第五章一元一次方程七大题型总结讲义2025-2026学年北师大版七年级数学上册

该初中数学单元复习讲义通过七大题型系统构建一元一次方程知识体系，以“定义-性质-解法-应用”为主线，结合例题与变式题呈现知识脉络，用分类表格梳理核心考点，突出方程定义辨析、解法步骤、实际应用等重难点及内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计，基础题（如方程定义辨析）夯实抽象能力，综合题（如电费计算、行程问题）培养模型意识与运算能力，例题变式适配不同学生。课后练习全面，助力教师实施精准教学，提升复习效率。

北师大版七年级上册第五单元一元一次方程七大题型总结讲义 【题型一】一元一次方程的定义 【例1】（2025春•东营校级期中）下列各式中，一元一次方程的个数有（　　） ①12x﹣1；②3x＝5；③x+y＝1；④；⑤x2﹣2x+3＝0． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数且未知数最高次数是1的整式方程是一元一次方程，逐个判断即可． 【解答】解：①12x﹣1，是代数式，不是等式，故不是一元一次方程； ②3x＝5，符合一元一次方程定义； ③x+y＝1中含有两个未知数，不是一元一次方程； ④，符合一元一次方程定义； ⑤x2﹣2x+3＝0，未知数最高次数是2，不是一元一次方程； 因此是一元一次方程的是②④，一共2个． 故选：B． 【例2】（2025秋•两江新区校级期中）若方程x|a|﹣2+（a﹣3）x2﹣2＝0是关于x的一元一次方程，则a＝　3　 ． 【分析】根据一元一次方程的定义解答即可． 【解答】解：根据题意得|a|﹣2＝1且a﹣3＝0， 解得a＝3， 故答案为：3． 【变式1】（2024秋•大理州期末）已知关于x的方程（m+1）x|m|＝0是一元一次方程，则m的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．无法确定 【分析】根据一元一次方程的定义解答即可． 【解答】解：根据题意可知，|m|＝1，m+1≠0， 解得：m＝1． 故选：A． 【变式2】（2025秋•长沙期中）若（m﹣1）x|2m﹣1|＝6是关于x的一元一次方程，则m等于（　　） A．1 B． C．1或0 D．0 【分析】根据一元一次方程的定义，得到|2m﹣1|＝1且m﹣1≠0，进行求解即可． 【解答】解：根据一元一次方程的定义可知： |2m﹣1|＝1且m﹣1≠0， 解得m＝0， 故选：D． 【变式3】（2025秋•庐阳区校级期中）下列各式：①2x＝2；②x＝y；③﹣3﹣3＝﹣6；④x+3x；⑤x﹣1＝2x﹣3中，一元一次方程有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据一元一次方程的定义，依次分析①②③④⑤，即可得到答案． 【解答】解：①符合一元一次方程的定义，是一元一次方程，即①正确， ②属于二元一次方程，不符合一元一次方程的定义，不是一元一次方程，即②错误， ③不符合一元一次方程的定义，不是一元一次方程，即③错误， ④不是等式，不符合一元一次方程的定义，不是一元一次方程，即④错误， ⑤符合一元一次方程的定义，是一元一次方程，即⑤正确， 即一元一次方程有①⑤，共2个， 故选：B． 【题型二】等式的性质 【例1】（2025•雁塔区校级开学）下列利用等式的基本性质变形，错误的是（　　） A．如果﹣2x＝﹣2y，那么x＝y B．如果x2＝5x，那么x＝5 C．如果a＝b，那么a﹣6＝b﹣6 D．如果a＝b，那么 【分析】利用等式的性质逐项判断即可． 【解答】解：如果﹣2x＝﹣2y，两边同除以﹣2得x＝y，则A不符合题意， 如果x2＝5x，那么x＝5或0，则B符合题意， 如果a＝b，两边同时减去6得a﹣6＝b﹣6，则C不符合题意， 如果a＝b，两边同除以c2+1得，则D不符合题意， 故选：B． 【例2】（2025秋•雁塔区校级月考）3×3方格中（如图），填入合适的数，使得每行、每列、对角线数字和相等，则k＝（　　） k 11 121 A．132 B．110 C．312 D．231 【分析】设出第一行和第二行的未知数，然后根据每行每列以及每条对角线上的和都相等，列出方程求解． 【解答】解：设第一行第一列的数为a，第一行第三列的数为b，第二行第一列的数为c，中间数为d，如下： 出第一行和第二行的未知数，然后根据每行每列以及每条对角线上的和都相等， a k b c d 11 121 e f 由题意可得： a+k+b＝a+c+121①， c+d+11＝b+d+121②， ①+②得： （a+k+b）+（c+d+11）＝（a+c+121）+（b+d+121）， a+k+b+c+d+11＝a+c+121+b+d+121， 即a+b+c+d+k+11＝a+b+c+d+121+121， ∴k+11＝121+121， ∴k＝231． 故选：D． 【变式1】（2024秋•雁塔区校级期末）下列利用等式的基本性质变形，错误的是（　　） A．如果﹣2x＝﹣2y，那么x＝y B．如果x2＝5x，那么x＝5 C．如果a＝b，那么a﹣6＝b﹣6 D．如果，那么a＝b 【分析】依据等式的性质进行判断即可． 【解答】解：A、如果﹣2x＝﹣2y，等式两边都除以﹣2，那么x＝y，故此选项不符合题意； B、如果x2＝5x，当x＝0时，得不出x＝5，故此选项符合题意； C、如果a＝b，等式两边都减6，那么a﹣6＝b﹣6，故此选项不符合题意； D、等式两边都乘c2+1，得a＝b，故此选项不符合题意． 故选：B． 【变式2】（2023秋•长安区期末）下列结论不正确的是（　　） A．若a+c＝b+c，则a＝b B．若，则a＝b C．若ac＝bc，则a＝b D．若ax＝b（a≠0），则x 【分析】根据等式的性质逐个判断即可． 【解答】解：A．∵a+c＝b+c， ∴a＝b（等式的两边都减去c），故本选项不符合题意； B．由能推出a＝b（等式两边都乘c），故本选项不符合题意； C．当c＝0时，由ac＝bc不能推出a＝b，故本选项符合题意； D．∵ax＝b，a≠0， ∴除以a，得x，故本选项不符合题意； 故选：C． 【题型三】解一元一次方程 【例1】（2025秋•丰台区校级期中）已知，．若a与b互为相反数，则m的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】由题意，根据相反数的性质可得：，再根据解一元一次方程的方法：去分母，去括号，移项，合并同类项，将系数化为1求解即可． 【解答】解：∵，，a与b互为相反数， ∴， 去分母，得2（m+1）+4m﹣1＝0， 去括号，得2m+2+4m﹣1＝0， 移项、合并同类项，得6m＝﹣1， 将系数化为1，得． 故选：B． 【例2】（2024秋•碑林区校级期末）解方程： （1）2（x﹣1）＝2﹣5（x+2）； （2）． 【分析】（1）方程去括号，移项，合并，把x系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项，合并，把x系数化为1，即可求出解． 【解答】解：（1）去括号得：2x﹣2＝2﹣5x﹣10， 移项得：2x+5x＝2﹣10+2， 合并得：7x＝﹣6， 解得：x； （2）去分母得：2（5x+1）﹣（7x+2）＝4， 去括号得：10x+2﹣7x﹣2＝4， 移项得：10x﹣7x＝4﹣2+2， 合并得：3x＝4， 解得：x． 【变式1】（2025秋•哈尔滨校级期中）解方程时，去分母正确的是（　　） A．3（x+1）﹣x+2＝1 B．3x+1﹣x﹣2＝6 C．3（x+1）﹣（x+2）＝6 D．3（x+1）﹣（x+2）＝1 【分析】去分母时，方程两边同乘分母的最小公倍数6，据此进行计算，即可作答． 【解答】解：原方程两边同乘6得：， 即3（x+1）﹣（x+2）＝6， 故选：C． 【变式2】（2025秋•西安月考）已知1+x与4互为相反数，则x的值为 　﹣5　 ． 【分析】由只有符号不同的两个数互为相反数可得1+x+4＝0，解关于x的一元一次方程即可得解． 【解答】解：根据题意，由相反数的性质可得：1+x+4＝0， 移项、合并同类项，得x＝﹣5． 故答案为：﹣5． 【变式2】（2025秋•瑶海区校级期中）解下列方程： （1）2（x﹣2）﹣3（4x﹣1）＝9（1﹣x）； （2）． 【分析】（1）通过去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求解； （2）通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求解． 【解答】解：（1）2（x﹣2）﹣3（4x﹣1）＝9（1﹣x）， 2x﹣4﹣12x+3＝9﹣9x， 2x﹣12x+9x＝9+4﹣3， ﹣x＝10， x＝﹣10； （2）， 3（x﹣2）﹣2（2x﹣1）＝12， 3x﹣6﹣4x+2＝12， 3x﹣4x＝12+6﹣2， ﹣x＝16， x＝﹣16． 【题型四】同解方程 【例1】（2024秋•东港区校级期末）若方程和2x﹣m＝3m+1的解相同，则m的值为（　　） A．2 B．3 C． D．1 【分析】分别求出两个方程的解，根据它们的解相同列出关于m的方程，求解即可． 【解答】解：解第一个方程得x＝3， 解第二个方程得， 根据它们的解相同可知， ∴． 故选：C． 【变式1】（2025秋•重庆期中）如果方程3﹣2x＝1与关于x的方程的解相同，则a的值是　9　 ． 【分析】先求解方程3﹣2x＝1得到x的值，再将此值代入方程中求解a． 【解答】解：3﹣2x＝1， ﹣2x＝1﹣3， ﹣2x＝﹣2， 解得：x＝1， 将x＝1代入方程，得， ﹣1+a＝8， 解得：a＝9． 故答案为：9． 【变式2】（2025秋•蜀山区校级期中）已知：关于x的方程与3（x+m）＝m﹣1有相同的解，则m＝　﹣2　 ． 【分析】先求出方程的解，再根据同解方程的定义把x＝1代入3（x+m）＝m﹣1中即可求出m的值． 【解答】解：解方程得x＝1， 把x＝1代入3（x+m）＝m﹣1中，得3（1+m）＝m﹣1， 解得m＝﹣2， 故答案为：﹣2． 【变式3】（2025春•东营校级期中）若方程的解与关于x的方程2x﹣（3a+1）＝3x﹣a﹣1的解相同，则代数式2a+3的值为　14　 ． 【分析】首先求出方程的解为x＝﹣11，然后代入2x﹣（3a+1）＝3x﹣a﹣1求出，然后代入2a+3求解即可． 【解答】解：原方程去分母得3x﹣1﹣4＝2（2x+1）+4， 去括号得3x﹣1﹣4＝4x+2+4， 移项，合并同类项得﹣x＝11， 系数化为1得x＝﹣11， 根据题意得关于x的方程2x﹣（3a+1）＝3x﹣a﹣1的解为x＝﹣11， ∴2×（﹣11）﹣（3a+1）＝3×（﹣11）﹣a﹣1， 解得， ∴． 故答案为：14． 【题型五】由实际问题抽象出一元一次方程 【例1】（2025秋•两江新区校级期中）为美化校园环境，践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，礼嘉中学初一年级某班积极响应学校劳动教育课程要求，在劳动实践基地开展植树活动．活动开始前，班长负责统计树苗需求，他发现若每人植2棵树，则树苗余下21棵；若每人植3棵树，则树苗还差24棵．设该班有，x名学生，则可列方程为（　　） A．2x+21＝3x﹣24 B．2x+24＝3x+21 C．2x﹣21＝3x﹣24 D．2x﹣21＝3x+24 【分析】根据若每人植2棵树．则余21棵树；若每人植3棵树，则差24棵树，可列出相应的方程，从而可以解答本题． 【解答】解：设该班有x名学生， 由每人植2棵树，则余21棵树，可知树的总棵数为：2x+21， 由每人植3棵树，则差24棵树，可知树的总棵数为：3x﹣24， 故2x+21＝3x﹣24， 故选：A． 【例2】（2024秋•汉滨区校级月考）根据下列问题，设未知数并列出方程： （1）洛川苹果被誉为“中华第一果”，以其色、香、味俱佳而著称．妈妈买了一些红富士和嘎啦这两种苹果，其中红富士苹果有28个，红富士苹果比嘎啦苹果数量的2倍少12个，嘎啦苹果有多少个？ （2）小宇买猕猴桃和柿饼共5千克，用去68元，其中猕猴桃每千克9元，柿饼每千克32元，猕猴桃买了多少千克？ 【分析】（1）设嘎啦苹果有x个，根据红富士苹果比嘎啦苹果数量的2倍少12个，列出方程2x﹣12＝28即可； （2）设猕猴桃买了x千克，则柿饼买了（5﹣x）千克，根据题意列出方程9x+32（5﹣x）＝68即可； 【解答】解：（1）设嘎啦苹果有x个， 由题意，得2x﹣12＝28； （2）设猕猴桃买了x千克， 由题意，得9x+32（5﹣x）＝68． 【变式1】（2025秋•武昌区校级期中）如图是一枚长方形庆祝中国共产党成立100周年纪念币，其周长是260mm，长和宽的比为8：5．问这枚纪念币的长和宽？设这枚纪念币的长为xmm，根据题意，可列方程（　　） A． B．2（5x+8x）＝260 C． D．5x+8x＝260 【分析】根据长方形的周长＝（长+宽）×2，即可用含x的代数式表示出宽，即可列出方程． 【解答】解：设这枚纪念币的长为xmm，则宽为x mm， 根据题意列方程为2（xx）＝260． 故选：A． 【变式2】（2025秋•江北区校级期中）某市对市区主干道进行绿化，现有甲、乙两个施工队，甲队有5名工人，乙队有15人，若从乙队借调x名工人到甲队，则甲队人数与乙队人数刚好相等，根据题意可列出方程为 x+5＝15﹣x ． 【分析】根据两队原有人数及借调人数，可得出借调后甲施工队有（x+5）位工人，乙施工队有（15﹣x）位工人，结合借调后甲队人数与乙队人数刚好相等，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【解答】解：∵借调后甲施工队有（x+5）位工人，乙施工队有（15﹣x）位工人， ∴根据借调后甲队人数与乙队人数刚好相等，得：x+5＝15﹣x． 故答案为：x+5＝15﹣x． 【变式3】（2023秋•孝义市期末）仔细阅读下列材料，并完成相应任务． 问题情境：数学课堂上，老师出示如下例题，同学们积极思考并展开激烈讨论． 教材再现：某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺柱或2000个螺母.1个螺柱需要配2个螺母，为使每天生产的螺柱和螺母刚好配套，应安排生产螺柱和螺母的工人各多少名？ 数量分析：“勤奋小组”分析如下：此问题有4个数量关系： ①此车间共有22名工人，即生产螺柱的工人+生产螺母的工人＝22人； ②每人每天可以生产螺柱1200个，此数量参与的数量关系是：每人每天生产螺柱的个数×生产螺柱的人数＝生产螺柱的数量； ③每人每天可以生产螺母2000个，此数量参与的数量关系是：每人每天生产螺母的个数×生产螺母的人数＝生产螺母的数量； ④1个螺柱配2个螺母，即生产螺母的数量是螺柱数量的2倍时，刚好配套． 问题解决：“勤奋小组”的解法如下： 解：设应安排x名工人生产螺柱，则有（22﹣x）名工人生产螺母．…第一步 2000（22﹣x）＝2×1200x，…第二步 5（22﹣x）＝6x，…第三步 110﹣5x＝6x，…第四步 11x＝110，…第五步 x＝10，…第六步 22﹣x＝12，…第七步 答：应安排10名工人生产螺柱，12名工人生产螺母．…第八步 任务一：（1）上述材料“问题解决”中的第一步设安排x名工人生产螺柱，然后用含x的式子“（22﹣x）”表示生产螺母的人数，其中依据的数量关系是 　①　 ；（填“数量分析”中的序号即可） （2）第二步方程的左边“2000（22﹣x）”表示的意思是每天生产的螺母的个数，其中依据的数量关系是 　③　 ；方程右边的“1200x”表示的意思是每天生产螺柱的个数，其中依据的数量关系是 　②　 ；列方程依据的等量关系是 　④　 ；（填“数量分析”中的序号即可） （3）第三步，方程变形的依据是 　等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，　 ；第四步去括号用到的运算律是 　乘法分配律　 ． 任务二：“凌云小组”列的方程是“”，其中“”表示的意思 　生产螺母的人数　 ． 任务三：“睿智小组”认为设每天生产y个螺柱，也能解决此问题，他们用表格进行数量关系的分析（不完整），做法如下： 解：设每天生产y个螺柱． 每人每天生产的个数 人数 每天生产的数量 螺柱 1200 　　 y 螺母 2000 　　 2y 请你将“睿智小组”不完整的表格补充完整，并根据“睿智小组”的思路列方程 　　 ．（只列方程） 【分析】任务一：（1）由生产螺母的人数的表示方法可得答案； （2）由每天生产的螺母的个数，每天生产螺柱的个数，以及配套要求可得答案； （3）由等式的性质与乘法分配律的含义可得答案； 任务二：由生产螺母的人数的含义可得答案； 任务三：根据表格信息及数量关系填好表格，建立方程即可． 【解答】解：任务一：（1）上述材料“问题解决”中的第一步设安排x名工人生产螺柱，然后用含x的式子“（22﹣x）”表示生产螺母的人数，其中依据的数量关系是①； 故答案为：①； （2）第二步方程的左边“2000（22﹣x）”表示的意思是每天生产的螺母的个数，其中依据的数量关系是③；方程右边的“1200x”表示的意思是每天生产螺柱的个数，其中依据的数量关系是②；列方程依据的等量关系是④； 故答案为：③；②；④； （3）第三步，方程变形的依据是等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数；第四步去括号用到的运算律是乘法分配律． 故答案为：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数；乘法分配律； 任务二：“凌云小组”列的方程是“”，其中“”表示的意思生产螺母的人数； 故答案为：生产螺母的人数； 任务三：设每天生产y个螺柱． 每人每天生产的个数 人数 每天生产的数量 螺柱 1200 y 螺母 2000 2y 根据“睿智小组”的思路列方程为． 故答案为：；；． 【题型六】一元一次方程的应用 【例1】（2025秋•太原期中）如图，在今年11月的日历表中用框数器“”框出9，11，17，23，25五个数，它们的和为85．若将“”在图中换个位置框出五个数，则它们的和可能是（　　） A．42 B．63 C．90 D．125 【分析】设中间数为x，则其余四个数分别为x﹣8、x﹣6、x+6、x+8，求和即可求得． 【解答】解：设中间数为x，则其余四个数分别为x﹣8、x﹣6、x+6、x+8， ∴这五个数的和为：x﹣8+x﹣6+x+x+6+x+8＝5x， ∵42和63不是5的倍数， ∴不符合题意，故舍去， 当5x＝90时，x＝18，可以框出五个数， 当5x＝125时，x＝25，不可以框出五个数． 故选：C． 【例2】（2025秋•沙坪坝区校级期中）图中的正方形由9个小方格组成，在每个小方格中各填一个代数式，使每行、每列、每条对角线上的三个代数式的和相等，已知小方格中部分代数式如图，则A﹣B＝　﹣2x2﹣2x ． 【分析】设出最中间和其左边方格中填入的代数式，根据题意找到数量关系，计算即可求解． 【解答】解：设最中间方格中填入的代数式为C，其左边方格中填入的代数式为D， 根据题意2x2+x﹣1+x+B＝2x2+x﹣1+C+x2+2x， ∴C＝B﹣x2﹣x， ∵A+D+x2+2x＝D+C+x， ∴A+x2+2x＝C+x， 即A+x2+2x＝B﹣x2﹣x+x， ∴A﹣B＝﹣x2﹣x+x﹣x2﹣2x＝﹣2x2﹣2x． 故答案为：﹣2x2﹣2x． 【例3】（2025秋•海陵区期中）小明家最近购买了一台电动汽车，为方便给电动汽车充电，小明家安装了家庭充电桩．根据国家有关政策，该充电桩给电动汽车充电时，实行“峰谷电”计价的方式：峰时电费单价为0.58元/度；谷时电费单价为0.38元/度． （1）已知小明家所购买的这台电动汽车平均电耗为12度/百公里，在不考虑其他因素的情况下，这台电动汽车平均行驶300公里，至少需要电费　13.68　 元； （2）若该充电桩在七月份充电总量为210度，峰时充电量为x度，求该充电桩在七月份的电费（用含x的代数式表示）； （3）在（2）的条件下，若小明家在七月份使用该充电桩所花电费为95.8元，则七月份该充电桩峰时充电多少度？谷时充电多少度？ 【分析】（1）根据题意列式计算即可； （2）求出谷时充电量为（210﹣x）度，再根据峰时电费单价为0.58元/度；谷时电费单价为0.38元/度列式即可； （3）结合（2）列方程可解得答案． 【解答】解：（1）∵3×12×0.38＝13.68（元）， ∴这台电动汽车平均行驶300公里，至少需要电费13.68元； 故答案为：13.68； （2）∵该充电桩在七月份充电总量为210度，峰时充电量为x度， ∴谷时充电量为（210﹣x）度， ∴该充电桩在七月份的电费为0.58x+0.38（210﹣x）＝（0.2x+79.8）元； （3）根据题意得：0.2x+79.8＝95.8， 解得：x＝80， ∴210﹣x＝210﹣80＝130， ∴七月份该充电桩峰时充电80度，谷时充电130度． 【例3】（2025秋•拱墅区校级期中）如图，在数轴上点A表示数a，点C表示数c，A、C两点之间距离为30，原点O在点A和点C之间，且点C到O的距离是点A到O的距离的2倍． （1）a＝　﹣10　 ，c＝　20　 ； （2）已知点D为数轴上一动点，且满足CD+AD＝40，直接写出点D表示的数； （3）动点B从数1对应的点开始向右运动，速度为每秒1个单位长度．同时点A、C在数轴上运动，点A、C的速度分别为每秒3个单位长度、每秒4个单位长度，运动时间为t秒． ①若点A向右运动，点C向左运动，AB＝BC，求t的值； ②若点A向左运动，点C向右运动，3AB﹣m×BC的值不随时间t的变化而改变，请求出m的值． 【分析】（1）根据AC，OA，OB间的关系，可得出OA＝10，OC＝20，结合点A在原点的左侧、点C在原点的右侧，可求出a，c的值； （2）设点D表示的数为d，根据CD+AD＝40，可列出关于d的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）①当运动时间为t秒时，点A表示的数为﹣10+3t，点B表示的数为1+t，点C表示的数为20﹣4t，根据AB＝BC，可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论； ②当运动时间为t秒时，点A表示的数为﹣10﹣3t，点B表示的数为1+t，点C表示的数为20+4t，利用数轴上两点间的距离公式，可得出AB＝11+4t，BC＝19+3t，将其代入3AB﹣m×BC中，可得出3AB﹣m×BC＝（12﹣3m）t+33﹣19m，结合3AB﹣m×BC的值不随时间t的变化而改变，可得出12﹣3m＝0，解之即可得出m的值． 【解答】解：（1）∵A、C两点之间距离为30，原点O在点A和点C之间，且点C到O的距离是点A到O的距离的2倍， ∴OA＝10，OC＝20， ∴a＝﹣10，c＝20． 故答案为：﹣10，20； （2）设点D表示的数为d， 根据题意得：|d﹣（﹣10）|+|d﹣20|＝40， 即﹣10﹣d+20﹣d＝40或d+10+d﹣20＝40， 解得：d＝﹣15或d＝25． 答：点D表示的数为﹣15或25； （3）①当运动时间为t秒时，点A表示的数为﹣10+3t，点B表示的数为1+t，点C表示的数为20﹣4t， 根据题意得：|﹣10+3t﹣（1+t）|＝|1+t﹣（20﹣4t）|， 即11﹣2t＝5t﹣19或2t﹣11＝5t﹣19， 解得：t或t． 答：t的值为或； ②当运动时间为t秒时，点A表示的数为﹣10﹣3t，点B表示的数为1+t，点C表示的数为20+4t， ∴AB＝1+t﹣（﹣10﹣3t）＝11+4t，BC＝20+4t﹣（1+t）＝19+3t， ∴3AB﹣m×BC＝3（11+4t）﹣m（19+3t）＝（12﹣3m）t+33﹣19m， ∵3AB﹣m×BC的值不随时间t的变化而改变， ∴12﹣3m＝0， ∴m＝4． 答：m的值为4． 【变式1】（2025秋•五华区校级期中）如图是某月的日历图，用“H”形框任意框出7个数（如图中阴影部分所示），这7个数的和不可能是（　　） A．63 B．70 C．77 D．105 【分析】设中间一个数为x，则另外6个数分别为x﹣1，x﹣8，x+6，x+1，x﹣6，x+8，即可得出7个数的和为7x，再分别求出7x＝63、7x＝70、7x＝77、7x＝105时x的值即可得出答案． 【解答】解：设中间一个数为x，则另外6个数分别为x﹣1，x﹣8，x+6，x+1，x﹣6，x+8， 所以七个数的和为x+x﹣1+x﹣8+x+6+x+1+x﹣6+x+8＝7x， 若7x＝70，解得x＝10； 若7x＝77，解得x＝11，因为x为中间数，故不能在最后一列，符合题意； 若7x＝105，解得x＝15； 若7x＝63，解得x＝9； 综上，这7个数的和不可能是77． 故选：C． 【变式2】（2025秋•二七区校级期中）长方形纸片上有一数轴，剪下16个单位长度（从﹣4到12）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图所示）．若这三条线段的长度之比为1：1：2，则折痕处对应的点所表示的数可能是 　2或4或6　 ． 【分析】设三条线段的长分别是x，x，2x，根据题意列出方程，求出x＝4，得到三条线段的长分别是4，4，8，再分3种情况讨论：①AB：BC：CD＝1：1：2；②AB：BC：CD＝1：2：1；③AB：BC：CD＝2：1：1，画出示意图，利用线段的和差即可求解． 【解答】解：∵这三条线段的长度之比为1：1：2， ∴设三条线段的长分别是x，x，2x， 由题意得，x+x+2x＝16， 解得x＝4， ∴三条线段的长分别是4，4，8， ①当AB：BC：CD＝1：1：2时， 则折痕处对应的点所表示的数是； ②当AB：BC：CD＝1：2：1时， 则折痕处对应的点所表示的数是； ③当AB：BC：CD＝2：1：1时， 则折痕处对应的点所表示的数是； 故答案为：2或4或6． 【变式3】（2025秋•榆林期中）幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则2a+b3+c的值为　﹣2　 ． 【分析】设幻方中左上角的数为x，右上角的数为y，列方程求出a、b、c的值，再代入计算结果即可． 【解答】解：设幻方中左上角的数为x，右上角的数为y，由题意得： x+（﹣1）+0＝x+b+（﹣2）， 解得：b＝1， ∴y+1+0＝y+c+（﹣2）， 解得：c＝3， 同理，a+1＝0+（﹣2）， 解得：a＝﹣3， ∴2a+b3+c＝2×（﹣3）+13+3＝﹣2， 故答案为：﹣2． 【变式4】（2025秋•广州期中）【问题背景】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，若已知a＞b，则AB＝a﹣b．如图，已知数轴上有A、B、C三个点，它们表示的数分别是﹣18，﹣8，+8，A到C的距离可以用AC表示，计算方法：AC＝|（﹣18）﹣（+8）|＝26或AC＝（+8）﹣（﹣18）＝26． （1）填空：AB＝　10　 ，BC＝　16　 ． 【构建联系】（2）现有动点P从B点出发，以每秒1个单位长度的速度向右移动，同时点Q从A点出发，以每秒3个单位长度的速度向右移动．设点P移动的时间为t秒． ①填空：运动过程中点P表示的数是　﹣8+t ，点Q表示的数是　﹣18+3t ；（用含t的代数式表示） ②求运动多少秒时，P、Q两点间的距离PQ＝6？ 【深入探究】（3）若点A以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时点C以每秒2个单位长度的速度向右运动，动点D从原点开始以每秒m个单位长度的速度运动，运动时间为t秒，运动过程中，点D始终在A、C两点之间的线段上，且CD﹣3AD的值始终是一个定值，求D点运动的方向及m的值． 【分析】（1）根据两点之间的距离计算即可； （2）①用点B表示的数加上点P的运动路程可得点P表示的数，进而表示点Q表示的数； ②先表示出PQ，即可得出方程，求出解即可； （3）先表示出运动过程中点A，C表示的数，再分两种情况：表示出CD﹣3AD，根据其是一个定值得出答案． 【解答】解：（1）AB＝﹣8﹣（﹣18）＝10，BC＝8﹣（﹣8）＝16； 故答案为：10，16； （2）①由点P，Q的运动速度可知运动过程中点P表示的数是﹣8+t，点Q表示的数是﹣18+3t； 故答案为：﹣8+t，﹣18+3t； ②PQ＝|﹣18+3t﹣（﹣8+t）|＝|﹣10+2t|＝6， 解得t＝8或t＝2， 所以运动2秒或8秒时，两点之间的距离PQ＝6； （3）由题意可知，运动过程中点A表示的数是﹣18﹣3t，点C表示的数是8+2t， 分两种情况：当点D向左运动时，点D表示的数是﹣mt， CD﹣3AD＝[8+2t﹣（﹣mt）]﹣3[﹣mt﹣（﹣18﹣3t）] ＝8+2t+mt+3mt﹣54﹣9t ＝﹣46+（4m﹣7）t 由CD﹣3AD的值始终是一个定值，得4m﹣7＝0， 解得； 当点D向右运动时，点D表示的数是mt， CD﹣3AD＝（8+2t﹣mt）﹣3[mt﹣（﹣18﹣3t）] ＝8+2t﹣mt﹣3mt﹣54﹣9t ＝﹣46+（﹣4m﹣7）t 由CD﹣3AD的值始终是一个定值，得﹣4m﹣7＝0， 解得舍去． 综上所述，点D向左运动，． 【课后练习】 1．（2025秋•南岗区校级期中）下列各式中是一元一次方程的是（　　） A． B．x2+1＝4 C．3x﹣5＝22 D．x+3＝y﹣2 【分析】根据一元一次方程的定义判断即可． 【解答】解：A、不是整式方程，故此选项不符合题意； B、未知数的最高次数是2，不是一元一次方程，故此选项不符合题意； C、是一元一次方程，故此选项符合题意； D、含有两个未知数，不是一元一次方程，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．（2024秋•靖江市期末）下列方程中是一元一次方程的是（　　） A． B．x2﹣9＝x+1 C． D．3x﹣y＝5 【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，由此判断即可． 【解答】解：A、是分式方程，故此选项不符合题意； B、最高次数是2，不是一元一次方程，故此选项不符合题意； C、是一元一次方程，故此选项符合题意； D、含有两个未知数，不是一元一次方程，故此选项不符合题意； 故选：C． 3．（2025秋•姜堰区期中）整式ax﹣3b的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时整式ax﹣3b对应的值，则关于x的方程ax﹣4＝3b的解为（　　） x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 ax﹣3b 12 8 4 0 ﹣4 ﹣8 A．x＝﹣2 B．x＝﹣1 C．x＝1 D．x＝3 【分析】观察表格可知，x＝0时，ax﹣3b＝0，即﹣3b＝0，解得：b＝0，当x＝1时，ax﹣3b＝﹣4，即a﹣0＝﹣4，求出a的值，把a，b的值代入ax﹣4＝3b即可求出答案． 【解答】解：观察表格可知，x＝0时，ax﹣3b＝0，即﹣3b＝0， 解得：b＝0， 当x＝1时，ax﹣3b＝﹣4，即a﹣0＝﹣4， ∴a＝﹣4， 把a＝﹣4，b＝0代入ax﹣4＝3b，得﹣4x﹣4＝0， 解得：x＝﹣1． 故选：B． 4．（2025秋•绥滨县期中）解方程时，去分母正确的是（　　） A．2x﹣1＝3 B．2x﹣1＝1 C．2x﹣3＝1 D．3（2x﹣1）＝3 【分析】解方程时，去分母需要两边同时乘以分母3，从而消除分母，得到简化方程． 【解答】解：， 2x﹣1＝3． 故选：A． 5．（2025•西安校级开学）解方程：． 【分析】先根据分数的基本性质，将方程变形为：，然后再根据解一元一次方程的方法：去分母，移项，合并同类项，将系数化为1求解即可． 【解答】解：， 利用分数的基本性质，变形为：， 即， 去分母，得5x＝20x+5+4x﹣15， 移项、合并同类项，得﹣19x＝﹣10， 将系数化为1，得． 6．（2025秋•河西区期中）中国和世界上大部分国家都采用摄氏温度（℃）为标准预报天气，也有一些国家采用华氏温度（℉）标准．已知华氏温度转摄氏温度的公式为C（F﹣32），其中℃表示华氏温度，℉表示摄氏温度． （Ⅰ）当华氏温度值为0℉时，摄氏温度值是多少？ （Ⅱ）请你将摄氏温度20℃转换成华氏度． 【分析】（1）把F＝0℉代入C（F﹣32）中计算即可； （2）把C＝20℃代入C（F﹣32）中解方程即可． 【解答】解：（1）当华氏温度值为0℉时，C（℃）， 即摄氏温度值是℃； （2）当摄氏温度20℃时，， 5（F﹣32）＝180， 5F﹣160＝180， 5F＝180+160， 5F＝340， F＝68， 即华氏温度为68°F． 7．（2025秋•南岗区校级期中）计算下列各题： （1）4x+1＝6x+8； （2）． 【分析】（1）根据解一元一次方程的方法：移项，合并同类项，将系数化为1求解即可 （2）根据解一元一次方程的方法：去分母，去括号，移项，合并同类项，将系数化为1求解即可． 【解答】解：（1）4x+1＝6x+8， 移项、合并同类项，得﹣2x＝7， 将系数化为1，得； （2）， 去分母，得3（5y﹣1）＝2（2y﹣1）﹣6， 去括号，得15y﹣3＝4y﹣2﹣6， 移项、合并同类项，得11y＝﹣5， 将系数化为1，得． 8．（2024秋•和田地区期末）方程3x+6＝0与关于x的方程3x＝2﹣2m的解相同，则m的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．3 D．4 【分析】先解方程3x+6＝0，求出x的值，然后再把x的值代入方程3x＝2﹣2m中进行计算即可解答． 【解答】解：3x+6＝0， 3x＝﹣6， x＝﹣2， 把x＝﹣2代入方程3x＝2﹣2m中可得： ﹣6＝2﹣2m， 解得：m＝4， 故选：D． 9．（2024秋•城关区校级期末）如果关于x的方程的解与方程4x﹣（3a+1）＝6x+2a﹣1的解相同，求字母a的值． 【分析】先求出x的值，再把x的值代入含a的方程中，再解关于a的一元一次方程即可． 【解答】解：解得：x＝10． 把x＝10代入4x﹣（3a+1）＝6x+2a﹣1中得：40﹣（3a+1）＝60+2a﹣1， 去括号得：40﹣3a﹣1＝60+2a﹣1， 移项、合并同类项得：5a＝﹣20 系数化1得：a＝﹣4． 10．（2024秋•定陶区期末）已知：关于x的方程与3（x+m）＝m﹣1有相同的解，求以y为未知数的方程的解． 【分析】先解方程，得到x＝1，再根据方程同解，将x＝1代入方程3（x+m）＝m﹣1，解得m＝﹣2，再代入方程，求出y的值即可． 【解答】解：， ， 解得：x＝1， ∵关于x的方程与3（x+m）＝m﹣1有相同的解， ∴将x＝1代入方程3（x+m）＝m﹣1，可得3（1+m）＝m﹣1， 解得：m＝﹣2， 将m＝﹣2代入， 可得， 2（3+2y）＝3（﹣2﹣3y）， 6+4y＝﹣6﹣9y， 13y＝﹣12， 解得：． 11．（2024秋•昭平县期末）已知关于x的方程（m+3）x|m|﹣2+6n＝0是一元一次方程． （1）求m的值； （2）若该方程的解与关于x的方程的解相同，求n的值． 【分析】（1）利用一元一次方程的定义即可求出m的值； （2）根据两个方程同解可得n的值． 【解答】解：（1）∵关于x的方程（m+3）x|m|﹣2+6n＝0是一元一次方程， ∴|m|﹣2＝1，m+3≠0， 解得：m＝3； （2）当m＝3时，方程为：6x+6n＝0， 解得：x＝﹣n， ， 2（2x+1）﹣10＝5（x+n）， 4x+2﹣10＝5x+5n， 4x﹣5x＝5n+8， ﹣x＝5n+8， 解得，x＝﹣5n﹣8， ∴﹣5n﹣8＝﹣n， ∴n＝﹣2． 12．（2025秋•香坊区校级期中）一台仪器由1个A部件和3个B部件构成．用1立方米钢材可以做40个A部件或240个B部件．现要用6立方米钢材制作这种仪器，应用多少立方米钢材做A部件，多少立方米钢材做B部件，才能制作尽可能多的仪器？设用x立方米钢材制作A部件，则可列式为（　　） A．40x＝240（6﹣x）×3 B．3×40x＝240（6﹣x） C．240x＝40（6﹣x）×3 D．3×240x＝40（6﹣x） 【分析】设用x立方米钢材做A部件，则做B部件的钢材为（6﹣x）立方米，根据仪器配套要求（1个A部件配3个B部件），B部件数量应等于A部件数量的3倍，由此列方程即可． 【解答】解：由题意可得，3×40x＝240（6﹣x）． 故选：B． 13．（2025秋•盐城期中）《算学启聚》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有良马日行二百四十里，每马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马x天可以追上慢马，则可以列出的方程为　240x＝150（x+12）　 ． 【分析】设快马x天可以追上慢马，根据路程＝速度×时间，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【解答】解：依题意得：240x＝150（x+12）． 故答案为：240x＝150（x+12）． 14．（2025秋•姜堰区期中）长方形的周长为18cm，长比宽多1cm，设长方形的宽为xcm，可列方程为　2[x+（x+1）]＝18　 ． 【分析】设长方形的宽为xcm，则长为（x+1）cm，然后根据长方形的周长＝（宽+长）×2列出方程即可． 【解答】解：设长方形的宽为xcm，则长为（x+1）cm， 由题意可得：2[x+（x+1）]＝18， 故选：2[x+（x+1）]＝18． 15．（2025秋•鼓楼区期中）如图，将正方形纸片剪去一张宽为4cm的长方形纸条，再将剩下的纸片剪去一张宽为5cm的长方形纸条，两次剪去的长方形纸条面积相等．设原正方形纸片的边长为xcm，根据题意可列方程为　4x＝5（x﹣4）　 ． 【分析】设原正方形纸片的边长为xcm，根据两次剪下的长方形纸条面积正好相等即可得出关于x的一元一次方程即可． 【解答】解：根据题意得：4x＝5（x﹣4）， 故答案为：4x＝5（x﹣4）． 16．（2025•永寿县校级一模）商场销售某种商品，若按原价销售每天可卖50件，元旦期间，每件商品降价20元，结果销售量为60件，且每天销售额相同，求该商品原价为多少元？ 【分析】设该商品原价为x元，然后根据销售额＝单价×数量列出方程求解即可． 【解答】解：设该商品原价为x元， 由题意得，50x＝60（x﹣20）， ∴50x＝60x﹣1200， 解得x＝120， 答：该商品的原价为120元． 17．（2024秋•安次区期末）唐代大诗人李白喜好饮酒作诗，李白在郊外春游时，做出这样一条约定：每遇见1个朋友，就到酒馆里将壶里的酒增加一倍，再喝掉其中的5升酒．按照这样的约定，若遇见第3个朋友后，正好喝光了壶中的酒，则壶中原来有酒（　　） A．升 B．升 C．升 D．升 【分析】设壶中原来有酒x升，根据“遇见第3个朋友后，正好喝光了壶中的酒”，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设壶中原来有酒x升， 根据题意得：2[2（2x﹣5）﹣5]﹣5＝0， 解得：x， ∴壶中原来有酒升． 故选：B． 18．（2025秋•宝安区校级期中）如图，将图1中的大正方形剪成4个相同的小长方形和一个小正方形，并将它们无重叠地放入到图2的大长方形中，若图2中未被覆盖的阴影部分的周长为30，则由此可知图1中小长方形较长的边为　5　 ． 【分析】设图1中小长方形较长的边为x，另一边为y，根据题意列得方程，解方程即可． 【解答】解：设图1中小长方形较长的边为x，另一边为y， 由题意得2（x+y+x+x﹣y）＝30， 整理得：6x＝30， 解得：x＝5， 即图1中小长方形较长的边为5， 故答案为：5． 19．（2025秋•重庆校级期中）在初中数学文化节游园活动中，被称为“数学小王子”的王小明参加了“智取九宫格”游戏比赛，活动规则是：在九宫格中，除了已经填写的三个数之外的每一个方格中，填入一个数，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和分别相等．王小明抽取到的题目如图所示，他运用初中所学的数学知识，很快就完成了这个游戏，则a＝　13　 ，b＝　19　 ． 16 b a 7 4 【分析】通过每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和分别相等建立等量关系，设出未知数，列方程求解即可． 【解答】解：设每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和为m， 16 y b a 7 4 w 由第一列之和得 m＝16+b+4＝20+b． 由第二行之和得 m＝b+a+7． 联立得 b+a+7＝20+b，即 a+7＝20，故 a＝13． 设第一行第三列为 y，第三行第三列为 w． 由副对角线（从右上到左下）之和得 m＝y+a+4＝y+13+4＝y+17． 由主对角线（从左上到右下）之和得 m＝16+a+w＝16+13+w＝29+w． 由第三列之和得 m＝y+7+w． 联立，得 y+7+w＝29+w，即 y+7＝29，故 y＝22． 代入副对角线得 m＝22+17＝39． 代入第一列得 39＝20+b，故 b＝19． 故答案为：13，19． 20．（2025秋•碑林区期中）在数轴上点A表示数﹣3，点B表示数﹣1，点C表示数3，点A、点B和点C分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，运动时间t（t＞0）为　或2或8　 秒时，A、B、C三点中恰有一点为另外两点的中点． 【分析】当运动时间为t（t＞0）秒时，点A表示的数为﹣3﹣2t，点B表示的数为﹣1﹣t，点C表示的数为3﹣4t，分点B为线段AC的中点、点C为线段AB的中点及点A为线段CB的中点三种情况，可列出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：当运动时间为t（t＞0）秒时，点A表示的数为﹣3﹣2t，点B表示的数为﹣1﹣t，点C表示的数为3﹣4t， 若点B为线段AC的中点，则﹣1﹣t﹣（﹣3﹣2t）＝3﹣4t﹣（﹣1﹣t）， 解得：t； 若点C为线段AB的中点，则3﹣4t﹣（﹣3﹣2t）＝﹣1﹣t﹣（3﹣4t）， 解得：t＝2； 若点A为线段CB的中点，则﹣3﹣2t﹣（3﹣4t）＝﹣1﹣t﹣（﹣3﹣2t）， 解得：t＝8， ∴运动时间t（t＞0）为或2或8秒时，A、B、C三点中恰有一点为另外两点的中点． 故答案为：或2或8． 21．（2025秋•宿豫区期中）如图是一个三阶幻方，它的规则是每一行、每一列、每一斜对角线上的3个数分别相加，和都相等，则x的值为　　 ． 【分析】由第三行和第二列上的3个数之和相等，可得出第二行第二个方格中的数为x+1068﹣k，由第三列及对角线上的3个数之和相等，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：∵第三行和第二列上的3个数之和相等， ∴第二行第二个方格中的数为x+1068﹣k； ∵第三列及对角线上的3个数之和相等， ∴x+1068﹣k+x＝7﹣k+1068， 即2x+1068＝7+1068， 解得：x， ∴x的值为． 故答案为：． 22．（2025秋•神木市期中）爱动脑筋的小亮同学设计了一种“幻圆“游戏，将一些数字分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，他已经将一些数填入了圆圈，则a﹣b的值为　﹣2　 ． 【分析】根据题意，横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，可列方程，解方程得a，b的值，再代入a﹣b计算，即得答案． 【解答】解：由题意可得a+8+（﹣1）+（﹣7）＝﹣7+6+（﹣5）+8， b+6+（﹣3）+（﹣5）＝﹣7+6+（﹣5）+8， 则a＝2，b＝4， 那么a﹣b＝﹣2， 故答案为：﹣2． 23．（2025秋•两江新区校级期中）礼嘉中学食堂的食物一直深受学生的喜爱，特别是卤鸡腿和卤鸡翅更是火爆．上周六，食堂的王师傅到农贸市场采购了30公斤鸡腿和20公斤鸡翅，已知每公斤鸡翅比鸡腿贵5元；其中每公斤鸡腿的价格为x元． （1）求王师傅上周六一共花了多少钱（用含x的代数式表示）； （2）若王师傅一共花了1500元，求x的值； （3）由于本周炸鸡腿和炸鸡翅的售卖情况异常火爆，本周六，王师傅决定继续到农贸市场继续采购该食材，但本周六1公斤鸡腿的价格在上周六基础上上涨了m%，而1公斤鸡翅的价格在上周六基础上下降了2m%，这样，1公斤鸡腿和1公斤鸡翅的总价比之前少了7.6元，在（2）问的条件下，求m的值． 【分析】（1）根据题意，表示出每公斤鸡翅的价格，计算即可求解； （2）根据（1）的结果，列方程，解方程即可； （3）根据（2）计算的结果，列出方程，求解即可． 【解答】解：（1）∵每公斤鸡翅比鸡腿贵5元，每公斤鸡腿的价格为x元， ∴每公斤鸡翅x+5（元）， ∴王师傅上周六一共花了30x+20（x+5）＝30x+20x+100＝50x+100（元）； （2）根据题意50x+100＝1500， 解得x＝28； （3）由（2）得，上周每公斤鸡腿的价格为28元， ∴每公斤鸡翅的价格为33元， ∴28（1+m%）+33（1﹣2m%）＝28+33﹣7.6， 解得m＝20． 24．（2025秋•泗洪县期中）我国很多经典古籍中记载了“河图洛书”，它是中国重要的文化遗产．图1“洛书”中用实心点或空心点的个数表示数字．观察图1中的每一组点所对应的数字，回答下列问题： （1）根据“洛书”，图2中a＝　5　 ，b＝　6　 ； （2）根据图2所填数字，我们不难发现：方格中每一行、每一列、每条对角线上的三个数之和都相等．若图3符合“洛书”的规律，每一行、每一列以及两条对角线上的数字之和都相等，求c的值． 【分析】（1）根据“洛书”中的点，找出a，b的值； （2）根据第二行及对角线上的三个数的和相等，可求出第三行第一个方格中的数为7，再根据第三行及第三列上的三个数的和相等，可列出关于c的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）根据“洛书”，图2中a＝5，b＝6． 故答案为：5，6； （2）第三行第一个方格中的数为﹣7+1+9﹣（﹣5）﹣1＝7， 根据题意得：7+c＝﹣5+9， 解得：c＝﹣3． 答：c的值为﹣3． 25．（2025秋•江北区校级期中）植树节这天，七年级170名学生志愿者参加植树活动，假设一名男生一天能挖树坑3个，一名女生一天能种树7棵，且男生只挖树坑，女生只种树．要求每个树坑种一棵树，那么该年级的男生，女生各有多少名？ 【分析】设出男生人数，表示出女生人数，根据树坑的数量等于种的树的数量，列方程求解即可． 【解答】解：设七年级男生有x人，则女生有170﹣x人， 3x＝7（170﹣x）， 解得x＝119， 则女生有170﹣119＝51人． 答：该年级的男生有119名，女生有51名． 26．（2025秋•新民市期中）小雅同学在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形，于是她在家用剪刀剪开了一个长方体纸盒（如图②），可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分如图①．根据你所学的知识，回答下列问题： （1）小雅总共剪开了　8　 条棱． （2）现在小雅想将剪断的重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为他应该将剪断的纸条粘贴到①中的什么位置？请你帮助小雅在①上补全．（一种情况即可） （3）已知这个长方体纸盒高为10cm，底面是一个正方形，并且这个长方体纸盒所有棱长的和是440cm，求这个长方体纸盒的体积． 【分析】（1）根据长方体总共有12条棱，有4条棱未剪开，即可得出剪开的棱的条数； （2）根据长方体的展开图的情况可知有4种情况； （3）设底面边长为acm，根据棱长的和是440cm，列出方程可求出底面边长，进而得到长方体纸盒的体积． 【解答】解：（1）由图可得，小明共剪了8条棱， 故答案为：8； （2）如图，粘贴的位置有四种情况如下： （3）∵长方体纸盒的底面是一个正方形， ∴可设底面边长acm， ∵长方体纸盒所有棱长的和是440cm，长方体纸盒高为10cm， ∴4×10+8a＝440， 解得a＝50， ∴这个长方体纸盒的体积为：10×50×50＝25000（立方厘米）． 27．（2025秋•工业园区校级期中）坐标平面上，若移动二次函数y＝﹣（x﹣2023）（x﹣2025）+5的图象，使其与x轴交于两点，且此两点的距离为2个单位，则移动方式可为（　　） A．向上平移5个单位 B．向左平移2个单位 C．向下平移5个单位 D．向右平移2个单位 【分析】利用抛物线的几何变换规律，把抛物线y＝﹣（x﹣2023）（x﹣2025）+5向下平移5个单位得y＝﹣（x﹣2023）（x﹣2025），再解方程﹣（x﹣2023）（x﹣2025）＝0得抛物线y＝﹣（x﹣2023）（x﹣2025）与x轴的交点坐标为（2023，0），（2025，0），所以抛物线与x轴的两交点之间的距离为2，从而得到正确选项． 【解答】解：把二次函数y＝﹣（x﹣2023）（x﹣2025）+5的图象向下平移5个单位得y＝﹣（x﹣2023）（x﹣2025）， 当y＝0时，﹣（x﹣2023）（x﹣2025）＝0， 解得x1＝2023，x2＝2025， ∴平移后的抛物线y＝﹣（x﹣2023）（x﹣2025）与x轴的交点坐标为（2023，0），（2025，0）， ∴抛物线与x轴的两交点之间的距离为2025﹣2023＝2， ∴向下平移5个单位，使二次函数y＝﹣（x﹣2023）（x﹣2025）+5的图象使其与x轴交于两点，且此两点的距离为2个单位． 故选：C． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $北师大版七年级上册第五单元一元一次方程七大题型总结讲义 【题型一】一元一次方程的定义 【例1】(2025春•东营校级期中)下列各式中,一元一次方程的个数有( ) ①12x﹣1;②3x=5;③x+y=1;④;⑤x2﹣2x+3=0. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【例2】(2025秋•两江新区校级期中)若方程x|a|﹣2+(a﹣3)x2﹣2=0是关于x的一元一次方程,则a= . 【变式1】(2024秋•大理州期末)已知关于x的方程(m+1)x|m|=0是一元一次方程,则m的值为( ) A.1 B.﹣1 C.1或﹣1 D.无法确定 【变式2】(2025秋•长沙期中)若(m﹣1)x|2m﹣1|=6是关于x的一元一次方程,则m等于( ) A.1 B. C.1或0 D.0 【变式3】(2025秋•庐阳区校级期中)下列各式:①2x=2;②x=y;③﹣3﹣3=﹣6;④x+3x;⑤x﹣1=2x﹣3中,一元一次方程有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【题型二】等式的性质 【例1】(2025•雁塔区校级开学)下列利用等式的基本性质变形,错误的是( ) A.如果﹣2x=﹣2y,那么x=y B.如果x2=5x,那么x=5 C.如果a=b,那么a﹣6=b﹣6 D.如果a=b,那么 【例2】(2025秋•雁塔区校级月考)3 3方格中(如图),填入合适的数,使得每行、每列、对角线数字和相等,则k=( ) k 11 121 A.132 B.110 C.312 D.231 【变式1】(2024秋•雁塔区校级期末)下列利用等式的基本性质变形,错误的是( ) A.如果﹣2x=﹣2y,那么x=y B.如果x2=5x,那么x=5 C.如果a=b,那么a﹣6=b﹣6 D.如果,那么a=b 【变式2】(2023秋•长安区期末)下列结论不正确的是( ) A.若a+c=b+c,则a=b B.若,则a=b C.若ac=bc,则a=b D.若ax=b(a≠0),则x 【题型三】解一元一次方程 【例1】(2025秋•丰台区校级期中)已知,.若a与b互为相反数,则m的值为( ) A. B. C. D. 【例2】(2024秋•碑林区校级期末)解方程: (1)2(x﹣1)=2﹣5(x+2); (2). 【变式1】(2025秋•哈尔滨校级期中)解方程时,去分母正确的是( ) A.3(x+1)﹣x+2=1 B.3x+1﹣x﹣2=6 C.3(x+1)﹣(x+2)=6 D.3(x+1)﹣(x+2)=1 【变式2】(2025秋•西安月考)已知1+x与4互为相反数,则x的值为 . 【变式2】(2025秋•瑶海区校级期中)解下列方程: (1)2(x﹣2)﹣3(4x﹣1)=9(1﹣x); (2). 【题型四】同解方程 【例1】(2024秋•东港区校级期末)若方程和2x﹣m=3m+1的解相同,则m的值为( ) A.2 B.3 C. D.1 【变式1】(2025秋•重庆期中)如果方程3﹣2x=1与关于x的方程的解相同,则a的值是 . 【变式2】(2025秋•蜀山区校级期中)已知:关于x的方程与3(x+m)=m﹣1有相同的解,则m= . 【变式3】(2025春•东营校级期中)若方程的解与关于x的方程2x﹣(3a+1)=3x﹣a﹣1的解相同,则代数式2a+3的值为 . 【题型五】由实际问题抽象出一元一次方程 【例1】(2025秋•两江新区校级期中)为美化校园环境,践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念,礼嘉中学初一年级某班积极响应学校劳动教育课程要求,在劳动实践基地开展植树活动.活动开始前,班长负责统计树苗需求,他发现若每人植2棵树,则树苗余下21棵;若每人植3棵树,则树苗还差24棵.设该班有,x名学生,则可列方程为( ) A.2x+21=3x﹣24 B.2x+24=3x+21 C.2x﹣21=3x﹣24 D.2x﹣21=3x+24 【例2】(2024秋•汉滨区校级月考)根据下列问题,设未知数并列出方程: (1)洛川苹果被誉为“中华第一果”,以其色、香、味俱佳而著称.妈妈买了一些红富士和嘎啦这两种苹果,其中红富士苹果有28个,红富士苹果比嘎啦苹果数量的2倍少12个,嘎啦苹果有多少个? (2)小宇买猕猴桃和柿饼共5千克,用去68元,其中猕猴桃每千克9元,柿饼每千克32元,猕猴桃买了多少千克? 【变式1】(2025秋•武昌区校级期中)如图是一枚长方形庆祝中国共产党成立100周年纪念币,其周长是260mm,长和宽的比为8:5.问这枚纪念币的长和宽?设这枚纪念币的长为xmm,根据题意,可列方程( ) A. B.2(5x+8x)=260 C. D.5x+8x=260 【变式2】(2025秋•江北区校级期中)某市对市区主干道进行绿化,现有甲、乙两个施工队,甲队有5名工人,乙队有15人,若从乙队借调x名工人到甲队,则甲队人数与乙队人数刚好相等,根据题意可列出方程为 . 【变式3】(2023秋•孝义市期末)仔细阅读下列材料,并完成相应任务. 问题情境:数学课堂上,老师出示如下例题,同学们积极思考并展开激烈讨论. 教材再现:某车间有22名工人,每人每天可以生产1200个螺柱或2000个螺母.1个螺柱需要配2个螺母,为使每天生产的螺柱和螺母刚好配套,应安排生产螺柱和螺母的工人各多少名? 数量分析:“勤奋小组”分析如下:此问题有4个数量关系: ①此车间共有22名工人,即生产螺柱的工人+生产螺母的工人=22人; ②每人每天可以生产螺柱1200个,此数量参与的数量关系是:每人每天生产螺柱的个数 生产螺柱的人数=生产螺柱的数量; ③每人每天可以生产螺母2000个,此数量参与的数量关系是:每人每天生产螺母的个数 生产螺母的人数=生产螺母的数量; ④1个螺柱配2个螺母,即生产螺母的数量是螺柱数量的2倍时,刚好配套. 问题解决:“勤奋小组”的解法如下: 解:设应安排x名工人生产螺柱,则有(22﹣x)名工人生产螺母.…第一步 2000(22﹣x)=2 1200x,…第二步 5(22﹣x)=6x,…第三步 110﹣5x=6x,…第四步 11x=110,…第五步 x=10,…第六步 22﹣x=12,…第七步 答:应安排10名工人生产螺柱,12名工人生产螺母.…第八步 任务一:(1)上述材料“问题解决”中的第一步设安排x名工人生产螺柱,然后用含x的式子“(22﹣x)”表示生产螺母的人数,其中依据的数量关系是 ① ;(填“数量分析”中的序号即可) (2)第二步方程的左边“2000(22﹣x)”表示的意思是每天生产的螺母的个数,其中依据的数量关系是 ;方程右边的“1200x”表示的意思是每天生产螺柱的个数,其中依据的数量关系是 ;列方程依据的等量关系是 ;(填“数量分析”中的序号即可) (3)第三步,方程变形的依据是 ;第四步去括号用到的运算律是 . 任务二:“凌云小组”列的方程是“”,其中“”表示的意思 . 任务三:“睿智小组”认为设每天生产y个螺柱,也能解决此问题,他们用表格进行数量关系的分析(不完整),做法如下: 解:设每天生产y个螺柱. 每人每天生产的个数 人数 每天生产的数量 螺柱 1200 y 螺母 2000 2y 请你将“睿智小组”不完整的表格补充完整,并根据“睿智小组”的思路列方程 .(只列方程) 【题型六】一元一次方程的应用 【例1】(2025秋•太原期中)如图,在今年11月的日历表中用框数器“”框出9,11,17,23,25五个数,它们的和为85.若将“”在图中换个位置框出五个数,则它们的和可能是( ) A.42 B.63 C.90 D.125 【例2】(2025秋•沙坪坝区校级期中)图中的正方形由9个小方格组成,在每个小方格中各填一个代数式,使每行、每列、每条对角线上的三个代数式的和相等,已知小方格中部分代数式如图,则A﹣B= . 【例3】(2025秋•海陵区期中)小明家最近购买了一台电动汽车,为方便给电动汽车充电,小明家安装了家庭充电桩.根据国家有关政策,该充电桩给电动汽车充电时,实行“峰谷电”计价的方式:峰时电费单价为0.58元/度;谷时电费单价为0.38元/度. (1)已知小明家所购买的这台电动汽车平均电耗为12度/百公里,在不考虑其他因素的情况下,这台电动汽车平均行驶300公里,至少需要电费 元; (2)若该充电桩在七月份充电总量为210度,峰时充电量为x度,求该充电桩在七月份的电费(用含x的代数式表示); (3)在(2)的条件下,若小明家在七月份使用该充电桩所花电费为95.8元,则七月份该充电桩峰时充电多少度?谷时充电多少度? 【例3】(2025秋•拱墅区校级期中)如图,在数轴上点A表示数a,点C表示数c,A、C两点之间距离为30,原点O在点A和点C之间,且点C到O的距离是点A到O的距离的2倍. (1)a= ,c= ; (2)已知点D为数轴上一动点,且满足CD+AD=40,直接写出点D表示的数; (3)动点B从数1对应的点开始向右运动,速度为每秒1个单位长度.同时点A、C在数轴上运动,点A、C的速度分别为每秒3个单位长度、每秒4个单位长度,运动时间为t秒. ①若点A向右运动,点C向左运动,AB=BC,求t的值; ②若点A向左运动,点C向右运动,3AB﹣m BC的值不随时间t的变化而改变,请求出m的值. 【变式1】(2025秋•五华区校级期中)如图是某月的日历图,用“H”形框任意框出7个数(如图中阴影部分所示),这7个数的和不可能是( ) A.63 B.70 C.77 D.105 【变式2】(2025秋•二七区校级期中)长方形纸片上有一数轴,剪下16个单位长度(从﹣4到12)的一条线段,并把这条线段沿某点折叠,然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段(如图所示).若这三条线段的长度之比为1:1:2,则折痕处对应的点所表示的数可能是 . 【变式3】(2025秋•榆林期中)幻方,最早源于我国,古人称之为纵横图.如图所示的幻方中,各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等,则2a+b3+c的值为 . 【变式4】(2025秋•广州期中)【问题背景】数轴是初中数学的一个重要工具,利用数轴可以将数与形完美地结合.研究数轴我们发现了许多重要的规律:若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b,则A,B两点之间的距离AB=|a﹣b|,若已知a>b,则AB=a﹣b.如图,已知数轴上有A、B、C三个点,它们表示的数分别是﹣18,﹣8,+8,A到C的距离可以用AC表示,计算方法:AC=|(﹣18)﹣(+8)|=26或AC=(+8)﹣(﹣18)=26. (1)填空:AB= ,BC= . 【构建联系】(2)现有动点P从B点出发,以每秒1个单位长度的速度向右移动,同时点Q从A点出发,以每秒3个单位长度的速度向右移动.设点P移动的时间为t秒. ①填空:运动过程中点P表示的数是 ,点Q表示的数是 ;(用含t的代数式表示) ②求运动多少秒时,P、Q两点间的距离PQ=6? 【深入探究】(3)若点A以每秒3个单位长度的速度向左运动,同时点C以每秒2个单位长度的速度向右运动,动点D从原点开始以每秒m个单位长度的速度运动,运动时间为t秒,运动过程中,点D始终在A、C两点之间的线段上,且CD﹣3AD的值始终是一个定值,求D点运动的方向及m的值. 【课后练习】 1.(2025秋•南岗区校级期中)下列各式中是一元一次方程的是( ) A. B.x2+1=4 C.3x﹣5=22 D.x+3=y﹣2 2.(2024秋•靖江市期末)下列方程中是一元一次方程的是( ) A. B.x2﹣9=x+1 C. D.3x﹣y=5 3.(2025秋•姜堰区期中)整式ax﹣3b的值随x的取值不同而不同,下表是当x取不同值时整式ax﹣3b对应的值,则关于x的方程ax﹣4=3b的解为( ) x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 ax﹣3b 12 8 4 0 ﹣4 ﹣8 A.x=﹣2 B.x=﹣1 C.x=1 D.x=3 4.(2025秋•绥滨县期中)解方程时,去分母正确的是( ) A.2x﹣1=3 B.2x﹣1=1 C.2x﹣3=1 D.3(2x﹣1)=3 5.(2025•西安校级开学)解方程:. 6.(2025秋•河西区期中)中国和世界上大部分国家都采用摄氏温度( )为标准预报天气,也有一些国家采用华氏温度( )标准.已知华氏温度转摄氏温度的公式为C(F﹣32),其中 表示华氏温度, 表示摄氏温度. ( )当华氏温度值为0 时,摄氏温度值是多少? ( )请你将摄氏温度20 转换成华氏度. 7.(2025秋•南岗区校级期中)计算下列各题: (1)4x+1=6x+8; (2). 8.(2024秋•和田地区期末)方程3x+6=0与关于x的方程3x=2﹣2m的解相同,则m的值为( ) A.﹣2 B.2 C.3 D.4 9.(2024秋•城关区校级期末)如果关于x的方程的解与方程4x﹣(3a+1)=6x+2a﹣1的解相同,求字母a的值. 10.(2024秋•定陶区期末)已知:关于x的方程与3(x+m)=m﹣1有相同的解,求以y为未知数的方程的解. 11.(2024秋•昭平县期末)已知关于x的方程(m+3)x|m|﹣2+6n=0是一元一次方程. (1)求m的值; (2)若该方程的解与关于x的方程的解相同,求n的值. 12.(2025秋•香坊区校级期中)一台仪器由1个A部件和3个B部件构成.用1立方米钢材可以做40个A部件或240个B部件.现要用6立方米钢材制作这种仪器,应用多少立方米钢材做A部件,多少立方米钢材做B部件,才能制作尽可能多的仪器?设用x立方米钢材制作A部件,则可列式为( ) A.40x=240(6﹣x) 3 B.3 40x=240(6﹣x) C.240x=40(6﹣x) 3 D.3 240x=40(6﹣x) 13.(2025秋•盐城期中)《算学启聚》是我国古代的数学著作,其中有一道题:“今有良马日行二百四十里,每马日行一百五十里.驽马先行一十二日,问良马几何日追及之.”意思是:跑得快的马每天走240里,跑得慢的马每天走150里.慢马先走12天,快马几天可以追上慢马?设快马x天可以追上慢马,则可以列出的方程为 . 14.(2025秋•姜堰区期中)长方形的周长为18cm,长比宽多1cm,设长方形的宽为xcm,可列方程为 . 15.(2025秋•鼓楼区期中)如图,将正方形纸片剪去一张宽为4cm的长方形纸条,再将剩下的纸片剪去一张宽为5cm的长方形纸条,两次剪去的长方形纸条面积相等.设原正方形纸片的边长为xcm,根据题意可列方程为 . 16.(2025•永寿县校级一模)商场销售某种商品,若按原价销售每天可卖50件,元旦期间,每件商品降价20元,结果销售量为60件,且每天销售额相同,求该商品原价为多少元? 17.(2024秋•安次区期末)唐代大诗人李白喜好饮酒作诗,李白在郊外春游时,做出这样一条约定:每遇见1个朋友,就到酒馆里将壶里的酒增加一倍,再喝掉其中的5升酒.按照这样的约定,若遇见第3个朋友后,正好喝光了壶中的酒,则壶中原来有酒( ) A.升 B.升 C.升 D.升 18.(2025秋•宝安区校级期中)如图,将图1中的大正方形剪成4个相同的小长方形和一个小正方形,并将它们无重叠地放入到图2的大长方形中,若图2中未被覆盖的阴影部分的周长为30,则由此可知图1中小长方形较长的边为 . 19.(2025秋•重庆校级期中)在初中数学文化节游园活动中,被称为“数学小王子”的王小明参加了“智取九宫格”游戏比赛,活动规则是:在九宫格中,除了已经填写的三个数之外的每一个方格中,填入一个数,使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和分别相等.王小明抽取到的题目如图所示,他运用初中所学的数学知识,很快就完成了这个游戏,则a= ,b= . 16 b a 7 4 20.(2025秋•碑林区期中)在数轴上点A表示数﹣3,点B表示数﹣1,点C表示数3,点A、点B和点C分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动,运动时间t(t>0)为 秒时,A、B、C三点中恰有一点为另外两点的中点. 21.(2025秋•宿豫区期中)如图是一个三阶幻方,它的规则是每一行、每一列、每一斜对角线上的3个数分别相加,和都相等,则x的值为 . 22.(2025秋•神木市期中)爱动脑筋的小亮同学设计了一种“幻圆“游戏,将一些数字分别填入图中的圆圈内,使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等,他已经将一些数填入了圆圈,则a﹣b的值为 . 23.(2025秋•两江新区校级期中)礼嘉中学食堂的食物一直深受学生的喜爱,特别是卤鸡腿和卤鸡翅更是火爆.上周六,食堂的王师傅到农贸市场采购了30公斤鸡腿和20公斤鸡翅,已知每公斤鸡翅比鸡腿贵5元;其中每公斤鸡腿的价格为x元. (1)求王师傅上周六一共花了多少钱(用含x的代数式表示); (2)若王师傅一共花了1500元,求x的值; (3)由于本周炸鸡腿和炸鸡翅的售卖情况异常火爆,本周六,王师傅决定继续到农贸市场继续采购该食材,但本周六1公斤鸡腿的价格在上周六基础上上涨了m%,而1公斤鸡翅的价格在上周六基础上下降了2m%,这样,1公斤鸡腿和1公斤鸡翅的总价比之前少了7.6元,在(2)问的条件下,求m的值. 24.(2025秋•泗洪县期中)我国很多经典古籍中记载了“河图洛书”,它是中国重要的文化遗产.图1“洛书”中用实心点或空心点的个数表示数字.观察图1中的每一组点所对应的数字,回答下列问题: (1)根据“洛书”,图2中a= ,b= ; (2)根据图2所填数字,我们不难发现:方格中每一行、每一列、每条对角线上的三个数之和都相等.若图3符合“洛书”的规律,每一行、每一列以及两条对角线上的数字之和都相等,求c的值. 25.(2025秋•江北区校级期中)植树节这天,七年级170名学生志愿者参加植树活动,假设一名男生一天能挖树坑3个,一名女生一天能种树7棵,且男生只挖树坑,女生只种树.要求每个树坑种一棵树,那么该年级的男生,女生各有多少名? 26.(2025秋•新民市期中)小雅同学在学习了《展开与折叠》这一课后,明白了很多几何体都能展开成平面图形,于是她在家用剪刀剪开了一个长方体纸盒(如图②),可是一不小心多剪了一条棱,把纸盒剪成了两部分如图①.根据你所学的知识,回答下列问题: (1)小雅总共剪开了 条棱. (2)现在小雅想将剪断的重新粘贴到①上去,而且经过折叠以后,仍然可以还原成一个长方体纸盒,你认为他应该将剪断的纸条粘贴到①中的什么位置?请你帮助小雅在①上补全.(一种情况即可) (3)已知这个长方体纸盒高为10cm,底面是一个正方形,并且这个长方体纸盒所有棱长的和是440cm,求这个长方体纸盒的体积. 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 $