3.9弧长及扇形的面积（题型专练）数学北师大版九年级下册

3.9弧长及扇形的面积 题型一 求弧长 1．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）若一个扇形的半径为，圆心角为，则该扇形的弧长为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，中，，，则的长是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·北京·期中）如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为3，则这个“莱洛三角形”的周长是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，若将绕点顺时针旋转得到，则的长为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，，以为直径的交于点D，则的长为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，扇形中，，，用该扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面周长为 cm． 题型二 求扇形半径 1．（19-20九年级上·辽宁大连·期末）的圆心角所对的弧长是，则此弧所在圆的半径是（    ） A．3 B．8 C．9 D．10 2．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）为了表演课本剧，小明同学用圆心角为的扇形纸板，制作了一个底面半径是的圆锥形生日帽道具．在不考虑接缝的情况下，这个扇形纸板的半径是 cm． 3．（25-26九年级上·江苏南京·月考）用一个圆心角为的扇形围成一个圆锥，若圆锥底面圆的半径为，则扇形的半径为 ． 4．（21-22九年级上·山东德州·期末）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，扇形的圆心角，则该圆锥的母线长l为 cm． 5．（24-25九年级上·湖北十堰·期中）弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在圆的半径是 ． 6．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，，分别切于点为，，若，弧的长为，则的半径为 ． 题型三 求圆心角 1．（25-26九年级上·陕西榆林·月考）在半径为6的圆中，长度为的弧所对的圆周角的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）一个扇形的半径为，弧长等于，则扇形的圆心角度数为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·湖南湘西·模拟预测）如果一个扇形的半径为1，弧长是，那么此扇形的圆心角的大小为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·甘肃酒泉·一模）如图，在半径为的中，劣弧的长为，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025·贵州·一模）如图，这是某人通过定滑轮拉升货物A的示意图(拉绳与滑轮之间无滑动)，已知定滑轮的半径为6．若货物A上升了，则此定滑轮旋转的度数是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）一个扇形的弧长是，半径是，则此扇形的圆心角是 ． 7．（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）以圆为弧的扇形所对的圆心角是 度． 题型四 求扇形面积 1．（25-26九年级上·陕西榆林·月考）一个扇形的弧长是，圆心角是，则这个扇形的面积是 ．（结果保留） 2．（2025九年级·全国·专题练习）一个扇形的弧长是，其圆心角是，此扇形的面积为 ． 3．（25-26九年级上·北京朝阳·期中）圆心角为，半径为3的扇形的面积为 ． 4．（25-26九年级上·江苏常州·期中）如图，已知扇形的半径，点P为弧上一动点，作，，垂足为M、N，当取最大值时，扇形的面积为 ． 5．（25-26九年级上·河北廊坊·期中）如图，有一个半径为2的圆形时钟，过8点和12点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为 ． 6．（25-26八年级上·河南郑州·期中）如图，扇形的半径，，则以为直径的半圆与围成的区域（图中阴影部分）的面积是 ． 7．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，扇形OBC和扇形OAD有相同的圆心O，且圆心角；若，，则扇面（阴影）部分的面积是 ．（结果用表示） 8．（25-26九年级上·河南安阳·期中）如图是型号为26英寸（车轮的直径为26英寸，约）的自行车，现要在自行车两轮的阴影部分（分别以，为圆心的两个扇形）装上挡水的铁皮，量出四边形中，，那么安装单侧（阴影部分）需要的铁皮面积约是 ． 题型一 求图形旋转后扫过的面积 1．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）如图①是卧室门锁的局部图，图②是其示意图，其中点O到门框l的距离为，且，当开门时，握住门把手绕点O顺时针旋转，点A到达点B的位置，此时点B到门框l的距离为，则门把手扫过的区域面积为 ． 2．（25-26九年级上·吉林长春·期中）钟面上分针的长为，经过，分针在钟面上扫过的面积是 ． 3．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，为半圆的直径，，点在半圆上，以为高作等腰，当点沿半圆从运动到点时，线段扫过的面积是 ． 4．（25-26九年级上·广东·期中）在中，，将绕点 C 逆时针旋转得到，当时，线段扫过的面积为 ． 5．（2025·广东阳江·模拟预测）如图，为半圆内一点，为圆心，直径长为，，，将绕圆心逆时针旋转至，点在上，则边扫过区域(图中阴影部分)的面积为 ．(结果保留) 6．（25-26九年级上·广西南宁·期中）在平面直角坐标系中，的三个顶点在格点上（每个方格的边长均为1个单位长度）． (1)请画出关于轴对称的图形； (2)将绕点顺时针旋转，画出旋转后得到的，并写出点的坐标 ； (3)在（2）的条件下，求线段在旋转过程中扫过的面积（结果保留）． 题型二 求弓形面积 1．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图是一个的正方形网格，的顶点均在格点上，请按要求画图：①仅用无刻度的直尺，且不能用直尺的直角；②保留必要的画图痕迹；③标注相关字母． (1)在图1中画出的外接圆圆心O位置． (2)若每个小正方形网格的边长为1，则图2中阴影部分（弓形）的面积是___________． 2．（25-26九年级上·山东日照·期中）如图，内接于，，点在线段的延长线上，且，连接． (1)求证：是的切线； (2)当，时，求图中阴影部分的面积． 3．（25-26九年级上·天津·期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，且，若其中水面高3m，求筒车工作时： (1)水面AB的宽； (2)截面上有水部分的面积． 4．（25-26九年级上·浙江丽水·阶段练习）如图，垂直弦的半径为，弓形的高为． (1)求的长． (2)求弓形的面积． 5．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在中，，平分，交于点D，点O在上，圆O经过A，D两点，交于点E，交于点F． (1)求证：是圆的切线． (2)若圆的半径是，，求阴影部分的面积．（结果保留和根号） 题型三 求其他不规则图形的面积 1．（2025·广东江门·二模）在中，，点是上一点，且，以点为圆心，为半径的圆与相切于点，与相交于点，若，则图中阴影部分的面积是 （结果保留） 2．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）如图， 为直径，D是弦的延长线上一点， 且，的延长线交于E． (1)求证：； (2)若，，求、、围成图形的面积． 3．（22-23九年级下·福建漳州·期中）如图，在中，，平分交于点，点在上，以为直径的经过点． (1)求证：是的切线； (2)若点是劣弧的中点，且，求阴影部分的面积． 4．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，是的弦，，点在上运动，且．    (1)求的半径； (2)设点到直线的距离为，图中阴影部分的面积为，求与之间的函数关系，并写出自变量的取值范围． 5．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，，点在上，以为直径的与边相切于点，与边相交于点，且，连接并延长交于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若的长为，求图中阴影部分的面积． 题型四 圆锥的实际问题 1．（2025·云南曲靖·二模）某博物馆修复一把古代铜锁，锁头的装饰部分为圆锥形（如图）．已知装饰部分的底面圆的半径为3厘米，母线长为5厘米，则该圆锥形装饰的面积为（   ） A．平方厘米 B．平方厘米 C．平方厘米 D．平方厘米 2．（25-26七年级上·河南鹤壁·开学考试）一个圆锥形沙堆的高是，底面周长是，用这堆沙子在宽的公路上铺厚的路面，能铺 ． 3．（2025·云南·模拟预测）某同学发现家里的草帽可以近似看作一个圆锥，测量得母线长为50 ，高度为30 ，通过计算，这个圆锥的侧面展开图的弧长为 ． 4．（2025·云南昆明·三模）如图，圆锥形的烟囱帽的底面圆的周长是， 其侧面展开图是圆心角为的扇形，则它的母线长是 ． 5．（25-26九年级上·江苏淮安·阶段练习）小明假期去我校周边的森林公园郊游，带了一顶大型圆锥形帐篷，它的底面直径是，高是． (1)按每人的活动面积是计算，该帐篷估计最多可住______人．（取3.14估算） (2)该帐篷采用性价比较高的涤纶布制作，估计至少需要多少平方米的涤纶布?（结果中包含，材料包含底部） 6．（23-24九年级上·安徽阜阳·月考）图1中的冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装需要用如图3所示的等腰三角形材料，其中，将扇形围成圆锥时，恰好重合．已知这种加工材料的顶角，圆锥底面圆的直径为． (1)求图2中圆锥的母线的长． (2)求加工材料剩余部分（图3中阴影部分）的面积．（结果保留） 题型一 弧长与扇形面积的综合运用 1．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，在扇形中，，，动点沿弧从运动到，作于点，则内切圆圆心的运动路径长是 ． 2．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图（1），正方形纸片边长为是的中点，点E，F分别在边上，扇形纸片的半径．剪下该扇形纸片，将其围成一个如图（2）所示的圆锥形纸帽． (1)求该纸帽的底面半径． (2)如图（3），是母线的中点，现要在该纸帽的侧面绕两圈丝带，丝带的起点是，终点是，求丝带的最短长度． 3．（25-26九年级上·河北廊坊·期中）小明陪弟弟玩积木的时候，发现放在同一水平面上的两个积木的横截面分别是以为直径的半圆和边长为的正方形，，分别为半圆上的点，如图所示，此时半圆与水平面恰好切于点，，延长与半圆分别交于点，．将半圆向右无滑动滚动，使点落在半圆上，此时半圆与水平面恰好切于点，如图所示． (1)在图中，求弦的长； (2)在图中，求所对的圆心角度数；（结果保留） (3)在图中，过点作半圆的切线与直线交于点，求的长． 1 / 62 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.9弧长及扇形的面积 题型一 求弧长 1．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）若一个扇形的半径为，圆心角为，则该扇形的弧长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键；根据弧长公式直接计算即可． 【详解】解：由题意得：； 故选B． 2．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，中，，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是弧长公式．直接利用弧长公式计算即可． 【详解】解：由题意得，的长是． 故选：B． 3．（25-26九年级上·北京·期中）如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为3，则这个“莱洛三角形”的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的性质、弧长公式，根据等边三角形的性质得到，利用弧弦的关系和弧长公式求得的长，进而可求解． 【详解】解：如图， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴该“莱洛三角形”的周长是． 故选：D． 4．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，若将绕点顺时针旋转得到，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求弧长，解题的关键是掌握弧长公式． 根据网格得出半径长度，利用弧长公式求解即可． 【详解】解：根据网格图可知，， ∴的长为， 故选：D． 5．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，，以为直径的交于点D，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，弧长公式，解题的关键是正确添加辅助线，并熟知一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半．连接，，根据是的直径，可得，再根据，，可得的值，然后求得，从而求出，再结合弧长公式进行列式，即可作答． 【详解】解：连接，，如图所示： ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 6．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，扇形中，，，用该扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面周长为 cm． 【答案】 【分析】本题考查扇形弧长公式与圆锥侧面展开图的关系，解题思路是利用扇形弧长等于圆锥底面周长，通过扇形弧长公式计算；考查的知识点是扇形弧长公式、圆锥侧面展开图的性质，用到的思想是转化思想，方法是公式法，技巧是明确扇形弧长与圆锥底面周长的等量关系，解题关键是正确运用扇形弧长公式，易错点是混淆扇形半径与圆锥底面半径的关系． 【详解】解：∵扇形中，，， ∴ 故答案为． 题型二 求扇形半径 1．（19-20九年级上·辽宁大连·期末）的圆心角所对的弧长是，则此弧所在圆的半径是（    ） A．3 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】此题主要考查了弧长计算，关键是掌握弧长公式（为圆心角，为半径），根据弧长公式即可求解． 【详解】解：设此弧所在圆的半径为，依题意， ． 解得． 故选：D． 2．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）为了表演课本剧，小明同学用圆心角为的扇形纸板，制作了一个底面半径是的圆锥形生日帽道具．在不考虑接缝的情况下，这个扇形纸板的半径是 cm． 【答案】 【分析】本题主要考查圆锥侧面展开图与扇形的关系，解题的关键是熟练掌握圆锥及其侧面展开图中相关量之间的关系．根据圆锥底面周长等于扇形弧长建立方程求解即可． 【详解】解：设扇形纸板的半径为， 扇形的圆心角为，圆锥的底面半径是， 根据圆锥底面周长等于扇形弧长可得，， 解得，． 答：这个扇形纸板的半径是． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·江苏南京·月考）用一个圆心角为的扇形围成一个圆锥，若圆锥底面圆的半径为，则扇形的半径为 ． 【答案】6 【分析】此题主要考查了扇形和圆锥的有关计算，解题关键是明确扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，然后由弧长公式和圆的周长公式列方程求解即可． 【详解】解：设扇形的半径为， ∵扇形弧长等于圆锥底面圆的周长， ∴，解得：． 答：扇形的半径为． 故答案为：6． 4．（21-22九年级上·山东德州·期末）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，扇形的圆心角，则该圆锥的母线长l为 cm． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的有关计算，解题关键是熟知圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥底面周长和圆锥母线等于圆锥侧面展开图的半径，根据题意建立方程．根据侧面展开图的弧长等于底面周长列方程即可． 【详解】解：圆锥的底面周长， 由题意可得，解得， 所以该圆锥的母线长为， 故答案为． 5．（24-25九年级上·湖北十堰·期中）弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在圆的半径是 ． 【答案】18 【分析】本题考查了弧长计算公式及其应用，涉及的知识点包括圆的性质、弧长与圆心角的关系．解题的关键在于准确理解并运用弧长公式，通过代入已知的弧长和圆心角，进行正确的代数变换求得半径R的值．根据弧长公式，其中l为弧长，n为圆心角度数，R为半径．将已知数据代入公式即可求解半径R． 【详解】解：，， ， 解得， ， 故答案为：18． 6．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，，分别切于点为，，若，弧的长为，则的半径为 ． 【答案】36 【分析】本题考查切线性质（圆的切线垂直于过切点的半径 ）与弧长公式（ ），关键是利用切线性质求圆心角，结合弧长公式列方程求解． 连接 、，利用切线性质得 、，结合四边形内角和求圆心角，再用弧长公式列方程求半径． 【详解】解：连接 、 ， 分别切 于 ， ，，即 四边形 内角和为 ， 又 弧 长 ， 解得 故答案为： 题型三 求圆心角 1．（25-26九年级上·陕西榆林·月考）在半径为6的圆中，长度为的弧所对的圆周角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求弧长所对的圆心角度数，圆周角定理，根据弧长公式求出圆心角，再根据圆周角定理求出圆周角的度数即可． 