学易金卷：九年级数学上学期第三次月考02（人教版，测试范围：九年级上册全部内容）

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级数学上学期第三次月考 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版九年级上册全部。 第一部分（选择题 共36分） 1、 选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是(    ) A．B．C．D． 2．已知半径为，圆心O到点A的距离为，则点A与的位置关系是（　） A．相切 B．圆外 C．圆上 D．圆内 3．下列事件中，属于必然事件的是（    ） A．掷一枚硬币，正面朝上B．明天降温 C．购买一张彩票，未中奖 D．三角形内角和为 4．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 6．抛物线的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 7．用配方法解方程，下列配方正确的是（    ） A． B． C． D． 8．如图，是半径，是的弦，且于点，若，则弦的长是（    ）. A．8 B．12 C．16 D．20 9．如图，将绕点逆时针方向旋转得到，若点恰好落在边上，则的度数是（    ）. A． B． C． D． 10．若关于的一元二次方程有两个不相等实数根，则的取值范围是（    ）. A． B．且 C．且 D． 11．如图，是二次函数的图象，则不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 12．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc＞0 ②4a+2b+c＞0 ③4ac﹣b2＜8a ④＜a＜⑤b＞c．其中含所有正确结论的选项是（　　） A．①③ B．①③④ C．②④⑤ D．①③④⑤ 第二部分（非选择题 共84分） 2、 填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。 13．二次函数的二次项系数是 ． 14．下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果： 投篮的次数 投中的次数 投中的频率 这名球员投篮一次，投中的概率约是 （精确到）． 15．将抛物线向上平移2个单位长度，得到的抛物线解析式是 ． 16．如图，在中，，，，将绕点A顺时针旋转得到，使点在的延长线上，则的长为 ． 17．已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积为 cm2． 18．如图三角形ABC中，AB=3，AC=4，以BC为边向三角形外作等边三角形BCD，连AD，则当∠BAC= 度时，AD有最大值 ． 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（8分）解方程：x2﹣4x+4＝0． 20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，，． (1)作出与关于原点对称的图形； (2)作出绕原点逆时针旋转后的，并写出点，的坐标． 21．（8分）人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动，中国人工智能行业可按照应用领域分为四大类别：决策类人工智能，人工智能机器人，语音及语义人工智能，视觉类人工智能，将四个类型的图标依次制成A，B，C，D四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上． (1)随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为_______； (2)从中随机抽取一张，记录卡片的内容后不放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽取到的两张卡片中不含D卡片的概率． 22．（8分）如图，是由在平面内绕点逆时针旋转得到的，且，，连接． (1)求证：； (2)四边形是什么特殊的四边形？并说明理由． 23．（8分）2022年教育部正式印发《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，《劳动》成为一门独立的课程. 某学校率先行动，在校园开辟了一块劳动教育基地，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养殖园（靠墙的一边不需用篱笆），墙长为16米. (1)当围成的矩形养殖园面积为108平方米时，求养殖园的边的长； (2)求矩形养殖园面积的最大值. 24．（10分）已知一直线与，是的直径，于点． (1)如图1，当直线与相切于点时，求证：平分； (2)如图2，当直线与相交于点时，若，，求关于的函数解析式． 25．（10分）如图，直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴的另一个交点为A，顶点为P． (1)求3m+n的值； (2)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使以C，P，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． (3)将该抛物线在x轴上方的部分沿x轴向下翻折，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴下方的部分组成一个“M“形状的新图象，若直线y＝x+b与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点，求b的值． 26．（12分）如图，P是正方形ABCD中一动点，连接PA，PB，PC． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，当时，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，若正方形ABCD的边长为8，Q为BC上一点，，连接AQ，PQ，求面积的最大值． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期第三次月考 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版九年级上册全部。 第一部分（选择题 共36分） 1、 选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是(    ) A．B．C．D． 2．已知半径为，圆心O到点A的距离为，则点A与的位置关系是（　） A．相切 B．圆外 C．圆上 D．圆内 3．下列事件中，属于必然事件的是（    ） A．掷一枚硬币，正面朝上B．明天降温 C．购买一张彩票，未中奖 D．三角形内角和为 4．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 6．抛物线的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 7．用配方法解方程，下列配方正确的是（    ） A． B． C． D． 8．如图，是半径，是的弦，且于点，若，则弦的长是（    ）. A．8 B．12 C．16 D．20 9．如图，将绕点逆时针方向旋转得到，若点恰好落在边上，则的度数是（    ）. A． B． C． D． 10．若关于的一元二次方程有两个不相等实数根，则的取值范围是（    ）. A． B．且 C．且 D． 11．如图是二次函数的图象，则不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 12．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc＞0 ②4a+2b+c＞0 ③4ac﹣b2＜8a ④＜a＜⑤b＞c．其中含所有正确结论的选项是（　　） A．①③ B．①③④ C．②④⑤ D．①③④⑤ 第二部分（非选择题 共84分） 2、 填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。 13．二次函数的二次项系数是 ． 14．下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果： 投篮的次数 投中的次数 投中的频率 这名球员投篮一次，投中的概率约是 （精确到）． 15．将抛物线向上平移2个单位长度，得到的抛物线解析式是 ． 16．如图，在中，，，，将绕点A顺时针旋转得到，使点在的延长线上，则的长为 ． 17．已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积为 cm2． 18．如图三角形ABC中，AB=3，AC=4，以BC为边向三角形外作等边三角形BCD，连AD，则当∠BAC= 度时，AD有最大值 ． 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（8分）解方程：x2﹣4x+4＝0． 20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，，． (1)作出与关于原点对称的图形； (2)作出绕原点逆时针旋转后的，并写出点，的坐标． 21．（8分）人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动，中国人工智能行业可按照应用领域分为四大类别：决策类人工智能，人工智能机器人，语音及语义人工智能，视觉类人工智能，将四个类型的图标依次制成A，B，C，D四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上． (1)随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为_______； (2)从中随机抽取一张，记录卡片的内容后不放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽取到的两张卡片中不含D卡片的概率． 22．（8分）如图，是由在平面内绕点逆时针旋转得到的，且，，连接． (1)求证：； (2)四边形是什么特殊的四边形？并说明理由． 23．（8分）2022年教育部正式印发《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，《劳动》成为一门独立的课程. 某学校率先行动，在校园开辟了一块劳动教育基地，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养殖园（靠墙的一边不需用篱笆），墙长为16米. (1)当围成的矩形养殖园面积为108平方米时，求养殖园的边的长； (2)求矩形养殖园面积的最大值. 24．（10分）已知一直线与，是的直径，于点． (1)如图1，当直线与相切于点时，求证：平分； (2)如图2，当直线与相交于点时，若，，求关于的函数解析式． 25．（10分）如图，直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴的另一个交点为A，顶点为P． (1)求3m+n的值； (2)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使以C，P，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． (3)将该抛物线在x轴上方的部分沿x轴向下翻折，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴下方的部分组成一个“M“形状的新图象，若直线y＝x+b与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点，求b的值． 26．（12分）如图，P是正方形ABCD中一动点，连接PA，PB，PC． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，当时，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，若正方形ABCD的边长为8，Q为BC上一点，，连接AQ，PQ，求面积的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第2页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期第三次月考 参考答案 第一部分（选择题 共36分） 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A C D C D D D C A C D D 第二部分（非选择题 共84分） 二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。 13.3 14.0.5 15. 16.1 17. 18. 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19.【详解】解：∵， ∴，（2分） ∴．（4分） 20.【详解】（1）解：如图所示，即为所求；（4分） （2）解：如图所示，即为所求；的坐标为，的坐标为（8分） 21.【详解】（1）一共有4种等可能性，抽到决策类人工智能的卡片有1种等可能性， 故抽到决策类人工智能的卡片的概率为， 故答案为：．（2分） （2）根据题意，画树状图如下：（8分） 一共有12种等可能性，其中，两张卡片中不含D卡片等可能性有6种． 故两张卡片中不含D卡片的概率是． 22.【详解】（1）证明：由旋转知，，，，           ∵， ∴， ∴，，                     在和中， ， ∴；（4分） （2）解：四边形是菱形，理由如下： ∵， ∴， ∵，，， ∴，                     ∴四边形是菱形．（8分） 23.【详解】（1）解：∵用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养殖园（靠墙的一边不需用篱笆），墙长为16米. ∴设养殖园的边的长为， 则， 那么 解得 ∵墙长为16米. ∴ ∴养殖园的边的长为米；（4分） （2）解：设矩形养殖园面积为， ∴ ∵ ∴开口向下，在时，有最大值，且为平方米．（8分） 24.【详解】（1）∵是的直径，于点，直线与相切于点． ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分．（4分） （2）关系是，理由如下： 连接，∵是的直径，， ∴， ∵四边形是内接四边形， ∴， ∴， 根据圆周角定理，得， ∴, 故．（10分） 25.【详解】解：(1)直线y＝x﹣3，令y＝0，则x＝3，令x＝0，则y＝﹣3， 故点B、C的坐标分别为(3，0)、(0，﹣3)， 将点B、C的坐标分别代入抛物线表达式得：，解得： ， 则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x﹣3，则点A坐标为(1，0)，顶点P的坐标为(2，1)， 3m+n＝12﹣3＝9；（3分） (2) ①当CP＝CQ时， C点纵坐标为PQ中点的纵坐标相同为﹣3， 故此时Q点坐标为(2，﹣7)； ②当CP＝PQ时， ∵PC=， ∴点Q的坐标为(2，1﹣)或(2，1+)； ③当CQ＝PQ时， 过该中点与CP垂直的直线方程为：y＝﹣x﹣， 当x＝2时，y＝﹣，即点Q的坐标为(2，﹣)； 故：点Q的坐标为(2，1﹣2)或(2，1+2)或(2，﹣)或(2，﹣7)；（6分） (3)图象翻折后的点P对应点P′的坐标为(2，﹣1)， ①在如图所示的位置时，直线y＝x+b与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点， 此时C、P′、B三点共线，b＝﹣3； ②当直线y＝x+b与翻折后的图象只有一个交点时， 此时，直线y＝x+b与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点； 即：x2﹣4x+3＝x+b，△＝52﹣4(3﹣b)＝0，解得：b＝﹣． 即：b＝﹣3或﹣．（10分） 26.【详解】（1）解：四边形是正方形， ，， ， ，， ，， ， ．（3分） （2）证明：将绕点顺时针旋转，得到，则，，，，． ，， ， ，即， ， 又 ，， ． ， ，，， 与都是等腰直角三角形， ， 又 ， ．（7分） （3）解：由（2）得， 以为圆心，为半径作圆，则点在上，过点作，交于，交于，连接、，则当点与点重合时，的面积最大． ，， ， ，即． ， ． 的面积为， 即面积的最大值为．（12分） 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ) ( ) 2025-2026学年九年级数学上学期第三次月考 数学·答题卡 ( 姓 名： __________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） ( 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 12 [A] [B] [C] [D] ) ( 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 1 3． ______________ 1 4． ______________ 1 5． ______________ 1 6． ______________ 17. ． ______________ 18.． ______________ 三、解答题（本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19 ．（8分） ) ( 20.（8分） 21．（8分） （1） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 22．（8分） 23．（8分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 24.