8.1专题：变力做功与机车启动问题 讲义-2025-2026学年高一下学期物理人教版（2019）必修第二册

本高中物理讲义聚焦变力做功与机车启动核心知识点，系统梳理变力做功的微元法、平均力法等五种方法，明确摩擦力做功的静摩擦与滑动摩擦特点，深入分析机车恒定功率和恒定加速度两种启动方式，构建从方法到情景再到综合应用的学习支架。 资料以表格化呈现方法与情景，结合驴拉磨、无人机配送等生活实例设计例题，通过P-t、v-t图像深化科学推理与模型建构，助力学生形成能量观念。课中辅助教师高效授课，课后通过分层训练帮助学生查漏补缺，提升解决实际问题的能力。

目录 8.2变力做功与机车启动问题 1 考点一　变力做功 1 考点二　摩擦力做功 2 考点三　机车的两种启动方式 3 题型1：恒定功率启动 3 题型2：恒定加速度启动 3 巩固训练·提升能力 4 8.2变力做功与机车启动问题 考点一　变力做功 例题分析·考点题型 【例题1】（单选） 在多年前的农村，人们往往会选择让驴来拉磨把食物磨成面，假设驴对磨杆的平均拉力为，半径为，转动一周为，则(    ) A. 驴转动一周拉力所做的功为 B. 驴转动一周拉力所做的功为 C. 驴转动一周拉力的平均功率为 D. 磨盘边缘的线速度为 【变式训练1】（单选）某快递公司用无人机向山区配送急救药品。无人机载药后从卫生院平台由静止竖直起飞，其升力随高度变化规律如图所示。则从起点到升至高度为的过程中，升力对无人机做的总功为(    ) A. B. C. D. 【变式训练2】（单选）人在点拉着绳，通过一定滑轮吊起一质量的物体，如图所示．开始时绳与水平方向间的夹角为，在匀速提起物体的过程中，人由点沿水平方向运动了到达点，此时绳与水平方向成，取，则人对绳的拉力做的功为． A. B. C. D. 考点二　摩擦力做功 例题分析·考点题型 【例题1】（单选）如图所示，在某滑雪场滑雪者从点由静止沿斜面自由滑下，接着在水平面上滑至点停下，斜面、水平面与滑雪板之间的动摩擦因数都为，滑雪者包括滑雪板的质量为，取，、两点间的水平距离为。在滑雪者包括滑雪板经过段运动的过程中，克服摩擦力做的功为(    ) A. B. C. D. 【变式训练1】（单选）质量为的物体沿底面长度均为，倾角不同的、、三个斜面从顶端滑下，如图所示，物体和斜面间的滑动摩擦因数相同，、、三个斜面与水平面的夹角的关系是，物体从、、三个斜面顶端到底端过程中，摩擦力做功分别是、和，则它们的关系是(    ) A. B. C. D. 【变式训练2】（多选）如图所示，轻绳一端受到大小为的水平恒力作用，另一端通过定滑轮与质量为、可视为质点的小物块相连。开始时绳与水平方向的夹角为。当小物块从水平面上的点被拖动到水平面上的点时，位移为，随后从点沿斜面被拖动到定滑轮处，间距离也为。小物块与水平面及斜面间的动摩擦因数均为，若小物块从点运动到点的过程中，对小物块做的功为，小物块在段运动过程中克服摩擦力做的功为，则以下结果正确的是(    ) A. B. C. D. 考点三　机车的两种启动方式 例题分析·考点题型 题型1：恒定功率启动 【例题1】（单选）已知某汽车的质量为，额定功率为，在平直路面运动过程中，汽车所受的阻力大小恒定。若保持额定功率不变，汽车能达到的最大速度为。现司机以的恒定功率启动，从静止开始做加速直线运动，当速度为时，汽车的加速度为(    ) A. B. C. D. 题型2：恒定加速度启动 【例题1】（单选）1.年月，“空中出租车”在上海试飞成功，完成首秀质量为的“空中出租车”在竖直方向的牵引力作用下，从静止开始竖直上升，其运动图像如图所示，为匀加速阶段，时刻“空中出租车”达到功率并保持不变，运动过程中阻力大小恒定下列说法正确的是(    ) A. 整个过程牵引力保持不变 B. 0-过程,牵引力做功为 C. 阻力大小为 D. 时刻“空中出租车”的功率为 【变式训练1】（多选）某同学用额定功率、最大拉力的提升装置，把静置于地面上质量为的重物竖直向上提起，该装置先用最大拉力使重物匀加速运动，功率达到额定值后保持不变，经一段时间后匀速上升，不计空气阻力，重力加速度取，则下列说法正确的是(    ) A. 重物上升过程中的最大加速度为 B. 重物匀加速上升的时间为 C. 重物上升过程中的最大速度为 D. 重物速度为时，加速度为 【变式训练2】新能源汽车的研发和使用是近几年的热门话题。一辆测试用的小型电动汽车模型质量在水平的公路上由静止开始匀加速启动，当功率达到后保持功率恒定，匀加速持续的时间是，该车运动的速度与时间的关系如图所示，汽车在运动过程中所受阻力不变，重力加速度取，求： 该车在运动过程中所受阻力大小； 该车在匀加速运动过程中所受牵引力的大小； 从静止开始到末该车所受牵引力所做的功。 巩固训练·提升能力 一、单选题。 1.如图所示，静止于光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力作用下，沿轴方向运动，拉力的大小随物块所在位置坐标的变化关系如图所示，图线为半圆。则小物块运动到处时所做的总功为(    ) A. B. C. D. 2.近年来，随着国家乡村振兴战略深入实施，绝大部分农村在农业生产中基本实现了机械化，极大的提高了农业生产效率。如图所示为一农业展览馆中展示的上个世纪七八十年代农村农业生产中驴拉磨将食物磨成粉浆的情景。假设在驴拉磨的过程中，驴对磨杆的拉力大小为，半径为，转动一周为，则下列说法正确的是 A.  驴拉磨一周过程中拉力做功为 B.   驴拉磨一周过程中拉力做功为 C.   驴拉磨一周过程中拉力做功平均功率为 D.   驴拉磨一周过程中拉力做功平均功率为 3.某块石头陷入淤泥过程中，其所受的阻力与深度的关系为已知，石头沿竖直方向做直线运动，当时，石头陷入淤泥过程中克服阻力做的功为(    ) A. B. C. D. 4.用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对钉子的阻力与钉进入木板的深度成正比，已知铁锤第一次将钉子钉进，如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同，那么，第二次钉子进入木板的深度是(    ) A. B. C. D. 5.木匠师傅用铁锤把钉子砸进木梁，每次砸钉的动作完全相同。木匠第一次砸钉就将钉子砸进了一半。已知钉子所受阻力与其进入木梁中的深度成正比，铁锤砸钉的能量全部用来克服钉子前进中的阻力做功，木匠要把一枚钉子全部砸进木梁，他共需砸锤(    ) A. 次 B. 次 C. 次 D. 次 6.如图所示，质量为的滑块可视为质点，从半径为的半球面的上端点处以初速度滑下，为最低点，为球心，、、三点等高，从到滑动过程中滑块所受的摩擦力大小恒为，则滑块(    ) A. 从到过程，重力做功为零 B. 从到过程，弹力做功不为零 C. 从到过程，摩擦力做功为 D. 从到过程，摩擦力做功为 二、多选题。 7.质量为的汽车沿平直公路运动，所受阻力大小恒为，汽车先以的加速度由静止开始作加速运动，当汽车发动机达额定功率后，保持额定功率不变继续加速，直到汽车达到最大速度，则(    ) A. 最大速度 B. 最大速度 C. 匀加速的时间为 D. 匀加速的时间为 8.电动方程式是目前世界上新能源汽车运动中级别最高的赛事，赛车在专业赛道水平路面上由静止启动，在前内做匀加速直线运动，末达到额定功率，之后保持额定功率继续运动，其图像如图所示．已知汽车的质量为，汽车受到地面的阻力为车重的，取，下列说法正确的是(    ) A. 赛车在时的瞬时功率 B. 赛车在加速过程中牵引力保持不变 C. 该赛车的最大速度是 D. 当速度时，其加速度为 9.一起重机的钢绳由静止开始匀加速提起质量为的重物，当重物的速度为时，起重机的功率达到最大值，之后起重机保持该功率不变，继续提升重物，最后重物以最大速度匀速上升，不计钢绳重力。整个过程中，下列说法正确的是(    ) A. 钢绳的最大拉力为 B. 重物匀加速过程的时间为 C. 重物匀加速过程的加速度为 D. 速度由增大至的过程中，重物的平均速度 10.某电动汽车由静止开始沿平直公路行驶，可达到的最大速度为，实测时利用在汽车上安装的各种传感器测量在行驶过程中汽车受到的牵引力和对应的速度，并描绘出图像，图中、均为直线，若汽车在行驶过程中受到的阻力恒定，由图像可知下列说法正确的是(    ) A. 阶段，牵引力的功率保持不变 B. 汽车在行驶过程中受到的阻力大小为 C. 若已知汽车总质量为，则汽车匀加速时间为 D. 汽车的额定功率为 11.一质量为的物体，在水平恒定拉力的作用下在粗糙的水平面上做匀速直线运动。当运动一段时间后拉力逐渐减小，且当拉力减小到零时，物体刚好停止运动。如图所示为拉力随位移变化的关系图象。取，则据此可以求得(    ) A. 物体与水平面间的动摩擦因数为 B. 整个过程摩擦力对物体所做的功为 C. 整个过程合外力对物体所做的功为 D. 整个过程合外力对物体所做的功为 三、计算题。 12.如图所示，一台起重吊车将质量的重物由静止开始以加速度竖直向上匀加速提升，末之后保持功率不变继续提升重物，直至重物匀速上升。取不计空气阻力，求： 前起重吊车拉力的大小 重物上升的最大速度 重物开始运动后内起重机提升重物的平均功率。 13.共享电动车已经成为我们日常生活中不可或缺的重要交通工具。如图所示，某共享电动车和驾驶员的总质量为，电动车的额定功率为。若电动车从静止开始以额定功率在水平路面沿直线行驶，行驶中最大速度为，假定行驶中所受阻力恒定，重力加速度取。求： 当电动车速度为时，其加速度大小； 若电动车从静止开始以的加速度匀加速启动，这一过程能维持的时间。 14.新能源汽车的研发和使用是近几年的热门话题。年月日晚，小米上市，创始人雷军宣布目标：“性能比肩保时捷，科技紧追特斯拉，豪华媲美”。性能方面，零百加速秒，最高时速可达公里每小时。一辆测试用的电动汽车质量，在水平的公路上由静止开始匀加速启动，当功率达到后保持功率恒定，匀加速持续的时间是，该车运动的速度与时间的关系如图所示，汽车在运动过程中所受阻力不变，重力加速度取，求： 该车在运动过程中所受阻力大小 该车在匀加速运动过程中所受牵引力的大小 从静止开始到末，该车所受牵引力所做的功结果保留三位有效数字 12 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 目录 8.2变力做功与机车启动问题 1 考点一　变力做功 1 考点二　摩擦力做功 3 考点三　机车的两种启动方式 5 题型1：恒定功率启动 6 题型2：恒定加速度启动 7 巩固训练·提升能力 9 8.2变力做功与机车启动问题 考点一　变力做功 必备知识·回顾梳理 方法 常见情景 方法概述 微元法 将物体的位移分割成许多小段，每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力，将求变力做功转化为求在无数个无穷小的位移方向上的恒力所做功的代数和。此法常应用于求解大小不变、方向改变的变力做功问题 平均力法 若物体受到的力方向不变，而大小随位移呈线性变化，即力均匀变化时，则可以认为物体受到一大小为F＝的恒力作用，然后用公式W＝Flcos α求解 图像法 在F－x和P－t图像中，图线与x轴或t轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移或这段时间内所做的功，且位于横轴上方的“面积”为正，位于横轴下方的“面积”为负。图甲中，力F做功W＝x0，图乙中，在0～t0时间内力做功W＝t0 化变力为恒力 直接求解变力做功时，通常比较复杂，但若通过转换研究对象，可化为恒力做功，用W＝Flcos α求解。此法常常应用于轻绳通过定滑轮拉物体的问题中 用W＝Pt计算 用W＝Pt计算功时，必须满足“变力的功率是一定”的这一条件 例题分析·考点题型 【例题1】（单选） 在多年前的农村，人们往往会选择让驴来拉磨把食物磨成面，假设驴对磨杆的平均拉力为，半径为，转动一周为，则(    ) A. 驴转动一周拉力所做的功为 B. 驴转动一周拉力所做的功为 C. 驴转动一周拉力的平均功率为 D. 磨盘边缘的线速度为 【变式训练1】（单选）某快递公司用无人机向山区配送急救药品。无人机载药后从卫生院平台由静止竖直起飞，其升力随高度变化规律如图所示。则从起点到升至高度为的过程中，升力对无人机做的总功为(    ) A. B. C. D. 【变式训练2】（单选）人在点拉着绳，通过一定滑轮吊起一质量的物体，如图所示．开始时绳与水平方向间的夹角为，在匀速提起物体的过程中，人由点沿水平方向运动了到达点，此时绳与水平方向成，取，则人对绳的拉力做的功为． A. B. C. D. 考点二　摩擦力做功 必备知识·回顾梳理 1.静摩擦力做功： (1)静摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功。 (2)一对相互作用的静摩擦力等大反向且两物体之间相对静止，即两个物体的对地位移相同，由W＝Flcos α可判断两个相互作用的静摩擦力做功的总和为零。 2.滑动摩擦力做功： (1)滑动摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功。 (2)一对相互作用的滑动摩擦力等大反向，但两物体间发生了相对滑动，即两个物体的对地位移不相同，由W＝Flcos α可判断两个相互作用的滑动摩擦力做功的总和不为零，且两力做功的总和一定为负值。 (3) 滑动摩擦力做功与斜面的倾角无关，与水平位移大小有关。 例题分析·考点题型 【例题1】（单选）如图所示，在某滑雪场滑雪者从点由静止沿斜面自由滑下，接着在水平面上滑至点停下，斜面、水平面与滑雪板之间的动摩擦因数都为，滑雪者包括滑雪板的质量为，取，、两点间的水平距离为。在滑雪者包括滑雪板经过段运动的过程中，克服摩擦力做的功为(    ) A. B. C. D. 【变式训练1】（单选）质量为的物体沿底面长度均为，倾角不同的、、三个斜面从顶端滑下，如图所示，物体和斜面间的滑动摩擦因数相同，、、三个斜面与水平面的夹角的关系是，物体从、、三个斜面顶端到底端过程中，摩擦力做功分别是、和，则它们的关系是(    ) A. B. C. D. 【变式训练2】（多选）如图所示，轻绳一端受到大小为的水平恒力作用，另一端通过定滑轮与质量为、可视为质点的小物块相连。开始时绳与水平方向的夹角为。当小物块从水平面上的点被拖动到水平面上的点时，位移为，随后从点沿斜面被拖动到定滑轮处，间距离也为。小物块与水平面及斜面间的动摩擦因数均为，若小物块从点运动到点的过程中，对小物块做的功为，小物块在段运动过程中克服摩擦力做的功为，则以下结果正确的是(    ) A. B. C. D. 考点三　机车的两种启动方式 必备知识·回顾梳理 1.P＝Fv中三个量的制约关系 定值 各量间的关系 应用 P一定 F与v成反比 汽车上坡时，要增大牵引力，应换低速挡减小速度 v一定 F与P成正比 汽车上坡时，若速度不变，应加大油门，增大输出功率，获得较大牵引力 F一定 v与P成正比 汽车在平直高速路上，加大油门增大输出功率，可以提高速度 2.机车的两种启动方式的比较 以恒定功率启动 以恒定加速度启动 P-t图像和v-t图像 OA段 过程分析 v↑→F＝↓ →a＝↓ a＝（不变）→F不变→P＝Fv↑直到P额＝Fv1 运动性质 加速度减小的加速直线运动 匀加速直线运动，维持时间t0＝ AB段 过程分析 F＝Ff、a＝0、 Ff＝ v↑→F＝↓→a＝↓ 运动性质 以vm做匀速直线运动 加速度减小的加速运动 BC段 F＝Ff→a＝0→以vm＝匀速运动 关键能力·规律方法 机车启动问题中几个物理量的求法 　　分析机车启动问题，要抓住两个核心方程：牛顿第二定律方程F－Ff＝ma，联系着力和速度的方程 P＝Fv，结合v-t图像进行分析。 （1）机车的最大速度vm的求法 机车最终匀速前进时速度最大，此时牵引力F大小等于阻力大小Ff，故vm＝＝。 （2）匀加速启动持续时间的求法 牵引力F＝ma＋Ff，匀加速的最后速度vm'＝，时间t＝。 （3）瞬时加速度的求法 根据F＝求出牵引力，则加速度a＝。 例题分析·考点题型 题型1：恒定功率启动 【例题1】（单选）已知某汽车的质量为，额定功率为，在平直路面运动过程中，汽车所受的阻力大小恒定。若保持额定功率不变，汽车能达到的最大速度为。现司机以的恒定功率启动，从静止开始做加速直线运动，当速度为时，汽车的加速度为(    ) A. B. C. D. 题型2：恒定加速度启动 【例题1】（单选）1.年月，“空中出租车”在上海试飞成功，完成首秀质量为的“空中出租车”在竖直方向的牵引力作用下，从静止开始竖直上升，其运动图像如图所示，为匀加速阶段，时刻“空中出租车”达到功率并保持不变，运动过程中阻力大小恒定下列说法正确的是(    ) A. 整个过程牵引力保持不变 B. 0-过程,牵引力做功为 C. 阻力大小为 D. 时刻“空中出租车”的功率为 【变式训练1】（多选）某同学用额定功率、最大拉力的提升装置，把静置于地面上质量为的重物竖直向上提起，该装置先用最大拉力使重物匀加速运动，功率达到额定值后保持不变，经一段时间后匀速上升，不计空气阻力，重力加速度取，则下列说法正确的是(    ) A. 重物上升过程中的最大加速度为 B. 重物匀加速上升的时间为 C. 重物上升过程中的最大速度为 D. 重物速度为时，加速度为 【变式训练2】新能源汽车的研发和使用是近几年的热门话题。一辆测试用的小型电动汽车模型质量在水平的公路上由静止开始匀加速启动，当功率达到后保持功率恒定，匀加速持续的时间是，该车运动的速度与时间的关系如图所示，汽车在运动过程中所受阻力不变，重力加速度取，求： 该车在运动过程中所受阻力大小； 该车在匀加速运动过程中所受牵引力的大小； 从静止开始到末该车所受牵引力所做的功。 巩固训练·提升能力 一、单选题。 1.如图所示，静止于光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力作用下，沿轴方向运动，拉力的大小随物块所在位置坐标的变化关系如图所示，图线为半圆。则小物块运动到处时所做的总功为(    ) A. B. C. D. 2.近年来，随着国家乡村振兴战略深入实施，绝大部分农村在农业生产中基本实现了机械化，极大的提高了农业生产效率。如图所示为一农业展览馆中展示的上个世纪七八十年代农村农业生产中驴拉磨将食物磨成粉浆的情景。假设在驴拉磨的过程中，驴对磨杆的拉力大小为，半径为，转动一周为，则下列说法正确的是 A.  驴拉磨一周过程中拉力做功为 B.   驴拉磨一周过程中拉力做功为 C.   驴拉磨一周过程中拉力做功平均功率为 D.   驴拉磨一周过程中拉力做功平均功率为 3.某块石头陷入淤泥过程中，其所受的阻力与深度的关系为已知，石头沿竖直方向做直线运动，当时，石头陷入淤泥过程中克服阻力做的功为(    ) A. B. C. D. 4.用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对钉子的阻力与钉进入木板的深度成正比，已知铁锤第一次将钉子钉进，如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同，那么，第二次钉子进入木板的深度是(    ) A. B. C. D. 5.木匠师傅用铁锤把钉子砸进木梁，每次砸钉的动作完全相同。木匠第一次砸钉就将钉子砸进了一半。已知钉子所受阻力与其进入木梁中的深度成正比，铁锤砸钉的能量全部用来克服钉子前进中的阻力做功，木匠要把一枚钉子全部砸进木梁，他共需砸锤(    ) A. 次 B. 次 C. 次 D. 次 6.如图所示，质量为的滑块可视为质点，从半径为的半球面的上端点处以初速度滑下，为最低点，为球心，、、三点等高，从到滑动过程中滑块所受的摩擦力大小恒为，则滑块(    ) A. 从到过程，重力做功为零 B. 从到过程，弹力做功不为零 C. 从到过程，摩擦力做功为 D. 从到过程，摩擦力做功为 二、多选题。 7.质量为的汽车沿平直公路运动，所受阻力大小恒为，汽车先以的加速度由静止开始作加速运动，当汽车发动机达额定功率后，保持额定功率不变继续加速，直到汽车达到最大速度，则(    ) A. 最大速度 B. 最大速度 C. 匀加速的时间为 D. 匀加速的时间为 8.电动方程式是目前世界上新能源汽车运动中级别最高的赛事，赛车在专业赛道水平路面上由静止启动，在前内做匀加速直线运动，末达到额定功率，之后保持额定功率继续运动，其图像如图所示．已知汽车的质量为，汽车受到地面的阻力为车重的，取，下列说法正确的是(    ) A. 赛车在时的瞬时功率 B. 赛车在加速过程中牵引力保持不变 C. 该赛车的最大速度是 D. 当速度时，其加速度为 9.一起重机的钢绳由静止开始匀加速提起质量为的重物，当重物的速度为时，起重机的功率达到最大值，之后起重机保持该功率不变，继续提升重物，最后重物以最大速度匀速上升，不计钢绳重力。整个过程中，下列说法正确的是(    ) A. 钢绳的最大拉力为 B. 重物匀加速过程的时间为 C. 重物匀加速过程的加速度为 D. 速度由增大至的过程中，重物的平均速度 10.某电动汽车由静止开始沿平直公路行驶，可达到的最大速度为，实测时利用在汽车上安装的各种传感器测量在行驶过程中汽车受到的牵引力和对应的速度，并描绘出图像，图中、均为直线，若汽车在行驶过程中受到的阻力恒定，由图像可知下列说法正确的是(    ) A. 阶段，牵引力的功率保持不变 B. 汽车在行驶过程中受到的阻力大小为 C. 若已知汽车总质量为，则汽车匀加速时间为 D. 汽车的额定功率为 11.一质量为的物体，在水平恒定拉力的作用下在粗糙的水平面上做匀速直线运动。当运动一段时间后拉力逐渐减小，且当拉力减小到零时，物体刚好停止运动。如图所示为拉力随位移变化的关系图象。取，则据此可以求得(    ) A. 物体与水平面间的动摩擦因数为 B. 整个过程摩擦力对物体所做的功为 C. 整个过程合外力对物体所做的功为 D. 整个过程合外力对物体所做的功为 三、计算题。 12.如图所示，一台起重吊车将质量的重物由静止开始以加速度竖直向上匀加速提升，末之后保持功率不变继续提升重物，直至重物匀速上升。取不计空气阻力，求： 前起重吊车拉力的大小 重物上升的最大速度 重物开始运动后内起重机提升重物的平均功率。 13.共享电动车已经成为我们日常生活中不可或缺的重要交通工具。如图所示，某共享电动车和驾驶员的总质量为，电动车的额定功率为。若电动车从静止开始以额定功率在水平路面沿直线行驶，行驶中最大速度为，假定行驶中所受阻力恒定，重力加速度取。求： 当电动车速度为时，其加速度大小； 若电动车从静止开始以的加速度匀加速启动，这一过程能维持的时间。 14.新能源汽车的研发和使用是近几年的热门话题。年月日晚，小米上市，创始人雷军宣布目标：“性能比肩保时捷，科技紧追特斯拉，豪华媲美”。性能方面，零百加速秒，最高时速可达公里每小时。一辆测试用的电动汽车质量，在水平的公路上由静止开始匀加速启动，当功率达到后保持功率恒定，匀加速持续的时间是，该车运动的速度与时间的关系如图所示，汽车在运动过程中所受阻力不变，重力加速度取，求： 该车在运动过程中所受阻力大小 该车在匀加速运动过程中所受牵引力的大小 从静止开始到末，该车所受牵引力所做的功结果保留三位有效数字 12 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 目录 8.2变力做功与机车启动问题 1 考点一　变力做功 1 考点二　摩擦力做功 3 考点三　机车的两种启动方式 5 题型1：恒定功率启动 6 题型2：恒定加速度启动 7 巩固训练·提升能力 9 8.2变力做功与机车启动问题 考点一　变力做功 必备知识·回顾梳理 方法 常见情景 方法概述 微元法 将物体的位移分割成许多小段，每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力，将求变力做功转化为求在无数个无穷小的位移方向上的恒力所做功的代数和。此法常应用于求解大小不变、方向改变的变力做功问题 平均力法 若物体受到的力方向不变，而大小随位移呈线性变化，即力均匀变化时，则可以认为物体受到一大小为F＝的恒力作用，然后用公式W＝Flcos α求解 图像法 在F－x和P－t图像中，图线与x轴或t轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移或这段时间内所做的功，且位于横轴上方的“面积”为正，位于横轴下方的“面积”为负。图甲中，力F做功W＝x0，图乙中，在0～t0时间内力做功W＝t0 化变力为恒力 直接求解变力做功时，通常比较复杂，但若通过转换研究对象，可化为恒力做功，用W＝Flcos α求解。此法常常应用于轻绳通过定滑轮拉物体的问题中 用W＝Pt计算 用W＝Pt计算功时，必须满足“变力的功率是一定”的这一条件 例题分析·考点题型 【例题1】（单选） 在多年前的农村，人们往往会选择让驴来拉磨把食物磨成面，假设驴对磨杆的平均拉力为，半径为，转动一周为，则(    ) A. 驴转动一周拉力所做的功为 B. 驴转动一周拉力所做的功为 C. 驴转动一周拉力的平均功率为 D. 磨盘边缘的线速度为 【答案】C  【解析】驴转动一周拉力所做的功为变力做功，由于驴转动一周的过程中，拉力的方向与运动的方向始终相同，所以拉力所做的功为，故AB错误； C.驴转动一周拉力的平均功率为，故C正确 D.磨盘边缘的线速度为，故D错误。 故选：。 【变式训练1】（单选）某快递公司用无人机向山区配送急救药品。无人机载药后从卫生院平台由静止竖直起飞，其升力随高度变化规律如图所示。则从起点到升至高度为的过程中，升力对无人机做的总功为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】由题意可知，图像与横轴围成的面积即为升力做的功，得，故选B。 【变式训练2】（单选）人在点拉着绳，通过一定滑轮吊起一质量的物体，如图所示．开始时绳与水平方向间的夹角为，在匀速提起物体的过程中，人由点沿水平方向运动了到达点，此时绳与水平方向成，取，则人对绳的拉力做的功为． A. B. C. D. 【答案】D  【解答】设滑轮距地面的高度为，则：，人由走到的过程中，重物上升的高度等于滑轮右侧绳子增加的长度，即：，人对绳子做的功为，代入数据可得，故D正确。 故选D． 考点二　摩擦力做功 必备知识·回顾梳理 1.静摩擦力做功： (1)静摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功。 (2)一对相互作用的静摩擦力等大反向且两物体之间相对静止，即两个物体的对地位移相同，由W＝Flcos α可判断两个相互作用的静摩擦力做功的总和为零。 2.滑动摩擦力做功： (1)滑动摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功。 (2)一对相互作用的滑动摩擦力等大反向，但两物体间发生了相对滑动，即两个物体的对地位移不相同，由W＝Flcos α可判断两个相互作用的滑动摩擦力做功的总和不为零，且两力做功的总和一定为负值。 (3) 滑动摩擦力做功与斜面的倾角无关，与水平位移大小有关。 例题分析·考点题型 【例题1】（单选）如图所示，在某滑雪场滑雪者从点由静止沿斜面自由滑下，接着在水平面上滑至点停下，斜面、水平面与滑雪板之间的动摩擦因数都为，滑雪者包括滑雪板的质量为，取，、两点间的水平距离为。在滑雪者包括滑雪板经过段运动的过程中，克服摩擦力做的功为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】设斜面的倾角为，则滑雪者包括滑雪板从到的运动过程中克服摩擦力做的功，由题图可知，联立解得。 故选C。 【变式训练1】（单选）质量为的物体沿底面长度均为，倾角不同的、、三个斜面从顶端滑下，如图所示，物体和斜面间的滑动摩擦因数相同，、、三个斜面与水平面的夹角的关系是，物体从、、三个斜面顶端到底端过程中，摩擦力做功分别是、和，则它们的关系是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解答】设斜面的底边长为，斜面的倾角为，则任一斜面的长度为； 物体在斜面下滑时所受的摩擦力大小为：， 摩擦力做功为：，与倾角无关，故，故ABC错误，D正确。 故选D。 【变式训练2】（多选）如图所示，轻绳一端受到大小为的水平恒力作用，另一端通过定滑轮与质量为、可视为质点的小物块相连。开始时绳与水平方向的夹角为。当小物块从水平面上的点被拖动到水平面上的点时，位移为，随后从点沿斜面被拖动到定滑轮处，间距离也为。小物块与水平面及斜面间的动摩擦因数均为，若小物块从点运动到点的过程中，对小物块做的功为，小物块在段运动过程中克服摩擦力做的功为，则以下结果正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】BC  【解析】、小物块从点运动到点的过程中，对小物块做的功为 ，为作用点的位移，即绳端移动的长度，小物体从运动到的过程中，利用几何关系得绳子缩短关系：，所以有：，故A错误，B正确。 、根据几何关系得斜面倾角为，小物体在段运动过程中摩擦力大小为，小物体在段运动过程中克服摩擦力做的功为：，故C正确，D错误。 考点三　机车的两种启动方式 必备知识·回顾梳理 1.P＝Fv中三个量的制约关系 定值 各量间的关系 应用 P一定 F与v成反比 汽车上坡时，要增大牵引力，应换低速挡减小速度 v一定 F与P成正比 汽车上坡时，若速度不变，应加大油门，增大输出功率，获得较大牵引力 F一定 v与P成正比 汽车在平直高速路上，加大油门增大输出功率，可以提高速度 2.机车的两种启动方式的比较 以恒定功率启动 以恒定加速度启动 P-t图像和v-t图像 OA段 过程分析 v↑→F＝↓ →a＝↓ a＝（不变）→F不变→P＝Fv↑直到P额＝Fv1 运动性质 加速度减小的加速直线运动 匀加速直线运动，维持时间t0＝ AB段 过程分析 F＝Ff、a＝0、 Ff＝ v↑→F＝↓→a＝↓ 运动性质 以vm做匀速直线运动 加速度减小的加速运动 BC段 F＝Ff→a＝0→以vm＝匀速运动 关键能力·规律方法 机车启动问题中几个物理量的求法 　　分析机车启动问题，要抓住两个核心方程：牛顿第二定律方程F－Ff＝ma，联系着力和速度的方程 P＝Fv，结合v-t图像进行分析。 （1）机车的最大速度vm的求法 机车最终匀速前进时速度最大，此时牵引力F大小等于阻力大小Ff，故vm＝＝。 （2）匀加速启动持续时间的求法 牵引力F＝ma＋Ff，匀加速的最后速度vm'＝，时间t＝。 （3）瞬时加速度的求法 根据F＝求出牵引力，则加速度a＝。 例题分析·考点题型 题型1：恒定功率启动 【例题1】（单选）已知某汽车的质量为，额定功率为，在平直路面运动过程中，汽车所受的阻力大小恒定。若保持额定功率不变，汽车能达到的最大速度为。现司机以的恒定功率启动，从静止开始做加速直线运动，当速度为时，汽车的加速度为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】汽车以额定功率运动，汽车做匀速直线运动时速度最大，设此时牵引力为，阻力为，由平衡条件得：， 由功率公式可知，牵引力：，则汽车受到的阻力， 以的恒定功率启动，当汽车的速度速度时，牵引力， 对汽车，由牛顿第二定律得：，解得：，故B正确，ACD错误。 题型2：恒定加速度启动 【例题1】（单选）1.年月，“空中出租车”在上海试飞成功，完成首秀质量为的“空中出租车”在竖直方向的牵引力作用下，从静止开始竖直上升，其运动图像如图所示，为匀加速阶段，时刻“空中出租车”达到功率并保持不变，运动过程中阻力大小恒定下列说法正确的是(    ) A. 整个过程牵引力保持不变 B. 0-过程,牵引力做功为 C. 阻力大小为 D. 时刻“空中出租车”的功率为 【答案】D  【解析】A.0~t1过程中牵引力F不变，而速度均匀增大，故功率均匀增大，t1后功率不变，速度继续增加，牵引力减小，“空中出租车”做加速度减小的加速运动，直到加速度为0后匀速，故A错误； B.由于0~t1过程中牵引力功率小于P，故0~t2过程中牵引力做功小于Pt2，故B错误； C.t2时刻，“空中出租车”加速度减为0，此时牵引力F=mg+F阻=，故阻力大小为F阻=-mg，故C错误； D.0~t1过程中牵引力F不变，速度均匀增大，由P=Fv1=Fat1，时刻P'=Fv'=Fa=，故D正确。 【变式训练1】（多选）某同学用额定功率、最大拉力的提升装置，把静置于地面上质量为的重物竖直向上提起，该装置先用最大拉力使重物匀加速运动，功率达到额定值后保持不变，经一段时间后匀速上升，不计空气阻力，重力加速度取，则下列说法正确的是(    ) A. 重物上升过程中的最大加速度为 B. 重物匀加速上升的时间为 C. 重物上升过程中的最大速度为 D. 重物速度为时，加速度为 【答案】AC  【解析】A.重物上升过程中的最大加速度为，选项A正确 B.重物匀加速上升，，，选项B错误 C.匀加速能达到的最大速度，选项C正确； D.重物速度为时，物体仍匀加速运动，加速度为，选项D错误。 【变式训练2】新能源汽车的研发和使用是近几年的热门话题。一辆测试用的小型电动汽车模型质量在水平的公路上由静止开始匀加速启动，当功率达到后保持功率恒定，匀加速持续的时间是，该车运动的速度与时间的关系如图所示，汽车在运动过程中所受阻力不变，重力加速度取，求： 该车在运动过程中所受阻力大小； 该车在匀加速运动过程中所受牵引力的大小； 从静止开始到末该车所受牵引力所做的功。 【答案】当牵引力等于阻力时，速度达到最大值，则有， 可得该车在运动过程中所受阻力大小为； 根据图像可知，匀加速阶段加速度大小为， 根据牛顿第二定律有， 则该车在匀加速运动过程中所受牵引力的大小； 内汽车匀加速运动的位移为， 牵引力做的功为， 变加速过程中，即内，汽车牵引力的功率恒为，所以该过程中牵引力做的功为， 则从静止开始到末该车所受牵引力所做的功； 巩固训练·提升能力 一、单选题。 1.如图所示，静止于光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力作用下，沿轴方向运动，拉力的大小随物块所在位置坐标的变化关系如图所示，图线为半圆。则小物块运动到处时所做的总功为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】在图像中，图线与轴所围面积的代数和就表示力在这段位移内所做的功，面积，故选C。 2.近年来，随着国家乡村振兴战略深入实施，绝大部分农村在农业生产中基本实现了机械化，极大的提高了农业生产效率。如图所示为一农业展览馆中展示的上个世纪七八十年代农村农业生产中驴拉磨将食物磨成粉浆的情景。假设在驴拉磨的过程中，驴对磨杆的拉力大小为，半径为，转动一周为，则下列说法正确的是 A.  驴拉磨一周过程中拉力做功为 B.   驴拉磨一周过程中拉力做功为 C.   驴拉磨一周过程中拉力做功平均功率为 D.   驴拉磨一周过程中拉力做功平均功率为 【答案】C  【解答】驴对磨杆的拉力大小不变，方向时刻改变，是变力，驴对磨杆的拉力始终做正功，根据功的公式可得，驴拉磨一周过程中拉力做功，故AB错误； 根据公式，得驴拉磨一周过程中拉力做功平均功率，故C正确，D错误。 3.某块石头陷入淤泥过程中，其所受的阻力与深度的关系为已知，石头沿竖直方向做直线运动，当时，石头陷入淤泥过程中克服阻力做的功为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】所受的阻力与深度的关系为线性关系，则有。 故选C。 4.用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对钉子的阻力与钉进入木板的深度成正比，已知铁锤第一次将钉子钉进，如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同，那么，第二次钉子进入木板的深度是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解答】在将钉子钉入木板的过程中，阻力与深度成正比，图像如图所示： ， 设图线斜率为。第一次做功；第二次做功，解得，则第二次钉子进入木板的深度，故D正确，ABC错误。 5.木匠师傅用铁锤把钉子砸进木梁，每次砸钉的动作完全相同。木匠第一次砸钉就将钉子砸进了一半。已知钉子所受阻力与其进入木梁中的深度成正比，铁锤砸钉的能量全部用来克服钉子前进中的阻力做功，木匠要把一枚钉子全部砸进木梁，他共需砸锤(    ) A. 次 B. 次 C. 次 D. 次 【答案】C  【解答】已知钉子所受阻力与其进入木梁中的深度成正比，可知前一半深度与后一半深度的平均阻力之比为，可知前一半深度与后一半深度过程中，阻力做功之比为，由题意可知，每次砸锤，锤对钉做功相同，则将钉全部砸进木梁需要砸次，故C正确，ABD错误。 故选：。 6.如图所示，质量为的滑块可视为质点，从半径为的半球面的上端点处以初速度滑下，为最低点，为球心，、、三点等高，从到滑动过程中滑块所受的摩擦力大小恒为，则滑块(    ) A. 从到过程，重力做功为零 B. 从到过程，弹力做功不为零 C. 从到过程，摩擦力做功为 D. 从到过程，摩擦力做功为 【答案】D  【解答】A.从到过程，重力做功为：，故A错误； B.从到过程，弹力和运动方向垂直速度沿切线方向，弹力做功为零，故B错误； C.由于从到滑动过程中滑块所受的摩擦力大小恒为，则从到过程，摩擦力做功为： ，故C错误； D.由于从到滑动过程中滑块所受的摩擦力大小恒为，则从到过程，摩擦力做功为： ，故D正确。 二、多选题。 7.质量为的汽车沿平直公路运动，所受阻力大小恒为，汽车先以的加速度由静止开始作加速运动，当汽车发动机达额定功率后，保持额定功率不变继续加速，直到汽车达到最大速度，则(    ) A. 最大速度 B. 最大速度 C. 匀加速的时间为 D. 匀加速的时间为 【答案】BC  【解答】当汽车达到最大速度时，牵引力与阻力相等，故最大速度，故A错误，B正确； 根据牛顿第二定律：，解得：；匀加速过程的最大速度，则匀加速的时间，故C正确，D错误。 故选BC。 8.电动方程式是目前世界上新能源汽车运动中级别最高的赛事，赛车在专业赛道水平路面上由静止启动，在前内做匀加速直线运动，末达到额定功率，之后保持额定功率继续运动，其图像如图所示．已知汽车的质量为，汽车受到地面的阻力为车重的，取，下列说法正确的是(    ) A. 赛车在时的瞬时功率 B. 赛车在加速过程中牵引力保持不变 C. 该赛车的最大速度是 D. 当速度时，其加速度为 【答案】AC  【解析】A.赛车在前内的加速度，牵引力 ， 时的瞬时功率，选项A正确； B.赛车从达到额定功率到达到最大速度阶段，随速度的增加，牵引力逐渐减小，选项B错误； C.该赛车的最大速度是，选项C正确； D.当速度  时，其加速度为，选项D错误。 故选AC。 9.一起重机的钢绳由静止开始匀加速提起质量为的重物，当重物的速度为时，起重机的功率达到最大值，之后起重机保持该功率不变，继续提升重物，最后重物以最大速度匀速上升，不计钢绳重力。整个过程中，下列说法正确的是(    ) A. 钢绳的最大拉力为 B. 重物匀加速过程的时间为 C. 重物匀加速过程的加速度为 D. 速度由增大至的过程中，重物的平均速度 【答案】BD  【解析】A.匀加速过程物体处于超重状态，钢绳拉力最大，匀加速运动阶段钢绳的拉力为，故A错误； 根据牛顿第二定律可知 结合  ，解得， 故B正确，C错误； D.在速度由  增大至  的过程中，重物做加速度减小的变加速运动，则平均速度，故D正确。 故选：。 10.某电动汽车由静止开始沿平直公路行驶，可达到的最大速度为，实测时利用在汽车上安装的各种传感器测量在行驶过程中汽车受到的牵引力和对应的速度，并描绘出图像，图中、均为直线，若汽车在行驶过程中受到的阻力恒定，由图像可知下列说法正确的是(    ) A. 阶段，牵引力的功率保持不变 B. 汽车在行驶过程中受到的阻力大小为 C. 若已知汽车总质量为，则汽车匀加速时间为 D. 汽车的额定功率为 【答案】BD  【解析】阶段，牵引力保持不变，根据公式易知随着电动汽车速度的增加，牵引力的功率增加，故 A错误 由题图可知，当电动汽车速度最大时，牵引力等于阻力，可得，故B正确 段汽车恒功率启动，电动汽车的额定功率为，故D正确 阶段，牵引力保持不变，根据牛顿第二定律有，解得，匀加速的末速度，匀加速的末速度，解得，故C错误。 故选BD。 11.一质量为的物体，在水平恒定拉力的作用下在粗糙的水平面上做匀速直线运动。当运动一段时间后拉力逐渐减小，且当拉力减小到零时，物体刚好停止运动。如图所示为拉力随位移变化的关系图象。取，则据此可以求得(    ) A. 物体与水平面间的动摩擦因数为 B. 整个过程摩擦力对物体所做的功为 C. 整个过程合外力对物体所做的功为 D. 整个过程合外力对物体所做的功为 【答案】AD  【解答】A.当做匀速直线运动时：，即：，故A正确； B.在整个过程中，物体发生的位移为，故摩擦力做功，故B错误； ．图象面积即为拉力做的功，可求得：，则在整个过程中，合外力对物体所做的功为，故C错误，D正确。 故选AD。 三、计算题。 12.如图所示，一台起重吊车将质量的重物由静止开始以加速度竖直向上匀加速提升，末之后保持功率不变继续提升重物，直至重物匀速上升。取不计空气阻力，求： 前起重吊车拉力的大小 重物上升的最大速度 重物开始运动后内起重机提升重物的平均功率。 【答案】解：由牛顿第二定律有， 解得 ； 起重机做匀加速直线运动，有，， 解得 ， 达到最大速度时，加速度为零，有， 解得； 匀加速直线运动阶段牵引力做功为，， 牵引力的功为， 平均功率为。 13.共享电动车已经成为我们日常生活中不可或缺的重要交通工具。如图所示，某共享电动车和驾驶员的总质量为，电动车的额定功率为。若电动车从静止开始以额定功率在水平路面沿直线行驶，行驶中最大速度为，假定行驶中所受阻力恒定，重力加速度取。求： 当电动车速度为时，其加速度大小； 若电动车从静止开始以的加速度匀加速启动，这一过程能维持的时间。 【答案】当时，速度最大，即 当时，， 解得： 根据题意， 匀加速直线时，根据牛顿第二定律：得 当达到额定功率时，匀加速运动结束， 解得：  14.新能源汽车的研发和使用是近几年的热门话题。年月日晚，小米上市，创始人雷军宣布目标：“性能比肩保时捷，科技紧追特斯拉，豪华媲美”。性能方面，零百加速秒，最高时速可达公里每小时。一辆测试用的电动汽车质量，在水平的公路上由静止开始匀加速启动，当功率达到后保持功率恒定，匀加速持续的时间是，该车运动的速度与时间的关系如图所示，汽车在运动过程中所受阻力不变，重力加速度取，求： 该车在运动过程中所受阻力大小 该车在匀加速运动过程中所受牵引力的大小 从静止开始到末，该车所受牵引力所做的功结果保留三位有效数字 【答案】当牵引力等于阻力时，速度达到最大值，则有， 可得该车在运动过程中所受阻力大小为 根据图像可知，匀加速阶段加速度大小为， 根据牛顿第二定律有， 时刻功率达到最大功率 则该车在匀加速运动过程中所受牵引力的大小 内汽车匀加速运动的加速度为 内汽车匀加速运动的位移为， 牵引力做的功为， 变加速过程中，即内，汽车牵引力的功率恒为，所以该过程中牵引力做的功为， 则从静止开始到末该车所受牵引力所做的功。 12 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $