1.2 反比例函数的图象与性质 学案 2025-2026学年鲁教版（五四制）数学九年级上册

该初中数学导学案围绕反比例函数的图象与性质展开，引导学生掌握描点法绘制图象的步骤，理解比例系数的符号意义与定值属性，探究函数的中心对称性和增减性等核心代数性质，深化对“数”与“形”内在关联的认识。通过承接反比例函数概念，以列表描点连线的步骤分解、比例系数符号与变量取值特征的对应分析为学习支架，帮助学生构建从概念到性质的知识脉络。 资料通过知识梳理的结构化呈现，如描点法步骤分解、比例系数符号与象限分布的对应关系，帮助学生用数学眼光抽象函数本质。同步训练分层设计，从基础选择到综合解答题，结合参考答案的解题关键分析，培养学生的推理意识和运算能力，同时强化数形转化的数学语言表达，助力学生自主探究与教师教学评估。

1.2 反比例函数的图象与性质 知识梳理 核心结论：1.2 聚焦反比例函数图象的绘制方法、比例系数的代数意义及函数的核心代数性质，重点体现“数”与“形”的内在关联，是对反比例函数概念的深化拓展。 一、反比例函数图象的绘制方法 · 核心方法：采用描点法，其本质是将函数的“数”转化为坐标系中的“点”并连接的过程，具体步骤如下： 0. 列表：以0为基准，对称选取自变量的非零值（确保取值足够多且分布合理），代入函数表达式计算对应函数值，表格中的每一组均为函数表达式的解。 0. 描点：将表格中每组对应的数值视为坐标，在坐标平面内确定对应位置的点，此步骤实现了从“数”到“点”的转化。 0. 连线：用平滑曲线依次连接同一侧的点，完成图象绘制。需注意选取的点需能反映函数的变化趋势。 二、比例系数的核心意义 · 符号的代数内涵：的正负直接决定函数变量的取值特征： · 当时，自变量与函数值同号（即时，时）。 · 当时，自变量与函数值异号（即时，时）。 · 定值属性延伸：由反比例函数定义（）可推导出，即函数图象上任意一点的横、纵坐标乘积恒等于常数，这是“数”层面的核心特征。 三、反比例函数的核心代数性质 · 对称性的代数表达：函数具有中心对称性，对称中心为坐标原点。若点在反比例函数图象上，则其关于原点的对称点也一定在该图象上（可通过代入计算验证）。 · 增减性的限定规律：函数的增减性需以“象限”为前提： · 当时，在各自象限内，函数值随自变量的增大而减小。 · 当时，在各自象限内，函数值随自变量的增大而增大。 · 需特别注意：不能笼统表述为“时随增大而减小”，因图象的两支不连续，跨象限讨论增减性无意义。 · 定义域与值域的关联：由且，可推出函数值域为的所有实数，即函数值永远不会等于0。 四、“数”与“形”的转化逻辑 · 正向转化：已知反比例函数表达式（数）→计算与的对应值（数）→确定坐标点（数的几何表达）→绘制图象（形）。 · 逆向转化：观察图象上的点（形）→获取点的坐标（数）→利用计算值（数）→确定函数表达式（数）。 同步训练 一、单选题 1．已知点在反比例函数的图象上，则下列不在此反比例函数图象上的点是（   ） A． B． C． D． 2．对于反比例函数，下列说法正确的是（   ） A．图象分布在第二、四象限 B．图象经过点 C．当时，随的增大而减小 D．若点，都在图象上，且，则 3．在反比例函数（为常数）上有三点，，，若，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 4．如图，点是反比例函数图象上一点，轴于点，与反比例函数图象交于点，，连接，若的面积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．如图：点A在反比例函数的图象上，轴于点B，C是的中点，连接，若的面积为3，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 二、填空题 6．在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上，则的值为 ． 7．考察函数的图象，当时，y的取值范围是 ． 8．如图，直线交轴于点，交反比例函数的图象于、两点，过点作轴，垂足为点，若，则的值为 ． 9．在平面直角坐标系中，反比例函数()的图象如图所示，则的值可能是 (填写其中一个答案即可)． 10．如图，点是反比例函数 的图象上一点，轴于点为轴上一点，若的面积为5，则的值为 ． 三、解答题 11．如图，点为反比例函数图象上的一点，连接，过点作的垂线与反比例函数的图象交于点． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 12．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，，与y轴相交于点C． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)求的面积； (3)直接写出不等式的解集． 13．已知反比例函数（k为常数，）． (1)若点在这个函数的图象上，则k的值为______； (2)若在反比例函数（k为常数，）的图象上，当时，y的值随x值的增大而减小，求k的取值范围． 14．已知反比例函数为的图象经过点． (1)求k的值． (2)若点也在该函数图象上，求m的值． (3)若点也在反比例函数的图象上，求当时，函数值y的取值范围． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《1.2 反比例函数的图象与性质》参考答案 1．C 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质（反比例函数上点的横纵坐标乘积为定值），解题的关键是先确定的值，再验证点的横纵坐标乘积是否等于． 先由点代入反比例函数得，再分别计算各选项点的横纵坐标乘积，判断是否等于，乘积不等于的点即为不在图象上的点． 【详解】解：已知点在反比例函数上，代入得 ， ∴， 反比例函数为． 选项A：点，计算，满足，在此图象上； 选项B：点，计算，满足，在此图象上； 选项C：点，计算，不满足，不在此图象上； 选项D：点，计算，满足，在此图象上． 因此，不在此反比例函数图象上的点是C． 故选：C． 2．C 【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是根据反比例函数（）的性质逐一分析选项． 【详解】解：对于反比例函数，． A选项：图象应分布在第一、三象限，此选项不符合题意； B选项：当时，，图象经过，此选项不符合题意； C选项：当时，在第一象限，随的增大而减小，此选项符合题意； D选项：若但不在同一象限，如，，则，，，此选项不符合题意． 故选：C． 3．C 【分析】本题考查反比例函数的象限分布和单调性，关键是根据系数正负确定函数值符号，再利用减函数性质比较大小． 反比例函数系数 ，因此函数图像在第一、三象限，根据 的符号和大小关系，可判断 值的正负和单调性． 【详解】解：∵ ， ∴ ，即函数系数为正， ∴反比例函数图象经过第一、三象限，每个象限随的增大而减小， 对于点 ， ， ∴ ， 对于点 和 ， ， ∴ ，， ∴ 且 ， ∴ ， 因此，， 故选：C． 4．D 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，由题意得，，又，则，故有，因为的面积为，所以，整理得，从而求得，，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵点是反比例函数图象上一点，轴于点，与反比例函数图象交于点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴，整理得， ∴，， ∴， 故选：． 5．D 【分析】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征等知识点，掌握反比例函数中k的几何意义是解题的关键． 由C是的中点求的面积，设，根据面积公式求，进而求得k的值即可． 【详解】解：∵C是的中点，的面积为3， ∴的面积为6， 设， ∵轴于点B， ∴，即， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴． 故选D． 6． 【分析】本题考查反比例函数图象与性质，理解函数图象上的点的坐标特征是解决问题的关键．根据反比例函数图象与性质，将，代入函数表达式得到关于的方程求解即可得到答案． 【详解】解：点，在反比例函数的图象上， ， 解得， 故答案为：． 7． 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，对于函数，当时，为负数，且随的增大而减小，趋近于但不等于，据此进行作答即可． 【详解】解：依题意，当时，； 当时，随的增大而减小，且趋近于但不等于， 因此，的取值范围是， 故答案为：． 8．10 【分析】本题主要考查反比例函数比例系数的几何意义，理解反比例函数图象上点的坐标特征是解题关键．设点B的坐标为，然后根据三角形面积公式列方程求解． 【详解】解：设点B的坐标为， ∵，， ∴， 解得：， 故答案为：10． 9．3(答案不唯一) 【分析】本题考查了反比例函数的图象，根据点和点的坐标，得出的取值范围，即可解答． 【详解】解：该反比例函数位于第一象限的图象低于点， ， 该反比例函数位于第三象限的图象低于点， ， ， 的值可能是， 故答案为：3(答案不唯一)． 10． 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．连接，如图，利用三角形面积公式得到，再根据反比例函数的比例系数的几何意义得到，然后去绝对值即可得到满足条件的的值． 【详解】解：连接，如图，   轴， ∴， ， 而， ， ∴， ∵由图像可知， ． 故答案为：． 11．(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的性质与相似三角形的综合应用，解题的关键是通过作垂线构造相似三角形，利用相似三角形的面积比与相似比的关系求解． （1）过点作轴，垂足为点，轴，垂足为点，构造直角三角形，证明，再结合反比例函数中三角形的面积与系数的关系，求出面积比，进而得到相似比即的值； （2）同样利用（1）中相似三角形的面积比与相似比的关系，结合已知的线段比例，求出的值． 【详解】（1）解：解：如图，过点作轴，垂足为点，轴，垂足为点， 点在反比例函数图象上，点在反比例函数图象上， ， ， ， ， ， ； （2）解：点在反比例函数图象上，点在反比例函数图象上， ， 由（1）知， ， ， ， ， 反比例函数图象在第二象限， ． 12．(1)反比例函数解析式为，一次函数解析式为 (2)16 (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）把点坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，进而求出点的坐标，再把点和点的坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可； （2）先求出点C的坐标，进而得到的长，再根据列式求解即可； （3）根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方或二者的交点处的自变量的取值范围即可得到答案； 【详解】（1）把点代入， ， 反比例函数解析式为， 在上， ， ， ， 把，代入一次函数解析式中， ， ， ； （2）由（1）可得，一次函数解析式为， 令，则， ， ， ； （3）由函数图象可知，当或时，， 当时，的取值范围为或． 13．(1)9 (2) 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式以及反比例函数的性质． （1）根据反比例函数图象上点的坐标特征得到，然后解方程即可； （2）根据反比例函数的性质得，然后解不等式即可； 【详解】（1）∵点在这个函数的图象上， ， 解得； （2）∵当时，y的值随x值的增大而减小， ， ∴． 14．(1) (2) (3) 【分析】本题考查了求反比例函数解析式，反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． （1）将点代入解析式，待定系数法求解析式即可求解； （2）将点代入解析式，待定系数法求解析式即可求解； （3）由，随值增大而增大，进而即可求解． 【详解】（1）解：反比例函数过点， ； （2）解：由（1）函数解析式为， ∵点也在该函数图象上， ∴， 解得； （3）解：∵， ∴当时，随值增大而增大， ∴当时，，当时，， ∴当时，． 学科网（北京）股份有限公司 $