专题02 常用逻辑用语（8大重点题型+思维导图+知识清单）（举一反三期末专项训练）高一数学上学期人教A版必修第一册

专题02 常用逻辑用语（8大重点题型+思维导图+知识清单）（期末专项训练） 【人教A版】 题型归纳 【知识清单1 命题】 1．命题及相关概念 (1)定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句，叫做命题. (2)命题的分类 ①真命题：判断为真的语句； ②假命题：判断为假的语句. (3)命题的形式：“若p，则q”.其中p称为命题的条件，q称为命题的结论. 【注】数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题不一定都是定理，因为命题有真假之分，而定理是真命题. 【知识清单2 充分、必要与充要条件】 1．充分条件与必要条件 命题真假 “若p,则q”是真命题 “若p,则q”是假命题 推出关系及符号表示 由p通过推理可得出q，记作：p⇒q 由条件p不能推出结论q，记作： 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件． 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件． 2．充要条件 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． 如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 【注】：“⇔”的传递性 若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件． 3．充分、必要与充要条件的判定 (1)如果既有p⇒q，又有q⇒p，则p是q的充要条件，记为p⇔q. (2)如果p⇒且q⇒，则p是q的既不充分也不必要条件. (3)如果p⇒q且q⇒，则称p是q的充分不必要条件. (4)如p⇒且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件. (5)设与命题p对应的集合为A={x|p(x)}，与命题q对应的集合为B={x|q(x)}， 若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； 若A=B，则p是q的充要条件. 4．充分条件、必要条件的两种判定方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题. (2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题. 5．充分条件、必要条件的应用 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上，解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. (2)要注意区间端点值的检验. 【知识清单3 全称量词与存在量词】 1．全称量词与全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个、 一切、每一个、任给 符号 ∀ 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” 2.存在量词与存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的 符号表示 ∃ 存在量词命题 含有存在量词的命题 形式 “存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 3．全称量词命题与存在量词命题的真假判断 (1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x证明其成立；要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例. (2)要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合M中能找到一个x0使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题. 【注】常用的全称量词有：“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”,表示整体或全部的含义. 常用的存在量词有：“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”,表示个别或一部分的含义. 【知识清单4 全称量词命题与存在量词命题的否定】 1．全称量词命题与存在量词命题的否定 (1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)的否定：∃x∈M，¬p(x)；全称量词命题的否定是存在量词命题． (2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)的否定：∀x∈M，¬p(x)；存在量词命题的否定是全称量词命题． 2．对全称量词命题否定的两个步骤： ①改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词．即：全称量词(∀)存在量词(∃)． ②否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等． 3．对存在量词命题否定的两个步骤： ①改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词．即：存在量词(∃)全称量词(∀)． ②否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等． 【注】含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”. 【知识清单5 命题的否定与原命题的真假】 1．命题的否定与原命题的真假 一个命题的否定，仍是一个命题，它和原命题只能是一真一假． 2．命题否定的真假判断 (1)弄清命题是全称量词命题还是存在量词命题，是正确写出命题的否定的前提； (2)当命题的否定的真假不易判断时，可以转化为判断原命题的真假，当原命题为真时，命题的否定为假，当原命题为假时，命题的否定为真. 【注】命题p与p的否定的真假性相反. 题型1 充分条件、必要条件及充要条件的判定 1．（24-25高一上·陕西西安·期末）“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解题思路】由充分条件、必要条件的定义即可判断. 【解答过程】由，得，反之不成立，则“”是“”的必要不充分条件． 故选：C. 2．（24-25高一上·安徽合肥·期末）使“或”成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【解题思路】根据充分不必要条件的判定可得 【解答过程】各选项中，只有为或的真子集，其余均不为真子集， 故“”是“或”的一个充分不必要条件， 故选:C. 3．（24-25高一上·重庆长寿·期末）已知为实数，且．则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解题思路】利用必要、充分条件的定义判断即可． 【解答过程】，推不出，例如：此时推不出“”， 反之，，推不出，例如：此时推不出“”， 所以是既不充分也不必要条件. 故选：D. 4．（24-25高一下·广东广州·期末）使成立的一个充分而非必要的条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【解题思路】由充分不必要条件的概念即可得解. 【解答过程】由于， 但不能得到， 所以使成立的一个充分而非必要的条件可以是， 事实上，使成立的一个充分而非必要的条件可以是，其中. 故答案为：（答案不唯一）. 5．（24-25高一上·全国·课堂例题）下列所给的各组中，p是q的什么条件（“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”）？ (1)p：，q：； (2)p：，q：且； (3)p：，q：； (4)p：a是自然数；q：a是正数． 【答案】(1)p是q的充分而不必要条件 (2)p是q的充要条件 (3)p是q的必要而不充分条件 (4)p是q的既不充分又不必要条件． 【解题思路】（1）（3）求解方程结合代值到方程中检验判断即可. （2）利用不等式的性质判断即可. （4）举反例判断即可. 【解答过程】（1）当时，成立； 当时，或． 所以p是q的充分而不必要条件． （2）由，即为且，所以p是q的充要条件． （3）由，得，且， 则，不一定有， 故p是q的必要而不充分条件． （4）0是自然数，但0不是正数，故不可推出； 又是正数，但不是自然数，故不可推出， 故p是q的既不充分又不必要条件． 题型2 充要条件的证明 6．（24-25高一上·云南楚雄·期末）已知，，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】根据充要条件的概念进行判断即可. 【解答过程】因为若，则； 若，则． 故“”是“”的充要条件． 故选：A. 7．（24-25高一下·云南·期末）若，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解题思路】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可 【解答过程】充分性：当时，可得，故充分性成立； 必要性：当时，可得，故必要性成立； 所以“”是“”的充要条件，故C正确. 故选:C． 8．（24-25高一上·云南德宏·期末）等式成立的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】对已知等式两边平方，根据绝对值的定义可得等式成立的充要条件. 【解答过程】因为， 两边平方得：， 所以，即， 所以等式成立的充要条件是. 故选：B. 9．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期末）设，则“”的充要条件是（   ） A．a，b中至少有一个为1 B．a，b都不为0 C．a，b都为1 D．不都为1 【答案】A 【解题思路】变形给定的等式，再利用充要条件的定义判断即可. 【解答过程】由题意， 则和中至少有一个为0，即，中至少有一个为1， 所以“”的充要条件是“a，b中至少有一个为1”. 故选：A. 10．（2025高三·全国·专题练习）已知的内角，，的对边分别为，，，求证：关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 【答案】证明见解析 【解题思路】先证必要性，根据两方程有公共根，探索的关系，判断三角形的形状；再证充分性，根据得到的关系，解两个方程，可得它们有公共解.最后总结作答即可. 【解答过程】必要性：设方程与的公共根为， 则，，两式相加，得或（因为，所以不成立，故舍去）， 将代入，得， 整理得，所以，因此，必要性成立． 充分性：当时，． 可化为，即， 所以方程的两根为，． 同理，由可得， 所以方程的两根为，． 显然，故两方程有一个公共根，因此充分性成立． 故关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 题型3 充分、必要条件中的求参问题 11．（24-25高一上·广东肇庆·期末）已知，若是的必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据充分必要条件的定义以及集合的包含关系求出的范围即可. 【解答过程】是的必要条件，，. 故选：B. 12．（24-25高一上·江苏连云港·期末）已知命题，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据集合间的包含关系列不等式求解即可. 【解答过程】由得，即，记； 由得，解得. 因为是的充分不必要条件，所以， 所以，解得. 故选：A. 13．（24-25高一上·吉林长春·期末）已知p：，q：，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】将p是q的充分条件转化为集合间的包含关系，根据包含关系列不等式组求解即可. 【解答过程】设集合， 集合， 因为p是q的充分条件，所以A是B的子集， 则，解得. 故选：B. 14．（24-25高一上·安徽宣城·期末）已知，若p是q的一个必要不充分条件，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【解题思路】化简命题，再利用必要不充分条件的定义列式求解. 【解答过程】命题，而命题，由p是q的一个必要不充分条件， 得，解得，所以实数m的取值范围是. 故答案为：. 15．（24-25高一上·江西·期末）已知集合，，全集． (1)当时，求； (2)若““是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)或； (2) 【解题思路】（1）先求出特定值下集合的补集，再与集合求交集； （2）根据必要不充分条件得出集合与的包含关系，进而求出实数的取值范围. 【解答过程】（1）当时，集合，则或 所以或； （2）“”是“”的必要不充分条件，故A为的真子集， 则或，解得. 题型4 全称、存在量词命题的真假判断 16．（24-25高一上·北京西城·期末）已知命题：，；命题：，，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是假命题 C．是真命题，是假命题 D．是假命题，是真命题 【答案】C 【解题思路】根据条件，直接判断出命题和的真假，即可求解. 【解答过程】由，得到，解得或，所以命题为真命题， 又当时，，所以命题是假命题，故选项A，B和D错误，选项C正确， 故选：C. 17．（24-25高一上·浙江杭州·期末）下列命题为真命题的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据全称量词命题和特称量词命题的定义判断. 【解答过程】对于A，因为，所以，A错误； 对于B，当时，，B错误； 对于C，当时，，C正确； 由可得均为无理数，故D错误， 故选:C. 18．（24-25高一上·上海嘉定·期末）命题：存在定义域为R的函数，对任意的实数，满足；命题：存在定义域为R的函数，对任意的实数，满足.关于这两个命题的真假判断，正确的是（   ） A．、都是真命题 B．、都是假命题 C．是真命题，是假命题 D．是假命题，是真命题 【答案】C 【解题思路】对于命题，令，根据函数的性质判断其真假； 对于命题，当时，，通过分析函数关系判断其真假. 【解答过程】令，其定义域为R， 对任意的实数，满足， 则存在定义域为R的函数，对任意的实数，满足， 即是真命题； 假设存在定义域为R的函数，对任意的实数，满足， 当时，， 由，则，则，出现矛盾， 所以不存在定义域为R的函数，对任意的实数，满足， 即是假命题. 故选：C. 19．（24-25高一上·辽宁丹东·期末）已知命题，，命题，，则（   ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【解题思路】举出反例，得到为假命题，举出实例，得到为真命题. 【解答过程】命题，当得，，故为假命题，为真命题， 命题，时，，故满足，为真命题. 故选：B. 20．（25-26高一上·湖南·阶段练习）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断这些命题的真假． (1)有些奇数是合数； (2)任何实数都有算术平方根； (3)至少有一个数能被3和5整除； (4)所有的反比例函数的图象都是中心对称图象． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【解题思路】根据命题中的量词确定其命题性质，再逐一判断命题真假. 【解答过程】对于（1），因为“有些”是存在量词，所以“有些奇数是合数”是存在量词命题， 比如，9是奇数也是合数，所以该命题是真命题； 对于（2），因为“任何”是全称量词，所以“任何实数都有算术平方根”是全称量词命题. 比如，是实数，但没有算术平方根，所以该命题是假命题； 对于（3），因为“至少有一个”是存在量词，所以“至少有一个数能被3和5整除”是存在量词命题． 比如，15能被3和5整除，所以该命题是真命题； 对于（4），因为“所有的”是全称量词，所以“所有的反比例函数的图象都是中心对称图象”是全称量 词命题. 因反比例函数的解析式形如，其图象关于坐标原点中心对称，故该命题是真命题. 题型5 全称、存在量词命题的否定 21．（24-25高一上·江苏盐城·期末）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解题思路】根据存在量词的命题的否定的规定，改变量词并否定结论即可. 【解答过程】命题“，”的否定是“，”. 故选：D. 22．（24-25高一上·山西大同·期末）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解题思路】根据全称量词命题的否定为存在量词命题可得答案. 【解答过程】根据全称量词命题的否定为存在量词命题可知： 命题“，”的否定是，. 故选：C. 23．（24-25高一上·安徽亳州·期末）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解题思路】由特称命题的否定为全称命题即可求解； 【解答过程】“，”的否定是，； 故选：B. 24．（24-25高一下·内蒙古赤峰·期末）命题“”的否定是 . 【答案】 【解题思路】根据全称量词命题的否定为存在在量词命题易知. 【解答过程】根据全称量词命题的否定为存在在量词命题可知： 命题“”的否定是. 故答案为：. 25．（24-25高一上·云南玉溪·期末）写出下列命题的否定，并判断其否定的真假： (1)，； (2)存在一个六边形，其内角和不等于． 【答案】(1)，，真命题； (2)任意六边形，其内角和等于，真命题． 【解题思路】（1）由全称命题的否定是把存在改为存在，并否定原结论，进而判断真假； （2）由特称命题的否定是把存在改为任意，并否定原结论，进而判断真假. 【解答过程】（1）由全称命题的否定为特称命题，则原命题的否定为，， 因为时，，故为真命题； （2）由特称命题的否定为全称命题，则原命题的否定为任意六边形，其内角和等于，易知其为真命题． 题型6 全称量词与存在量词中的求参问题 26．（24-25高一上·广东广州·期末）若“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据“，使得”是真命题，即可求解最值得解. 【解答过程】由于“，使得”是假命题，则“，使得”是真命题， 故，则， 故选：A. 27．（24-25高一上·安徽·期末）已知“，”为真命题，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据给定条件，分离参数，借助二次函数求出最小值即得. 【解答过程】“，”为真命题，则“，”为真命题， 而，当且仅当时取等号，则， 所以实数a的取值范围为. 故选：A. 28．（24-25高一上·陕西渭南·期末）已知命题：“，”为假命题，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据命题是假命题列不等式，由此求得的取值范围. 【解答过程】由于命题：“，”为假命题， 所以， 解得. 故选：D. 29．（24-25高一上·河南·期末）若命题“，使得”是假命题，则m的取值范围是 ． 【答案】 【解题思路】根据原命题的否定是真命题，令 ，由求解参数范围即可. 【解答过程】由题意知，原命题的否定“，”是真命题， 令 ， 所以， 解得，即m的取值范围是. 故答案为：. 30．（24-25高一上·湖北黄冈·期中）已知命题关于的方程有实数根.命题，不等式恒成立. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围; (2)若命题与命题一真一假，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）为真命题，则方程有实数根，分与两种情况讨论即可. （2）由一元二次不等式恒成立求得当命题为真命题时的范围，利用交集运算求解即可. 【解答过程】（1）若命题为真命题，则关于的方程有实数根， 当时，有实数根， 当时，则，解得且， 综上，实数的取值范围为 （2）命题为真命题，则，不等式恒成立， 当时，， 则，解得 当真假时，有，则或； 当假真时，有，则解集为：， 综上，或， 故实数m的取值范围为 题型7 充分、必要条件与集合交汇 31．（24-25高一上·广东深圳·期末）设集合则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解题思路】根据集合交集运算及元素与集合的关系，结合充要条件的判定即可判断. 【解答过程】若，则， 所以，解得， 当时，，此时，不合题意舍去， 当 时，，此时，满足题意， 则，则充分性成立， 反之，亦得必要性成立， 则“”是“”的充要条件. 故选：C. 32．（24-25高一上·四川成都·期末）若集合，集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解题思路】根据充分、必要性定义，及推出关系判断条件间的关系. 【解答过程】由，则必有，但反之不一定成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 33．（24-25高一下·江西·期末）已知集合，则“”是“集合M仅有1个真子集”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【解题思路】由集合M仅有1个真子集的条件，结合充分条件和必要条件的定义判断. 【解答过程】集合仅有1个真子集，即集合M只有一个元素， 若，方程等价于，解得，满足条件； 若，方程要满足，有， 则集合仅有1个真子集，有或， 则时满足集合M仅有1个真子集， 集合M仅有1个真子集时不一定有， 所以“”是“集合M仅有1个真子集”的充分不必要条件. 故选：B. 34．（24-25高一上·浙江·期中）已知集合，集合， (1)当时，求； (2)若是的充分不必要条件，求的取值范围. 【答案】(1)或 (2)或 【解题思路】（1）由得，再利用集合的补集和并集的定义求解即可； （2）由是的充分不必要条件，得是的真子集，分情况讨论即可. 【解答过程】（1）当时，， 因为，所以， 所以或， 所以或； （2）由于是的充分不必要条件，故是的真子集， 若，则，所以， 若，则，且且（等号不同时取得）， 当时，真包含于， 当时，真包含于， 故：， 综上所述，实数的取值范围是或. 35．（24-25高一上·福建莆田·期末）在①②“”是“”的充分条件，③，这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，并求解，已知. (1)当时，求； (2)若______，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 【解题思路】（1）求出，利用交集概念求出答案； （2）选①②，得到，进而得到不等式，求出；选③，需满足或，求出答案. 【解答过程】（1）当时，， 又因为， 所以； （2）若选①，，则， 显然，要满足，则，解得， 故的取值范围是； 若选②，“”是“”的充分条件，则， 显然，要满足，则，解得， 故的取值范围是； 若选③，，显然， 需满足或，解得或， 故的取值范围是或. 题型8 全称、存在量词命题与集合交汇 36．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题命题“，”为真命题，进而分和两种情况讨论求解即可. 【解答过程】因为命题“，”为假命题， 所以，命题“，”为真命题， 因为集合，集合， 所以，当时，即时，成立， 当时， 由“，”得，解得， 综上，实数的取值范围为. 故选：A. 37．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）若“”为真命题.“”为假命题，则集合可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据命题的真假确定集合中的元素具有的性质，得正确结论． 【解答过程】“”为真命题，， 因此做这个中含有 上的数， “”为假命题，则中有不小于2的元素， 只有C选项的集合M满足题意. 故选：C． 38．（24-25高一上·上海杨浦·期中）对任意集合A和集合B，下列两个命题（   ） ① ②⫋⫋ A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题 【答案】B 【解题思路】根据集合交并运算，判断集合间包含关系，进而判断命题的真假. 【解答过程】①因为，，所以，真命题， ②当时，，此时，非真子集，假命题. 故选：B. 39．（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）已知集合，集合且，命题，，若命题是真命题，则实数的取值范围是 . 【答案】或 【解题思路】由命题是真命题得到，再结合得到实数满足的条件，解不等式得到结果. 【解答过程】由，可得，解得：， 由命题，是真命题，所以， 故有或，解得或. 综上，的取值范围是或. 故答案为：或. 40．（25-26高一上·上海·月考）已知集合，集合，命题：“”，命题：“”． (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题和命题至少有一个为假命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）若命题为真命题，则进行求解； （2）求命题为真命题时，实数的取值范围为，再由命题的否定进行求解． 【解答过程】（1） 若命题：“”为真命题，则， 得， 故实数的取值范围为： （2）， 由，得， ，解得且， 得， 因为， 当时，，不满足， 当时，，不满足， 当时，，要使，则， 则若命题：“”为真命题时，实数的取值范围为：， 当命题与命题都是真命题时，则，得， 则命题和命题至少有一个为假命题时，得或， 故实数的取值范围为：. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 常用逻辑用语（8大重点题型+思维导图+知识清单）（期末专项训练） 【人教A版】 题型归纳 【知识清单1 命题】 1．命题及相关概念 (1)定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句，叫做命题. (2)命题的分类 ①真命题：判断为真的语句； ②假命题：判断为假的语句. (3)命题的形式：“若p，则q”.其中p称为命题的条件，q称为命题的结论. 【注】数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题不一定都是定理，因为命题有真假之分，而定理是真命题. 【知识清单2 充分、必要与充要条件】 1．充分条件与必要条件 命题真假 “若p,则q”是真命题 “若p,则q”是假命题 推出关系及符号表示 由p通过推理可得出q，记作：p⇒q 由条件p不能推出结论q，记作： 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件． 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件． 2．充要条件 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． 如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 【注】：“⇔”的传递性 若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件． 3．充分、必要与充要条件的判定 (1)如果既有p⇒q，又有q⇒p，则p是q的充要条件，记为p⇔q. (2)如果p⇒且q⇒，则p是q的既不充分也不必要条件. (3)如果p⇒q且q⇒，则称p是q的充分不必要条件. (4)如p⇒且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件. (5)设与命题p对应的集合为A={x|p(x)}，与命题q对应的集合为B={x|q(x)}， 若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； 若A=B，则p是q的充要条件. 4．充分条件、必要条件的两种判定方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题. (2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题. 5．充分条件、必要条件的应用 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上，解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. (2)要注意区间端点值的检验. 【知识清单3 全称量词与存在量词】 1．全称量词与全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个、 一切、每一个、任给 符号 ∀ 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” 2.存在量词与存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的 符号表示 ∃ 存在量词命题 含有存在量词的命题 形式 “存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 3．全称量词命题与存在量词命题的真假判断 (1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x证明其成立；要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例. (2)要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合M中能找到一个x0使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题. 【注】常用的全称量词有：“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”,表示整体或全部的含义. 常用的存在量词有：“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”,表示个别或一部分的含义. 【知识清单4 全称量词命题与存在量词命题的否定】 1．全称量词命题与存在量词命题的否定 (1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)的否定：∃x∈M，¬p(x)；全称量词命题的否定是存在量词命题． (2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)的否定：∀x∈M，¬p(x)；存在量词命题的否定是全称量词命题． 2．对全称量词命题否定的两个步骤： ①改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词．即：全称量词(∀)存在量词(∃)． ②否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等． 3．对存在量词命题否定的两个步骤： ①改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词．即：存在量词(∃)全称量词(∀)． ②否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等． 【注】含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”. 【知识清单5 命题的否定与原命题的真假】 1．命题的否定与原命题的真假 一个命题的否定，仍是一个命题，它和原命题只能是一真一假． 2．命题否定的真假判断 (1)弄清命题是全称量词命题还是存在量词命题，是正确写出命题的否定的前提； (2)当命题的否定的真假不易判断时，可以转化为判断原命题的真假，当原命题为真时，命题的否定为假，当原命题为假时，命题的否定为真. 【注】命题p与p的否定的真假性相反. 题型1 充分条件、必要条件及充要条件的判定 1．（24-25高一上·陕西西安·期末）“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高一上·安徽合肥·期末）使“或”成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B．或 C． D．或 3．（24-25高一上·重庆长寿·期末）已知为实数，且．则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（24-25高一下·广东广州·期末）使成立的一个充分而非必要的条件是 ． 5．（24-25高一上·全国·课堂例题）下列所给的各组中，p是q的什么条件（“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”）？ (1)p：，q：； (2)p：，q：且； (3)p：，q：； (4)p：a是自然数；q：a是正数． 题型2 充要条件的证明 6．（24-25高一上·云南楚雄·期末）已知，，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 7．（24-25高一下·云南·期末）若，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（24-25高一上·云南德宏·期末）等式成立的充要条件是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期末）设，则“”的充要条件是（   ） A．a，b中至少有一个为1 B．a，b都不为0 C．a，b都为1 D．不都为1 10．（2025高三·全国·专题练习）已知的内角，，的对边分别为，，，求证：关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 题型3 充分、必要条件中的求参问题 11．（24-25高一上·广东肇庆·期末）已知，若是的必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高一上·江苏连云港·期末）已知命题，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13．（24-25高一上·吉林长春·期末）已知p：，q：，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高一上·安徽宣城·期末）已知，若p是q的一个必要不充分条件，则实数m的取值范围是 ． 15．（24-25高一上·江西·期末）已知集合，，全集． (1)当时，求； (2)若““是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 题型4 全称、存在量词命题的真假判断 16．（24-25高一上·北京西城·期末）已知命题：，；命题：，，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是假命题 C．是真命题，是假命题 D．是假命题，是真命题 17．（24-25高一上·浙江杭州·期末）下列命题为真命题的是（    ） A． B． C． D． 18．（24-25高一上·上海嘉定·期末）命题：存在定义域为R的函数，对任意的实数，满足；命题：存在定义域为R的函数，对任意的实数，满足.关于这两个命题的真假判断，正确的是（   ） A．、都是真命题 B．、都是假命题 C．是真命题，是假命题 D．是假命题，是真命题 19．（24-25高一上·辽宁丹东·期末）已知命题，，命题，，则（   ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 20．（25-26高一上·湖南·阶段练习）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断这些命题的真假． (1)有些奇数是合数； (2)任何实数都有算术平方根； (3)至少有一个数能被3和5整除； (4)所有的反比例函数的图象都是中心对称图象． 题型5 全称、存在量词命题的否定 21．（24-25高一上·江苏盐城·期末）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 22．（24-25高一上·山西大同·期末）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 23．（24-25高一上·安徽亳州·期末）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 24．（24-25高一下·内蒙古赤峰·期末）命题“”的否定是 . 25．（24-25高一上·云南玉溪·期末）写出下列命题的否定，并判断其否定的真假： (1)，； (2)存在一个六边形，其内角和不等于． 题型6 全称量词与存在量词中的求参问题 26．（24-25高一上·广东广州·期末）若“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 27．（24-25高一上·安徽·期末）已知“，”为真命题，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 28．（24-25高一上·陕西渭南·期末）已知命题：“，”为假命题，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 29．（24-25高一上·河南·期末）若命题“，使得”是假命题，则m的取值范围是 ． 30．（24-25高一上·湖北黄冈·期中）已知命题关于的方程有实数根.命题，不等式恒成立. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围; (2)若命题与命题一真一假，求实数的取值范围. 题型7 充分、必要条件与集合交汇 31．（24-25高一上·广东深圳·期末）设集合则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 32．（24-25高一上·四川成都·期末）若集合，集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 33．（24-25高一下·江西·期末）已知集合，则“”是“集合M仅有1个真子集”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 34．（24-25高一上·浙江·期中）已知集合，集合， (1)当时，求； (2)若是的充分不必要条件，求的取值范围. 35．（24-25高一上·福建莆田·期末）在①②“”是“”的充分条件，③，这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，并求解，已知. (1)当时，求； (2)若______，求实数的取值范围. 题型8 全称、存在量词命题与集合交汇 36．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 37．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）若“”为真命题.“”为假命题，则集合可以是（   ） A． B． C． D． 38．（24-25高一上·上海杨浦·期中）对任意集合A和集合B，下列两个命题（   ） ① ②⫋⫋ A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题 39．（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）已知集合，集合且，命题，，若命题是真命题，则实数的取值范围是 . 40．（25-26高一上·上海·月考）已知集合，集合，命题：“”，命题：“”． (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题和命题至少有一个为假命题，求实数的取值范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $