专题27.4 切线的判定与性质定理（高效培优讲义）数学华东师大版九年级下册

本讲义聚焦切线的判定与性质定理这一核心知识点，系统梳理切线判定的定义法、数量关系法、判定定理，衔接切线性质定理，延伸至切线长定理及三角形内切圆与内心概念，构建连贯的知识支架。 资料通过概念辨析（如切线与切线长）培养抽象能力，分层题型（基础证明到综合应用）发展推理意识，结合图形例题强化模型观念。课中助力分层教学，课后可通过变式题与练习题查漏补缺，提升学习效果。

专题27.4 切线的判定与性质定理 教学目标 1.能判定一条直线是否为一条切线，会过圆上一点作圆的切线.会运用切线的判定定理和性质定理解决问题. 2.经历切线的判定定理及性质定理的探究过程，养成学生既能自主探究，又能合作探究的良好学习习惯. 3.理解掌握切线长的概念和切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心等概念. 4.利用圆的轴对称性帮助探求切线长的特征.结合求证三角形内面积最大的圆的问题， 掌握三角形内切圆和内心的概念. 教学重难点 1.重点：（1）切线的判定定理及性质定理的探究和运用. （2）切线长定理及其应用. 2.难点：（1）切线的判定定理和性质的应用. （2）内切圆、内心的概念及运用. 知识点01 圆的切线的判定定理 ◆1、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. ◆2、几何语言表示：（如右图） ∵OA为☉O的半径，BC⊥OA于A， ∴直线l是☉O的切线 ◆3、判断一条直线是一个圆的切线有三个方法： （1）定义法：（如图1）直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线； （2）数量关系法：（如图2）圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切； （3）判定定理：（如图3）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. ◆4、常见证切线作辅助线的方法： （1）有交点，连半径，证垂直； （2）无交点，作垂直，证相等(证明 d = r ). 知识点02 圆的切线的性质定理 ◆1、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径． ◆2、几何语言表示： ∵直线l是☉O的切线，A是切点， ∴直线l ⊥OA. 知识点03切线长及切线长定理 ◆1、切线长的定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做切线长． 【注意】 ①切线是直线，不能度量． ②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． ◆2、切线长定理: 切线长定理，过圆外一点所画的圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角. ∵ PA、PB 分别切☉O 于 A、B， ∴ PA = PB， ∠OPA = ∠OPB. 切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法. 知识点04三角形的内切圆 ◆1、三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆. 【注意】一个圆可以有无数个外切三角形，但是一个三角形只有一个内切圆. ◆2、三角形的内心:三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.这个三角形叫做这个圆的外切三角形. ◆3、三角形内心的性质：三角形的内心就是三角形三条角平分线的交点.三角形的内心到三角形的三边的距离相等. 如图，☉I 是△ABC 的内切圆，点 I 是△ABC 的内心，△ABC 是☉I 的外切三角形. ◆4、三角形外心、内心的区别： 名称 确定方法 图形 性质 外心：三角形外接圆的圆心 三角形三边中垂线的交点 1、外心到三顶点的距离相等； 2、外心不一定在三角形的内部． 内心：三角形内切圆的圆心 三角形三条角平分线的交点 1、内心到三边的距离相等； 2、内心在三角形内部． 题型01 切线的判定的证明---连半径证垂直 【典例1】（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，已知为的直径，点为圆上一点，垂直于过点的直线，交于点E，垂足为点，平分．求证：是的切线． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理等知识，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 连接，根据角平分线的定义有，根据圆周角定理有，可得，进而有，进而可得，则有半径，问题得证． 【详解】解：连接，如图， ∵平分， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是半径 ∴是的切线； 【变式1-1】（23-24九年级上·山东临沂·月考）如图：等腰，以腰为直径作交底边于P，，垂足为E．求证：是的切线． 【答案】见详解 【分析】连接，推出，根据等腰三角形性质求出，根据三角形中位线定理求出，推出，根据切线的判定推出即可． 【详解】证明：连接， ∵是的直径， ， ， ， ， 为的中位线， ， ， ， 是半径， ∴是的切线． 【点睛】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的性质、三角形的中位线定理、切线的判定、圆周角定理等知识点的运用，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键，注意证切线的方法：知道过圆上一点，连接圆心和该点证垂直． 【变式1-2】如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，AC是对角线．点E在BC的延长线上，且∠CED＝∠BAC．判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由． 【分析】先根据圆周角定理证明BD是⊙O的直径，得∠BCD＝90°，再由三角形外角的性质和圆周角定理可得∠BDE＝90°，可得DE是⊙O的切线． 【详解】解：相切． 理由是：连接BD，如图， ∵四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°， ∴BD是⊙O的直径，即点O在BD上． ∴∠BCD＝90°． ∴∠CED+∠CDE＝90°． ∵∠CED＝∠BAC． 又∵∠BAC＝∠BDC， ∴∠BDC+∠CDE＝90°，即∠BDE＝90°． ∴DE⊥OD于点D． ∴DE是⊙O的切线． 【点睛】此题主要考查了直线与圆的位置关系，圆周角定理，垂径定理，切线的判定，熟练掌握切线的判定定理是解本题的关键． 【变式1-3】（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，为的直径，点C和点D是上的两点，连接，，交的延长线于点E．求证：是的切线； 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理等知识，熟练掌握切线的判定，全等三角形的判定和性质，圆周角定理等知识是解题的关键．连接，证得，可得，从而得到，进而得到利用切线的判定定理即可求证； 【详解】证明：连接，如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． 题型02 切线的判定的证明---作垂直证半径 【典例2】如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D．求证：AC是⊙O的切线． 【分析】过点O作OE⊥AC于点E，连接OD，OA，根据切线的性质得出AB⊥OD，根据等腰三角形三线合一的性质得出AO是∠BAC的平分线，根据角平分线的性质得出OE＝OD，从而证得结论． 【详解】证明：过点O作OE⊥AC于点E，连接OD，OA， ∵AB与⊙O相切于点D， ∴AB⊥OD， ∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点， ∴AO是∠BAC的平分线， ∴OE＝OD，即OE是⊙O的半径， ∵圆心到直线的距离等于半径， ∴AC是⊙O的切线． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 【变式2-1】 如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M．求证：CD与⊙O相切． 【分析】利用正方形的性质得出AC平分角∠BCD，再利用角平分线的性质得出OM＝ON，即可得出答案． 【详解】证明：如图所示，连接OM，过点O作ON⊥CD于点N， ∵⊙O与BC相切于点M， ∴OM⊥BC， 又∵ON⊥CD，O为正方形ABCD对角线AC上一点， ∴OM＝ON， ∴ON为⊙O的半径， ∴CD与⊙O相切． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质以及角平分线的性质，得出OM＝ON是解题关键． 【变式2-2】（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，中，，为的角平分线，以点O为圆心，为半径作与线段交于点D．求证：为的切线； 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行的判定和性质，角平分线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．过O作于H，根据角平分线的性质得到，根据切线的判定定理即可得到结论 【详解】证明：过O作于H， ∵， ∴， ∵为的角平分线，， ∴， 即为的半径， ∵， ∴为的切线； 【变式2-3】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE＝DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，AB＝5，EB＝3． （1）求证：AC是⊙D的切线； （2）求线段AC的长． 【分析】（1）过点D作DF⊥AC于F，求出BD＝DF等于半径，得出AC是⊙D的切线． （2）先证明△BDE≌△DCF（HL），根据全等三角形对应边相等及切线的性质的AB＝AF，得出AB+EB＝AC． 【详解】证明：（1）过点D作DF⊥AC于F； ∵AB为⊙D的切线， ∴∠B＝90° ∴AB⊥BC ∵AD平分∠BAC，DF⊥AC ∴BD＝DF ∴AC与⊙D相切； （2）在△BDE和△DCF中； ∵BD＝DF，DE＝DC， ∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL）， ∴EB＝FC． ∵AB＝AF， ∴AB+EB＝AF+FC， 即AB+EB＝AC， ∴AC＝5+3＝8． 