2.3确定二次函数的表达式第1课时（教学课件）数学北师大版九年级下册

该初中数学课件聚焦北师大版九年级下册“确定二次函数的表达式”第1课时，核心内容为用待定系数法求表达式。通过知识回顾二次函数性质，情境引入对比一次、反比例函数确定条件，搭建前后知识支架，引导学生探究二次函数所需条件。 其亮点在于融合抽象能力、推理意识与模型意识，如推铅球情境抽象顶点式模型，例题通过代入点坐标列方程组培养推理能力。归纳不同表达式确定条件，典例与分层练习结合，课堂小结系统方法。助力学生提升问题解决能力，教师可高效备课，优化教学实施。

北师大版·九年级下册 2.3 确定二次函数的表达式 第1课时 第二章 二次函数 学 习 目 标 1.通过对用待定系数法求二次函数表达式的探究，掌握求表达式的方法；(重点) 2.能灵活根据条件恰当地选择表达式，体会二次函数表达式之间的转化．(难点) 知识回顾 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 (＞0) 开口向上，越大开口越小 关于直线=对称 （,） =时， =时， 当＜，随的增大而减小； 当＞随的增大而增大。 当，随的增大而增大； 当＞，随的增大而减小。 (＜0) 开口向下，越大开口越小 情境引入 3.我们在用待定系数法确定一次函数y=kx+b(k,b为常数，k≠0)的关系式时，通常需要 个独立的条件.确定反比例函数（k≠0)关系式时，通常需要 个条件. 1.二次函数表达式的一般形式是什么? 二次函数表达式的顶点式是什么? y=ax²+bx+c (a,b,c为常数,a ≠0) y=a(x-h)2+k (a ≠0) 2 1 思考: 如果确定二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0）的关系式时，通常又需要几个条件？ 新知探究 探究：确定二次函数表达式 一名学生推铅球时，铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系如图所示，其中（4，3）为图象的顶点，你能求出y与x之间的关系式吗？ 分析：图象为一条抛物线，因此y是x的二次函数，且已知顶点坐标，因此可以设顶点式y=a(x-h)2+k (a ≠0)，图象过点（10，0），将其代入表达式即可求出待定系数a. 新知探究 解：∵(4，3)是抛物线的顶点坐标， ∴设二次函数表达式为y＝a(x－4)2+3. 把点(10，0)的坐标代入y＝a(x－4)2+3，解得a＝－， ∴铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数表达式为y＝－(x－4)2+3. 确定二次函数的表达式需要几个条件？与同伴进行交流。 想一想 新知探究 确定二次函数表达式的条件： 知识归纳 确定二次函数的表达式y=ax²+bx+c (a,b,c为常数,a ≠0)，通常需要3个条件; 当知道顶点坐标（h,k）和图象上的另一点坐标两个条件时，用顶点式y=a(x-h)2+k可以确定二次函数的关系式. 新知探究 例：已知二次函数y=ax2+c的图象经过点（2，3）和（－1，－3），求这个二次函数的表达式. 解：将点（2，3）和（－1，－3）分别代入表达式y=ax2+c中，得 a=2, c=－5. 解这个方程组，得 3=4a+c, －3=a+c, ∴所求二次函数表达式为：y=2x2－5. 分析：确定二次函数y＝ax2+c的表达式，只需确定a,c两个系数的值，需要知道两个点坐标，因此此题只要把已知两点坐标代入即可. 新知探究 不同形式的二次函数表达式的确定条件： 知识归纳 (1)形如y＝ax2的二次函数，因为只有一个未知系数a，所以只需要知道图象上一个点的坐标. (2)形如y＝a(x-h)2，y＝ax2+c和y＝ax2+bx的二次函数，有两个未知系数，所以需要知道图象上两个点的坐标. (3)形如y＝a(x-h)2+k的二次函数，如果已知二次函数的顶点坐标，那么再知道图象上的一个点的坐标就可以确定二次函数的表达式. 新知探究 解：∵二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1，所以设二次函数表达式为y＝ax2+bx+1， ∵经过点（2，5）和（-2，13）， ∴ 解得： ∴这个二次函数的表达式为y＝2x2-2x+1. 做一做 已知二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1，且经过点（2，5）和（-2，13），求这个二次函数的表达式. 如何设函数表达式呢？ 分析：此题顶点坐标未知，因此可以设一般式y＝ax2+bx+c，因为二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1，即c＝1，因此只有两个未知系数a和b，又已知两点的坐标，代入即可求出表达式. 新知探究 二次函数可化成y=a(x－h)2+k时，顶点是（h，k），如果已知顶点坐标，那么再知道图象上另一点的坐标，就可以确定这个二次函数的表达式. 已知二次函数y=ax²+bx+c中一项系数，再知道图象上两个点的坐标，也可以确定这个二次函数的关系式. 在什么情况下，已知二次函数图象上两点就可以确定它的表达式？ 想一想 新知探究 1.求二次函数表达式采用的一般方法是 . 待定系数法 2.求二次函数表达式的步骤和方法: (1)设二次函数的表达式； (2)根据图象或已知条件列方程(或方程组)； (3)解方程（或方程组）,求出待定系数； (4)答：写出二次函数的表达式. 求二次函数表达式的方法： 知识归纳 典例分析 一个二次函数的图象经点 (0, 1)，它的顶点坐标为(8,9)，求这个二次函数的表达式. 例1 解：∵这个二次函数的图象的顶点坐标为(8,9)， ∴可以设函数表达式为 y=a(x-8)2+9. 又∵它的图象经过点(0 ,1)，可得 1=a(0-8)2+9. 解得. ∴所求的二次函数的表达式是. 已知二次函数y＝ax2 ＋ bx的图象经过点(－2，8)和(－1，5)，求这个二次函数的表达式． 例2 典例分析 解:∵该图象经过点（-2,8）和（-1,5）， ∴ 这个二次函数的表达式为：y=-x2-6x. 8=4a-2b， 5=a-b， ∴ { 解得 { a=-1, b=-6. 巩固练习 基础巩固题 1.二次函数的图象如图所示,则它的表达式是(　 　) A.y＝2x2-4x B.y＝-x(x-2) C.y＝-(x-1)2+2 D.y＝-2x2+4x D 2.已知二次函数y＝x2＋bx－2的图象与x轴的一个交点坐标为(1，0)，则该二次函数的表达式为( ) A．y＝x2－2x B．y＝x2＋x－1 C．y＝x2＋x－2 D．y＝x2－x－2 C 巩固练习 基础巩固题 3.已知二次函数y=ax2+bx，当x=1时，y=2;当x=-1时，y=4，则a，b的值分别是( ) A.3,-1 B.3，1 C.-3,1 D.-3，-1 A 4.一个二次函数图象的顶点坐标是(2，4)，且过另一点（0，-4），则这个二次函数的解析式为（ ） A.y=-2(x+2)2+4 B.y=2(x+2)2-4 C.y=-2(x-2)2+4 D.y=2(x-2)2-4 C x y O 1 2 -1 -2 -3 -4 -2 2 1 -1 3 4 5 6.如图，平面直角坐标系中，函数图象的表达式应是 . 巩固练习 基础巩固题 5.已知二次函数图象的顶点是（-1，1），且经过点（1，-3），则这个二次函数的表达式为 . y=-x2-2x 7.过点（2，4），且当x=1时，y有最值为6，则其表达式是 . y=-2(x-1)2+6 8.已知一个二次函数，当x=-3时，函数的最大值为2，且它的图象经过点(1，-14)，则这个二次函数的表达式为 (化为一般形式). y=-x2-6x-7 巩固练习 基础巩固题 9.已知抛物线y=x2+bx+c经过点A(-1，0)，B(2，-3)，求该抛物线的解析式. 解:.∵A(-1，0)，B(2，-3)在抛物线y=x2+bx+c上, ∴ 解得 ∴该抛物线的解析式为y=x2-2x-3. 巩固练习 基础巩固题 10.如图，已知二次函数的图象经过A(2，0)，B(0，－6)两点． (1)求这个二次函数的表达式； A B C x y O 解:∵该图象经过点（2,0）和(0,－6)， { -2+2b+c=0 c=-6 解得 { b=4 c=-6 ∴二次函数的表达式为：. 巩固练习 基础巩固题 (2)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求△ABC的积． 解:∵由(1)得 a=，b=4, ∴二次函数对称轴为直线, ∴C点坐标为（4,0）, ∴S△ABC=. A B C x y O 课堂小结 确定二次函数的表达式1 利用两个点的坐标确定二次函数表达式 求二次函数表达式的步骤和方法 ①已知顶点坐标，设顶点式，然后代入一个点的坐标; ②只有两个未知系数，代入两个点的坐标. 待定系数法→代入→组成方程组→解方程组求出待定系数→确定二次函数表达式. 作业布置 1.必做题：习题2.6第1-2题。 2.探究性作业：习题2.6第3题。 感谢聆听! $