5.2.1 函数的奇偶性（教学课件）数学沪教版2020必修第一册

该高中数学课件聚焦函数奇偶性，系统涵盖定义、判断、证明及应用，通过复习对称问题导入，以问题链引导学生从y轴、原点对称的图形观察入手，分析点的坐标关系，逐步抽象出奇偶函数的代数定义，构建数与形关联的学习支架。 其亮点在于以直观想象为起点（如y=x²图像对称），通过数学抽象建立奇偶性定义，结合逻辑推理（如例1证明偶函数、例2证明奇函数）深化理解，题型探究含参数求解、解析式求法等实例，体现应用意识。课堂小结关联核心素养，教师使用可高效引导学生从具体到抽象，学生能在探究中发展直观想象和逻辑推理能力。

5.2.1函数的奇偶性 第5章函数的概念、性质与应用 沪教版(2020)必修第一册·高一 章节导读 学 习 目 标 1 2 3 了解函数奇偶性的定义. 掌握函数奇偶性的判断和证明方法. 会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题. 复习引入 复习引入 O 今天我们就来研究数学函数中的对称问题. 新知探究 一个图形关于某条直线l成轴对称，是指该图形上的任意一点关于直线l的对称点也在此图形上. 函数图像关于y轴成轴对称，是指该图像上的任意一点关于y轴的对称点也在此图像上. 问题1 如何判断函数图像是否关于y轴成轴对称呢? 新知探究 问题2 自变量与函数值的对称关系满足什么条件时，函数图像具有关于y 轴成轴对称的特征？ 问题3 如果函数图像关于y轴成轴对称，其相应的自变量与函数值的对应关系是如何体现这个特征的？ 分析：对于具体函数y=x2， ，这两个函数的图像是 关于y轴成轴对称的. 横坐标互为相反数，纵坐标相等. 新知探究 x y= -2 4 -1 1 1 1 2 4 ... ... -x0 x02 x0 x02 x -2 - -1 1 1 1 2 ... ... -x0 x0 函数y=f(x)，xD，若函数图像关于y轴成轴对称, 那么f(-x0)=f(x0)，其中x可以取定义域内的任意一个值. 新知探究 x y o P(x1,y1) (x1,y1) x1D，并且y1=f(x1)， -x1D，并且y1=f(-x1)， 所以f(x1)=f(-x1). 新知探究 如果函数y=f(x)，xD的图像关于y轴成轴对称,那么 对于任意给定的xD，均有-xD，且f(-x)=f(x). 问题4 如果自变量与函数值的对应关系满足此条件时，函数图像具有关于y轴成轴对称的特征吗? 如果函数y=f(x)，xD的图像关于y轴成轴对称吗？ 对于任意给定的xD，均有-xD，且f(-x)=f(x). 新知探究 分析：证明此函数图像上任意一点，关于y轴对称的点也在这个函数图像上. 证明： 对于函数y=f(x)的图像上一点Q(x,f(x)), 点Q关于y轴的对称点(-x,f(x)), 因为-xD，并且f(-x)=f(x)， 即点(-x,f(-x)), 点(-x,f(-x))也在此函数图像上. 所以，此函数图像关于y轴成轴对称. 新知探究 如果函数y=f(x)，xD的图像关于y轴成轴对称. 对于任意给定的xD，均有-xD，且f(-x)=f(x). 1.偶函数的定义 定义 对于函数y=f(x)，如果对于其定义域D中任意给定的实数x， 都有-xD,并且f(-x)=f(x)，就称函数y=f(x)为偶函数. 典例分析 例1 证明函数y=2x4-3x2是一个偶函数. 证明 函数y=2x4-3x2的定义域为R. 记 f(x)=2x4-3x2.在R中任取一个实数x, 都有-xR，并且 f(-x)=2(-x)-3(-x)² =2x4-3x2 =f(x). 因此，y=2x4-3x2是一个偶函数. 新知探究 概念辨析：函数y=x2,-x[-3,2]是不是一个偶函数? 不是偶函数 新知探究 一个图形关于某个点P成中心对称，是指该图形上的任意一点关于某个点P的对称点也在此图形上. 图像关于原点成中心对称，是指该图像上的任意一点关于某原点的对称点也在此图形上. 问题5 如果函数图像关于原点成中心对称，其相应的自变量与函数值的对应关系满足什么条件? 新知探究 x y o P(x1,y1) (-x1,-y1) x1D，并且y1=f(x1)， -x1D，并且-y1=f(-x1)， 所以-f(x1)=f(-x1). . . 如果函数y=f(x)，xD的图像关于原点成中心对称,那么对于任意给定的xD，均有-xD，且f(-x)=-f(x). 新知探究 问题6 如果自变量与函数值的对应关系满足上述条件时，函数图像具有关于原点成中心对称的特征吗? 如果函数y=f(x)，xD的图像关于原点成中心对称吗？ 对于任意给定的xD，均有-xD，且f(-x)=-f(x). 新知探究 分析：证明此函数图像上任意一点，关于原点的对称点也在这个函数图像上. 证明： 对于函数y=f(x)，xD的图像上一点S(x,f(x)), 点S关于原点的对称点S’(-x,-f(x)), 因为-xD，并且f(-x)=-f(x)，即点S’的坐标是(-x,f(-x)), 点S’(-x,f(-x))也在此函数图像上. 所以，此函数图像关于原点成中心对称. 新知探究 如果函数y=f(x)，xD的图像关于原点成中心对称. 对于任意给定的xD，均有-xD，且f(-x)=-f(x). 2.奇函数的定义 定义 对于函数y=f(x)，如果对于其定义域D中任意给定的实数x， 都有-xD,并且f(-x)=-f(x)，就称函数y=f(x)为奇函数. 新知探究 思考　具有奇偶性的函数，其定义域有何特点？ 定义域关于原点对称. 典例分析 例2 证明：函数y=是一个奇函数. 证明 函数y=的定义域为D=. 记 f(x)=.在D中任取一个实数x,都有-x， 都有-xD，并 f(-x)==-(f(x). 因此，y=y=是一个奇函数. 典例分析 例3 是否存在定义在R上的，且既是奇函数又是偶函数的函数？若存在，求出所有满足此条件的函数；若不存在，说明理由. 解：这样的函数是存在的，函数y=0，xR就是一个满足这些条件的函数. 设满足这些条件的函数为y=f(x)．对任一给定的实数x0， 因该函数是奇函数，故f(-x0)=-f(x0); 另一方面，因该函数是偶函数，故f(-x0)=f(x0). 因此，f(x0)=-f(x0)，即f(x0)=0. 所以这样的函数只有一个，即y=0，xR. 典例分析 它们都是常值函数，函数值必须恒为0， 定义域D满足xD，必有-xD都行， 如[-2,2],{-2,2}等. 问题7 既是奇函数又是偶函数的函数有多少个? 新知探究 　理解函数的奇偶性应关注三点 (1)函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质，只有对其定义域内的每一个x，都有f(－x)＝－f(x)[或f(－x)＝f(x)]，才能说f(x)是奇(偶)函数. (2)若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)＝0. (3)若f(－x)＝－f(x)，且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数，既奇又偶的函数有且只有一类，即f(x)＝0，x∈D，D是关于原点对称的实数集. 典例分析 例4　判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝2－|x|； 解　函数f(x)的定义域为R，关于原点对称， 又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)， 所以f(x)为偶函数. 解　函数f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称，则f(x)＝0， 又f(－x)＝f(x)，且f(－x)＝－f(x)， 所以f(x)既是偶函数又是奇函数. 典例分析 解　f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称. 当x>0时，－x<0，f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)； 当x<0时，－x>0，f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x). 综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数. 典例分析 判断函数的奇偶性，一般有以下两种方法 (1)定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(－x)是否等于±f(x)，或判断f(－x)±f(x)是否等于0，从而确定奇偶性. (2)图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数. 典例分析 解　∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， 比较得n＝－n，n＝0. ∴实数m和n的值分别是2和0. 典例分析 例6　若f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3， 求f(x)的解析式. 解　当x<0时，－x>0， f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3， 由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)， 所以f(x)＝－x2－2x－3. 即当x<0时，f(x)＝－x2－2x－3. 又因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0. 证明函数奇偶性 题型一 题型探究 1.判断下列函数的奇偶性. 证明函数奇偶性 题型一 题型探究 1.判断下列函数的奇偶性. (2)f(x)＝x2(x2＋2). 解　f(x)＝x2(x2＋2)的定义域为R. ∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝x2(x2＋2)是偶函数. 利用函数奇偶性求参数 题型二 题型探究 2.已知函数f(x)=log4(2·4x+2)+kx为R上的偶函数,求实数k的值. 解 由函数f(x)为R上的偶函数,得f(1)=f(-1),即k+log410=-k+log4. 即2k=log4-log410=log4=-1,解得k=-. 当k=-时,f(x)=log4(2·4x+2)-x=log4(2·4x+2)-log4=log4(2·4x+2)-log42x=log4[2(2x+2-x)], f(-x)=log4[2(2-x+2x)]=f(x)(易错:根据具体点求出的参数,需用偶函数的定义进行检验), 则f(x)为R上的偶函数.故k=-. 利用函数奇偶性求解析式 题型三 题型探究 3.函数f(x)在R上为奇函数，当x>0时，f(x)＝ ＋1，则f(x)的解析式 为_______________________. 函数奇偶性综合 题型四 题型探究 4.设奇函数f(x)的定义域为[－6,6]，当x∈[0,6]时f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集用区间表示为_________________. [－6，－3)∪(0,3) 解析　由f(x)在[0,6]上的图象知， 满足f(x)<0的不等式的解集为(0,3). 又f(x)为奇函数，图象关于原点对称， 所以在[－6,0)上，不等式f(x)<0的解集为[－6，－3). 综上可知，不等式f(x)<0的解集为[－6，－3)∪(0,3). 函数奇偶性综合 题型四 题型探究 5.已知函数f(x)对一切实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)， (1)求证：f(x)是奇函数； 证明　由已知f(x＋y)＝f(x)＋f(y)， 令y＝－x得f(0)＝f(x)＋f(－x)， 令x＝y＝0得f(0)＝2f(0)，所以f(0)＝0. 所以f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)， 故f(x)是奇函数. 函数奇偶性综合 题型四 题型探究 5.已知函数f(x)对一切实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)， (2)若f(－3)＝a，试用a表示f(12). 解　由(1)知f(x)为奇函数. 所以f(－3)＝－f(3)＝a，所以f(3)＝－a. 又f(12)＝f(6)＋f(6)＝2f(3)＋2f(3)＝4f(3)， 所以f(12)＝－4a. 课堂小结 逻辑推理 逻辑推理 数学抽象 直观想象 数学建模 函数的奇偶性 点-有序数对 数 形 图像 定义 感谢聆听! (2)f(x)＝＋； (3)f(x)＝ 又f(2)＝，∴＝，解得m＝2. 例5 已知函数f(x)＝是奇函数，且f(2)＝. 求实数m和n的值； ∴＝－＝. 故f(x)＝ (1)f(x)＝； 解　f(x)＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， ∵f(－x)＝－＝－f(x)， ∴f(x)＝是奇函数. f(x)＝ $