【点睛】本题考查的是切线的判定、角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质；熟练掌握切线的判定方法，证明三角形全等得出EB=FC是解决问题（2）的关键． 题型03 切线判定的多结论问题 【典例3】（23-24九年级上·河北衡水·月考）如图，是的直径，C是上一点，D是外一点，过点A作，垂足为E，连接．若使切于点C，添加的下列条件中，不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的切线的判定、平行线的判定与性质，逐项判定即可得到答案． 【详解】解：A、∵， ∴， 当时，则，即， ∴切于点C，该选项正确，不符合题意； B、∵， ∴，则， ∵， ∴， 当时，则，即， ∴切于点C，该选项正确，不符合题意； C、当时，， ∵， ∴， ∴，即， ∴切于点C，该选项正确，不符合题意； D、当时，由得到， ∴是等腰三角形，无法确定， ∴不能得到切于点C，该选项不正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查切线的判定，平行线的判定与性质，熟记圆的切线的判定是解决问题的关键． 【变式3-1】如图所示，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC于E，连接AD，则下列结论：①AD⊥BC；②∠EDA＝∠B；③OAAC；④DE是⊙O的切线，正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】由直径所对的圆周角是直角，即可判断出选项①正确；由O为AB中点，得到AO为AB的一半，故AO为AC的一半，选项③正确；由OD为三角形ABC的中位线，根据三角形的中位线定理得到OD与AC平行，由AC与DE垂直得到OD与DE垂直，即∠ODE为90°，故DE为圆O的切线，选项④正确． 【详解】解：∵AB是⊙O直径， ∴∠ADB＝90°， ∴AD⊥BC，选项①正确； 连接OD，如图， ∵D为BC中点，O为AB中点， ∴DO为△ABC的中位线， ∴OD∥AC， 又DE⊥AC，∴∠DEA＝90°， ∴∠ODE＝90°， ∴DE为圆O的切线，选项④正确； 又OB＝OD， ∴∠ODB＝∠B， ∵AB为圆O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵∠EDA+∠ADO＝90°，∠BDO+∠ADO＝90°， ∴∠EDA＝∠BDO， ∴∠EDA＝∠B，选项②正确； 由D为BC中点，且AD⊥BC， ∴AD垂直平分BC， ∴AC＝AB，又OAAB， ∴OAAC，选项③正确； 则正确结论的个数为4个． 故选：D． 【点睛】此题考查了切线的判定，及三角形的中位线定理．证明切线时连接OD是解这类题经常连接的辅助线． 【变式3-2】如图，矩形ABCD中，G是BC的中点，过A、D、G三点的圆O与边AB、CD分别交于点E、点F，给出下列说法：（1）AC与BD的交点是圆O的圆心；（2）AF与DE的交点是圆O的圆心；（3）BC与圆O相切，其中正确说法的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C． 【分析】连接DG、AG，作GH⊥AD于H，连接OD，如图，先确定AG＝DG，则GH垂直平分AD，则可判断点O在HG上，再根据HG⊥BC可判定BC与圆O相切；接着利用OG＝OD可判断圆心O不是AC与BD的交点；然后根据四边形AEFD为⊙O的内接矩形可判断AF与DE的交点是圆O的圆心． 【详解】解：连接DG、AG，作GH⊥AD于H，连接OD，如图， ∵G是BC的中点， ∴AG＝DG， ∴GH垂直平分AD， ∴点O在HG上， ∵AD∥BC， ∴HG⊥BC， ∴BC与圆O相切； ∵OG＝OD， ∴点O不是HG的中点， ∴圆心O不是AC与BD的交点； ∵∠ADF＝∠DAE＝90°， ∴∠AEF＝90°， ∴四边形AEFD为⊙O的内接矩形， ∴AF与DE的交点是圆O的圆心； ∴（1）错误，（2）（3）正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了矩形的性质和三角形外心． 【变式3-3】（25-26九年级上·吉林·期中）如图，为的直径，点是的中点，交于点，是的切线，与的延长线交于点，，，下列结论：①；②；③；④的长为．其中正确的是 ． 【答案】①②③ 【分析】依次对每个结论进行分析，利用圆周角定理、相似三角形的判定、三角函数的定义、弧长公式等知识进行判断． 【详解】解：∵点是的中点， ∴， ∴． 又∵， ∴，结论①正确． 由，得，即， ∴． ∵是直径， ∴， ∴在中，， ∴，结论②正确． 连接交于点， ∵， ∴的半径， ∴， ∴是等边三角形，． ∵点是的中点， ∴，， ∴ ∴， ∴ ∴，故③正确． 由③知， ∴的长为．故④错误． 故答案为：①②③． 【点睛】本题主要考查了圆的相关性质、相似三角形的判定与性质、三角函数以及弧长公式，熟练掌握这些知识并能综合运用是解题的关键． 题型04 利用切线的性质求角度 【典例4】（25-26九年级上·福建莆田·月考）切线的性质定理告诉我们，圆的切线垂直于过切点的半径．如图，已知，以为直径的交于点，与相切于点，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆周角定理、切线的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握这些知识点是解题的关键．先利用圆周角定理求出，再根据切线性质得出，最后结合三角形内角和求解． 【详解】解：∵ ∴ ∵ 以为直径的与相切于点 ∴ ∴ 故选：． 【变式4-1】（25-26九年级上·河北邯郸·期中）如图，切于点C，交于点P，且为的直径，点Q是上异于点B、P的一点．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，连接，根据直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，以及同角的余角相等，进行求解即可． 【详解】解：如图，连接． ∵切于点C，交于点P，且为的直径， ∴， ， ， ， 故选：B． 【变式4-2】（25-26九年级上·河南商丘·期中）如图，是的切线，切点为A，的延长线交于点B，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质和圆周角的性质．连接，如图，根据切线的性质得，求得，根据圆周角的性质求得，进一步计算即可求出的度数． 【详解】解：连接，如图， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式4-3】（2025·安徽宣城·一模）如图，正五边形的两条边，与相切，切点为点，，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的内角定理、切线的定义、三角形外角的性质，首先根据多边形的内角定理求出正五边形每个内角的度数为，根据切线的定义可知，从而可得，再根据三角形外角的性质求出的度数． 【详解】解：如下图所示，连接并延长到点， 五边形是正五边形， ， 又、是的切线， ， ， ，， ． 故选：D． 题型05 利用切线的性质求线段长 【典例5】如图，BC与⊙O相切于点C，线段BO交⊙O于点A，过点A作⊙O的切线交BC于点D．若CD＝3，AB＝4，则⊙O的半径等于（　　） ​ A．4 B．5 C．6 D．12 【答案】C． 【分析】根据切线的性质得到AD＝CD＝3，∠BCO＝∠BAD＝90°，根据勾股定理得到BD5，求得BC＝8，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵DA，CD是⊙O的切线， ∴AD＝CD＝3，∠BCO＝∠BAD＝90°， ∵AB＝4， ∴BD5， ∴BC＝8， ∵OC2+BC2＝OB2， ∴OA2+82＝（OA+4）2， 解得OA＝6， ∴⊙O的半径等于6， 故选：C． 【点睛】本题考查的是切线的性质、切线长定理、勾股定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 【变式5-1】（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，是的切线，B为切点，，，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了圆的性质及勾股定理，连接，根据题意可得，由已知条件利用勾股定理求得的长度，再由已知半径长可求得的长度． 【详解】解：如图，连接， ∵是的切线，B为切点， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴在中，由勾股定理得，， ∴． 故答案为：． 【变式5-2】（2025九年级·全国·专题练习）如图，是的切线，是切点，连接，．若，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质、勾股定理，熟练掌握切线的性质是解题关键． 连接，根据切线的性质得到，再判断为等腰直角三角形，从而得到，最后利用勾股定理求的长即可． 【详解】解：连接，如图， ∵是的切线，是切点， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在中，． 故答案为：． 【变式5-3】如图，AB是⊙O的切线，A为切点，AC是⊙O的弦，过O作OH⊥AC于点H．若OH＝3，AB＝12，BO＝13，求：⊙O的半径和AC的长． 【分析】利用切线的性质得∠OAB＝90°，则根据勾股定理可计算出OA＝5，再根据垂径定理得到AH＝CH，接着利用勾股定理计算出AH，从而得到AC的长． 【详解】解：∵AB为切线， ∴OA⊥AB， ∴∠OAB＝90°， 在Rt△OAB中，OA5， ∵OH⊥AC， ∴AH＝CH， 在Rt△OAH中，AH4， ∴AC＝2AH＝8， 答：⊙O的半径为5，AC的长为8． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理． 题型06 切线的判定与性质的综合 【典例6】（25-26九年级上·河南三门峡·期中）如图，为圆O的直径，点F 在圆O上，，点P 在的延长线上，与圆O相切于点C，与的延长线相交于点D，与相交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，切线的性质，勾股定理等知识，灵活运用以上知识是解题的关键． （1）由切线的性质得，再证，，进而可得，即可证明结论； （2）设，则可求，，，，在中，利用勾股定理得出，求出x的值，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， 与半圆相切于点， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ∴； （2）解：设，则， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得，（舍去） ∴． 【变式6-1】如图，在中，，以为直径的交于点D，点E为的中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)15 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边中线定理和含直角三角形的性质，勾股定理，圆的切线的判定和性质，熟练掌握圆的切线的判定定理是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理得出，根据直角三角形性质得出，求出，得出，根据切线的判定得出即可； （2）由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求出，在中，根据勾股定理求出，在中，根据勾股定理即可求出． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵为的直径， ∵为的斜边上的中线， ∵是的半径， ∴为的切线； （2）解：∵为的斜边上的中线， ． 【变式6-2】（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，为半圆O的直径，C为圆弧上一点，过点C的直线与的延长线交于点E，于点D，平分． (1)求证：是半圆O的切线； (2)若，B为的中点，，垂足为点F，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆的切线的性质，平行线的判定与性质，勾股定理解三角形．熟练掌握证明切线的方法并使用面积相等法是解决本题的关键． （1）根据平行线的判定可得，再根据垂直即可证明； （2）先根据边长结合勾股定理可求解的长度，再由面积相等法即可求解． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是半圆O的半径， ∴是半圆O的切线． （2）解：∵，， ∴，， ∵在中，，. ∴， ， 即， 解得． 【变式6-3】（2025·湖南邵阳·三模）如图，A，B，C，D是上的四点，是直径，，过点B作交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】连接并延长交于点H，利用垂径定理求得垂直平分，证明四边形为矩形，据此即可证明是的切线； 在中，通过勾股定理求得，设的半径为r，在中，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接并延长交于点H，连接， ， ， ， 垂直平分， ， 为的直径， ， ， ， 四边形为矩形， ， 为的半径， 为的切线； （2）在中， ，， ， 四边形为矩形， ，， 设的半径为r， 则，， 在中，， 解得 即的半径为 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 题型07 切线长定理的运用 【典例7】（25-26九年级上·江苏徐州·月考）如图，是的直径，是的两条切线，B、C是切点，若，，则的长度为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了切线长定理，切线的性质，等边三角形的性质和判定，连接，证明是等边三角形，得到，由圆周角定理和切线的性质证得，进而证得，即可求出答案． 【详解】解：连接， ∵是的两条切线， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 【变式7-1】（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，，，分别与相切于，，三点，，，则的长为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【分析】本题主要考查了切线长定理，根据切线长定理可求出的长，进而可求出的长． 【详解】解：∵，，分别与相切于，，三点， ∴， ∴， 故选：B． 【变式7-2】（25-26九年级上·江苏南京·月考）如图，在矩形中，，，、、分别与相切于、、三点，过点作的切线交于点，切点为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查切线的性质，矩形的性质，勾股定理. 连接，，，，证明四边形，是正方形，结合切线的性质和矩形的性质，得到 ，结合勾股定理求出，即可得到的长. 【详解】解：连接，，，，如图所示， 在矩形中， ∵，， ∵，，分别与相切于，，三点， ∴， ∴四边形，是正方形， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴，， ∴ 在中，， ∴， ∴， ∴. 故选：D． 【变式7-3】（25-26九年级上·北京·期中）如图，，分别与相切于，两点，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】连接，根据切线的性质得到，根据含角的直角三角形的性质求出，根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：如图，连接， ∵，分别与相切于，两点，若，， ∴，，， ∴平分， ∴， ∴， ∴， 即的长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查切线的性质，角平分线的性质，角的直角三角形的性质，勾股定理等知识点．解题的关键是掌握：圆的切线垂直于经过切点的半径． 【变式7-4】（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）已知：如图，是的切线，B，C是切点，过上的任意一点P作的切线与分别交于点D，E． (1)连接和，若，则_______； (2)已知，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了切线长定理，切线的性质，全等三角形的性质与判定，熟知切线的性质和切线长定理是解题的关键． （1）由切线的性质得到，则由四边形内角和定理可求出的度数，证明，可推出； （2）由切线长定理得到，再根据三角形周长计算公式和线段的和差关系求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵都是的切线， ∴， ∵， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵都是的切线， ∴， ∴的周长 ． 题型08 三角形内切圆求角度 【典例7】（25-26九年级上·福建福州·期中）如图点为的外心，点为的内心，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了外心和内心的概念，圆周角定理，三角形内角和定理．由点为的外心，，则，故有，然后通过角平分线定义和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵点为的外心，， ∴， ∴， ∵点为的内心， ∴， ∴， 故选：D． 【变式8-1】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，内接于，是的直径，，点是的内心，的延长线交于点，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内心，圆周角定理，直角三角形的性质，由三角形内心的定义可得，由圆周角定理得，即可得，进而可得，再根据圆周角定理即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵点是的内心， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【变式8-2】（2025·浙江杭州·二模）如图，是的内切圆，分别切，，于点D，E，F，，P是上一点，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题重点考查三角形的内切圆与内心、切线的性质、圆周角定理等知识，连接、，由切线的性质得，而，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接、， ∵与、分别相切于点D，E， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【变式8-3】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，点是外接圆的圆心，点I是的内心，连接，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内心和外心的概念、圆周角定理、等腰三角形的定义、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 连接，由点是的内心可得平分，根据角平分线的定义可得，根据圆周角定理可得，根据等腰三角形的定义及三角形内角和定理进行计算即可得到答案． 【详解】如图，连接， ∵点是的内心， ∴平分， ∵， ∴， ∵点是外接圆的圆心， ∴ ， ∵， ∴ ， 故选：C． 题型09三角形内切圆求线段长 【典例9】如图，⊙O与△ABC的边AB、AC、BC分别相切于点D、E、F，如果AB＝4，AC＝5，AD＝1，那么BC的长为　 　． 【答案】7． 【分析】由切线长定理得AD＝AE，BD＝BF，CE＝CF，根据已知条件，先求出BD，即BF的长，再求出CE＝4，即CF的长，求和即可． 【详解】解：∵AB、AC、BC都是⊙O的切线， ∴AD＝AE，BD＝BF，CE＝CF， ∵AB＝4，AC＝5，AD＝1， ∴AE＝1，BD＝3，CE＝CF＝4， ∴BC＝BF+CF＝3+4＝7． 【点睛】本题考查的是切线长定理，分析图形时关键是要仔细探索，找出图形的各对相等切线长． 【变式9-1】如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，．求，，的长． 【答案】，， 【分析】本题考查切线长定理． 设，则根据切线长定理，等量代换，可得，，结合已知列方程求解即可． 【详解】解：的内切圆与，，分别相切于点D，E，F， ∴，，， 设，则， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴，，， ∴，，． 【变式9-2】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，． (1)求的长． (2)已知，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是三角形内切圆的有关问题以及切线长定理的应用，根据切线长定理列出方程是解题的关键． （1）由切线长定理可知：，，，设，则，，根据，列方程求解即可； （2）先计算三角形的半周长s，再利用，代入三角形面积与半周长即可求出内切圆半径，即可求解出的长． 【详解】（1）解：∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F， ，，， 设， 则，， 根据题意得： 解得： ，，， 则的长为； （2）解：，，， ∴半周长， 又 ， ， ， 则的长为． 