学易金卷：八年级数学上学期第三次月考02（新教材人教版，测试范围：八上第十三章～第十七章）

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级数学上学期第三次月考 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材人教版八年级上册第十三章~第十七章。 第一部分（选择题 共36分） 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列几种著名的数学曲线中，不是轴对称图形的是（　　） A．  蝴蝶曲线 B．笛卡尔心形线 C．  科赫曲线 D．  费马螺线 2．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．点关于轴对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．科学家发现一种病毒直径为0.00023微米，则0.00023用科学记数法可以表示为（　　） A．2.3×104 B．0.23×10﹣3 C．2.3×10﹣4 D．23×10﹣5 5．下列因式分解结果正确的是（    ） A．x2＋3x＋2＝x（x＋3）＋2 B．4x2﹣9＝（4x＋3）（4x﹣3） C．x2﹣5x＋6＝（x﹣2）（x﹣3） D．a2﹣2a＋1＝（a＋1）2 6．如图，，，，则不正确的结论是 （      ） A．与互为余角 B． C． D． 7．如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．SSA D．ASA 8．如图，△ABC中，，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若，则等于(   ) A．46° B．56° C．36° D．77° 9．在边长为的正方形中，剪去一个边长为的小正方形（），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于的恒等式为（    ） A． B． C． D． 10．若二次三项式可分解成，则的值是（    ） A．﹣16 B．﹣8 C．8 D．16 11．如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为11，则的周长为（    ） A．14 B．17 C．19 D．20 12．如图，点D是∠FAB内的定点且AD=2，若点C、E分别是射线AF、AB上异于点A的动点，且△CDE周长的最小值是2时，∠FAB的度数是（　　）    A．30° B．45° C．60° D．90° 第二部分（非选择题 共84分） 二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。 13．分解因式： ． 14．已知等腰三角形的一个内角是，则这个等腰三角形的顶角的度数是 ． 15．若，则 ． 16．如图，已知的周长是16，、分别平分和，于，且，的面积是 ． 17．现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）．小亮要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，还需取丙纸片 块． 18．如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，过点作于，下列四个结论：①；②；③点到各边的距离相等；④设，，则．其中正确的结论有 （填写序号）． 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（8分）计算： (1)； (2)． 20．（8分）先化简，再求值：，其中a＝2． 21．（8分）如图，在单位长度为的方格纸中画有一个． (1)画出关于轴对称的； (2)写出点、的坐标； (3)求的面积． 22．（8分）如图，点A，B，C，D在一条直线上，，，． （1）求证：． （2）若，，求∠F的度数． 23．（8分）【阅读材料】 观察下列式子： ①； ②； ③； ④； 根据上面材料回答以下问题： (1)根据阅读材料猜想：式子⑥：（ ）（ ） (2)探究规律：用含n的式子表示你发现的一般规律，并证明你的结论． (3)应用你发现的规律计算： 24．（10分）如图，平分，P为上的一点，的两边分别与相交于点M、N． (1)如图1，若，，过点P作于点E，作于点F，请判断与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，若，，求证：． 25．（10分）如图，把正方形和正方形重叠得到长方形，当它的长与宽的和正好是正方形的边长时，，． (1)若设正方形的边长为，求长方形的面积；（用含的式子表示） (2)若长方形的面积是300，求正方形的面积． 26．（12分）阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题： 如图①，在中，平分，，求证：； 小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法一：如图②，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决问题； 方法二：如图③，延长到点E，使得，连接，可以得到等腰三角形，进而解决问题.    (1)根据以上材料，任选一种方法证明：； (2)如图④，四边形中，E是上一点，，，，探究，，之间的数量关系，并证明. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ) ( ) 2025-2026学年八年级数学上学期第三次月考 数学·答题卡 ( 姓 名： __________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） ( 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 12 [A] [B] [C] [D] ) ( 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 1 3． ______________ 1 4． ______________ 1 5． ______________ 1 6． ______________ 17. ． ______________ 18.． ______________ 三、解答题（本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19 ．（8分） ) ( 20.（8分） 21．（8分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 22．（8分） 23．（8分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 24.(10分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 25．（10分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ( 26．（1 2 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 第4页 第5页 第6页 第1页 第2页 第3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学上学期第三次月考 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材人教版八年级上册第十三章~第十七章。 第一部分（选择题 共36分） 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列几种著名的数学曲线中，不是轴对称图形的是（　　） A．  蝴蝶曲线 B．笛卡尔心形线 C．  科赫曲线 D．  费马螺线 2．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．点关于轴对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．科学家发现一种病毒直径为0.00023微米，则0.00023用科学记数法可以表示为（　　） A．2.3×104 B．0.23×10﹣3 C．2.3×10﹣4 D．23×10﹣5 5．下列因式分解结果正确的是（    ） A．x2＋3x＋2＝x（x＋3）＋2 B．4x2﹣9＝（4x＋3）（4x﹣3） C．x2﹣5x＋6＝（x﹣2）（x﹣3） D．a2﹣2a＋1＝（a＋1）2 6．如图，，，，则不正确的结论是 （      ） A．与互为余角 B． C． D． 7．如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．SSA D．ASA 8．如图，△ABC中，，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若，则等于(   ) A．46° B．56° C．36° D．77° 9．在边长为的正方形中，剪去一个边长为的小正方形（），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于的恒等式为（    ） A． B． C． D． 10．若二次三项式可分解成，则的值是（    ） A．﹣16 B．﹣8 C．8 D．16 11．如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为11，则的周长为（    ） A．14 B．17 C．19 D．20 12．如图，点D是∠FAB内的定点且AD=2，若点C、E分别是射线AF、AB上异于点A的动点，且△CDE周长的最小值是2时，∠FAB的度数是（　　）    A．30° B．45° C．60° D．90° 第二部分（非选择题 共84分） 二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。 13．分解因式： ． 14．已知等腰三角形的一个内角是，则这个等腰三角形的顶角的度数是 ． 15．若，则 ． 16．如图，已知的周长是16，、分别平分和，于，且，的面积是 ． 17．现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）．小亮要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，还需取丙纸片 块． 18．如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，过点作于，下列四个结论：①；②；③点到各边的距离相等；④设，，则．其中正确的结论有 （填写序号）． 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（8分）计算： (1)； (2)． 20．（8分）先化简，再求值：，其中a＝2． 21．（8分）如图，在单位长度为的方格纸中画有一个． (1)画出关于轴对称的； (2)写出点、的坐标； (3)求的面积． 22．（8分）如图，点A，B，C，D在一条直线上，，，． （1）求证：． （2）若，，求∠F的度数． 23．（8分）【阅读材料】 观察下列式子： ①； ②； ③； ④； 根据上面材料回答以下问题： (1)根据阅读材料猜想：式子⑥：（ ）（ ） (2)探究规律：用含n的式子表示你发现的一般规律，并证明你的结论． (3)应用你发现的规律计算： 24．（10分）如图，平分，P为上的一点，的两边分别与相交于点M、N． (1)如图1，若，，过点P作于点E，作于点F，请判断与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，若，，求证：． 25．（10分）如图，把正方形和正方形重叠得到长方形，当它的长与宽的和正好是正方形的边长时，，． (1)若设正方形的边长为，求长方形的面积；（用含的式子表示） (2)若长方形的面积是300，求正方形的面积． 26．（12分）阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题： 如图①，在中，平分，，求证：； 小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法一：如图②，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决问题； 方法二：如图③，延长到点E，使得，连接，可以得到等腰三角形，进而解决问题.    (1)根据以上材料，任选一种方法证明：； (2)如图④，四边形中，E是上一点，，，，探究，，之间的数量关系，并证明. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学上学期第三次月考 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材人教版八年级上册第十三章~第十七章。 第一部分（选择题 共36分） 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列几种著名的数学曲线中，不是轴对称图形的是（　　） A．  蝴蝶曲线 B．笛卡尔心形线 C．  科赫曲线 D．  费马螺线 【答案】D 【分析】本题考查轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．解题的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，本题根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A．该曲线所表示的图形是轴对称图形，故此选项不符合题意； B．该曲线所表示的图形是轴对称图形，故此选项不符合题意； C．该曲线所表示的图形是轴对称图形，故此选项不符合题意； D． 该曲线所表示的图形不是轴对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 2．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别计算后判断即可． 【详解】解：A. ，该选项计算错误； B. ，该选项计算正确； C. ，该选项计算错误； D. 等式左边不是同类项不能合并，故该选项计算错误． 故选：B． 【点睛】本题考查幂的乘方，乘方的符号法则，同底数幂的乘法和合并同类项，能掌握相关运算法则，并能正确计算是解题关键． 3．点关于轴对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答即可． 【详解】解：点的点关于x轴对称的点的坐标为． 故选：D． 【点睛】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 4．科学家发现一种病毒直径为0.00023微米，则0.00023用科学记数法可以表示为（　　） A．2.3×104 B．0.23×10﹣3 C．2.3×10﹣4 D．23×10﹣5 【答案】C 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：0.00023微米用科学记数法可以表示为2.3×10-4微米， 故选：C． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 5．下列因式分解结果正确的是（    ） A．x2＋3x＋2＝x（x＋3）＋2 B．4x2﹣9＝（4x＋3）（4x﹣3） C．x2﹣5x＋6＝（x﹣2）（x﹣3） D．a2﹣2a＋1＝（a＋1）2 【答案】C 【分析】根据十字相乘法、公式法逐个求解即可． 【详解】解：选项A：x2＋3x＋2＝(x+1)(x+2)，故选项A错误； 选项B：4x2﹣9＝(2x+3)(2x-3),故选项B错误； 选项C：x2﹣5x＋6＝(x-3)(x-2)，故选项C正确； 选项D：a2﹣2a＋1＝(a-1)²，故选项D错误； 故选：C． 【点睛】此题考查了因式分解的方法：十字相乘法以及运用公式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 6．如图，，，，则不正确的结论是 （      ） A．与互为余角 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了互余的定义、直角三角形的两锐角互余、三角形全等的判定，熟练掌握相关定义和性质是解题的关键．根据可得，由得，，，进而得到，，，结合，利用即可证明，由此得解． 【详解】解： ， ， ， ， ， ，， ，，， ， ． 综上，选项A、C、D正确，符合题意，选项B根据已知无法得出，不符合题意， 故选：B． 7．如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．SSA D．ASA 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的应用．图中三角形没被污染的部分有两角及夹边，根据全等三角形的判定方法解答即可． 【详解】解：由图可知，三角形两角及夹边可以作出， 所以，依据是ASA． 故选：D． 8．如图，△ABC中，，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若，则等于(   ) A．46° B．56° C．36° D．77° 【答案】A 【分析】由中，，，可求得∠B的度数，由折叠的性质可得：，由三角形外角的性质，可求得的度数． 【详解】解：中，，， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴， 故选：A． 【点睛】此题考查了折叠的性质、三角形内角和定理以及三角形外角的性质．此题难度不大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用． 9．在边长为的正方形中，剪去一个边长为的小正方形（），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于的恒等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查的是平方差公式的几何表示，先分别求出两个图形中阴影部分的面积，根据两者相等即可得出答案． 【详解】解：正方形中，， 梯形中， ， ∴， 故选：C． 10．若二次三项式可分解成，则的值是（    ） A．﹣16 B．﹣8 C．8 D．16 【答案】A 【分析】利用十字相乘进行因式分解的方法求得m，n的值，然后将其代入中计算即可求得答案． 【详解】解：二次三项式可分解成即， ， 解得：，， 则， 故选：A． 【点睛】本题考查十字相乘法进行因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 11．如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为11，则的周长为（    ） A．14 B．17 C．19 D．20 【答案】B 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得到，，再根据三角形的周长公式计算是解题的关键． 【详解】解：∵是的垂直平分线，， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴的周长为． 故选B． 12．如图，点D是∠FAB内的定点且AD=2，若点C、E分别是射线AF、AB上异于点A的动点，且△CDE周长的最小值是2时，∠FAB的度数是（　　）    A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】A 【分析】作D点分别关于AF、AB的对称点G、H，连接GH分别交AF、AB于C′、E′，利用轴对称的性质得AG=AD=AH=2，利用两点之间线段最短判断此时△CDE周长最小为DC′+DE′+C′E′=GH=2，可得△AGH是等边三角形，进而可得∠FAB的度数． 【详解】解：如图，作D点分别关于AF、AB的对称点G、H，连接GH分别交AF、AB于C′、E′，连接DC′，DE′， 此时△CDE周长最小为DC′+DE′+C′E′=GH=2， 根据轴对称的性质，得AG=AD=AH=2，∠DAF=∠GAF，∠DAB=∠HAB， ∴AG=AH=GH=2， ∴△AGH是等边三角形， ∴∠GAH=60°， ∴∠FAB=∠GAH=30°， 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题：熟练掌握轴对称的性质，会利用两点之间线段最短解决路径最短问题． 第二部分（非选择题 共84分） 二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。 13．分解因式： ． 【答案】 【分析】直接提取公因式即可 【详解】解：． 故答案为: . 14．已知等腰三角形的一个内角是，则这个等腰三角形的顶角的度数是 ． 【答案】或 【分析】分这个内角是顶角和底角两种情况，利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：当这个内角是顶角时，则顶角的度数是， 当这个内角是底角时，则顶角的度数是， 故答案为：或． 【点睛】本题考查等腰三角形的定义以及三角形内角和定理，解题的关键是掌握等腰三角形的两个底角相等，三角形的内角和是． 15．若，则 ． 【答案】 【分析】利用同底数幂的除法的法则及幂的乘方的法则对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可． 【详解】解∶当时， 故答案为∶． 【点睛】本题主要考查同底数幂的除法，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 16．如图，已知的周长是16，、分别平分和，于，且，的面积是 ． 【答案】 【分析】将三角形面积转化为三个小三角形的面积和求解即可． 【详解】解：如图，过O点分别向和作垂线，垂足分别为E和F，连接， ∵、分别平分和，， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的性质和求三角形的面积，解题关键是得到O点到三边的距离相等． 17．现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）．小亮要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，还需取丙纸片 块． 【答案】4 【分析】根据，即可得． 【详解】解：∵ ∴甲纸片1块，再取乙纸片4块，取丙纸片4块，可以拼成一个边长为a+2b的正方形， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了完全平方公式，解题的关键是掌握完全平方公式． 18．如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，过点作于，下列四个结论：①；②；③点到各边的距离相等；④设，，则．其中正确的结论有 （填写序号）． 【答案】①③④ 【分析】由角平分线的性质，平行的性质，三角形的性质等对结论进行判定即可． 【详解】解：在中，和的平分线相交于点， ，，， ， ；故②错误； 在中，和的平分线相交于点， ，， ， ，， ，， ，， ， 故①正确； 过点作于，作于，连接， 在中，和的平分线相交于点， ， ；故④正确； 在中，和的平分线相交于点， 点到各边的距离相等，故③正确． 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了三角形内的有关角平分线的综合问题，一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线，角的平分线上的点到角的两边的距离相等.也就是说，一个点只要在角的平分线上，那么这个点到该角的两边的距离相等． 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（8分）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）直接根据多项式与多项式的乘法法则计算即可； （2）根据多项式与单项式的除法法则计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】此题主要考查整式的乘除运算，解题的关键是熟知整式的运算法则． 20．（8分）先化简，再求值：，其中a＝2． 【答案】2a2+4a，16 【分析】先算括号里面的，再算除法，最后把a的值代入进行计算即可． 【详解】解：原式 = 当时，原式= 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟练掌握通分，化除为乘，约分是正确解答此题的关键． 21．（8分）如图，在单位长度为的方格纸中画有一个． (1)画出关于轴对称的； (2)写出点、的坐标； (3)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)点的坐标为，点的坐标为 (3) 【分析】（1）找到中三个顶点的对称点，连接即可； （2）根据点在直角坐标系中得位置，写出坐标即可； （3）利用添补法用长方形面积减去三个三角形面积即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求． （2）解：由图可知点的坐标为，点的坐标为； （3）解：的面积为． 【点睛】本题考查了直角坐标系，相关知识带你有：图形的轴对称、割补法求三角形面积等，熟练运用直角坐标系的知识点是解题关键． 22．（8分）如图，点A，B，C，D在一条直线上，，，． （1）求证：． （2）若，，求∠F的度数． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）根据平行线的性质可得，根据线段的和差关系可得，进而根据即证明； （2）根据三角形内角和定理以及补角的意义求得∠E，进而根据（1）的结论即可求得∠F． 【详解】（1）证明： ， 即 又 ， （2）解： ，， 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，三角形全等的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 23．（8分）【阅读材料】 观察下列式子： ①； ②； ③； ④； 根据上面材料回答以下问题： (1)根据阅读材料猜想：式子⑥：（ ）（ ） (2)探究规律：用含n的式子表示你发现的一般规律，并证明你的结论． (3)应用你发现的规律计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题目中的式子即可得到答案； （2）根据题题干中的式子总结出规律，再通过计算证明等式的左边等于右边即可； （3）根据（2）中的规律变形，再进行约分即可得到答案． 本题主要考查用代数式表示算式的变化规律以及有理数的混合运算，找出等式的规律．是解题的关键． 【详解】（1）由题意可得，， 故答案为： （2）由题意可得规律为， 证明：∵，， ∴ （3） ． 24．（10分）如图，平分，P为上的一点，的两边分别与相交于点M、N． (1)如图1，若，，过点P作于点E，作于点F，请判断与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，若，，求证：． 【答案】(1)，理由见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用角平分线性质可以得到，然后推出即可证明； （2）过点P作作于点E，作于点F，则，即，由得到，代入即可得出结论． 【详解】（1）解：，理由为： ∵平分，，， ∴，， ∵，， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ （2）解：过点P作作于点E，作于点F， ∵平分， ∴，， ∵，， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵平分，， ∴ ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，的直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 25．（10分）如图，把正方形和正方形重叠得到长方形，当它的长与宽的和正好是正方形的边长时，，． (1)若设正方形的边长为，求长方形的面积；（用含的式子表示） (2)若长方形的面积是300，求正方形的面积． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）设正方形的边长为a，则，，根据即可得出答案； （2）设正方形的边长为a，根据题意可得，求出，再根据， ，代入求解即可． 【详解】（1）解：设正方形的边长为a， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：设正方形的边长为a， ∵长方形的长与宽的和是正方形的边长， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ． 【点睛】本题考查正方形的面积，完全平方公式与几何图形，正确理解题意是解题的关键． 26．（12分）阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题： 如图①，在中，平分，，求证：； 小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法一：如图②，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决问题； 方法二：如图③，延长到点E，使得，连接，可以得到等腰三角形，进而解决问题.    (1)根据以上材料，任选一种方法证明：； (2)如图④，四边形中，E是上一点，，，，探究，，之间的数量关系，并证明. 【答案】(1)详见解析 (2)，详见解析 【分析】（1）本题考查角平分线的相关证明及三角形全等的判定与性质，根据角平分线及辅助线得到，的条件即可得到答案； （2）本题考查角平分线的相关证明及三角形全等的判定与性质，根据角平分线及辅助线得到的条件即可得到答案； 【详解】（1）证明：方法一，    ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 方法二：    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 如图，在上截取，使得，连接，   　　　　　　　 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，　　　　 ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共20页 学科网（北京）股份有限公司 $©学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2025-2026学年八年级数学上学期第三次月考 参考答案 第一部分（选择题共36分) 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1 2 3 7 8 9 10 11 12 D B D C A C A B 第二部分（非选择题共84分） 二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。 13.xx-214.70°或40° 16.1617.418.①③④ 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19.【详解】(1)解：2x+1x-2 乙2x+x-4x-2(2分) i2x2-3x-2;(4分) (2)解：6x-8x2)÷-2x2 元6x4÷-2x2-8x3÷-2x2(2分) i-3x2+4x.(4分) 20.【详解】解：原式2a(a+2)12a ÷Q-4 a+2 Q+2 (a+22 1/6 @学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2a(a+2)-12a,(a+22 a+2 -4 2a-80.(a+2 a+2 0-4 2a(a-4.(a+2y a+2 a-4 2a(a+2) 2a+4a(6分) 当a=2时，原式=2×2+4×2=16(8分) 21.【详解】(1)解：如图所示，△ABC即为所求.(3分) -5-43-2八10 (2)解：由图可知点A的坐标为3,2，点B的坐标为4，-3：(5分) 3)解，△ABC面积为3×5-号×2×3-方×1×5-×2x3= 2 2 .(8分) 22.【详解】(1)证明：'AE‖DF ∴.∠A=∠D, AB=CD ∴.AB+BC=BC+CD 即AC=BD 又AE=DF, ∴.△AEC△DFB(4分) (2)解：.：∠A=40°，∠ECD=145°， ∴.∠ECA=180°-∠ECD=35° ∴.∠E=180°-∠A-∠ECA=105 ,'△AEC=△DFB ∴.∠F=∠Ei105°(8分) 23.【详解】(1)由题意可得，6×9+2=7×8， 2/6 态学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 故答案为：7,8(2分) (2)由题意可得规律为n×n+3+2=n+1×n+2, 证明：，n×n+3+2=n2+3n+2,n+1×n+2=n2+2n+n+2=n2+3n+2, ∴.n×n+3+2=n+1×n+2(5分) 2×5+24×7+26×9+2…2022×2025+2 (3) 1×4+2)3×6+25×8+2…2021×2024+2 3×4×5×6×7×8×…×2023×2024 2×3×4×5×6×7×.×2022×2023 62024 2 元1012.(8分) 24.【详解】(1)解：PM=PN,理由为： ,OC平分∠AOB,PE⊥OA,PF⊥OB, ∴.PE=PF,∠PEM=∠PFN=90°， .∠AOB=90°，∠MPN=90°， ∴.∠PNO+∠PMO=180° 又.∠EMP+∠PMO=180° ∴.∠EMP=∠PNO ∴.△PEM≌△PFN(AAS) ∴.PM=PN(4分) (2)解：过点P作作PE⊥OA于点E,作PF⊥OB于点F, :OC平分∠AOB, ∴.PE=PF,∠PEM=∠PFN=90°， ∠AOB=120°，∠MPN=60°， ∴.∠PNO+∠PMO=180 又，∠PNO+∠PNF=180° ∴.∠PMO=∠PNF .△PEM≌△PFN(AAS) ∴.ME=NF ..OM+ON=OE+OF 又，OC平分∠AOB,∠AOB=120°， .∠EOP=∠FOP=60°， 3/6 态学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∴.∠EPO=∠FPO=30° ∴oE=OP,OF=OP 0M+0W=0E+0F=0P+0P=Op1I0分) C A、 ON F B 25.【详解】(1)解：设正方形ABCD的边长为a, AE=5, .DE=a-5, ,CG=15, .DG=a-15, ∴.S-EFcD=ED·DG=a-5a-15=a2-20a+75;(5分) (2)解：设正方形MPNF的边长为a, 长方形EFGD的长与宽的和是正方形MPNF的边长， ∴.ED+DG=FN, .a-5+a-15=b, ∴.b=2a-20=2a-10, ∴.SMPr=b2=4a-102, :S-口ErGD=a2-20a+75=300, ∴a2-20a+100-25=300, ∴.a-102=325, SOMPNE=4a-10}2=4×325=1300.(10分) 26.【详解】(1)证明：方法一， 4/6 态学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ·AD平分∠BAC, .∠BAD=∠CAD, 在△BAD和△EAD中， G ∴.△BAD≌△EAD(SAS), ∴.BD=ED,∠AED=∠B=2∠C, ,∠AED=∠C+∠EDC, ∴.∠EDC=∠C, ∴ED=EC, ∴.BD=EC, ∴.AC=AE+EC=AB+BD: 方法二： B .BE=BD. ∴.∠E=∠BDE, ∴LABC=∠E+∠BDE=2∠E, ∠ABC=2∠C, .∠E=∠C, .AD平分∠BAC, .∴.∠BAD=∠CAD, 在△AED和△ACD中， 6 5/6 态学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∴.△AED≌△ACD(SAS), ∴.AC=AE=AB+BE=AB+BD;(5分) (2)解：BE=DC+CE,证明如下：(6分) 如图，在EB上截取EF,使得EF=DC,连接AF, A .EA=ED, ∴.∠EAD=∠EDA, ∴.2∠DAE+∠AED=180°， ∠DAE+∠B=90°， .2∠DAE+2∠B=180°， ∴.∠AED=2∠B, ,∠C=2∠B, ∴.∠AED=∠C, ,∠BED=∠AEB+∠AED=∠CDE+∠C, ∴.∠AEB=∠CDE, 在△AEF和△EDC中， EF=DC,∠AEF=∠EDC,AE=ED, ∴.△AEF≌△EDC(SAS), ∴.AF=EC,∠AFE=∠C=2∠B, ,∠AFE=∠B+∠BAF, ∴.∠B=∠BAF, ..BF=AF, ∴BF=CE, 又，BE=BF+EF, ∴.BE=DC+CE.(12分) 6/6■ ■ 请在各圈目的答题区城内作答，超出凰色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各圈目的答思区城内作答：超出需色矩形边艇限定区城的答案无效！ 2025-2026学年八年级数学上学期第三次月考 20.(8分) 22.(8分) 数学·答题卡 姓名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将白已的姓名，准考证号填 。。。。一4。。。=。=-= 写清楚。开认真核准条形码上的姓名。准考 考生禁填：缺考标记 ▣ 证号，在规定位置船好条形码。 违纪标记 2.选择温必须用2B铅笔填涂：填空题和解答思 以上标记由监考人员用2B铅 必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔 笔填涂 或圆味笔答碧：字体工整。笔迹清晰， 请按碧号佩序在各题目的答题区域内作谷 选择题填涂样例： 超出区域书写的答案无效：在草瑞饭、试思 世上答题无效， 正确填涂■ 4。保持卡面消洁，不要折叠、不要举破。 错误填涂×】【1【/1 一、近举题（本题共12小题，每小题3分，其36分。在每小题给出的 四个近项中，只有一项是符合题目要求的。) 1[AJB】ic]oj 5【A灯B]C]D1 9tNta时[c[oi 21,(8分) 23.(8分) 2 [AJ [B][e]to] 6】1O]D] 10[1【cIDi 3))O问]D] 7[】]©[D 1AoD时 4A】】O】D sa】】O[] 12 [A)[8][c][D] 4 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分，） 13 14 15. 6 17.· 18 三、解答画（本愿共7小愿，共2分.解答应写出文字说明、正顷过把或演算步绿.） 19.(8分) 请在各避日的答程区城内作答，都出黑色矩形边框限定区域的咨業无效1 请在各腰目的答题区域内作答，超出儒色矩形边艇限定区域的答案无效！ 请在各覆目的答冠区域内作答，超出显色矩形边框限定区域的答案无效！ 第1页 第2页 第3页 请在各避日的答圈区域内作答，超出偏色犯形边瓶限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色地形边框果定区域的答案无效： 请在各题目的答题区域内作答，健出黑色矩感边瓶限定区域的答案无效： 24.(10分) 25,(10分) 26.(12分) 个合 图2 请在各题耳的答题区线内作答。超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作签，超出黑色矩形边瓶跟定区城的答案无效！ 请在各题目的答避区线内作答。超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 第4项 第5项 第6页