19.3 二次根式的加法与减法（课件）2025-2026学年人教版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦二次根式的加减与混合运算，通过复习二次根式乘除运算例题导入，以“√27 + √12”为问题引导学生将二次根式化简后合并，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于类比整式加减培养数学思维，结合木板截取实际问题发展数学眼光，练习分层设计提升运算能力与应用意识。课堂小结系统归纳法则与顺序，助力学生构建知识体系，教师可借助丰富例题习题高效教学。

二次根式的加减 人教·八年级数学下册 二次根式 19 1 新课导入 84 = 32 = 2 = 22= 4 你会计算吗？ ？ 探索新知 如何计算 ？ + 与 的被开方数不同，无法直接相加. 如果 与 能化成被开方数相同的形式， 那么就可以类比整式运算中的合并同类项进行运算 探索新知 + + （化成最简二次根式） （利用分配律合并） 一般地，二次根式加减时，先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并. + 如何计算 ？ + 例 1 计算： （1） （2） 解:（1） （2） （3） （3） 比较二次根式的加减与整式的加减，你能得出什么结论？ 相同的地方 不同的地方 合并时都是计算“系数”，计算的方法相同； 二次根式合并的是化成最简二次根式后被开方数相同的二次根式，整式合并的是同类项. 例 2 计算： （1） 有括号先去括号. 解:（1） （2） 去括号时注意符号. （2） 与 被开方数不同，不能继续合并. 例 3 有一块长为 7.5 dm、宽为 5 dm 的木板，能否采用如图（1）的方式，在这块木板上截出两个面积分别是 8 dm2和 18 dm2 的正方形木板？ 8 dm2 18 dm2 分析：由图（1）可以看出，只要木板的宽大于大正方形木板的边长，木板的长大于两个正方形木板的边长的和，就能截出所要求的两个正方形木板. 8 dm2 18 dm2 解：大正方形木板的边长为 dm. 因为 ，所以这块木板够宽. 两个正方形木板的边长的和为 dm，而 由 可知 ， 即两个正方形木板的边长的和小于这块木板的长，所以这块木板够长. 练 习 1. 下列计算是否正确？为什么？ （1） ； （2） ； 解:（1）错误，因为 （2）错误，因为 5 ≠； = ， ； （3） ； （3）正确. （1） ； 2. 计算： （2） ； 解:（1）原式 = ； （2）原式 = ； （3） ； （4） . （3）原式= ； －= （4）原式= － + 3. 如图，两个圆的圆心相同，它们的面积分别是 62.8 和 141.3. 求圆环的宽度 d（π 取 3.14）. d = 大圆的半径－ 小圆的半径. 解：设大圆的半径为 R，小圆的半径为 r. 由圆的面积公式可得 －= = d = R－r ≈ 课堂小结 这节课有什么收获呢？ 二次根式 加减 法则 一般地，二次根式加减时，先将二次 根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并. 注意 运算原理 运算律仍然适用 运算顺序 与实数的运算顺序一样 二次根式的混合运算 人教·八年级数学下册 二次根式 19 16 新课导入 说一说，整式的乘法法则和乘法公式. 单项式× 单项式 单项式× 多项式 多项式× 多项式 平方差公式 完全平方公式 把它们的​​系数​​、​​相同字母的幂​​分别相乘，其余字母​​连同其指数​​作为积的因式  用单项式去乘多项式的​​每一项​​，再把所得的积​​相加​​ 先用一个多项式的​​每一项​​乘另一个多项式的​​每一项​​，再把所得的积​​相加​ (a + b)(a－b) = a2－b2 (a ± b)2 = a2±2ab + b2 探索新知 例 4 计算： （1） （2） 解:（1） = = = 结果要化成最简二次根式或整式. 探索新知 例 4 计算： （1） （2） （2） 1. 在二次根式的混合运算中，整式的乘法法则和乘法 公式是否仍然适用？ 先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 2. 你知道二次根式的混合运算顺序吗？ 仍然适用 例 5 计算： （1） （2） 解:（1） 15 15 运用了多项式乘多项式的法则. 例 5 计算： 满足平方差公式结构特征. （2） = = = 能使用乘法公式 的尽量使用， 可简化运算. （1） （2） 练 习 1. 计算： （1） ； （2） ； 解:（1）原式 = = = （2） = = + = = ； （3） ； （4） . （3） = + + 6 = ； （4） = = = . （1） ； 2. 计算： （2） ； （3） ； （4） . 解:（1）原式 = = 2 = 7 = 9； （2） = = b ； （3） = + 22 = + 4 = ； （4） = + = + . （1） ； 2. 计算： （2） ； （3） ； （4） . 课堂小结 这节课有什么收获呢？ 先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 二次根式的混合运算顺序： 习题19.3 人教·八年级数学下册 二次根式 19 28 复习巩固 1. 计算： （1） （2） 解:（1）原式 （2）原式 （3） ； （4） . 被开方数含字母，将被开方数分解因式，把开得尽平方的因式或因数开出来. （3）原式 = = = ； （4）原式 = = = . 2. 计算： （1） （2） 解:（1）原式 （2）原式 ； （3） （4） （3）原式 ； （3） （4） （4）原式 = = = . 3. 计算： （1） （2） 解:（1）原式 = （2）原式 =18 =－6 ； （3） ； （4） . ÷ （3）原式 = = ； （4）原式 = = = . 4. 已知 ，求 的近似值 （结果保留小数点后两位）. － + － + 解： － + － + = 因为 ，所以 综合运用 5. 已知 ，求下列各式的值： y = （1）x2 + 2xy + y2 ； （2）x2－y2 . 解：因为 y = 所以 = = （1）x2 + 2xy + y2 = (x + y)2 = ()2 = 12 . （2）x2－y2 = (x + y)(x－y) =. 6. 已知边长分别为 m， m 的两个 正方形的面积分别为 S1，S2 . （1）求 S1 + S2 的值； 解:（1） + + 2 + . （2）用一根长为 20 m 的铁丝，能否围成这两个正方形？ （2）两个正方形的周长和为 + + = . 因为 < 20，所以能围成这两个正方形. 6. 已知边长分别为 m， m 的两个 正方形的面积分别为 S1，S2 . 拓广探索 7. 已知 ，求 的值.（提示：利用 a + = a－ 与 之间的关系.） 分析： 两者之间存在一定的数量关系. = = 拓广探索 解：因为 ，所以 a + = = 所以 ，所以 所以 ，所以 . = 7. 已知 ，求 的值.（提示：利用 a + = a－ 与 之间的关系.） 8. 在下列各方程后面的括号内分别给出了一组数， 从中找出方程的解： （）－ （） 分析：将括号内的数代入方程进行计算，若方程左右两边的值相等，则这个数就是此方程的解. 8. 在下列各方程后面的括号内分别给出了一组数， 从中找出方程的解： （）－ （） 解：运用代入法检验得到： （）－ （） $