第08讲 二次函数y=ax²＋bx＋c的图象讲义（知识点+题型+分层强化）-2025-2026学年沪教版五四制九年级数学上册满分全攻略备考系列

第08讲 二次函数y=ax²＋bx＋c的图象（知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1.二次函数的图象与性质 2.二次函数的图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系 3.二次函数的常见表达式 题型巩固 一、把y=ax²+bx+c化成顶点式 二、画y=ax²+bx+c的图象 三、y=ax²+bx+c的图象与性质 四、二次函数图象与各项系数符号 五、一次函数、二次函数图象综合判断 六、反比例函数、二次函数图象综合判断 七、根据二次函数的图象判断式子符号 八、已知抛物线上对称的两点求对称轴 九、根据二次函数的对称性求函数值 十、y=ax²+bx+c的最值 十一、待定系数法求二次函数解析式 十二、二次函数图象的平移 十三、求抛物线与x轴的交点坐标 十四、求抛物线与y轴的交点坐标 十五、抛物线与x轴的交点问题 十六、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 十七、根据交点确定不等式的解集 分层强化 一、单选题（6） 二、填空题（11） 三、解答题（9） 知识梳理 知识点1.二次函数的图象与性质 图象特征 二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点. 基本形式 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 图象 a>0 a<0 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x= 顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (，) 最值 a>0 开口向上，顶点是最低点，此时 y 有最小值； a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值. 【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或）. 增 减 性 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大. a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小. 知识点2.二次函数的图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系 项目 字母 字母的符号 图象的特征 a a＞0 开口向上 a＜0 开口向下 b ab＞0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 ab＜0(a，b异号) 对称轴在y轴右侧 c c=0 图象过原点 c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴负半轴相交 b2-4ac b2-4ac=0 与x轴有唯一交点 b2-4ac＞0 与x轴有两个交点 b2-4ac＜0 与x轴没有交点 知识点3.二次函数的常见表达式 名称 解析式 前提条件 一般式 y=ax²+bx+c (a≠0) 当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时,常用一般式求其表达式. 顶点式 y＝a(x–h)²＋k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k） 当已知抛物线的顶点坐标(或者是对称轴) 时，常用顶点式求其表达式. 交点式 y＝a（x–x1）（x–x2） (a≠0) 其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，若题目已知抛物线与x 轴两交点坐标时，常用交点式求其表达式. 相互联系 （1）以上三种表达式是二次函数的常见表达式，它们之间可以互相转化. （2）一般式化为顶点式、交点式，主要运用配方法、因式分解等方法. 题型巩固 题型一、把y=ax²+bx+c化成顶点式 1．（2023·上海黄浦·一模）二次函数的图像的顶点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（23-24九年级上·上海金山·期末）抛物线的顶点坐标是 ． 3．用配方法将下列函数解析式改写成的形式，并指出开口方向、顶点坐标和对称轴． （1）                     （2） （3）                      （4） 题型二、画y=ax²+bx+c的图象 4．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则顶点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（1，﹣2）和（﹣1，0）和（0，﹣）． （1）求此二次函数的解析式； （2）按照列表、描点、连线的步骤，在如图所示的平面直角坐标系内画出该函数的图象（要求至少5点）． 题型三、y=ax²+bx+c的图象与性质 6．（2023九年级上·上海·专题练习）已知函数（c为常数）的图象上有两点，．若且，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 7．（25-26九年级上·上海·阶段练习）二次函数的顶点坐标为 ． 8．（2024·上海黄浦·二模）问题：已知抛物线L：，抛物线W的顶点在抛物线L上（非抛物线L的顶点）且经过抛物线L的顶点．请求出一个满足条件的抛物线W的表达式． (1)解这个问题的思路如下：先在抛物线L上任取一点（非顶点），你所取的点是 ① ；再将该点作为抛物线W的顶点，可设抛物线W的表达式是 ② ；然后求出抛物线L的顶点是 ③ ；再将抛物线L的顶点代入所设抛物线W的表达式，求得其中待定系数的值为 ④ ；最后写出抛物线W的表达式是 ⑤ ． (2)用同样的方法，你还可以获得其他满足条件的抛物线W，请再写出一个抛物线W的表达式． (3)如果问题中抛物线L和W在x轴上所截得的线段长相等，求抛物线W的表达式． 题型四、二次函数图象与各项系数符号 9．（24-25九年级上·上海·阶段练习）抛物线（其中）一定不经过的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10．（2023·上海杨浦·三模）如果抛物线在对称轴左侧呈上升趋势，那么的取值范围是 ． 题型五、一次函数、二次函数图象综合判断 11．（24-25九年级上·上海·期中）在同一平面直角坐标系中，画出直线与抛物线，这个图形可能是（    ） A． B． C． D． 12．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）已知二次函数的解析式为，一次函数的解析式为，求一次函数和二次函数的交点坐标． 题型六、反比例函数、二次函数图象综合判断 13．已知反比例函数y＝，当x＞0时，y的值随x的值增大而增大，下列四个选项中，可能是二次函数y＝2kx2﹣x﹣k图象的选项是（　　） A．   B．   C．   D．   14．如图，已知抛物线y=ax2-4x+c(a≠0)与反比例函数y=的图象相交于B点，且B点的横坐标为3，抛物线与y轴交于点C(0,6)，A是抛物线y=ax2-4x+c的顶点，P点是x轴上一动点，当PA+PB最小时，P点的坐标为 ． 题型七、根据二次函数的图象判断式子符号 15．（24-25九年级上·上海·期中）如图，二次函数的图像与轴交于，两点，与轴的正半轴交于点，它的对称轴为直线，下列结论中正确的有（   ） ①；②；③； ④当（为实数）时， A．个 B．个 C．个 D．个 16．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象开口向上，对称轴为直线x=1，图象经过（3，0），则a-b+c的值是 ． 题型八、已知抛物线上对称的两点求对称轴 17．（22-23九年级上·上海·单元测试）如果抛物线经过点，，则这条抛物线的对称轴为（   ） A．轴 B．直线 C．直线 D．直线 18．（25-26九年级上·上海·阶段练习）已知某二次函数一部分自变量和函数值的对应情况如右表所示，根据表中信息可知这个函数图像的对称轴是直线 ． … 1 2 4 … … 11 1 11 43 … 题型九、根据二次函数的对称性求函数值 19．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知抛物线，点与点关于该抛物线的对称轴对称，那么的值等于 ． 20．（2023·上海宝山·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点、、． (1)求抛物线的表达式； (2)点D与点E是抛物线上关于对称轴对称的两点，如果点D的横坐标为，试求点E的坐标． 题型十、y=ax²+bx+c的最值 21．二次函数的最小值是（　　） A． B．3 C． D．5 22．抛物线的最低点坐标是 ． 题型十一、待定系数法求二次函数解析式 23．已知点A(1，2)、B(2，3)、C(2，1)，那么抛物线可以经过的点是（   ） A．点A、B、C B．点A、B C．点A、C D．点B、C 24．（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）如果抛物线经过原点，那么m的值等于 ． 题型十二、二次函数图象的平移 25．（25-26九年级上·上海·阶段练习）将二次函数的图象向右平移3个单位，再向上平移4个单位，那么所得的解析式为（   ）． A． B． C． D． 26．（24-25九年级上·上海虹口·期末）将抛物线向上平移2个单位，所得抛物线的表达式是 ． 27．（23-24九年级上·上海嘉定·期末）已知平面直角坐标系，抛物线经过点和两点. (1)求抛物线的表达式； (2)如果将这个抛物线向右平移个单位，得到新抛物线经过点，求的值. 题型十三、求抛物线与x轴的交点坐标 28．抛物线y=2x2+4与y轴的交点坐标是（ ） A．（0，2） B．（0，﹣2） C．（0，4） D．（0，﹣4） 29．（23-24九年级上·上海浦东新·阶段练习）二次函数的图象与x轴的交点坐标是 ． 30．（22-23九年级上·上海黄浦·阶段练习）已知二次函数图像的最高点是，且经过点，与x轴交于C、D两点（点C在点D的左侧）． (1)求二次函数的解析式． (2)求△的面积． 题型十四、求抛物线与y轴的交点坐标 31．（23-24九年级上·上海浦东新·阶段练习）抛物线与y轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 32．（24-25九年级上·上海·阶段练习）抛物线与y轴的交点坐标为 题型十五、抛物线与x轴的交点问题 33．下列抛物线中,过原点的抛物线是（  ） A．y 4x 2 1 B．y 4x 2 1 C．y 4(x 1) 2 D．y 4x 2 x 34．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知二次函数和（m是常数）的图象与x轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图像对称轴之间的距离为 ． 35．已知在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（点C在点D左侧），顶点A在第一象限，异于顶点A的点在该抛物线上． （1）如果点P与点C重合，求线段的长； （2）如果抛物线经过原点，点Q是抛物线上一点，，求点Q的坐标； （3）如果直线与x轴的负半轴相交，求m的取值范围． 题型十六、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 36．抛物线与轴相交于点，点，则关于的一元二次方程的根是（   ） A． B． C． D． 37．（2023·上海·一模）已知是关于的函数，若该函数的图象经过点，则称点为函数图象上的“相反点”，例如：直线上存在“相反点”．若二次函数的图象上存在唯一“相反点”，则 ． 题型十七、根据交点确定不等式的解集 38．函数与的图象如图所示，当时，x的取值范围是（   ） A．或或 B．或 C．或 D．或或 39．如图，二次函数与一次函数的图象交于点和原点O，则关于x的不等式的解集是 ． 40．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）新定义：在平面直角坐标系中，函数自变量与因变量乘积最大时的点坐标成为该函数的“最值点” (1)如图，若抛物线M经过和点和，则M上是否存在最值点？若存在，请求出最值点，若不存在，请说明理由； (2)若直线交抛物线于A，两点，则直线不低于抛物线时，请直接写出自变量x的取值范围； (3)求直线的最值点． 分层强化 一、单选题 1．若二次函数的图像开口向下，且与y轴交于正半轴，则下列判断正确的是（  ） A． B． C． D． 2．若点、在二次函数的图象上，且，则（  ） A． B． C． D． 3．已知反比例函数的图象如图所示，则函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 4．二次函数与一次函数在同一坐标系中的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   5．已知二次函数的y与x的部分对应值如表： 下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为直线；③当时，；④方程有两个相等的实数根．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．函数，在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的图像可能是（    ） A．B．C． D． 二、填空题 7．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的交点的横坐标为 ． 8．已知二次函数的对称轴是直线，与轴的一个交点坐标是，则另一个交点坐标为 ． 9．已知抛物线的对称轴为直线，则m的值是 . 10．将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，所得到的抛物线解析式为 ． 11．二次函数，其中，则y的取值范围是 ． 12．写出一个函数使其图像与反比例函数的图像有3个不同的交点 ． 13．如图，抛物线与轴分别交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，在其对称轴上有一动点，连接，当最小时，则 ． 14．约定：如果是的函数，我们把时的函数值记为．已知二次函数，当取两个不同的值和时，，则 ． 15．二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的是 ． 16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与y轴交于点C．将抛物线位于点A，C之间的部分（包含端点）记为图象G，若直线与图象有两个交点，则 ，k的取值范围是 ． 17．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②方程必有一个根大于2且小于3；③若，是抛物线上的两点，那么；④；⑤对于任意实数，都有，其中正确结论的序号是 ． 三、解答题 18．已知二次函数的图象如图所示，根据图象提供的信息解答问题． (1)请确定的正负． (2)请判断一次函数的图象所经过的象限，并说明理由． 19．已知关于的二次函数（，为常数）的图象经过点和． (1)求二次函数的解析式． (2)当时，直接写出的取值范围． 20．已知二次函数． (1)在平面直角坐标系中用“列表、描点、连线”的方法画出该二次函数的图象； x … … y … … (2)若点和点都在此函数的图象上，且，结合函数图象，直接写出t的取值范围为______． 21．如图，抛物线 经过点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线的顶点坐标． 22．如图，函数的图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C． (1)已知一次函数的图象过点B，C，求这个一次函数的解析式； (2)当时，对于x的每一个值，函数（b为常数）的值小于函数的值，直接写出b的取值范围． 23．已知抛物线过点，对称轴为直线，且与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线与轴的另一个交点坐标； (3)当时，求的取值范围． 24．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求抛物线的对称轴； (2)若抛物线的顶点恰好在直线上，求它的解析式； (3)在（2）的条件下，抛物线与轴交于点，点为抛物线上的一点，且到轴的距离为3个单位长度，点为抛物线上点之间（不含点）的一个动点，求的取值范围． 25．如图，二次函数的图象与轴的一个交点是，顶点是，根据图象回答下列问题： (1)方程的两个根为___________； (2)方程的根为___________； (3)不等式的解集为___________； (4)若方程无解，则的取值范围为___________． 26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于，两点（点在点的左侧），其顶点为，是抛物线第四象限上一点． (1)求线段的长； (2)若的面积与的面积相等，求点的坐标. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 二次函数y=ax²＋bx＋c的图象（知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1.二次函数的图象与性质 2.二次函数的图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系 3.二次函数的常见表达式 题型巩固 一、把y=ax²+bx+c化成顶点式 二、画y=ax²+bx+c的图象 三、y=ax²+bx+c的图象与性质 四、二次函数图象与各项系数符号 五、一次函数、二次函数图象综合判断 六、反比例函数、二次函数图象综合判断 七、根据二次函数的图象判断式子符号 八、已知抛物线上对称的两点求对称轴 九、根据二次函数的对称性求函数值 十、y=ax²+bx+c的最值 十一、待定系数法求二次函数解析式 十二、二次函数图象的平移 十三、求抛物线与x轴的交点坐标 十四、求抛物线与y轴的交点坐标 十五、抛物线与x轴的交点问题 十六、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 十七、根据交点确定不等式的解集 分层强化 一、单选题（6） 二、填空题（11） 三、解答题（9） 知识梳理 知识点1.二次函数的图象与性质 图象特征 二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点. 基本形式 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 图象 a>0 a<0 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x= 顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (，) 最值 a>0 开口向上，顶点是最低点，此时 y 有最小值； a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值. 【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或）. 增 减 性 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大. a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小. 知识点2.二次函数的图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系 项目 字母 字母的符号 图象的特征 a a＞0 开口向上 a＜0 开口向下 b ab＞0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 ab＜0(a，b异号) 对称轴在y轴右侧 c c=0 图象过原点 c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴负半轴相交 b2-4ac b2-4ac=0 与x轴有唯一交点 b2-4ac＞0 与x轴有两个交点 b2-4ac＜0 与x轴没有交点 知识点3.二次函数的常见表达式 名称 解析式 前提条件 一般式 y=ax²+bx+c (a≠0) 当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时,常用一般式求其表达式. 顶点式 y＝a(x–h)²＋k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k） 当已知抛物线的顶点坐标(或者是对称轴) 时，常用顶点式求其表达式. 交点式 y＝a（x–x1）（x–x2） (a≠0) 其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，若题目已知抛物线与x 轴两交点坐标时，常用交点式求其表达式. 相互联系 （1）以上三种表达式是二次函数的常见表达式，它们之间可以互相转化. （2）一般式化为顶点式、交点式，主要运用配方法、因式分解等方法. 题型巩固 题型一、把y=ax²+bx+c化成顶点式 1．（2023·上海黄浦·一模）二次函数的图像的顶点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】利用配方法把二次函数解析式配成顶点式，然后利用二次函数的性质求解． 【详解】解： ， ， ∴顶点坐标为， ∴二次函数的图像的顶点位于第三象限， 故选C． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是将题目中的函数解析式化为顶点式． 2．（23-24九年级上·上海金山·期末）抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题考查了抛物线顶点坐标，根据公式计算即可． 【详解】抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 3．用配方法将下列函数解析式改写成的形式，并指出开口方向、顶点坐标和对称轴． （1）                     （2） （3）                      （4） 【答案】（1）；开口向上；顶点；对称轴直线x= -2；（2）；开口向下；顶点；对称轴直线x=；（3）；开口向上；顶点；对称轴直线x=；（4）；开口向下；顶点；对称轴直线x= 2 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】（1）根据配方法把二次函数的一般式化成顶点式，并根据二次函数的顶点式得到对称轴、顶点坐标，由得到开口方向； （2）根据配方法把二次函数的一般式化成顶点式，并根据二次函数的顶点式得到对称轴、顶点坐标，由得到开口方向； （3）根据配方法把二次函数的一般式化成顶点式，并根据二次函数的顶点式得到对称轴、顶点坐标，由得到开口方向； （4）根据配方法把二次函数的一般式化成顶点式，并根据二次函数的顶点式得到对称轴、顶点坐标，由得到开口方向； 【详解】(1) ；开口向上；顶点；对称轴直线x= -2      解析：                                                                           (2) ；开口向下；顶点；对称轴直线x= 解析： (3)；开口向上；顶点；对称轴直线x=； 解析： (4)；开口向下；顶点；对称轴直线x= 2； 解析： ． 【点睛】本题主要考查二次函数一般式化成顶点式，关键是根据配方法进行变换，然后根据顶点式及来判断开口方向及对称轴、顶点坐标． 题型二、画y=ax²+bx+c的图象 4．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则顶点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【知识点】画y=ax²+bx+c的图象 【分析】根据函数的图象确定顶点的位置即可． 【详解】观察图象知：对称轴在y轴的右侧，开口向上，与坐标轴有2个交点，顶点在第四象限， 故选D． 【点睛】考查了二次函数的性质及二次函数的图象的知识，直接观察图像，比较简单． 5．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（1，﹣2）和（﹣1，0）和（0，﹣）． （1）求此二次函数的解析式； （2）按照列表、描点、连线的步骤，在如图所示的平面直角坐标系内画出该函数的图象（要求至少5点）． 【答案】(1) (2)见解析. 【知识点】画y=ax²+bx+c的图象 【分析】（1）将点和和代入抛物线求解即可； （2）先找出5个点，再描点连线即可. 【详解】解：（1）∵二次函数图像过点、和， ∴（3分） ∴∴二次函数解析式为. （2）. x … －1 0 1 2 3 … y … 0 －2 0 … 【点睛】本题考查的是二次函数，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键. 题型三、y=ax²+bx+c的图象与性质 6．（2023九年级上·上海·专题练习）已知函数（c为常数）的图象上有两点，．若且，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 【答案】A 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．根据题意可知，函数对称轴为，而由可知，位于对称轴的右侧，且距离大于与对称轴的距离． 【详解】解：函数的对称轴为， 根据可知，、两点位于对称轴的两侧， 又， ，即距离对称轴较远， ∵抛物线开口方向向上，可见，． 故选：A． 7．（25-26九年级上·上海·阶段练习）二次函数的顶点坐标为 ． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数顶点坐标的求解，解题的关键是掌握二次函数顶点坐标的计算公式或配方法的应用． 对于二次函数，可通过顶点坐标公式求解，其中顶点的横坐标为，再将横坐标代入函数解析式求出纵坐标，进而得到顶点坐标． 【详解】解：对于二次函数，其中，，， 由顶点横坐标公式，得顶点的横坐标为； 将代入函数解析式，得 ， 故顶点坐标为． 故答案为：． 8．（2024·上海黄浦·二模）问题：已知抛物线L：，抛物线W的顶点在抛物线L上（非抛物线L的顶点）且经过抛物线L的顶点．请求出一个满足条件的抛物线W的表达式． (1)解这个问题的思路如下：先在抛物线L上任取一点（非顶点），你所取的点是 ① ；再将该点作为抛物线W的顶点，可设抛物线W的表达式是 ② ；然后求出抛物线L的顶点是 ③ ；再将抛物线L的顶点代入所设抛物线W的表达式，求得其中待定系数的值为 ④ ；最后写出抛物线W的表达式是 ⑤ ． (2)用同样的方法，你还可以获得其他满足条件的抛物线W，请再写出一个抛物线W的表达式． (3)如果问题中抛物线L和W在x轴上所截得的线段长相等，求抛物线W的表达式． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）根据题目所给方法，给定顶点坐标为计算即可解题； （2）仿照（1）中的方法，给定坐标为计算即可解题； （3）抛物线W的顶点坐标为，把抛物线L的顶点是代入求出a的值，然后再根据抛物线L和W在x轴上所截得的线段长相等得到抛物线M过，代入得，求出m值，即可得到解析式． 【详解】（1）先在抛物线L上任取一点（非顶点），你所取的点是；再将该点作为抛物线W的顶点，可设抛物线W的表达式是；然后求出抛物线L的顶点是；再将抛物线L的顶点代入所设抛物线W的表达式，求得其中待定系数的值为；最后写出抛物线W的表达式是． （2）解：， ∴抛物线L的顶点是， 取抛物线W的顶点坐标为， 设抛物线W的解析式为，把代入得：， ∴抛物线W的解析式为； （3）解：令，则，解得：，， ∴抛物线L在x轴上所截得的线段长为， 设抛物线W的顶点坐标为， 设解析式为，把代入得：， 整理得，即， ∴， 又∵抛物线L和W在x轴上所截得的线段长相等， ∴抛物线M在x轴上所截得的线段长为， ∴抛物线M过，代入得， 解得：或， ∴抛物线的解析式为或． 题型四、二次函数图象与各项系数符号 9．（24-25九年级上·上海·阶段练习）抛物线（其中）一定不经过的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【知识点】二次函数图象与各项系数符号 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，根据抛物线开口方向、对称轴位置、与y轴交点，结合系数符号判断其经过的象限． 【详解】∵， ∴抛物线开口向下， ∵， ∴对称轴为，即对称轴在y轴左侧， ∵， ∴，， ∴抛物线与轴有两个交点，与轴交于负半轴， 抛物线的图象大致如下： 由图象可得，抛物线不经过第一象限． 故选：A． 10．（2023·上海杨浦·三模）如果抛物线在对称轴左侧呈上升趋势，那么的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】二次函数图象与各项系数符号 【分析】利用二次函数的性质得到抛物线开口向下，则可得的取值范围． 【详解】解：抛物线在对称轴左侧呈上升趋势， 抛物线开口向下， ， 故答案为：． 【点睛】本本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下． 题型五、一次函数、二次函数图象综合判断 11．（24-25九年级上·上海·期中）在同一平面直角坐标系中，画出直线与抛物线，这个图形可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题考查二次函数的图象与一次函数的图象的综合判断，根据两个函数的性质和图象的特征，结合选项中的图象逐项判断即可． 【详解】解：当时，，则抛物线过原点，故选项B不符合题意， A、直线中，，，抛物线中，，，即，矛盾，故本选项不符合题意； C、直线中，，，抛物线中，，，即，矛盾，故本选项不符合题意； D、直线中，，，抛物线中，，，即，一致，故本选项符合题意； 故选：D． 12．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）已知二次函数的解析式为，一次函数的解析式为，求一次函数和二次函数的交点坐标． 【答案】和 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的交点问题，理解二次函数和一次函数的交点特征是解题关键．两个解析式联立方程组，解方程组即可求得其交点坐标． 【详解】解：联立方程组得， 解得，， ∴一次函数和二次函数的交点坐标为和． 题型六、反比例函数、二次函数图象综合判断 13．已知反比例函数y＝，当x＞0时，y的值随x的值增大而增大，下列四个选项中，可能是二次函数y＝2kx2﹣x﹣k图象的选项是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【知识点】反比例函数、二次函数图象综合判断 【分析】直接利用反比例函数的性质得出k的符号，再利用二次函数的性质得出答案． 【详解】解：∵反比例函数y＝，当x＞0时，y的值随x的值增大而增大， ∴k＜0， ∴二次函数y＝2kx2﹣x﹣k中，2k＜0，则图象开口向下， ﹣k＞0，则图象与y轴交在正半轴上， 又∵b＝﹣1＜0， ∴二次项与一次项系数相同，则对称轴在y轴左侧， 符合题意的只有选项D． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质以及二次函数的性质，正确掌握系数与图象的关系是解题关键． 14．如图，已知抛物线y=ax2-4x+c(a≠0)与反比例函数y=的图象相交于B点，且B点的横坐标为3，抛物线与y轴交于点C(0,6)，A是抛物线y=ax2-4x+c的顶点，P点是x轴上一动点，当PA+PB最小时，P点的坐标为 ． 【答案】(，0) 【知识点】反比例函数、二次函数图象综合判断 【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后求出点B的坐标，从而可以求得二次函数解析式，然后求出点A的坐标，进而求得A＇的坐标，从而可以求得直线A＇B的函数解析式，进而求得与x轴的交点，从而可以解答本题 【详解】解：作点A关于x轴的对称点A＇，连接A＇B，则A＇B与x轴的交点即为所求， ∵抛物线y=ax2-4x+c(a0)与反比例函数y= 的图象相交于点B，且B点的横坐标为3，抛物线与y轴交于点C（0,6）， ∴点B（3,3）， ∴ 解得， ∴y=x2-4x+6=（x-2）2+2 ∴点A的坐标为（2,2）， ∴点A＇的坐标为（2，-2）， 设过点A＇（2，-2）和点B（3,3）的直线解析式为y=mx+n ∴ ∴直线A＇B的函数解析式为y=5x-12, 令y=0,则0=5x-12得x=, 故答案为（） 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、最短路径问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 题型七、根据二次函数的图象判断式子符号 15．（24-25九年级上·上海·期中）如图，二次函数的图像与轴交于，两点，与轴的正半轴交于点，它的对称轴为直线，下列结论中正确的有（   ） ①；②；③； ④当（为实数）时， A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，解题的关键是数形结合．由图像开口向上，可知，与轴的交点在轴的上方，可知，根据对称轴方程得到，于是得到，故①错误；根据抛物线与轴有两个交点，可得：，即，故②错误；根据，代入，故可以判断③；当（为实数）时，，故④正确． 【详解】解：由图像开口向上，可知，与轴的交点在轴的上方，可知， 又对称轴为直线， ， ， ，故①错误； 二次函数的图像与轴交于，两点， ， ，故②错误； 又， ， ，故③错误； 当为实数时， 当（为实数）时，，故④正确， 故选：A． 16．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象开口向上，对称轴为直线x=1，图象经过（3，0），则a-b+c的值是 ． 【答案】0 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】根据已知对称轴内直线，图像经过，得出图像与的另一交点，进而得出的值. 【详解】∵二次函数的图像开口向上，对称轴内直线，图像经过，∴图像还经过，则的值是时，对应的值为0，故答案为0. 【点睛】此题主要考查了抛物线与轴交点性质，得出图像与的另一个坐标是解决本题的关键. 题型八、已知抛物线上对称的两点求对称轴 17．（22-23九年级上·上海·单元测试）如果抛物线经过点，，则这条抛物线的对称轴为（   ） A．轴 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C 【知识点】已知抛物线上对称的两点求对称轴 【分析】根据二次函数的对称性可进行求解． 【详解】解：由抛物线经过点，，可知：点与点关于抛物线的对称轴对称，所以该抛物线的对称轴为直线； 故选C． 【点睛】本题主要考查二次函数的对称性，熟练掌握利用二次函数的对称性求解函数的对称轴是解题的关键． 18．（25-26九年级上·上海·阶段练习）已知某二次函数一部分自变量和函数值的对应情况如右表所示，根据表中信息可知这个函数图像的对称轴是直线 ． … 1 2 4 … … 11 1 11 43 … 【答案】 【知识点】已知抛物线上对称的两点求对称轴 【分析】本题主要考查二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键；由表格可知点关于对称轴对称，然后问题可求解． 【详解】解：由表格可知点关于对称轴对称， ∴该函数图像的对称轴为直线； 故答案为． 题型九、根据二次函数的对称性求函数值 19．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知抛物线，点与点关于该抛物线的对称轴对称，那么的值等于 ． 【答案】 【知识点】根据二次函数的对称性求函数值 【分析】本题考查了二次函数的对称性，由题意得抛物线的对称轴，进而推出，，据此即可求解 【详解】解：抛物线解析式为， 抛物线的对称轴， 点与点关于该抛物线的对称轴对称， ，， 解得， 故的值等于， 故答案为：． 20．（2023·上海宝山·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点、、． (1)求抛物线的表达式； (2)点D与点E是抛物线上关于对称轴对称的两点，如果点D的横坐标为，试求点E的坐标． 【答案】(1) (2) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、根据二次函数的对称性求函数值 【分析】（1）根据二次函数图象上的点的坐标以及待定系数法解决此题． （2）根据二次函数图象的对称性求得的横坐标，再将其代入函数解析式，进而求得的坐标． 【详解】（1）解：由题意得，，，． ，． 这个抛物线的表达式为． （2）由（1）得，． 该抛物线的对称轴是直线． 点与点是抛物线上关于对称轴对称的两点，点的横坐标为， 的横坐标是4． 当时，． ． 【点睛】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解决本题的关键． 题型十、y=ax²+bx+c的最值 21．二次函数的最小值是（　　） A． B．3 C． D．5 【答案】A 【知识点】y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，本题考查了将二次函数写成顶点式，即可得出答案． 【详解】解：， ∴抛物线开口向上， ∴当时，二次函数有最小值是， 故选：A． 22．抛物线的最低点坐标是 ． 【答案】 【分析】直接用顶点公式求顶点坐标即为最低点坐标． 【详解】∵ 抛物线中， ∴ 抛物线开口向上，顶点为最低点 ∵ ， ∴ 顶点坐标为： ∴ 最低点坐标为： 故答案为： 【点睛】本题主要考查了抛物线的顶点坐标，对称轴的方法，是基础知识要熟练掌握． 题型十一、待定系数法求二次函数解析式 23．已知点A(1，2)、B(2，3)、C(2，1)，那么抛物线可以经过的点是（   ） A．点A、B、C B．点A、B C．点A、C D．点B、C 【答案】C 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】先把，代入抛物线的解析式，求解抛物线的解析式为：，再判断不在抛物线上，从而可得答案． 【详解】解：把，代入抛物线的解析式， 即： 解得： 抛物线为： 当时， 不在抛物线上， 抛物线可以经过的点是 故选： 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线上点的坐标特点，掌握以上知识是解题的关键． 24．（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）如果抛物线经过原点，那么m的值等于 ． 【答案】2 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上的点的坐标都满足该二次函数的解析式，把点代入抛物线方程，列出关于m的方程，然后解方程即可． 【详解】解：把点代入抛物线， 则， 解得， 故答案为：2． 题型十二、二次函数图象的平移 25．（25-26九年级上·上海·阶段练习）将二次函数的图象向右平移3个单位，再向上平移4个单位，那么所得的解析式为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题主要考查了二次函数的图象平移变换，掌握二次函数的平移规律“上加下减、左加右减”是解题的关键． 根据二次函数的平移变换的规律求解即可． 【详解】解：根据二次函数的平移变换的规律可得：将二次函数的图象向右平移3个单位，再向上平移4个单位，那么所得的解析式为． 故选B． 26．（24-25九年级上·上海虹口·期末）将抛物线向上平移2个单位，所得抛物线的表达式是 ． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的平移法则是解答本题的关键． 根据“上加下减，左加右减”的平移法则进行解答即可． 【详解】解：抛物线向上平移2个单位，所得抛物线的表达式是， 故答案为：． 27．（23-24九年级上·上海嘉定·期末）已知平面直角坐标系，抛物线经过点和两点. (1)求抛物线的表达式； (2)如果将这个抛物线向右平移个单位，得到新抛物线经过点，求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移 【分析】本题考查了二次函数的解析式求解以及二次函数的平移，注意计算的准确性即可． （1）将点和代入即可求解； （2）由（1）得，设平移后的抛物线表达式为，将点代入即可求解． 【详解】（1）解：将点和代入得： 解得 ∴抛物线的表达式是：. （2）解：由（1）配方得： 根据题意可设平移后的抛物线表达式为 ∵经过点； ∴ 解得：， ∵ ∴. 题型十三、求抛物线与x轴的交点坐标 28．抛物线y=2x2+4与y轴的交点坐标是（ ） A．（0，2） B．（0，﹣2） C．（0，4） D．（0，﹣4） 【答案】C 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】要求抛物线与y轴的交点坐标，即要令x等于0，代入抛物线的解析式求出对应的y值，写成坐标形式即可． 【详解】把x=0代入抛物线y=2x2+4中， 解得：y=4， 则抛物线y=2x2+4与y轴的交点坐标是（0，4）． 故选C． 29．（23-24九年级上·上海浦东新·阶段练习）二次函数的图象与x轴的交点坐标是 ． 【答案】， 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】本题考查二次函数图象与坐标轴的交点，令，代入函数解析式求出的值即可． 【详解】解： 当时，， 解得：， 二次函数的图象与x轴的交点坐标是，， 故答案为：，． 30．（22-23九年级上·上海黄浦·阶段练习）已知二次函数图像的最高点是，且经过点，与x轴交于C、D两点（点C在点D的左侧）． (1)求二次函数的解析式． (2)求△的面积． 【答案】(1) (2)6 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】(1)设二次函数的解析为，再把点B的坐标代入解析式，即可求得； (2)首先求得点C、D的坐标，再根据三角形的面积公式，即可求得． 【详解】（1）解：设二次函数的解析为， 把点B的坐标代入解析式， 得， 解得， 所以，； （2）解：令，则， 解得或， ， ． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析，求二次函数与x轴的交点问题，熟练掌握和运用利用待定系数法求二次函数的解析是解决本题的关键． 题型十四、求抛物线与y轴的交点坐标 31．（23-24九年级上·上海浦东新·阶段练习）抛物线与y轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求抛物线与y轴的交点坐标 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点，解答本题的关键是明确抛物线与轴的交点就是时的值． 【详解】解：令，得：， ∴抛物线与轴的交点坐标是， 故选：B． 32．（24-25九年级上·上海·阶段练习）抛物线与y轴的交点坐标为 【答案】 【知识点】求抛物线与y轴的交点坐标 【分析】本题考查了二次函数的性质，求二次函数图像与y轴的交点的坐标． 令，得到，即可得到答案． 【详解】解：令， 则， 抛物线与y轴的交点坐标为， 故答案为：． 题型十五、抛物线与x轴的交点问题 33．下列抛物线中,过原点的抛物线是（  ） A．y 4x 2 1 B．y 4x 2 1 C．y 4(x 1) 2 D．y 4x 2 x 【答案】D 【分析】分别求出当x=0时y的值，然后逐个判断即可． 【详解】解：A、y=4x2-1中，当x=0时，y=-1，不过原点； B、y=4x2+1中，当x=0时，y=1，不过原点； C、y=4（x+1）2中，当x=0时，y=4，不过原点； D、y=4x2+x中，当x=0时，y=0，过原点； 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特点，熟练掌握抛物线上特殊点的坐标及一般点的坐标的求法是解题的关键． 34．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知二次函数和（m是常数）的图象与x轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图像对称轴之间的距离为 ． 【答案】2 【知识点】抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件构建方程． 求出四个交点坐标，在构建方程求解即可． 【详解】解：如图所示： 令，则和， ∴或或或， ∵这两个函数的图象与x轴都有两个交点， ∴， ∵这四个交点中每相邻两点间的距离都相等， 若 ， 则， ∴或（舍去） 若 ， 则， ∴或（舍去） ∵抛物线的对称轴为直线，抛物线的对称轴为， ∴这两个函数图象对称轴之间的距离， 故答案为：2． 35．已知在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（点C在点D左侧），顶点A在第一象限，异于顶点A的点在该抛物线上． （1）如果点P与点C重合，求线段的长； （2）如果抛物线经过原点，点Q是抛物线上一点，，求点Q的坐标； （3）如果直线与x轴的负半轴相交，求m的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3）且． 【知识点】抛物线与x轴的交点问题 【分析】（1）根据题意求出C点的坐标，由点P与点C重合列等式求解即可； （2）由题意代入原点坐标可得出点P的坐标，连接OP，PQ，作于E点，轴于F点，根据三角函数值可证明，从而得到OG=PG，得到G点的坐标，求出PG所在直线的解析式，联立等式求解即可； （3）分别求出B、P的坐标，求出直线BP的解析式，令y=0，可得直线BP与x轴的交点横坐标，求其小于0的取值范围即可． 【详解】（1）如图1，抛物线与x轴相交于C点， ， ， C点在D点的左侧，C(m-2，0)， 又点P与点C重合，， m-2=1，m=3， ，A(3，4)，P(1，0)， ； （2）如果抛物线经过原点，将(0，0)代入， 得， 顶点A在第一象限，m=2， =，当x=1时，y=3，P(1，3)， 如图2，连接OP，PQ，作于E点，轴于F点， ，， ， 设PQ延长线与x轴交于点G（x，0）， 又OG=PG，，解得x=5， 检验：把x=5代入原方程，左边=右边，所以x=5为方程的解， G（5,0）， 设直线PG的解析式为：y=kx+b， 将P，G两点坐标代入得，求得 ， PG所在直线的解析式为， 联立直线PG和抛物线解析式可得 ， 解得或，Q； （3）如图3，点在该抛物线上，代入中， ，， 又抛物线与y轴交于点B，B（0，）， 设直线BP的解析式为：y=kx+b， 代入B、P两点，， 则，直线BP的解析式为：， 令y=0，， 直线与x轴的负半轴相交， ， 或， 解得m<-2或<m<2， 又顶点A在第一象限，m>0, 点A与点P不重合，， 综上所述，且． 【点睛】本题考查抛物线与坐标轴交点，抛物线顶点，一次函数与抛物线交点等问题，还涉及解直角三角形，综合性比较强，难度比较大，需要有较强的数形结合思想，充分掌握一次函数和二次函数综合知识，运用图形解题是解决本题的关键． 题型十六、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 36．抛物线与轴相交于点，点，则关于的一元二次方程的根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】抛物线与轴交点的横坐标，就是当时，一元二次方程的根，所以只需找出抛物线与轴交点横坐标即可．本题考查二次函数与一元二次方程的关系这一知识点．解题关键在于理解抛物线与轴交点的横坐标就是一元二次方程的根，通过已知抛物线与轴交点坐标，直接得出方程的根． 【详解】解：∵当时，抛物线对应的方程为， ∴方程的解就是抛物线与轴交点的横坐标． ∴点和点的横坐标分别为和， ∴关于的一元二次方程的根是，， 答案选A． 37．（2023·上海·一模）已知是关于的函数，若该函数的图象经过点，则称点为函数图象上的“相反点”，例如：直线上存在“相反点”．若二次函数的图象上存在唯一“相反点”，则 ． 【答案】 【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】将代入中得，即，将二次函数的图象上存在唯一“相反点”，转化为方程有两个相等的实数根，，求解即可． 【详解】解：将代入中， 得，即， 二次函数的图象上存在唯一“相反点”， 方程有两个相等的实数根， ， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数、一元二次方程根的判别式，解题的关键是将函数问题转化为方程问题． 题型十七、根据交点确定不等式的解集 38．函数与的图象如图所示，当时，x的取值范围是（   ） A．或或 B．或 C．或 D．或或 【答案】C 【知识点】根据交点确定不等式的解集 【分析】本题考查了二次函数以及反比例函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键． 由函数图象可知，当或时，函数在的图象的上方，据此即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知， 当或时，函数在的图象的上方， ∴， 故选：C． 39．如图，二次函数与一次函数的图象交于点和原点O，则关于x的不等式的解集是 ． 【答案】/ 【知识点】根据交点确定不等式的解集 【分析】本题考查了根据二次函数与一次函数的交点确定不等式的解集，由图象并结合交点坐标即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数与一次函数的图象交于点和原点O， ∴由图象可得：关于x的不等式的解集是， 故答案为：． 40．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）新定义：在平面直角坐标系中，函数自变量与因变量乘积最大时的点坐标成为该函数的“最值点” (1)如图，若抛物线M经过和点和，则M上是否存在最值点？若存在，请求出最值点，若不存在，请说明理由； (2)若直线交抛物线于A，两点，则直线不低于抛物线时，请直接写出自变量x的取值范围； (3)求直线的最值点． 【答案】(1)不存在，理由见解析 (2) (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、根据交点确定不等式的解集 【分析】（1）采用待定系数法求出抛物线M的解析式为，根据二次函数的性质得到当时，y随x的增大而增大，由可得当时，随x的增大而增大，即不存在最大值，即可解答； （2）结合图象即可求解； （3）对于直线，有，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线M的解析式为， ∵抛物线M经过和点和， ∴，解得 ∴抛物线M的解析式为， ∴抛物线M的开口向上，对称轴为， 当时，y随x的增大而增大， ∵， 由抛物线M的增减性可得，当时，随x的增大而增大， ∴随x的增大而增大，即不存在最大值， ∴抛物线M上不存在最值点． （2）解：∵直线交抛物线M于，两点， ∴由图象可得，直线不低于抛物线时，x的取值范围为． （3）解：对于直线，有 ， ∴当时，有最大值， 此时， ∴直线的最值点为． 【点睛】本题考查新定义，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象及性质，直线与抛物线的交点问题等，正确理解函数的“最值点”是解题的关键． 分层强化 一、单选题 1．若二次函数的图像开口向下，且与y轴交于正半轴，则下列判断正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，根据二次函数的性质，开口向下则二次项系数；与y轴交于正半轴则常数项，判断即可． 【详解】解：∵ 图像开口向下， ∴ ； ∵ 图像与 y 轴交于正半轴，即当时，， ∴ ． 故选B． 2．若点、在二次函数的图象上，且，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数开口向下，对称轴为，顶点为最大值点，当 时，函数单调递减，由，可得且，因此 ． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下，对称轴为，顶点为， ∴当 时，， ∵，且函数在时单调递减， ∴， 又∵且， ∴且， ∴． 故选：C． 3．已知反比例函数的图象如图所示，则函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，以及二次函数的图象和性质，掌握函数图象与系数的关系是解题关键． 根据反比例函数图象可得，进而分析出二次函数图象的开口方向、对称轴以及与轴交点，确定函数图象即可． 【详解】解：反比例函数的图象位于第一、三象限， ， 函数的图象开口向上，对称轴为轴，与轴交于负半轴， 故选：A． 4．二次函数与一次函数在同一坐标系中的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】本题是关于一次函数和二次函数的图象，根据各选项一次函数的图象和二次函数的图象得到，的正负，然后相比较解答即可． 【详解】解：A、由一次函数的图象可知，，由二次函数的图象可知，，两者相吻合； B、由一次函数的图象可知，，由二次函数的图象可知，，两者相矛盾； C、由一次函数的图象可知，，由二次函数的图象可知，，两者相矛盾. D、由一次函数的图象可知，，由二次函数的图象可知，，两者相矛盾； 故选：A． 5．已知二次函数的y与x的部分对应值如表： 下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为直线；③当时，；④方程有两个相等的实数根．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象与性质． 根据图表在平面直角坐标系中画出二次函数的图象，根据图象进行判断即可． 【详解】解：由图表可知，该二次函数的图象如图， ∴抛物线的开口向下，故①正确； ∵与关于抛物线的对称轴对称 ∴对称轴为直线，故②错误； 由函数图像可知，当时，，故③正确； 二次函数与有两个交点， ∴方程有两个不相等的根，故④错误； 综上所述：①③正确，共2个． 故选B． 6．函数，在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的图像可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，不等式的性质，根据函数图像的开口大小与轴的交点位置以及对称轴的位置进行判断即可，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键，注意：二次函数的越大，图像开口越小． 【详解】解：设，， 由图像知，，，，，，，， ∴， ∵函数的图像开口大于函数的图像开口， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴函数的图像是抛物线，开口向下，对称轴在轴的右侧，与轴的交点在轴的正半轴上， A．图像开口向下，对称轴在轴的左侧，与轴的交点在轴的正半轴上，故选项符合题意； B．图像开口向上，故选项不符合题意； C．图像对称轴在轴的左侧，故选项不符合题意； D．图像开口向上，故选项不符合题意． 故选：A． 二、填空题 7．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的交点的横坐标为 ． 【答案】1或 【分析】本题考查了二次函数的图象与坐标轴的交点问题，掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 把代入函数解析式，进行计算即可求解， 【详解】解：当时，， 解得， ∴抛物线与x轴的交点的横坐标为1或． 8．已知二次函数的对称轴是直线，与轴的一个交点坐标是，则另一个交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数性质等知识．抛物线上有两个对称点的坐标为和，则对称轴为直线，据此即可求解． 【详解】解：设抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∵二次函数的对称轴是直线，与轴的一个交点坐标是， ∴， ∴， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为． 故答案为： 9．已知抛物线的对称轴为直线，则m的值是 . 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据二次函数的对称轴为直线进行求解即可． 【详解】解：由抛物线的对称轴为直线，可知：， ∴； 故答案为． 10．将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，所得到的抛物线解析式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，掌握平移方法是解题的关键．根据左加右减，上加下减的方法计算即可． 【详解】解：由题意可得， 平移后得到的抛物线解析式为， 故答案为：． 11．二次函数，其中，则y的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，先将二次函数的解析式化为顶点式得出当时，二次函数有最小值为，再分别求出当时，，当时，，由此即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴当时，二次函数有最小值为， 当时，，当时，， ∴y的取值范围是 故答案为：． 12．写出一个函数使其图像与反比例函数的图像有3个不同的交点 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】首先判断出该函数为二次函数，再结合函数的图像和性质写出即可． 【详解】解：若要与反比例函数的图像有3个不同的交点， 这样的函数可以为二次函数，设， 如图，二次函数与反比例函数有3个交点， 可得开口向上，对称轴在y轴左侧，与y轴交于正半轴， 这样的函数可以是， 其中，，， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了二次函数和反比例函数图像，解题的关键是抓住3个交点的条件，利用数形结合思想解决． 13．如图，抛物线与轴分别交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，在其对称轴上有一动点，连接，当最小时，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用二次函数对称性求最短路径，由题意得点关于函数对称轴的对称点为点，连接交函数对称轴于点则点为所求点；则，即的最小值为的长度；据此即可求解； 【详解】解：如图，点关于函数对称轴的对称点为点，连接交函数对称轴于点则点为所求点， 则，即的最小值为的长度； 令，则，即； 令，则，解得，即； ∴， 故答案为： 14．约定：如果是的函数，我们把时的函数值记为．已知二次函数，当取两个不同的值和时，，则 ． 【答案】25 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的对称性得出，求出，然后把代入求解即可． 【详解】解：对于二次函数，当取两个不同的值和时，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：25． 15．二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的是 ． 【答案】①②/②① 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的开口方向、对称轴、特殊点的函数值与系数、、的关系是解题的关键． 先根据二次函数图象的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点等特征，分别分析每个结论涉及的系数、、的符号及数量关系，再逐一判断结论的正确性． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴； ∵对称轴为直线，即， ∴； ∵抛物线与轴交于正半轴， ∴； ∵，，， ∴，故①正确． ∵对称轴为直线，即， ∴，即，故②正确． 当时，，由图象知时，，即； 把代入得，故③错误． 当时，，由图象知时，，即， ∴不成立，故④错误． 故答案为：①②． 16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与y轴交于点C．将抛物线位于点A，C之间的部分（包含端点）记为图象G，若直线与图象有两个交点，则 ，k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与直线的交点问题，解答的关键是确定临界点的k值，利用数形结合思想得出答案． 先由待定系数法求二次函数解析式，然后求出C的坐标，再得到直线过定点，分别求出直线经过点C、A以及与抛物线相切时的k值，结合图象，即可得出答案． 【详解】解：∵抛物线与轴交于， ∴， ∴， ∴解析式为：， 令，则， ∴， ∵当时，， ∴直线经过定点， 如图， 当直线经过点C时，由得，此时直线与图象G有两个交点， 当直线与抛物线相切时， 由得， 由解得，， 当直线经过点A时，由得，此时直线与图象G有一个交点， 由图可知，当，直线与图象G有两个交点， 故答案为：，． 17．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②方程必有一个根大于2且小于3；③若，是抛物线上的两点，那么；④；⑤对于任意实数，都有，其中正确结论的序号是 ． 【答案】②④/④② 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．①根据图象及对称轴即可判断a、b、c的符号；②设抛物线与轴负半轴的交点横坐标为，与轴另一交点横坐标为，由图得，易得，③由对称轴性质得，当二次函数图象开口向上时，距离对称轴越远的点对应的函数值较大，即可判断；④由对称轴是直线，可求，由图得：当时，，同时结合即可判断；⑤当时，的值最小，可得，据此即可判断． 【详解】①二次函数的图象开口向上， ， 二次函数的图象交y轴的负半轴于一点， ， 对称轴为直线， ， ， ，故①错误； ②设抛物线与轴负半轴的交点横坐标为，与轴另一交点横坐标为， 对称轴是直线， ， 由图象得：， ， ，即， ，故②正确； ③对称轴是直线， ， ， ，故③错误； ④对称轴为直线， ， ， 当时，， ， ， ， ∴， ，故④正确； ⑤当时，的值最小， ， 对于任意实数，都有，故⑤错误； 综上所述，即②④都正确， 故答案为：②④． 三、解答题 18．已知二次函数的图象如图所示，根据图象提供的信息解答问题． (1)请确定的正负． (2)请判断一次函数的图象所经过的象限，并说明理由． 【答案】(1)， (2)经过第二、三、四象限，理由见解析 【分析】本题主要考查了一次函数图象与二次函数图象综合判断，正确根据二次函数图象判断出a、b的符号是解题的关键． （1）由抛物线开口向下可知，抛物线的对称轴在y轴右侧，即，得． （2）根据（1）中结论，，得直线中，，，它即可得答案． 【详解】（1）解：抛物线的开口方向向下， ． ， ． （2）解：， ， 由图可知，， ， ， 一次函数的图象经过第二、三、四象限． 19．已知关于的二次函数（，为常数）的图象经过点和． (1)求二次函数的解析式． (2)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的知识，解题的关键是掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质． （1）把点，代入交点式即可求解； （2）根据二次函数的性质，即可求出当时，的取值范围． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过点和， 函数的解析式为． （2）解：， 该函数的顶点坐标为，且函数经过点和， 该函数图象如图所示： 由图象可得，当时，的取值范围为． 20．已知二次函数． (1)在平面直角坐标系中用“列表、描点、连线”的方法画出该二次函数的图象； x … … y … … (2)若点和点都在此函数的图象上，且，结合函数图象，直接写出t的取值范围为______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了画二次函数图象，图象法求自变量的取值范围，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）先列表，然后描点，最后连线即可； （2）根据函数图象求解即可． 【详解】（1）列表如下： … … … … 函数图像如下所示： （2）由函数图像可知，当时，． 21．如图，抛物线 经过点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线的顶点坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，化为顶点式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，直接把，，分别代入进行计算，即可作答． （2）把化为顶点式，即可得出顶点坐标，即可作答． 【详解】（1）解：∵抛物线 经过点，， ∴， 解得， ∴； （2）解：由（1）得， 则， ∴抛物线的顶点坐标为． 22．如图，函数的图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C． (1)已知一次函数的图象过点B，C，求这个一次函数的解析式； (2)当时，对于x的每一个值，函数（b为常数）的值小于函数的值，直接写出b的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求一次函数关系式，二次函数的图象和性质，求抛物线与坐标轴的交点， （1）先求出点B，C的坐标，再根据待定系数法求出直线关系式； （2）根据函数与直线平行，再根据在自变量取值范围内抛物线在直线上方解答即可. 【详解】（1）解：当时，， 解得， ∴点. 当时，， ∴点. 设直线的关系式为，得 ， 解得， ∴直线的关系式为； （2）解：函数与直线平行， 当时，. 23．已知抛物线过点，对称轴为直线，且与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线与轴的另一个交点坐标； (3)当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据对称轴和与纵轴的交点坐标即可解题； （2）令，即可进行求解； （3）求出抛物线顶点坐标，判断在条件给出的范围内的最值分别取在顶点和处，进而解题． 【详解】（1）解：∵对称轴为直线， ， ∴， 抛物线解析式代入，有： ， 代入，有： ， 则有：， 解得：， ∴  ， ∴抛物线的解析式为： ； （2）解：令，有：， ， ， ∴或， 抛物线与轴的另一个交点坐标为； （3）解：当时， ， ∴抛物线的顶点为，在范围内， 故此时有最大值， ∵抛物线开口向下， ∴距离对称轴越远，函数值越小， ∴时，有最小值， ∴  ． 24．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求抛物线的对称轴； (2)若抛物线的顶点恰好在直线上，求它的解析式； (3)在（2）的条件下，抛物线与轴交于点，点为抛物线上的一点，且到轴的距离为3个单位长度，点为抛物线上点之间（不含点）的一个动点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)当时，．当时，． 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，学会数形结合的思想是解题的关键． （1）根据对称轴直线为求解即可． （2）先求出顶点坐标，再根据定点坐标在直线上，即可得出关于a的一元一次方程，解出a，即可得出抛物线解析式． （3）先求出点A和点B的坐标，结合二次函数图像求解即可． 【详解】（1）解：对称轴直线为 （2）解：由（1）可知，对称轴为直线， 把代入，得， 则顶点坐标为， ∵抛物线的顶点恰好在直线上， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为：． （3）解：令，则， 则， ∵点为抛物线上的一点，且到轴的距离为3个单位长度， ∴， 当时，则，当时，， ∴或 ∵抛物线开口向上，顶点坐标为， ∴当时，则． 当时，则． 25．如图，二次函数的图象与轴的一个交点是，顶点是，根据图象回答下列问题： (1)方程的两个根为___________； (2)方程的根为___________； (3)不等式的解集为___________； (4)若方程无解，则的取值范围为___________． 【答案】(1)， (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程、不等式的关系，正确利用数形结合得出是解题关键． （1）根据抛物线的对称性可得二次函数的图象与轴的另一个交点坐标，再结合抛物线与轴的交点的横坐标就是一元二次方程的两个实数根，即可得解； （2）方程的根即为二次函数取时，对应的值； （3）观察图象，在轴上方的部分总大于，即可确定不等式的解集； （4）方程无解，即二次函数与直线没有交点，即可确定的取值范围． 【详解】（1）解：二次函数的图象与轴的一个交点是，顶点是， 二次函数的图象与轴的另一个交点是， 方程的两个根为，； 故答案为：，； （2）解：二次函数的图象的顶点是， 即当时，， 方程的根为； 故答案为：； （3）解：观察图象可知，不等式的解集为； 故答案为：； （4）解：若方程无解，即二次函数与直线没有交点， ， 故答案为：． 26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于，两点（点在点的左侧），其顶点为，是抛物线第四象限上一点． (1)求线段的长； (2)若的面积与的面积相等，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点问题，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键； （1）先求出、的坐标，然后根据两点间距离公式求解即可； （2）先求出顶点的坐标，直线解析式为，过作轴交轴于，轴交于，设，，得出，根据面积相等建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：令， ∴， 解得： ∴， ∴ ∴， （2）过作轴交轴于，轴交于，如图： ， ， 由，得直线解析式为， 设，， 在中，令得， ， ， ； 的面积与的面积相等， 而， ， 解得（舍去）或， 学科网（北京）股份有限公司 $