长时间tmax=T=,故C正确;负粒子从D点离开磁场的轨迹如图2所示,负粒子从D点离开磁场时,由几何关系有+=r2,解得r=L,根据洛伦兹力提供向心力有evB=m,解得负粒子的速度大小为v=,故B错误;负粒子从PM边射出时在磁场中运动时间最长,则在磁场中运动的最长时间为t'max=×T=,故D错误。 【典例4】一匀强磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外,其边界如图中虚线所示,ab=cd=2L,bc=de=L,一束粒子在纸面内从a点垂直于ab射入磁场,这些粒子具有各种速率。不计重力和粒子之间的相互作用。已知粒子的质量为m、电荷量为+q。则在磁场中运动时间最长的粒子,其运动速率为(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 【答案】B 【详解】关键点拨 　　应用“放缩圆”法作出各种情况的运动轨迹如图所示,可知,当粒子过c点时,圆心角α最大,运动时间最长(周期相同,t=T)。 粒子在磁场中做匀速圆周运动,设运动时间最长的粒子轨迹半径为R,根据几何关系有L2+(2L-R)2=R2,解得R=L,由洛伦兹力提供向心力有qvB=m,可得v=,故选B。 【典例5】如图,在平面直角坐标系xOy的第一象限内,存在垂直纸面向外的匀强磁场,磁感应强度大小为B。大量质量为m、电荷量为q的相同粒子从y轴上的P(0,L)点,以相同的速率在纸面内沿不同方向先后射入磁场,设入射速度方向与y轴正方向的夹角为α(0≤α≤180°)。当α=150°时,粒子垂直x轴离开磁场。不计粒子的重力。则(　　) A.粒子一定带负电 B.粒子入射速率为 C.当α=45°时,粒子也垂直x轴离开磁场 D.粒子离开磁场的位置到O点的最大距离为3L 【答案】D 【详解】当α=150°时,粒子垂直x轴离开磁场,运动轨迹如图所示, 根据左手定则可知粒子带正电,由几何关系可得粒子运动的半径为r==2L,由洛伦兹力提供向心力有qvB=m,解得粒子入射速率v=;若α=45°,粒子运动轨迹如图所示, 根据几何关系有PA==L<2L,可知A点不是圆心,即粒子离开磁场时与x轴不垂直,故A、B、C错误。粒子离开磁场的位置到O点距离最远时,粒子在磁场中的轨迹为半圆(破题关键),如图所示,根据几何关系有(2r)2=(L)2+,解得xm=3L,故D正确。 名师点津　D选项,如果想象能力比较好,可以利用“旋转圆”思想轻松得出该结果;还可进行定量分析,设该段圆弧对应的弦长为s,有OP2+x2=s2,当弦长等于直径时,x有最大值。 【典例6】（多选）一质量为m、电荷量为q的带电粒子以速度v0从y轴上的A点垂直y轴射入第一象限,第一象限某区域存在磁感应强度大小为B的匀强磁场,磁场方向垂直于纸面向外,粒子离开第一象限时速度方向与x轴正方向夹角θ=60°,如图所示(粒子仅受洛伦兹力),下列说法正确的是(　　) A.带电粒子带负电荷 B.带电粒子在磁场中做圆周运动的时间为 C.如果该磁场区域是圆形,则该磁场的最小面积是 D.如果该磁场区域是矩形,则该磁场的最小面积是 【答案】BC 【详解】磁场方向垂直于纸面向外,粒子向下偏转,根据左手定则可知粒子带正电荷,故A错误;由洛伦兹力充当向心力有qv0B=m,所以粒子做匀速圆周运动的半径R=,周期为T==,运动轨迹如图所示, 由图可知粒子速度方向偏转了60°,则圆心角为θ=60°,粒子在磁场中运动的时间为t=T=,若是圆形区域磁场,则以线段CD为直径的圆面积最小,CD=R,所以最小面积为Smin=π=π,故B、C正确;若是矩形区域磁场,则如图乙所示,矩形的面积最小,根据几何关系可得h=R-R=R,所以矩形区域磁场最小面积为S'min=Rh=R2=,故D错误。 　 【典例7】如图所示,空间分布着磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场。薄板MN的长度为3a,O点在MN的中垂线上,且O点到MN的距离为a。O点有一粒子源,能沿纸面内任意方向发射速率相同、质量为m、电荷量为q的带正电粒子。已知水平向右发射的粒子恰能垂直打在MN上,打到MN上、下表面的粒子均被吸收。不计粒子的重力,则被MN吸收的粒子在磁场中运动的最长时间为(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 【答案】A 【详解】关键点拨 　　比荷相等的粒子在同一匀强磁场中运动轨迹所对圆心角越大,在磁场中运动的时间越长。水平向右发射的粒子恰能垂直打在MN上,故粒子轨迹的半径为a。图1、图2分别为粒子打到MN上、下表面时的轨迹,应用“旋转圆”法由图1可知,打到上表面的粒子中,轨迹与MN相切,即粒子刚好打在MN上表面时,粒子运动轨迹对应的圆心角最大,最大的圆心角为;应用“旋转圆”法由图2可知,O点与MN下表面上粒子落点间的线段为轨迹圆弧对应的弦,当轨迹圆弧对应的圆心角θ满足180°<θ<360°时,轨迹圆弧对应的弦越短,轨迹圆弧对应的圆心角越大,则打在MN下表面中心P点处的粒子的轨迹所对圆心角最大。 “关键点拨”图2中,由于α=,则粒子运动轨迹对应的最大的圆心角为θ=(破题关键),根据Bqv=m、T=可知T=,粒子在磁场中运动的时间为t=T=,故被MN吸收的粒子在磁场中运动的最长时间为t=,故选A。 【典例8】如图所示,在xOy平面内有以O点为圆心、半径为R的圆形匀强磁场区域,磁场方向垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B,在x=2R处有一垂直于x轴的足够长的挡板,一宽度为d(未知)且关于y轴对称的质子束,以一定的速度平行于y轴射入圆形磁场,偏转后所有质子都经过P点射出磁场,挡板上有质子打到的区域关于x坐标轴对称,长度为R。已知质子质量为m、带电荷量为e,忽略质子重力及质子间的相互作用,则质子束的宽度d为(　　) A.R　　 　　B.R　　　 　C.R　　 　　D.R 【答案】A 【详解】由于所有质子以一定的速度平行于y轴射入圆形磁场,偏转后都经过P点射出磁场(“磁聚焦”),则作出质子束运动轨迹如图所示,由图可知,正对O点射入的质子经过P点,则质子的轨迹半径为R。设从e点射入的质子经过P点时速度方向与x轴的夹角为θ,则从c点射入的质子经过P点时速度方向与x轴的夹角也为θ;tan θ=ab/R=√3/3,得θ=30°。线段cP为最左侧质子的轨迹半径,由于cP垂直aP,可得∠cPO=60°,即从e点射入磁场中质子的轨迹圆心c恰在磁场圆边界上,且轨迹恰过圆心O,可得△OcP、△eOc均为等边三角形,则ce=R,由几何知识可得最右侧质子在磁场中偏转角度为60°,必从c点射入磁场,所以质子束的宽度d=ce=R。故选A。 【典例9】极光是由于太阳抛射出的高能带电粒子受到地磁场作用,在地球南北极附近与大气碰撞产生的发光现象。从北极地区看赤道平面的地磁场,可简化为如图甲:O为地球球心,R为地球半径,将地磁场在半径为R到3R之间的圆环区域看成是匀强磁场,磁感应强度为B。假设高能粒子的质量为m,电荷量为+q。不计粒子重力及大气对粒子运动的影响,且不考虑相对论效应。 　 (1)若高能粒子从A点以不同的速率v0沿切线进入磁场边界位置,求能到达地球表面的粒子的速率v0的范围。 (2)地球磁层是保护地球的一道天然屏障,它阻挡着高能粒子直接到达地球表面,从而保护了地球上的生态环境。 a.假设高能粒子从磁场边缘A点以速率v沿半径方向射入磁场时恰好不能到达地球表面,求粒子的比荷; b.高能粒子实际上可在赤道平面内向各个方向均匀地射入磁场,如图乙所示。若高能粒子仍从A点以速率v沿不同方向射入地磁场,若入射角用速度方向和AO连线之间的夹角表示,求恰好不能到达地球表面的粒子的最大入射角的正弦值。 【答案】(1)<v0<　(2)a.　b. 【详解】(1)若高能粒子从A点以速率v0沿切线进入磁场边界位置时,恰好不能到达地球表面的粒子的运动轨迹如图1中轨迹①②, 由几何关系可知,粒子的两个临界轨迹半径分别为r01=R,r02=2R 由洛伦兹力提供向心力有qv0B=m 联立解得粒子的速率分别为v01=,v02= 故能到达地球表面的粒子的速率范围为<v0< (2)a.假设高能粒子从A点以速率v沿半径方向射入磁场时恰好不能到达地球表面,轨迹如图2所示 由几何关系有(r+R)2=r2+(3R)2 解得r=4R 由洛伦兹力提供向心力有qvB=m 联立解得= b.若高能粒子仍以速率v射入地磁场,可知沿径向方向射入的粒子会和地球相切而出,设和AO方向成θ角向上方射入磁场的粒子也恰与地球相切射出,在此角范围内的粒子能到达地球表面,其余进入磁场的粒子不能到达地球表面,过A点作该速度的垂线,和切点与O点连线的延长线交于F点,则F点为圆心,如图3所示 由图中几何关系可得AF=r=4R,AO=FO=3R 则有sin θ=== 考点2：带电粒子在磁场中运动的多解问题 1. 多解的原因 原因 特点 图例 带电粒子电性不确定 受洛伦兹力作用的带电粒子,可能带正电,也可能带负电,在相同的初速度条件下,正、负粒子在磁场中运动轨迹不同,形成多解 如图,带电粒子以速度v垂直进入匀强磁场,若带正电,其轨迹为a,若带负电,其轨迹为b 磁场方向不确定 有些题目只告诉了磁感应强度的大小,而未具体指出磁感应强度的方向,此时由于磁感应强度方向不确定形成多解 如图,带正电粒子以速度v垂直进入匀强磁场,若B垂直纸面向里,其轨迹为a,若B垂直纸面向外,其轨迹为b 速度不确定 有些题目只指明了带电粒子的电性,但未具体指出速度的大小或方向,此时要考虑由于速度的不确定而形成的多解 如图,两磁场的磁感应强度大小均为B,带正电的粒子从M运动到N,速度大小不确定,故其轨迹有多种可能,造成了多解 运动的周期性 带电粒子在电场和磁场的组合场空间运动时,运动往往具有往复性,从而形成多解 如图,带负电的粒子从O点沿y轴正方向射入匀强磁场后,在磁场和电场中做周期性运动 2. 解决多解问题的思路 重点1：带电粒子在交变电磁场中的运动(见典例16) 带电粒子在交变电磁场中的运动情况不仅取决于场的变化规律,还与粒子进入场的时刻有关,带电粒子的运动往往表现出多过程现象,其特点较为隐蔽。 1.解答带电粒子在交变电磁场中的运动问题,关键要明确粒子在不同时间段内、不同区域内的受力特性,对粒子的运动情境、运动性质作出判断,找出衔接相邻两过程的物理量,对不同阶段分别列方程求解。 2.带电粒子在交变电磁场中的运动一般都具有周期性,在分析粒子运动情况时,要注意粒子的运动周期、电场的周期、磁场的周期三者之间的关系。 3.带电粒子在交变电磁场中的运动仍遵循牛顿运动定律、运动的合成与分解、动能定理、能量守恒定律、动量定理、动量守恒定律等力学规律。 4.解决带电粒子在交变电磁场中的运动问题的基本思路 先读图 看清并明白场的变化情况 受力分析 分析粒子在不同的变化场区的受力情况 过程分析 分析粒子在不同时间内的运动情况 找衔接点 找出衔接相邻两过程的物理量 选规律 对不同阶段分别列方程求解 【典例10】已知如图所示,直线MN下方无磁场,上方空间存在两个有界匀强磁场,分布在以O点为圆心、半径为R和2R的两半圆之间区域的磁场方向垂直纸面向里,分布在以O点为圆心、半径为R的半圆内的磁场方向垂直纸面向外,磁感应强度大小均为B。现有一质量为m、电荷量为q的带负电微粒从P点沿半径方向向左侧射出,最终打到Q点【1】,不计微粒的重力。求: (1)微粒在磁场中从P点转过90°【2】所用的时间; (2)微粒从P点到Q点运动的最大速度【3】; (3)微粒从P点到Q点可能的运动时间【4】 。 【答案】 (1)      (2)      (3)见解析 【详解】信息提取    【1】速度方向可能水平向左,也可能水平向右。【2】运动时间为。 【3】根据r=可知,速度最大时,半径最大,还要考虑磁场边界。【4】存在多解。 思路点拨    (1)根据周期公式以及粒子在磁场中转过的圆心角,即可求出粒子的运动时间; (2)充分利用粒子运动的对称性及各种推论,作出速度最大时粒子的运动轨迹,然后求出轨迹半径,根据半径公式即可求出粒子的速度; (3)根据题意作出粒子可能的运动轨迹,结合数学知识分析粒子运动的可能情况,然后由周期公式结合粒子转过的圆心角即可求出粒子运动时间。 解析    (1)微粒在磁场中转过90°所用时间为周期的,即t=, 根据洛伦兹力提供向心力,有qvB=, 周期T=, 以上两式联立解得T=,t= (2)粒子从P点到Q点,速度越大,则运动半径越大,如图(a)所示粒子的运动半径r0=R,要求磁场 区域半径为(1+)R,大于2R,不符合题意; 那么粒子运动轨迹有可能如图(b)所示 根据几何关系以及对称性可知,圆心O与各个轨迹圆圆心以及各轨迹与半径为R的半圆交点连线平分180°, 则∠POO1=30°,且r1=R tan 30°,根据洛伦兹力提供向心力,有qvB=m, 解得v= (3)设粒子在磁场中的运动轨迹为n段圆弧,如图(c)所示。 若n为偶数,运动时间恰好为整数个周期,即t= (n=4,6,8,…) 若n为奇数,运动时间为整数个周期加一个优弧对应的运动时间。 其中优弧对应的圆心角为2π-×2=π+ 即t=·+·= (n=3,5,7,…) 【典例11】（多选）如图所示,A点的离子源在纸面内沿垂直OQ方向向上射出一束负离子,离子的重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域,可加垂直纸面的匀强磁场。已知O、A两点间的距离为s,负离子的比荷为,速率为v,OP与OQ间的夹角为30°,则所加匀强磁场的磁感应强度B的大小和方向可能是(　　) A.B>,垂直纸面向里 B.B>,垂直纸面向里 C.B>,垂直纸面向外 D.B>,垂直纸面向外 【答案】BD 【详解】所加匀强磁场的方向有两种可能,把负离子约束在OP之下的临界轨迹有两种情况,如图所示(破题关键) 当所加匀强磁场方向垂直纸面向里时,由左手定则可知负离子向右偏转,负离子被约束在OP之下的区域的临界条件是离子运动轨迹与OP相切,由几何知识有R2= sin 30°=,且=s+R2,解得R2=s,所以当负离子轨迹的半径小于s时满足约束条件;由牛顿第二定律有qvB=m,所以得出B>,选项A错误,B正确。当所加匀强磁场方向垂直纸面向外时,由左手定则可知负离子向左偏转,负离子被约束在OP之下的区域的临界条件是离子运动轨迹与OP相切,由几何知识可知相切圆的半径为R1=,所以当离子轨迹的半径小于时满足约束条件;由牛顿第二定律有qvB=m,所以得出B>,选项C错误,D正确。 【典例12】（多选）平面OM和平面ON之间的夹角为35°,其横截面(纸面)如图所示,平面OM上方存在匀强磁场,磁感应强度大小为B,方向垂直于纸面向外。一质量为m、电荷量绝对值为q、电性未知的带电粒子从OM上的某点向左上方射入磁场,速度方向与OM成20°角,运动一会儿后从OM上另一点射出磁场。不计粒子重力。则下列几种情形可能出现的是(　　) A.粒子在磁场中运动的轨迹与ON只有一个公共点,在磁场中运动的时间是 B.粒子在磁场中运动的轨迹与ON只有一个公共点,在磁场中运动的时间是 C.粒子在磁场中运动的轨迹与ON共有两个公共点,在磁场中运动的时间是 D.粒子在磁场中运动的轨迹与ON共有两个公共点,在磁场中运动的时间是 【答案】ABD 【详解】 粒子电性不确定、速度大小不确定,造成多解,轨迹图如下 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动,周期T=,若粒子带负电,将做逆时针方向的匀速圆周运动,粒子回到OM平面时,由匀速圆周运动的对称性,速度方向必与OM成20°角,若粒子轨迹与平面ON有公共点,由于35°>20°,则粒子轨迹与ON只可能有一个公共点,粒子偏转角只可能为40°,运动时间t=×=,A正确,C错误。若粒子带正电,将做顺时针方向的匀速圆周运动,若粒子轨迹与平面ON有公共点,则轨迹与平面ON可能有一个公共点,也可能有两个公共点,无论轨迹与ON有几个公共点,粒子回到OM时,由匀速圆周运动的对称性,速度方向必与OM成20°角,粒子偏转角为360°-40°=320°,则粒子运动时间为t=×=,B、D正确。 【典例13】(多选) 如图所示,边长为3L的等边三角形ABC内、外分布着两方向相反的匀强磁场,三角形内磁场方向垂直纸面向外,两磁场的磁感应强度大小均为B。顶点A处有一粒子源,粒子源能沿∠BAC的角平分线发射不同速率的粒子,粒子质量均为m、电荷量均为+q,不计粒子重力及粒子间的相互作用力,则能通过B点且通过B点前的轨迹不穿过BC、AC边的粒子的发射速度v0的大小可能为　(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 【答案】AC 【详解】粒子可能的轨迹如图所示 由几何关系有nR=3L(n=1,2,3,…),由牛顿第二定律有qv0B=m,解得v0=(n=1,2,3,…),当n=1时,v0=,当n=3时,v0=,故选项A、C符合题意,选项B、D不符合题意。 方法技巧　求解带电粒子在磁场中运动多解问题的技巧 (1)分析题目特点,确定题目多解性形成原因。 (2)作出粒子运动轨迹示意图(全面考虑多种可能性)。 (3)若为周期性重复的多解问题,应寻找通项式,若是出现几种解的可能性,注意每种解出现的条件。 【典例14】(多选) 真空区域有宽度为l、磁感应强度为B的匀强磁场,磁场方向如图所示,MN、PQ是磁场的边界。质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子(不计重力)沿着与MN夹角θ=30°的方向以一定的速度v0(大小未知)射入磁场中,从PQ边界射出磁场时与PQ的夹角为60°。则v0的大小可能为(　　) A.　　　　B. C.　　　　D. 【答案】CD 【详解】带正电粒子的轨迹有两种可能,如图所示(易错点) 粒子从F点射出时,轨迹圆心为O1,半径为R1,根据几何关系有l=AE-FG=R1 cos 30°-R1 cos 60°,解得R1=(+1)l,根据qv01B=m,解得v01=;粒子从D点射出时,轨迹圆心为O2,半径为R2,根据几何关系有l=AB+CD=R2 cos 30°+R2 cos 60°,解得R2=(-1)l,根据qv02B=m,解得v02=,故选C、D。 【典例15】（多选）(创新题·新考法)如图,匀强磁场的磁感应强度大小为B,方向垂直纸面向里。质量为m、电荷量为q的带正电微粒,从M点沿水平直线MN垂直射入磁场。微粒运动过程中重力势能最大的位置与直线MN间距离h=,g为重力加速度。不计空气阻力,在微粒运动过程中,下列说法正确的是(　　) A.微粒射入磁场的初速度大小为 B.微粒重力势能最大时受到的洛伦兹力大小为2mg C.微粒第一次回到水平线MN时距离M点 D.微粒射入磁场后经恰好处于水平线MN上 【答案】BC 【详解】模型建构 　　配速法模型:带电粒子受恒力(可以是重力或电场力)作用在磁场中运动时,可将粒子的速度进行拆分,拆分出一个分速度使其对应的洛伦兹力与恒力平衡(粒子在此分速度方向上做匀速直线运动),另一个分速度对应的洛伦兹力使粒子做匀速圆周运动,粒子的实际运动为匀速直线运动与匀速圆周运动的合运动。如图所示以重力场和磁场并存为例。 根据题意,微粒射入磁场时向上偏转,采用配速法,将速度分解为两个向右的分速度v1、v2,分速度v1对应的洛伦兹力大小为f1=qv1B=mg,解得v1=,微粒沿v1方向做匀速直线运动;分速度v2对应的洛伦兹力大小为f2=qv2B,提供微粒做匀速圆周运动的向心力,F向=m,联立解得R=,由于微粒运动过程中重力势能最大的位置与直线MN间距离h=,即h=2R,解得v2=,所以微粒射入磁场的初速度大小为v0=v1+v2=(所拆两个分速度的合速度),故A错误。微粒重力势能最大时分速度v2对应的洛伦兹力方向向下,v1对应的洛伦兹力方向向上,则微粒受到的洛伦兹力大小为f=f2-f1=2mg,故B正确。微粒第一次回到水平线MN时以v1运动的时间等于圆周运动的一个周期T=,与M点的距离s=v1T=,故C正确。由于t==T,所以微粒射入磁场后经恰好处于最高点,故D错误。故选B、C。  【典例16】如图甲所示,M、N为竖直放置彼此平行的两块平板,板间距离为d,两板中央各有一个小孔O、O'正对,在两板间有垂直于纸面方向的磁场,磁感应强度随时间的变化如图乙所示。有一群正离子在t=0时垂直于M板从小孔O射入磁场。已知正离子质量为m、带电荷量为q,正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0,不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响,不计离子所受重力。求: 　 (1)磁感应强度的大小B0; (2)要使正离子从O'垂直于N板射出磁场,正离子射入磁场时的速度v0的可能值。 【答案】(1)　(2)(n=1,2,3,…) 【详解】(1)设垂直于纸面向里的磁场方向为正方向,正离子射入磁场,由洛伦兹力提供向心力有qB0v0=m 正离子做匀速圆周运动的周期T0= 联立可得磁感应强度的大小B0= (2)要使正离子从O'孔垂直于N板射出磁场,假设磁感应强度以垂直于纸面向里为正,正离子可能的运动轨迹如图所示 两板之间正离子只运动一个周期T0时,有R= 当两板之间正离子运动n个周期即nT0时,有R=(n=1,2,3,…) 解得正离子的速度的可能值为v0==(n=1,2,3,…)  【典例17】如图所示,xOy平面内0≤x≤12d、-∞<y<+∞区域存在两个有界匀强磁场,右边界与x轴的交点为Q,x轴上方磁场方向垂直纸面向里,磁感应强度大小为3B,x轴下方磁场方向垂直纸面向外,磁感应强度大小为2B。质量为m、电荷量为-q的粒子,从y轴上P点以初速度v0沿x轴正方向射入磁场,v0大小可调,P点的纵坐标为d。不计粒子重力,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。 (1)若v0=,求粒子第二次经过x轴位置的横坐标x0; (2)求粒子从左边界射出时的位置与P点的最大距离L; (3)若v0在0~范围内,求粒子从P点运动到Q点的最短时间t。 【答案】(1)4d　(2)d　(3) 【详解】(1)设粒子在第一象限和第四象限做圆周运动的半径分别为r1和r2,由牛顿第二定律有qv0×3B=m,qv0×2B=m 解得r1=d,r2=1.5d 所以粒子从P点到第二次经过x轴的运动轨迹如图1, 则x0=r1+2r2 解得x0=4d (2)设粒子在第一象限内做圆周运动的半径为r,则粒子在第四象限内做圆周运动的半径为1.5r,粒子从左边界射出且射出时位置与P点距离最大时,粒子的运动轨迹如图2所示。 设轨迹的圆心O2、O1的连线与y轴的夹角为θ, 由几何关系有sin θ=,d=r+r cos θ,L=r+(r+1.5r) cos θ 解得L=d (3)粒子的速度越大,运动到Q点的时间越短。 ①粒子的速度在0~范围内,粒子在第一象限运动的最大半径为4d<12d,粒子不能从第一象限直接到达Q点; ②设粒子以速度v从P点射出,第二次经过x轴时恰好运动到Q点,粒子在第一象限运动的半径为r,粒子第一次到达x轴时偏转的角度为α,运动轨迹如图3 则r sin α+2×1.5r sin α=12d,r cos α=r-d 解得r=5d>4d 由此可以推断,此情形不成立。 ③设粒子以速度v'从P点射出,粒子在第一象限运动的半径为r',粒子第一次到达x轴时偏转的角度为β,运动轨迹如图4。 则r' sin β+2(r' sin β+1.5r' sin β)=12d,r' cos β=r'-d 解得r'=2.5d,β=53° 则粒子到达Q点的最短时间t=·+·= 为则易 行则至 第 12 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $