第二十六章 二次函数 章节（16知识点回顾+46题型巩固）讲义-2025-2026学年沪教版(五四制)九年级数学上册满分全攻略备考系列

该初中数学二次函数单元复习讲义通过“知识梳理+题型巩固”系统构建复习体系，知识梳理用表格对比不同形式二次函数图像性质，思维导图呈现线段、角度、面积等综合问题解题方法，覆盖定义到实际应用，清晰呈现重难点内在联系。 讲义亮点是分层题型设计，从基础（如二次函数识别、解析式求解）到综合（如拱桥问题、特殊三角形存在性），融入推理能力与模型意识培养，基础题巩固概念，综合题提升思维，助力不同学生发展，教师可据此实施精准分层教学。

第二十六章 二次函数 章节（16知识点回顾+46题型巩固） 目录 知识梳理 1.二次函数 2.二次函数y=ax²的图像 3.二次函数y=ax²+k的图像 4.二次函数y=a（x-h）²的图像 5.二次函数y=a（x-h）²+k的图像 6.二次函数的图象与性质 7.二次函数的图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系 8.二次函数的常见表达式 9.列二次函数解应用题 10.建立二次函数模型求解实际问题 11.二次函数中线段相等与和差倍关系 12.抛物线中的线段最值问题 13.角相等问题 14.二倍角问题 15.特殊角问题 16.二次函数中的面积最值问题 题型巩固 一、列二次函数关系式 二、二次函数的识别 三、根据二次函数的定义求参数 四、y=ax²的图象和性质 五、y=ax²+k的图象和性质 六、y=a（x-h）²的图象和性质 七、y=a（x-h）²+k的图象和性质 八、把y=ax²+bx+c化成顶点式 九、画y=ax²+bx+c的图象 十、y=ax²+bx+c的图象与性质 十一、二次函数图象与各项系数符号 十二、一次函数、二次函数图象综合判断 十三、反比例函数、二次函数图象综合判断 十四、两个二次函数图象综合判断 十五、根据二次函数的图象判断式子符号 十六、已知抛物线上对称的两点求对称轴 十七、根据二次函数的对称性求函数值 十八、y=ax²+bx+c的最值 十九、利用二次函数对称性求最短路径 二十、待定系数法求二次函数解析式 二十一、二次函数图象的平移 二十二、求抛物线与x轴的交点坐标 二十三、求抛物线与y轴的交点坐标 二十四、已知二次函数的函数值求自变量的值 二十五、抛物线与x轴的交点问题 二十六、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 二十七、求x轴与抛物线的截线长 二十八、图象法确定一元二次方程的近似根 二十九、图象法解一元二次不等式 三十、利用不等式求自变量或函数值的范围 三十一、根据交点确定不等式的解集 三十二、图形问题(实际问题与二次函数) 三十三、图形运动问题(实际问题与二次函数) 三十四、拱桥问题(实际问题与二次函数) 三十五、销售问题(实际问题与二次函数) 三十六、投球问题(实际问题与二次函数) 三十七、喷水问题(实际问题与二次函数) 三十八、增长率问题(实际问题与二次函数) 三十九、其他问题(实际问题与二次函数) 四十、线段周长问题(二次函数综合) 四十一、面积问题(二次函数综合) 四十二、角度问题(二次函数综合) 四十三、特殊三角形问题(二次函数综合) 四十四、特殊四边形(二次函数综合) 四十五、相似三角形问题(二次函数综合) 四十六、其他问题(二次函数综合) 知识梳理 知识点1.二次函数 1、二次函数： 一般地，解析式形如（其中a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数． 2.二次函数应注意的问题： （1）a、b、c三个系数中，必须保证，否则就不是二次函数了；而b、c两数可以为0，如特殊形式：等． （2）依据定义判断一个函数是不是二次函数时，解析式中表示函数的这个代数式应是最简的。例如这个函数不是二次函数。 （3）在具体问题中，有时只研究函数解析式，需要研究函数的定义域时，如果未加说明，那么函数的定义域由解析式确定；否则，必须指明函数的定义域。 （4）在实际应用问题中，要注意函数的定义域，自变量x的取值应符合实际意义。 知识点2.二次函数y = ax2的图像 的图像 在平面直角坐标系xOy中，按照下列步骤画二次函数的图像． （1）列表：取自变量x的一些值，计算相应的函数值y，如下表所示： x … -2 -1 0 1 2 … … 4 1 0 1 4 … （2） 描点：分别以所取的x的值和相应的函数值y作为点的横坐标和纵坐标，描出这些坐标所对应的各点，如图1所示． （3）连线：用光滑的曲线把所描出的这些点顺次联结起来，得到函数的图像，如图2所示． 二次函数的图像是一条曲线，分别向左上方和右上方无限伸展．它属于一类特殊的曲线，这类曲线称为抛物线．二次函数的图像就称为抛物线． 2.二次函数的图像 抛物线（）的对称轴是y轴，即直线x = 0；顶点是原点．当时，抛物线开口向上，顶点为最低点；当时，抛物线开口向下，顶点为最高点． 知识点3.二次函数y=ax²+k的图像 一般地，二次函数y=ax²+k的图像是抛物线，称为抛物线y=ax²+k，它可以通过将抛物线向上（时）或向下（时）平移个单位得到． 抛物线y=ax²+k（其中a、k是常数，且）的对称轴是y轴，即直线x = 0；顶点坐标是（0，k）．抛物线的开口方向由a所取值的符号决定，当时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，开口向下，顶点是抛物线的最高点． 知识点4.二次函数y=a（x-h）²的图像 一般地，二次函数y=a（x-h）²的图像是抛物线，称为抛物线y=a（x-h）²，它可以通过将抛物线向左（时）或向右（时）平移个单位得到． 抛物线y=a（x-h）²（其中a、h是常数，且）的对称轴是过点（-h，0）且平行（或重合）于y轴的直线，即直线x = -h；顶点坐标是（-h，0）．当时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，开口向下，顶点是抛物线的最高点． 知识点5.二次函数y=a（x-h）²+k的图像 二次函数y=a（x-h）²+k（其中a、h、k是常数，且）的图像即抛物线y=a（x-h）²+k，可以通过将抛物线进行两次平移得到． 这两次平移可以是：先向左（时）或向右（时）平移个单位，再向上（时）或向下（时）平移个单位． 利用图形平移的性质，可知：抛物线y=a（x-h）²+k（其中a、m、k是常数，且）的对称轴是经过点（，0）且平行于y轴的直线，即直线x =；抛物线的顶点坐标是（，k）．抛物线的开口方向由a所取值的符号决定，当时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，开口向下，顶点是抛物线的最高点． 知识点6.二次函数的图象与性质 图象特征 二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点. 基本形式 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 图象 a>0 a<0 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x= 顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (，) 最值 a>0 开口向上，顶点是最低点，此时 y 有最小值； a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值. 【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或）. 增 减 性 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大. a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小. 知识点7.二次函数的图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系 项目 字母 字母的符号 图象的特征 a a＞0 开口向上 a＜0 开口向下 b ab＞0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 ab＜0(a，b异号) 对称轴在y轴右侧 c c=0 图象过原点 c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴负半轴相交 b2-4ac b2-4ac=0 与x轴有唯一交点 b2-4ac＞0 与x轴有两个交点 b2-4ac＜0 与x轴没有交点 知识点8.二次函数的常见表达式 名称 解析式 前提条件 一般式 y=ax²+bx+c (a≠0) 当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时,常用一般式求其表达式. 顶点式 y＝a(x–h)²＋k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k） 当已知抛物线的顶点坐标(或者是对称轴) 时，常用顶点式求其表达式. 交点式 y＝a（x–x1）（x–x2） (a≠0) 其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，若题目已知抛物线与x 轴两交点坐标时，常用交点式求其表达式. 相互联系 （1）以上三种表达式是二次函数的常见表达式，它们之间可以互相转化. （2）一般式化为顶点式、交点式，主要运用配方法、因式分解等方法. 知识点9.列二次函数解应用题 　 列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤： (1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)． (2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确． (3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数． (4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题. (5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案． (6)写出答案． 要点归纳： 常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等. 解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式. 知识点10.建立二次函数模型求解实际问题 一般步骤： (1)恰当地建立直角坐标系； (2)将已知条件转化为点的坐标； (3)合理地设出所求函数关系式； (4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式； (5)利用关系式求解问题． 要点归纳： 利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义. 知识点11.二次函数中线段相等与和差倍关系 1.线段相等问题解题思路 借助几何性质： 利用等腰三角形性质：若能证明两条线段是等腰三角形的两腰，则两线段相等。可通过求出线段端点坐标，计算直线斜率，得出线段夹角，结合角度关系证明等腰三角形。 利用全等三角形性质：通过证明包含两条线段的两个三角形全等，根据全等三角形对应边相等来证明线段相等。需根据已知条件找出对应角相等和对应边相等的关系。 利用对称性质：若两点关于某条直线对称，则这两点到对称轴上任意一点的距离相等，且这两点连线被对称轴垂直平分。可先求出对称轴方程，再根据对称点的坐标关系，证明线段相等。 2.线段和差倍问题解题思路 截长补短法：证明一条线段等于另外两条线段的和或差，可采用截长或补短的方法。 3.线段倍数问题解题思路 加倍法或减半法：要证一条线段是另一条线段的2倍，可延长较短线段使其长度加倍，再证明与较长线段相等（加倍法）；或取较长线段的中点，证明中点分割后的线段与较短线段相等（减半法）。 利用相似三角形性质：若两个三角形相似，则对应边成比例。通过找出与两条线段相关的相似三角形，根据相似比来证明线段的倍数关系。如△ABC∽△DEF，相似比为k，若AB与DE是对应边，则AB=kDE。 知识点12.抛物线中的线段最值问题 1．平行于坐标轴的线段的最值问题：常通过线段两端点的坐标差表示线段长的函数关系式，运用二次函数性质求解．求最值时应注意： ①当线段平行于y轴时，用上端点的纵坐标减去下端点的纵坐标； ②当线段平行于x轴时，用右端点的横坐标减去左端点的横坐标．在确定最值时，函数自变量的取值范围应确定正确． 2. 两条线段和的最值问题：解决这类问题最基本的定理就是“两点之间线段最短”， 解决这类问题的方法是：作其中一个定点关于已知直线的对称点，连接对称点与另一个定点，它们与已知直线的交点即为所求的点. 其变形问题有三角形周长最小或四边形周长最小等. 【常见模型一】（两点在河的异侧）：在直线L上找一点M，使PA+PB的值最小. 方法：如右图，连接AB，与直线L交于点M,在M处渡河距离最短，最短距离为线段AB的长。 【常见模型二】（两点在河的同侧）：在直线L上找一点M，使PA+PB的值最小. 方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B’，连接AB’,与直线L的交点即为所求的渡河点，最短距离为线段AB’的长。 3. 两条线段差的最值问题：解决这类问题最基本的定理就是“三角形任何两边之差小于第三边”， 解决这类问题的方法是：求解时,先根据原理确定线段差取最值时的图形,再根据已知条件求解。 【常见模型一】（两点在同侧）：在直线L上求一点P,求|PA-PB|的最大值 方法：如右图，延长射线AB，与直线L交于点P，|PA-PB|最大值为AB 【常见模型二】（两点在异侧）：在直线L上求一点P,求|PA-PB|的最大值。 方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B’， 延长射线AB’，与直线L交于点P，|PA-PB|最大值为AB’ 知识点13.角相等问题 对于二次函数中的角相等问题，首选方法是利用等角的三角比解决问题（利用一线三等角模型或者拆分特殊角来发现等角），其次选择利用相似三角形中的比例线段解决问题。 二次函数中的角相等问题比较灵活，在遇到具体问题时具体分析，合理构造等角，解决问题。 利用三角函数值：根据等角的三角函数值相等，通过计算角的正弦、余弦或正切值来证明角相等。可利用一线三等角模型或者拆分特殊角来发现等角，进而利用等角的三角比解决问题。 借助相似三角形：证明包含这些角的三角形相似，根据相似三角形对应角相等得出结论。也可利用角平分线的相关性质定理，通过角平分线得到等角。 依据几何性质：运用等腰三角形两底角相等，等角的余角相等，等角的补角相等的性质来证明角相等。还可将等角转化在一个三角形中，利用等腰三角形两边相等，借助距离公式解决。 知识点14.二倍角问题 倍角减半法：将二倍角转化为等角，如作一个角等于二倍角的一半，利用三角函数求解。 加倍法构造等腰三角形：构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质以及三角函数或相似三角形来求解。 二倍角的构造方法 如图，已知，我们可以利用等腰三角形和外角定理去构造，在BC边上找一点D，使得BD=AD，则. 这样我们就构造出了二倍角，接下来利用三角函数（一般用正切）计算就可以了 知识点15.特殊角问题 运用三角函数值：已知特殊角（如 30°、45°、60°、90° 等），可直接利用其三角函数值来建立边与边之间的关系，进而解决问题。 构造特殊三角形：遇 45° 构造等腰直角三角形，遇 30°、60° 构造等边三角形，遇 90° 构造直角三角形，利用特殊三角形的性质来求解。 知识点16.二次函数中的面积最值问题 （1）当所求图形的面积没有办法直接求出时，通常采用分割或补全图形的方法表示所求图形的面积，如下： 一般步骤为：①设出要求的点的坐标； ②通过割补将要求的图形转化成通过条件可以表示的图形面积和或差； ③列出关系式求解； ④检验是否每个坐标都符合题意． 2）用铅垂定理巧求斜三角形面积的计算公式：三角形面积等于水平宽和铅垂高乘积的一半. 3）利用平行线间的距离处处相等，根据同底等高，将所求图形的面积转移到另一个图形中，如图所示： 一般步骤为：①设出直线解析式，两条平行直线k值相等； ②通过已知点的坐标，求出直线解析式； ③求出题意中要求点的坐标； ④检验是否每个坐标都符合题意． 题型巩固 题型一、列二次函数关系式 1．下列变量具有二次函数关系的是（   ） A．圆的周长与半径 B．用长的绳子围成一个长方形，其中一边长与它邻边之间的关系 C．正三角形的面积与边长 D．匀速行驶的汽车，路程与时间 【答案】C 【知识点】列二次函数关系式 【分析】本题考查了列二次函数关系式，正确列出各选项之间变量之间的关系即可； 【详解】解：A：，故圆的周长与半径具有一次函数关系，不符合题意； B：由题意得：，即；故一边长与它邻边具有一次函数关系，不符合题意； C：由图可知： ，， ∴； 故正三角形的面积与边长具有二次函数关系，符合题意； D：匀速行驶的汽车，路程与时间成正比例函数关系，不符合题意； 故选：C 题型二、二次函数的识别 2．（25-26九年级上·上海普陀·期中）下列函数中，一定是y关于x的二次函数的是（  ） A． B． C．（其中m是常数） D．（其中a是常数） 【答案】B 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、，为一次函数，故此选项不符合题意； B、，为二次函数，故此选项符合题意； C、，为一次函数，故此选项不符合题意； D、，当时，，此时不是二次函数，故此选项不符合题意； 故选：B． 题型三、根据二次函数的定义求参数 3．（2025·上海徐汇·一模）二次函数中m的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题考查二次函数的定义，根据题意形如的形式叫做y是x的二次函数．继而得到，即得本题答案． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴，即， 故选：A． 题型四、y=ax²的图象和性质 4．（25-26九年级上·上海·期中）下列关于抛物线和的关系的说法中，正确的是（   ） A．它们的形状相同，开口方向也相同； B．它们都关于y轴对称； C．它们的顶点不相同； D．点既在抛物线上也在上． 【答案】B 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】此题主要考查了二次函数的性质，根据顶点式得出二次函数性质是解决本题的关键．通过比较两条抛物线的二次项系数、开口方向、顶点和对称轴，判断各说法的正误即可． 【详解】解：∵抛物线和中二次项系数的绝对值相等， ∴它们的形状相同，开口方向相反，故A错误； 它们的对称轴都是y轴，故B正确； 它们的顶点都是，故C错误； 把代入得：， ∴点在抛物线上， 把代入得：， ∴点不在抛物线上，故D错误． 故选：B． 题型五、y=ax²+k的图象和性质 5．（25-26九年级上·上海·期中）已知点、都在二次函数的图象上，那么的大小关系是：m n．（填“>”、“=”或“<”） 【答案】 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征． 根据二次函数的性质，由于0，函数图象开口向上，对称轴为轴．点和点的横坐标均为负数，且位于对称轴左侧，在此区域内函数值随的增大而减小．由于，因此． 【详解】解：由二次函数，可知，抛物线开口向上，抛物线的对称轴为轴， 当时，随的增大而减小， ， ． 故答案为：． 题型六、y=a（x-h）²的图象和性质 6．（2024·上海虹口·二模）已知二次函数，如果函数值随自变量的增大而减小，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的增减性是解题关键．根据二次函数，可得函数图象开口向下，对称轴为，函数值随自变量的增大而减小，则，得以解答． 【详解】解：二次函数， ， 函数图象开口向下，对称轴为， 时，函数值随自变量的增大而减小， 故选：A． 题型七、y=a（x-h）²+k的图象和性质 7．（23-24九年级上·上海普陀·期中）已知二次函数的图像经过原点，那么m的值为 ． 【答案】8 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】把原点坐标代入二次函数解析式，计算即可． 【详解】解：把原点代入解析式，得， ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数的点的坐标满足解析式． 题型八、把y=ax²+bx+c化成顶点式 8．（2024九年级上·上海·专题练习）已知二次函数的解析式为，下列关于函数图象的说法正确的是（   ） A．对称轴是直线 B．图象经过原点 C．开口向上 D．图象有最低点 【答案】B 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题主要考查二次函数的性质，依据题意，将二次函数解析式化为顶点式求解． 【详解】解：， 抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，函数图象有最高点，当时，，即图象过原点． 故选：B． 题型九、画y=ax²+bx+c的图象 9．（22-23九年级·上海·假期作业）（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数、、的图像； （2）函数、、的图像与函数、、的图像有何异同？ 【答案】（1）见解析；（2）相同的开口大小一样；顶点都是原点；对称轴都是轴；不同点：开口方向不同． 【知识点】y=ax²的图象和性质、画y=ax²+bx+c的图象 【分析】（1）根据题意画出、、的图像即可； （2）根据二次函数的图象和性质求解即可． 【详解】（1）如图所示，    （2）相同点：开口大小一样；顶点都是原点；对称轴都是轴； 不同点：开口方向不同． 【点睛】本题考察特殊二次函数的图像画法及二次函数的性质． 题型十、y=ax²+bx+c的图象与性质 10．（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）已知点、在二次函数 的图像上，那么m n（用“>”或“<”连接）． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，根据二次函数的对称轴、开口方向及增减性即可求出答案． 【详解】解：二次函数的对称轴为， 二次函数的图像开口方向向下， ， ， 故答案为：． 题型十一、二次函数图象与各项系数符号 11．（25-26九年级上·上海·期中）已知二次函数的图像如图所示，那么下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次函数图象与各项系数符号 【分析】本题考查二次函数系数符号的确定．由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴的位置及开口方向可判断的符号，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：由抛物线的开口向下知， 与轴的交点在轴的负半轴上， ， 对称轴为， 、同号，即． 故选：D． 题型十二、一次函数、二次函数图象综合判断 12．如图，平面直角坐标系内直线与x轴、y轴分别交于点A、B，点C是线段的中点． （1）求直线的表达式： （2）若抛物线经过点C，且其顶点位于线段上（不含端点O、A）． ①用含b的代数式表示a，并写出的取值范围； ②设该抛物线与直线在第一象限内的交点为点D，试问：与能否相似？如果能，请求此时抛物线的表达式：如果不能，请说明由． 【答案】（1）；（2）①，0＜＜1；②能， 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断、利用相似三角形的性质求解 【分析】（1）根据直线解析式分别求出点A和点B的坐标，然后根据中点求出点C的坐标，然后设直线AC的解析式为y=kx＋d，利用待定系数法即可求出结论； （2）①将点C的坐标代入即可求出c的值，然后根据题意可知：该抛物线与x轴只有一个交点，从而求出b和a的关系，然后根据其顶点位于线段上（不含端点O、A）即可求出的取值范围； ②根据题意，画图，设点D的坐标为（x，x＋4），利用平面直角坐标系中任意两点的距离公式即可求出DC、DB和DA，根据相似三角形的性质列出比例式即可求出点D的坐标，然后将点D的坐标代入抛物线解析式中即可求出结论． 【详解】解：（1）将y=0代入中，解得：x=-4；将x=0代入中，解得：y=4 ∴点A的坐标为（-4，0），点B的坐标为（0，4） ∵点C是线段的中点 ∴点C的坐标为（0，2） 设直线AC的解析式为y=kx＋d 将点A和点C的坐标分别代入，得 解得： ∴直线AC的解析式为； （2）①将点C的坐标代入中，得 ∴抛物线解析式为 由题意可知：该抛物线与x轴只有一个交点， ∴ ∴ ∴抛物线的解析式为，其对称轴为直线 ∵其顶点位于线段上（不含端点O、A） ∴-4＜＜0 解得：0＜＜1； ②能， 如下图所示，连接DC 设点D的坐标为（x，x＋4），易知x＞0 ∴DC= DB= DA= 由∠BDC=∠CDA，∠DBC和∠DCA为钝角，结合已知可得△BDC∽△CDA ∴ 即 整理，得= 解得：x=1， 经检验x=1是方程的解， ∴点D的坐标为（1,5） 将点D的坐标代入中，得 解得：b1=，b2= 当b=时，则＜0，显然不符合0＜＜1，故舍去； 当b=时，则，满足0＜＜1； ∴抛物线的解析式为． 【点睛】此题考查的是二次函数与一次函数的综合大题，掌握利用待定系数法求一次函数解析式、二次函数解析式、相似三角形的性质和平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式是解题关键． 题型十三、反比例函数、二次函数图象综合判断 13．对于方程m2+2（1+）=0，用一般的方法去分母将是一个一元三次方程，且好像没有整数解．请你考虑可以采取什么特殊方法找到它的解的范围，要求这个范围在相邻的两个整数之间，并写出这两个整数． 【答案】m2+2（1+）=0的解在﹣2与﹣1之间． 【知识点】反比例函数、二次函数图象综合判断 【分析】根据等式的性质，可化简方程，根据函数与方程的关系，可得答案． 【详解】解：由等式的性质，得 m2+2=﹣． 在同一平面直角坐标系内画出n=m2+2，n=﹣， ， 由图象，得 n=m2+2与n=﹣的交点坐标在﹣2与﹣1之间， 即方程m2+2（1+）=0的解在﹣2与﹣1之间． 【点评】本题考查了函数图象，利用等式的性质把方程转化成m2+2=﹣，利用函数与方程的关系是解题关键． 题型十四、两个二次函数图象综合判断 14．设二次函数，（，，是实数，）． (1)若，函数的对称轴为直线，且函数的图象经过点，求，的值． (2)设函数的最大值为，函数的最小值为，若，求证：． (3)若函数的图象与函数的图象的两个交点分别在二、四象限，求证：． 【答案】(1)为2，为 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、两个二次函数图象综合判断 【分析】（1）根据，对称轴，求出的值，再把点代入函数即可求出的值； （2）根据顶点坐标公式得出和，再利用得出； （3）分情况根据对称轴的位置推出结论即可． 【详解】（1）解：∵函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵函数的图象经过点， ∴， ∴； （2）∵函数的最大值为， ∴，， ∵函数的最小值为， ∴，， ∴， ∵， ∴； （3）∵函数的图象与函数的图象的两个交点分别在二、四象限，且， ①若，， 则， 即， ∵，， ∴， ②若，， 则， 即， ∵，， ∴， 综上可知，． 【点睛】本题考查了二次函数图象和性质，熟练掌握二次函数的对称轴公式，顶点坐标公式等知识是解题的关键． 题型十五、根据二次函数的图象判断式子符号 15．（24-25九年级上·上海·期中）如图，二次函数的图像与轴交于，两点，与轴的正半轴交于点，它的对称轴为直线，下列结论中正确的有（   ） ①；②；③； ④当（为实数）时， A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，解题的关键是数形结合．由图像开口向上，可知，与轴的交点在轴的上方，可知，根据对称轴方程得到，于是得到，故①错误；根据抛物线与轴有两个交点，可得：，即，故②错误；根据，代入，故可以判断③；当（为实数）时，，故④正确． 【详解】解：由图像开口向上，可知，与轴的交点在轴的上方，可知， 又对称轴为直线， ， ， ，故①错误； 二次函数的图像与轴交于，两点， ， ，故②错误； 又， ， ，故③错误； 当为实数时， 当（为实数）时，，故④正确， 故选：A． 题型十六、已知抛物线上对称的两点求对称轴 16．（2025·上海闵行·一模）已知点和是抛物线上的两点，那么的值是 ． 【答案】 【知识点】已知抛物线上对称的两点求对称轴 【分析】本题考查二次函数的对称性，根据二次函数的解析式得到对称轴为直线，A，B两点关于对称轴对称，即可得出A，B两点之间的距离． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线， ∵和关于对称轴对称， ∴， ∴ 故答案为：． 题型十七、根据二次函数的对称性求函数值 17．（24-25九年级上·上海·期末）已知二次函数的部分对应值如下表，求的值： 编号 … 1 2 3 4 5 6 7 8 … … 0 1 2 3 4 5 … … ______ 0 ______ 5 12 … 小海和小申对这道题展开讨论： 【小海】我认为，通过编号2、3、4（或其它任意3个编号）可以算出这条抛物线的解析式，接着求出的值． 【小申】我认为不需要计算就可以求出值，可以______． (1)采用【小海】的方法，求的值； (2)补充【小申】的发言并填写表格中的数据； (3)结合本题，谈谈你对这类题型做法的启示． 【答案】(1)12 (2)表格见详解，可以根据二次函数的对称性求解 (3)见详解（答案不唯一） 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、根据二次函数的对称性求函数值 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）利用待定系数法求解函数解析式，然后问题可求解； （2）根据表格可得二次函数的对称轴为直线，然后根据二次函数的对称性可进行求解； （3）根据题意进行阐述自己的见解即可． 【详解】（1）解：由题意可把点代入二次函数解析式得： ，解得：， ∴二次函数的解析式为， ∴； （2）解：由表格可知：点关于抛物线的对称轴对称， ∴二次函数的对称轴为直线， 所以补充表格如下： 编号 … 1 2 3 4 5 6 7 8 … … 0 1 2 3 4 5 … … 5 0 0 5 12 … ∴由表格可知 ∴小申认为不需要计算就可以判断，可以根据二次函数的对称性进行求解； （3）解：通过本题，我认为对这类题型做法应该根据二次函数的对称性进行求解，这样做比较简单明了． 题型十八、y=ax²+bx+c的最值 18．已知抛物线在对称轴右侧呈上升趋势，其中． (1)求抛物线的对称轴． (2)二次函数有最大值还是最小值？请求出这个最值． 【答案】(1) (2)有最小值，最小值为1 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题主要考查二次函数的解析式，二次函数的图像与性质，解题的关键是确定顶点是抛物线的最高点或者最低点． （1）已知抛物线在对称轴右侧呈上升趋势,则,进而求解； （2），故抛物线有最小值，即可求解． 【详解】（1）解：已知抛物线在对称轴右侧呈上升趋势， 则抛物线开口向上，， 由，则， 则抛物线的表达式为：， 则抛物线的对称轴为直线； （2）解：，抛物线有最小值， 当时，， 即二次函数有最小值，这个最小值为1． 题型十九、利用二次函数对称性求最短路径 19．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D． （1）求抛物线及直线AC的函数关系式； （2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标； （3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；y＝﹣x+1；（2）当x＝﹣时，△APC的面积取最大值，最大值为，此时点P的坐标为（﹣，）；（3）在对称轴上存在一点M（﹣1，2），使△ANM的周长最小，△ANM周长的最小值为3． 【知识点】利用二次函数对称性求最短路径 【分析】（1）根据点A，C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线及直线AC的函数关系式；（2）过点P作PE∥y轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），则点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，﹣x+1），进而可得出PF的值，由点C的坐标可得出点Q的坐标，进而可得出AQ的值，利用三角形的面积公式可得出S△APC＝﹣x2﹣x+3，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题；（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点N的坐标，利用配方法可找出抛物线的对称轴，由点C，N的坐标可得出点C，N关于抛物线的对称轴对称，令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，则此时△ANM周长取最小值，再利用一次函数图象上点的坐标特征求出点M的坐标，以及利用两点间的距离公式结合三角形的周长公式求出△ANM周长的最小值即可得出结论． 【详解】（1）将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得： ，解得：， ∴抛物线的函数关系式为y＝﹣x2﹣2x+3； 设直线AC的函数关系式为y＝mx+n（m≠0）， 将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝mx+n，得： ，解得：， ∴直线AC的函数关系式为y＝﹣x+1． （2）过点P作PE∥y轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，如图1所示． 设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），则点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，﹣x+1）， ∴PE＝﹣x2﹣2x+3，EF＝﹣x+1，EF＝PE﹣EF＝﹣x2﹣2x+3﹣（﹣x+1）＝﹣x2﹣x+2． ∵点C的坐标为（﹣2，3）， ∴点Q的坐标为（﹣2，0）， ∴AQ＝1﹣（﹣2）＝3， ∴S△APC＝AQ•PF＝﹣x2﹣x+3＝﹣（x+）2+ ． ∵﹣＜0， ∴当x＝﹣时，△APC的面积取最大值，最大值为，此时点P的坐标为（﹣， ）． （3）当x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3， ∴点N的坐标为（0，3）． ∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4， ∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1． ∵点C的坐标为（﹣2，3）， ∴点C，N关于抛物线的对称轴对称． 令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，如图2所示． ∵点C，N关于抛物线的对称轴对称， ∴MN＝CM， ∴AM+MN＝AM+MC＝AC， ∴此时△ANM周长取最小值． 当x＝﹣1时，y＝﹣x+1＝2， ∴此时点M的坐标为（﹣1，2）． ∵点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（﹣2，3），点N的坐标为（0，3）， ∴AC＝ ＝3，AN＝ ＝， ∴C△ANM＝AM+MN+AN＝AC+AN＝3+． ∴在对称轴上存在一点M（﹣1，2），使△ANM的周长最小，△ANM周长的最小值为3+． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形的面积以及周长，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线及直线AC的函数关系式；（2）利用三角形的面积公式找出S△APC＝﹣x2﹣x+3的最值；（3）利用二次函数图象的对称性结合两点之间线段最短找出点M的位置． 题型二十、待定系数法求二次函数解析式 20．（25-26九年级上·上海·期中）已知二次函数（其中、、为常数，且）的自变量与函数的对应值如下表，根据表中的数据，下列说法正确的是（   ） ．．． 1 2 3 ．．． ．．． 0 0 ．．． A．函数图像开口向下； B．对称轴是直线 C． D． 【答案】C 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质． 先求出函数解析式，再逐一判断即可． 【详解】解：由表格数据知：当时，；当时，；当时，， 代入得：， 解得：， ∴， A． ∵，∴开口向上，A错误； B．对称轴为直线，B错误； C．，C正确； D．，，∵，∴，D错误； 故选：C． 题型二十一、二次函数图象的平移 21．（25-26九年级上·上海徐汇·期中）将抛物线向右平移4个单位，所得图像相应的函数解析式为 ． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题主要考查的是函数图象的平移，根据平移规律“左加右减，上加下减”利用顶点的变化确定图形的变化是解题的关键． 先确定出原抛物线的顶点坐标，然后根据向右平移横坐标加，向右平移4个单位，需将原解析式中的替换为． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 向右平移4个单位后的图象的顶点坐标为， 所以，将抛物线向右平移4个单位，所得图像相应的函数解析式为， 故答案为：． 题型二十二、求抛物线与x轴的交点坐标 22．（25-26九年级上·上海·期中）二次函数的图像与x轴的交点坐标是 ． 【答案】和 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】此题考查了抛物线与轴的交点，要求二次函数与轴的交点，即要，得到关于的方程来求解． 令二次函数解析式中，得到关于的一元二次方程，求出方程的解可得出二次函数与轴的交点坐标． 【详解】令代入，得方程， 因式分解得：， 或， 二次函数的图像与轴的交点坐标是和． 故答案是：和． 题型二十三、求抛物线与y轴的交点坐标 23．（25-26九年级上·上海青浦·期中）在平面直角坐标系中，二次函数的图像与y轴的交点坐标是 ． 【答案】 【知识点】求抛物线与y轴的交点坐标 【分析】本题考查了二次函数图象与坐标轴的交点问题，解题的关键是熟练掌握坐标轴上点的坐标特征． 求二次函数图像与y轴的交点坐标，需令，计算对应的y值即可． 【详解】解：时，， ∴二次函数的图像与y轴的交点坐标是， 故答案为：． 题型二十四、已知二次函数的函数值求自变量的值 24．若函数是二次函数． (1)求k的值； (2)当时，求自变量x的值． 【答案】(1) (2)， 【知识点】根据二次函数的定义求参数、已知二次函数的函数值求自变量的值 【分析】本题考查了二次函数的定义，解一元二次方程． （1）根据二次函数的定义得到，，进而求解即可； （2）当时，，求解即可． 【详解】（1）解：∵函数是二次函数， ∴，， ∴，， 即； （2）解：由（1）可得，该二次函数为， 当时， ∴， 解得：，． 题型二十五、抛物线与x轴的交点问题 25．（24-25九年级上·上海·阶段练习）函数的图像与轴交于点、，将函数的图像向上平移，平移后的图像与轴交于点、．若，则平移后的图像对应的函数表达式为 ． 【答案】 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质．先解方程得到，，则，所以，由于函数的图象向上平移时对称轴不变，对称轴为直线，而C、D关于直线对称，所以，，然后利用交点式写出平移后抛物线的解析式． 【详解】解：当时，， 解得，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵函数的图象向上平移时对称轴不变，仍然为直线， ∴，， ∴平移后抛物线的解析式为， 即． 故答案为：． 题型二十六、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 26．（2023·上海·一模）已知是关于的函数，若该函数的图象经过点，则称点为函数图象上的“相反点”，例如：直线上存在“相反点”．若二次函数的图象上存在唯一“相反点”，则 ． 【答案】 【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】将代入中得，即，将二次函数的图象上存在唯一“相反点”，转化为方程有两个相等的实数根，，求解即可． 【详解】解：将代入中， 得，即， 二次函数的图象上存在唯一“相反点”， 方程有两个相等的实数根， ， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数、一元二次方程根的判别式，解题的关键是将函数问题转化为方程问题． 题型二十七、求x轴与抛物线的截线长 27．（23-24九年级上·上海·期中）定义：直线与抛物线两个交点之间的距离称作抛物线关于直线的“割距”，如图，线段长就是抛物线关于直线的“割距”，已知直线与轴交于点，与轴交于点，点恰好是抛物线的顶点，则此时抛物线关于直线的割距是 ．      【答案】 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、求x轴与抛物线的截线长 【分析】根据直线，可以求出该直线与轴的交点，从而可以得到点的坐标，再根据点恰好是抛物线的顶点，即可得到、的值，然后联立抛物线与直线，求出它们的交点，即可求得抛物线关于直线的割距． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴点的坐标为， ∵点恰好是抛物线的顶点， ∴， ∴，， 即：抛物线为，则，解得：或， ∴抛物线与直线的交点为，， ∴此时抛物线关于直线的割距是：， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象、一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是求出抛物线与直线的交点坐标． 题型二十八、图象法确定一元二次方程的近似根 28．根据下列表格的对应值：判断方程一个解的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】图象法确定一元二次方程的近似根 【分析】本题考查了求一元二次方程的近似根，掌握函数的图象与轴的交点与方程的根的关系是解决此题的关键所在．根据函数的图象与轴的交点横坐标就是方程的根，结合表格中数据即可判断方程的一个解的范围． 【详解】解：当时，；当时，， 方程的一个解在之间， 故选：C． 题型二十九、图象法解一元二次不等式 29．如图是二次函数的图象，使成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、图象法解一元二次不等式 【分析】本题主要考查了利用图象法解不等式，数形结合思想，根据函数图像可得出当时对应的x的值，然后结合函数图像求解即可． 【详解】解：根据函数图像可知，当时，，， 结合函数图像可知，当成立的的取值范围是或， 故选：D． 题型三十、利用不等式求自变量或函数值的范围 30．二次函数，当时，的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用不等式求自变量或函数值的范围 【分析】画出二次函数的图象，根据图象即可求解． 【详解】解：如图    由上图得： 当时， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式问题，画出图象，会利用图象解决问题是解题的关键． 题型三十一、根据交点确定不等式的解集 31．如图，抛物线与轴的两个交点分别为和，当时，的取值范围是（   ） A．或 B．或 C． D．或 【答案】B 【知识点】根据交点确定不等式的解集 【分析】本题考查了二次函数与x轴交点问题，根据函数图象求不等式的解集，数形结合是解题的关键．直接从图上可以分析：时，图象在轴的下方，共有2部分：一是的左边轴的下方 部分，即时图象；二是的右边轴的下方部分，即时函数图象． 【详解】解：观察图象可知，抛物线与轴两交点为，， ，图象在轴的下方，所以答案是或． 故选：B． 题型三十二、图形问题(实际问题与二次函数) 32．（24-25九年级上·上海静安·期中）已知：如图是400米跑道示意图，中间的足球场是矩形，两边是全等的半圆，设直道的长为x米，足球场的面积为S平方米． (1)求出S关于x的函数关系式（结果保留），并写出定义域； (2)当直道的长为多少米时，足球场的面积最大？ 【答案】(1) (2)100米 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据矩形的面积公式求出矩形的宽，即半圆的直径，再根据“跑道的长度直道的长一个圆的周长”列出等式并将S用x表示出来即可； （2）根据二次函数的性质，用配方法求二次函数的最大值即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得， ，即，且， ， S关于x的函数关系式及定义域是； （2）解：， 当时，S的值最大， 当直道的长为100米时，足球场的面积最大． 题型三十三、图形运动问题(实际问题与二次函数) 33．如图，在中，，点分别从出发向、匀速运动，若的速度大小相等，则的面积最大为（    ） A． B． C．8 D． 【答案】C 【知识点】图形运动问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的性质，设的速度为a，根据题意可得：的面积为，根据二次函数的性质即可得出答案． 【详解】解：设的速度为a， 根据题意可得：的面积为， ∴最大值为：， 故选：C． 题型三十四、拱桥问题(实际问题与二次函数) 34．（22-23九年级上·上海静安·期中）有一座抛物线形状的拱桥，已知正常水位时，水面的宽度为20米，拱顶距水面5米，如图是拱桥的截面图，其中桥拱截线是一段抛物线，平面直角坐标系的原点是桥拱截线与水位正常的水面截线相交处的一点，轴在水面截线上；是警戒线，拱顶到的距离为1.8米． (1)求桥拱截线所在抛物线的表达式； (2)求达到警戒线位置时水面的宽度． 【答案】(1)； (2)达到警戒线位置时水面的宽度为12米． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）由题意可得，抛物线与轴的交点为，，顶点坐标为，设抛物线解析式为，再将代入求解即可； （2）将代入抛物线，求解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得，抛物线与轴的交点为，，顶点坐标为， 设抛物线解析式为 将代入可得，解得， 即 （2）解：由题意可得，、两点的纵坐标为， 将代入，可得， 化简可得， 解得：， 即， 则米， 答：达到警戒线位置时水面的宽度为12米． 【点睛】此题考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意，正确求得二次函数解析式． 题型三十五、销售问题(实际问题与二次函数) 35．（2024·上海·模拟预测）某商场以每件50元的价格购进一种商品，销售中发现这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数，其图象如图所示 (1)求每天的销售数量m（件）与每件的销售价格x（元）的函数表达式 (2)每件商品的销售价格在什么范围内，每天的销售利润随着销售价格的提高而增加？ 【答案】(1) (2) 【知识点】求一次函数解析式、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】此题为函数图象和实际结合的题型，考查由图象写出函数的能力． （1）设出一次函数的一般表达式，将，代代入即可求出； （2）由销售的利润和销售价格得出函数关系式，由函数性质判断出随销售价格增大利润增大的范围． 【详解】（1）解：设一次函数的一般表达式，将，代入得： ， 解得：，， 故每天的销售数量m（件）与每件的销售价格x（元）的函数表达式为：． （2）解：每件商品的利润为：， 所以每天的利润为：， ∵， ∴在元时，每天的销售利润随着销售价格的提高而增加． 题型三十六、投球问题(实际问题与二次函数) 36．（2025·上海松江·一模）一位运动员推铅球，铅球运行过程中离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为，如果铅球落到地面时运行的水平距离为10米，那么铅球刚出手时离地面的高度是 米． 【答案】/ 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的运用，理解铅球落到地面时运行的水平距离为10米的意义，代入求值是解题的关键． 根据题意把点代入计算得二次函数解析式，再根据二次函数与y轴交点的计算方法即可求解． 【详解】解：铅球落到地面时运行的水平距离为10米时，即，代入计算得， ， 解得，， ∴函数解析式为， 当时，， ∴铅球刚出手时离地面的高度是米， 故答案为： ． 题型三十七、喷水问题(实际问题与二次函数) 37．广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上的水珠高度（米）关于水珠与喷头的水平距离（米）的函数解析式是：，请求出当水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是多少？最大高度是多少？ 【答案】2米；6米． 【知识点】喷水问题(实际问题与二次函数) 【分析】根据题目所给的函数解析式，用配方法求出当x等于何值时函数有最大值以及最大值是多少． 【详解】解：由题意得，， 又因为， 所以当时，， 答：当水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是2米，最大高度是6米． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是掌握求二次函数最值的方法． 题型三十八、增长率问题(实际问题与二次函数) 38．（23-24九年级上·上海奉贤·期中）印刷厂10月份印刷一畅销小说书5万册，因购买此书人数激增，印刷厂需加印，若设印书量每月的增长率为x，12月印书量y万册，写出y关于x的函数解析式 ． 【答案】 【知识点】增长率问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数是应用，理解题意，根据10月份印刷小说书5万册，每月的增长率为x，则11月份印刷小说书万册，12月份印刷小说书万册，即可求解． 【详解】根据题意，得y关于x的函数解析式为：． 故答案为： 题型三十九、其他问题(实际问题与二次函数) 39．（2025·上海徐汇·一模）“2022年北京冬奥会”的召开，冰雪运动在中国大地蓬勃发展．滑雪爱好者小楠从山坡滑下，为了得出滑行距离（单位：米）与滑行时间（单位：秒）之间的关系式，测得一些数据（如下表）： 滑行时间（秒） 0 1 2 3 4 滑行距离（米） 0 4.5 14 28.5 48 为观察与的之间的关系，以为横轴，为纵轴建立坐标系，描出与上表中数据对应的5个点，并用平滑的曲线连接它们（如图所示），小楠观察发现这条曲线近似抛物线的一部分． (1)由上述信息，设这条曲线的表达式为，求与的函数关系式； (2)若将拋物线先向右平移2个单位，再向上平移20个单位，求平移后所得抛物线的表达式． 【答案】(1) (2) 【知识点】二次函数图象的平移、其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）依据题意，根据（1），再结合“左加右减，上加下减”的平移规律，即可判断得解． 【详解】（1）解：由题意，得解得； 与的函数关系式为． （2）解：由（1）得，； 所以，新抛物线的表达式为； 即． 题型四十、线段周长问题(二次函数综合) 40．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，交y轴于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)若将该抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移个单位长度，求平移后的解析式； (3)若点D是线段上一动点，过点D作轴于点E，交抛物线于点F，求线段长度的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）再把原解析式化为顶点式，再根据二次函数平移的性质，即可求解； （3）先求出直线的解析式，设，则，可得，即可． 【详解】（1）解：将代入， ∴，解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵， ∴平移后的函数解析式为； （3）解：令，则， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴当时，的长有最大值4． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质是解题的关键． 题型四十一、面积问题(二次函数综合) 41．（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）在平面直角坐标系中，将抛物线向下平移使之经过点，平移后的抛物线交轴于点． (1)求的正切值； (2)点在平移后的抛物线上且位于第二象限，其纵坐标为6，联结、，求的面积； (3)点在平移后抛物线的对称轴上且位于第一象限，联结、，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、求角的正切值、解直角三角形的相关计算、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）根据平移得到，用待定系数法解答即可； （2）求出，用待定系数法求出直线的解析式为，设直线与轴交于点E，则点E的坐标为，进一步根据即可求出答案； （3）设对称轴交线段与点N，交轴于点F，证明，得到，即,证明，设点D的坐标为，根据勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：设平移后的抛物线为，把代入得到， ， 解得， ∴平移后的抛物线为， 如图， 把代入得到，解得， ∴， 在中， （2）把代入得到，解得（不合题意，舍去）， ∴ 如图， 设直线的解析式为，则 ， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， 设直线与轴交于点E，则点E的坐标为 ∴ （3）如图，设对称轴交线段与点N，交轴于点F， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴， ∴，即, ∵ ∵ ∴， ∴， 设点D的坐标为， ∵，即 解得（负值已舍去） ∴ 【点睛】此题考查了二次函数的平移、待定系数法求函数解析式、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，准确画图和数形结合是关键． 题型四十二、角度问题(二次函数综合) 42．（25-26九年级上·上海·期中）已知在直角坐标平面中，抛物线经过点、两点，抛物线与x轴交于A、B两点． (1)求该抛物线的表达式并写出B点坐标； (2)点P是抛物线上的动点，点P的横坐标为m． ①当时，求P点坐标； ②当点P是抛物线在第一象限内的动点，且是以为斜边的直角三角形，求m的值． 【答案】(1) (2)①或；② 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、解直角三角形的相关计算、角度问题(二次函数综合) 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，利用待定系数法求解二次函数的解析式，旋转的性质，锐角三角函数的应用，作出符合题意的图形是解本题的关键． （1）运用待定系数法直接解答即可； （2）①过点作轴于，利用可知是等腰直角三角形，即．设，分在轴上方和下方两种情况，分别列方程求解，得到点坐标；②作轴，垂足为．由题意可得，证明，再建立方程求解即可； 【详解】（1）解： 经过点、两点， ， 解方程组得： 抛物线的表达式为： （2）解：①    过点作轴于点，则． ∵， ∴是等腰直角三角形，． 设，则，． 当在轴上方时，，即， 解得或（与点重合，舍去）． 此时， ∴． 当在轴下方时，，即， 解得或（舍去）． 此时， ∴． ②作轴，垂足为． 点在抛物线的图象上，横坐标为， ， ， ， ， ， ， ， 即， 解得，经检验符合题意； 题型四十三、特殊三角形问题(二次函数综合) 43．（25-26九年级上·上海·阶段练习）将抛物线沿y轴向下平移后，所得抛物线与x轴交于点A、B，顶点为C，如果是等腰直角三角形，那么顶点C的坐标是 ． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换、等腰直角三角形的性质及抛物线与x轴的交点问题，根据题意画出图形、作出辅助线是解答此题的关键．设抛物线沿y轴向下平移b个单位，则抛物线的解析式为，再根据题意画出图形，令得出AB两点的坐标，作轴于点E，求出E点坐标，由等腰三角形的性质可知，进而可得出b的值． 【详解】解：设抛物线沿y轴向下平移b个单位，抛物线的解析式为，此时点C的坐标为， 如图所示： 令，则， ，， 过点C作轴于点E，则， 是等腰直角三角形， ， 或， 点坐标为． 故答案为：． 题型四十四、特殊四边形(二次函数综合) 44．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，点为线段上一动点，过点且垂直于轴的直线与直线及抛物线分别交于点，． (1)求抛物线的解析式，并写出此抛物线的对称轴和顶点坐标； (2)如果以点P，N，B，O为顶点的四边形为平行四边形，求的值； (3)如果以B，P，N为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 【答案】(1)，对称轴：，顶点坐标 (2)2 (3)或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、特殊四边形(二次函数综合)、相似三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）把、的坐标代入抛物线解析式，即可求出抛物线解析式，再将抛物线解析式化成顶点式即可求得对称轴和顶点坐标； （2）分析可知，，若以点P，N，B，O为顶点的四边形为平行四边形，则有，用含的式子表达点和点的坐标，求出的长，建立等式求解即可； （3）根据题意画出图形，可得到，且，若以为顶点的三角形与相似，只需或，画出图形求解即可． 【详解】（1）把，分别代入， 得：， 解方程组得：， ∴抛物线的表达式为：， ∴对称轴：直线，顶点坐标； （2）设直线解析式为：， 把代入得：，解得， ∴直线解析式为：， ∵，轴， ∴，， ∴， ∵点为顶点的四边形为平行四边形，并且， ∴， ∴， 解得； （3）∵在和中，，， ∴和相似有两种情况． ①当时， 此时为点关于对称轴的对称点， ∴， ②， 过点作轴，垂足为， 则，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴解得（舍去）或， ∴． 综上可知，当以为顶点的三角形与相似时，点的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数求二次函数解析式，平行四边形的判定与性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握知识点是解题的关键． 题型四十五、相似三角形问题(二次函数综合) 45．（25-26九年级上·上海·阶段练习）已知在梯形中，，，且，， (1)如图：P为上的一点，满足，求的长； (2)如果点P在上移动（点P与点A、D不重合），且满足，交直线于点E，同时交直线于点Q，那么 ①当点Q在线段的延长线上时，设，，求y关于x的函数解析式； ②当时，求的长． 【答案】(1)或 (2)①；② 或 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、相似三角形问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了列二次函数，相似三角形的判定和性质，等腰梯形； （1）①当时，，而，因此，此时三角形与三角形相似．利用相似三角形的性质可得出关于，，，的比例关系式，，的值题中已经告诉，可以先用表示出，然后代入上面得出的比例关系式中求出的长． （2）①与（1）的方法类似，只不过把换成了，那么只要用就能表示出了．然后按得出的关于，，，的比例关系式，得出，的函数关系式． ②和①的方法类似，但是要多一步，要先通过平行得出三角形和相似，根据的长，用表示出，然后根据，，，的比例关系用表示出，然后按①的步骤进行求解即可． 【详解】（1）是梯形，，． ， ，， ， ． ，即：， 解得：或． （2）如图， ①由（1）可知： ，即：， ． ②当时， ， ，即或， ， 解得：或， 或． 题型四十六、其他问题(二次函数综合) 46．（2025·上海·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D；抛物线与抛物线关于轴对称，抛物线与x轴交于点M、N（点M在点N的左边）． (1)用配方法求抛物线的顶点坐标； (2)求线段的长； (3)如果，平移抛物线，使所得新抛物线的顶点E在其关于轴对称抛物线的对称轴上，当时，求平移后新抛物线的表达式． 【答案】(1) (2)2 (3)平移后新抛物线的表达式为或． 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、y=ax²+bx+c的图象与性质、其他问题(二次函数综合) 【分析】此题考查二次函数的图象及性质， （1）先对含x的项提取系数a，在括号里配方，最后整理即可得到二次函数的顶点坐标； （2）先由抛物线与x轴交于点A、B，求出A、B的坐标，再由对称性得到M、N的坐标，即可算出线段的长； （3）先根据求出a的值，再根据求出顶点E，即可求出平移后新抛物线的表达式． 【详解】（1）解： ， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）∵，令得， 解得， ∴； ∵抛物线，抛物线与抛物线关于轴对称， ∴抛物线的解析式为 当时，， 解得， ∴， ∴； （3）由（2）得，， ∴，， ∵， ∴，解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴设， ∴，得， ∴或， ∵ ∴或， ∴平移后新抛物线的表达式为或. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十六章 二次函数 章节（16知识点回顾+46题型巩固） 目录 知识梳理 1.二次函数 2.二次函数y=ax²的图像 3.二次函数y=ax²+k的图像 4.二次函数y=a（x-h）²的图像 5.二次函数y=a（x-h）²+k的图像 6.二次函数的图象与性质 7.二次函数的图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系 8.二次函数的常见表达式 9.列二次函数解应用题 10.建立二次函数模型求解实际问题 11.二次函数中线段相等与和差倍关系 12.抛物线中的线段最值问题 13.角相等问题 14.二倍角问题 15.特殊角问题 16.二次函数中的面积最值问题 题型巩固 一、列二次函数关系式 二、二次函数的识别 三、根据二次函数的定义求参数 四、y=ax²的图象和性质 五、y=ax²+k的图象和性质 六、y=a（x-h）²的图象和性质 七、y=a（x-h）²+k的图象和性质 八、把y=ax²+bx+c化成顶点式 九、画y=ax²+bx+c的图象 十、y=ax²+bx+c的图象与性质 十一、二次函数图象与各项系数符号 十二、一次函数、二次函数图象综合判断 十三、反比例函数、二次函数图象综合判断 十四、两个二次函数图象综合判断 十五、根据二次函数的图象判断式子符号 十六、已知抛物线上对称的两点求对称轴 十七、根据二次函数的对称性求函数值 十八、y=ax²+bx+c的最值 十九、利用二次函数对称性求最短路径 二十、待定系数法求二次函数解析式 二十一、二次函数图象的平移 二十二、求抛物线与x轴的交点坐标 二十三、求抛物线与y轴的交点坐标 二十四、已知二次函数的函数值求自变量的值 二十五、抛物线与x轴的交点问题 二十六、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 二十七、求x轴与抛物线的截线长 二十八、图象法确定一元二次方程的近似根 二十九、图象法解一元二次不等式 三十、利用不等式求自变量或函数值的范围 三十一、根据交点确定不等式的解集 三十二、图形问题(实际问题与二次函数) 三十三、图形运动问题(实际问题与二次函数) 三十四、拱桥问题(实际问题与二次函数) 三十五、销售问题(实际问题与二次函数) 三十六、投球问题(实际问题与二次函数) 三十七、喷水问题(实际问题与二次函数) 三十八、增长率问题(实际问题与二次函数) 三十九、其他问题(实际问题与二次函数) 四十、线段周长问题(二次函数综合) 四十一、面积问题(二次函数综合) 四十二、角度问题(二次函数综合) 四十三、特殊三角形问题(二次函数综合) 四十四、特殊四边形(二次函数综合) 四十五、相似三角形问题(二次函数综合) 四十六、其他问题(二次函数综合) 知识梳理 知识点1.二次函数 1、二次函数： 一般地，解析式形如（其中a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数． 2.二次函数应注意的问题： （1）a、b、c三个系数中，必须保证，否则就不是二次函数了；而b、c两数可以为0，如特殊形式：等． （2）依据定义判断一个函数是不是二次函数时，解析式中表示函数的这个代数式应是最简的。例如这个函数不是二次函数。 （3）在具体问题中，有时只研究函数解析式，需要研究函数的定义域时，如果未加说明，那么函数的定义域由解析式确定；否则，必须指明函数的定义域。 （4）在实际应用问题中，要注意函数的定义域，自变量x的取值应符合实际意义。 知识点2.二次函数y = ax2的图像 的图像 在平面直角坐标系xOy中，按照下列步骤画二次函数的图像． （1）列表：取自变量x的一些值，计算相应的函数值y，如下表所示： x … -2 -1 0 1 2 … … 4 1 0 1 4 … （2） 描点：分别以所取的x的值和相应的函数值y作为点的横坐标和纵坐标，描出这些坐标所对应的各点，如图1所示． （3）连线：用光滑的曲线把所描出的这些点顺次联结起来，得到函数的图像，如图2所示． 二次函数的图像是一条曲线，分别向左上方和右上方无限伸展．它属于一类特殊的曲线，这类曲线称为抛物线．二次函数的图像就称为抛物线． 2.二次函数的图像 抛物线（）的对称轴是y轴，即直线x = 0；顶点是原点．当时，抛物线开口向上，顶点为最低点；当时，抛物线开口向下，顶点为最高点． 知识点3.二次函数y=ax²+k的图像 一般地，二次函数y=ax²+k的图像是抛物线，称为抛物线y=ax²+k，它可以通过将抛物线向上（时）或向下（时）平移个单位得到． 抛物线y=ax²+k（其中a、k是常数，且）的对称轴是y轴，即直线x = 0；顶点坐标是（0，k）．抛物线的开口方向由a所取值的符号决定，当时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，开口向下，顶点是抛物线的最高点． 知识点4.二次函数y=a（x-h）²的图像 一般地，二次函数y=a（x-h）²的图像是抛物线，称为抛物线y=a（x-h）²，它可以通过将抛物线向左（时）或向右（时）平移个单位得到． 抛物线y=a（x-h）²（其中a、h是常数，且）的对称轴是过点（-h，0）且平行（或重合）于y轴的直线，即直线x = -h；顶点坐标是（-h，0）．当时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，开口向下，顶点是抛物线的最高点． 知识点5.二次函数y=a（x-h）²+k的图像 二次函数y=a（x-h）²+k（其中a、h、k是常数，且）的图像即抛物线y=a（x-h）²+k，可以通过将抛物线进行两次平移得到． 这两次平移可以是：先向左（时）或向右（时）平移个单位，再向上（时）或向下（时）平移个单位． 利用图形平移的性质，可知：抛物线y=a（x-h）²+k（其中a、m、k是常数，且）的对称轴是经过点（，0）且平行于y轴的直线，即直线x =；抛物线的顶点坐标是（，k）．抛物线的开口方向由a所取值的符号决定，当时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，开口向下，顶点是抛物线的最高点． 知识点6.二次函数的图象与性质 图象特征 二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点. 基本形式 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 图象 a>0 a<0 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x= 顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (，) 最值 a>0 开口向上，顶点是最低点，此时 y 有最小值； a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值. 【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或）. 增 减 性 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大. a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小. 知识点7.二次函数的图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系 项目 字母 字母的符号 图象的特征 a a＞0 开口向上 a＜0 开口向下 b ab＞0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 ab＜0(a，b异号) 对称轴在y轴右侧 c c=0 图象过原点 c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴负半轴相交 b2-4ac b2-4ac=0 与x轴有唯一交点 b2-4ac＞0 与x轴有两个交点 b2-4ac＜0 与x轴没有交点 知识点8.二次函数的常见表达式 名称 解析式 前提条件 一般式 y=ax²+bx+c (a≠0) 当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时,常用一般式求其表达式. 顶点式 y＝a(x–h)²＋k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k） 当已知抛物线的顶点坐标(或者是对称轴) 时，常用顶点式求其表达式. 交点式 y＝a（x–x1）（x–x2） (a≠0) 其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，若题目已知抛物线与x 轴两交点坐标时，常用交点式求其表达式. 相互联系 （1）以上三种表达式是二次函数的常见表达式，它们之间可以互相转化. （2）一般式化为顶点式、交点式，主要运用配方法、因式分解等方法. 知识点9.列二次函数解应用题 　 列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤： (1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)． (2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确． (3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数． (4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题. (5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案． (6)写出答案． 要点归纳： 常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等. 解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式. 知识点10.建立二次函数模型求解实际问题 一般步骤： (1)恰当地建立直角坐标系； (2)将已知条件转化为点的坐标； (3)合理地设出所求函数关系式； (4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式； (5)利用关系式求解问题． 要点归纳： 利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义. 知识点11.二次函数中线段相等与和差倍关系 1.线段相等问题解题思路 借助几何性质： 利用等腰三角形性质：若能证明两条线段是等腰三角形的两腰，则两线段相等。可通过求出线段端点坐标，计算直线斜率，得出线段夹角，结合角度关系证明等腰三角形。 利用全等三角形性质：通过证明包含两条线段的两个三角形全等，根据全等三角形对应边相等来证明线段相等。需根据已知条件找出对应角相等和对应边相等的关系。 利用对称性质：若两点关于某条直线对称，则这两点到对称轴上任意一点的距离相等，且这两点连线被对称轴垂直平分。可先求出对称轴方程，再根据对称点的坐标关系，证明线段相等。 2.线段和差倍问题解题思路 截长补短法：证明一条线段等于另外两条线段的和或差，可采用截长或补短的方法。 3.线段倍数问题解题思路 加倍法或减半法：要证一条线段是另一条线段的2倍，可延长较短线段使其长度加倍，再证明与较长线段相等（加倍法）；或取较长线段的中点，证明中点分割后的线段与较短线段相等（减半法）。 利用相似三角形性质：若两个三角形相似，则对应边成比例。通过找出与两条线段相关的相似三角形，根据相似比来证明线段的倍数关系。如△ABC∽△DEF，相似比为k，若AB与DE是对应边，则AB=kDE。 知识点12.抛物线中的线段最值问题 1．平行于坐标轴的线段的最值问题：常通过线段两端点的坐标差表示线段长的函数关系式，运用二次函数性质求解．求最值时应注意： ①当线段平行于y轴时，用上端点的纵坐标减去下端点的纵坐标； ②当线段平行于x轴时，用右端点的横坐标减去左端点的横坐标．在确定最值时，函数自变量的取值范围应确定正确． 2. 两条线段和的最值问题：解决这类问题最基本的定理就是“两点之间线段最短”， 解决这类问题的方法是：作其中一个定点关于已知直线的对称点，连接对称点与另一个定点，它们与已知直线的交点即为所求的点. 其变形问题有三角形周长最小或四边形周长最小等. 【常见模型一】（两点在河的异侧）：在直线L上找一点M，使PA+PB的值最小. 方法：如右图，连接AB，与直线L交于点M,在M处渡河距离最短，最短距离为线段AB的长。 【常见模型二】（两点在河的同侧）：在直线L上找一点M，使PA+PB的值最小. 方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B’，连接AB’,与直线L的交点即为所求的渡河点，最短距离为线段AB’的长。 3. 两条线段差的最值问题：解决这类问题最基本的定理就是“三角形任何两边之差小于第三边”， 解决这类问题的方法是：求解时,先根据原理确定线段差取最值时的图形,再根据已知条件求解。 【常见模型一】（两点在同侧）：在直线L上求一点P,求|PA-PB|的最大值 方法：如右图，延长射线AB，与直线L交于点P，|PA-PB|最大值为AB 【常见模型二】（两点在异侧）：在直线L上求一点P,求|PA-PB|的最大值。 方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B’， 延长射线AB’，与直线L交于点P，|PA-PB|最大值为AB’ 知识点13.角相等问题 对于二次函数中的角相等问题，首选方法是利用等角的三角比解决问题（利用一线三等角模型或者拆分特殊角来发现等角），其次选择利用相似三角形中的比例线段解决问题。 二次函数中的角相等问题比较灵活，在遇到具体问题时具体分析，合理构造等角，解决问题。 利用三角函数值：根据等角的三角函数值相等，通过计算角的正弦、余弦或正切值来证明角相等。可利用一线三等角模型或者拆分特殊角来发现等角，进而利用等角的三角比解决问题。 借助相似三角形：证明包含这些角的三角形相似，根据相似三角形对应角相等得出结论。也可利用角平分线的相关性质定理，通过角平分线得到等角。 依据几何性质：运用等腰三角形两底角相等，等角的余角相等，等角的补角相等的性质来证明角相等。还可将等角转化在一个三角形中，利用等腰三角形两边相等，借助距离公式解决。 知识点14.二倍角问题 倍角减半法：将二倍角转化为等角，如作一个角等于二倍角的一半，利用三角函数求解。 加倍法构造等腰三角形：构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质以及三角函数或相似三角形来求解。 二倍角的构造方法 如图，已知，我们可以利用等腰三角形和外角定理去构造，在BC边上找一点D，使得BD=AD，则. 这样我们就构造出了二倍角，接下来利用三角函数（一般用正切）计算就可以了 知识点15.特殊角问题 运用三角函数值：已知特殊角（如 30°、45°、60°、90° 等），可直接利用其三角函数值来建立边与边之间的关系，进而解决问题。 构造特殊三角形：遇 45° 构造等腰直角三角形，遇 30°、60° 构造等边三角形，遇 90° 构造直角三角形，利用特殊三角形的性质来求解。 知识点16.二次函数中的面积最值问题 （1）当所求图形的面积没有办法直接求出时，通常采用分割或补全图形的方法表示所求图形的面积，如下： 一般步骤为：①设出要求的点的坐标； ②通过割补将要求的图形转化成通过条件可以表示的图形面积和或差； ③列出关系式求解； ④检验是否每个坐标都符合题意． 2）用铅垂定理巧求斜三角形面积的计算公式：三角形面积等于水平宽和铅垂高乘积的一半. 3）利用平行线间的距离处处相等，根据同底等高，将所求图形的面积转移到另一个图形中，如图所示： 一般步骤为：①设出直线解析式，两条平行直线k值相等； ②通过已知点的坐标，求出直线解析式； ③求出题意中要求点的坐标； ④检验是否每个坐标都符合题意． 题型巩固 题型一、列二次函数关系式 1．下列变量具有二次函数关系的是（   ） A．圆的周长与半径 B．用长的绳子围成一个长方形，其中一边长与它邻边之间的关系 C．正三角形的面积与边长 D．匀速行驶的汽车，路程与时间 题型二、二次函数的识别 2．（25-26九年级上·上海普陀·期中）下列函数中，一定是y关于x的二次函数的是（  ） A． B． C．（其中m是常数） D．（其中a是常数） 题型三、根据二次函数的定义求参数 3．（2025·上海徐汇·一模）二次函数中m的取值范围是（  ） A． B． C． D． 题型四、y=ax²的图象和性质 4．（25-26九年级上·上海·期中）下列关于抛物线和的关系的说法中，正确的是（   ） A．它们的形状相同，开口方向也相同； B．它们都关于y轴对称； C．它们的顶点不相同； D．点既在抛物线上也在上． 题型五、y=ax²+k的图象和性质 5．（25-26九年级上·上海·期中）已知点、都在二次函数的图象上，那么的大小关系是：m n．（填“>”、“=”或“<”） 题型六、y=a（x-h）²的图象和性质 6．（2024·上海虹口·二模）已知二次函数，如果函数值随自变量的增大而减小，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型七、y=a（x-h）²+k的图象和性质 7．（23-24九年级上·上海普陀·期中）已知二次函数的图像经过原点，那么m的值为 ． 题型八、把y=ax²+bx+c化成顶点式 8．（2024九年级上·上海·专题练习）已知二次函数的解析式为，下列关于函数图象的说法正确的是（   ） A．对称轴是直线 B．图象经过原点 C．开口向上 D．图象有最低点 题型九、画y=ax²+bx+c的图象 9．（22-23九年级·上海·假期作业）（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数、、的图像； （2）函数、、的图像与函数、、的图像有何异同？ 题型十、y=ax²+bx+c的图象与性质 10．（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）已知点、在二次函数 的图像上，那么m n（用“>”或“<”连接）． 题型十一、二次函数图象与各项系数符号 11．（25-26九年级上·上海·期中）已知二次函数的图像如图所示，那么下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 题型十二、一次函数、二次函数图象综合判断 12．如图，平面直角坐标系内直线与x轴、y轴分别交于点A、B，点C是线段的中点． （1）求直线的表达式： （2）若抛物线经过点C，且其顶点位于线段上（不含端点O、A）． ①用含b的代数式表示a，并写出的取值范围； ②设该抛物线与直线在第一象限内的交点为点D，试问：与能否相似？如果能，请求此时抛物线的表达式：如果不能，请说明由． 题型十三、反比例函数、二次函数图象综合判断 13．对于方程m2+2（1+）=0，用一般的方法去分母将是一个一元三次方程，且好像没有整数解．请你考虑可以采取什么特殊方法找到它的解的范围，要求这个范围在相邻的两个整数之间，并写出这两个整数． 题型十四、两个二次函数图象综合判断 14．设二次函数，（，，是实数，）． (1)若，函数的对称轴为直线，且函数的图象经过点，求，的值． (2)设函数的最大值为，函数的最小值为，若，求证：． (3)若函数的图象与函数的图象的两个交点分别在二、四象限，求证：． 题型十五、根据二次函数的图象判断式子符号 15．（24-25九年级上·上海·期中）如图，二次函数的图像与轴交于，两点，与轴的正半轴交于点，它的对称轴为直线，下列结论中正确的有（   ） ①；②；③； ④当（为实数）时， A．个 B．个 C．个 D．个 题型十六、已知抛物线上对称的两点求对称轴 16．（2025·上海闵行·一模）已知点和是抛物线上的两点，那么的值是 ． 题型十七、根据二次函数的对称性求函数值 17．（24-25九年级上·上海·期末）已知二次函数的部分对应值如下表，求的值： 编号 … 1 2 3 4 5 6 7 8 … … 0 1 2 3 4 5 … … ______ 0 ______ 5 12 … 小海和小申对这道题展开讨论： 【小海】我认为，通过编号2、3、4（或其它任意3个编号）可以算出这条抛物线的解析式，接着求出的值． 【小申】我认为不需要计算就可以求出值，可以______． (1)采用【小海】的方法，求的值； (2)补充【小申】的发言并填写表格中的数据； (3)结合本题，谈谈你对这类题型做法的启示． 题型十八、y=ax²+bx+c的最值 18．已知抛物线在对称轴右侧呈上升趋势，其中． (1)求抛物线的对称轴． (2)二次函数有最大值还是最小值？请求出这个最值． 题型十九、利用二次函数对称性求最短路径 19．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D． （1）求抛物线及直线AC的函数关系式； （2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标； （3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由． 题型二十、待定系数法求二次函数解析式 20．（25-26九年级上·上海·期中）已知二次函数（其中、、为常数，且）的自变量与函数的对应值如下表，根据表中的数据，下列说法正确的是（   ） ．．． 1 2 3 ．．． ．．． 0 0 ．．． A．函数图像开口向下； B．对称轴是直线 C． D． 题型二十一、二次函数图象的平移 21．（25-26九年级上·上海徐汇·期中）将抛物线向右平移4个单位，所得图像相应的函数解析式为 ． 题型二十二、求抛物线与x轴的交点坐标 22．（25-26九年级上·上海·期中）二次函数的图像与x轴的交点坐标是 ． 题型二十三、求抛物线与y轴的交点坐标 23．（25-26九年级上·上海青浦·期中）在平面直角坐标系中，二次函数的图像与y轴的交点坐标是 ． 题型二十四、已知二次函数的函数值求自变量的值 24．若函数是二次函数． (1)求k的值； (2)当时，求自变量x的值． 题型二十五、抛物线与x轴的交点问题 25．（24-25九年级上·上海·阶段练习）函数的图像与轴交于点、，将函数的图像向上平移，平移后的图像与轴交于点、．若，则平移后的图像对应的函数表达式为 ． 题型二十六、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 26．（2023·上海·一模）已知是关于的函数，若该函数的图象经过点，则称点为函数图象上的“相反点”，例如：直线上存在“相反点”．若二次函数的图象上存在唯一“相反点”，则 ． 题型二十七、求x轴与抛物线的截线长 27．（23-24九年级上·上海·期中）定义：直线与抛物线两个交点之间的距离称作抛物线关于直线的“割距”，如图，线段长就是抛物线关于直线的“割距”，已知直线与轴交于点，与轴交于点，点恰好是抛物线的顶点，则此时抛物线关于直线的割距是 ．      题型二十八、图象法确定一元二次方程的近似根 28．根据下列表格的对应值：判断方程一个解的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型二十九、图象法解一元二次不等式 29．如图是二次函数的图象，使成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 题型三十、利用不等式求自变量或函数值的范围 30．二次函数，当时，的取值范围是（　　） A． B． C． D． 题型三十一、根据交点确定不等式的解集 31．如图，抛物线与轴的两个交点分别为和，当时，的取值范围是（   ） A．或 B．或 C． D．或 题型三十二、图形问题(实际问题与二次函数) 32．（24-25九年级上·上海静安·期中）已知：如图是400米跑道示意图，中间的足球场是矩形，两边是全等的半圆，设直道的长为x米，足球场的面积为S平方米． (1)求出S关于x的函数关系式（结果保留），并写出定义域； (2)当直道的长为多少米时，足球场的面积最大？ 题型三十三、图形运动问题(实际问题与二次函数) 33．如图，在中，，点分别从出发向、匀速运动，若的速度大小相等，则的面积最大为（    ） A． B． C．8 D． 题型三十四、拱桥问题(实际问题与二次函数) 34．（22-23九年级上·上海静安·期中）有一座抛物线形状的拱桥，已知正常水位时，水面的宽度为20米，拱顶距水面5米，如图是拱桥的截面图，其中桥拱截线是一段抛物线，平面直角坐标系的原点是桥拱截线与水位正常的水面截线相交处的一点，轴在水面截线上；是警戒线，拱顶到的距离为1.8米． (1)求桥拱截线所在抛物线的表达式； (2)求达到警戒线位置时水面的宽度． 题型三十五、销售问题(实际问题与二次函数) 35．（2024·上海·模拟预测）某商场以每件50元的价格购进一种商品，销售中发现这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数，其图象如图所示 (1)求每天的销售数量m（件）与每件的销售价格x（元）的函数表达式 (2)每件商品的销售价格在什么范围内，每天的销售利润随着销售价格的提高而增加？ 题型三十六、投球问题(实际问题与二次函数) 36．（2025·上海松江·一模）一位运动员推铅球，铅球运行过程中离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为，如果铅球落到地面时运行的水平距离为10米，那么铅球刚出手时离地面的高度是 米． 题型三十七、喷水问题(实际问题与二次函数) 37．广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上的水珠高度（米）关于水珠与喷头的水平距离（米）的函数解析式是：，请求出当水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是多少？最大高度是多少？ 题型三十八、增长率问题(实际问题与二次函数) 38．（23-24九年级上·上海奉贤·期中）印刷厂10月份印刷一畅销小说书5万册，因购买此书人数激增，印刷厂需加印，若设印书量每月的增长率为x，12月印书量y万册，写出y关于x的函数解析式 ． 题型三十九、其他问题(实际问题与二次函数) 39．（2025·上海徐汇·一模）“2022年北京冬奥会”的召开，冰雪运动在中国大地蓬勃发展．滑雪爱好者小楠从山坡滑下，为了得出滑行距离（单位：米）与滑行时间（单位：秒）之间的关系式，测得一些数据（如下表）： 滑行时间（秒） 0 1 2 3 4 滑行距离（米） 0 4.5 14 28.5 48 为观察与的之间的关系，以为横轴，为纵轴建立坐标系，描出与上表中数据对应的5个点，并用平滑的曲线连接它们（如图所示），小楠观察发现这条曲线近似抛物线的一部分． (1)由上述信息，设这条曲线的表达式为，求与的函数关系式； (2)若将拋物线先向右平移2个单位，再向上平移20个单位，求平移后所得抛物线的表达式． 题型四十、线段周长问题(二次函数综合) 40．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，交y轴于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)若将该抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移个单位长度，求平移后的解析式； (3)若点D是线段上一动点，过点D作轴于点E，交抛物线于点F，求线段长度的最大值． 题型四十一、面积问题(二次函数综合) 41．（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）在平面直角坐标系中，将抛物线向下平移使之经过点，平移后的抛物线交轴于点． (1)求的正切值； (2)点在平移后的抛物线上且位于第二象限，其纵坐标为6，联结、，求的面积； (3)点在平移后抛物线的对称轴上且位于第一象限，联结、，当时，求点的坐标． 题型四十二、角度问题(二次函数综合) 42．（25-26九年级上·上海·期中）已知在直角坐标平面中，抛物线经过点、两点，抛物线与x轴交于A、B两点． (1)求该抛物线的表达式并写出B点坐标； (2)点P是抛物线上的动点，点P的横坐标为m． ①当时，求P点坐标； ②当点P是抛物线在第一象限内的动点，且是以为斜边的直角三角形，求m的值． 题型四十三、特殊三角形问题(二次函数综合) 43．（25-26九年级上·上海·阶段练习）将抛物线沿y轴向下平移后，所得抛物线与x轴交于点A、B，顶点为C，如果是等腰直角三角形，那么顶点C的坐标是 ． 题型四十四、特殊四边形(二次函数综合) 44．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，点为线段上一动点，过点且垂直于轴的直线与直线及抛物线分别交于点，． (1)求抛物线的解析式，并写出此抛物线的对称轴和顶点坐标； (2)如果以点P，N，B，O为顶点的四边形为平行四边形，求的值； (3)如果以B，P，N为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 题型四十五、相似三角形问题(二次函数综合) 45．（25-26九年级上·上海·阶段练习）已知在梯形中，，，且，， (1)如图：P为上的一点，满足，求的长； (2)如果点P在上移动（点P与点A、D不重合），且满足，交直线于点E，同时交直线于点Q，那么 ①当点Q在线段的延长线上时，设，，求y关于x的函数解析式； ②当时，求的长． 题型四十六、其他问题(二次函数综合) 46．（2025·上海·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D；抛物线与抛物线关于轴对称，抛物线与x轴交于点M、N（点M在点N的左边）． (1)用配方法求抛物线的顶点坐标； (2)求线段的长； (3)如果，平移抛物线，使所得新抛物线的顶点E在其关于轴对称抛物线的对称轴上，当时，求平移后新抛物线的表达式. 学科网（北京）股份有限公司 $