2.4解直角三角形同步训练2025-2026学年鲁教版（五四制）（2012）数学九年级上册

2.4解直角三角形同步训练 一、单选题 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，若tanA=,则sinA的值是() A. B.等 C. D.月 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，则能=() R A.tanA B.tanB C.sinA D.cosB 3.如图，在△ABC中，∠A=88°，∠C=42°，AB=6,则点A到BC的距离是() 6 A.6sin50° B.sin50 C.6cos50 D.6tan50 4.△ABC中，∠BAC=60°，AD平分∠BAC交BC于D,AD=3V3,BC=4V7,则 △ABC的面积为() A.367 B.245 C.18v7 D.12V5 5.在边长相等的小正方形组成的网格中，点A,B,C都在格点上，那么sin∠ACB的值为 () A号 B. c. D.青 6.如图，在△ABC冲，∠A=30°，AC=25,an8=号，则AB的长为() B C A.2+2V5 B.3+V5 C.4 D.5 二、填空题 7.在△ABC中，AB=3V6,AC=6,∠B=45°，则BC= 8.如图，在△ABC中，AB=3,sinB=号，∠C=45°，则AC的长为 B 9.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，sinB=克，CD是高.若AD=2,则BD= A D 10.如图，在△ABC中，∠ABC=30°，tanC=青，AB=6,则BC的长为 B C ll.如图，在Rt△BAD中，延长斜边BD到点C,使DC=专BD,连接AC,若tanB=号 ,则tan∠CAD=_ B D 三、解答题 12.在△ABC中，AB=6,∠B为锐角且cosB=支，tanC=3V5.求BC的长。 B C 13.在△ABC中，∠C=90°，∠A∠B,∠C的对边分别为a,b,c,由下列条件解直角三 角形 ()∠A=45°，b=103 (2)a=V6,c=2N2 14.在△ABC中，∠B=120°，AB=4,BC=2,求AC的长. 120 B 15.如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AC=4,求AB和BC的长. 16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D.若AC=2,AB=V5 ，求： B D (I)tanA的值； (2)CD的长. 参考答案 1.D 【分析】本题主要考查了解直角三角形，掌握其相关知识点是解题的关键.根据正切的定义 先表示出BC,AC,再根据勾股定理求出AB,然后根据正弦的定义解答即可. 【详解】解：如图，在Rt△ABC中，∠C=90,tanA==, 设CB=3x,AC=4x,根据勾股定理得： AB=BC2+AC2=5x, sinA=脂=器=寻 故选：D. 2.B 【分析】本题考查了解直角三角形的相关运算，根据相关性质内容进行逐项分析，即可作答. 【详解】解：A、在Rt△ABC中，tanA=,故该选项不符合题意； B、在Rt△ABC中，tanB=能，故该选项符合题意： C、在Rt△ABC中，sinA=脂，故该选项不符合题意， D、在Rt△ABC中，cOsB=脂，故该选项不符合题意； 故选：B 3.A 【分析】本题考查了解直角三角形和点到直线的距离，解题的关键是掌握解直角三角形和点 到直线的距离定义， 过点A作AD⊥BC,通过三角形内角和定理求出∠B的度数，再在直角三角形中利用正弦求 出点A到BC的距离， 【详解】解：过点作AD⊥BC,垂足为D, 在△ABC中，∠A=88°，AB=6, ·∠B=180°-88°-42°=50°， 在Rt△ADB中，sin50°=器， ÷AD=6sin50°， .点A到BC的距离为6sin50o. 故选：A. 4.D 【分析】过点B作BE⊥AC于点E,作BF⊥AD于点F,过点C作CG⊥AD于点G,设 AC=b,AB=c,先用三角函数的知识表示出BE和AE,进而表示出△ABC的面积和 CE的长，在Rt△BEC中利用勾股定理并整理得到(b+c)2-3bc=112:再利用角平 分线的定义和三角函数的知识表示出BF和CG,进而表示出△ABD和△ACD的面积，利 用S△4Bc=S△4BD+S△4D整理得到bc=3(b+C),令x=b+c,y=bc,联立方程 解出x,y的值即可得出答案 【详解】解：如图，过点B作BE⊥AC于点E,作BF⊥AD于点F,过点C作CG⊥AD于 点G, G 设AC=b,AB=c, :BE⊥AC,BF⊥AD,CG⊥AD, ·∠AEB=∠BEC=∠AFB=∠G=90°， 在Rt△ABE中，sinBAE-=噩-=sim60°，cos∠BAE==cos60°， BE=c.AE-ic. 答案第1页，共2页 aS△ABc=支ACBE=b.9c=bc,CE=AC-AB=b-支c 在Rt△BEC中，BE2+CE2=BC2, .(9c)+(b-c)2=(45)月 整理得：b2+c2-bc=112,即(b+c)2-3bc=112: :AD平分∠BAC, ·∠BAF=∠CAG=∠BAC=30°， :BF=ABsin.∠BAF=ABsin30°=专c,CG=ACsin∠CAG=ACsin30°=b, SAABDT=AD·BF=寺·3V5,支c=9c, Sa4m=AD.CG=支3V5,b=渠b. :S△4Bc=S△4BD+S△4cD, 6c=9b+9c, 整理得：bc=3(b+c); (x2-3y=112 令x=b+c,y=bc,则y=3x (x=16（x=-7 解得： {y=48或1y=-21(舍去)， 5A4Bc=9bc=号×48=125. 故选：D. 【点晴】本题考查了解直角三角形、勾股定理、三角形的面积公式、一元二次方程的应用， 熟练掌握相关知识点，利用等面积法和勾股定理建立方程是解题的关键.本题属于几何压轴 题，有一定难度，适合有能力解决几何难题的学生。 5.C 【分析】本题考查解直角三角形，过点B作AC的垂线构造出直角三角形及熟知正弦的定义 是解题的关键.也考查了等腰三角形的三线合一性质， 【详解】解：过点B作AC的垂线，垂足为M,设小正方形的边长为a, “在边长相等的小正方形组成的网格中，点A,B,C都在格点上， AB=Va2+(3a)2=V10a,BC=Va2+(3a)2=V10a, AC=V(2a)2+(2a)2=22a, :AB=BC, BM⊥AC, :点M是AC的中点， :CM=AC=克×2V2a=V2a, 在Rt△BCM中，BM=Bc2-cM2=V(oa)-(V2a)=2WEa, :s1 nLACB=哭=22=35 v10a 5， sin∠ACB的值为325 5 故选：C 6.D 【分析】作CD⊥AB于D,根据∠A=30·,AC=2W3,算出CD和AD,再根据 tamB=品=号，算出BD,最后根据AB=AD+BD计算即可。 【详解】如下图，作CD⊥AB于D, B 在Rt△ACD中，∠A=30°，AC=2V3, CD=AC=3,AD=3CD=3. 在Rt△BCD中，tamB=器=-复， 答案第1页，共2页 BD=2, ·AB=AD+BD=3+2=5, 故选：D 【点晴】本题考查了用锐角三角函数解非直角三角形，作垂直构造直角三角形是解题的关键. 7.33+3或3V5-3 【分析】画出图形，分△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论即可. 【详解】解：情况一：当△ABC为锐角三角形时，如图1所示： B450 B145° CH 及 图1 图2 过A点作AH⊥BC于H, :∠B=45°， .△ABH为等腰直角三角形， AH=8H=岩-普-6 在Rt△ACH中，由勾股定理可知：CH=VAC2-AH2=V36-27=3, :.BC=BH+CH=33+3. 情况二：当△ABC为钝角三角形时，如图2所示： 由情况：A=8H=号-誓=35，CH=hC-A=V6-27-3, :.BC=BH-CH=3V3 -3. 故答案为：3√5+3或35-3 【点晴】本题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理的应用，本题的关键是能将△ABC 分成锐角三角形或钝角三角形分类讨论. 8.2V2 【分析】过点A作AD⊥BC于点D,解Rt△ABD,得出AD=2,进而解Rt△ADC,即 可求解。 【详解】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D, B D :AB=3,sinB=号 :AD=sinB×AB=号×3=2， ∠C=45°，AD1DC AC=器=22， 故答案为：22. 【点晴】本题考查了解直角三角形，掌握三角形的边角关系是解题的关键， 9.6 【分析】本题考查了解直角三角形的计算，掌握锐角三角函数值的计算是关键， 根据锐角三角函数的计算得到∠B=30°=∠ACD,则AC=2AD=4,AB=2AC=8, 由此即可求解. 【详解】解：在△ABC中，∠ACB=90°，sinB=克，CD是高， .∠A+∠B=∠A十∠ACD=90°，∠B=30°， ∠ACD=∠B=30°， .AC=2AD=4, .AB=2AC=8, BD=AB-AD=8-2=6, 故答案为：6. 10.9+3V3/3V3+9 【分析】本题主要考查了解直角三角形以及勾股定理，熟练掌握解直角三角形的方法是解答 本题的关键.作AD⊥BC于D,设AD=X,根据题意可得CD=3x,进而解直角△ADB 得出BD=3V3,AD=x=3,即可求解。 【详解】解：如图所示，作AD LBC于D, 答案第1页，共2页