题型10 三角形内切圆求半径 【典例10】如图，⊙O是△ABC的内切圆，若△ABC的周长为18，面积为9，则⊙O的半径是（　　） A．1 B． C．1.5 D．2 【答案】A． 【分析】作辅助线如解析图，根据S△ABC＝S△ABO+S△ACO+S△BOC，代入数据求解即可． 【详解】解：如图，设⊙O与△ABC的各边分别相切于点E、F、G，连接OE，OF，OG，OA，OB，OC，设⊙O的半径为r， 则OE⊥AB，OF⊥AC，OG⊥BC，OE＝OF＝OG＝r， ∵S△ABC＝S△ABO+S△ACO+S△BOC， AB•rAC•rBC•r， （AB+AC+BC）•r， 又△ABC的周长为18，面积为9， ∴918•r， ∴r＝1， 故选：A． 【点睛】本题考查了利用三角形的面积求三角形的内切圆半径，掌握求解的方法是解题的关键． 【变式10-1】已知一个三角形的三边长分别为5、5、6，则其内切圆的半径为（　　） A．3 B．5 C． D． 【答案】C． 【分析】根据等腰三角形的性质可得BD＝CD＝3，根据切线长定理和勾股定理可得CE＝3，进而可求内切圆的半径． 【详解】解：如图， 根据题意，得 AB＝AC＝5，BC＝6， 设圆O是等腰三角形ABC的内切圆，BC切圆于点D，AC切圆于点E， 连接AD，OE， ∴AD⊥BC，OE⊥AC， ∴BD＝CDBC＝3， ∴AD4， 根据切线长定理可知： CE＝CD＝3， ∴AE＝AC﹣CE＝2， 设OD＝OE＝x，则AO＝4﹣x， 在Rt△AOE中，根据勾股定理，得 （4﹣x）2＝x2+22， 解得x． ∴内切圆O的半径为． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，解决本题的关键是掌握三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 【变式10-2】如图所示，⊙O是等边三角形ABC的内切圆，若AB＝4，则⊙O的半径是（　　） A． B．1 C． D．2 【答案】C． 【分析】由切线的性质得到OM⊥BC，ON⊥AB，又OM＝ON，推出OB平分∠ABC，同理：OC平分∠ACB，由等边三角形的性质推出△OBC是等腰三角形，由等腰三角形的性质求出BM的长，由锐角的正切即可求出OM的长． 【详解】解：如图，⊙O分别与AB、BC相切于N、M， 连接OB，OC，OM，ON， ∴OM⊥BC，ON⊥AB， ∵OM＝ON， ∴OB平分∠ABC， 同理：OC平分∠ACB， ∴∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB， ∵△ABC是等边三角形， ∴BC＝AB＝4，∠ABC＝∠ACB＝60°， ∴∠OBC＝∠OCB＝30°， ∴OB＝OC， ∵OM⊥BC， ∴BMBC＝2， ∵tan∠OBM， ∴OM， ∴⊙O的半径是． 故选：C． 【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心，等边三角形的性质，角平分线的判定，解直角三角形，关键是由切线的性质，角平分线性质定理的逆定理推出OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，得到△OBC是等腰三角形． 题型11 三角形内切圆求面积 【典例11】等边三角形的边长为4，则它的内切圆面积等于（　　） A．4π B． C． D． 【分析】根据题意画出等边三角形ABC与内切圆O．首先根据三角形面积计算公式求出S△ABC，再观察发现三角形ABC的内切圆半径，恰好是三角形ABC内三个三角形的高，因而可以通过面积S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC来计算半径，根据面积公式计算即可． 【解答】解：设⊙O与△ABC相切于D，E，F，连接CD， ∵三角形ABC是等边三角形， ∴CD过点O，CD⊥AB， ∴CDAB＝2， ∴S△ABCAB•CD＝4， 设内切圆半径为r， ∴S△ABC（AB+BC+AC）r＝4， ∴r， ∴内切圆面积＝π×（）2π． 故选：B． 【点评】本题考查了三角形的内切圆和内心，等边三角形的性质，三角形的面积，正确的画出图形是解题的关键． 【变式11-1】如图，在四边形ABCD中，AB＝CB，AD＝CD．若∠ABD＝∠ACD＝30°，AD＝1，则△ABC的内切圆面积　 （结果保留π）． 【分析】根据AB＝CB，AD＝CD，得出BD为AC的垂直平分线；利用等腰三角形的三线合一可得∠ABC＝60°，进而得出△ABC为等边三角形；利用∠ACD＝30°，得出△BCD为直角三角形，解直角三角形，求得等边三角形ABC的边长，再利用内心的性质求出圆的半径，圆的面积可求． 【解答】解：如图，设AC与BD交于点F，△ABC的内心为O，连接OA． ∵AB＝CB，AD＝CD， ∴BD是线段AC的垂直平分线． ∴AC⊥BD，AF＝FC． ∵AB＝BC，BF⊥AC， ∴∠ABF＝∠CBF＝30°． ∴∠ABC＝60°． ∴△ABC为等边三角形． ∴∠BAC＝∠ACB＝60°． ∵∠ACD＝30°， ∴∠BCD＝∠ACD+∠ACB＝30°+60°＝90°． ∵CD＝AD＝1， ∴BC． ∴AB＝BC＝AC． ∵AB＝BC，BF⊥AC， ∴AFAC． ∵O为，△ABC的内心， ∴∠OAF∠BAC＝30°． ∴OF＝． ∴△ABC的内切圆面积为π•． 故答案为． 【点评】本题主要考查了三角形的内切圆及内心的性质，利用内心为三个内角平分线的交点得出角平分线是解题的关键． 【变式11-2】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，点为的内心，，，，则的面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，直角三角形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握三角形的内心定义． 过点作的延长线于点，根据点为的内心，，可得，所以，利用含角的直角三角形可得的长，进而可得的面积． 【详解】解：如图，过点作的延长线于点， 点为的内心， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 题型12 直角三角形周长、面积与内切圆的关系 【典例12】（2024·湖南·模拟预测）如图，已知是的内切圆，，与的切点分别为 D，E，F，若，，则的半径为（   ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】B 【分析】连接，，由，，，求得，由与，，的切点分别为，，，得，，，由，求得，则，再证明四边形是正方形，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接，， ，，， ， 与的切点分别为 D，E，F， ，，，，， ， ， ， ，， 四边形是正方形， ， 的半径长为2， 故选：B． 【点睛】此题重点考查三角形的内切圆与内心、切线长定理、勾股定理、正方形的判定与性质等知识，求得，并且证明四边形是正方形是解题的关键． 【变式12-1】（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，在中，，的内切圆的半径为2，三个切点分别为，若，则的面积是（   ） A．14 B．24 C．28 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形内切圆与切线长定理的应用，根据题意利用切线的性质以及正方形的判定方法得出四边形是正方形，进而利用勾股定理即可得出答案． 【详解】解：连接，， 是的内切圆，切点分别为，，， ，，，， 又， 四边形是矩形， 又， 矩形是正方形， ， 设，则，， 在中 ， 解得：，， ，，或，， ． 故选：B． 【变式12-2】（24-25八年级下·北京·期末）如图，是的内切圆，切点分别为D，E，F．若，，则的周长为 ． 【答案】32 【分析】本题考查了切线长定理，掌握切线长定理是解题的关键．由切线长定理得，，，即可求解． 【详解】解： 是的内切圆，切点分别为，，， ∴，，， ∴ ． 故答案为：32． 【变式12-3】（23-24九年级上·天津南开·期末）如图，已知是的内切圆，切点分别为D，E，F，若，，且的面积为6，则内切圆的半径r为 ． 【答案】1 【分析】此题主要考查了切线长定理以及直角三角形内切圆半径求法，根据切线长定理得出是直角三角形是解题关键．根据切线长定理得出，进而得出是直角三角形，再利用直角三角形内切圆半径求法得出内切圆半径即可． 【详解】解：∵是的内切圆，切点为D、E、F， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴是直角三角形， ∴内切圆的半径， 故答案为：1． 题型13 三角形内切圆求最值 【典例13】如图是一块△ABC余料，已知AB＝20cm，BC＝7cm，AC＝15cm，现将余料裁剪成一个圆形材料，则该圆的最大面积是　 　． 【答案】4πcm2． 【分析】当该圆为三角形内切圆时面积最大，设内切圆半径为r，则该三角形面积可表示为：r（AB+AC+BC）＝21r，利用三角形的面积公式可表示为•BC•AD，利用勾股定理可得AD，易得三角形ABC的面积，可得r，求得圆的面积． 【详解】解：如图1所示， S△ABC•r•（AB+BC+AC）r×42＝21r， 过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，如图2， 设CD＝x， 由勾股定理得：在Rt△ABD中， AD2＝AB2﹣BD2＝400﹣（7+x）2， 在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣x2＝225﹣x2， ∴400﹣（7+x）2＝225﹣x2， 解得：x＝9， ∴AD＝12， ∴S△ABCBC×AD7×12＝42， ∴21r＝42， ∴r＝2， 该圆的最大面积为：S＝πr2＝π•22＝4π（cm2）， 故答案为：4πcm2． 【点睛】本题主要考查了三角形的内切圆的相关知识及勾股定理的运用，运用三角形内切圆的半径表示三角形的面积是解答此题的关键． 【变式13-1】如图，在平面直角坐标系中，已知点A（，0），点B在第一象限，且AB与直线l：y＝x平行，AB长为4，若点P是直线l上的动点，则△PAB的内切圆面积的最大值为 　 　． 【答案】π． 【分析】根据AB＝4以及直线l和点A的位置，求出△ABP的面积，利用三角形与内切圆关系是：r＝（2×三角形面积）÷三角形周长（a+b+4），再根据a+b＞4找r的最大值后求得最大面积即可． 【详解】解：作点A关于直线l的对称点A′，连接AA′交直线l于点C， 由直线y＝x中k＝1可知∠COA＝45°， 在Rt△AOC中，OC＝AC＝OA， 则AA′＝2AC＝3， ∵AB∥直线l， ∴∠BAD＝45°， ∴∠BAA′＝90°， 连接A′B交直线l于点P，连接PA， 则此时△PAB的周长最小，S△PAB43， 在Rt△AA′B中，A′B5， ∴△PAB周长的最小值为4+5＝9， 由三角形内切圆的半径r知，三角形的周长最小时，三角形内切圆的半径最大，最大半径r， ∴△PAB的内切圆面积的最大值为π， 故答案为：π． 【点睛】本题考查了两直线相交或平行问题及三角形的内切圆的半径与三边和面积之间的关系，掌握三角形内切圆半径与周长和面积之间的关系是解题的关键． 【变式13-2】（2022秋•鼓楼区校级月考）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，直线l经过△ABC的内心O，过点C作CD⊥l，垂足为D，连接AD，则AD的最小值是 　 　． 【答案】4． 【分析】圆O与Rt△ABC三边的切点分别为E，F，G，连接OE，OF，OG，先根据圆O是Rt△ABC的内切圆，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，求出正方形CEOF的边长为x，根据勾股定理可得OC＝2，连接AQ，过点Q作QP⊥AC于点P，当点D运动到线段QA上时，AD取得最小值，再利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：如图，圆O与Rt△ABC三边的切点分别为E，F，G，连接OE，OF，OG， ∵圆O是Rt△ABC的内切圆，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8， ∴CE＝CF，BE＝BG，AF＝AG，AB10， ∴四边形CEOF是正方形， 设正方形CEOF的边长为x， 则BE＝BG＝6﹣x，AF＝AG＝8﹣x， 根据题意，得 6﹣x+8﹣x＝10， 解得x＝2， ∴OCx＝2， ∵CD⊥l， ∴∠CDO＝90°， ∴点D在以OC为直径的圆Q上，如图， 连接AQ，过点Q作QP⊥AC于点P， 当点D运动到线段QA上时，AD取得最小值， ∴CP＝QP＝1， ∴AP＝AC﹣CP＝8﹣1＝7，圆Q的半径QD， ∴QA5， ∴AD的最小值为AQ﹣QD＝54． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了三角形内切圆与内心，正方形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握三角形内切圆与内心． 【变式13-3】已知一块等腰三角形钢板的底边长为60cm，腰长为50cm． （1）求能从这块钢板上截得的最大圆的半径． （2）用一个圆完全覆盖这块钢板，这个圆的最小半径是多少？ （3）求这个等腰三角形的内心与外心的距离． 【分析】（1）最大圆的半径是三角形内切圆的半径，用等面积法求解即可； （2）圆的最小半径是三角形的外接圆的半径，可以借助等腰三角形的性质和外心的定义，用勾股定理即可求解； （3）等腰三角形的内心与外心的距离可以结合（1）（2）的结论解答即可． 【详解】解：如图，△ABC中，AB＝AC＝50cm，BC＝60cm， 由题意可知： △ABC是锐角三角形， 则外心在三角形的内部． 作AD⊥BC于点D， ∴BD＝DCBC＝30cm， ∴AD40（cm）． 设△ABC的内心为I，半径为r， 外心为O，半径为R， 则点I、O都在AD上， 作IE⊥AB于点E， 则IE＝ID＝r， 连接IB、OB， 则OB＝OA＝R． （1）∵S△ABD＝S△ABI+S△BDI ∴BD•ADAB•IEBD•ID 即30×4050×r30×r 解得r＝15cm． 答：能从这块钢板上截得的最大圆的半径为15cm； （2）在Rt△OBD中，OB＝R，BD＝30 OD＝AD﹣AO＝40﹣R， 根据勾股定理，得 R2＝（40﹣R）2+302 解得R（cm）． 答：用一个圆完全覆盖这块钢板，这个圆的最小半径是cm； （3）∵ID＝r＝15cm， OD＝40﹣R＝40（cm）， ∴IO＝ID﹣OD（cm）． 答：这个等腰三角形的内心与外心的距离为cm． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心、等腰三角形的性质、勾股定理、三角形的外接圆与外心，解决本题的关键是区分内心和外心． 题型14 三角形内切圆的综合应用 【典例14】（25-26九年级上·江苏镇江·期中）如图，是四边形的外接圆，是的直径，平分． (1)若，求的度数； (2)若点是弦上一点，且点E是的内心，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查圆周角定理的推论，三角形内心的定义，三角形外角的性质，等腰三角形的判定． （1）由同弧所对圆周角相等可推出，由直径所对圆周角为直角可得出，即可由求解； （2）由三角形内心的定义得出，由角平分线的定义得出．由同弧所对圆周角相等可推出，再结合三角形外角性质即得出，即． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵是的直径， ∴， ∴； （2）证明：∵平分，点E是的内心， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式14-1】（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·月考）如图，中，，点是的内心．点在边上．以点为圆心．长为半径的圆恰好经过点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若，，延长交于，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）延长交于，利用三角形内心性质，以及等腰三角形性质，证明， ，再根据切线判定定理证明即可； （2）根据等腰三角形性质得到，再利用勾股定理计算求解，即可解题． 【详解】（1）证明：延长交于， 点是的内心． 分别平分， ， 中，， ， ， ， ， ， ， ， 为半径， 是的切线； （2）解：由（1）知， ，，平分， ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形内心性质，等腰三角形性质，切线判定定理，勾股定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 【变式14-2】（23-24九年级上·江苏·期末）已知，如图，为的直径，内接于，，点是的内心，延长交于点，连接． (1)求证：； (2)已知的半径是，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由圆周角定理得出，由内心得出，，，由三角形的外角性质得出，即可得出结论； （2）连接，过点作于，由圆周角定理得出，证出是等腰直角三角形，得出，由，，推出，得到，根据勾股定理可求的长，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵为的直径， ， 点是的内心， ，， ， ，， ， ． （2）解：如图，连接，过点作于， 为的直径，的半径是，， ，是等腰直角三角形， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心、圆周角定理、三角形的外角性质、等腰三角形的判定、等腰直角三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． 【变式13-3】（24-25九年级上·江西上饶·阶段练习）如图，在中，以斜边为直径作外接圆，分别过点，作的切线并相交于点，连接，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)求证：点是的内心． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)见解析 【分析】本题考查了切线的性质，切线长定理，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质以及勾股定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． （1）根据切线的性质结合三角形中位线的判定定理求得是的中位线，据此可得到； （2）连接，证明是等边三角形，求得，再求得，利用直角三角形的性质以及勾股定理求解即可； （3）证明点是和的角平分线的交点即可． 【详解】（1）证明：设和相交于点F， ∵和是的切线， ∴，平分， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴，即； （2）解：连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）证明：连接，， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵和是的切线， ∴，平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， ∵平分， ∴点是的内心． 一、选择题 1．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）下列说法正确的是（   ） A．平分弦的直径垂直于弦 B．同一平面内三点确定一个圆 C．相等的圆周角所对的弧相等 D．任何三角形有且只有一个内切圆 【答案】D 【分析】本题考查圆的基本性质，包括弦与直径的关系、确定圆的条件、圆周角与弧的关系以及三角形内切圆的性质．选项A、B、C均需附加条件才成立，而选项D符合三角形内切圆的唯一性，即可得出答案． 【详解】解：A、平分弦的直径垂直于弦，需弦不是直径才成立，但选项未指定，选项错误； B：三点共线时不能确定圆，B选项错误； C：相等的圆周角所对的弧相等，需在同圆或等圆中才成立，但选项未指定，C选项错误； D：任何三角形的三条角平分线交于一点（内心），该点到三边距离相等，因此有且只有一个内切圆，D选项正确； 故选：D． 2．如图，OA交⊙O于点B，AC切⊙O于点C，D点在⊙O上．若∠D＝25°，则∠A为（　　） A．25° B．40° C．50° D．65° 【答案】B． 【分析】根据切线的性质得到∠OCA＝90°，根据直角三角形的性质求出∠A． 【详解】解：∵∠D＝25°， ∴∠AOC＝2∠D＝2×25°＝50°， ∵AC切⊙O于点C， ∴OC⊥AC ∴∠OCA＝90° ∴∠A＝90°﹣∠AOC＝90°﹣50°＝40°，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形性质，解题的关键是熟练掌握圆心与切点的连线垂直切线． 3．（2024•平房区二模）如图，在⊙O中，∠BAC＝55°，分别过B，C两点作⊙O的切线，两切线相交于点P，则∠BPC的度数（　　） A．55° B．110° C．70° D．140° 【答案】C． 【分析】连接OB、OC，由切线的性质得∠OBP＝∠OCP＝90°，根据圆周角定理得∠BOC＝2∠BAC＝110°，则∠BPC＝360°﹣∠BOC﹣∠OBP﹣∠OCP＝70°，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接OB、OC， ∵PB、PC分别与⊙O相切于点B、C， ∴PB⊥OB，PC⊥OC， ∴∠OBP＝∠OCP＝90°， ∵∠BOC＝2∠BAC＝2×55°＝110°， ∴∠BPC＝360°﹣∠BOC﹣∠OBP﹣∠OCP＝70°， 故选：C． 【点睛】此题重点考查圆周角定理、切线的性质定理、四边形的内角和等于360°等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 4．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）如图，P为外一点，，，分别切于A，B，C三点，且切线分别交，于点M，N．若，则的周长为（   ） A．6 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了应用切线长定理求解，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 利用切线长定理得出，，，再利用三角形周长公式求解即可． 【详解】解：∵P为外一点，，，分别切于A，B，C三点，且切线分别交，于点M，N，， ∴，，， ∴的周长为 ， 故选：C． 5．已知一个三角形的三边长分别为5、5、6，则其内切圆的半径为（　　） A．3 B．5 C． D． 【答案】C． 【分析】根据等腰三角形的性质可得BD＝CD＝3，根据切线长定理和勾股定理可得CE＝3，进而可求内切圆的半径． 【详解】解：如图， 根据题意，得 AB＝AC＝5，BC＝6， 设圆O是等腰三角形ABC的内切圆，BC切圆于点D，AC切圆于点E， 连接AD，OE， ∴AD⊥BC，OE⊥AC， ∴BD＝CDBC＝3， ∴AD4， 根据切线长定理可知： CE＝CD＝3， ∴AE＝AC﹣CE＝2， 设OD＝OE＝x，则AO＝4﹣x， 在Rt△AOE中，根据勾股定理，得 （4﹣x）2＝x2+22， 解得x． ∴内切圆O的半径为． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，解决本题的关键是掌握三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 6．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）已知，分别与相切于A，B两点，点在上，不与点A，B重合．若，则的度数为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查的是切线的性质，圆周角定理的应用，圆的内接四边形的性质，先画图，连接，求解，再根据的位置结合圆周角定理与圆的内接四边形的性质可得答案． 【详解】解：如图，连接 ，分别与相切于两点， ， ， ， ， 的度数为或， 故选：D． 7．（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，与三边分别相切于点，，，且，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了三角形的内切圆与内心、切线的性质、正方形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 连接、、、，由与三边分别相切于点，得，，，，，，，则，推导出，可证明四边形是正方形，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接、、、， ∵与三边分别相切于点，且，，， ∴，，，，，，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 故选：． 8．（24-25九年级上·全国·课后作业）等腰直角三角形和等腰直角三角形中，，，，其中固定，绕点A顺时针旋转一周，在旋转过程中，若直线与直线交点为P，则面积的最小值为（    ）   A． B．4 C． D． 【答案】B 【分析】和都是等腰直角三角形，可证，由全等三角形对应角相等得为底边，则高最小时，三角形面积最小，则当为的切线时，P到的距离最短，求得这个最小点，再得到矩形为正方形，由勾股定理和正方形的边长相等可求得的长，即可求解． 【详解】解：∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴点P在以为直径的圆上， 则当为底边，则高最小时，三角形面积最小，此时最小， ∵绕点A顺时针旋转一周， ∴点D在以点A为圆心，为半径的圆上， ∴当为的切线时，P到的距离最短， ∴， ∴四边形为矩形， ∵， ∴矩形为正方形， ∴， ∴， ∴， ， 此时的面积为 即面积的最小值为4． 故选：B 【点睛】本题主要考查了图形的旋转，圆周角定理，切线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，根据题意得到点P的轨迹是解题的关键． 二、填空题 9．（25-26九年级上·北京·期中）如图，半径为分别切于，连接并延长交延长线于，则线段的长度为 ． 【答案】 【分析】根据切线的性质，特殊角的三角函数解答即可． 本题考查了切线的性质，特殊角的三角函数的应用，熟练掌握性质和三角函数值是解题的关键． 【详解】解：∵半径为分别切于， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·甘肃临夏·阶段练习）小明同学用一把直尺和一个直角三角板（有一个锐角为）测量一张光盘的直径，他把直尺、三角板和光盘按如图的方式放置，点A是角的顶点，B是光盘与直尺的公共点，测得，则此光盘的直径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质，切线长定理，含度角的直角三角形的性质，掌握切线长定理是解题的关键．设光盘的圆心为，直角三角板与光盘的切点为，连接、，可求得，进而利用勾股定理以及含度角的直角三角形的性质，求得的长，即可求得答案． 【详解】解：设光盘的圆心为，直角三角板与光盘的切点为，连接、、；    ∴、是的切线，， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， ∴此光盘的直径为． 故答案为：． 11．（2025·山东泰安·一模）如图，是的切线，连接并延长交于点，点，在上，且．若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，切线的性质，三角形外角性质，圆周角定理等知识，连接，由切线性质可得，又，则，所以，则，根据是的直径，得，然后通过直角三角形性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，的半径为1，点O到直线l的距离为4，点P 是直线l上的一个动点，切于点 Q， 则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查切线的性质及垂线段最短，确定最小时点的位置是解题的关键，由于为切线，故是直角三角形，又为定值，所以当最小时，最小，根据垂线段最短，知时最小，根据勾股定理得出结论即可． 【详解】解：∵切于点 Q， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 当最小时，最小， ∵点O到直线l的距离为4， ∴的最小值为4， ∴的最小值为：， 故答案为：． 13．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，、切于、，是直径，连结、．若，则下列结论中，一定正确的是 ①；②；③；④． 【答案】①②③ 【分析】此题考查了圆周角定理、切线的性质、切线长定理、全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，平行线的判定和性质，30度直角三角形的性质．证明为等边三角形即可得；证明得，进而可得，再由内错角相等得；由30度直角三角形的性质得，进而可得；由得，，进而得，，即可得． 【详解】解：∵、切于、， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴，故①正确； 在和中， ， ∴ ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴，故②正确； 由得， ∴， 又∵， ∴，故③正确； ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，故④错误． ∴一定正确的有①②③． 故答案为：①②③． 3、 解答题 14．（24-25九年级上·全国·期末）如图所示，在梯形中，，为内切圆，E、F为切点． (1)试猜与的位置关系，并说明理由． (2)若，，求的面积． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查的是切线长定理的应用，勾股定理的应用，切线的性质； （1）先证明，再证明，，可得，从而可得结论； （2）先求解，结合切线的性质求解，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵在梯形中，， ∴， ∵为四边形内切圆， ∴，， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，，， ∴， ∵切于， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为：． 15．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，为的内切圆，切点分别为，点分别为上的点，且为的切线．    (1)若，求的度数； (2)若，求的周长． 【答案】(1) (2)11 【分析】本题考查了切线长定理，内切圆的性质，解题的关键是： （1）利用三角形内角和求出，再根据内切圆的性质和切线长定理得出，，再求出，最后利用三角形内角和求出结果； （2）设的切点为，根据内切圆的性质得到，，推出的周长为，再结合切线长定理可得，再计算即可 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵为的内切圆， ∴，， ∴， ∴； （2）∵为的内切圆，为的切线，设切点为， ∴，， ∴的周长为： ∵，，， ∴ ．    16．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）已知：是边长为的等边三角形，点O在边上，过点B且分别与边，相交于点D，E，，垂足为F． (1)求证：直线是的切线； (2)当直线与相切时，求：的半径． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、切线的性质与判定、切线长定理及含30度直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质、切线的性质与判定、切线长定理及含30度直角三角形的性质是解题的关键； （1）连接，由题意易得，然后可得，进而可知，则问题可求证； （2）由切线长定理可得，则可知，然后可得，进而根据含30度直角三角形的性质可进行求解． 【详解】（1）证明：连接，如图所示， ∵是边长为的等边三角形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴直线是的切线； （2）解：连接，如图所示， ∵直线、都与相切， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 即的半径为． 17．（2025·江苏南京·一模）如图，点E是的内心，的延长线与的外接圆相交于点D，与相交于点F．    (1)求证； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查了三角形的内心定义、同弧所对圆周角相等、相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是正确理解三角形的内心定义． （1）连接，证明，根据等角对等边可得结论； （2）证明，根据相似三角形对应边成比例可得，，根据可得结论． 【详解】（1）证明：连接．    ∵点E是的内心， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴， ∴，， 又， ∴． 18．在中，为的直径，为过C点的切线． (1)如图①，以点为圆心，为半径作圆弧交于点，连结，若，求的大小； (2)如图②，过点作的切线交于点，求证：； (3)如图③，在（1）（2）的条件下，若，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查圆周角定理，切线性质，三角函数的定义； （1）由三角形内角和角的计算问题； （2）连接，则，根据切线长定理得到，则，得到，即可求解； （3）根据，设，，则，再依据，求出，，再求出，即可计算，，最后求值即可． 【详解】（1）由题意知，， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）连接， ∵为的直径， ∴， ∵为过C点的切线，过点作的切线交于点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）连接， 由（1）（2）可得，，， ∴， ∴设，，则， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ， ∴． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题27.4 切线的判定与性质定理 教学目标 1.能判定一条直线是否为一条切线，会过圆上一点作圆的切线.会运用切线的判定定理和性质定理解决问题. 2.经历切线的判定定理及性质定理的探究过程，养成学生既能自主探究，又能合作探究的良好学习习惯. 3.理解掌握切线长的概念和切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心等概念. 4.利用圆的轴对称性帮助探求切线长的特征.结合求证三角形内面积最大的圆的问题， 掌握三角形内切圆和内心的概念. 教学重难点 1.重点：（1）切线的判定定理及性质定理的探究和运用. （2）切线长定理及其应用. 2.难点：（1）切线的判定定理和性质的应用. （2）内切圆、内心的概念及运用. 知识点01 圆的切线的判定定理 ◆1、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. ◆2、几何语言表示：（如右图） ∵OA为☉O的半径，BC⊥OA于A， ∴直线l是☉O的切线 ◆3、判断一条直线是一个圆的切线有三个方法： （1）定义法：（如图1）直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线； （2）数量关系法：（如图2）圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切； （3）判定定理：（如图3）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. ◆4、常见证切线作辅助线的方法： （1）有交点，连半径，证垂直； （2）无交点，作垂直，证相等(证明 d = r ). 知识点02 圆的切线的性质定理 ◆1、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径． ◆2、几何语言表示： ∵直线l是☉O的切线，A是切点， ∴直线l ⊥OA. 知识点03切线长及切线长定理 ◆1、切线长的定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做切线长． 【注意】 ①切线是直线，不能度量． ②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． ◆2、切线长定理: 切线长定理，过圆外一点所画的圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角. ∵ PA、PB 分别切☉O 于 A、B， ∴ PA = PB， ∠OPA = ∠OPB. 切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法. 知识点04三角形的内切圆 ◆1、三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆. 【注意】一个圆可以有无数个外切三角形，但是一个三角形只有一个内切圆. ◆2、三角形的内心:三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.这个三角形叫做这个圆的外切三角形. ◆3、三角形内心的性质：三角形的内心就是三角形三条角平分线的交点.三角形的内心到三角形的三边的距离相等. 如图，☉I 是△ABC 的内切圆，点 I 是△ABC 的内心，△ABC 是☉I 的外切三角形. ◆4、三角形外心、内心的区别： 名称 确定方法 图形 性质 外心：三角形外接圆的圆心 三角形三边中垂线的交点 1、外心到三顶点的距离相等； 2、外心不一定在三角形的内部． 内心：三角形内切圆的圆心 三角形三条角平分线的交点 1、内心到三边的距离相等； 2、内心在三角形内部． 题型01 切线的判定的证明---连半径证垂直 【典例1】（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，已知为的直径，点为圆上一点，垂直于过点的直线，交于点E，垂足为点，平分．求证：是的切线． 【变式1-1】（23-24九年级上·山东临沂·月考）如图：等腰，以腰为直径作交底边于P，，垂足为E．求证：是的切线． 【变式1-2】如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，AC是对角线．点E在BC的延长线上，且∠CED＝∠BAC．判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由． 【变式1-3】（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，为的直径，点C和点D是上的两点，连接，，交的延长线于点E．求证：是的切线； 题型02 切线的判定的证明---作垂直证半径 【典例2】如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D．求证：AC是⊙O的切线． 【变式2-1】 如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M．求证：CD与⊙O相切． 【变式2-2】（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，中，，为的角平分线，以点O为圆心，为半径作与线段交于点D．求证：为的切线； 【变式2-3】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE＝DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，AB＝5，EB＝3． （1）求证：AC是⊙D的切线； （2）求线段AC的长． 题型03 切线判定的多结论问题 【典例3】（23-24九年级上·河北衡水·月考）如图，是的直径，C是上一点，D是外一点，过点A作，垂足为E，连接．若使切于点C，添加的下列条件中，不正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】如图所示，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC于E，连接AD，则下列结论：①AD⊥BC；②∠EDA＝∠B；③OAAC；④DE是⊙O的切线，正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3-2】如图，矩形ABCD中，G是BC的中点，过A、D、G三点的圆O与边AB、CD分别交于点E、点F，给出下列说法：（1）AC与BD的交点是圆O的圆心；（2）AF与DE的交点是圆O的圆心；（3）BC与圆O相切，其中正确说法的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式3-3】（25-26九年级上·吉林·期中）如图，为的直径，点是的中点，交于点，是的切线，与的延长线交于点，，，下列结论：①；②；③；④的长为．其中正确的是 ． 题型04 利用切线的性质求角度 【典例4】（25-26九年级上·福建莆田·月考）切线的性质定理告诉我们，圆的切线垂直于过切点的半径．如图，已知，以为直径的交于点，与相切于点，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26九年级上·河北邯郸·期中）如图，切于点C，交于点P，且为的直径，点Q是上异于点B、P的一点．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26九年级上·河南商丘·期中）如图，是的切线，切点为A，的延长线交于点B，若，则的度数为 ． 【变式4-3】（2025·安徽宣城·一模）如图，正五边形的两条边，与相切，切点为点，，则为（   ） A． B． C． D． 题型05 利用切线的性质求线段长 【典例5】如图，BC与⊙O相切于点C，线段BO交⊙O于点A，过点A作⊙O的切线交BC于点D．若CD＝3，AB＝4，则⊙O的半径等于（　　） ​ A．4 B．5 C．6 D．12 【变式5-1】（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，是的切线，B为切点，，，则 ． 【变式5-2】（2025九年级·全国·专题练习）如图，是的切线，是切点，连接，．若，，，则的长为 ． 【变式5-3】如图，AB是⊙O的切线，A为切点，AC是⊙O的弦，过O作OH⊥AC于点H．若OH＝3，AB＝12，BO＝13，求：⊙O的半径和AC的长． 题型06 切线的判定与性质的综合 【典例6】（25-26九年级上·河南三门峡·期中）如图，为圆O的直径，点F 在圆O上，，点P 在的延长线上，与圆O相切于点C，与的延长线相交于点D，与相交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式6-1】如图，在中，，以为直径的交于点D，点E为的中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【变式6-2】（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，为半圆O的直径，C为圆弧上一点，过点C的直线与的延长线交于点E，于点D，平分． (1)求证：是半圆O的切线； (2)若，B为的中点，，垂足为点F，求的长． 【变式6-3】（2025·湖南邵阳·三模）如图，A，B，C，D是上的四点，是直径，，过点B作交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 题型07 切线长定理的运用 【典例7】（25-26九年级上·江苏徐州·月考）如图，是的直径，是的两条切线，B、C是切点，若，，则的长度为（    ） A．1 B． C． D． 【变式7-1】（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，，，分别与相切于，，三点，，，则的长为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 【变式7-2】（25-26九年级上·江苏南京·月考）如图，在矩形中，，，、、分别与相切于、、三点，过点作的切线交于点，切点为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（25-26九年级上·北京·期中）如图，，分别与相切于，两点，若，，则的长为 ． 【变式7-4】（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）已知：如图，是的切线，B，C是切点，过上的任意一点P作的切线与分别交于点D，E． (1)连接和，若，则_______； (2)已知，求的周长． 题型08 三角形内切圆求角度 【典例7】（25-26九年级上·福建福州·期中）如图点为的外心，点为的内心，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，内接于，是的直径，，点是的内心，的延长线交于点，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2025·浙江杭州·二模）如图，是的内切圆，分别切，，于点D，E，F，，P是上一点，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【变式8-3】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，点是外接圆的圆心，点I是的内心，连接，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型09三角形内切圆求线段长 【典例9】如图，⊙O与△ABC的边AB、AC、BC分别相切于点D、E、F，如果AB＝4，AC＝5，AD＝1，那么BC的长为　 　． 【变式9-1】如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，．求，，的长． 【变式9-2】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，． (1)求的长． (2)已知，求的长． 题型10 三角形内切圆求半径 【典例10】如图，⊙O是△ABC的内切圆，若△ABC的周长为18，面积为9，则⊙O的半径是（　　） A．1 B． C．1.5 D．2 【变式10-1】已知一个三角形的三边长分别为5、5、6，则其内切圆的半径为（　　） A．3 B．5 C． D． 【变式10-2】如图所示，⊙O是等边三角形ABC的内切圆，若AB＝4，则⊙O的半径是（　　） A． B．1 C． D．2 题型11 三角形内切圆求面积 【典例11】等边三角形的边长为4，则它的内切圆面积等于（　　） A．4π B． C． D． 【变式11-1】如图，在四边形ABCD中，AB＝CB，AD＝CD．若∠ABD＝∠ACD＝30°，AD＝1，则△ABC的内切圆面积　 （结果保留π）． 【变式11-2】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，点为的内心，，，，则的面积是（ ） A． B． C． D． 题型12 直角三角形周长、面积与内切圆的关系 【典例12】（2024·湖南·模拟预测）如图，已知是的内切圆，，与的切点分别为 D，E，F，若，，则的半径为（   ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【变式12-1】（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，在中，，的内切圆的半径为2，三个切点分别为，若，则的面积是（   ） A．14 B．24 C．28 D． 【变式12-2】（24-25八年级下·北京·期末）如图，是的内切圆，切点分别为D，E，F．若，，则的周长为 ． 【变式12-3】（23-24九年级上·天津南开·期末）如图，已知是的内切圆，切点分别为D，E，F，若，，且的面积为6，则内切圆的半径r为 ． 题型13 三角形内切圆求最值 【典例13】如图是一块△ABC余料，已知AB＝20cm，BC＝7cm，AC＝15cm，现将余料裁剪成一个圆形材料，则该圆的最大面积是　 　． 【变式13-1】如图，在平面直角坐标系中，已知点A（，0），点B在第一象限，且AB与直线l：y＝x平行，AB长为4，若点P是直线l上的动点，则△PAB的内切圆面积的最大值为 　 　． 【变式13-2】（2022秋•鼓楼区校级月考）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，直线l经过△ABC的内心O，过点C作CD⊥l，垂足为D，连接AD，则AD的最小值是 　 　． 【变式13-3】已知一块等腰三角形钢板的底边长为60cm，腰长为50cm． （1）求能从这块钢板上截得的最大圆的半径． （2）用一个圆完全覆盖这块钢板，这个圆的最小半径是多少？ （3）求这个等腰三角形的内心与外心的距离． 题型14 三角形内切圆的综合应用 【典例14】（25-26九年级上·江苏镇江·期中）如图，是四边形的外接圆，是的直径，平分． (1)若，求的度数； (2)若点是弦上一点，且点E是的内心，求证：． 【变式14-1】（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·月考）如图，中，，点是的内心．点在边上．以点为圆心．长为半径的圆恰好经过点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若，，延长交于，求的长． 【变式14-2】（23-24九年级上·江苏·期末）已知，如图，为的直径，内接于，，点是的内心，延长交于点，连接． (1)求证：； (2)已知的半径是，，求的长． 【变式13-3】（24-25九年级上·江西上饶·阶段练习）如图，在中，以斜边为直径作外接圆，分别过点，作的切线并相交于点，连接，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)求证：点是的内心． 一、选择题 1．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）下列说法正确的是（   ） A．平分弦的直径垂直于弦 B．同一平面内三点确定一个圆 C．相等的圆周角所对的弧相等 D．任何三角形有且只有一个内切圆 2．如图，OA交⊙O于点B，AC切⊙O于点C，D点在⊙O上．若∠D＝25°，则∠A为（　　） A．25° B．40° C．50° D．65° 3．（2024•平房区二模）如图，在⊙O中，∠BAC＝55°，分别过B，C两点作⊙O的切线，两切线相交于点P，则∠BPC的度数（　　） A．55° B．110° C．70° D．140° 4．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）如图，P为外一点，，，分别切于A，B，C三点，且切线分别交，于点M，N．若，则的周长为（   ） A．6 B．8 C． D． 5．已知一个三角形的三边长分别为5、5、6，则其内切圆的半径为（　　） A．3 B．5 C． D． 6．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）已知，分别与相切于A，B两点，点在上，不与点A，B重合．若，则的度数为（   ） A． B． C． D．或 7．（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，与三边分别相切于点，，，且，则的面积是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·全国·课后作业）等腰直角三角形和等腰直角三角形中，，，，其中固定，绕点A顺时针旋转一周，在旋转过程中，若直线与直线交点为P，则面积的最小值为（    ）   A． B．4 C． D． 二、填空题 9．（25-26九年级上·北京·期中）如图，半径为分别切于，连接并延长交延长线于，则线段的长度为 ． 10．（24-25九年级上·甘肃临夏·阶段练习）小明同学用一把直尺和一个直角三角板（有一个锐角为）测量一张光盘的直径，他把直尺、三角板和光盘按如图的方式放置，点A是角的顶点，B是光盘与直尺的公共点，测得，则此光盘的直径为 ． 11．（2025·山东泰安·一模）如图，是的切线，连接并延长交于点，点，在上，且．若，则的度数是 ． 12．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，的半径为1，点O到直线l的距离为4，点P 是直线l上的一个动点，切于点 Q， 则的最小值为 ． 13．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，、切于、，是直径，连结、．若，则下列结论中，一定正确的是 ①；②；③；④． 3、 解答题 14．（24-25九年级上·全国·期末）如图所示，在梯形中，，为内切圆，E、F为切点． (1)试猜与的位置关系，并说明理由． (2)若，，求的面积． 15．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，为的内切圆，切点分别为，点分别为上的点，且为的切线．    (1)若，求的度数； (2)若，求的周长． 16．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）已知：是边长为的等边三角形，点O在边上，过点B且分别与边，相交于点D，E，，垂足为F． (1)求证：直线是的切线； (2)当直线与相切时，求：的半径． 17．（2025·江苏南京·一模）如图，点E是的内心，的延长线与的外接圆相交于点D，与相交于点F．    (1)求证； (2)若，，，求的长． 18．在中，为的直径，为过C点的切线． (1)如图①，以点为圆心，为半径作圆弧交于点，连结，若，求的大小； (2)如图②，过点作的切线交于点，求证：； (3)如图③，在（1）（2）的条件下，若，求的值． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $