2.3确定二次函数的表达式第2课时（教学课件）数学北师大版九年级下册

该初中数学课件聚焦二次函数表达式的确定，涵盖一般式、顶点式、交点式三种方法。课堂通过“与y轴交点及两点坐标求表达式”的情境问题导入，知识回顾环节复习待定系数法和顶点式作为学习支架，衔接新知探究。 其亮点在于采用“问题情境—探究建模—多法对比—应用巩固”教学流程，议一议中通过三种解法（一般式、顶点式）培养推理意识，典例分析结合实例（如例2用三种方法求表达式）发展模型观念。学生能提升用数学思维解决问题的能力，教师可借助分层练习优化教学效果。

北师大版·九年级下册 2.3 确定二次函数的表达式 第2课时 第二章 二次函数 学 习 目 标 1.会用待定系数法解三元一次方程组求二次函数的一般式:y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(重点） 2.会利用不同的条件，合理地设出二次函数形式，列出方程组求出相关系数，得出二次函数表达式.（难点） 知识回顾 2.确定二次函数的关系式时，当知道顶点坐标和图象上除顶点外的 个点的坐标，就可以用顶点式 y=a(x-h)2+k 确定二次函数的关系式. 3.已知二次函数y=ax²+bx+c中一项系数，再知道图象上 个点的坐标，也可以确定这个二次函数的关系式. 一 两 1.求二次函数表达式采用的一般方法是 . 待定系数法 情境引入 问题：已知二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1，且经过点（2，5）和（-2，13），求这个二次函数的表达式. 想一想：除了上节课的解法，还有没有其他解法呢？ 将三个点代入y＝ax2+bx+c后，会得到一个什么样的方程组呢？ 分析：因为二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1，即函数图象过点（0，1），因此知道三个点的坐标，设y＝ax2+bx+c，能不能确定这个二次函数的表达式呢？ 新知探究 探究一：已知三点求二次函数关系式 解: 设所求二次函数的表达式为y=ax2+bx+c. ∴所求二次函数表达式为 y=2x2-3x+5. ∵该图象经过点(－1,10)，(1,4)，(2,7)， 4=a+b+c ∴ 10=a-b+c， 7=4a+2b+c， a=2， c=5. 解得 b=-3， 你会解三元一次方程组吗？ ∴二次函数图像对称轴为直线，顶点坐标为(). 做一做 已知二次函数的图象经过点(－1,10)，(1,4)，(2,7)三点，求这个二次函数的表达式，并写出它的对称轴和顶点坐标． 新知探究 一般式法求二次函数表达式的方法： 知识归纳 这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法. 其步骤是： ①设函数表达式为y=ax2+bx+c； ②代入后得到一个三元一次方程组； ③解方程组得到a,b,c的值； ④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式. 新知探究 1.已知一个二次函数，当x＝0时，y＝－5；当x＝－1时，y＝－4；当x＝－2时，y＝5.则这个二次函数的表达式是(　　)A.y＝4x2＋3x－5 B.y＝2x2＋x＋5C.y＝2x2－x＋5 D.y＝2x2＋x－5 A 新知探究 探究二：交点法求二次函数关系式（拓展） 如图所示，二次函数图象经过点（-3，0），（-1，0），（0，-3），试求出这个二次函数的表达式. x y O 1 2 -1 -2 -3 -4 -1 -2 -3 -4 -5 1 2 解： ∵（-3，0）（-1，0）是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点. 所以可设这个二次函数的表达式是y=a(x-x1)(x-x2). 其中x1、x2为交点的横坐标.因此得y=a(x+3)(x+1). 再把点（0，-3）代入上式得 a(0+3)(0+1)=-3， 解得 a=-1， ∴所求的二次函数的表达式是y=-(x+3)(x+1),即y=-x2-4x-3. 新知探究 交点法求二次函数表达式的方法： 知识归纳 这种知道抛物线与x轴的交点，求表达式的方法叫做交点法. 其步骤是： ①设函数表达式是y=a(x-x1)(x-x2)； ②先把两交点的横坐标x1,x2代入到表达式中，得到关于a的一元一次方程； ③将另一点的坐标代入原方程求出a值； ④a用数值换掉，写出函数表达式. 新知探究 2.已知二次函数的图象经过(1，0)，(2，0)和(0，2)三点，则该函数的表达式为(　　)A.y＝2x2＋x＋2 B.y＝x2＋3x＋2C.y＝x2－2x＋3 D.y＝x2－3x＋2 D 新知探究 解法一：设二次函数的表达式为y=ax²+bx+c，将点A(0，1)，B(1，2)和C(2，1)分别代入上式得, 解得 ∴这个二次函数的表达式为y=-x²+2x+1. 一个二次函数的图象经过点A(0，1)，B(1，2)和C(2，1)，你能确定这个二次函数的表达式吗？你有几种方法，与同伴进行交流. 议一议 新知探究 解法二：因为二次函数图象过点A(0，1)，即c=1, 设二次函数的表达式为y=ax²+bx+1，将B(1，2)和C(2，1)分别代入上式, 得 解得 ∴这个二次函数的表达式为y=-x²+2x+1. 新知探究 解法三：∵点A(0，1)和C(2，1)关于直线x=1对称， ∴点B(1，2)为二次函数的顶点， 设二次函数的表达式为y=a(x-1)²+2，将点A(0，1)代入上式, 得 a+2=1 解得 a=-1 ∴这个二次函数的表达式为y=-(x-1)²+2，即y=-x²+2x+1. 新知探究 (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c； （已知抛物线上三点坐标或三对x、y的值，用一般式） (2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k； （已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，用顶点式） (3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)． （已知抛物线与x轴交点的横坐标x1，x2，用交点式） 用待定系数法求二次函数表达式的常见设法： 知识归纳 典例分析 已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)．求这个二次函数的表达式． 例1 解：设这个二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c． ∴这个二次函数的表达式为y＝2x2＋3x－4. 解得 b＝3， c＝－4， a＝2， a＋b＋c＝1， c＝－4， a-b＋c＝-5， 依题意得 抛物线图象上三个点的坐标（1，0），（3，0），（2，-1），求二次函数关系式. 例2 典例分析 解法一: 设所求二次函数关系式为：y = ax2+bx+c. 又抛物线过点（1，0），（3，0），（2，-1），依题意得: a + b + c = 0 9a+3b+c = 0 4a + 2b + c=-1 ∴所求的函数关系式为y = x2-4x+3. 解得 典例分析 解法二: ∵点（1，0）和（3，0）是抛物线与x轴的两个交点， ∴设二次函数关系式为：y=a(x-1)(x-3), 又抛物线过点（2，-1）， ∴ -1=a（2-1)（2-3） 解得a=1， ∴ y=(x-1)(x-3) 即所求的函数关系式为y = x2-4x+3. 解法三： ∵点（1，0）和（3，0）关于直线x =2对称,所以(2，-1）是抛物线的顶点坐标， ∴设二次函数关系式为：y = a(x-2)2-1, 又抛物线过点（3,0）, ∴ 0=a(3-2)2-1, 解得a=1, ∴ y = (x-2)2-1, 即所求函数关系式为y = x2-4x+3. 巩固练习 基础巩固题 2.抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是(D 　) A.y＝x2－x－2 B.y＝2 C.y＝1 D.y＝－x2＋x＋2 D 3.过(－1，0)、(3，0)、(1，2)三点的抛物线的顶点坐标是(　A　) A.(1，2) B.（1，） C.(－1，5) D.（2，） A 1.已知抛物线经过点(0，4)，(1，-1)，(2，4)三点，则该抛物线的对称轴是直线( ) A.x=-1 B.x=1 C.x=3 D.x=-3 B 巩固练习 基础巩固题 6.如图所示的抛物线的表达式为 . 4.已知二次函数图象的顶点坐标为(－1，－8)，图象与x轴的一个公共点A的横坐标为－3，则这个函数的表达式为 . y＝2x2＋4x－6 y＝-x2＋x＋2 5.已知二次函数的图象经过(1，0)，（－3，0）和（-2，3），则这个二次函数的表达式为 . y＝-x2-2x+3 7.二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(-1，0)，(3，0)和(0，2)，则当x=2 时，y的值为 . 2 巩固练习 基础巩固题 8.一个二次函数的图象经过 (0, 1)、(2,4)、(3,10)三点，求这个二次函数的表达式. 解： 设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c, 由于这个函数经过点(0, 1)，可得c=1. 又由于其图象经过(2,4)、(3,10)两点，可得 4a+2b+1=4， 9a+3b+1=10， 解这个方程组，得，. ∴所求的二次函数的表达式是. 巩固练习 基础巩固题 9.已知二次函数的图象经过点(0，3)、(－3，0)、(2，－5)，且与x轴交于A、B两点. (1)试确定此二次函数的解析式. (2)判断点P(－2，3)是否在这个二次函数的图象上，如果在，请求出△PAB的面积；如果不在，试说明理由. 解:(1)设此二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c. ∵二次函数的图象经过点(0，3)、(－3，0)、(2，－5)， 则有 解得 ∴y＝－x2－2x＋3. 巩固练习 基础巩固题 (2)∵－(－2)2－2×(－2)＋3＝－4＋4＋3＝3， ∴点P(－2，3)在这个二次函数的图象上， ∵－x2－2x＋3＝0， ∴x1＝－3，x2＝1， ∴与x轴的交点为(－3，0)、(1，0)， ∴S△PAB＝×4×3＝6. 课堂小结 确定二次函数的表达式2 一般式确定二次函数表达式 交点式确定二次函数表达式 一般式：y＝ax2＋bx＋c；（已知抛物线上三点坐标或三对x、y的值，用一般式） 交点式：y＝a(x-x1)(x-x2)． （已知抛物线与x轴交点的横坐标x1，x2，用交点式） 顶点式确定二次函数表达式 顶点式：y＝a(x－h)2＋k；（已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，用顶点式） 作业布置 1.必做题：习题2.7第1-2题。 2.探究性作业：习题2.7第3题。 感谢聆听! $