(10分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 25．（10分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ( 26．（1 2 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 第4页 第5页 第6页 第1页 第2页 第3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期第三次月考 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版九年级上册全部。 第一部分（选择题 共36分） 1、 选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是(    ) A．B．C．D． 【答案】A 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意； C、既不是轴对称图形，也又是中心对称图形，故此选项不合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 2．已知半径为，圆心O到点A的距离为，则点A与的位置关系是（　） A．相切 B．圆外 C．圆上 D．圆内 【答案】C 【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与直径的大小关系：当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内，据此作答即可． 【详解】∵半径为，圆心O到点A的距离为， ∴， ∴点A与的位置关系是点在圆上， 故选：C． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握知识点是解题的关键． 3．下列事件中，属于必然事件的是（    ） A．掷一枚硬币，正面朝上 B．明天降温 C．购买一张彩票，未中奖 D．三角形内角和为 【答案】D 【分析】本题主要考查随机事件及必然事件，熟练掌握随机事件及必然事件的概念是解题的关键． 根据随机事件及必然事件的概念可直接进行排除选项即可． 【详解】解：A．选项是随机事件，故不符合题意； B．选项是随机事件，故不符合题意； C．选项是随机事件，故不符合题意； D．选项是必然事件，故符合题意． 故选：D． 4．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标，掌握关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数是解题的关键． 根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数进行求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是． 故选：C． 5．如图，在中，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆心角，弧，弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，由此即可得到答案． 【详解】解： ，， ． 故选：D． 6．抛物线的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，对抛物线的顶点坐标的表达方式了熟于心是解本题的关键．根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 抛物线的顶点坐标是， 故选：． 7．用配方法解方程，下列配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程，涉及配方法，先移项，再系数化1，然后配成完全平方式，据此作答即可． 【详解】解：因为 所以 则 即 故选：D 8．如图，是半径，是的弦，且于点，若，则弦的长是（    ）. A．8 B．12 C．16 D．20 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理，先求出，由垂径定理可得，由勾股定理得出，即可得出答案，熟练掌握垂径定理以及勾股定理是解此题的关键． 【详解】解：， ， ， 是的弦，且于点， ，， ， ， 故选：C． 9．如图，将绕点逆时针方向旋转得到，若点恰好落在边上，则的度数是（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转性质，等边对等角，三角形的内角和，现根据将绕点逆时针方向旋转得到，得，根据三角形的内角和列式计算，即可作答． 【详解】解：∵将绕点逆时针方向旋转得到， ∴ ∴ 故选：A 10．若关于的一元二次方程有两个不相等实数根，则的取值范围是（    ）. A． B．且 C．且 D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程实数根的情况求参数，先由两个不相等实数根得，结合一元二次方程的定义，即可作答． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等实数根， ∴ ∴ ∵ ∴ 则且 故选：C 11．如图是二次函数的图象，则不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查利用二次函数图象求不等式的解集，求出点关于对称轴的对称点，结合函数图象即可得出的解集． 【详解】解：由图可知二次函数的图象的对称轴为，与y轴的交点坐标为， 由二次函数图象的对称性可知，点也在函数的图象上， 由图可知，当或时，对应的y值小于3， 因此的解集为：或． 故选：D． 12．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc＞0 ②4a+2b+c＞0 ③4ac﹣b2＜8a ④＜a＜⑤b＞c．其中含所有正确结论的选项是（　　） A．①③ B．①③④ C．②④⑤ D．①③④⑤ 【答案】D 【详解】解：①∵函数开口方向向上， ∴a＞0； ∵对称轴在y轴右侧， ∴a、b异号， ∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴， ∴c＜0， ∴abc＞0， 故①正确； ②∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x=1， ∴图象与x轴的另一个交点为（3，0）， ∴当x=2时，y＜0， ∴4a+2b+c＜0， 故②错误； ③∵图象与x轴交于点A（﹣1，0）， ∴当x=﹣1时，y==0， ∴a﹣b+c=0，即a=b﹣c，c=b﹣a， ∵对称轴为直线x=1， ∴=1，即b=﹣2a， ∴c=b﹣a=（﹣2a）﹣a=﹣3a， ∴4ac﹣=4•a•（﹣3a）﹣=＜0， ∵8a＞0， ∴4ac﹣＜8a， 故③正确； ④∵图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间， ∴﹣2＜c＜﹣1， ∴﹣2＜﹣3a＜﹣1， ∴＞a＞， 故④正确； ⑤∵a＞0， ∴b﹣c＞0，即b＞c， 故⑤正确． 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的图像与系数的关系，熟练掌握图像与系数的关系，数形结合来进行判断是解题的关键． 第二部分（非选择题 共84分） 2、 填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。 13．二次函数的二次项系数是 ． 【答案】3 【分析】本题考查的是二次函数的定义，熟记二次函数的各项系数是解本题的关键． 【详解】解：二次函数的二次项系数是， 故答案为： 14．下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果： 投篮的次数 投中的次数 投中的频率 这名球员投篮一次，投中的概率约是 （精确到）． 【答案】 【分析】此题考查了利用频率估计概率的知识，根据频率估计概率的方法结合表格数据可得答案． 【详解】解：由频率分布表可知，随着投篮次数越来越大时，频率逐渐稳定到常数附近， ∴这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率为． 故答案为：． 15．将抛物线向上平移2个单位长度，得到的抛物线解析式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的平移变换，掌握平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键． 直接运用二次函数图像的平移规律解答即可． 【详解】解：由平移规律可得：将二次函数向上平移2个单位，得到抛物线的解析式为：，即． 故答案为：． 16．如图，在中，，，，将绕点A顺时针旋转得到，使点在的延长线上，则的长为 ． 【答案】1 【分析】根据勾股定理可得，旋转可得，进而可得答案． 【详解】解：在中，， ∵，， ∴， 由旋转可知：， ∴． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握旋转的性质． 17．已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积为 cm2． 【答案】 【分析】圆锥的侧面积＝×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解． 【详解】∵圆锥的底面半径长为4cm，母线长为5cm， ∴圆锥的侧面积＝×4×5＝20cm2， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆锥侧面积的求法，掌握相应公式是解题的关键． 18．如图三角形ABC中，AB=3，AC=4，以BC为边向三角形外作等边三角形BCD，连AD，则当∠BAC= 度时，AD有最大值 ． 【答案】120， 7 【分析】如图，在直线AC的上方作等边三角形△OAC，连接OD．只要证明△ACB≌△OCD，推出OD=AB=3，推出点D的运动轨迹是以O为圆心OD长为半径的圆，推出当D、O、A共线时，AD的值最大； 【详解】解：如图， 在直线AC的上方作等边三角形△OAC，连接OD． ∵△BCD，△AOC都是等边三角形， ∴CA=CO，CB=CD，∠ACO=∠BCD， ∴∠ACB=∠OCD， 在△ACB和∠OCD中， ， ∴△ACB≌△OCD， ∴OD=AB=3， ∴点D的运动轨迹是以O为圆心OD长为半径的圆， ∴当D、O、A共线时，AD的值最大，最大值为OA+OD=4+3=7． ∵△ACB≌△OCD， ∴∠CAB=∠DOC， ∵当D、O、A共线时，∠DOC=180°-60°=120°， ∴当∠BAC=120度时，AD有最大值为7． 故答案为120，7． 【点睛】本题考查旋转变换、轨迹、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（8分）解方程：x2﹣4x+4＝0． 【答案】 【分析】直接利用配方法进行求解即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元二次方程的方法． 20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，，． (1)作出与关于原点对称的图形； (2)作出绕原点逆时针旋转后的，并写出点，的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析；的坐标为，的坐标为 【分析】本题考查了作中心对称图形，作旋转图形，写出点的坐标； （1）根据中心对称的性质，画出关于原点对称的图形； （2）根据旋转的性质，画出绕原点逆时针旋转后的，进而根据坐标系写出点的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求；的坐标为，的坐标为 21．（8分）人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动，中国人工智能行业可按照应用领域分为四大类别：决策类人工智能，人工智能机器人，语音及语义人工智能，视觉类人工智能，将四个类型的图标依次制成A，B，C，D四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上． (1)随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为_______； (2)从中随机抽取一张，记录卡片的内容后不放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽取到的两张卡片中不含D卡片的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了概率公式计算，画树状图法计算，正确选择方法是解题的关键． (1)利用公式计算即可． (2) 不放回型的概率计算，利用画树状图法计算即可． 【详解】（1）一共有4种等可能性，抽到决策类人工智能的卡片有1种等可能性， 故抽到决策类人工智能的卡片的概率为， 故答案为：． （2）根据题意，画树状图如下： 一共有12种等可能性，其中，两张卡片中不含D卡片等可能性有6种． 故两张卡片中不含D卡片的概率是． 22．（8分）如图，是由在平面内绕点逆时针旋转得到的，且，，连接． (1)求证：； (2)四边形是什么特殊的四边形？并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)菱形，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，菱形的判定，旋转变换等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据旋转的性质及角度间的关系得出，，再根据“”即可证明结论； （）根据全等三角形的性质及菱形的判定方法即可得出结果． 【详解】（1）证明：由旋转知，，，，           ∵， ∴， ∴，，                     在和中， ， ∴； （2）解：四边形是菱形，理由如下： ∵， ∴， ∵，，， ∴，                     ∴四边形是菱形． 23．（8分）2022年教育部正式印发《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，《劳动》成为一门独立的课程. 某学校率先行动，在校园开辟了一块劳动教育基地，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养殖园（靠墙的一边不需用篱笆），墙长为16米. (1)当围成的矩形养殖园面积为108平方米时，求养殖园的边的长； (2)求矩形养殖园面积的最大值. 【答案】(1)12米 (2)平方米 【分析】本题考查了一元二次方程、二次函数的实际应用： （1）设养殖园的边的长为，则，根据围成的矩形养殖园面积为108平方米，即可列式计算作答． （2）设矩形养殖园面积为，建立关于x的式子表达，化为顶点式，再结合开口方向，即可作答． 【详解】（1）解：∵用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养殖园（靠墙的一边不需用篱笆），墙长为16米. ∴设养殖园的边的长为， 则， 那么 解得 ∵墙长为16米. ∴ ∴养殖园的边的长为米； （2）解：设矩形养殖园面积为， ∴ ∵ ∴开口向下，在时，有最大值，且为平方米． 24．（10分）已知一直线与，是的直径，于点． (1)如图1，当直线与相切于点时，求证：平分； (2)如图2，当直线与相交于点时，若，，求关于的函数解析式． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】(1)先证明，得到，再根据得到，继而得到即可． (2)连接，由是的直径，，得到，根据圆的内接四边形的性质，得到，继而得到，根据圆周角定理，得，代换计算即可． 【详解】（1）∵是的直径，于点，直线与相切于点． ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分． （2）关系是，理由如下： 连接，∵是的直径，， ∴， ∵四边形是内接四边形， ∴， ∴， 根据圆周角定理，得， ∴, 故． 【点睛】本题考查了切线的性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，圆的内接四边形的性质，熟练掌握情形的性质，圆的性质，圆周角定理是解题的关键． 25．（10分）如图，直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴的另一个交点为A，顶点为P． (1)求3m+n的值； (2)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使以C，P，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． (3)将该抛物线在x轴上方的部分沿x轴向下翻折，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴下方的部分组成一个“M“形状的新图象，若直线y＝x+b与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点，求b的值． 【答案】(1)9；(2)点Q的坐标为(2，1﹣2)或(2，1+2)或(2，﹣)或(2，﹣7)；(3)b＝﹣3或﹣． 【分析】(1)求出B、C的坐标，将点B、C的坐标分别代入抛物线表达式，即可求解； (2)分CP＝PQ、CP＝CQ、CQ＝PQ，分别求解即可； (3)分两种情况，分别求解即可． 【详解】解：(1)直线y＝x﹣3，令y＝0，则x＝3，令x＝0，则y＝﹣3， 故点B、C的坐标分别为(3，0)、(0，﹣3)， 将点B、C的坐标分别代入抛物线表达式得：，解得： ， 则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x﹣3，则点A坐标为(1，0)，顶点P的坐标为(2，1)， 3m+n＝12﹣3＝9； (2) ①当CP＝CQ时， C点纵坐标为PQ中点的纵坐标相同为﹣3， 故此时Q点坐标为(2，﹣7)； ②当CP＝PQ时， ∵PC=， ∴点Q的坐标为(2，1﹣)或(2，1+)； ③当CQ＝PQ时， 过该中点与CP垂直的直线方程为：y＝﹣x﹣， 当x＝2时，y＝﹣，即点Q的坐标为(2，﹣)； 故：点Q的坐标为(2，1﹣2)或(2，1+2)或(2，﹣)或(2，﹣7)； (3)图象翻折后的点P对应点P′的坐标为(2，﹣1)， ①在如图所示的位置时，直线y＝x+b与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点， 此时C、P′、B三点共线，b＝﹣3； ②当直线y＝x+b与翻折后的图象只有一个交点时， 此时，直线y＝x+b与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点； 即：x2﹣4x+3＝x+b，△＝52﹣4(3﹣b)＝0，解得：b＝﹣． 即：b＝﹣3或﹣． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及的知识点有待定系数法求二次函数解析式，一次函数的图像与性质，勾股定理，等腰三角形的定义，二次函数的翻折变换及二次函数与一元二次方程的关系.难点在于(3)，关键是通过数形变换，确定变换后图形与直线的位置关系，难度较大.本题也考查了分类讨论及数形结合的数学思想. 26．（12分）如图，P是正方形ABCD中一动点，连接PA，PB，PC． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，当时，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，若正方形ABCD的边长为8，Q为BC上一点，，连接AQ，PQ，求面积的最大值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用等腰三角形的性质分别求出与的度数，从而求出的度数； （2）将绕点顺时针旋转，得到，证明，由此可得，再证与都是等腰直角三角形，可得，进而证明． （3）由（2）得，以为圆心，为半径作圆，则点在上，过点作，交于，交于，连接、，则当点与点重合时，的面积最大． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ，， ， ，， ，， ， ． （2）证明：将绕点顺时针旋转，得到，则，，，，． ，， ， ，即， ， 又 ，， ． ， ，，， 与都是等腰直角三角形， ， 又 ， ． （3）解：由（2）得， 以为圆心，为半径作圆，则点在上，过点作，交于，交于，连接、，则当点与点重合时，的面积最大． ，， ， ，即． ， ． 的面积为， 即面积的最大值为． 【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，构造圆求三角形面积最大值，勾股定理，解决本题的关键是能够想到利用圆的构造求三角形面积的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第2页，共19页 学科网（北京）股份有限公司 $■■ ■■ 请在各圈目的答题区城内作答，超出凰色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各圈目的答恩区城内作答，超出需色矩形边匙限定区城的答案无效！ 2025-2026学年九年级数学上学期第三次月考 20.(8分) 22.(8分) 数学·答题卡 姓名： 54321012345 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ■1.答题前，考生先将白已的姓名，准考证号填 一。。4。。一。。。。=9=。-= 写清楚。开认真核准条形码上的姓名。准考 考生禁填：缺考标记 ▣ 证号，在规定位置船好条形码。 违纪标记 2.选择覆地须用2B铅笔填读：填空题和解答思 以上标记由监考人员用2B铅 必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔 笔填涂 或圆味笔答碧：字体工整。笔迹清晰， 请按碧号佩序在各题目的答题区域内作谷 选择题填涂样例： 超出区域书写的答案无效：在草瑞饭、试思 #上答题无效， 正确填涂■ 4。保持卡面消洁，不要折叠、不要举破。 错误填涂×】【1【/1 一、近举题（本题共12小题，每小题3分，其36分。在每小题给出的 四个近项中，只有一项是符合题目要求的。) 1[AJB】ic]o 5【A灯B]C]D] 9tNta时[c[oi 21,(8分) 23.(8分) 2 [AJ [B][e]to] 6】O]D] 101【@D (1) 3))O问]D] 7[】]©[Dj 1AoD时 4】】O】D sa】】O[] 12 [A)[8][c][D] 二、 填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分，） 13 15 6 17.· 18. 三、解答画（本愿共7小愿，共2分.解答应写出文字说明、正顷过把或演算步绿.） 19.(8分) 请在各避日的答程区城内作答，都出黑色矩形边框限定区域的咨業无效1 请在各腰目的答题区域内作答，超出儒色矩形边艇限定区域的答案无效！ 请在各覆目的答冠区域内作答，超出显色矩形边框限定区域的答案无效！ 第1页 第2页 第3页 ■ 请在各避日的答圈区域内作答，超出偏色犯形边瓶限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色地形边框果定区域的答案无效： 请在各题目的答题区域内作答，是出黑色矩感边瓶限定区域的答案无效： 24.(10分) 25,(10分) 26.(12分) ☒区河 图1 图2 图 图2 请在各题耳的答题区线内作答。超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作签，超出黑色矩形边瓶跟定区城的答案无效！ 请在各题目的答避区线内作答。超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 第4项 第5项 第6页