精品解析：山东省淄博市六校2025-2026学年高二上学期11月期中联考数学试题

2024级高二上期中考试六校联考 数学试题 2025.11 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一.单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系中，点关于xOz平面的对称点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用点关于xOz平面的对称点坐标为求解. 【详解】点关于xOz平面的对称点坐标为. 故选：B. 2. 已知焦点在轴上的椭圆，其焦距为，则的值等于（ ） A. 4 B. 7 C. 9 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，得，即可求解. 【详解】由题知，又椭圆焦点在轴上，所以，解得， 故选：B. 3. 在斜三棱柱中，M为的中点，N为靠近的三等分点，设 则用 表示 为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三棱柱的特征及空间向量线性运算的几何意义计算即可. 【详解】易知. 故选：C 4. 不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次性任意取出2张卡片，则下列事件，与事件“2张卡片都为蓝色”互斥而不对立的个数为 （ ） ①2张卡片都不是蓝色； ②2张卡片恰有1 张是蓝色； ③2张卡片至少有1张是蓝色； ④2 张卡片至多一张为蓝色. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用互斥和对立的定义逐个选项分析求解即可. 【详解】一次性任意取出2张卡片,则这两张卡片的颜色为（红色，绿色），（绿色，蓝色）， （红色，蓝色），（红色，红色），（绿色，绿色），（蓝色，蓝色）这六种情况， 设（红色，绿色），（绿色，蓝色）， （红色，蓝色），（红色，红色），（绿色，绿色），（蓝色，蓝色）. 设事件“2张卡片都为蓝色”为，①设2张卡片都不是蓝色为事件， 则（红色，绿色），（红色，红色），（绿色，绿色）， 则，，和是互斥不对立事件，故①正确； ②设2张卡片恰有1 张是蓝色为事件，则（绿色，蓝色），（红色，蓝色）， 则，，和是互斥不对立事件，故②正确； ③设2张卡片至少有1张是蓝色为事件，则（绿色，蓝色），（红色，蓝色）， （蓝色，蓝色），则，， 得到和是不互斥不对立事件，故③不正确； ④设2 张卡片至多一张为蓝色为事件，则（红色，绿色），（绿色，蓝色）， （红色，蓝色），（红色，红色），（绿色，绿色），则，， 得到和是对立事件，故④不正确. 故选：B. 5. 若圆上到直线的距离为1的点有且仅有4个，则r的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据“圆上到直线距离为1的点有且仅有4个”的几何意义列式求解即可. 【详解】，即 设与直线平行且距离为1的直线方程为， 所以，解得或， 所以两条平行线方程为，， 圆心到的距离为， 圆心到的距离为， 由题意得圆与，均相交， 则，，即且， 所以. 故选：. 6. 已知随机事件A、B发生的概率分别为 ，则下列说法不正确的是（ ） A. 若A与B互斥，则 B. 若A与B相互独立，则 C. 若 ，则事件与B相互独立 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据互斥事件概率加法公式计算可判断A，利用独立事件的概率公式以及并事件的概率公式可判断B；利用独立事件的概念可判断C；由交事件的定义可判断D. 【详解】对于A，若与互斥，则，故A正确； 对于B，若与相互独立，则， 所以，，故B正确； 对于C，若，且， 所以，事件与相互独立，故C正确； 对于D，若，则，所以，故D错误. 故选：D 7. 自点发出的光线l经过x轴反射，其反射光线所在直线与圆相切，则满足条件的反射光线所在直线的斜率之和为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】作关于轴的对称点，利用直线与圆相切的位置关系计算参数即可. 【详解】易知， 圆心，半径， 设关于x轴的对称点为，则反射光线所在直线过点， 不妨设其方程为，则M到该直线距离为， 化简得，， 则该方程有两个不同解，. 故选：A 8. 已知椭圆的两个焦点为，，过作直线交椭圆于，，若，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意在中，，在中，，再结合离心率求解即可. 【详解】连接，设，，则， 因为，所以， 在中，，所以， 化简得，则，， 在中，， 所以，即，所以离心率. 故选：D 二.多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但选不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线l的一个方向向量为，则直线l的斜率等于 B. “或0”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C. 当点到直线的距离最大时， m的值为 D. 已知直线l过定点且与以为端点的线段有交点，则直线l的斜率k的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用直线方向向量与斜率的关系可判定A，根据两直线垂直的充要条件可判定B，利用直线过定点及直线的垂直关系可判定C，利用直线倾斜角与斜率的关系可判定D. 【详解】对于A，若，则其方向向量为， 而是l的方向向量，所以直线l的斜率等于，故A错误； 对于B，两直线垂直的充要条件为， 即或0，故B正确； 对于C，易知，则直线过定点， 则当且仅当时，P到l的距离最大，即， 故C正确； 对于D，易知， 如下图所示可知，要符合题意需，故D正确. 故选：BCD 10. 已知椭圆的左、右焦点分别是，，点是上一点，是等腰三角形，则的面积可能是（ ） A. B. C. 7 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据椭圆定义，可得，，分别讨论、和三种情况，求得各个长度，代入面积公式，即可得答案. 【详解】设为坐标原点，则，， 当时，，， 所以的面积为； 当时，， 所以的面积为. 同理，当时，的面积为. 故选：AD. 11. 如图，已知正方体 的棱长为2，E，F分别为AB，AD的中点，而G是线段B₁C₁(可与端点重合)上的动点，以下说法正确的是（ ） A. EF//平面BB₁D₁ B. 当G是B₁C₁的中点时， A₁C⊥平面 EFG C. 当G是B₁C₁的中点时，点C到平面EFG的距离为 D. 当点G与点B₁重合时，直线EG与平面ACD₁所成角最大 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A,利用线面平行的判断定理证明；建立空间直角坐标系，利用空间向量判断线面关系即可判断B；利用空间向量距离计算公式计算可判断C；利用空间向量线面角公式进行计算，结合函数的单调性可判断D. 【详解】对于A,连接 因为E，F分别为AB，AD的中点， 可得, 又平面平面 则又平面 故A正确； 对于B,以为坐标原点， 以为轴，建立空间直角坐标系， 因为正方体的棱长为，可得： , 则, 设平面的法向量， 则， 令，则， 所以， 所以，可得， 所以平面, 故B正确； 对于,由, 平面的法向量为， 可得点到平面的距离 故C错误； 对于D,设 可得, 又由, 设平面的法向量， 则， 令，则， 所以， ， , 所以, 设线EG与平面ACD₁所成角为， 则， 法1：设， 则， 要求的最大值，不妨设， 因为在上为减函数，且恒成立， 在上为减函数，且，故在上为减函数， 故即即点G与点B₁重合时，直线EG与平面ACD₁所成角最大， 法2：设， 则， 所以函数在上单调递减， 当时，取得最大值， 即时，取得最大值， 即点G与点B₁重合时，直线EG与平面ACD₁所成角最大， 故D正确， 故选： 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线l过点，且其横截距为纵截距的3倍，则l的方程为_________. 【答案】或 【解析】 【分析】讨论截距是否为0，设相应的直线方程，代入点坐标求参数值，即可得直线方程. 【详解】当截距为0时，设直线为，则，即，此时， 当截距不为0时，设直线为，则，此时， 综上，直线为或. 故答案为：或 13. 直线 （，）截圆的弦长为，则 的最小值为_________. 【答案】9 【解析】 【分析】求出圆心坐标和半径，由弦长得弦为直径，直线过圆心，圆心坐标代入直线方程得关系，然后由基本不等式求得最小值． 【详解】由题意圆的标准方程是，圆的圆心为，半径为， 弦长为，则弦为直径，已知直线过圆心， 所以，即， ，当且仅当即时等号成立． 故答案为：9． 14. 在三棱柱中，是边长为2的等边三角形，，且，则直线到平面ABC的距离的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】取BC的中点O，以O为原点建系，设，根据，列出方程组，得出，即可求出距离的最值. 【详解】取BC的中点O，连接OA， 以O为原点，以OA，OB所在直线分别为x轴，y轴， 垂直于平面ABC且过点O的直线为z轴建立如图所示空间直角坐标系， 则，，， 设，由得，， 则，， 因为，所，所以①， 又，，则②， 联立①②，得，则，， 则点到平面ABC的距离为，故直线到平面ABC的距离的最大值为. 故答案为： 四.解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 15. 2025年8月21日，DeepSeek在官方公众号发文称，正式发布DeepSeek－V3.1模型，此次升级也标志着国产大模型在技术迭代与商业化探索中又迈出了关键一步．为强化相关技术的落实应用能力，某公司特针对A，B两部门开展专项技能培训． （1）已知该公司A，B两部门分别有3位领导，此次培训需要从这6位领导中随机选取2位分别负责第一天和第二天的工作，假设每人被抽到的可能性都相同，求这两天的工作由A，B两部门的领导分别负责一天的概率； （2）此次培训分三轮进行，员工甲第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮的培训结果均相互独立，至少两轮培训达到“优秀”才算合格，求甲培训合格的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用组合计数问题求出基本事件数，再利用古典概率列式求解. （2）记 “每位员工经过培训合格”， “每位员工第轮培训达到优秀”（），由此可得关系，结合概率公式即可求解. 【小问1详解】 记部门的3名领导为，部门的3名领导为， 从这6位领导中随机选取2位分别负责第一天和第二天的工作，不同结果有： ， 共30种， 这两天的工作由A，B两部门的领导分别负责一天，不同结果有：共18种， 所以这两天的工作由A，B两部门的领导分别负责一天的概率为. 【小问2详解】 记 “每位员工经过培训合格”， “每位员工第轮培训达到优秀”（）， 则，， 依题意， ， 所以每位员工经过培训合格的概率为. 16. 如图， ⊥平面，，. （1）求证: 平面； （2）求直线与平面 所成角正弦值； （3）若二面角的余弦值为求线段的长. 【答案】（1）证明见解析； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）首先利用几何体的特征建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量和平面的法向量的关系即可证明线面平行； （2）分别求得直线的方向向量和平面的法向量，然后求解线面角的正弦值即可； （3）首先确定两个半平面的法向量，然后利用二面角的余弦值计算公式得到关于长度的方程，解方程可得的长度. 【小问1详解】 依题意，可以建立以A为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系(如图)， 可得 设，则. 依题意，是平面ADE的法向量， 又，可得， 又因为直线平面，所以平面. 【小问2详解】 依题意，， 设为平面BDE的法向量， 则，即， 不妨令，可得， 因此有. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 设为平面BDF的法向量，则，即. 不妨令，可得. 由题意，有，解得. 经检验，符合题意， 所以，线段的长为. 17. 已知点，动点P满足，点T为线段AP的中点． （1）求点T的轨迹C的方程； （2）过点作直线l与曲线C交于两点M，N，设直线BM，BN的斜率分别为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，再根据T为线段AP的中点可得，再带入列式化简即可； （2）设直线的方程为，，联立直线与圆的方程得出韦达定理，再代入化简求解即可. 【小问1详解】 设，由可得， 又可得，即，化简可得. 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时不满足题意，设直线的方程为，即，. 联立可得，化简得，则，. 由，解得. 又 即. 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，为中点，点在上，且． （1）求证：平面； （2）判断直线是否在平面，说明理由； （3）是线段上的动点，是否存在点G使得AE与平面AFG所成夹角的正弦值为，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）在，理由见解析 （3）存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用直线与平面判定定理求解 （2）（3）建立空间直角坐标系，空间向量法求线面角以及判断直线与平面位置关系。 【小问1详解】 证明：平面，，， ，，平面，平面， 平面． 【小问2详解】 以为原点，在平面内过作的平行线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，，，，，，. 直线在平面内，理由如下： 点在上，且， 面的一个法向量为， 则，取，得， 平面的一个法向量为， ， 故直线在平面内． 【小问3详解】 点在上，设，， 面的一个法向量为， 则，取，得， 要使得AE与平面AFG所成夹角的正弦值为，则，解得，满足条件. 所以，存在点G，为线段BP的靠近点P的三分点. 19. 已知椭圆I 的长轴长为4，左，右焦点分别为，，直线与椭圆Γ交于M、N两点， (点M在点N的上方)， 与y轴交于点E. （1）求椭圆Γ的离心率； （2）若直线l过点时， 设 求证：为定值，并求出该值； （3）当为何值时， 恒为定值，并求此时三角形 面积的最大值. 【答案】（1）； （2）证明见解析，； （3）时，三角形 面积的最大值为1. 【解析】 【分析】（1）根据长轴长得到的值，从而得到椭圆方程，利用离心率公式求解即可； （2）将点代入直线得到和，将椭圆和直线联立方程组，消去，整理得到关于的一元二次方程，结合韦达定理计算即可； （3）联立与椭圆，消去，整理得到关于的一元二次方程，结合韦达定理 计算，得到的值，利用弦长公式求出，利用点到直线的距离求出点到直线的距离，求出，利用基本不等式求最大值. 【小问1详解】 椭圆I 的长轴长为4，，， 椭圆，， ，； 【小问2详解】 直线过点， ，，， 联立，消去，整理得到， 设，则， 与y轴交于点E，， ，，， ，， ，， ，， ，， ，， ， 为定值，求定值为； 【小问3详解】 联立与椭圆， 即，消去，整理得到， 设，则， ， 在上， ，，，， ， ， 当为定值时，即与无关， 故，解得， 此时 又点到直线的距离， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 此时， 满足直线与椭圆有两个交点，则三角形 面积的最大值为1. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级高二上期中考试六校联考 数学试题 2025.11 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一.单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系中，点关于xOz平面的对称点坐标为（ ） A B. C. D. 2. 已知焦点在轴上椭圆，其焦距为，则的值等于（ ） A. 4 B. 7 C. 9 D. 12 3. 在斜三棱柱中，M为的中点，N为靠近的三等分点，设 则用 表示 为（ ） A. B. C. D. 4. 不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次性任意取出2张卡片，则下列事件，与事件“2张卡片都为蓝色”互斥而不对立的个数为 （ ） ①2张卡片都不是蓝色； ②2张卡片恰有1 张是蓝色； ③2张卡片至少有1张是蓝色； ④2 张卡片至多一张为蓝色. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 若圆上到直线距离为1的点有且仅有4个，则r的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知随机事件A、B发生的概率分别为 ，则下列说法不正确的是（ ） A. 若A与B互斥，则 B. 若A与B相互独立，则 C. 若 ，则事件与B相互独立 D. 若，则 7. 自点发出的光线l经过x轴反射，其反射光线所在直线与圆相切，则满足条件的反射光线所在直线的斜率之和为（ ） A. B. C. D. 1 8. 已知椭圆的两个焦点为，，过作直线交椭圆于，，若，且，则椭圆的离心率为（ ） A B. C. D. 二.多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但选不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线l的一个方向向量为，则直线l的斜率等于 B. “或0”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C. 当点到直线的距离最大时， m的值为 D. 已知直线l过定点且与以为端点线段有交点，则直线l的斜率k的取值范围是 10. 已知椭圆的左、右焦点分别是，，点是上一点，是等腰三角形，则的面积可能是（ ） A. B. C. 7 D. 11. 如图，已知正方体 的棱长为2，E，F分别为AB，AD的中点，而G是线段B₁C₁(可与端点重合)上的动点，以下说法正确的是（ ） A. EF//平面BB₁D₁ B. 当G是B₁C₁的中点时， A₁C⊥平面 EFG C. 当G是B₁C₁的中点时，点C到平面EFG的距离为 D. 当点G与点B₁重合时，直线EG与平面ACD₁所成角最大 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线l过点，且其横截距为纵截距的3倍，则l的方程为_________. 13. 直线 （，）截圆的弦长为，则 的最小值为_________. 14. 在三棱柱中，是边长为2的等边三角形，，且，则直线到平面ABC的距离的最大值为__________. 四.解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 15. 2025年8月21日，DeepSeek在官方公众号发文称，正式发布DeepSeek－V3.1模型，此次升级也标志着国产大模型在技术迭代与商业化探索中又迈出了关键一步．为强化相关技术的落实应用能力，某公司特针对A，B两部门开展专项技能培训． （1）已知该公司A，B两部门分别有3位领导，此次培训需要从这6位领导中随机选取2位分别负责第一天和第二天的工作，假设每人被抽到的可能性都相同，求这两天的工作由A，B两部门的领导分别负责一天的概率； （2）此次培训分三轮进行，员工甲第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮的培训结果均相互独立，至少两轮培训达到“优秀”才算合格，求甲培训合格的概率． 16. 如图， ⊥平面，，. （1）求证: 平面； （2）求直线与平面 所成角的正弦值； （3）若二面角的余弦值为求线段的长. 17. 已知点，动点P满足，点T为线段AP的中点． （1）求点T的轨迹C的方程； （2）过点作直线l与曲线C交于两点M，N，设直线BM，BN的斜率分别为，求． 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，为的中点，点在上，且． （1）求证：平面； （2）判断直线是否在平面，说明理由； （3）是线段上的动点，是否存在点G使得AE与平面AFG所成夹角的正弦值为，请说明理由. 19. 已知椭圆I 的长轴长为4，左，右焦点分别为，，直线与椭圆Γ交于M、N两点， (点M在点N的上方)， 与y轴交于点E. （1）求椭圆Γ的离心率； （2）若直线l过点时， 设 求证：为定值，并求出该值； （3）当为何值时， 恒为定值，并求此时三角形 面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $