第3章 第12讲 二次函数的图象与性质(精炼本)-【中考123】2026年中考基础章节总复习数学（辽宁专版）

中专123 第12讲二次函数的图象与性质 基础集训 [答案P13] ⊙命题点1二次函数的图象与性质 1.(2024·哈尔滨)二次函数y=2(x+1)2+3的最小值是 ( A.-1 B.1 C.2 D.3 2.(2024·长春)若抛物线y=x2-x+c(c是常数)与x轴没有交点，则c的取值范围是 3.(2025·大连模拟)抛物线y=-(x+2)2+6与y轴的交点坐标是 ⊙命题点2与二次函数图象有关的判断 4.(2024·大庆模拟)已知二次函数y=ax2+bx-c(a≠0)，其中b>0,c>0,则该函数的图象可能为 8 A B 5.(2024·沈阳模拟)已知二次函数y=ax2+bx+c的部分函数图象如图所示，则一次函数y=ax+b2-4ac 与反比例函数=4如+26+在同一平面直角坐标系中的图象大致是 1:02x N 5题图 ⊙命题点3二次函数图象与系数a,b,c的关系 6.(2025·齐齐哈尔)如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于两点(-1， 0),(x1,0),且2<x1<3.下列结论：①abc>0:②2a+c<0;③4a-b+2c<0;④若m和n 是关于x的一元二次方程a(x+1)(x-x1)+c=0(a≠0)的两根，且m<n,则m<-1, 273x n>2;⑤关于x的不等式ax2+bx+c>-Cx+c(a≠0)的解集为0<x<x·其中正确结 6题图 论的个数是 ( A.2 B.3 C.4 D.5 -55- 7.(2025·绥化)如图，二次函数y=ax2+bx+c与x轴交于点A(3,0),B(-1,0),与 y轴交于点C(0,m),其中-4<m<-3.则下列结论：①a-c>0;②方程ax2+bx+ 2 c-5=0没有实数根：③-弩<6<-2，④t9>0.其中错误的个数有 B b-a （）-3-2-012x A.1个 B.2个 -4 -51 C.3个 7题图 D.4个 ⊙命题点4二次函数与方程、不等式的关系 8.(2025·鞍山模拟)已知抛物线y=x2+mx的对称轴为直线x=2,则关于x的方程x2+mx=5的根是 A.0,4 B.1,5 C.1,-5 D.-1,5 9.（2024·太原二模)如图，已知抛物线y=ax2+c与直线y=kx+m交于A(-3,y1), B(1,y2)两点，则关于x的不等式ax2+c≥-x+m的解集是 () A.x≤-3或x≥1 B.x≤-1或x≥3 C.-3≤x≤1 D.-1≤x≤3 9题图 ⊙命题点5二次函数图象与性质综合应用 10.（2025·咸阳三模)如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(-3,0),B(1,0)两点，交y轴于点C. (1)求抛物线的解析式； 1 (2)抛物线上是否存在一点P,使得S△mc=2Sac,若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明 理由 10题图 ⊙命题点6二次函数图象的变化 类型一平移 11.(2024·牡丹江)将抛物线y=ax2+bx+3向下平移5个单位长度后，经过点(-2,4)，则6a-3b-7= 类型二轴对称（折叠） 12.(2025·四平模拟)在同一平面直角坐标系中，若抛物线y=mx2+2x-n与y=-6x2-2x+m-n关于 x轴对称，则m,n的值为 A.m=-6,n=-3B.m=-6,n=3 C.m=6,n=-3 D.m=6,n=3 -56 见此图标弱即刻扫码解锁高效备考新模式 第三章函数 类型三中心对称或旋转 13.(2025·大庆模拟)在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-4x+5与y轴交于点C,则该抛物线关于点C 成中心对称的抛物线的表达式为 （) A.y=-x2-4x+5 B.y=x2+4x+5 C.y=-x2+4x-5 D.y=-x2-4x-5 中考集训 [答案P13] 满分：100分 一、选择题（每小题4分，共32分） 1.(2024·兰州)已知二次函数y=-3(x-2)2-3,下列说法正确的是 ( A.对称轴为直线x=-2 B.顶点坐标为(2,3) C.函数的最大值是-3 D.函数的最小值是-3 2.(2025·徐州)在平面直角坐标系中，将二次函数y=(x+1)2+3的图象向右平移2个单位长度，再向下 平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为 () A.y=(x+3)2+2 B.y=(x-1)2+2 C.y=(x-1)2+4 D.y=(x+3)2+4 3.(2025·陕西)在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+mx+m2-m(m为常数)的图象经过点(0,6)，其 对称轴在y轴左侧，则该二次函数有 () A.最大值5 R最大值 C.最小值5 D鼓小值？ 4.（2024·贵州)如图，二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是 y -3,顶点坐标为(-1,4)，则下列说法正确的是 (1,4) A.二次函数图象的对称轴是直线x=1 B.二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2 C.当x<-1时，y随x的增大而减小 130 D.二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3 4题图 5.(205·南之)抛物线y=-++k-与x轴的-个交点为4(m,0,若-2≤m≤1，则实数k的取值 范围是 () A4e≤1 B.k≤21或≥1 4 C.-5≤ksg D.k≤-5或k≥9 6.(2024·安徽)已知反比例函数y=(k≠0)在第一象限内的图象与一次函数y=-x+b的图象如图所 示，则函数y=x2-bx+k-1的图象可能为 y↑y=克 6题图 -57 数学·精练本1 7.(2024·广东)如图，抛物线y=ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A,B,C,点B在y轴上，则ac的值为 () A.-1 B.-2 C.-3 D.-4 0 10 |x=1 7题图 8题图 8.(2025·烟台)如图，二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点A位于(-2,0)和(-1,0) 之间，顶点P的坐标为(1，n).下列结论：①abc<0;②对于任意实数m,都有am2+bm-a-b≥0；③3b< 2c:④若该二次函数的图象与：轴的另一个交点为B,且△PAB是等边三角形，则n=一·其中所有正 确结论的序号是 () A.①② B.①③ C.①④ D.①③④ 二、填空题（每小题4分，共28分） 9.(2024·兰州)点A(-4,3),B(0,k)在二次函数y=-(x+2)2+h的图象上，则k= 10.(2025·黔东南州)在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2+2x-1先绕原点旋转180°，再向下平移5个 单位长度，所得到的抛物线的顶点坐标是 11.(2025·遂宁)抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数)的部分图象如图所示，设m=a-b+c,则m的取值 范围是 B 0 0 A 11题图 14题图 15题图 12.(2024·福建)已知抛物线y=x2+2x-n与x轴交于A,B两点，抛物线y=x2-2x-n与x轴交于C,D 两点，其中n>0.若AD=2BC,则n的值为 13.(2024·无锡)把二次函数y=x2+4x+m的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如 果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m应满足条件： 14.(2025·绍兴)在平面直角坐标系x0y中，一个图形上的点都在一边平行于x轴的矩形内部（包括边 界)，这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形.例如：如图，函数y=(x-2)(0≤x≤3)的图 象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形0ABC,若二次函数y=寻2+x+c(0≤x≤3)图象的 关联矩形恰好也是矩形OABC,则b=」 15.(2024·赤峰)如图，抛物线y=-x2-6x-5交x轴于A,B两点，交y轴于点C,点D(m,m+1)是抛物 线上的点，则点D关于直线AC的对称点的坐标为 -58— 三、解答题（共40分） 16.(8分)(2024·扬州)如图，已知二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴交于A(-2,0),B(1,0)两点. (1)求b,c的值： (2)若点P在该二次函数的图象上，且△PAB的面积为6，求点P的坐标 16题图 17.（10分)(2024·绍兴)已知二次函数y=-x2+bx+c. (1)当b=4,c=3时， ①求该函数图象的顶点坐标： ②当-1≤x≤3时，求y的取值范围； (2)当x≤0时，y的最大值为2，当x>0时，y的最大值为3，求二次函数的表达式 59- 18.(10分)(2024·北京)在平面直角坐标系x0y中，M(x1,y1),N(x2,y2)是抛物线y=ax2+bx+c(a>0) 上任意两点.设抛物线的对称轴为x=t. (1)若对于x1=1,x2=2,有y1=y2,求t的值； (2)若对于0<x1<1,1<x2<2,都有y1<y2,求t的取值范围. 19.（12分)(2025·达州模拟)如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0),B(4,0),与y轴交于点C. (1)求抛物线对应的函数解析式，并直接写出顶点P的坐标； (2)求△BCP的面积. 注：抛物线ya+b似+(a≠0)的对称轴是直线x=名云顶点坐标是(-名 2a’4a AO B 19题图 一60—.-m·3m=-12, 该二次函数有最小值 解得m1=2,m2=-2(舍去)， 4.D[解析]：二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点坐标为 ∴.点A的坐标为(-2,6). （-1,4),二次函数图象的对称轴是直线x=-1,故A错 把A(-2,6),B(4,-3)分别代人y=ax+b,得 误；设二次函数y=a42+bx+c的图象与x轴的另一个交，点 -2a+b=6, 3 解得 a=-2’ 的横坐标是m,则-3)+m=-L,m=1,故B错误：观察函 l4a+b=-3, 2 b=3, 数图象可知当x<-1时，y随x的增大而增大，故C错误； “一次函数的表达式为y=-子x+3. 设二次函数的解析式为y=a(x+1)2+4,把(-3,0)代入， (2)把x=0代人y=-+3,得y=3, 得0=a(-3+1)2+4,解得a=-1,.y=-(x+1)2+4, 当x=0时，y=-(0+1)2+4=3,二次函数图象与y抽的 .点C的坐标为(0,3)，.0C=3, 交点的纵坐标是3.故选D .S△A0B=S△AOc+S△BOc 5.B[解析]抛物线与x轴有交，点，.2-4×(-1)× 0C+0G (k-）≥0，即+4k-5≥0.结合二次函教的图象与性 =7x3x2+7×3x4=9, 质易得≤-5或k≥1.对于y=-2+c+6-子，当x (3)x<-2或0<x<4. -2时y=4-2+k-=-k-头当1时y=-1+ 第12讲二次函数的图象与性质 基础集训 子=-是+2让易知抛物线开口向下，对称轴为直线 1D2.c>43(0,2) 多=会：抛场线与轴的一个文点为A(m,0),-2≤m≤1， 4.C5.B6.B7.A8.D9.D ~k、2 r9a-3b+3=0,① 21 -k- 2 4s0, 10.解：(1)由已知可得 ≥0， 4s0, La+b+3=0,② 或 年+2k≤0，k≤ 9 a=-1, -+2k≤0 +2k≥0 解得 b=-2, -2号. .y=-x2-2x+3. 1或k≥-4.又：k≤-5或≥1，实数k的取值范国是k 4 (2)P(3,-12)或P(-2,3). 11.212.D13.A ≤-斗我L 中考集训 ,总结归纳… 1.C[解析]易知该二次函数的图象的对称轴为直线x=2, 解决本题的关键是利用数形结合思想，将条件 顶点坐标为(2，-3).a=-3<0,抛物线开口向下，故 “抛物线…与x轴的一个交点为A(m,0),若-2≤m 该函数的最大值为-3，没有最小值.故选C 2.B[解析]抛物线y=(x+1)2+3的顶点坐标为(-1,3)， .≤1”进行转化 将点(-1,3)向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位6。A[解析]由反比例函数的图象可知k>1,k-1>0,故函 长度，得(-1+2,3-1)，即(1,2)，故平移后所得抛物线的 数y=x2-bx+k-1的图象与y轴交于正半轴，由此排除选 项B,C.观察选项A,D,可知二者的一个区别在于当x=1 函数表达式为y=(x-1)2+2. 时y值的正负，此时y=1-b+k-1=k-b.由题图可知，当 3.D[解析]因为二次函数y=x2+mx+m2-m经过点(0， x=1时，反比例函数与一次函数的函数值相等，即k=-1 6),所以m2-m=6,解得m1=3,m2=-2.因为该抛物线的对 +b,.k-b=-1,.对于函数y=x2-bx+k-1,当x=1 称轴在y轴的左侧，所以m>0,所以m=3.故该二次函数的表 时，y=-1.故选A 达式为打=子+3+6=(+}+识因为a=1>0,所以 -13 总结归纳 12:②当抛物线经过点A,C时，将(3,0)，(0,4)代入y= 7 对于此类在平面直角坐标系中判断函数图象的 c=4, 问题，通常用排除法可快速解题，入手点为函数图象 子+6，得 1 解6=一综上， 与坐标轴交，点的位置、函数图象所在（或经过）的象限 -×9+3b+c=0, 4 等 7.B[解析]易知，点B的坐标为(0，c),.OB=c.根据正方形 15.(-5,-4)或(0,1)[解析]把，点D(m,m+1)代入抛物 的对角线互相垂直平分，可知点A的坐标为（气，）起 线y=-x2-6x-5中，得m+1=-m2-6m-5,解得 (分分}代入y=a2+6,得ax(分+e=分，整理，得 m1=-1,m2=-6,∴.D(-1,0)或(-6，-5)，当y=0时， -x2-6x-5=0,x=-1或-5，A(-5,0),B(-1, ac=-2. 0),当x=0时，y=-5,.0C=0A=5,∴.△A0C是等腰直 8.D9.310.(1,-3) 角三角形，∠OAC=45°.①D(-1,0),此时点D与B重 11.-4<m<0[解析]抛物线开口向上，对称轴在 合，连接AD',如答图①.点D与D'关于直线AC对称， h y轴左侧，a>0,-22<0,6>0.抛物线过点(1,0)， .AC是BD的垂直平分线，.AB=AD'=-1-(-5)=4, 且∠0AC=∠CAD'=45°，∠0AD'=90°，.D'(-5, 0,-2)2+6+c=0, lc=-2, 巾=2-a:抛物线的解新 1c=-2, -4);②D(-6,-5),如答图②，点D(m,m+1), 点D在直线y=x+1上，此时直线y=x+1过点B, 式为y=ax2+(2-a)x-2,当x=-1时，y=a-b+c= .BD⊥AC,即，点D'在直线y=x+1上.A(-5,0), a-(2-a）-2=2a-4,∴.m=2a-4,b=2-a>0, C(0,-5),则直线AC的解析式为y=-x-5.-x-5= ∴a<2,-4<2a-4<0,即-4<m<0. x+1,x=-3,∴E(-3,-2).点D与D'关于直线AC 12.8[解析]根据题意可画出如答图所示的函数图象，由于 对称，.E是DD'的中点，.D'(0,1).综上所述，点D关于 AD=2BC,.AC=C0=OB=BD,.设点B坐标为(a,0), 直线AC的对称，点的坐标为(-5，-4)或(0,1). 则D(2a,0),A(-2a,0),C(-a,0),.过点A,B的抛物线 的解析式为y=(x+2a)(x-a)=x2+ax-2a2,.过点C, D的抛物线的解析式为y=(x-2a)(x+a)=x2-ax- 2a2,.a=2,-2a2=-8,.n=8, y A B D 15题答图① 15题答图② 16.解：(1)二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴交于 A(-2,0),B(1,0)两点 12题答图 [-4-2b+c=0, b=-1 解得 13.m>3 L-1+b+c=0, c=2, 14品现-8 .b=-1,c=2 [解析]根据题意可知A(3,0).对于y=(x- (2)A(-2,0),B(1,0),AB=3. 2)2(0≤x≤3)，当x=0时，y=4,·C(0,4). m6 o4. .四边形OABC是矩形，∴.B(3,4).分析题意可知有2种 当yp=4时，令-x2-x+2=4,方程无解。 情况符合题意：①当抛物线经过点0，B时，将(0,0)，(3， 当yp=-4时，令-x2-x+2=-4, c=0, 4)代入y=子2+低+c,得 x9+36+e=4, 得b= 解得x1=-3,x2=2. 点P的坐标为(-3，-4)或(2，-4) -14 17.解：(1)①当b=4,c=3时， (2)连接OP y=-x2+4x+3=-(x-2)2+7, .顶点坐标为(2,7) 4(-1,0),84,0,c0,-4),P2,-)} 1 3 ②当-1≤x≤2时，y随x的增大而增大， Sa0c=24×2=3, 当2≤x≤3时，y随x的增大而减小， S60m=2x4x空=25 1 ∴.当x=2时，y有最大值7. 4=2, 当x=-1时，y=-2,当x=3时，y=6, 1 .当-1≤x≤3时，-2≤y≤7. S△0c=Z×4×4=8. (2):当x≤0时，y的最大值为2，当x>0时，y的最大值 S△BcP=S△0CP+S△0BP-S△BOc, 为3， 0=3+空-8-号 抛物线的对称轴x=子在)轴的右侧，6>0。 第13讲二次函数的实际应用 :抛物线开口向下，x≤0时，y的最大值为2， 基础集训 .c=2. 1.C 4x(-）×6-B=3,6=±2. 2.解：(1)依题意可知抛物线的顶点P的坐标为(5,9)，设抛 4×(-1) 物线的函数表达式为y=a(x-5)2+9(a≠0)，将(0,0)代 b>0,∴.b=2, .二次函数的表达式为y=-x2+2x+2. 人，得0=a(0-5)2+9,解得a=-25 18.解：(1)当x1=1,x2=2时，y1=y2, 抛物线的函数表达式为y=名(x-5)2+9, ·抛物线的对称轴为直线x=1+2.3 2=2, (2)令y=6,得-名(x-5)2+9=6, (2)a>0,∴.抛物线开口向上， 解得5,=545 3 ∴.抛物线上离对称轴越远的点纵坐标越大， A-55,6小5+5g,6} 又：y1<2,抛物线的对称轴为直线x=t, 3.8 ∴点M到直线x=t的距离小于点N到直线x=t的距离 4.解：(1)设y与x的函数关系式为y=x+b(k≠0)， 由题意知点M在点N左侧 把x=10,y=280和x=14,y=120分别代入， 连接MN,则MN中点的横坐标为1 「10k+b=280, rk=-40 解得 由y1<y2可知MN的中点在直线x=t的右侧， 114k+b=120, lb=680, t<为+多 ,y与x的函数关系式为y=-40x+680. 2 (2)设这种粽子日销售利润为元， 0<x1<1,1<x2<2, w=(x-8)(-40x+680) 1<x1+2<3, =-40x2+1000x-5440 =-40(x-12.5)2+810. 2 19.解：(1)：抛物线y=x2+bx+c经过点A(-1,0), ·-40<0,抛物线开口向下， .x=12.5时，w有最大值， B(4,0), r1-b+c=0, rb=-3, C最大值=810. 解得 16+4b+c=0, 答：当粽子的售价定为12.5元/袋时，日销售利润最大，最 c=-4, ∴.抛物线对应的解析式为y=x2-3x-4, 大日销售利润是810元， 5.解：(1)由题意设y=kx+b(k≠0)，将(50,90)，(60,80)分别 P(是，翠) 代入， -15-