【详解】解：设圆心角度数为， ∵ 弧长，其中，， 解得， ∴ 圆周角的度数； 故选B 2．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）一个扇形的半径为，弧长等于，则扇形的圆心角度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查弧长公式的应用，根据弧长公式 ，代入半径 和弧长 求解圆心角 【详解】解：设圆心角度数为 根据 ， 可得：， 整理可得：， 化简得：， 两边乘以 可得：， ， 扇形的圆心角度数为 ． 故选：B． 3．（2025·湖南湘西·模拟预测）如果一个扇形的半径为1，弧长是，那么此扇形的圆心角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了弧长的有关计算． 根据弧长公式，即可求解． 【详解】∵弧长 ，其中 ，， ∴ ， 两边除以：， 即， 简化得， ∴ ． 故此扇形的圆心角为． 故选：C． 4．（2025·甘肃酒泉·一模）如图，在半径为的中，劣弧的长为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是弧长的计算、圆周角定理的应用，掌握弧长公式和圆周角定理是解题的关键． 连接、，根据弧长公式求出的度数，根据圆周角定理解答即可． 【详解】解：连接、， 设的度数为， 则， 解得，， ， 故选：C． 5．（2025·贵州·一模）如图，这是某人通过定滑轮拉升货物A的示意图(拉绳与滑轮之间无滑动)，已知定滑轮的半径为6．若货物A上升了，则此定滑轮旋转的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了弧长公式，解题的关键是掌握弧长公式：． 设此定滑轮旋转的度数为，则由弧长公式得到，据此即可求解． 【详解】解：设此定滑轮旋转的度数为，则， 解得， ∴此定滑轮旋转的度数为． 故选：D． 6．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）一个扇形的弧长是，半径是，则此扇形的圆心角是 ． 【答案】/70度 【分析】本题考查弧长公式，掌握弧长公式是解题的关键． 利用弧长公式列方程求解即可． 【详解】解：设扇形的圆心角为． 由题意得：， 解得：． 故答案为：． 7．（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）以圆为弧的扇形所对的圆心角是 度． 【答案】 【分析】本题考查了角的度量，关键是掌握扇形圆心角度数的求法； 同圆或等圆中，弧长之比即为圆心角度数之比． 【详解】解：设圆心角度数为， ∵，， ∴， ∴， 即：， 故答案为：． 题型四 求扇形面积 1．（25-26九年级上·陕西榆林·月考）一个扇形的弧长是，圆心角是，则这个扇形的面积是 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查求扇形的面积，根据扇形的弧长公式求出半径，再利用扇形面积公式求解． 【详解】解：设扇形的半径为，由弧长公式，代入，，得：，解得 ． ∴扇形面积； 故答案为： 2．（2025九年级·全国·专题练习）一个扇形的弧长是，其圆心角是，此扇形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积的计算方法并求解是解决本题的关键． 先根据题意可算出扇形的半径，再根据扇形面积公式即可得出答案． 【详解】解：设扇形的半径为 cm， 由弧长公式 得：， 化简得 ， 解得 ， 再根据扇形面积公式 得：， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·北京朝阳·期中）圆心角为，半径为3的扇形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查扇形的面积计算，解题的关键是掌握扇形面积公式（其中为圆心角度数，为半径）． 直接将圆心角，半径代入扇形面积公式进行计算． 【详解】解：根据扇形面积公式，其中， 则：． 故答案为：． 4．（25-26九年级上·江苏常州·期中）如图，已知扇形的半径，点P为弧上一动点，作，，垂足为M、N，当取最大值时，扇形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求扇形的面积，四点共圆， 先说明点O，M，P，N在以为直径的圆上，可知当时，，最大，再根据扇形的面积公式求出答案． 【详解】解：由，可得， ∴点O，M，P，N在以为直径的圆上，为此圆的直径时，最大， 当时，，最大， 此时扇形的面积为． 故答案为：． 5．（25-26九年级上·河北廊坊·期中）如图，有一个半径为2的圆形时钟，过8点和12点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查有关扇形面积的计算．连接、，过点O作于点C，求得，根据三角形面积公式求出，再根据扇形面积公式求出，进而求出阴影部分的面积． 【详解】解：连接、，过点O作于点C，如图： 由题意可知：， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴阴影部分的面积为：． 故答案为：． 6．（25-26八年级上·河南郑州·期中）如图，扇形的半径，，则以为直径的半圆与围成的区域（图中阴影部分）的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，扇形面积公式，由勾股定理可得，再由计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 7．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，扇形OBC和扇形OAD有相同的圆心O，且圆心角；若，，则扇面（阴影）部分的面积是 ．（结果用表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了扇形面积公式的应用，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键． 利用扇形面积公式，通过大扇形面积减去小扇形面积来计算阴影部分面积． 【详解】解：∵，， ∴ （）， 故答案为：． 8．（25-26九年级上·河南安阳·期中）如图是型号为26英寸（车轮的直径为26英寸，约）的自行车，现要在自行车两轮的阴影部分（分别以，为圆心的两个扇形）装上挡水的铁皮，量出四边形中，，那么安装单侧（阴影部分）需要的铁皮面积约是 ． 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积公式，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键． 求出圆心角，再运用扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：四边形中，， ， 车轮的直径为26英寸，约， 需要的铁皮面积约是， 故答案为：． 题型一 求图形旋转后扫过的面积 1．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）如图①是卧室门锁的局部图，图②是其示意图，其中点O到门框l的距离为，且，当开门时，握住门把手绕点O顺时针旋转，点A到达点B的位置，此时点B到门框l的距离为，则门把手扫过的区域面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查矩形的性质与判定，旋转的性质，含30度直角三角形的性质及扇形面积公式，熟练掌握矩形的性质与判定，旋转的性质，含30度直角三角形的性质及扇形面积公式是解题的关键；过点B分别作，，垂足分别点C，D，则有四边形是矩形，然后可得，进而根据扇形面积公式可进行求解． 【详解】解：过点B分别作，，垂足分别为点C，D，如图所示： 由题意得：，， ∴四边形是矩形， ∴， 由旋转的性质可知：， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 2．（25-26九年级上·吉林长春·期中）钟面上分针的长为，经过，分针在钟面上扫过的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的面积和角度计算，掌握知识点的应用是解题的关键. 根据分针小时（分钟）转周，扫过的面积是一个圆的面积，分针扫过的面积是圆面积的，根据圆的面积公式，把数据代入公式进行解答即可． 【详解】解：根据分针小时（分钟）转周，扫过的面积是一个圆的面积，分针扫过的面积是圆面积的， ∴分针在钟面上扫过的面积是， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，为半圆的直径，，点在半圆上，以为高作等腰，当点沿半圆从运动到点时，线段扫过的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的面积公式．通过分析点C运动时的轨迹，进而求出线段扫过的面积． 【详解】解：已知为半圆的直径，， ∴半圆的半径为1， ∵是等腰直角三角形，且为高， ∴，， 将点的运动转化为旋转轨迹分析：点D是点A绕点C逆时针旋转的结果，点E是点A绕点C顺时针旋转的结果， 当点C在半圆上从A运动到B时： 点D的轨迹：将原半圆绕点A逆时针旋转，得到一个半径为1的半圆， 点E的轨迹：将原半圆绕点A顺时针旋转，得到一个半径为1的半圆， 当点沿半圆从运动到点时，可知扫过的面积是一个半圆的面积， 即、各扫过的面积是一个半圆的面积， 即线段扫过的面积是一个半径为1的圆的面积，即． 故答案为：． 4．（25-26九年级上·广东·期中）在中，，将绕点 C 逆时针旋转得到，当时，线段扫过的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查旋转以及扇形面积公式，熟记扇形面积公式是解题的关键． 根据题意可解得，扫过的区域为扇形，再利用扇形面积公式求解即可． 【详解】解：如图， 将绕点 C 逆时针旋转得到，， ， ， ，则， 又线段扫过的区域为扇形， 所以． 故答案为：． 5．（2025·广东阳江·模拟预测）如图，为半圆内一点，为圆心，直径长为，，，将绕圆心逆时针旋转至，点在上，则边扫过区域(图中阴影部分)的面积为 ．(结果保留) 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质，解直角三角形，扇形的面积公式．根据题意结合图形可知是解题关键． 根据旋转和解直角三角形，可求出和的长度，再结合图形，即可求出阴影部分面积． 【详解】解：如图可知， ∵，是由绕圆心O逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ，， ． 故答案为：． 6．（25-26九年级上·广西南宁·期中）在平面直角坐标系中，的三个顶点在格点上（每个方格的边长均为1个单位长度）． (1)请画出关于轴对称的图形； (2)将绕点顺时针旋转，画出旋转后得到的，并写出点的坐标 ； (3)在（2）的条件下，求线段在旋转过程中扫过的面积（结果保留）． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析， (3) 【分析】本题是三角形综合题，考查作图-旋转变换、作图-轴对称变换、扇形面积，熟练掌握旋转的性质、轴对称的性质、扇形面积公式是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可． （2）根据旋转的性质作图，根据图写出坐标，即可得出答案． （3）利用勾股定理求出的长，再利用扇形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：即为所求作； （2）解：即为所求作； ； （3）解：由勾股定理得，， 在旋转过程中所扫过的面积为． 题型二 求弓形面积 1．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图是一个的正方形网格，的顶点均在格点上，请按要求画图：①仅用无刻度的直尺，且不能用直尺的直角；②保留必要的画图痕迹；③标注相关字母． (1)在图1中画出的外接圆圆心O位置． (2)若每个小正方形网格的边长为1，则图2中阴影部分（弓形）的面积是___________． 【答案】(1)见详解； (2) 【分析】本题考查了网格作图与扇形面积计算，综合运用了三角形外心的性质、勾股定理、扇形面积公式等知识．掌握垂直平分线的作图原理、直角三角形的判定方法以及不规则图形面积的转化技巧是解题的关键． （1）解题时，应选取三角形的任意两条边（如和），分别作出它们的垂直平分线．垂直平分线可以通过连接格点之间的对角线中点来实现，例如，对于水平或垂直的线段，其中点可直接由格点确定；对于斜向线段，则需要借助网格正方形的对角线交点来定位中点。两条垂直平分线的交点即为所求圆心O． （2）本小题需要计算由圆弧和三角形构成的弓形面积．解题时需先明确阴影部分的几何构成：如图，阴影实际是扇形与的面积差． 【详解】（1）点O即为所求作． （2） 连接、， ，，， ∵， 即， ∴为直角三角形，， ∴． 故答案为：． 2．（25-26九年级上·山东日照·期中）如图，内接于，，点在线段的延长线上，且，连接． (1)求证：是的切线； (2)当，时，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了切线的判定、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、扇形和三角形的面积公式等知识点，熟练掌握圆的有关知识是解答的关键． （1）连接并延长交于点E，连接，先证明，，证明，得出，即可证明结论； （2）连接，是等边三角形，求出，求出，再根据求出结论即可． 【详解】（1）证明：连接并延长交于点E，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 是直径， ， ， ， ， 是的切线； （2）解：连接， 在中，， ， ， 是等边三角形， ， ∵，， ， 是直径， ， ， ， ， ， ． 3．（25-26九年级上·天津·期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，且，若其中水面高3m，求筒车工作时： (1)水面AB的宽； (2)截面上有水部分的面积． 【答案】(1)的宽为 (2)有水部分的面积为 【分析】本题考查了圆的垂径定理、扇形面积公式、三角形面积公式及特殊角的三角函数值的应用；解题的关键是通过水面高度建立方程求出圆的半径，再结合相关公式逐步求解． （1）设圆的半径为，利用垂径定理得且，结合表示出；在中，根据的三角函数关系建立方程求出，再计算的长度，进而得到的宽． （2）有水部分面积为弓形面积，等于扇形的面积减去的面积，分别代入扇形面积公式和三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：过点O作的垂线，垂足为点M，延长与弧相交于点N，则， 设（为半径）， ∵ ，， ∴ ，， 在中，∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，解得 ∵ ， ∴ ， ∴ 答：水面的宽为； （2）扇形的面积， 的面积， ∴ 有水部分的面积 答：截面上有水部分的面积为． 4．（25-26九年级上·浙江丽水·阶段练习）如图，垂直弦的半径为，弓形的高为． (1)求的长． (2)求弓形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，扇形面积，含角的直角三角形性质等知识点，解题的关键是掌握以上性质定理． （1）利用垂径定理得出，然后根据勾股定理求解即可； （2）利用含角的直角三角形性质得出角的度数，然后利用扇形面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示， 由垂径定理得，， 由勾股定理得， ∴； （2）解：如图所示，连接， 由（1）得，在中，， ∴， ∴， ∴， ∴弓形的面积为：, ∴弓形的面积为． 5．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在中，，平分，交于点D，点O在上，圆O经过A，D两点，交于点E，交于点F． (1)求证：是圆的切线． (2)若圆的半径是，，求阴影部分的面积．（结果保留和根号） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆的切线的判定、扇形的面积、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握圆的切线的判定和扇形的面积公式是解题关键． （1）连接，先证出，再根据平行线的判定与性质可得，然后根据圆的切线的判定即可得证； （2）连接，，其中交于点，先证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，再根据勾股定理求出，然后根据阴影部分的面积等于求解即可得． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， 又∵是圆的半径， ∴是圆的切线． （2）解：如图，连接，，其中交于点， ∵，， ∴， ∵圆的半径是， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵平分， ∴，， ∴， ∴阴影部分的面积为． 题型三 求其他不规则图形的面积 1．（2025·广东江门·二模）在中，，点是上一点，且，以点为圆心，为半径的圆与相切于点，与相交于点，若，则图中阴影部分的面积是 （结果保留） 【答案】 【分析】本题考查扇形面积公式，涉及含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，切线的性质，扇形的面积公式等知识，综合程度较高．设交于点，连接、、，由切线的性质得，则，因为，所以，则，由，得，则是等边三角形，可证明是等边三角形，求得，则，所以，则，由求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：设交于点，连接、、，则， 以点为圆心，为半径的圆与相切于点， ， ， ，且， ， ， ， ， ， ，而， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 2．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）如图， 为直径，D是弦的延长线上一点， 且，的延长线交于E． (1)求证：； (2)若，，求、、围成图形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)+ 【分析】（1）利用直角三角形斜边中线的性质证明可得结论； （2）连接，证明是等边三角形，推出、、围成图形的面积的面积扇形的面积． 【详解】（1）证明：连接， ∵为直径， ∴， ∵， ∴C是的中点， ∴， 则． （2）解：连接，过点作于点． ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 则、、围成图形的面积． 【点睛】本题考查圆周角定理，圆心角，弧，弦的关系，三角形的面积，等边三角形的判定和性质，扇形的面积，解直角三角形，直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 3．（22-23九年级下·福建漳州·期中）如图，在中，，平分交于点，点在上，以为直径的经过点． (1)求证：是的切线； (2)若点是劣弧的中点，且，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查切线的判定与性质、圆的基本性质、等边三角形的性质与判定及扇形面积公式，熟练掌握切线的判定与性质、圆的基本性质、等边三角形的性质与判定及扇形面积公式是解题的关键； （1）连接，由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求证； （2）连接，，，由题意易得，则有，然后可得是等边三角形，进而根据扇形面积公式及等积法可进行求解． 【详解】（1）证明：连接， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又是半径， 是的切线． （2）解：如图，连接，，， 点是劣弧的中点， ， ，， ， ， ， ， 又， ， 又， ， 是等边三角形， ， 又， ， ， ． 4．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，是的弦，，点在上运动，且．    (1)求的半径； (2)设点到直线的距离为，图中阴影部分的面积为，求与之间的函数关系，并写出自变量的取值范围． 【答案】(1)； (2)， 【分析】（1）连接、，由圆周角定理可得，再结合勾股定理求解即可； （2）过点作的垂线，交于点，交于点，先求出，再求出，进而得出；当点在点（或点）处时，有最小值为，当点在点时，有最大值，利用等腰直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接、，   ， ， ， ， ，即的半径为； （2）解：如图，过点作的垂线，交于点，交于点，   ， 设点到直线的距离为， 则， 由（1）可知，， ， 阴影部分的面积为 ， 当点在点（或点）处时，有最小值为， 当点在点时，有最大值， ，，， ， ， 自变量的取值范围为． 【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，扇形面积公式，等腰直角三角形的性质，求函数关系式，掌握相关知识点是解题关键． 5．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，，点在上，以为直径的与边相切于点，与边相交于点，且，连接并延长交于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若的长为，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，得到，根据平行线的性质得到，得到，利用定理证明，根据全等三角形的性质得到，根据切线的判定定理证明结论； （2）由弧长公式可求出半径的长，求出三角形的边长，由扇形的面积公式可得出答案． 【详解】（1）证明：连接， 与相切于点D， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）由（1）可知 的长为， ， ， ， ， ， ，， 阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，解直角三角形的相关计算，扇形的面积，弧长公式，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识为解题关键． 题型四 圆锥的实际问题 1．（2025·云南曲靖·二模）某博物馆修复一把古代铜锁，锁头的装饰部分为圆锥形（如图）．已知装饰部分的底面圆的半径为3厘米，母线长为5厘米，则该圆锥形装饰的面积为（   ） A．平方厘米 B．平方厘米 C．平方厘米 D．平方厘米 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算，根据圆锥侧面积公式计算即可得解，熟练掌握相关公式是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：该圆锥形装饰的面积为（平方厘米）， 故选：B． 2．（25-26七年级上·河南鹤壁·开学考试）一个圆锥形沙堆的高是，底面周长是，用这堆沙子在宽的公路上铺厚的路面，能铺 ． 【答案】 【分析】本题考查了学生运用圆锥体积公式解决实际问题的能力． 先根据底面周长求出底面半径，再计算圆锥体积，最后利用长方体的体积公式进一步计算即可求解． 【详解】一个圆锥形沙堆的高是，底面周长是， 底面半径 ， 圆锥体积 ． 铺路厚度， 设能铺长， 长方体体积， 即， ． 故答案为：． 3．（2025·云南·模拟预测）某同学发现家里的草帽可以近似看作一个圆锥，测量得母线长为50 ，高度为30 ，通过计算，这个圆锥的侧面展开图的弧长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用和圆周长等知识点，解决此题的关键是正确的计算；先根据勾股定理算出底面的半径，底面的周长即为圆锥的侧面展开图的弧长，进而求出答案即可； 【详解】解：∵， ∴底面周长（）为： 即圆锥侧面展开图的弧长为 故答案为： 4．（2025·云南昆明·三模）如图，圆锥形的烟囱帽的底面圆的周长是， 其侧面展开图是圆心角为的扇形，则它的母线长是 ． 【答案】24 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了弧长公式．根据弧长公式列方程求解即可． 【详解】解：∵圆锥的底面圆的周长为， ∴它的侧面展开图的弧长为， 设母线的长为， 解得， ∴母线长是． 故答案为：24． 5．（25-26九年级上·江苏淮安·阶段练习）小明假期去我校周边的森林公园郊游，带了一顶大型圆锥形帐篷，它的底面直径是，高是． (1)按每人的活动面积是计算，该帐篷估计最多可住______人．（取3.14估算） (2)该帐篷采用性价比较高的涤纶布制作，估计至少需要多少平方米的涤纶布?（结果中包含，材料包含底部） 【答案】(1)9 (2)至少需要平方米的涤纶布 【分析】本题考查了圆锥的侧面积、勾股定理，理解题意是解决本题的关键． （1）先算出底面积，再根据每人的活动面积是进行计算即可； （2）根据题意算出底面积和侧面积即可． 【详解】（1）解：∵底面直径为， ∴半径， ∴底面积为 ， （人）， ∴该帐篷估计最多可住9人， 故答案为：9； （2）解：∵圆锥高，半径， 根据勾股定理得，母线长， ∴侧面积为 ∴底面积为， ， 答：至少需要平方米的涤纶布． 6．（23-24九年级上·安徽阜阳·月考）图1中的冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装需要用如图3所示的等腰三角形材料，其中，将扇形围成圆锥时，恰好重合．已知这种加工材料的顶角，圆锥底面圆的直径为． (1)求图2中圆锥的母线的长． (2)求加工材料剩余部分（图3中阴影部分）的面积．（结果保留） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了等腰直角三角形的性质． （1）由于圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用弧长公式得到，从而求出，再由即可求解； （2）先根据等腰直角三角形的性质得到，再利用扇形的面积公式，利用进行计算． 【详解】（1）解：根据题意得， ， ∴； （2）解：，，， 而， ， ． 题型一 弧长与扇形面积的综合运用 1．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，在扇形中，，，动点沿弧从运动到，作于点，则内切圆圆心的运动路径长是 ． 【答案】 【分析】连接、、，过、、三点作，连接、，在优弧上取点，连接、，结合内切圆性质得，，根据三角形内角和定理可得，利用“边角边”证明，由全等三角形性质可得，结合圆内接四边形性质和圆周角定理可得，再根据勾股定理求出，当点和点重合时，连接，结合等边对等角易推得是等边三角形，即点在以为弦，并且所对的圆周角是的一段劣弧上运动，则内切圆圆心的运动路径长即为劣弧的弧长，结合弧长公式即可得解． 【详解】解：如图，连接、、，过、、三点作，连接、， 在优弧上取点，连接、， 在扇形中，，动点沿弧从运动到， ， 点是内切圆圆心， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 根据圆内接四边形的性质可得，， ， ， ， ，， 又当点和点重合时，连接，如下图： 此时， ，， ， ，， ， 是等边三角形， ， 综上，点在以为弦，并且所对的圆周角是的一段劣弧上运动， 劣弧的弧长， 内切圆圆心的运动路径长是． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是内切圆性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质、圆内接四边形性质、圆周角定理、勾股定理、等边三角形的判定与性质、弧长计算公式，解题关键是通过计算的大小恒定推出内切圆圆心的运动轨迹． 2．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图（1），正方形纸片边长为是的中点，点E，F分别在边上，扇形纸片的半径．剪下该扇形纸片，将其围成一个如图（2）所示的圆锥形纸帽． (1)求该纸帽的底面半径． (2)如图（3），是母线的中点，现要在该纸帽的侧面绕两圈丝带，丝带的起点是，终点是，求丝带的最短长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正方形的性质和锐角三角函数求出相关角的度数，利用弧长公式求出弧的长度，然后再利用圆的周长公式进行求解即可； （2）点与点重合，作点关于直线的对称点，连接交于点，取的中点，连接交于点，过点作于点，利用轴对称的性质确定最短路径，然后利用锐角三角函数和勾股定理解直角三角形即可． 【详解】（1）解：∵四边形为正方形，，且点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴的长度为， 设该纸帽的底面半径为， ∴， 解得； （2）解：如图所示，点与点重合，作点关于直线的对称点，连接交于点，取的中点，连接交于点，过点作于点， 此时，，， ∴丝带的最短长度为的长度， ∵， ∴为等边三角形， ∴根据三线合一得，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴由勾股定理得，， ∴丝带的最短长度为． 【点睛】本题主要考查了扇形和圆锥的关系，弧长公式，线段和最小值，轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，正方形的性质，锐角三角函数和勾股定理解直角三角形，解题的关键是掌握以上性质． 3．（25-26九年级上·河北廊坊·期中）小明陪弟弟玩积木的时候，发现放在同一水平面上的两个积木的横截面分别是以为直径的半圆和边长为的正方形，，分别为半圆上的点，如图所示，此时半圆与水平面恰好切于点，，延长与半圆分别交于点，．将半圆向右无滑动滚动，使点落在半圆上，此时半圆与水平面恰好切于点，如图所示． (1)在图中，求弦的长； (2)在图中，求所对的圆心角度数；（结果保留） (3)在图中，过点作半圆的切线与直线交于点，求的长． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）如图，连接，，与交于点，可得四边形为矩形，得到，，进而得，由可得，在中，利用勾股定理求出，即可求解； （2）如图，连接，，延长交于点，可得四边形为矩形，得到，，，由可得，进而由勾股定理得，即得，得到的长为，再根据弧长公式即可求解； （3）如图，连接，由切线长定理可得，设，则，由（2）得，则，在中由勾股定理得，解得，得到即可． 【详解】（1）解：如图1，连接，，与交于点， ∵半圆与水平面相切于点，为半圆的半径，四边形为正方形， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴； （2）解：如图2，连接，，延长交于点， ∵四边形为正方形，半圆与水平面相切于点，为半圆的半径， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∵， ∴的长为， 设所对的圆心角度数为， ∴， 解得， ∴所对的圆心角度数为； （3）解：如图3，连接，由切线长定理可得， 设，则，由（）得，则， ∴在中，， 即， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质，切线长定理，垂径定理，矩形的判定与性质，勾股定理，弧长公式，正确作出辅助线是解题的关键． 1 / 62 学科网（北京）股份有限公司 $