2.2 30°、45°、60°角的三角函数值 同步训练 2025-2026学年鲁教版（五四制）数学九年级上册

该初中数学单元复习讲义以“特殊角比值推导”为基础构建知识体系，系统梳理30°、45°、60°角三角函数值及锐角三角函数增减性、同角与互余角关系，通过特殊直角三角形边长规律推导数值，用汇总表格呈现核心结论，以性质梳理框架图串联定义与解直角三角形的衔接。 讲义亮点在于同步训练分层设计，包含单选、填空、解答题，如比较sin50°与sin60°的增减性应用，不同函数值比较的“搭桥法”示例，培养推理意识与运算能力，基础题巩固数值记忆，综合题提升逻辑推理，助力学生自主构建知识网络，为教师精准教学提供清晰重难点参考。

2.2 30、45、60 角的三角函数值 性质梳理 核心结论：2.2 以“特殊角比值推导”为基础，聚焦30°、45°、60°角的三角函数值记忆与应用，同时系统梳理锐角三角函数的增减性、同角关系及互余角关系，是衔接三角函数定义与解直角三角形的关键环节，核心是“通过代数推导理解规律，而非机械记忆”。 一、特殊角（30°、45°、60°）的三角函数值 1. 推导依据：特殊直角三角形的边长关系 所有特殊角的三角函数值，均由两类特殊直角三角形的“边长比例”推导而来，无需依赖图形，仅需牢记边长规律： · 含30°的直角三角形：30°角对的直角边 = 斜边的1/2（设斜边为2，则30°对边为1，邻边由勾股定理得）； · 等腰直角三角形（45°角）：两直角边相等（设直角边为1，斜边由勾股定理得）。 2. 具体推导与数值表 （1）30°角的三角函数值 设含30°的直角三角形中，∠A=30°，30°对边，斜边，邻边： · 对边斜边； · 邻边斜边； · 对边邻边。 （2）45°角的三角函数值 设等腰直角三角形中，∠A=45°，直角边，斜边： · ； · ； · 。 （3）60°角的三角函数值 含30°的直角三角形中，60°角与30°角互余，60°对边为，邻边为，斜边： · 对边斜边； · 邻边斜边； · 对边邻边。 （4）核心数值表（汇总） 角度α 30° 45° 1 60° 3. 记忆方法：规律总结与口诀 · 数值规律：随角度增大而增大（30°→45°→60°：→→），反之（→→），随角度增大而增大（→1→）； · 简化口诀：“正弦分母皆为2，分子1、√2、√3；余弦分子倒着来，正切30√3/3，45为1，60√3”。 二、锐角三角函数的增减性（0°-90°范围内） 1. 核心性质：角度与函数值的变化关系 基于锐角三角函数的定义及特殊角数值规律，可推导0°-90°内的增减性，无需图形辅助： · 正弦函数（）：随角度α的增大而增大（如）； · 余弦函数（）：随角度α的增大而减小（如）； · 正切函数（）：随角度α的增大而增大（如）。 2. 记忆口诀与应用注意事项 · 记忆口诀：“正弦增，余弦减，正切增，记心间”； · 关键提醒：增减性仅在“0°-90°锐角范围”内成立，且不可跨范围讨论（如不能说“α=100°时随α增大而增大”，因100°非锐角）。 3. 应用：比较三角函数值大小 （1）同类型函数值比较（直接用增减性） 示例1：比较与： 因随α增大而增大，且50°<60°，故。 示例2：比较与： 因随α增大而减小，且25°<35°，故。 （2）不同类型函数值比较（借助特殊角“搭桥”） 示例：比较与： 先求具体值：，，故。 同步训练 一、单选题 1．的值为（    ） A． B． C．1 D． 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 3．为锐角，且，则的范围是（   ） A． B． C． D． 4．如图，每个小正方形的边长均为1，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．在中，若，满足，且，均为锐角，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．在中，，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 7．比较，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8． ． 9．计算： ． 10．若为锐角，，则 ． 11．若，，，则由小到大的顺序为 ． 12．如果中，，那么是 三角形． 三、解答题 13．计算： (1)； (2)． 14．已知是锐角，且． 求的值． 15．（1）在中，，求度数． （2）在中，，求长度． 16．某小组同学对三角比展开主题研究活动，现在邀请你参加． 【问题提出】 （1）如果锐角的余弦值为，下列关于锐角的取值范围，正确的是______． A．    B．    C．    D． 【问题分析】 （2）余弦值、、的三角比分别是______、_______、____．你发现它们的分布特点是随着角度的______（选填“增大”或“减小”）而减小． 【综合运用】 （3）写出下列角度的正弦值的取值范围． ，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2.2 30、45、60 角的三角函数值 同步训练 2025-2026学年鲁教版（五四制）数学九年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 D C C D D D D 1．D 【分析】题目主要考查特殊角的三角函数，牢记特殊角的三角函数值是解题关键． 根据，直接判断即可． 【详解】解：， 故选：D． 2．C 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键． 根据特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故选C． 3．C 【分析】本题主要考查了特殊的三角函数值，解题的关键是熟记特殊三角函数值； 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 4．D 【分析】本题考查了求角的正弦值，由图可得，，得出的度数，再利用正弦的定义即可求解． 【详解】解：由图可得，，， ∴， ∴． 故选：D． 5．D 【分析】本题考查了三角形内角和性质，特殊角的三角函数值，绝对值的非负性，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据非负数的性质，绝对值和平方项均为零，从而求出和的度数，再根据三角形内角和定理求，即可作答． 【详解】解：∵，且， ∴， 即， ∵，均为锐角， ∴， ∴， 故选：D． 6．D 【分析】本题考查了根据特殊角三角函数值求角的度数，结合已知边和的长度，计算的值，再根据特殊角的三角函数值确定的度数，即可作答． 【详解】解：∵在中，， ∴为斜边， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 7．D 【分析】本题主要考查了锐角三角函数值的比较，掌握锐角三角函数的增减性是做题的关键． 利用三角函数的关系将转化为，再根据余弦函数在锐角范围内的递减性，比较和，最后利用正切函数的递增性和特殊值比较与即可． 【详解】解： ， 又在锐角范围内，余弦函数递减，且， ， 即． ，且正切函数在锐角范围内递增，， ， 又∵（余弦函数递减，）， ， 综上，． 故选：D． 8． 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算． 根据特殊角的三角函数值进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：0． 9． 【分析】本题考查了求特殊角的三角函数值，求一个数的立方根． 根据特殊角的三角函数值及立方根的定义进行运算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 10．/度 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 根据角的余弦值是解答即可． 【详解】解：，， ， 故答案为：． 11． 【分析】本题考查锐角三角函数的应用，熟练掌握锐角三角函数的性质及特殊的锐角三角函数值是解题关键．根据锐角三角函数的性质及正弦值与余弦值的关系解答即可． 【详解】解：，， ． 故答案为：． 12．等腰直角 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，等腰三角形的判定，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键． 根据三角函数值确定角A和角B的度数，结合三角形内角和定理以及等腰三角形的判定定理确定三角形形状． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故是等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角． 13．(1) (2) 【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值、二次根式的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题关键． （1）把特殊角的三角函数值代入，然后进行二次根式的计算即可； （2）把特殊角的三角函数值代入，然后进行二次根式的计算即可． 【详解】（1）解：原式． （2）原式． 14． 【分析】本题考查了特殊角的三角函数和实数的混合运算，熟知特殊角的三角函数值是解题的关键； 先根据是锐角和得出，再代入所求式子结合特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】解：∵是锐角，且， ∴， ∴ ． 15．（1）（2）或 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，注意分类讨论是解题的关键． （1）根据特殊角的三角函数值求解； （2）通过作高将转化为两个直角三角形，利用角的性质和勾股定理求出相关线段长度，再分两种情况计算的长度． 【详解】解：（1）在中，，， ∴； （2）如图，作于点， 在中，， ∴， ， 在中，， ∴， ∴； 如图，作交的延长线于点， 在中，， ∴， ， 在中，, ∴， ∴； 综上，的长为或． 16．（1）C；（2），，，增大；（3）， 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值和锐角三角函数中的正、余弦函数的性质，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）根据特殊角的余弦值，即可判断锐角的取值范围； （2）熟记特殊角（、、）的余弦值即可得出它们的三角比，通过观察即可得出它们的分布特点； （3）根据特殊角的正弦值和锐角正弦函数的增减性即可求解． 【详解】解：（1），，，, 又 且为锐角， ； 故选C． （2）由，，可得，它们的三角比分别为 ，，；通过观察可知，它们的三角比会随角度的增大而减小； 故答案为：，，，增大； （3）由锐角正弦函数的增减性可知，锐角的正弦值会随角度的增大而增大 ，， 又，，， ，． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $