1.3反比例函数的应用同步训练2025-2026学年鲁教版（五四制）（2012）数学九年级上册

1.3 反比例函数的应用 同步训练 实际问题的反比例关系转化（基础思路） 1. 核心步骤：“找定值→列表达式→定定义域” 1. 找定值（确定）：分析实际问题中“乘积为定值”的两个变量，该定值即为（如路程固定时，路程；矩形面积固定时，面积）； 1. 列函数表达式：设两个变量为（自变量）、（因变量），根据列出； 1. 确定定义域：结合实际问题的意义，排除外的不合理取值（如长度、速度等不能为负，故定义域为）。 2. 示例：压强问题的转化 已知人和木板对湿地的压力合计为600N（压力为定值），压强（Pa）与受力面积（）成反比例： 1. 找定值：； 1. 列表达式：； 1. 定定义域：（受力面积不能为0或负）。 比例系数的几何意义（代数转化） 1. 核心代数本质：的延伸 过反比例函数图象上任意一点，作x轴、y轴的垂线，两条垂线与坐标轴围成的矩形面积，可通过代数计算得： 矩形面积，因，故。 （注：此处仅通过“坐标乘积的绝对值”推导面积，不涉及图形描述，核心是“”的定值属性） 2. 应用：由面积求值 若已知双曲线上任一点与坐标轴围成的矩形面积为，则，再结合该点所在象限判断的符号（如点在第二象限，、，则）。 示例：若双曲线上一点与坐标轴围成的矩形面积为5，且在第四象限，则，，函数表达式为。 一、单选题 1．在一定条件下，乐器中弦振动的频率f与弦长l成反比例关系，即（为常数，），若某乐器的弦长l为米，振动频率f为200赫兹，则k的值为（   ） A．160 B．170 C．180 D．190 2．正比例函数与反比例函数的图象交于两点，则的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压和气体的体积存在一定的函数关系．下表是几组气体的气压与气体的体积的对应值，则当气体的体积为m3时，气体的气压最接近（   ） 气体的体积 3 2 1 0.5 气体的气压 32 48 96 192 A．120 B．100 C．96 D．90 4．一次函数与反比例函数（m，n为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能为（    ） A． B． C． D． 5．如图，为做好校园疫情防控工作，学校对教室进行喷雾消毒，已知喷雾阶段教室内每立方米空气中含药量与时间成正比例，喷雾完成后与成反比例（如图所示）．当每立方米空气中含药量低于时，对人体无毒害作用，则下列说法中正确的是（   ） A．每立方米空气中含药量从上升到需要2分钟 B．每立方米空气中含药量下降过程中，与的函数关系式是 C．为了确保对人体无毒害作用，消毒开始25分钟后学生才能进入教室 D．每立方米空气中含药量不低于的持续时间为10分钟 6．如图，在平面直角坐标系中，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点，与边交于点（不重合）．给出下面四个结论： ①与的面积不一定相等； ②与的面积一定不相等； ③不一定是锐角三角形； ④一定不是等边三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 二、填空题 7．机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置．已知一款机器狗的最快移动速度与载重后总质量的函数表达式为，当其载重后总质量时，它的最快移动速度 ． 8．已知蓄电池两端电压（单位：V）为定值，电流（单位：A）与（单位：）成反比例函数关系．当时，，则当时，的值为 ． 9．在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于、两点．若，，则该双曲线的表达式为 ． 10．如图，直线与反比例函数的图象的一部分交于点，与轴、轴分别交于点、，若，则的值为 ． 11．下表是8个面积相等的矩形的长与宽． 长 1 2 3 4 5 宽 2 1 设为这8个矩形的公共角，画出这8个矩形，然后取的8个对角的顶点，并把这8个点用平滑的曲线顺次连接起来．设矩形的长为（单位：），宽为（单位：），则这条曲线对应的函数表达式为 ．（不用写自变量的取值范围） 三、解答题 12．如图，反比例函数与一次函数的图像在第一象限交于点，点位于第一象限，且是反比例函数图像上一点，轴于点，交一次函数的图像于点，连接． (1)________，________； (2)当时，求的面积； (3)当时，直接写出自变量的取值范围． 13．某种玻璃原材料需在环境保存，取出后匀速加热至高温之后停止加热，玻璃温度会逐渐降低至室温（），加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，如图是玻璃温度与时间的函数图象，其中降温阶段y与x成反比例函数关系，根据图象信息，回答下列问题： (1)求降温阶段y与x的函数表达式； (2)求温度从降到室温所需要的时间． 14．已知一次函数与反比例函数的图像交于、两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)若点关于原点对称点为，在轴上求一点，使得周长最小，则点坐标为___________． 15．为了预防冬季流感，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（分钟）成正比例，药物燃烧后，与成反比例（如图），现测药物8分钟燃毕，此时空气中每立方米含药量为10毫克，请根据题中所提供的信息，回答下列问题． (1)药物燃烧时，关于的函数关系式为____________，自变量的取值范围是____________；药物燃烧完后，与的函数关系式为____________；自变量的取值范围是____________； (2)研究表明，当空气中的每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过几分钟后，学生才能回到教室； (3)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于2.5毫克且持续时间不低于30分钟时，才能有效地杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《1.3 反比例函数的应用 同步训练 2025-2026学年鲁教版（五四制）数学九年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C D A B C C 1．C 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，正确计算是解题关键． 用待定系数法求出的值即可． 【详解】解： ，且，， ∴， ∴， 故的值为180． 故选：C． 2．D 【分析】本题考查了反比例函数图象的对称性，解决这类题目关键是熟知反比例函数的性质． 此题由题意可知、两点关于原点对称，则根据对称性即可得到点坐标． 【详解】解：正比例函数与反比例函数的图象交于、关于原点对称， 点关于原点对称点的坐标为． 故选：D． 3．A 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据表中数据，气压p与体积V的乘积均为96，故p与V成反比例关系，即，代入计算即可得p值． 【详解】解：∵由表数据：， ∴，即p与V成反比例关系． 当时，． ∴ p为， 故选A． 4．B 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的图象．根据m，n的符号讨论一次函数与反比例函数的图象所在的象限，再找出符合的选项即可． 【详解】解：当，时，，，一次函数的图象经过第一、三、四象限，反比例函数的图象位于第一、三象限； 当，时，，，一次函数的图象经过第一、二、三象限，反比例函数的图象位于第二、四象限，B选项符合； 当，时，，，一次函数的图象经过第二、三、四象限，反比例函数的图象位于第二、四象限； 当，时，，，一次函数的图象经过第一、二、四象限，反比例函数的图象位于第一、三象限． 故选：B． 5．C 【分析】本题主要考查了一次函数，反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． 首先根据题意，喷雾阶段室内每立方米空气中的含药量与喷雾时间成正比例；喷雾后，与成反比例，且其图象都过点，用待定系数法可求得正比例和反比例函数的函数解析式，再逐项计算即可得出结果． 【详解】解：设喷雾阶段函数解析式为， 由题意得， 解得， ∴此阶段函数解析式为； 设喷雾结束后函数解析式为， 由题意得， 解得， ∴此阶段函数解析式为； A.在喷雾阶段，当时，，当时，，共需要，故此选项不符合题意． B.每立方米空气中含药量下降过程中，与的函数关系式是，故此选项不符合题意． C.喷雾结束后，当时，，为了确保对人体无毒害作用，消毒开始后学生才能进入教室，故此选项符合题意． D.在喷雾阶段，当时，，在喷雾结束后，当时，，所以每立方米空气中含药量不低于的持续时间为，故此选项不符合题意． 故选：C． 6．C 【分析】设点M坐标为，点N坐标为，则，，，，，，可用a，b表示出，，即可判断①；用a，b表示出，，可知当与的面积相等时，M，N重合，与题意不符，可判断②；根据等边三角形和反比例函数的对称性即可判断④，根据M，N是反比例函数图象上的动点，可得或为钝角，即可判断③，即可求解． 【详解】解：设点M坐标为，点N坐标为， 则，，， ∴，，，，，， ∴，， ∴， 即与的面积一定相等， 故结论①错误； ， ， 当与的面积相等时，，即， 当时，M，N重合，与题意不符， ∴与的面积一定不相等， 故结论②正确； ∵等边三角形和反比例函数都是轴对称图形，当且对称轴都为直线，可能是等边三角形， 故结论④错误； 如图： 当M，N在的同侧时，可能是钝角三角形， 故结论③正确； 综上，①④错误、②③正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，反比例函数的图形和性质，矩形的性质，数形结合是解题的关键． 7．4 【分析】本题考查了反比例函数的应用，将代入计算即可． 【详解】解：当 时，（m/s）． 故答案为 4． 8． 8 【分析】本题考查了反比例函数．根据题意利用待定系数法求得该反比例函数的表达式，由此即可解答． 【详解】解：∵蓄电池两端电压U为定值，电流I与R成反比例函数关系， ∴电流I与R的函数关系为， ∵当时，， ∴，解得， ∴电流I与R的函数关系为， 当时，即， 解得． 故答案为：8． 9． 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，先由点在直线上得出，再由点，在双曲线上得，求出，进而可求出该双曲线的表达式． 【详解】解：点在直线上， ∴， ∴． ∵点，在双曲线上， ∴， ∴， ∴， 当时，， 当时，（舍去）， ． 故答案为：． 10． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合．熟练掌握一次函数的性质，待定系数法求反比例函数的解析式以及平行线分线段成比例定理，求出点A的坐标是解题的关键． 过点A作轴于点，设点，表示出，求出，然后根据平行线分线段成比例定理列式计算，求出x得到A点坐标即可解决问题． 【详解】解：如图，过点A作 轴于点M，设点， 则，， 当时，； 当时，即． 解得：． ∴． ∴，． ， ∴． 即． 解得． ∴． ∴． 故答案为：． 11． 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，解题的关键是根据矩形面积相等得出长和宽的反比例关系，进而确定函数表达式． 根据矩形面积相等，长与宽满足反比例关系，由表中数据求面积后确定函数表达式． 【详解】解：设矩形面积为S，则，由表可知，当时，，代入得，因此，即， 故曲线对应的函数表达式为． 故答案为：． 12．(1) (2) (3)或． 【分析】此题考查了一次函数和反比例函数图象的交点问题，准确求出函数解析式和数形结合是关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）求出，即可求出答案； （3）求出反比例函数与一次函数的图像在第三象限交于点，根据图象的位置关系即可求出答案． 【详解】（1）解：∵反比例函数与一次函数的图像在第一象限交于点， ∴，， 解得， 故答案为： （2）由（1）可知反比例函数为，一次函数为 当时，即点的横坐标为， 当时，，， ∴， ∴的面积； （3）联立得到解得或， ∴反比例函数与一次函数的图像在第三象限交于点， 由图象可知，当时，直接写出自变量的取值范围为或． 13．(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的应用，理解题意，结合图象求解是解题关键． （1）由题可得，在反比例函数图象上，设反比例函数解析式为，代入点得到与的函数关系式是； （2）将代入得到，根据，于是得到结论． 【详解】（1）解：设反比例函数表达式为， 把代入得，， 解得， 所以所求函数表达式为； （2）把代入得，， ， 答：所需要的时间为． 14．(1)反比例解析式为，一次函数的解析式为： (2)8 (3) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求反比例函数的表达式、一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）设直线交轴于，根据求解即可； （3）的周长为，其中为定值，当最小时，周长最小，设直线的解析式为，求出其解析式即可解题． 【详解】（1）解：把代入中，得：， ∴反比例解析式为； ∴， 把、代入中，得： ， 解得：， ∴一次函数的解析式为：； （2）解：如图，设直线交轴于，令，则， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，点关于原点对称点也在双曲线上，且， 的周长为，其中为定值， ∴当最小时，周长最小； 作点关于轴的对称点， 则， 当、、三点共线时，最小， 设直线的解析式为， 代入，，有： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴． 故答案为：． 15．(1) (2)从消毒开始，至少需要经过50分钟后，学生才能回到教室 (3)此次消毒有效，理由见解析 【分析】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． （1）根据待定系数法即可求出两个函数解析式，从图上可读出的取值范围； （2）把代入反比例函数解析式，求出相应的x； （3）把代入正比例函数解析式和反比例函数解析式，求出相应的x，两数之差与30进行比较判断即可． 【详解】（1）解：药物燃烧时，设关于的函数关系式为，代入得，解得， ∴药物燃烧时，关于的函数关系式为，自变量的取值范围是； 药物燃烧完后，与的函数关系式为，代入得，解得， ∴药物燃烧完后，与的函数关系式为；自变量的取值范围是； 故答案为：； （2）解：结合实际，令中得，解得， 答：即从消毒开始，至少需要50分钟后学生才能回到教室； （3）解：把代入得，解得， 把代入得，解得， ∵， 所以这次消毒有效． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $